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Interpolação-Parte IIEstudo do Erro

1. Estudo do Erro na Interpolação

2. Interpolação Inversa

3. Grau do Polinômio Interpolador

4. Função Spline em Interpolação

4.1 Spline Linear

4.2 Spline Cúbica

1.Estudo do Erro na Interpolação

O erro em aproximar a função f(x) por um polinômio interpolador pn(x), de grau menor ou igual a n, é:

En(x)=f(x)-pn(x) para todo x de [x0,xn].

� Estudar o erro na interpolação significa saber o quão próximo f(x) está de pn(x).


� Interpolação linear de f1(x) e f2(x)

x

f(x)

x0 x1

f1(x0)= f2(x0)=p1(x0)f1(x)

p1(x)

f2(x)f1(x1)= f2(x1)=p1(x1)


Interpolação linear de f1(x) e f2(x) por p1(x).

• O mesmo polinômio p1(x) interpola f1(x) e f2(x) em x0 e x1.

• O erro E11(x)=f1(x)-p1(x) > E1

2(x)= f2(x)- p1(x) para todo x de (x0 , x1).

• O erro depende da concavidade da curva, ou seja, de f1”(x) e f2”(x).


Teorema 1:

“Sejam pontos.

Seja f(x) com derivadas até ordem (n+1) para

todo x em [x0,xn]. Seja pn(x) o polinômio

interpolador de f(x) nos pontos x0, x1, x2,...,xn.

Então, em qualquer ponto do intervalo [x0,xn] o

erro é dado por

En(x)=f(x)-pn(x)= (x-x0)(x-x1)...(x-xn)

onde “.

)1(,......210 +<<<< nxxxx n

( )( )!1

)1(

+

ξ+

n

f x

n

( )nx xx ,0∈ξ


Demonstração:Teorema 1 o Note que x=xi para i=1,2,..,n, segue que

G(x)= (x-x0)(x-x1)...(x-xn)=0 En(x)=0, logo a fórmula do erro está correta para x=xi.

o Definindo a função H(t)= En(x)G(t)- En(t)G(x), com

. Então, H(t) tem n+1 derivadas e pelo menos n+2 zeros. Note que x0,x1,..,xn e x são zeros de H(t).

o Aplicando o Teorema de Rolle sucessivamente, n+1 vezes, demonstra-se o teorema.

( ) in xxxxtx ≠∈ e ,, 0


Teorema 2:

“Sejam pontos.

Seja pn(x) o polinômio interpolador de f(x) nos

pontos x0, x1, x2,...,xn. Da forma de NewtonEn(x)=f(x)-pn(x)= (x-x0)(x-x1)...(x-xn) f[x0, x1, x2,...,xn,x].

Portanto,

com .

Demonstração imediata.

)1(,......210 +<<<< nxxxx n

( )( )!1

],,...,,,[)1(

210+

ξ=

+

n

fxxxxxf x

n

n

( )nx xxx ,, 0∈ξ


Corolário1: Estimativa do Erro.

Sob as hipóteses dos teoremas 1 e 2,

temos que

onde

( )!1)).....()(()()()( 1

10+

−−−≤−= +

n

MxxxxxxxpxfxE n

nnn

( ) ( )., com )(max 0

1

1 n

n

n xxxxfM ∈= ++


Corolário2: Estimativa do Erro.

Sob as hipóteses dos teoremas 1 e 2,

temos que

onde

( )!1)).....()(()()()( 1

10+

−−−≤−= +

n

MxxxxxxxpxfxE n

nnn

( ) ., com ],,....,,[max)!1(

010

1

nn

n xxxxxxxfn

M∈=

++

Estimativa para o erro

� Seja dada na tabela:

a) Obter f (0.47) usando um polinômio de grau 2.

b) Encontrar uma estimativa para o erro.

)(xf

x 0.2 0.34 0.4 0.52 0.6 0.72

f(x) 0.16 0.22 0.27 0.29 0.32 0.37

Tabela de diferenças

x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3

0.2 0.16

0.428

0.34 0.22 2.0325

0.8333 -17.8963

x0 = 0.4 0.27 -3.7033

0.1667 18.2494

x1 = 0.52 0.29 1.0415

0.375 -2.6031

x2 = 0.6 0.32 0.2085

0.4167

0.72 0.37


� Escolhendo

a)

b)

)04115.1()52.0)(4.0()1667.0()4.0(27.0

],,[))((],[)()()( 2101010002

−−+−+=

−−+−+=

xxx

xxxfxxxxxxfxxxfxp

6.0,52.0,4.0 210 === xxx

)47.0(2780.0)47.0( fp ≈=

|2492.18||)6.047.0)(52.047.0)(4.047.0(||)47.0(| −−−≈E

310303.8|)47.0(| −×≈E

009.0278.0)47.0( ±=p

2. Interpolação inversa

� Seja dada na tabela:

Obter x tal que f(x)= 1.3365 e encontrar uma estimativa para o erro.

Este é o problema da interpolação inversa.

