DINÂMICA DAS

MÁQUINAS

PROFª: MICHELE RAMOS

micheleramosc@gmail.com

VETORES

ESCALAR:

São aquelas que ficam completamente definidas por apenas um número

real. Sempre acompanhadas de uma unidade de medida adequada.

EX: Comprimento, volume, área, massa (3m, 10 dm³, 30ºC)

VETORES

VETORIAL:

São aquelas que não ficam completamente definidas pelo seu módulo, ou

seja, pelo número com sua unidade correspondente. Se caracterizam pela

necessidade de conhecer seu módulo (ou comprimento ou intensidade), sua

direção ou seu sentido.

EX: Força, velocidade, aceleração.

SOMA VETORIAL

A soma de dois vetores não nulos.

Permite achar um vetor perpendicular a outros dois dados

Útil na construção de sistemas de coordenadas

zyx

zyx

xyyx

zxxz

yzzy

vvv

uuu

kji

vuvu

vuvu

vuvu

vu

u

v u×v

.

PRODUTO VETORIAL (3D)

TRANSLAÇÃO:

Ocorre quando todo segmento de reta no corpo mantém-se paralelo à sua

direção inicial, durante o movimento.

TRANSLAÇÃO RETILÍNEA:

Quando as trajetórias de quaisquer dois

pontos do corpo ocorrem ao longo de retas

eqüidistantes.

TRANSLAÇÃO CURVILÍNEA: Quando as trajetórias se dão ao longo de

linhas curvas que são eqüidistantes.

(Mecanismos Planos, Engrenagens, Cames, etc)

MOVIMENTO DE CORPO RÍGIDO

ROTAÇÃO:

Ocorre Quando um corpo rígido gira em torno de

um eixo fixo. Assim, todos os seus pontos, exceto

os situados no eixo de rotação, movem-se ao

longo de trajetórias circulares.

MOVIMENTO PLANO GERAL:

Ocorre quando o corpo executa uma combinação de

uma translação e de uma rotação.

A translação ocorre num dado plano de referência e

a rotação ocorre em torno de um eixo perpendicular

a esse plano de referência.

(Mecanismos Planos, Engrenagens, Cames, etc)

MOVIMENTO DE CORPO RÍGIDO

Translação

Curvilínea Movimento

Plano Geral

Translação

Retilínea Rotação em Torno de

um Eixo

(Mecanismos Planos, Engrenagens, Cames, etc)

MOVIMENTO DE CORPO RÍGIDO

ABAB /rrr

ABAB /rrr

AB vv

a) Deslocamento

b) Velocidade

AB aa

c) Aceleração

OBSERVAÇÃO: todos os pontos

de um corpo rígido em movimento

de translação têm a mesma

velocidade e a mesma aceleração.

TRANSLAÇÃO

Os ocupantes deste brinquedo estão submetidos a uma

translação curvilínea, pois o veículo se move numa trajetória

circular, mantendo sempre sua posição na horizontal.

Todos os ocupantes estão com a mesma velocidade e sentem a

mesma aceleração.

Posição Angular de r

É definida pelo ângulo , medido de uma linha de referência

fixa até r.

Deslocamento Angular

É a mudança de posição angular, que pode ser medida como um

vetor de infinitesimal d.

Velocidade Angular ()

É a taxa de variação da posição angular.

(rad/s)

dt

d

ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO

Aceleração Angular ()

Mede a taxa temporal de variação da velocidade angular.

dt

d

dt

d

dt

d

dd

tdtddtddt

dc

t

occc

00

Velocidade angular em função do tempo:

Posição angular em função do tempo:

22

)(

2

00

2

00

0000

tt

tt

tdtdtddttdtdt

d

cc

t

oc

t

occ

Velocidade angular em função da posição angular:

)(2

)()(2

1

020

2

020

2

00

c

ccc dddd

ACELERAÇÃO ANGULAR

CONSTANTE

A velocidade de P tem módulo que pode ser

obtido a partir de suas coordenadas polares

rvrvr

Como r é constante, a componente radial vr

=0 e, portanto

rvv

Pelo fato de que , então

rv

Como mostram as figuras, a direção de v é

tangente à trajetória circular.

VELOCIDADE DO PONTO P

Da definição de produto vetorial, vemos que o vetor v também

pode ser obtido pelo produto vetorial de por r

rωr v

O sentido de v é estabelecido pela

regra da mão direita

A ordem dos vetores no produto deve

ser mantida. A ordem trocada fornece

r=-v

A aceleração de P pode ser expressa em termos

de suas componentes normal e tangencial

radt

rd

dt

dva tt

)(

O vetor at representa a taxa de variação temporal da

velocidade escalar. Se a velocidade escalar de P está

aumentando então at tem sentido de v. Se a velocidade está

diminuindo at tem sentido oposto de v. Se a velocidade é

constante at é zero.

