CURSO DE GRADUAO EM

ENGENHARIA ELTRICA

3 SEMESTRE

Atividades Prticas supervisionadasDisciplina: Clculo II

DANILO HENRIQUE DE SOUZA

RA: 8094903200

EDUARDO FERREIRA

RA: 8491228288FELIPE FELICIANO DA PAIXO

RA: 8486208002

LEANDRO DO SANTOS DE OLIVEIRA

RA: 8492177957

NIVALDO OLIVEIRA DA SILVA

RA: 8412168313

TIAGO VELOSO ARAUJO

RA: 9858517514ATPS Clculo IIOSASCO SPAbril de 2015CURSO DE GRADUAO EM

ENGENHARIA ELTRICA

3 SEMESTRE

Atividades Prticas supervisionadasDisciplina: Clculo II

ATPS Clculo IITrabalho desenvolvido para a disciplina de Clculo II, apresentado Anhanguera Educacional como exigncia para a avaliao na Atividade prticas supervisionadas sob orientao da tutora Carlota.

OSASCO SPAbril de 2015Sumrio

Introduo____________________________________________________________04Etapa 1

Passo 1________________________________________________________05

Passo 2________________________________________________________06

Passo 3________________________________________________________07

Passo 4________________________________________________________08Etapa 2

Passo 1________________________________________________________09

Passo 2________________________________________________________12

Passo 3________________________________________________________13

Passo 4________________________________________________________14Concluso____________________________________________________________15Referncias Bibliogrficas_______________________________________________16Introduo

A ATPS uma oportunidade nica e importante, em que os desafios aqui propostos buscam promover em todos ns, alunos, o senso de responsabilidade individual e coletivo.

Essa atividade ser importante para podermos verificar a aplicao da derivada inserida em conceitos bsicos da fsica e tambm em nosso cotidiano. Uma observao mais aprofundada sobre o conceito de derivao e um olhar mais amplo sobre a constante de Euler, que muito usada, mas que muitas vezes fica oculta no clculo matemtico. Realizaremos os passos a seguir. ETAPA 1

PASSO 1

Como sabemos existem muitas maneiras de descrever quo rapidamente algo se move: velocidade mdia e velocidade escalar mdia, ambas medidas sobre um intervalo de tempo t. Entretanto, a expresso quo rapidamente mais comumente se refere a quo rapidamente um partcula est se movendo em um dada instante sua velocidade instantnea ou simplesmente velocidade v.

A velocidade em qualquer instante de tempo obtida a partir da velocidade mdia reduzindo-se o intervalo de tempo t, fazendo-o tender a zero. medida que t reduzido, a velocidade mdia se aproxima de um valor limite, que a velocidade naquele instante: v=limt0xt= dxdt

Esta equao mostra duas caractersticas da velocidade instantnea v. Primeiro v a taxa na qual a posio da partcula x est em relao t. Segundo, v em qualquer instante a inclinao da curva (ou coeficiente angular da reta tangente curva) posio-tempo da partcula no ponto representando esse instante. A velocidade outra grandeza vetorial, e assim possui direo e sentido associados.

Em clculo a velocidade instantnea o nmero a que tendem as velocidades mdias quando o intervalo diminui de tamanho, isto , quando h torna-se cada vez menor. Definimos ento, velocidade instantnea = Limite, quando h tende a zero, de sa+h-s(a)h.Isso escrito de forma mais compacta usando a notao de limite, da seguinte maneira:Seja s(t) a posio no instante t. Ento, a velocidade instantnea em t = a definida como:velocidade instantnea em t=a= limh0sa+h-s(a)h

Em palavras, a velocidade instantnea de um objeto em um instante t = a dada pelo limite da velocidade mdia em um intervalo quando esse intervalo diminui em torno de a.As equaes utilizadas tanto em fsica como em calculo seguem a mesmo logica, sendo que em fsica utilizamos a derivada para descrever a posio da partcula dado sua posio em relao ao seu tempo expressada por dx (t)dt t=t0 em que dx e a denotao da funo posio ou espao e t a denotao da funo tempo.EXEMPLO:

Danilo = 0Eduardo = 8

Felipe

= 2

Leandro = 7

Nivaldo = 3

Tiago

= 4

a = 0 + 8 + 2 + 7 + 3 + 4 = 24 m/s

Funo: 24t-2Derivada: 24 PASSO 2Tempo(s)S(m) x T(s)V(m/s) x T(s)

024*0-2 = - 4824*0 = 0*-48=0

124*1-2 = -2424*1 = 24*1 = 24

224*2-2 = 024*2 = 48*2 = 96

324*3-2 = 2424*3 = 72*3 = 216

424*4-2 = 4824*4 = 96*4 = 384

524*5-2 = 7224*5 = 120*5 = 600

Usando o clculo da rea temos:

A = S => S = b.h => S = 5.10 = 50 = 25 m

PASSO 3

Quando a velocidade de uma partcula varia diz-se que a partcula sofre acelerao, para sabermos como ela est variando pegamos a sua velocidade e a derivamos em relao ao tempo sendo: a= dvdt, pois a acelerao da partcula em qualquer instante a taxa na qual sua velocidade est mudando naquele instante. Graficamente, a acelerao em qualquer ponto a inclinao da curva de v(t) naquele ponto. Em palavras, a acelerao de uma partcula em qualquer instante dada pela derivada segunda de sua posio x(t) em relao ao tempoa= dxdt= ddt dxdt= dxdt

Derivando velocidade em relao ao tempo:a= dvdta= 24t-2

a= 24.1-1

a=24PASSO 4

0*a24*0 = 00*0 = 0

1*a24*1 = 241*24 = 24

2*a24*2 = 962*96 = 192

3*a24*3 = 216 3*216 = 648

4*a24*4 = 384 4*384 = 1392

5*a24*5 = 6005*600 = 3000

Usando a frmula da rea temos:

A = V => V = b.h => V = 5.24 = 120 m/s

Sendo assim, se tentarmos obter as reas ponto a ponto chegaremos ao grfico de v (m/s) x t(s)

ETAPA 2PASSO1A constante de Euler-Mascheroni uma constante matemtica com mltiplas utilizaes em Teoria dos nmeros. Ela definida como o limite da diferena entre a srie harmnica e o logaritmo natural em que E(x) a parte inteira de x.

A demonstrao da existncia de um tal limite pode ser feita pela aplicao do mtodo da comparao srie-integral.

As aplicaes da constante incluem sua relao com a funo gama e a frmula da reflexo de Euler, alm da relao com a funo zeta de Riemann e com integrais e integraes imprprias da funo exponencial para determinados valores de valor aproximado As 100 primeiras decimais dessa constante so0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495Em 1781, Leonhard Euler obteve as 16 primeiras decimais graas ao mtodo de soma de Euler-Mac Laurin. Lorenzo Mascheroni determinou 32 decimais para a sua obra Geometria del compasso, que contribuiu a tornar conhecida a constante.A constante foi definida pela primeira vez pelo matemtico suo Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735. Euler usou a notao C para a constante, e inicialmente calculou seu valor at 6 casas decimais. Em 1761 Euler estendeu seus clculos, publicando um valor com 16 casas decimais. Em 1790 o matemtico italiano Lorenzo Mascheroni introduziu a notao para a constante, e tentou estender o clculo de Euler ainda mais, a 32 casas decimais, apesar de clculos subseqentes terem mostrado que ele cometera erros na 20 , 22 e 32 casas decimais. (Do 20 dgito, Mascheroni calculou 1811209008239.)

No se sabe se a constante de Euler-Mascheroni ou no um nmero racional. No entanto, anlises mostram que se for racional, seu denominador tem mais do que 10242080 dgitos.Tabela dos clculosn= 1hn=1 1=1 1h=1 h=1 h=1h 1e = lim (1+h)1/h (1+1)1 2h0

n=5 5=1 5h=1 h=1 h=0,2h 5e = lim (1+h)1/h (1+0,2)5 2,488h0

n=10 10=1 10h=1 h=1 h= 0,1h 10 e = lim (1+h)1/h (1+0,1)10 2,594h0

n=50 50=1 50h=1 h=1 h=0,02h 50e = lim (1+h)1/h (1+0,02)50 2,691h0

n=100 100=1 100h=1 h= 1 h=0,01h 100e = lim (1+h)1/h (1+0,01)100 2,705h0

n=500 500=1 500h=1 h= 1 h=0,002h 500e = lim (1+h)1/h (1+0,002)500 2,716h0

n=1000 1000=1 1000h=1 h= 1 h=0,001

h 1000e = lim (1+h)1/h (1+0,001)1000 2,717h0

n=5000 5000=1 5000h=1 h= 1 h= 0,0002h 5000e = lim (1+h)1/h (1+0,0002)5000 2,718h0

n=10000 10000=1 10000h=1 h= 1 h=0,0001 h 10000e = lim (1+h)1/h (1+0,0001)10000 2,718h0

n= 100000 100000=1 100000h=1 h= 1 h=0,00001 h 100000 e = lim (1+h)1/h (1+0,00001)100000 2,718h0

n= 1000000 1000000=1 1000000h=1 h= 1 h= 0,000001 h 1000000e = lim (1+h)1/h (1+0,000001)1000000 2,718h0

Tabela:

Valores de nAplicados n= 1 temos:h Aplicados e = lim (1+h)1/hh0

1 1 25 0,2 2,48810 0,1 2,59450 0,02 2,691100 0,01 2,705500 0,002 2,7161000 0,001 2,717