)(xf

x 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

f(x) 1 1.1052 1.2214 1.3499 1.4918 1.6478

2. Interpolação inversa

� Solução versão 1: � Obtenha pn(x) que interpola f(x)= 1.3365 e

determine x. Problema: não temos como estimar o erro cometido!!!!!!!

� Solução versão 2:� Se f(x) for monotonicamente crescente ou

decrescente no intervalo considerado, então ela pode ser invertida. Então faça a interpolação da função inversa e calcule o erro.

Tabela de diferenças divididas - Versão 2

y Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2 Ordem 3

1 0

0.9506

1.1052 0.1 -0.4065

0.8606 0.1994

y0 =1.2214 0.2 -0.3367

0.7782 0.1679

y1 =1.3499 0.3 -0.2718

0.7047 0.1081

y2 =1.4918 0.4 -0.2256

0.6373

1.6487 0.5


� Escolhendo

a)

b)

)2718.0()3494.1)(2214.1()7782.0()2214.1(2.0

],,[))((],[)()()( 2101010

1

00

1

2

−−−+−+=

−−+−+= −−

yyy

yyyfyyyyyyfyyyfxp

210 ,, xxx

27487.0)3165.1( =p

|1994.0||)4918.12787.0)(3499.12787.0)(2214.12787.0(||)2787.0(| −−−≈E

4101.1|)2787.0(| −×≈E

00011.027487.0 ±=x

3.1 Grau do polinômio interpolador

� Para a escolha do grau do polinômio interpolador:1) Construir a tabela de diferenças divididas;

2) Examinar as diferenças na vizinhança do ponto de interesse;

Se as diferenças de ordem k forem praticamente constante, ou se as diferenças de ordem k+1

variarem em torno de zero, o polinômio de grau k será o

que melhor aproximará a função na região considerada.


� Seja com os valores da tabela:

� Um polinômio de grau 1 é uma boa aproximação para

xxf =)(

x 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05

f(x) 1 1.005 1.01 1.0149 1.0198 1.0247

xxf =)(


xxf =)(x Ordem 0 Ordem 1 Ordem 2

1 1

0.5

1.01 1.005 0

0.5

1.02 1.01 -0.5

0.49

1.03 1.0149 0

0.49

1.04 1.0198 0

0.49

1.05 1.0247

3.2 Fenômeno de Runge

� Questão: A seqüência {pn(x)} converge para f(x) no intervalo [a,b] se {x0,x1,...,xn} pertencem a {a,b] e n tende ao infinito?

� Interpolando a função

no intervalo [-1,1] com 2251

1)(

xxf

+=

.,..,2,1para2

1 nin

ixi =+−=

3.2 Fenômeno de Runge

� Interpolação linear de f1(x) e f2(x) com n=10

x-1 1

f(x)

P10(x)

!!!garantida! iaConvergênc - Spine ãoInterpolaçUtilizar :Solução

4. Função Spline em Interpolação

� Fenômeno de Runge é superado pela função Spline.

Definição: Seja tabelada para .

A função é denominada spline de grau se:

a) Em cada subintervalo , para ,

é um polinômio de grau .

b) é contínua e tem derivadas contínuas até ordem

em .

c) .

)(xf

[ ]1+ii ,xx

nxxxx <<<< .....210

)(xS pp

)1(,..,2,1,0 −= ni

)(xs p p

)(xS p

( )1−p [ ]b,xxa n == 0

nixfxS iip ,...,2,1para)()( ==

4.1 Função Spline Linear

A função spline linear interpolante de f(x), ou

seja S1(x) nos nós x1,x2,...,xn, pode ser escrita

em cada subintervalo como

� Note que S1(x) é polinômio de grau 1 no intervalo.

� s1(x) é contínua em todo intervalo

� Nos pontos nós .

Logo, S1(x) é a spline linear interpolante de f(x).

[ ]1+ii ,xx

[ ]ii

ii

i

i

ii

i

ii xxxxx

xxxf

xx

xxxfxs ,)()()( 1

1

1

1

1 −

−

−

−

− ∈∀−

−+

−

−=

[ ]ii xx ,1−

)()(1 ii xfxs =


Achar a função spline linear que interpola f(x)

� Da definição:

� Analogamente:

01

0

1

01

101 )()()(

xx

xxxf

xx

xxxfxs

−

−+

−

−=

[ ]2,122212

12

12

21)(1 ∈∀=−+−=

−

−+

−

−= xxxx

xxxs

( ) [ ]5,243

1)(2 ∈∀+= xxxs

( ) [ ]7,55.85.02

1)(3 ∈∀+−= xxxs

0 1 2 3

1 2 5 7

1 2 3 25

kx

)( kxf

k


� Graficamente

x

f(x)

1 7

s3(x)

52

s2(x)s1(x)

f(x)

4.2 Função Spline Quadrática

� As spline quadráticas tem derivadas contínuas até ordem 1 e portanto a curvatura de S2(x) não é suave nos nós.

