Aula 04

RACIOCÍNIO LÓGICO PARA TRIBUNAIS PROFESSOR: VÍTOR MENEZE SANTANA

Prof.Vítor Menezes Santana www.pontodosconcursos.com.br 1

AULA 4 – Probabilidade

I. PROBABILIDADE ....................................................................... 2

1. Introdução ................................................................................ 2

2. Abordagem frequentista da probabilidade ................................ 7

3. Probabilidade condicional ......................................................... 9

4. Fórmula da probabilidade condicional ..................................... 15

5. Probabilidade da união de dois eventos .................................. 27

6. Probabilidade do evento complementar .................................. 38

7. Teorema da probabilidade total .............................................. 50

8. Teorema de Bayes ................................................................... 59

9. Probabilidade e análise combinatória ..................................... 74

II. QUADRO RESUMO ................................................................... 95

III. LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSO ................................... 96

IV. GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSO .......................... 115



I. PROBABILIDADE

1. Introdução

Probabilidade tem relação com a chance de um evento ocorrer.

Passaremos longe, muito longe de uma definição adequada de probabilidade. Vamos dar duas definições. A primeira nos diz que a probabilidade é a relação entre número de casos favoráveis e número de casos possíveis. Não é uma definição correta, mas nosso propósito aqui é apenas resolver questões de concurso, mesmo que para isso tenhamos que deixar um pouco de lado o rigor matemático.

Em seguida, melhoraremos um pouco nossa definição, adotando a abordagem frequentista da probabilidade.

Quando falamos em probabilidade, podemos basicamente pensar em casos favoráveis e casos possíveis. Sim, apenas isto: casos favoráveis e casos possíveis.

Vejamos o exemplo do lançamento de um dado.

Queremos calcular a probabilidade de sair um número múltiplo de três. Então a pergunta é: qual a probabilidade de sair um número múltiplo de três quando se lança um dado de seis faces?

A questão é de probabilidade. Probabilidade lembra casos favoráveis e casos possíveis.

Casos possíveis são todos aqueles que podem ocorrer. No lançamento de um dado, podemos obter os seguintes resultados:

Casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Casos favoráveis são todos aqueles em que estamos interessados. Neste exemplo, estamos interessados nos múltiplos de três.

Casos favoráveis: 3, 6.

Para resolver o problema, primeiro contamos quantos são os casos favoráveis.

Quantos são os múltiplos de três presentes nas faces de um dado?

Resposta: são dois os múltiplos de três presentes nas faces de um dado (o número 3 e o número 6).

Depois contamos quantos são os casos possíveis.



Quantos são os casos possíveis no lançamento de um dado?

Resposta: são seis os casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6).

A probabilidade será obtida dividindo o número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis. Ficaria assim:

62

__

=⇒= PpossíveiscasosfavoráveiscasosP

Estou usando a letra P para indicar a probabilidade.

Vimos que a probabilidade de sair um número múltiplo de três em um lançamento de um dado é de dois sextos.

O conjunto com todos os casos possíveis é chamado de espaço amostral. No caso do lançamento do dado, o espaço amostral é:

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Repetindo: espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis.

Chamamos de evento a qualquer subconjunto de um espaço amostral. Geralmente os eventos servem para designar um resultado em particular.

No caso acima estávamos interessados nos resultados que são múltiplos de três. Esses eram os nossos casos favoráveis. A esse resultado em particular, qual seja, “sair múltiplo de três”, chamamos de evento.

Neste caso, o evento “sair múltiplo de três” corresponde ao seguinte conjunto:

{3, 6}

Veja como o evento é um subconjunto do espaço amostral.

Com essa noção de espaço amostral e de evento, em vez de dizermos que a probabilidade de um dado evento é a relação entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, podemos dizer que é a relação entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral.

amostralespaçodoelementosdenumeroeventodoelementosdenumero

possiveiscasosdenumerofavoraveiscasosdenumeroP

_________

______

==

A probabilidade só pode ser definida como a relação entre casos favoráveis e casos possíveis (ou ainda, como a relação entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral) quando todos os casos têm a mesma chance de ocorrer. A resolução acima só é válida se o dado for “honesto”. Ou seja, se for um dado simétrico e de material homogêneo.



Quando dizemos que o dado é “honesto”, estamos considerando que, em um lançamento qualquer, a probabilidade de sair a face de número 1 é igual à probabilidade de sair a face de número 4, de número 6, ou qualquer outra. Costumamos dizer que todas as faces são equiprováveis (ou seja, têm a mesma chance de ocorrer).

Como já dissemos, é comum se utilizar a expressão “evento” para designar um resultado em particular. Assim, no lançamento de um dado, o evento “sair o número 1” tem a mesma probabilidade do evento “sair o número 2”, que por sua vez tem a mesma probabilidade do evento “sair o número 3”, e assim por diante. Todos esses eventos são equiprováveis.

Aí vem a pergunta: e se todos os casos não tiverem a mesma chance de ocorrer? E se o dado não for honesto? E se a probabilidade de sair “1” for diferente da probabilidade de sair “2”?

Resposta: bom, deixemos isto para depois (daqui a pouco na verdade). Para contornar este tipo de problema, utilizaremos a já mencionada abordagem frequentista da probabilidade.

Por enquanto, vamos apenas ficar com esta noção de casos favoráveis e possíveis, o que já ajuda bastante a resolvermos questões de concursos públicos.

Antes de continuarmos com a teoria, vou responder a uma pergunta em que provavelmente vocês estão pensando.

Pergunta: Mas professor, você disse que essa explicação sobre probabilidade não é adequada. Por quê?

Resposta: Em primeiro lugar, nem todas as situações de aplicação da probabilidade podem ser resumidas a casos possíveis e casos favoráveis. Imagine que queremos calcular qual a probabilidade de, no dia 19/03/2011, a ação da empresa alfa subir. Não dá para transformar esse problema numa situação de número casos possíveis e favoráveis.

Acontece que os problemas em que dá para contar quantos são os casos possíveis e quantos são os casos favoráveis são os mais fáceis para gente começar a se acostumar com probabilidade. Por isso, de início, vamos focar apenas neles. Ou então, “dar um jeitinho” para que a questão possa ser interpretada como uma relação entre casos favoráveis e possíveis.

Outro problema da explicação dada é o que segue. Dissemos que probabilidade é igual à divisão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis quando todos os casos têm a mesma probabilidade de ocorrer.

Ou seja, na própria definição de probabilidade estamos usando o conceito de probabilidade. Que raio de definição é essa? Se utilizarmos na definição o conceito que pretendemos definir, não estamos definindo nada.



