Apresentao do PowerPoint

UNIVERSIDADE GUARULHOS ENGENHARIA MECNICAVIBRAES MECNICASPROF. ENG. VICENTE CARLOS DAVINO CHIOVATTO OUTUBRO 201312JUSTIFICATIVA

Vibraes presente nas plantas industriais

Erros de projeto

Desgaste das mquinas

Mquinas vibratrias

Sistemas de controle

Automao

Sistemas mecnicos

importante que todo o engenheiro mecnico domine ambos os temas. 3OBJETIVOS

O aluno dever:

medir, analisar, diagnosticar e corrigir problemas vibratrios em mquinas, utilizar tcnicas de anlise de vibraes em manuteno preditiva,

estabelecer requisitos de projeto que incluam considerao de dinmica estrutural.

conhecer os fundamentos da teoria de controle de sistemas mecnicos. 4METODOLOGIA abordagem didtica:

aulas expositivas

exerccios

visualizaes (internet)

trabalhos individuais e em grupo, seminrios,

palestras,

avaliaes. 5Requer formao bsica em: Matemtica:

Clculo diferencial e integral lgebra linear Equaes diferenciais, Sries de Fourier Transformadas de Fourier e Laplace Fsica:

Acstica Mecnica geral.

Mecnica dos Slidos 6BIBLIOGRAFIA Bsica

Notas de aula de Vibraes Mecnicas, Prof. Humberto Camargo Piccoli (www2.ee.furg.br/piccoli) Thomson, W.T., Teoria da vibrao com aplicaes, Editora Intercincia, Rio de Janeiro, 1978. Almeida, M.T., Vibraes mecnicas para engenheiros, Editora Edgard Blcher, So Paulo, 1990. Complementar Den Hartog, J.P., Vibraes nos sistemas mecnicos, Editora Edgard Blcher, So Paulo, 1972. Dimarogonas, A., Vibration for Engineers, 2 Ed., Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, USA, 1996. Groehs, A.G., Mecnica vibratria, Editora Unisinos, So Leopoldo, RS, 1999. Prodonoff, V. Vibraes mecnicas, simulao e anlise, Maity Comunicao e Editora, Rio de Janeiro, 1990. Rao, S.S., Mechanical vibrations, 2 Ed., Addison Wesley, Reading, Massachusetts, USA, 1990 7IntroduoA vibrao est presente j nos primeiros tempos da Histria da Humanidade. Instrumentos rudimentares, como apitos e tambores, tm no seu princpio de funcionamento um problema vibratrio como essncia.

Estes instrumentos tiveram muita importncia entre os povos primitivos como meios de comunicao.

Mais tarde, instrumentos musicais (percusso, cordas, metais, etc.) foram concebidos aproveitando movimentos vibratrios, geradores de ondas sonoras8A vibrao pode ser utilizada com proveito em vrias aplicaes industriais, testes de materiais, processos de usinagem e soldagem.

Nas aplicaes industriais destacam-se as esteiras transportadoras, as peneiras, os compactadores, os misturadores, as mquinas de lavar, que utilizam a vibrao em seu princpio de funcionamento.

A Figura 1 mostra uma gama de situaes onde a presena da vibrao um fato.9FENOMENOS DA VIBRAO EM NOSSOS CORPOSFundamentao TericaVibrao ou oscilao:

qualquer movimento que se repete, regular ou irregularmente, depois de um intervalo de tempo.

Assim, para o perfeito entendimento deste tipo de movimento, torna-se necessrio o estudo do movimento de oscilao de um corpo em torno de uma posio de equilbrio, bem como das foras e/ou momentos a ele associadosDe um modo geral, a vibrao consiste em movimento inerente aos corpos dotados de massa e elasticidade.

O corpo humano possui caractersticas de inrcia e elasticidade que lhe conferem valores de frequncia natural distintos, relativos a cada uma de suas partes10Se uma frequncia externa coincide coma frequncia natural do sistema, ocorre a ressonncia, que implica em amplificao do movimento.

Assim, a energia vibratria associada a esse efeito absorvida pelo corpo, como consequncia da atenuao promovida pelos tecidos e rgos .