O vetor an representa a taxa de variação temporal da

direção da velocidade. Este vetor é sempre voltado para o

centro O.

rar

rva nn

222 )(

ACELERAÇÃO DO Ponto P

Usando formulação vetorial, a aceleração de P também pode ser

definida diferenciando o vetor velocidade:

Pode ser mostrado que a equação acima reduz-se a:

r-rαaaa2ωnt

O módulo de a é dado por: 22nt aaa

rrωωa

rαa

2)(

n

t

dt

d

dt

d

dt

d

dt

d rωr

ωrω

va

vωrαa

rωωrαa

Movimento Angular:

- Estabeleça um sentido positivo ao longo do eixo de rotação

- Conhecendo uma relação entre duas das quatro variáveis , , e t, uma

terceira variável pode ser determinada usando-se uma das seguintes

equações cinemáticas que relacionam todas as variáveis:

dt

d

dt

d dd

- Se a aceleração do corpo for constante, então as seguintes equações podem

ser usadas:

tc 0 2

2

00

tt c )(2 0

20

2 c

PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE

Movimento de P:

- Em muitos casos, a velocidade de P e os dois componentes da sua

aceleração podem ser determinados pelas equações escalares:

rv rat ran2

- Se a geometria do problema for de difícil visualização, as seguintes

equações vetoriais poderão ser usadas:

rω v rαa t rrωωa2)( n

O vetor r está contido no plano de movimento de P. Qualquer um desses

vetores, bem como e , devem ser expressos em termos de seus

componentes i, j, k.

Características do Movimento em alguns Elementos de Máquinas

2211 rrvP

A velocidade escalar é dada por:

A aceleração tangencial do ponto P no

contato entre as engrenagens também é

a mesma para as duas engrenagens:

2211 rrat

Características do movimento de um ponto P localizado no contato entre as

engrenagens

Um comprimento s da correia deve se desenrolar tanto para a polia

maior quanto para a polia menor num mesmo intervalo de tempo

(desde que a correia não escorregue). Logo:

2211

2211

rrv

rrs

2211 rrat

A velocidade do ponto P na correia é a

mesma para cada ponto na correia.

A aceleração tangencial do ponto P na correia é a mesma para cada

ponto na correia.

POLIAS E CORREIAS

Enrola-se um cabo em torno de um disco inicialmente

em repouso, como indica a figura. Aplica-se uma

força ao cabo, que então adquire uma aceleração

a=(4t)m/s2, onde t é dado em segundos. Determine

como funções do tempo:

(a) a velocidade angular do disco e

(b) a posição angular do segmento OP, em radianos.

EXERCÍCIO

Dados do Problema:

2) Pede-se:

mrtae PPt2,0;4;00 00

?? PP e

2/202,0

*4* srd

t

r

ara P

P

P

PPPPt

t

t t

P

t

PPPP

P srdtttdtdtddt

d

0 0

2

0

2

0

/102

2020

t t

P

t

PPPP

P rdtttdtdtddt

d

0 0

3

0

3

0

33,33

1010

SOLUÇÃO

Usa-se o motor para girar uma roda com

suas pás no interior do equipamento

mostrado na foto.

Os detalhes estão na figura abaixo à direita.

Se a polia A conectada ao motor inicia seu

movimento a partir do repouso, com uma

aceleração angular A=2 rad/s2, determine

os módulos da velocidade e da aceleração

do ponto P da roda B, após esta ter

completado uma revolução.

Suponha que a correia de transmissão não

escorregue na polia e nem na roda.

EXERCÍCIO

Dados do Problema:

Pede-se:

00;4,015,0

1;/2;00

00

00

2

BBBA

AAAA

emrmr

revsrdeC

?? PP aev

rdA 28,62*1

rdr

rrr B

B

AABBBAA 36,2

4,0

15,0.28,6.

Como não há deslizamento da correia:

2/885,04,0

15,0.36,2. srd

r

rrr

CCCCC B

B

AABBBAA

SOLUÇÃO

00

222

BBBBB C

smvvrv PPBBP /82,04,0*044,2

A velocidade do ponto P é:

222 /67,14,0*044,2 smarann PBBP

Sendo a aceleração angular constante, tem-se:

srdBBBB C/044,236,2*885,0*22

A aceleração do ponto P é obtida das duas componentes de aceleração:

2/354,04,0*885,0 smaratCt PBBP

22222 /71,167,1354,0 smaaaa PPPP nt

O mecanismo para movimentação

do vidro da janela de um carro é

mostrado na figura ao lado.

Quando a manivela é acionada

gera-se o movimento da

engrenagem C, que gira a

engrenagem S, fazendo com que

a barra AB nela conectada eleve o

vidro D. Se a manivela gira a 0,5

rd/s, determine a velocidade dos

pontos A e E, nas suas trajetórias

circulares e a velocidade Vw da

janela quando ϴ igual a 30 graus.

EXERCÍCIO

Dados do Problema:

Pede-se:

mmBA

mmrmmrsrd SCC

200

;50;20;/5,0 2

?? wEA vevvtt

srdr

rrr S

S

CCSSSCC /2,0

50

20.5,0.

Como a velocidade tangencial nas engrenagens é a mesma:

smvvvv AASEA /04,02,0*2,0 BA*

Como os pontos A e E têm movimento de translação

circular, suas velocidades são:

smvvv WAW /035,0)04,0)cos(* ocos(30*

SOLUÇÃO