Novamente, deixemos esses problemas de lado.

Antes de passarmos para os exercícios, só um alerta. Quando usamos as expressões “casos favoráveis”/”casos desfavoráveis” (ou ainda: sucessos e fracassos), estamos apenas nos referindo aos casos em que estamos ou não interessados. Não estamos fazendo qualquer juízo de valor. Não nos preocupamos se estamos diante de algo bom ou ruim, certo ou errado.

Para melhor visualização, considere um estudo sobre a relação entre a utilização de um produto e o desenvolvimento de câncer. Queremos saber qual a probabilidade de uma cobaia que utilizou o produto por tempo prolongado ter a doença. Nessa situação, os casos favoráveis (=sucesso) seriam aqueles em que a cobaia adquiriu a doença, independentemente de se considerar que contrair câncer seja bom ou ruim. Ok?

Continuemos com a matéria.

EC 1. AUGE MG 2009 [CESPE]

Em um departamento de determinada empresa, 30% das mulheres são casadas, 40% solteiras, 20% divorciadas e 10% viúvas. Considerando a situação hipotética acima, é correto afirmar que a probabilidade de uma mulher

A) ser solteira ou divorciada é 0,50.

B) ser solteira é 0,50.

C) ser casada ou solteira é 0,60.

D) ser divorciada ou viúva é 0,40.

E) não ser casada é 0,70.

Resolução:

Podemos supor que são 100 mulheres na empresa, sendo 30 casadas, 40 solteiras, 20 divorciadas e 10 viúvas.

Letra A:

Casos favoráveis: 40 solteiras mais 20 divorciadas = 60

Casos possíveis: 100

probabilidade: 6,010060

=

Letra B.

Casos favoráveis: 40 solteiras





=

Letra C.

Casos favoráveis: 40 solteiras mais 30 solteiras = 70



=

Letra D.

Casos favoráveis: 20 divorciadas mais 10 viúvas = 30


Probabilidade: 3,010030

=

Letra E.

Vamos calcular a probabilidade de a mulher ser casada:

Casos favoráveis: 30 casadas



=

Se a probabilidade de a mulher ser casada é de 30%, então a probabilidade de ela não ser casada é de 70%.

Gabarito: E

EC 2. TRT 21ª REGIÃO 2010 [CESPE]

Suponha que determinado partido político pretenda ter candidatos próprios para os cargos de governador, senador e deputado federal e que tenha, hoje, 5 possíveis nomes para o cargo de governador, 7 para o cargo de senador e 12 para o cargo de deputado federal. Como todos os pré-candidatos são muito bons, o partido decidiu que a escolha da chapa (governador, senador e deputado federal) será por sorteio. Considerando que todos os nomes têm chances iguais de serem escolhidos, julgue os itens seguintes.

Considerando que José seja um dos pré-candidatos ao cargo de governador, a probabilidade de que José esteja na chapa sorteada será maior que 0,1.



Resolução:

Há 5 candidatos a governador (5 casos possíveis). Queremos calcular a probabilidade de José ser escolhido (1 caso favorável). A probabilidade fica:

15 0,2

Gabarito: certo.

2. Abordagem frequentista da probabilidade

Quando um experimento pode ser repetido inúmeras vezes, dizemos que a probabilidade corresponde à frequência relativa que seria obtida com a repetição do experimento.

Exemplo: seja A o evento que ocorre quando, lançando um dado honesto, obtemos a face 2.

Queremos calcular a probabilidade de A.

?

Quando lançamos um dado inúmeras vezes, é razoável esperar que cada face saia em 1/6 das vezes. Quanto mais vezes lançamos, mais a frequência relativa associada à face 2 se aproxima de 1/6.

Idealmente, se lançássemos o dado infinitas vezes, a frequência relativa seria igual a 1/6.

Por isso dizemos que a probabilidade de A é 1/6.

16

⇒ PROBABILIDADE – ABORDAGEM FREQUENTISTA

A probabilidade corresponde à frequência relativa que seria obtida em um número muito grande de experimentos.

EC 3. MPOG 2010 [ESAF]

Um viajante, a caminho de determinada cidade, deparou-se com uma bifurcação onde estão três meninos e não sabe que caminho tomar. Admita que estes três meninos, ao se lhes perguntar algo, um responde sempre falando a verdade, um sempre mente e o outro mente em 50% das vezes e consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes. O viajante perguntou a um dos três meninos escolhido ao acaso qual era o caminho para a cidade e ele respondeu que era o da direita. Se ele fizer a



mesma pergunta a um outro menino escolhido ao acaso entre os dois restantes, qual a probabilidade de ele também responder que é o caminho da direita?

a) 1.

b) 2/3.

c) 1/2.

d) 1/3.

e) 1/4.

Resolução:

Imaginemos que vários viajantes passem regularmente por esta bifurcação, e que eles nunca saibam qual o caminho correto.

Esta situação aconteceu durante 60 dias seguidos. Nestes 60 dias, vamos ver como se comportam os meninos.

Seja A o menino que sempre diz a verdade, B o menino que sempre mente e C o menino que pode tanto dizer a verdade quanto mentir.

As possíveis maneiras de escolhermos os dois meninos são: AB, AC, BA, BC, CA, CB.

Todas estas combinações são equiprováveis.

Nestes 60 dias, temos:

- AB ocorreu 10 vezes

- AC ocorreu 10 vezes

- BA ocorreu 10 vezes

- BC ocorreu 10 vezes

- CA ocorreu 10 vezes

- CB ocorreu 10 vezes

Como C pode tanto mentir quanto dizer a verdade, então, em 50% das vezes em que ele foi escolhido, ele disse a mesma coisa que o outro menino escolhido. E, nas outras 50% das vezes, ele disse o contrário do que o outro menino escolhido.

Vamos detalhar melhor então o que acontece nos dias em que C foi escolhido:



- AB ocorreu 10 vezes em todas as 10 vezes A e B dão respostas contrárias.

- AC ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas iguais - em 5 vezes eles dão respostas contrárias

- BA ocorreu 10 vezes em todas as 10 vezes A e B dão respostas contrárias.

- BC ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas iguais - em 5 vezes eles dão respostas contrárias

- CA ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas iguais - em 5 vezes eles dão respostas contrárias

- CB ocorreu 10 vezes - em 5 vezes eles dão respostas iguais - em 5 vezes eles dão respostas contrárias

Assim, nestas 60 vezes, em 20 ocorrem respostas iguais. Logo, a probabilidade de duas respostas iguais é de:

31

6020

==P

Gabarito: D

3. Probabilidade condicional

Voltemos ao nosso dado de seis faces. É o mesmo dado honesto, de material homogêneo. Só que agora vamos pintar as faces. As faces terão as seguintes cores:

Cor azul: faces 1 e 2.

