AS PROGRESSÕESAS PROGRESSÕES

Aceite para publicação em 22 de novembro de 2012

AS PROGRESSÕESAS PROGRESSÕES

As progressões constituem o exemplo mais simples do conceito de sucessão. As suas propriedades estudam-se desde os primórdios da história da matemática, e foram aplicadas, sobretudo, no cálculo comercial.

O estudo das progressões aritméticas progressões aritméticas é paralelo ao das

progressões geométricas progressões geométricas devido às propriedades destas últimas emanarem das primeiras sem mais do que converter: somas em produtos, diferenças em quocientes, e o produto por um número natural numa potência de exponente natural.

A origem das progressões, tal como para tantos outros ramos da matemática, é incerta. Não obstante, conservam-se alguns documentos que atestam a presença das progressões vários séculos antes da nossa era, pelo que não se pode atribuir a sua paternidade a nenhum matemático concreto.

É conhecido o problema de calcular em quanto tempo se dobraria uma quantidade de dinheiro com um determinado juro composto, proposto pelos babilónios (2000 a.C. - 600 a.C.), o que faz pensar que conheciam de alguma maneira a fórmula do juro composto e, portanto, as progressões geométricasprogressões geométricas.

No livro IX dos Elementos de Euclides aparece escrita uma fórmula, semelhante à atual, da soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão geométrica. Bhaskara, matemático hindu do século XII, apresenta na sua obra mais conhecida, o Lilavati, diversos problemas sobre progressões aritméticas e problemas sobre progressões aritméticas e geométricasgeométricas.

AS PROGRESSÕESAS PROGRESSÕES

Exemplos: Considera as seguintes sequências de números:

a)-3, 0, , , 7, , 13, …

b) -1, 3, 7, 11, 15, ...

c) 3, 6, 12, 24, 48, ...

No primeiro caso a partir da informação disponível, não é clara a existência de uma regularidade nesta sequência numérica que permita escrever o termo seguinte.

No segundo, a 15 seguir-se-iam 19, 23, 27... (cada termo é quatro unidades maior que o anterior).

No terceiro, ao quinto termo, que é 48, seguir-se-ia 96 (cada termo é o dobro do anterior).

A obtenção do termo geral de uma sucessão pode ser de uma enorme dificuldade. Não obstante, vamos a seguir estudar um tipo de sucessões em que determinar o seu termo geral é bastante simples.

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Para cada uma destas sequências, qual será o termo seguinte?

AS PROGRESSÕESAS PROGRESSÕES

, 4n-5 p.a.

, 3 x 2 n-1 p.g.

Uma progressão aritmética é uma sucessão em que cada elemento se obtém somando ao anterior um número fixo chamado razão, que se representa pela letra r.

PROGRESSÕES ARITMÉTICASPROGRESSÕES ARITMÉTICAS

Assim, se (an) é uma progressão aritmética, verifica-se que:

1n na a r

1n na a r

PROGRESSÕESPROGRESSÕES ARITMÉTICASARITMÉTICAS

(r constante), n IN

Se a razão é positiva, a progressão é crescente; ou seja, cada termo é maior que o anterior.

Se a razão é zero, a progressão é constante, ou seja, tem todos os seus termos iguais.

Se a razão é negativa, a progressão é decrescente, ou seja, cada termo é menor que o anterior.

PROGRESSÕESPROGRESSÕES ARITMÉTICASARITMÉTICAS

Para se obter a expressão do termo geral de uma progressão aritmética (an) basta observar que:

a2= a1 + r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2.r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3.r a5 = a4 + r = (a1 + 3r) + r = a1 + 4.r

Note-se que em todos os casos o termo corresponde à soma de duas quantidades: • A primeira é sempre a1 • A segunda é o produto (n - 1).r

Logo,

an= a1 +(n-1).r

Termo geral de uma progressão Termo geral de uma progressão aritmética aritmética

PROGRESSÕES PROGRESSÕES ARITMÉTICASARITMÉTICAS

Pode-se também provar facilmente que: an= ak +(n-k).r. Expressão que permite obter a expressão do termo geral a partir de qualquer termo da progressão (não apenas a partir do primeiro).

AplicaçãoAplicação: Escreve a expressão do termo geral : Escreve a expressão do termo geral das das progressões aritméticas em que:progressões aritméticas em que:

1)1)

2) u1 = -5 e r = ½

3) u10 = 8 e u3 = -6

PROGRESSÕESPROGRESSÕES ARITMÉTICASARITMÉTICAS

n

un

O

1

3

5

7

É muito conhecida a estória segundo a qual propuseram na escola primária a Carl Frederich Gauss (1777-1855), quando este contava somente dez anos de idade, que somasse os 100 primeiros números naturais. Perante o assombro do professor, mal este tinha acabado de ditar o problema, Gauss deu a solução: 5 050.

O que este insigne matemático observou foi que a soma 1+100 era igual a 2+99, igual a 3+98, ... etc. quer dizer, só teve que dar-se conta de que contava com 50 pares de números, sendo a soma de cada par 101. Assim, limitou-se a multiplicar: 50 x 101 = 5 050.

Soma dos Soma dos nn primeiros termos primeiros termos consecutivos de uma progressão consecutivos de uma progressão

aritméticaaritmética

PROGRESSÕESPROGRESSÕESARITMÉTICASARITMÉTICAS

Gauss (1777-1855)

PROGRESSÕESPROGRESSÕESARITMÉTICASARITMÉTICAS

Consideremos a progressão aritmética de termo geral un = 2n-3

e tomemos oito quaisquer termos consecutivos desta sucessão:Por exemplo:

7 9 11 13 15 17 19 21

28

28

28

28

Podemos calcular a soma dos oito termos considerados, fazendo:

S8 = 28 x 4 ou seja S8 = (7+21) x 8/2

PROGRESSÕESPROGRESSÕESARITMÉTICASARITMÉTICAS

Esta propriedade continua a ser válida, se tomarmos um número ímpar de termos.

Por exemplo:

9 11 13 15 17 19 21

30

30

30

S7 = (9+21) x 3 + 15 = 90 + 15 = 105

o que equivale a:

S7 = (9+21) x 7/2 = 30 x 3,5 = 105

1

2n

n

a aS n

A soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão aritmética é dada por

Sendo n o número de termos considerados e a1 e an o primeiro e o último desses termos.

A soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão aritmética é dada por

Sendo n o número de termos considerados e a1 e an o primeiro e o último desses termos.

Aplicação:

Calcula a soma dos termos compreendidos entre u15 e u41 da progressão aritmética de termo geral 3 2nu n

PROGRESSÕES ARITMÉTICASPROGRESSÕES ARITMÉTICAS

1 2n n

nS a a ou

Maria José Vaz da Costa

Material publicado sob Licença Creative Commons da Casa das Ciências

Bibliografia:

• Novo Espaço

Matemática A -11º ano

Autores: Belmiro Costa | Ermelinda Rodrigues

• Infinito 11

Matemática A -11º ano

Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso Alves | Cristina

Cruchinho | Gabriela Fonseca | Judite Barbedo | Manuela Simões