5000 0,0002 2,71810000 0,0001 2,718100000 0,00001 2,7181000000 0,000001 2,718PASSO 2 Sries Harmnicas

Srie harmnica (Fsica)

A srie harmnica (som gerador + notas agudas subsequentes) apresenta uma relao intervalar caracterstica e imutvel de origem natural ou fsica. Assim se tomarmos como exemplo uma corda de um violo (6 corda nota Mi Grave), notaremos que alm de vibrar em toda a sua extenso, tambm vibra em sua metade, em sua tera parte, em sua quarta parte e quinta parte etc., produzindo sons cada vez mais agudos.A vibrao da corda pode ser definida como ciclos ou Hertz (01 ciclo= a ida e volta da vibrao da corda).

As primeiras notas da srie harmnica (Fundamental at 6 nota) a partir do som gerador so notas com som mais forte, portanto consideradas consonantes, enquanto que a partir da 6 nota sucessiva (7 nota em diante) a srie comea a perder a fora e a formar intervalos cada vez mais dissonantes.

Srie harmnica (Msica)

Funciona da seguinte maneira se supuser uma nota fundamental a qual se quer montar sua escala, suponha D 263 Hz, para se achar as demais notas multiplica-se a frequncia de D por 1, 2, 3, 4, 5... Entretanto para se fazer um tratamento geral, deve-se partir do espectro completo ao qual se estruturou os instrumentos.

Srie harmnica (Matemtica)

O termo srie harmnico refere-se a uma serie infinita. Classificao quanto convergncia:* Srie convergente existe o limite e finito n=1na

* Srie divergente- existe o limite e infinito n=1na

* Srie oscilante- no existe o limiten=1|an|Srie harmnica (Progresso Geomtrica)

A soma dos infinitos termos de uma P.G. chamada de srie geomtrica e est bem definida quando |q| 0 ento sua soma mais infinito e se q 1e a1 < 0 sua soma menos infinito. A constante de Euler se relaciona com a progresso geomtrica e com srie harmnica na matemtica. A constante pode ser: como produto infinito. Srie infinita.

PASSO3

t = 8,

n = 50,

n(8) = 150 Nt=N . ert

N8=50. er8 150=50. er8 er8= 15050

er8=3lner8=ln3.

Como ln e exp so funes inversas uma da outra segue que:

r8=ln3 r= ln38 r= 0,137326.

Aplicando no tempo de 48 horas:

N48=50. e48 x 0,137326

N48=50. e6,591673

N48=36.449,59 PASSO 4

Relatrio: Na etapa 2 primeiramente foi falado sobre a constante de Euler, em seguida foi calculado os limites. Tambm falamos sobre sries harmnicas na msica, matemtica, fsica e progresso geomtrica tudo isso relacionado com a constante de Euler.No passo 3 foi calculado a quantidade de vrus em uma colnia aps 48 horas da ltima contagem e em seguida foi posto em um grfico os resultados dos clculos para ter a exata noo do crescimento da populao.

Concluso O objetivo deste trabalho foi aplicar fundamentos matemticos, como o conceito de derivadas e regra de derivao na fsica e em situaes do cotidiano para uma melhor anlise de uma tomada de deciso. Pesquisamos e calculamos a velocidade instantnea, acelerao mdia em nosso trabalho.

Aprendemos que aconstante de Euler-Mascheroni umaconstante matemticacom mltiplas utilizaes emTeoria dos nmeros.Podemos ver a srie harmnica na msica, na matemtica e na fsica e sobre somatria infinita de uma PG.

Visto como todos os clculos executados foram obtidos atravs de pesquisas e aplicao da matria que executamos em sala de aula. Esse entendimento foi construdo de forma gradual conforme o desenvolvimento do trabalho.

Referncias Bibliogrficas

PLT 2010 Clculo de uma varivel / Deborah Hughes-Hallett 3.ed. Rio de Janeiro: LTC 2008.

PLT 2009 Halliday, David, 1961 fundamentos de fsica v.1 : mecnica Rio de Janeiro : LTC, 2006.

https://docs.google.com/leaf?id=0B9WATR68YYLOYjlhMzdiY2UtZWM0ZS00NDU2LTlhMTItZWZkY2U4YWI5ZDli&hl=pt_BR.

https://docs.google.com/document/d/16FTUKsbSY13FTiOuPnOvKRlotcajgbPeYr_bFD17taU/edit?hl=pt_BR.

https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=explorer&chrome=true&srcid=0B9WATR68YYLONTZlNThiOTAtYmE4YS00NDEzLWJhM2YtYjUzYTU3NjQ5MzMz&hl=pt_BR.

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