Cor verde: faces 3, 4, 5 e 6.

Maria lançou esse nosso dado. João não viu o resultado e quer calcular qual a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3.

Pergunta: Qual a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3?

Resposta: 62

.

É exatamente o mesmo problema visto anteriormente. Todas as faces têm a mesma chance de sair. Os casos favoráveis são: 3 e 6. Os casos possíveis são: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. A probabilidade fica:



62

__


Ok, agora vamos mudar um pouco o problema. Maria lançou esse nosso dado. João não viu o resultado. Maria fala para João: “Saiu uma face de cor verde”.

Aí está a grande diferença: agora João sabe que saiu uma face verde. É uma informação nova! Esta informação vai mudar completamente o cálculo. Isto porque já sabemos, com certeza, que não saiu uma face azul.

Queremos calcular a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3 sabendo que a face que saiu é verde. Esta questão pode ser enunciada como:

Qual a probabilidade do resultado do lançamento ser múltiplo de três dadoque saiu uma face verde?

Ou seja, a informação de que saiu uma face verde é dada, é sabida. É uma informação conhecida e que deve ser usada.

Se fôssemos escrever os casos possíveis, teríamos:

Casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Observe que mudaram os casos possíveis. Isto porque sabemos que não é possível terem saído os números 1 e 2. Temos certeza de que o resultado foi o de uma face verde.

Já os casos favoráveis são os mesmos. Continuamos interessados nas faces 3 e 6. E estas duas faces podem ter saído, dado que ambas são da cor verde.

Casos favoráveis: 3,6.

Fazendo o cálculo, temos:

Número de casos possíveis: 4

Número de casos favoráveis: 2

E a probabilidade fica:

42

__


A probabilidade agora é de dois quartos. Note como uma informação nova alterou o cálculo da probabilidade. Dizemos que a probabilidade é condicional porque teve uma condição a ser obedecida. Não era simplesmente calcular a probabilidade de sair um múltiplo de 3. Foi dada uma condição, uma informação nova. Justamente esta condição alterou o cálculo da probabilidade.



Agora vejamos alguns exercícios para aplicarmos o que acabamos de aprender.

EC 4. TRT 2ª REGIÃO 2008 [FCC]

O número de peças vendidas diariamente numa loja pode ser considerada como uma variável aleatória X com a seguinte distribuição de probabilidades:

Sabendo que em um determinado dia o número de peças vendidas não foi nulo, então a probabilidade de ter sido inferior a 4 é igual a

(A) 75,00%

(B) 80,00%

(C) 93,75%

(D) 95,25%

(E) 96,35%

Resolução:

Adotando a abordagem frequentista da probabilidade, temos que:

- em 20% dos dias, não são vendidas peças.

- em 25% dos dias, é vendida 1 peça

- em 40% dos dias, são vendidas 2 peças

- em 10% dos dias, são vendidas 3 peças

- em 5% dos dias, são vendidas 4 peças.

Assim, a cada 100 dias, temos:

- 20 dias com 0 peças vendidas

- 25 dias com 1 peça vendida



- 5 dias com 4 peças vendidas.



Escolhe-se um dia aleatoriamente. É dado que, neste dia, o número de peças vendidas foi diferente de zero. Com isso, revemos nossos casos possíveis:





- 5 dias com 4 peças vendidas.

São 80 dias possíveis.

Pede-se a probabilidade de o número de peças vendidas ser inferior a 4. Estão nesta situação os seguintes dias:




São 75 casos favoráveis.

A probabilidade fica:

7580 93,75%

Gabarito: C

EC 5. TJ PI 2009 [FCC]

As unidades de televisores vendidas diariamente em uma loja apresentam a seguinte distribuição de probabilidades de ocorrência de vendas de n unidades:

Em um determinado dia, sabendo-se que ocorreu a venda de pelo menos um televisor, a probabilidade de ter sido inferior a 4 unidades é de

(A) 3/4

(B) 11/15

(C) 5/8

(D) 7/8

(E) 9/10



Resolução:

Problema muito semelhante ao anterior.

A soma de todas as probabilidade é sempre igual a 1.

Logo:

2 4 5 3 116 1

116

A cada 16 dias, temos:

- 1 dia com venda de 0 unidades.

- 2 dias com venda de 1 unidade.

- 4 dias com venda de 2 unidades




Escolhe-se um dia aleatoriamente. São 16 dias possíveis.

É dado que no dia escolhido houve venda de pelo menos uma unidade. Com isso, revemos nossos casos possíveis:

- 1 dia com venda de 0 unidades.






São 15 casos possíveis.

Estamos interessados nos dias com venda de menos de 4 unidades. Casos favoráveis:








1115

Gabarito: B

EC 6. INMETRO 2010 [CESPE]

As fábricas A, B e C, que produzem determinado dispositivo X, integram uma mesma empresa. A tabela abaixo mostra a participação percentual de cada fábrica na produção desse dispositivo. Apesar de o consumidor do dispositivo X não saber de qual fábrica ele originou, sabe-se que 90% dos consumidores estão satisfeitos quando ele é fabricado em A, 80% estão satisfeitos quando ele é fabricado em B e 60% estão satisfeitos quando sua produção é na fábrica C, conforme a tabela seguinte.

Se determinado consumidor está satisfeito com o produto X, então a probabilidade de o produto ter sido produzido na fábrica A é igual a

A 0,67.

B 0,60.

C 0,20.

D 0,12.

E 0,06.

Resolução:

Vamos supor que são fabricados100 produtos X.

De acordo com a tabela, podemos dizer que:

A fabrica 10 produtos (=10% de 100).

B fabrica 60 produtos (=60% de 100)

C fabrica 30 produtos (30% de 100).



Em A, 9 produtos vão resultar em satisfação dos clientes (90% de 10).

Em B, 48 produtos vão resultar em satisfação dos clientes (80% de 60).

Em C, 18 produtos vão resultar em satisfação dos clientes (60% de 30).

Reunindo tudo isso em uma tabela: Fábrica Produtos que vão gerar

satisfação Produtos que não vão gerar satisfação

A 9 1 B 48 12 C 18 12 Total 75 25

É dado que o produto em questão gerou satisfação. Fábrica Produtos que vão gerar

satisfação Produtos que não vão gerar satisfação

A 9 1B 48 12 C 18 12 Total 75 25

A probabilidade de o produto ter sido fabricado em A é:

975 12%

Gabarito: D

4. Fórmula da probabilidade condicional

Outra forma de resolver exercícios de probabilidade condicional é por meio de uma fórmula.

