PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS Aceite para publicação em 22 de julho de 2013.
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PROGRES SÕESGEOMÉTR I CAS
Aceite para publicação em 22 de julho de 2013.
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
Uma progressão geométrica é uma sucessão em que cada termo se obtém multiplicando o anterior por um número fixo chamado razão, que se representa pela letra r ( ).Assim, se (an) é uma progressão geométrica, verifica-se
Aplicação:
1) A sequência de termos: 5, 15, 45, 135, 405, ... é uma progressão geométrica?
2) E a sucessão de termo geral un = 2n ?
Para nos assegurarmos que uma sucessão é uma progressão geométrica temos que comprovar que o quociente entre cada termo e o anterior é sempre o mesmo. Esta comprovação elementar dá-nos também o valor da razão da progressão.
11 ,n
n nn
aa a r r n IN
a
0r
11 ,n
na a r n IN
Termo geral de uma progressão geométrica
A expressão do termo geral de uma progressão geométrica (an) encontra-se observando que: a2 = a1 · r a3 = a2 · r = (a1 · r) · r = a1 · r2
a4 = a3 · r = (a1 · r2) · r = a1 · r3
a5 = a4 · r = (a1 · r3) · r = a1 · r4
Note-se que, em todos os casos, cada termo é o produto de duas quantidades: A primeira é sempre a1
A segunda é uma potência de base r e expoente um certo número, que se obtém subtraindo uma unidade ao índice.
A expressão do termo geral é:
Pode-se também facilmente provar que:
, , ,n kn ka a r n k IN n k
P R O G R E S S Õ E SG E O M É T R I C A S
Aplicação: Escreve a expressão do termo geral das progressões geométricas em que:
1) u1 = 10 e un+1 = 4un
2) u1 = 36 e u3 = 4
3)
1 2 4 8 16 ...
n
vn
O
16
-2
4
-8
-32
4)
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
Se a razão de uma progressão
geométrica é maior que 1 e
u1 > 0, a progressão é:
estritamente crescente e…
não limitada.
E se u1 < 0?
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
Comportamento de uma progressão geométrica
n
an
n
bn
O
O
Se a razão de uma progressão geométrica
está compreendida entre 0 e 1 e
u1 > 0, a progressão é:
estritamente decrescente e…
limitada.
E se u1 < 0?
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
n
cn
O
n
dn
O
Se a razão de uma progressão geométrica é igual
a 1, a progressão é:
constante
limitada
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
Se a razão de uma progressão geométrica é igual
a -1, a progressão é:
não monótona
limitada
n
fn
O
n
gn
O
Se a razão de uma progressão
geométrica é maior que -1 e menor
que 0, a progressão é:
não monótona e…
limitada.
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
Se a razão de uma progressão
geométrica é menor que -1, a
progressão é:
não monótona e…
não limitada.
n
hn
O
n
ln
O
0 1
u1 > 0 - Crescente Não limitada
progressão constante
N ã o m o n ó t o n a
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
• Progressão geométrica (un)
• Razão: r• 1º termo: u1
u1 < 0 - Decrescente Não limitada
u1 > 0 - Decrescente
Limitada
-1
Limitada
Não limitada
razão - r- +
Em resumo: comportamento de uma progressão geométrica
u1 < 0 - Crescente Limitada
Aplicações:
1. Dá exemplo de uma progressão geométrica (un) que satisfaça a
condição:
a) tenha primeiro termo positivo e seja decrescente;
b) tenha primeiro termo positivo e seja não monótona;
c) seja estritamente crescente e tenha razão positiva menor que
1;
d) tenha o primeiro termo negativo e seja estritamente
decrescente.
2. Considera a sucessão (vn) de termo geral:
vn = 5 x 21-n
e) Mostra que é uma progressão geométrica.
f) (vn ) é monótona? Justifica.
g) (vn ) é limitada? Justifica.
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
A LENDA DO JOGO DE XADREZ
Diz a lenda que um antigo Xá da Pérsia ficou tão impressionado com o jogo de xadrez, que ordenou ao seu inventor que pedisse a recompensa que desejasse. O inventor (provavelmente um matemático experiente...) pediu um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez, dois grãos pela segunda casa, quatro pela terceira, oito pela quarta, e assim sucessivamente, até se percorrerem todas as casas do tabuleiro.