As vibraes transmitidas ao corpo humano podem ser classificadas em dois tipos, de acordo com a regio do corpo atingida:

- Vibraes de Corpo Inteiro

- Vibraes de Extremidades11Vibraes de Corpo Inteiro:

So vibraes transmitidas ao corpo como um todo, geralmente por meio da superfcie de suporte, tal como p, costas ndegas de um ser humano sentado, ou na rea de suporte de uma pessoa reclinada . So de baixa frequncia e alta amplitude e situam-se na faixa de 1 a 80 Hz, mais especificamente de 1 a 20 Hz. Estas vibraes so especficas para atividades de transporte, tais como caminho, trator, empilhadeira, nibus, trem, entre outros e so afetas norma ISO 2631.

12Vibraes de Extremidades: (tambm conhecidas como segmentais, localizadas ou de mos e braos):

so vibraes que atingem certas partes do corpo, principalmente mos, braos e outros .

Estas vibraes so as mais estudadas, situam-se na faixa de 6,3 a 1250 Hz, ocorrendo nos trabalhos com ferramentas manuais (operador de martelete pneumtico, operador de lixadeira, operador de motosserra, entre outros) e so normatizadas pela ISSO 5349.

13Na avaliao ocupacional da vibrao, vrios fatores influenciam na caracterizao do risco, entre os quais se destacam: amplitude da vibrao, sua frequncia, sua direo e o tempo de exposio do trabalhador.

Os principais parmetros relacionados com a amplitude da vibrao so: nvel de pico, nvel pico a pico e o nvel rms

14O nvel rms, ou valor eficaz, o parmetro mais adequado para a avaliao da vibrao, sendo definido de acordo com a equao:

onde aw(t) a acelerao ponderada em m/s2 no movimento vibratrio de translao, ou rad/s2 no rotacional e t o tempo de durao da medio em segundos.15A sensibilidade humana s vibraes diferente nas diversas faixas de frequncia.

Assim, na avaliao ocupacional os valores das aceleraes so ponderados, ou corrigidos, em funo da frequncia, dos eixos espaciais x, y e z e do tipo de vibrao (extremidades e corpo inteiro).A Tabela identifica os fatores de ponderao e na Figura so apresentadas as curvas para determinao destes fatores

Identificao dos fatores de ponderao e suas aplicaes16

abFatores de ponderao na frequncia (a) Vibraes de extremidades Fatores de ponderao na frequncia (b) Vibrao de corpo inteiro.17Direo e Medio da Vibrao

Como j mencionado anteriormente, a vibrao ocorre em diversos postos de trabalho e rene-se em dois grupos que so denominados de Vibrao de Corpo Inteiro e Vibraes de Extremidades (mos e braos).

Portanto, durante a avaliao ocupacional do agente vibrao devem ser observadas as orientaes de norma para a medio e registro dos valores de acelerao rms, ponderadas nas direes dos eixos ortogonais x, y e z.

Direes de medio de vibrao do corpo humano, segundo a norma ISO 2631.18Por outro lado, quando se trata de vibraes de extremidade a indicao feita de acordo com o que mostrado na Figura

Direo de medio de vibrao da mo, segundo a norma ISO 5349.O medidor de vibrao o instrumento responsvel pelo processamento dos dados captados pelo acelermetro.Na avaliao ocupacional, normalmente utiliza-se instrumento porttil, que atenda s especificaes da norma ISO 8041, devendo este equipamento ser do tipo 1 ou 2

Medidores Portteis de Vibrao.19Durante o processo de medio da vibrao, o acelermetro montado em adaptadores. Na vibrao de corpo inteiro, o acelermetro tri-axial montado em um adaptador de assento, conforme mostrado na Figura (a),

Na medio de vibrao de moe brao, o acelermetro deve ser montado na superfcie vibrante utilizando-se adaptadores adequados, destacando-se entre eles os adaptadores de mo e debloco Figura (b).20Efeitos Sobre a SadeVibrao de Corpo InteiroOs efeitos observados em grupos expostos a condies graves de vibrao foram:

21Vibraes de Mo e Brao (Extremidades)Efeitos Sobre a Sade

Os principais efeitos devidos exposio vibrao no sistema mo-brao podem ser de ordem vascular, neurolgica, steoarticular e muscular. Figura (a) vibraes de frequncia menores que 30 Hz e que atingem o punho, cotovelo e o ombroE as perturbaes vasculares, que so identificadas como Doena de Raynaud, caractersticas de vibraes de frequncia entre 40 e 125 Hz e que provocam sintomas como: formigamento, entorpecimento, palidez, picada, queimadura, cianose e gangrena Figura (b).22Limites de Tolerncia

Vibrao de Corpo Inteiro

Atualmente, o limite de tolerncia para a vibrao de corpo inteiro estabelecido apenas tendo por base os limites para efeitos sobre a sade e conforto, excluindo se o conceito de proficincia reduzida pela fadiga, em conformidade com a norma ISO 2631. Em seu anexo B, a referida norma estabelece um guia de efeitos sade conforme a Fig . Esse guia apresenta recomendaes baseadas principalmente em exposies na faixa de 4 a 8 horas, para pessoas sentadas (eixo z). Por outro lado, a experincia na aplicao dessa parte da norma limitada para os eixos x e y (pessoa sentada) e para todos os eixos nas posies em p, deitada, ou inclinada. Figura

23Medidas de Controle

As medidas de controle devero ser adotadas sempre que for verificado risco potencial e/ou evidente sade.

Tais medidas devero, de preferncia, ser de proteo coletiva e tero carter construtivo, operacional, organizacional e a utilizao de equipamentos de proteo individual (EPI).

As medidas de carter construtivo tm a ver com o projeto de mquinas, equipamentos e veculos, tal que os nveis de vibrao gerados sejam baixos, estabelecendo-se uma tcnica de controle na fonte.

Por outro lado, as medidas de carter operacional apoiam-se na tcnica de controle na trajetria e fazem a utilizao de isoladores e absorvedores dinmicos de vibrao.24Medidas Mdicas Preventivas

a) Qualquer trabalhador que possa ficar exposto vibrao de corpo inteiro, ou localizada, deve ser examinado fisicamente e ter um registro dequalquer histrico prvio;

b) Indivduos que usam equipamento vibratrio devem ser esclarecidos sobre o risco de exposio vibrao transmitida;

c) Providncias devem ser tomadas no sentido de estimular o relato de sintomas e, em intervalos regulares, efetivar a realizao de exames mdicos dos indivduos em risco;

d) Os indivduos com as condies mdicas seguintes podem estar em maior risco e devem ser avaliados cuidadosamente antes de usarem equipamento que vibre: Doena primria de Raynaud; Doena causada por dificuldades na circulao do sangue nas mos; Danos nas mos que causem dificuldades circulatrias; Desordens do sistema nervoso perifrico; Desordens do sistema25Medidas Tcnicas Preventivas

Quando for possvel a escolha entre diferentes processos, o processo que resulte na exposio do indivduo aos nveis mais baixos de vibrao dever ser o escolhido;

b) Quando for possvel a escolha entre diferentes ferramentas, aquela que resulte na exposio do indivduo aos nveis mais baixos de vibrao dever ser a escolhida;

c) Os equipamentos e ferramentas devem ser mantidos de acordo com as instrues dos fabricantes;

d) Devem ser evitadas as ferramentas com formas de empunhadura que resultam em presso alta na pele, na rea de contato;

e) Quando h escolha, devem ser selecionadas as ferramentas que requerem as menores foras de contato;

f) Utilizao de luvas anti-vibratrias, como definido na norma ISO 10819.26 SUMARIOFUNDAMENTOS DE VIBRAO