Considere o lançamento de um dado. Antes de ver o resultado, queremos calcular a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3. Qual a probabilidade deste evento?

A probabilidade é de 2/6. Certo? Temos dois casos favoráveis (3 e 6) em seis casos possíveis.

Vamos mudar um pouco o exemplo. O dado é lançado. Antes de vermos o resultado, alguém nos informa: saiu um número maior que 4.

Pronto. Agora temos uma informação nova.

Queremos calcular a probabilidade de ter saído um múltiplo de 3 DADO que saiu um número maior que 4. Temos uma informação nova, que devemos utilizar.



Agora a probabilidade muda. Temos apenas dois casos possíveis (5 e 6). E, dentre os casos possíveis, apenas um nos é favorável (6). Neste segundo caso, a probabilidade é igual a 1/2.

Se fôssemos resumir isto em uma fórmula, ficaria assim:

)()()|(

BPBAPBAP ∩

=

Nosso espaço amostral pode ser representado pelo seguinte conjunto:

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Temos dois eventos.

Se lançarmos o dado e obtivermos uma face múltipla de 3, temos o evento ‘A’. O evento ‘A’ é um subconjunto do espaço amostral.

A = {3, 6}

Se lançarmos o dado e obtivermos uma face maior que 4, temos o evento ‘B’.

B = {5, 6}.

A intersecção dos dois conjuntos acima é dada por:

A ∩ B = {6}

O símbolo que parece um ‘U’ de cabeça para baixo indica a intersecção. Neste exemplo, está associado ao resultado do lançamento do dado que é, simultaneamente, maior que 4 e múltiplo de 3.

As probabilidades relacionadas são:

- é a probabilidade de o evento A ocorrer.

- é a probabilidade de o evento B ocorrer.

- é a probabilidade de A e B ocorrerem simultaneamente. O símbolo que parece um “U” de cabeça para baixo indica intersecção. Ou seja, estamos interessados nos casos em que os dois eventos ocorrem simultaneamente.

- | é a probabilidade de o evento A ocorrer, DADO que o evento B ocorreu. É a probabilidade de A, condicionada ao acontecimento de B.

No caso do lançamento do dado, ficamos com:

62)( =AP (casos favoráveis: 3, 6; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6)

62)( =BP (casos favoráveis: 5, 6; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6)

61)( =∩ BAP (caso favorável: 6 – só o número 6 é, ao mesmo tempo,

maior que 4 e múltiplo de 3; casos possíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6)



Aplicando a fórmula:

)()()|(

BPBAPBAP ∩

=

21

62

61)|( =÷=BAP

Portanto, a probabilidade de sair um múltiplo de 3 dado que saiu um número maior que 4 é de 50%.

Um diagrama destes conjuntos ajuda a entender melhor a fórmula.

O nosso espaço amostral é representado pelo retângulo azul. Nele, temos todos os possíveis resultados do lançamento do dado {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Dentro do espaço amostral temos dois conjuntos destacados. O conjunto vermelho representa o evento A (múltiplos de 3). O conjunto verde representa o evento B (maiores que 4).

É dado que o resultado do lançamento do dado é maior que 4. Ou seja, já sabemos que o resultado, qualquer que seja, deve estar dentro do conjunto verde.

Todos os resultados fora do conjunto verde são descartados. É como se a condição estabelecida modificasse nosso espaço amostral.

Nosso espaço amostral modificado se reduziria ao conjunto verde.



Agora, a única possibilidade de o evento A ter ocorrido corresponde ao número que, além de ser múltiplo de 3, também é maior que 4. Ou seja, corresponde ao elemento que está na intersecção entre A e B.

Ou seja, temos uma condição (o resultado é maior que 4, ou seja, ocorreu o evento B). Graças a esta condição, os casos favoráveis estão relacionados à intersecção e os casos possíveis estão relacionados ao conjunto B.

Logo, a probabilidade fica “casos favoráveis” sobre “casos possíveis”.



Vou indicar por “n( )” o número de elementos de cada conjunto.

A probabilidade condicional fica:

)()()|(

BnBAnBAP ∩

=

Dividindo o numerador e o denominador pelo número de elementos do espaço amostral (S):

)()()()()|(

SnBnSnBAnBAP

÷÷∩

=

O que conduz a:

)()()|(

BPBAPBAP ∩

=

Dizemos que o evento ‘A’ é independente do evento ‘B’ quando)()|( APBAP = . Ou seja, o fato de ‘B’ ter ocorrido não influi em nada na

probabilidade de ‘A’.

⇒

FÓRMULA DA PROBABILIDADE CONDICIONAL:

)()()|(

BPBAPBAP ∩

=

Se A e B são independentes, então:

)()|( APBAP = e )()|( BPABP =

É interessante observar que, a partir da fórmula da probabilidade condicional, podemos chegar à fórmula da probabilidade da intersecção de dois eventos:

)()|()()(

)()|( BPBAPBAPBP

BAPBAP ×=∩⇒∩

=

⇒ PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE DOIS EVENTOS

Um resultado interessante para eventos independentes é o seguinte:

|

| (I)

Mas, se os eventos são independentes, então o fato de B ocorrer não altera a probabilidade de A:

| (II)

Substituindo II em I:

|



Ou seja, quando dois eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é o produto das probabilidades.

⇒

ATENÇÃO:

Se A e B são independentes, então:

Para eventos independentes, a probabilidade da intersecção é o produto das probabilidades.

EC 7. STN 2008 [ESAF]

Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se:

a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula

b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A.

c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B.

d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A.

e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1.

Resolução:

Aplicação direta do conceito visto acima.

Gabarito: D

EC 8. CGU/2008 [ESAF]

A e B são eventos independentes se:

a) )()()( BPAPBAP +=∩

b) )()()( BPAPBAP ÷=∩

c) )()()( BPAPBAP −=∩

d) )()()( ABPAPBAP +=∩

e) )()()( BPAPBAP ×=∩

Resolução:

Aplicação direta da fórmula vista.



Gabarito: E.