Conta-se que o imperador ficou estupefacto, tendo até considerado, que era afrontoso o pedido do inventor por se tratar de coisa tão insignificante!
Contudo, o inventor manteve o pedido e insistiu que lhe bastava vê-lo concretizado...
Quantos grãos de trigo pediu, afinal, o inventor do jogo de xadrez?
Soma de n termos consecutivos de uma
progressão geométrica
PROGRES SÕESGEOMÉTR I CAS
2 3 62 63
64
2 3 62
S 1 2 2 2 ... 2 2
1 2 1 2 2 2 ... 2
2 3 61 62 63641 2 2 2 ... 2 2 S 2
Resolução:
Ora,
Donde:
64
64
63 6464 64 64 64S 1 2 S 2 S 1
2
2
1
S 2
S
1 2 4 8 16 32 64 128
18 446 744 073 709 551 615 grãos de trigo!!!
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
Aplicação:
Se uma progressão geométrica tem o termo geral ,
calcula a soma dos seus primeiros 21 termos .
112
n
nu
1
11
1
n
n
rS u r
r
A soma dos n primeiros termos consecutivos de uma progressão geométrica é dada por
Sendo n o número de termos considerados e u1 o primeiro termo e r a razão.
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
com
1.A partir de um quadrado com 16 cm2 de área foi gerada uma
sequência de figuras em que os quatro primeiros elementos estão a
seguir representados.
A sequência dos valores das áreas das partes sombreadas são os
termos da sucessão (an)
a) Justifica que (an) é uma progressão geométrica.
b) Mostra que
c) Calcula a soma das áreas das partes coloridas do 3º ao 10º termos
da
sequência. Apresenta o resultado arredondado às centésimas.
4
1,
2n na n IN
Aplicações
PROGRESSÕESGEOMÉTR ICAS
2. Sabe-se que a população de uma determinada cidade, com 50 mil
habitantes, aumenta a uma taxa de 2% ao ano.
Admitindo que se mantém esta taxa de crescimento:
a) Justifica que a população desta cidade, daqui a n anos, é dada,
em milhares de habitantes, por Pn = 50 x (1,02)n
b) Utiliza a calculadora para determinar quantos anos são
necessários para que a população desta cidade duplique. Num
breve texto explica como procedeste.
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
3.As reservas naturais de petróleo em determinado país no começo
de 1980 eram de 12 mil milhões (12×109 ) de toneladas. A
extração nesse ano foi de 120 milhões (1,2×108 ) de toneladas.
a) Se o ritmo de extração se mantivesse todos os anos igual ao de
1980, em que ano as reservas ficariam esgotadas?
b) Supõe que todos os anos a extração de petróleo é reduzida em
2% em relação ao ano anterior, a começar em 1980.
b1)Escreve o termo geral da sucessão que dá a quantidade de
petróleo, em toneladas, extraída em cada ano, desde 1980.
b2)Com esta redução é possível consumir indefinidamente?
Justifica.
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
Zenão de Eleia, filósofo sofista que viveu no séc. V
a.C., formulou alguns paradoxos (*) com os quais pretendia contestar as concepções da Escola Pitagórica segundo as quais, por exemplo, o tempo era uma soma de instantes e o movimento uma soma de deslocamentos.
Um paradoxo célebre, devido a Zenão, é o chamado “Paradoxo de Aquiles e da tartaruga”.
PROGRESSÕESGEOMÉTR ICAS
(*) Paradoxal é tanto aquilo que encerra uma contradição como o que vai contra a opinião comum. É o inverosímil, o absurdo, mas também o estranho.
SOMA DE TODOS OS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Paradoxo de Aquiles e da tartaruga
Aquiles corre para apanhar uma tartaruga mas nunca
chegará a alcançá-la porque, quando atingir o lugar
onde estava a tartaruga, já ela lá não estará porque
entretanto se deslocou; e esta situação repete-se
indeterminadamente… Este raciocínio de Zenão, parecendo intocável, conduz a uma conclusão que a realidade mostra ser falsa.
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
Math in a Minute: How a tortoise can win a race
http://www.youtube.com/watch?v=Y1syYSPN57E
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
Analisemos com auxílio de um EXEMPLO o paradoxo de Zenão.