MODELAGEM DOS SISTEMAS MECNICOS

TEORIA DOS SISTEMAS COM 1 GRAU DE LIBERDADE

MEDIO DE VIBRAES

BALANCEAMENTO DE ROTORES

27

28Captulo II MODELAGEM DOS SISTEMAS MECNICOS INTRODUO

METODO DE NEWTON

METODO DO SISTEMA EQUIVALENTE

METODO DE ENERGIA

EXERCCIOS29CAPTULO IIII TEORIA DOS SISTEMAS COM 1 GRAU DE LIBERDADE Introduo Vibraes Livres No Amortecidas Mtodo de Rayleigh para a determinao de Freqncias Naturais Vibrao Livre Amortecida (Amortecimento Viscoso) - Sistemas sub-amortecido, criticamente amortecido e super-amortecido - Decremento Logartmico Vibraes Foradas Amortecidas Excitao Harmnica Excitao Harmnica Equao Diferencial do Movimento Sistema No Amortecido Sob Fora Harmnica 63 Fenmeno do Batimento 68 Sistema Amortecido sob Fora Harmnica Exerccios de Aplicao 30CAPTULO IV MEDIO DE VIBRAES Introduo Escolha do Instrumento de Medio Transdutores Transdutores Piezeltricos Transdutores EletrodinmicosTransformador Diferencial Linear Varivel (LVDT) Sensores de Vibrao (Pickups) Vibrmetro Acelermetro Sensor de Velocidade Medidores de Freqncia Estroboscpio Excitadores de Vibraes Excitadores Mecnicos Excitador Eletrodinmico31CAPTULO V BALANCEAMENTO DE ROTORES

Introduo Efeitos e Tipos de Desbalanceamento Rotores Rgidos e Rotores Flexveis Fundamentos Tericos Balanceamento de Campo (Esttico e Dinmico) Balanceamento Esttico de Campo Balanceamento Esttico com Medio de Fase Balanceamento Esttico sem Medio de Fase Balanceamento Dinmico de Campo Avaliao do Desbalanceamento Exemplos de Clculos 32Breve Histrico das Vibraes Pr-Histria: instrumentos rudimentares (percusso, cordas, metais)

Pitgoras de Samos (cerca de 570-497 AC):

mtodo racional de medir freqncias sonoras (origem do diapaso) pai da acstica experincias com martelos, cordas, tubos e placas - primeiro laboratrio de pesquisas

33Culturas grega e chinesa isocronismo do pndulo - Aristfanes (450-388 AC).

Herdoto (cerca de 484 a 425 a.C.) - transdutor de vibrao (um escudo coberto com uma fina camada de bronze)

Sismgrafo - China 132 d.C. Zhang Heng - pndulo de 3 m de comprimento, 2 metros de largura. Em Luoyang, ento capital da Dinastia Han (de 206 a.C. a 220 d.C.), registrou um terremoto ocorrido a cerca de 600 km de distncia (National Geographic Brasil, fevereiro de 2004).

34Galileu Galilei (1564-1642) (Pisa)

relao entre o comprimento do pndulo e o seu perodo de oscilao ressonncia entre dois corpos, relaes entre densidade, tenso, comprimento e frequncia de uma corda vibratria. Relao entre tonalidade sonora e a frequncia da vibrao do elemento vibrante

Robert Hooke (1635-1703) (Londres)

relaes entre tonalidade e freqncia Lei da Elasticidade (1676)

35John Wallis (1616-1703) (Ashford, Ing)

e Joseph Sauveur (1653-1716) (La Flche, Frana)

- formas modais (com ns) em cordas vibratrias.

Daniel Bernoulli (1700-1782) (Groningen, Holanda) princpio da superposio linear de harmnicas equao diferencial da vibrao lateral de barras prismticas para pequenas deformaes (1751)

36Leonhard Euler (1707-1783) (Basilia, Sua)

equao diferencial da vibrao lateral de barras prismticas para pequenas deformaes (1744)

Charles Augustin Coulomb (1736-1806) (Angoulme, Frana)

estudos tericos e experimentais sobre as oscilaes torcionais de um cilindro metlico suspenso por um arame (1784)

37PLACA DE CHLADNI Ernst Florenz Friedrich Chladni (1756-1827) (Wittengerg, Alemanha)

mtodo de espalhar areia sobre uma placa vibratria para encontrar as suas formas modais (1802) filme do youtube

Em 1809, Chladni fez demonstrao na Academia Francesa. Napoleo Bonaparte, presente 3000 francos para a teoria matemtica de vibrao de placas.

38Outubro de 1811, Marie-Sophie Germain (1776-1831) (Paris, Frana) se apresentou.