EC 9. CEB 2009 [UNIVERSA]

Anemia ferropriva é o tipo de anemia mais comum e é causada pela deficiência de ferro (sideropénia). Nesse tipo de anemia, a ingestão de ferro está menor que o mínimo necessário para as atividades do organismo que precisam de ferro. Considere um estudo de anemia ferropriva realizado que gerou os seguintes dados:

O Valor Preditivo Positivo (VPP) é a probabilidade de o indivíduo ser portador da doença, dado que o exame (teste) deu positivo. Para os resultados do estudo sobre anemia ferropriva, tem-se que VPP é igual a

(A) 0,38

(B) 0,47

(C) 0,63

(D) 0,70

(E) 0,88

Resolução:

Se tivéssemos que calcular apenas a probabilidade de o indivíduo ter a doença, teríamos:

Casos favoráveis: 80 (são 80 doentes).

Aqui cabe um comentário. Quando usamos a expressão “casos favoráveis”, estamos indicando os casos em que temos interesse. Não há qualquer juízo de valor (bom/ruim, certo/errado, etc). Não estamos dizendo que ter a doença seja algo bom ou ruim, certo? Apenas indicamos que nosso interesse recai sobre aqueles que estão doentes.

Continuando.

Casos possíveis: 260 (são 260 pessoas ao todo).

A probabilidade seria:

80260

Contudo, foi dada uma condição. É dado que o teste deu positivo.



Com isso, devemos descartar as pessoas para as quais o teste deu negativo, pois elas não obedecem à condição informada.

Agora temos 70 doentes em 100 pessoas. A probabilidade condicional fica:

70100 70%

Gabarito: D

Poderíamos também ter usado a fórmula da probabilidade condicional.

Seja A o evento que ocorre quando, selecionando uma pessoa aleatoriamente, ela tem a doença.

Seja B o evento que ocorre quando, selecionando uma pessoa aleatoriamente, seu teste deu positivo.

Temos:

80260100260

70260

Ficamos com:

|70/260

100/260 70%

EC 10. TCE ES 2004 [CESPE]

Considere que dois controladores de recursos públicos de um tribunal de contas estadual serão escolhidos para auditar as contas de determinada empresa estatal e que, devido às suas qualificações técnicas, a probabilidade de José ser escolhido para essa tarefa seja de 3/8, enquanto a probabilidade de Carlos ser escolhido seja de 5/8. Em face dessas considerações, julgue os itens subseqüentes.



1. Considere que, na certeza de que Carlos tenha sido escolhido, a probabilidade de José ser escolhido é 1/5. Nessas condições, a probabilidade de José e Carlos serem ambos escolhidos é menor que 1/4 .

Resolução:

O exercício forneceu as seguintes probabilidades:

8/3)( =JoseP

8/5)( =CarlosP

5/1)( =CarlosJoseP

A pergunta é:

?)( =∩CarlosJoseP

Aplicando a fórmula da probabilidade da intersecção, temos:

)()()( CarlosJosePCarlosPCarlosJoseP ×=∩

81

51

85)( =×=∩CarlosJoseP

Gabarito: certo

Outra forma de resolução seria assim. A cada 8 auditorias, temos:

- Carlos é escolhido em 5 (assim, a probabilidade de ele participar de uma auditoria qualquer é 5/8).

- Das 5 auditorias em que Carlos participa, em 1 delas o José também participa (assim, a probabilidade de José participar, dado que Carlos participa, é de 1/5).

Assim, dessas oito auditorias, José e Carlos participam conjuntamente de 1 auditoria.

Logo, a probabilidade de ambos serem escolhidos é de 1/8.



EC 11. INSS 2008 [CESPE]

De acordo com dados do IBGE, em 2007, 6,4% da população brasileira tinha 65 anos de idade ou mais e, em 2050, essa parcela, que constitui o grupo de idosos, corresponderá a 18,8% da população. Com base nessas informações e nas apresentadas na tabela acima, julgue os itens seguintes.

1. Se, em 2050, três pessoas da população brasileira forem escolhidas ao acaso, a probabilidade de todas elas terem até 59 anos de idade é inferior a 0,4.

2. Considere-se que, em 2050, serão aleatoriamente selecionados três indivíduos, um após o outro, do grupo de pessoas que compõem a parcela da população brasileira com 15 anos de idade ou mais. Nessa situação, a probabilidade de que apenas o terceiro indivíduo escolhido tenha pelo menos 65 anos de idade será superior a 0,5 e inferior a 0,6.

Resolução:

Segundo a tabela, a probabilidade de uma pessoa ter 60 anos ou mais é de 24,7%. Logo, a probabilidade de a pessoa ter até 59 anos de idade é de 75,3% (= 100% – 24,7%)

Seja A o evento que ocorre quando a primeira pessoa escolhida tem 59 anos ou menos. Seja B o evento que ocorre quando a segunda pessoa escolhida tem 59 anos ou menos. Seja C o evento que ocorre quando a terceira pessoa escolhida tem 59 anos ou menos. Queremos a probabilidade da intersecção de A, B e C.



Se o conjunto universo tivesse apenas 30 pessoas e, destas, 15 tivessem menos de 59 anos, teríamos que os eventos A, B e C não são independentes.

A probabilidade de “A” seria de 3015

, pois seriam 15 pessoas com idades

menores ou iguais a 59 anos, num total de 30.

A probabilidade de “B” dependeria do resultado da primeira pessoa escolhida. Se a primeira pessoa tiver idade menor ou igual a 59 anos, a

probabilidade de B seria de 2914

(restariam 14 casos favoráveis, num total

de 29).

Do contrário, se a primeira pessoa tiver idade maior que 59 anos, a

probabilidade de B seria de 2915

(ainda teríamos 15 pessoas com idades

menores ou iguais a 59, num total de 29).

Nessa situação, os eventos não são independentes, pois a probabilidade de um deles depende do resultado anterior.

Quando o conjunto universo é formado por um número muito grande de elementos, aí podemos considerar que os eventos A, B e C são praticamente independentes. É exatamente o caso do exercício acima. Como a população brasileira é grande (são milhões de habitantes), o resultado das escolhas anteriores é praticamente irrelevante. Uma escolha de um habitante num universo de milhões possíveis é irrisória. Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que o conjunto universo for bem grande, é porque o exercício quer que a gente considere que os eventos são independentes.

Se os eventos são independentes, então a probabilidade da intersecção é igual ao produto das probabilidades.

753,0753,0753,0)( ××=∩∩ CBAP

Para facilitar as contas, vamos aproximar.

42,043

43

43)( ≅××≅∩∩ CBAP

Item errado.

Segundo item.

Seja A o evento que ocorre quando o primeiro escolhido tem menos de 65 anos. Seja B o evento que ocorre quando o segundo escolhido tem menos de 65 anos. Seja C o evento que ocorre quando o terceiro escolhido tem 65 anos ou mais. Temos:



%5,63)()( == BPAP ; %5,36)( =CP

Os três eventos são independentes. A probabilidade da intersecção é o produto das probabilidades.