Suponhamos que no início da corrida, Aquiles deu
uma vantagem de 100 m à tartaruga e, que as
respetivas velocidades são 10m/s e 1m/s. Então, em 10 segundos Aquiles atinge o ponto de onde a tartaruga
partiu mas, durante esse tempo a tartaruga afastou-se 10 m. Para
atingir esse segundo ponto, Aquiles demora 1 segundo mas, nesse
segundo a tartaruga afasta-se mais 1 m. Para atingir este último
ponto, Aquiles precisa de 0,1 segundos e, a tartaruga avançará
mais 0,1 m e, assim sucessivamente...
Em cada etapa percorrida, a distância entre eles vai diminuindo de
acordo com o fator 0,1. Este processo continua até ao infinito.
A resposta a esta questão reside na soma dos incrementos de
tempo que Aquiles leva para percorrer as sucessivas distâncias que
existem entre ele e a tartaruga:
( 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ...) segundos.
Apesar de existirem infinitos incrementos de tempo a ter em
consideração, a sua soma é (finita). O que explica o
paradoxo é o facto de ser finita a soma de um número
infinito de parcelas. (O infinito pode estar na palma da nossa mão!
)
Tartaruga
Aquiles
10
10
0,1 0,01
1
10,1
…
…
0,01
Pode a tartaruga ser alcançada?
, ...100
11 11119
P R O G R E S S Õ E SG E OM É T R I C A S
Ficamos, assim, a saber o momento exato (com um número infinito de casas decimais) em que Aquiles apanha a tartaruga. Após esse momento, Aquiles ultrapassa a tartaruga.
Embora à primeira vista possa parecer surpreendente, podemos adicionar um número infinito de quantidades finitas e o resultado ser finito.
t
y
O
Percurso de
Aquiles Percurso da tartaruga
Aquiles passa por um número infinito de lugares…
…num número infinito de instantes
para apanhar a tartaruga
PROGRES SÕESGEOMÉTR I CAS
Recorda que a soma Sn dos n primeiros termos consecutivos da progressão geométrica (un)
é dada por
10 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 ...
A soma de todos os termos desta progressão,
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
1 ,1u
Sr
Demonstra-se que a soma de todos os termos de uma progressão
geométrica de é dada por:
10 ; 1 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; 0,0001 ; ...
Designando, então, por (un), a sucessão de termos:Progressão geométrica
u1 = 10 e r = 0,1
1 010
1 0,1
101 0,1
1009
11,(1)
1r
1r
1
11
1
n
n
rS u r
rcom
1 0r re
n1 0,1lim 10
1 0,1
será dada por:
uma vez que a sucessão (Sn) é convergente, pois ,
Só o cálculo de limites e a teoria de conjuntos
permitiu esclarecer (24 séculos mais tarde!...) os paradoxos de Zenão,
cuja solução exige, como acabamos de ver, o cálculo da SOMA DE
TODOS OS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO
GEOMÉTRICA.
lim nS S
A soma S, de todos os termos de uma progressão
geométrica (un) em que o primeiro termo é u1 e a razão é r é, caso
exista:
Se , (Sn) converge para . S é, pois, a soma de
todos os termos deste tipo de progressões geométricas.
1
1lim
1
nrS u
r
1 0r r
1
1u
Sr
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e
Curva de Von Koch (ou curva floco de neve)
PROGRESSÕESGEOMÉTRICAS
Proposta de trabalho:Depois de estudares a curva de Von Koch, comenta a afirmação:“Apesar de a curva de Von Koch ter perímetro infinito, a área por ela limitada é finita.”
AnexoTraduzido de “Paradoja de la dicotomía”
de Epsilones – autor: Alberto Rodríguez
Santos, uma página que
recomendo vivamente, em
http://www.epsilones.com/
Este argumento de Zenão assume que o espaço é contínuo e, portanto, infinitamente divisível. Contudo, não faz o mesmo com o tempo, o que conduz ao paradoxo.
Vamos primeiro ver o que faz com o espaçoSuposição: o espaço é infinitamente divisível
Embora à primeira vista possa parecer surpreendente, podemos adicionar quantidades infinitas e o resultado ser finito.
Um exemplo simples é o das progressões geométricas, que são aquelas sequências em que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma quantidade constante chamada razão.
Se esta razão é menor do que 1 pode ser facilmente mostrado que a soma infinita de termos da sequência é obtida pela expressão S = a1/(1 - r), em que a1 é o primeiro dos termos.
