Assunto: Integral DuplaA integrao dupla, em essncia, uma extenso natural da integral simples vista em Clculo I e denida como limite de somas de Riemann. Na prtica, a integrao dupla dada por duas integraes simples, cada uma efetuada sobre uma varivel e considerando as demais como constantes. o que denominamos de integrais interadas. Suas caractersticas e detalhes prprios sero vistas ao longo do nosso curso, nas prximas duas aulas1. Integral Dupla

Exerccios Resolvidos

1.1 2( x + 2)dydx0 0

12

( x + 2)y |

00

1( x + 2)2dx012( x + 2)dx0

x 21

2+ 2x |

2

0

5

2= 5

2

2.ey1

dxdy

x2+ y2

1 0

e1xy

arctg| dy

yy

10

e1(arctg1 arctg0)dy

y

1

e1 dy =edye

=Lny |

4y4

1y 411

[ln e ln 1]=

44

3. Clcule a rea retangular R

z

26

2

R

4

x

AR = dxdyR2 x 4

R

2 y 6

AR = 46 dydx

x =2 y=2

46

AR =y | dx

22

x=

AR = 46 2dx

x=2

AR = 44dx

x=2

4AR = 4x |

2AR =16 8 = 8

4. Determinar a rea da regio limitada pelas curvas y = x3e y = 4x no 1 Quadrante.

02y = x 3y = 4 x0

+ 2

x 3 4 x = 0

2

R =0 x 2

3 y 4 x

x

24 x

A =dydx

x =0 y =x 3

24 x

A = y |3 dx

0x

2x2x42

A = (4 x x3 )dx = 4|= 4

24

00

5. Determinar o volume do Slido limitado pelos planos coordenados pelo plano x + y + z = 3 no 1 octante.

333x = 0

Planos Coord. y = 0

z = 0

33x

V = (3 x y)dydx

x=0 y=0

3y 23x

V = 3 y xy

| dx

2

00

39x 2

V = 3x +

22dx

0

93x 2x33

V =x +|

226

0

V =2727+27

226

V =9u.v.

2

0 x 3R 0 y 3 x1. Determinar o volume do slido limitado por z = 4 x2 ; x = 0; y = 6; z = 0; y = 0 .

6z = 4 x2

4

2

6

R

2

26

V = 4 x 2 dydx

00

26

V = 4 y x 2 y | dx

00

2

V = 24 6x 2 dx

0

V = 24x 2x 36

|

0

V = 48 16

V = 32u.v.

3. Determinaro volume do slido limitado no 1 octante pelos cilindros

x 2 + y 2 = a 2 e x 2 + z 2 = a 2 .

a

z = a 2 x 2

4

R6

0a

2

x2+ y 2= a 2

0 x a R =0 y a2 x2aa 2 x2

V = a2 x2 dydx

x=0y=0

aa2 x2

V = a2 x2| dx

x=00

V = a a2 x2 a2 x2 dx

x=0V = a a2 x2dxx=0V = a2 x x3 a| 3 0V = a3 a33

V =3a3a3=2a3u.v.

33

2. Determinar o volume do slido limitado superiormente porz = 2x + y + 4 e

inferiormente porz = x y + 2e lateralmente pela superfcie definida pelo contorno

da regio D limitada pelas curvasy = x24 e y =x22 .

2

= x2 4

y

Dx2

y= 2

2

0 x 2

x2

R2

x 4 y 2

2

4 Quad.

z1= 2x + y + 4

z2= x y + 2

2x22

2

V = ( z1 z2 )dydx

0x2 4

V = 2x22

2(3 x + 2 y + 2)dydx

0x2 4

2x22

2

V = (3 x + 2 y + 2)dydx

0x2 4

x2

22

(3 xy + y2 + 2 y)2

V =| dx

x2 4

0

V = 2 3x43x3+5x2 +6x 8dx

4

02

3x53x45x32

V = ++3x2 8x |

583

0

V =966 +40+12 16

5

3

V =338u.v.

15

TRABALHO DE CALCULO III

INTEGRAL DUPLACURSO:ENGENHARIA ELTRICA TURMA: 403 NOITE

FRANCISCO MENEZES DE JESUS NECO RA: 7089576401

NITEROI 2014