365,0635,0635,0)( ××=∩∩ CBAP

O produto entre 0,635 e 0,635 será menor que 1.

Quando multiplicamos 0,365 por um número menor que 1, ele diminui. Logo, a probabilidade acima é menor que 0,365.

Item errado.

Gabarito: errado, errado

EC 12. CEHAP 2008 [CESPE]

Uma urna contêm 5 bolas amarelas e 4 bolas azuis, todas do mesmo tamanho e feitas do mesmo material. Caso se retirem 2 bolas sucessivamente da urna, sem repô-las, a probabilidade de que sejam retiradas 2 bolas amarelas será

A inferior a 0,2.

B superior a 0,2 e inferior a 0,25.

C superior a 0,25 e inferior a 0,3.

D superior a 0,3.

Resolução:

Seja A o evento que ocorre quando, selecionando-se aleatoriamente a primeira bola, obtemos uma bola amarela.

Seja B o evento que ocorre quando, selecionando-se aleatoriamente a segunda bola, obtemos uma bola amarela.

Nós queremos calcular:

=∩ )( BAP )()( ABPAP ×

Para a primeira extração, temos 5 bolas amarelas (casos favoráveis), em 9 possíveis.

95)( =AP

Logo:

=∩ )( BAP )(95 ABP×



Agora vamos calcular a probabilidade de a segunda extração resultar em amarelo, dado que a primeira extração também foi amarela.

Para a segunda extração sobram 4 bolas amarelas, num total de 8. Logo:

84)( =ABP .

Portanto:

=∩ )( BAP =×84

95

0,28

Gabarito: C

5. Probabilidade da união de dois eventos

Nós até já vimos alguns exercícios em que calculamos a probabilidade da união de dois eventos. Só que não usamos nenhuma fórmula. Lembram do exemplo do dado, lá do começo da aula? Queríamos calcular a probabilidade de sair um múltiplo de 3. Pois bem, seja ‘A’ o evento que ocorre quando, lançando um dado honesto, obtém-se uma face múltipla de 3.

Sabemos que:

A= {3, 6}.

O espaço amostral é dado por:

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Na ocasião, para calcularmos a probabilidade de ‘A’, dividimos o número de elementos do evento (=2) pelo número de elementos do espaço amostral (=6).

Haveria uma outra possibilidade de realizarmos este cálculo. Observe que o conjunto ‘A’ ainda pode ser decomposto em mais conjuntos.

Seja ‘B’ o evento que ocorre quando, lançando o dado, obtém-se a face 3. Seja ‘C’ o evento que ocorre quando se obtém a face ‘6’.

B = {3}

C = {6}

Podemos dizer que:

CBA ∪=

O evento ‘A’ é igual à união entre os eventos ‘B e ‘C’. Ou seja, a probabilidade de sair um múltiplo de 3 (=evento A) é equivalente à probabilidade da união dos eventos “sair 3” e “sair 6”.



Assim, em vez de calcularmos diretamente a probabilidade do evento ‘A’, poderíamos ter calculado as probabilidades de ‘B’ e ‘C’ e, em seguida, usando a probabilidade da união de dois eventos, obtido a probabilidade de ‘A’.

Logo abaixo veremos que existe uma fórmula para o cálculo da união de dois eventos. Nem sempre a gente precisa dela. Aliás, em grande parte dos exercícios, dá para ir bem sem ela. Mas é bom saber que existe.

Antes de entrarmos na fórmula, alguns comentários. O evento ‘A’ pôde ser decomposto em outros dois eventos (B e C). Já os eventos ‘B’ e ‘C’ não podem mais ser decompostos. Cada um deles é formado por um único elemento. Dizemos que B e C são eventos elementares.

EP 1 Uma escola de ensino fundamental oferece cursos de idiomas. São disponibilizados cursos de inglês e espanhol. Os alunos podem optar por fazer nenhum, um ou os dois cursos.

Atualmente temos a seguinte situação:

- 30 alunos fazem inglês.

- 20 alunos fazem inglês e espanhol.

- 35 alunos fazem espanhol.

- 25 alunos não fazem nem inglês nem espanhol.

Sorteamos um aluno dessa escola. Qual a probabilidade de o aluno sorteado cursar inglês ou espanhol?

Resolução:

Sorteia-se aleatoriamente um aluno. Quando o aluno sorteado cursa inglês, temos o evento ‘I’. Quando o aluno sorteado cursa espanhol, temos o evento ‘E’.

Queremos calcular a probabilidade do aluno fazer inglês ou espanhol. Ou seja, estamos interessados naqueles alunos que fazem só inglês, que fazem só espanhol e que fazem inglês e espanhol.

Estamos interessados na união dos eventos “E” e “I”.

?)( =∪ IEP

Esse símbolo que parece um “U” é o símbolo de união. Indica que estamos interessados nos casos em que pelo menos um dos dois eventos ocorra. Neste exemplo, estamos interessados nos alunos que fazem pelo menos um dos dois idiomas.

Vamos representar graficamente os alunos dessa escola.



Dentro do círculo azul temos os trinta alunos que fazem inglês. Dez deles estão dentro do circulo azul, mas não estão dentro do círculo vermelho.

Dentro do círculo vermelho temos os trinta e cinco que fazem espanhol. Quinze deles estão dentro do círculo vermelho, mas não estão dentro do círculo azul.

Outros vinte estão nos dois círculos simultaneamente. São os que fazem inglês e espanhol.

E os 25 que estão de fora dos dois círculos não fazem inglês nem espanhol.

Casos favoráveis são aqueles que estão em pelo menos um dos dois círculos. Ou seja, são os alunos que fazem pelo menos um dos dois idiomas. São 45 casos favoráveis.

E casos possíveis são todos os alunos da escola. São 45, que fazem pelo menos um curso de idioma, e mais 25, que não fazem nenhum curso de idioma, totalizando 70 alunos.

A probabilidade de o aluno ser sorteado fazer inglês ou espanhol é:

7045)( =∪ IEP

Ok, agora vejamos a fórmula para calcular a probabilidade da união de dois eventos.

A probabilidade do aluno sorteado cursar inglês é:

7030)( =IP

A probabilidade do aluno sorteado cursar espanhol é:

7035)( =EP

A probabilidade do aluno sorteado cursar inglês e espanhol, simultaneamente, é:

7020)( =∩ IEP

alunos que fazem espanholalunos que

fazem ingles

10 20 15

25



Para encontrar a probabilidade do aluno sorteado cursar inglês ou espanhol, precisamos saber quantos são os casos favoráveis.