Mas Joseph-Louis Lagrange, (1736-1813) (Turim, Itlia) professor de Sophie - observou um erro nas equaes diferenciais. Outubro de 1813. Sophie apresentou novas equaes diferenciais. Os juzes exigiram uma justificativa fsica para as hipteses utilizadas na demonstrao da equao.

Em 1816, Sophie conseguiu ganhar o prmio. As condies de contorno estavam erradas, verificou-se posteriormente.

39As condies de contorno corretas foram apresentadas apenas em 1850, por Gustav Robert Kirchoff (1824-1887) (Knigsberg, Prssia)

John William Strutt, (3 Lord Rayleigh) (1842-1919) (Langford Grove, Inglaterra)

A Teoria do Som, 1877 Mtodo de Rayleigh - determinao da freqncia fundamental de vibrao de um sistema utilizando o princpio da conservao da energia.

H. Frahm 1902 - estudo da vibrao torcional no projeto de eixos propulsores de barcos a vapor. 1909 - absorvedor dinmico de vibrao (1911 Device for damping vibrations of bodies, US Patent 989958 40

Aurel Boleslav Stodola (1859-1942) (Repblica Checa)

mtodo de anlise de vibraes em vigas e ps de turbinas Stephen Timoshenko (1878-1972) (Ucrnia) e

Raymond David Mindlin (1906-1987) (Nova Iorque)

teorias de vibrao em vigas e placas.

41Vibraes no lineares

Jules Henri Poincar (1854-1912) (Nancy, Frana) e

Alexander Lyapunov (1857-1918) (Yaroslavl, Rssia).

Aps 1920, Duffing e Van der Pol teoria de vibraes no lineares

42Vibraes aleatrias

Albert Einstein (1879-1955) (Ulm, Alemanha), em 1905, movimento Browniano (movimento aleatrio de partculas macroscpicas num fluido como consequncia dos choques das molculas do fluido nas partculas).

funo de correlao 1920, Taylor, densidade espectral, incio da dcada de 30, por Wiener e Khinchin,

Lin e Rice 1943 e 1945, aplicao de vibraes aleatrias a problemas de engenharia 43APLICAO DE VIBRAES

Projetos de mquinas, fundaes, estruturas, motores, turbinas, sistemas de controle.

Balanceamento.

Manuteno preditiva monitoramento de condio Problemas em ps e rotores de turbinas. Fadiga em rotores. Desgaste em mancais e engrenagens. Unies desfeitas. Qualidade da usinagem acabamento superficial

Ressonncia (ver vdeos) Copo Helicptero Ponte de Tacoma Ponte Rio-Niteri Ponte na Rssia

Desconforto humano (veculos) Painis de instrumentos. 44A Importncia do Estudo das VibraesA maioria das atividades humanas envolve alguma forma de vibrao. Ns ouvimos porque o tmpano vibra, ns vemos porque ondas luminosas se propagam.

A respirao est associada vibrao dos pulmes, os batimentos cardacos so movimentos vibratrios do corao, a fala se fundamenta na vibrao das cordas vocais e os movimentos humanos envolvem oscilaes de braos e pernas.

Em muitos outros campos da atividade humana, fenmenos apresentam variveis cujo comportamento oscilatrio (economia, biologia, qumica, fsica, etc.).

No campo tecnolgico, as aplicaes de vibraes na engenharia so de grande importncia nos tempos atuais.

Projetos de mquinas, fundaes, estruturas, motores, turbinas, sistemas de controle, e outros, exigem que questes relacionadas a vibraes sejam levadas em conta.45Os primeiros estudos de vibraes em engenharia foram motivados pelo problema de balanceamento em motores.

O desbalanceamento pode ser tanto devido a problemas de projeto como fabricao e manuteno.

As rodas de locomotivas podem sair at um centmetro dos trilhos devido a desbalanceamento.

As estruturas projetadas para suportar mquinas centrfugas pesadas (motores, turbinas, bombas, compressores, etc.) tambm esto sujeitas vibrao.