� Seja a função

� Note que a função e sua derivada primeira são contínuas em x=1. Contudo, sua derivada segunda, em x=1, não é contínua.

[ ]

[ ]3,1para12

1,2para22

)(2

2

∈−

−∈−+

=

xx

xxx

xf


� Graficamente12 2 −x

222 −+ xx


� Graficamente, vemos a descontinuidade da derivada segunda (curvatura). Considere agora a situação em que f(x) e sua derivada primeira são contínuas em x=1, contudo ocorre mudança de sinal da derivada segunda em x=1

� Esta é situação que ocorre no ajuste de spline quadrática.

[ ]

[ ]3,1para582

1,2para22

)(2

2

∈−+−

−∈−+

=

xxx

xxx

xf


� Graficamente222 −+ xx

582 2 −+− xx

4.2 Função Spline Cúbica

� As splines cúbicas são as mais usadas.

� Uma spline cúbica S3(x) é uma função polinomial por partes, contínua, onde cada parte sk(x) é um polinômio de grau 3 nos intervalos [xk-1,xk].

� S3(x) tem derivadas primeira e segunda contínuas, logo não tem bicos e não troca abruptamente a curvatura nos nós.

4.2 Função Spline Cúbica - Construção

A função spline cúbica interpolante de f(x), ou

seja S3(x), nos nós x1,x2,...,xn, pode ser escrita

em cada subintervalo como polinômios de grau 3.

Denotada por sk(x) para k=1,2,...,n, deve satisfazer:

1.

2.

3.

4.

5.

[ ] .,....,2,1,, para )()( 13 nkxxxxsxS kkk =∈= −

.,....,2,1 para )()(3 nixfxS ii ==

.1,....,2,1 para )()( 1 −== + nkxsxs kkkk

.1,....,2,1 para )(')(' 1 −== + nkxsxs kkkk

.1,....,2,1 para )('')('' 1 −== + nkxsxs kkkk


Sejam as parte da spline cúbica dadas por

O Cálculo de envolve a determinação de 4n

coeficientes:

Condições 1: satisfeitas por construção.

Condições 2: (n+1) condições nos nós.

Condições 3: (n-1) condições de continuidade de S3 nos nós.

Condições 4: (n-1) condições de continuidade de S’3 nos nós.

Condições 5: (n-1) condições de continuidade de S’’3 nos nós.

Total de 4n-2 condições. Restam duas condições em aberto!!!

( ) ( ) ( ) .,....,2,1, x-xx-xx-x)( k

2

k

3

k nkdcbaxs kkkkk =+++=

)(3 xS

.,,,,.......,,,,,,,, 22221111 nnnn dcbadcbadcba


Notação:

Impondo as condições:

( ) ( ) .,'',1 kkkkkkkk yxfgxsxxh ==−= −

( )

−−

−=+++

−+

−=

==−

=

−

+

+

+++−

−−

−

k

kk

k

kk

kkkkkkk

kkkk

k

kk

k

kk

k

k

k

kk

k

h

yy

h

yyghghhgh

hggh

h

yyc

ydg

bh

gga

1

1

1

1111

11

1

62

6

2

,2

,6

.,..,,g para equações 1)-(n linear tem sistema o que Note 10 ngg


� Resta impor mais duas condições.

Alternativas 1: Chamada spline natural

Alternativa 2: Chamada spline parabólica.

Alternativa 3: Impor inclinações nos extremos.

( ) ( ) 0''e0'' 3003 ==== nn gxSgxS

110 e −== nn gggg

( ) ( ) BxSAxS n == 'e' 303

Geralmente quando temos informações físicas do problema

4.2 Função Spline Cúbica - Exemplo

Achar a spline cúbica natural que interpola f(0.25) dada

Temos 4 subintervalos iguais. Dadas

resolvendo o sistema linear para

x 0 0.5 1.0 1.5 2.0

f(x) 3 1.8616 -0.5571 -4.1987 -9.0536

)(,)(,)(,)( 4321 xsxsxsxs

( )

( )

( )

0 natural spline condições

26

4

26

4

26

4

40

234432

123321

012210

==+

+−=++

+−=++

+−=++

gg

yyyh

ghghgh

yyyh

ghghgh

yyyh

ghghgh

( ) 31 pois ,31 =−≤≤ nk

4.2 Função Spline Cúbica - Exemplo

Substituindo os valores de

resolvemos o sistema linear obtendo:

Calculamos

Como queremos f(0.25) fazemos

)(,)(,)(,)(e,,,, 4321 xsxsxsxsdcba kkkk

252.6,111.4,654.6

0

321

40

−=−=−=

==

ggg

gg

)25.0(sf(0.25) 1≈

5.0e)( === hhxfy kkk

( ) ( ) ( )5348.2)25.0( 0.5 Sendo

-0.25-0.25-0.25)25.0(

11

111

2

11

3

111

=⇒=

+++=

sx

dxcxbxas

5. EXERCÍCIOS

Faça os seguintes exercícios do capítulo 5

do livro texto.

Exercícios: 9,10 e projeto 2 página 266.

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