São 30 alunos que fazem inglês. São 35 que fazem espanhol. Portanto, para saber quantos alunos fazem inglês ou espanhol, somamos esses dois valores.

Número de alunos que fazem inglês ou espanhol: 30 + 35 = 65

Só que tem um problema. Quando fazemos esta conta, estamos ignorando que há alunos que fazem, ao mesmo tempo, inglês e espanhol. Esses alunos foram contados duas vezes. São 20 alunos que foram contados em duplicidade. Portanto, do total acima, temos que tirar 20.

Número de alunos que fazem inglês ou espanhol: 30 + 35 – 20

Pronto. Achamos o total de casos favoráveis. Se dividirmos esse valor pelo total de casos possíveis, achamos a probabilidade procurada.

70203530)( −+

=∪ IEP

7020

7035

7030)( −+=∪ IEP

)()()()( IEPIPEPIEP ∩−+=∪

Resumindo, quando temos dois eventos quaisquer A e B, a probabilidade da união dos dois eventos é:

)()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪

Quando ‘A’ e ‘B’ não têm elementos em comum, isto é, quando a intersecção entre ambos é nula, dizemos que são eventos mutuamente excludentes.

Se os dois eventos forem mutuamente excludentes, temos:

0)( =∩ BAP

Neste caso, a probabilidade da união fica:

)()()( BPAPBAP +=∪



⇒

PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS:


Se A e B forem mutuamente excludentes, a fórmula se reduz a:

)()()( BPAPBAP +=∪

EC 13. TRT 9 2007 [CESPE]

Julgue os itens a seguir.

De 100 processos guardados em um armário, verificou-se que 10 correspondiam a processos com sentenças anuladas, 20 estavam solucionados sem mérito e 30 estavam pendentes, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente. Nessa situação, a probabilidade de se retirar desse armário um processo que esteja com sentença anulada, ou que seja um processo solucionado sem mérito, ou que seja um processo pendente, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente, é igual a 3/5.

Resolução:

Sejam A, B e C os eventos que ocorrem quando, selecionando-se aleatoriamente um processo, obtém-se, respectivamente, um com sentença anulada, um processo sem mérito, e um processo pendente de julgamento.

Nesse caso, queremos calcular a probabilidade da união desses três eventos.

Como ocorre na maior parte dos exercícios de probabilidade da união, dá para ir bem sem a fórmula. Basta listarmos os casos possíveis e os casos favoráveis.

Casos favoráveis: 10 com sentenças anuladas + 20 sem mérito + 30 pendentes, dentro do prazo = 60


Probabilidade: 53

10060

=

Gabarito: certo.

EC 14. TRT 1ª Região 2008 [CESPE]

Considere que, em 2005, foram julgados 640 processos dos quais 160 referiam-se a acidentes de trabalho; 120, a não-recolhimento de contribuição do INSS; e 80, a acidentes de trabalho e não-recolhimento



de contribuição de INSS. Nesse caso, ao se escolher aleatoriamente um desses processos julgados, a probabilidade dele se referir a acidentes de trabalho ou ao não-recolhimento de contribuição do INSS é igual a

a) 3/64

b) 5/64

c) 5/16

d) 7/16

e) 9/16

Resolução:

Sejam os seguintes eventos:

- A: ocorre quando o processo escolhido aleatoriamente se refere a acidentes de trabalho

- B: ocorre quando o processo escolhido aleatoriamente se refere a não-recolhimento.

Temos:

640160)( =AP ;

640120)( =BP ;

64080)( =∩ BAP

Aplicando a fórmula probabilidade da união:


165

640200

64080

640120

640160)( ==−+=∪ BAP

Gabarito: C


De acordo com informações apresentadas no endereço eletrônico www.trtrio.gov.br/Administrativo, em fevereiro de 2008, havia 16 empresas contratadas para atender à demanda de diversos serviços do TRT/1.ª Região, e a quantidade de empregados terceirizados era igual a 681.

Se, entre as 16 empresas contratadas para atender aos serviços diversos do TRT, houver 4 empresas que prestem serviços de informática e 2 empresas que cuidem da manutenção de elevadores, e uma destas for escolhida aleatoriamente para prestar contas dos custos de seus serviços, a probabilidade de que a empresa escolhida seja prestadora de serviços de informática ou realize a manutenção de elevadores será igual a

A) 0,125.



B) 0,250.

C) 0,375.

D) 0,500.

E) 0,625.

Resolução:

Outro exercício de probabilidade da união em que não precisamos da fórmula.

Casos favoráveis: 4 empresas de informática + 2 de elevadores = 6


Probabilidade: 375,0166=

Gabarito: C



Considerando que Mariana seja pré-candidata ao cargo de governador e Carlos seja pré-candidato ao cargo de senador, então a probabilidade de que a chapa sorteada ou não tenha o nome de Maria ou não tenha o nome de Carlos será inferior a 0,75.

Resolução:

A banca confundiu os nomes. Primeiro usou Mariana, depois Maria. Isto, inclusive, resultou na anulação da questão.

Nesta resolução, vou considerar que ambas são a mesma pessoa (Mariana = Maria).

Queremos que: ou Mariana não seja escolhida ou Carlos não seja escolhido.



Temos um “ou exclusivo”. Para que ele seja verdadeiro, uma das parcelas deve ocorrer e a outra não.

1º caso: Mariana não é escolhida e Carlos é escolhido.

2º caso: Mariana é escolhida e Carlos não é escolhido.

1º caso:

A probabilidade de Mariana ser escolhida é:

Mariana15 1 caso favorável em 5 possíveis

Logo, a probabilidade de ela não ser escolhida é 4/5.

A probabilidade de Carlos ser escolhido é:

Carlos17 1 caso favorável em 7 possíveis

Queremos que as duas coisas ocorram (Mariana não seja escolhida e Carlos seja escolhido).

Ou seja, temos a intersecção de dois eventos independentes. A probabilidade da intersecção é o produto das probabilidades:

45

17

435

Vamos chamar este evento de A (Mariana não é escolhida e Carlos é escolhido).

435

2º caso:

A probabilidade de Mariana ser escolhida é:

Mariana15 1 caso favorável em 5 possíveis

A probabilidade de Carlos ser escolhido é:

Carlos17 1 caso favorável em 7 possíveis

Logo, a probabilidade de Carlos não ser escolhido é de 6/7.