De facto: aplicando a expressão anterior para a soma, temos:
A situação levantada por Zenão é essencialmente a mesma: suponhamos que a distância a percorrer é L. Então, os intervalos a percorrer pelo atleta serão L/2, L/4, L/8 ..., que são os termos de uma progressão geométrica de razão 1/2, cuja soma é a seguinte:
Isto é, não há qualquer problema em subdividir o espaço infinitamente.
Uma progressão particularmente intuitiva é 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 ... Parece claro que se tomarmos a primeira metade da unidade e, em seguida, metade do que resta, e então metade do que resta, e assim até "ao infinito", acabamos tendo toda a unidade:
12 1
11
2
S
1
2...12 4 8 2 12
nn
LL L L L
L
A B
1/2 1/4 1/8
1/16
1/32
E o tempo?
Se a velocidade do atleta é v (que, por comodidade, iremos considerar constante), o tempo que leva a percorrer o primeiro intervalo será L/2v, o segundo L/4v, e assim por diante. Zenão neste ponto considera que o corredor nunca poderá atingir a meta porque percorrer um número infinito intervalos levaria um tempo infinito. Mas está equivocado: se somarmos todos os tempos, tem-se:
que é uma quantidade tempo finita.
Conclusão
A não ser que alguma razão nos impeça, se aceitarmos a continuidade do espaço, devemos aceitar a do tempo, o que nos autoriza a percorrer um número infinito de intervalos espaciais num espaço de tempo finito.Deve notar-se que os cálculos anteriores não demostram que o movimento seja possível, mas que o argumento de Zenão não é correto.
1
2...12 4 8 2 12
nn
LL L L L Lvv v v v v
O mundo físico
Até agora temos falado em termos puramente matemáticos. Mas o
que diz a Física? Diz que ainda que não conheçamos a
microestrutura detalhada do espaço-tempo sabemos que não pode
ser cortado ilimitadamente. Para observar um detalhe é necessário
um comprimento de onda menor do que o próprio detalhe. Para
que o comprimento de onda seja menor deve aumentar-se a
energia, mas isso só pode ser feito até um certo limite, pois
alcançado este limite, a concentração de energia produziria um
buraco negro. O comprimento em que isto acontece, o mais baixo
possível, é conhecido como constante de Plank. O tempo de
Plank é o tempo que a luz leva para atravessar essa distância.
Uma vez que nada viaja mais rápido do que a luz, este é o tempo
mínimo possível. Abaixo desta distância e deste tempo nada pode
ser observado e a realidade deixa de fazer sentido.
Se isto é verdade (não nos esqueçamos que estamos a falar de física
e, portanto, de teorias), estaríamos num espaço-tempo discreto e o
paradoxo de Zenão desvanecer-se-ia automaticamente uma vez que,
como vimos, o argumento de Zenão parte da suposição de um
espaço infinitamente divisível.
Uma variante
Antes de chegar ao ponto médio de A e B, isto é, I1, o corredor deve
chegar ao ponto médio de A e I1, isto é, I2. E antes de chegar a I2
deveria atingir o ponto médio de A e I2, isto é, I3. Repetindo o
processo indefinidamente mergulharíamos o corredor numa estranha
imobilidade, pois antes de alcançar qualquer ponto do percurso
deveria ter passado por um número infinito de outros pontos.
In Epsilones
Auguries of InnocenceTo see a world in a grain of
sand,And a heaven in a wild
flower,Hold infinity in the palm of
your hand,And eternity in an hour.
[...]
William Blake, Auguries of Innocence.
Bibliografia:
Novo Espaço
Matemática A -11º ano
Autores: Belmiro Costa | Ermelinda Rodrigues
Infinito 11
Matemática A -11º ano
Autores: Ana Maria Brito Jorge| Conceição Barroso Alves | Cristina Cruchinho
Gabriela Fonseca | Judite Barbedo| Manuela Simões
Sebastião e Silva, Compêndio de Álgebra, 1º tomo – 6º ano
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm45/restartaruga.htm (página
consultada em 22/3/2013)
Epsilones - autor: Alberto Rodríguez Santos| http://www.epsilones.com/ (página
consultada em 31/12/2012)
Material publicado sob Licença Creative Commons da Casa das Ciências
Maria José Guimarães Vaz da Costa