A vibrao tambm causa desgaste mais rpido de mancais e engrenagens provocando rudo excessivo e nos processos de usinagem pode causar trepidao, conduzindo a um pobre acabamento superficial, por exemplo.46Sempre que a freqncia natural de vibrao de uma mquina ou estrutura coincide com a freqncia da fora externa atuante, ocorre um fenmeno conhecido como ressonncia, que leva a grandes deformaes e falhas mecnicas.

A literatura rica de exemplos de falhas em sistemas causados por vibraes excessivas em virtude de ressonncia. Um destes exemplos o da ponte de Tacoma Narrows (Fig.), nos Estados Unidos, inaugurada em julho de 1940, colapsou em 7 de novembro do mesmo ano quando entrou em ressonncia induzida pelo vento.

Figura Ponte de Tacoma Narrows durante vibrao induzida pelo vento (Reproduzido de Rao, S., Mechanical Vibrations, 4 th ed., PEARSON - Prentice Hall, 2003).47Em muitos sistemas de engenharia, o ser humano atua como parte integrante do mesmo. A transmisso de vibrao para o ser humano resulta em desconforto e perda de eficincia.

Vibraes de painis de instrumentos podem produzir mal funcionamento ou dificuldade de leitura de medidores. Portanto um dos propsitos importantes do estudo de vibrao a reduo dos nveis vibratrios atravs de projeto e montagem adequados de mquinas.

Nesta interface, o engenheiro mecnico tenta projetar a mquina para que a mesma apresente nveis vibratrios pequenos enquanto o engenheiro estrutural tenta projetar a base da mquina de forma a assegurar que o efeito da vibrao no se transmita.48A vibrao pode ser utilizada com proveito em vrias aplicaes industriais, testes de materiais, processos de usinagem e soldagem.

Nas aplicaes industriais destacam-se as esteiras transportadoras, as peneiras, os compactadores, os misturadores, as mquinas de lavar, que utilizam a vibrao em seu princpio de funcionamento.

A Fig. mostra uma gama de situaes onde a presena da vibrao um fato.

49Conceitos Bsicos sobre VibraoVibrao ou oscilao qualquer movimento que se repete, regular ou irregularmente, depois de um intervalo de tempo.

Assim, para o perfeito entendimento deste tipo de movimento, torna-se necessrio o estudo do movimento de oscilao de um corpo em torno de uma posio de equilbrio, bem como das foras e/ou momentos a ele associadas.

Em engenharia estes movimentos ocorrem em elementos de mquinas e nas estruturas em geral, quando submetidas a aes dinmicas. As vibraes podem ser classificadas das seguintes formas:a) Quanto Existncia ou No de Excitao:b) Quanto Existncia ou No de Amortecimentoc) Quanto Linearidade50Quanto Existncia ou No de Excitao:

Vibraes Livres (ou naturais): so causadas por condies iniciais de movimento, ou seja, deslocamento inicial e/ou velocidade inicial.

Vibraes Foradas: so causadas por uma fora ou torque externos; as oscilaes persistem durante a aplicao dos mesmos e, uma vez cessadas essas excitaes, o sistema entra em vibrao livre.b) Quanto Existncia ou No de Amortecimento:

Vibraes no Amortecidas: no h perda de energia. Se a vibrao for livre, no haver diminuio da amplitude da vibrao e o sistema vibrar indefinidamente. Se a vibrao for forada, a excitao repor energia no sistema, podendo ocorrer at aumento da amplitude da vibrao.

Vibraes Amortecidas: h perda de energia por atrito. Se a vibrao for livre, haver sempre diminuio da amplitude da vibrao e o sistema tender a parar na posio de equilbrio. Se a vibrao for forada, poder haver ou no diminuio da amplitude da vibrao, porque a excitao repe energia no sistema.51c) Quanto Linearidade:

Vibraes Lineares: obedecem ao Princpio da Superposio dos Efeitos, ou seja, existe uma proporcionalidade entre excitao e resposta.

Vibraes No-Lineares: no obedecem ao Princpio da Superposio.52No sistema linear existe proporcionalidade entre causa (excitao) e efeito (resposta).

Se todos os componentes do sistema elstico comportarem-se linearmente, dizemos que a vibrao linear e o problema pode ser atacado com o procedimento indicado na Fig.

Princpio da superposio dos efeitos.

No caso de vibrao linear, o modelo matemtico composto por um sistema de equaes diferenciais ordinrias lineares, EDOLs, de fcil soluo analtica.

53J no caso de vibrao no-linear, o modelo matemtico composto por um sistema de EDO no-L, de difcil ou mesmo impossvel soluo analtica. No caso no-linear, podemos atacar o problema de acordo com o procedimento ilustrado na Fig. Procedimento de anlise para

54c) Quanto Previsibilidade de Ocorrncia:

Vibraes Determinsticas: a magnitude da excitao conhecida para qualquer tempo dado, ento, a resposta previsvel e denominada determinstica .

Excitao determinstica

Excitao Aleatria

Vibraes Aleatrias: a magnitude da excitao em um dado tempo no pode ser determinada e, neste caso, a resposta aleatria, ou seja, ela somente pode ser descrita em termos de quantidades estatsticas .

55Componentes Elementares de um Sistema Vibratrio

Os sistemas vibratrios podem ser agrupados em discretos e contnuos.

Os sistemas discretos so aqueles que podem ser subdivididos em partes de forma que cada uma delas possua um determinado nmero de graus de liberdade, levando a um nmero finito de graus de liberdade do sistema global, sendo tambm chamados de sistemas com parmetros concentrados.

Os sistemas contnuos no podem ser divididos, possuindo um nmero infinito de graus de liberdade sendo tambm conhecidos como sistemas com parmetros distribudos.Para que o movimento vibratrio de um sistema seja perfeitamente descrito (posio, velocidade, acelerao) torna-se necessrio que se escolha um sistema de coordenadas.

Ento, em relao a este sistema de referncia, escolhido de forma arbitrria, o nmero mnimo de coordenadas independentes necessrias para descrever completamente o movimento de todas as partes que compem o sistema vibratrio denominado de Graus de Liberdade. A FiGURA mostra exemplos esquemticos de sistemas com um, dois e trs graus de liberdade.

56

57As propriedades mais importantes dos sistemas mecnicos sob o aspecto da vibrao so a elasticidade, a inrcia e o amortecimento. Isso porque a vibrao , em essncia, um processo de troca de energia mecnica, nas formas de energia cintica (associada velocidade) e energia potencial (associada deformao e gravidade).

A elasticidade uma caracterstica que se relaciona com a capacidade do sistema de armazenar energia potencial elstica.

A inrcia, por sua vez, se liga capacidade de armazenamento de energia cintica e, tambm, energia potencial gravitacional.

O amortecimento, finalmente, provoca as perdas de energia em funo das resistncias passivas provocadas pelo atrito.

Resumindo, em um sistema vibratrio de parmetros concentrados podemos classificar os elementos que o compem segundo a forma com que manipulam a energia mecnica:58 massas ou inrcias: armazenam energia potencial gravitacional (associada posio) e energia cintica (associada velocidade), sendo que esta ltima pode ser de translao e/ou de rotao; em muitos casos a energia potencial gravitacional pode ser desprezada em comparao com a energia cintica; molas: armazenam energia potencial elstica, associada deformao elstica que o corpo sofre;

amortecedores: dissipam energia mecnica sob forma de calor e/ou som.A vibrao de um sistema envolve a converso de energia potencial em energia cintica e vice-versa.

Se o sistema for amortecido, alguma energia dissipada em cada ciclo de vibrao, a qual deve ser reposta por uma fonte externa se um estado de vibrao permanente deva ser mantido.59Na Fig. o movimento do pndulo representado por dois sistemas de coordenadas. No primeiro, so necessrias duas coordenadas para determinar exatamente a posio do pndulo (x e y), sua velocidade e sua acelerao.

No segundo sistema apenas a coordenada , representa completamente a posio do pndulo, sua velocidade e sua acelerao. Nada impede que o sistema xy seja utilizado.

Apenas o mesmo apresentar um nmero de equaes maior que o sistema mais simples. Nele deve ser includa a equao de restrio (condio de contorno) x2 + y2 = l2. J com a utilizao de , apenas uma equao descrever o movimento do sistema.

Este sistema apresenta um nmero mnimo de coordenadas, igual ao nmero de graus de liberdade, necessrias a representar completamente o movimento do sistema.

, por isto, chamado de sistema de coordenadas generalizadas.

O nmero de graus de liberdade sempre igual ao nmero de coordenadas utilizado menos o numero de equaes de restrio

. Assim sendo, um movimento descrito em um sistema de coordenadas generalizadas no apresenta equaes de restrio.60

Sistemas de coordenadas no movimento do pndulo.61Etapas da Anlise Dinmica

A Fig. apresenta, de forma esquemtica o ciclo de etapas que so desenvolvidas para a realizao da anlise dinmica.

Nesta anlise destaca-se as 4 etapas seguintes: modelagem fsica, modelagem matemtica, soluo do modelo matemtico e interpretao dos resultados.

62Modelagem fsica:

o objetivo da modelagem fsica representar esquematicamente todas as caractersticas importantes do sistema, visando deduzir as equaes que descrevem o seu comportamento. Deve haver um compromisso entre simplicidade do modelo e a preciso obtida, ou seja, o modelo deve ser o mais simples possvel, porm mantendo as caractersticas principais do sistema.b) Modelagem Matemtica:

nesta etapa feita a deduo do conjunto de equaes diferenciais que constituem o modelo matemtico do sistema mecnico. Para isso, utilizamos tcnicas apresentadas em dinmica dos corpos rgidos: 2a Lei de Newton, Princpio de DAlembert, Conservao da Energia e Equaes de Lagrange.c) Soluo do Modelo Matemtico:

esta uma etapa puramente matemtica. Consiste em resolver o sistema de equaes diferenciais que compem o modelo matemtico. Em geral, as equaes diferenciais so ordinrias lineares de 2a ordem e esto acopladas entre si, ou seja, as variveis dependentes e suas derivadas aparecem em mais de uma equao. Os mtodos utilizados so: Clssico, Transformada de Laplace e Numrico.63d) Interpretao dos Resultados:

a interpretao dos resultados consiste em comparar as solues obtidas teoricamente com dados obtidos a partir da observao experimental.

Tal interpretao facilitada atravs da simulao numrica em computador, quando podemos alterar dados do sistema e repetir vrias vezes a soluo do modelo matemtico at encontrar um modelo que esteja mais prximo da realidade. Assim, se os resultados forem bons, podemos aceitar o modelo.

Se no forem prximos da realidade, devemos voltar etapa (a) e refazer todo o procedimento.64A ttulo de exemplo, a Fig. mostra trs modelos fsicos para um mesmo sistema, ou seja, motocicleta + motociclista.

Na Fig. (a) temos um modelo fsico bastante simplificado com apenas 1 GDL, o deslocamento vertical da massa equivalente, a qual representa s massas das rodas, da motocicleta e do motociclista;

na fig. (b) a quantidade de GDL aumentou para 4: os deslocamentos verticais das massas e a rotao da massa que engloba a moto + motociclista em torno de um eixo horizontal perpendicular ao plano do papel e passando pelo centro de massa do conjunto; finalmente,

na fig. (c), temos acrescentado, em relao ao modelo da fig. (b), mais 1 GDL, que o deslocamento vertical do corpo do motociclista, perfazendo um total de 5 GDL.

Esse ltimo modelo est mais prximo da realidade do que os anteriores.65

Figura - Modelagem fsica de um sistema motocicleta + motociclista.

Nos modelos fsicos dos sistemas mecnicos, como visto anteriormente, as propriedades so representadas por elementos de parmetros concentrados.

Assim, visando dar informaes necessrias para a obteno do modelo matemtico, cada um desses elementos ser detalhadamente discutido a seguir.

Em sistemas com parmetros concentrados, considera-se que a mola no possui nenhum mecanismo de dissipao de energia e nem massa.

Trata-se, portanto, de uma representao fsica que nada tem a ver com o elemento mecnico mola, pois este por si s pode ser representado pelos trs elementos bsicos usados no modelo fsico do sistema, ou seja, mola, amortecedor e massa. As molas podem ser translacionais ou torcionais.66PRXIMA AULA CONTINUAO676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154