Seja B o evento que ocorre quando Mariana é escolhida e Carlos não é. A probabilidade de B fica:

15

67

635



Para que o evento solicitado no comando da questão ocorra, A ou B devem ocorrer. Temos a união entre dois eventos mutuamente exclusivos.

435

635

1035

Gabarito: anulado

EC 17. TJ PI 2009 [FCC]

Em uma entrevista realizada com 4.000 pessoas, foi inquirida de cada uma sua posição em relação a um determinado projeto. Todas responderam e cada uma deu uma e somente uma das duas posições conforme apresentado pela tabela abaixo:

A porcentagem de pessoas que são contra o projeto ou são mulheres é de

(A) 37,5%.

(B) 47,5%.

(C) 52,5%.

(D) 57,5%.

(E) 80,0%.

Resolução:

Seja A o evento que ocorre quando a pessoa escolhida é mulher.

Seja B o evento que ocorre quando a pessoa escolhida é contra o projeto.

Temos: 1.7004.0002.3004.000

8004.000

Logo:

1.700 2.300 8004.000 80%

Gabarito: E




A tabela abaixo apresenta a distribuição conjunta das frequências das variáveis “tipo de processo” (Y) e “setor” (X), referente aos processos autuados, em um período analisado, numa repartição pública:

A porcentagem dos processos autuados no Setor B ou que não são do tipo III é

(A) 92,5%

(B) 87,5%

(C) 62,5%

(D) 37,5%

(E) 32,5%

Resolução:

Em vez de usarmos a fórmula da probabilidade da união, vamos contar o número de casos possíveis e favoráveis.

Casos favoráveis: processos do setor B, ou dos tipos I e II:

100 120 100 30 20 370Número de casos favoráveis:


370400 92,5%

Gabarito: A




A tabela apresenta a classificação segundo duas variáveis, sexo e idade, dos 1.200 funcionários de uma empresa.

Se um funcionário é selecionado ao acaso dessa empresa, a probabilidade dele ser mulher ou ter pelo menos 30 anos é

(A) 11/24

(B) 13/15

(C) 19/24

(D) 12/17

(E) 11/17

Resolução:

São 1.200 casos possíveis.

Os casos favoráveis estão marcados na tabela abaixo:

300 180 150 200 120 950Casos favoráveis:

A probabilidade fica: 950

1.2001924

Gabarito: C

EC 20. TRF 2ª REGIÃO 2007 [FCC] Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Supondo que

4,0)( =AP e 7,0)( =∪ BAP e pBP =)( . Os valores de p que fazem com que A



e B sejam mutuamente exclusivos e A e B sejam independentes são, respectivamente, a) 0,3 e 0,5 b) 0,4 e 0,2 c) 0,5 e 0,2 d) 0,6 e 0,2 e) 0,3 e 0,4

Resolução: Para que A e B sejam mutuamente exclusivos, temos a seguinte condição:

)()()( BPAPBAP +=∪Substituindo os valores:

3,04,07,0 =⇒+= pp Para que A e B sejam independentes, temos a seguinte condição:

)()()( BPAPBAP ×=∩

Sabendo disso, vamos partir da probabilidade da união de A e B.

)()()()( BAPBPAPBAP ∪−+=∪

)()()()()( BPAPBPAPBAP ×−+=∪

Substituindo os valores:

5,03,06,04,04,07,0 =⇒=×⇒×−+= ppppGabarito: A

6. Probabilidade do evento complementar

Quando temos um experimento, dizemos que o conjunto de todos os resultados possíveis é o espaço amostral.

Por exemplo, o lançamento de um dado pode resultar em 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

O espaço amostral é:

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

Outro exemplo. Temos um tetraedro com faces 1, 2, 3, 4. Lançamo-lo duas vezes. O espaço amostral é:

{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4)}



Dizemos que dois eventos são complementares quando, simultaneamente, temos:

· a união dos dois eventos resulta no espaço amostral

· os dois eventos são mutuamente excludentes (eles não têm elementos em comum; a intersecção entre ambos é vazia)

Ou seja, qualquer resultado possível estará contido em dos dois eventos. Os dois eventos, juntos, conseguem englobar todos os resultados possíveis. E mais que isso: não há qualquer resultado que satisfaça, simultaneamente, aos dois eventos.

Com alguns exemplos fica mais fácil.

Novamente, considere o resultado do lançamento de um dado.

Seja ‘A’ o evento “sair número par”. Seja ‘B’ o evento “sair número ímpar”.

Os eventos ‘A’ e ‘B’, unidos, englobam todas as possibilidades. Não tem como lançar um dado e dar um resultado que não seja um número par e não seja um número ímpar.

Além disso, não há intersecção entre os dois eventos. Não tem nenhum resultado de um dado que seja, ao mesmo tempo, par e ímpar.

Dizemos que os eventos ‘A’ e ‘B’ são complementares.

Ainda em relação ao lançamento do dado.

Seja ‘C’ o evento “sair um número maior ou igual a 4”. Seja ‘D’ o evento “sair um número menor que 4”.

Esses dois eventos, unidos, englobam todos casos possíveis. Não dá para lançar um dado e obter um resultado que não seja maior ou igual a 4 nem menor que 4.

Além disso, não há nenhum resultado que pertença ao mesmo tempo aos dois eventos.

Os eventos ‘C’ e ‘D’ são complementares.

Continuemos com o lançamento do dado.

Seja ‘E’ o evento “sair um número menor que 5”. Seja ‘F’ o evento “sair um número maior que 3”.

Os dois eventos, juntos, englobam todos os casos possíveis.

Mas os dois eventos não são complementares. Existe um resultado que pertence aos dois eventos. O resultado “4” é maior que 3 e também é menor que 5.



Ainda em relação ao lançamento do dado.

Seja ‘G’ o evento “sair um número menor que 4”. Seja ‘H’ o evento “sair um número maior que 4”.

‘G’ e ‘H’ não têm elementos em comum. Só que não englobam todos os casos possíveis. O resultado 4 não é nem menor que 4 nem maior que 4. Este resultado não está contemplado em nenhum dos dois eventos. ‘G’ e ‘H’ não são complementares.

Geralmente o evento complementar é indicado por uma barra.

Continuemos com o lançamento do dado. Seja Z o evento “sair um múltiplo de 3”. O evento complementar de Z é indicado por: Z

Z é o evento “não sair um múltiplo de 3”.

Note que Z e Z , juntos, englobam todos os casos. Além disso, não têm elementos em comum. São eventos complementares.

Agora vem o que interessa para gente. Sejam A e A dois eventos complementares.

Vamos calcular a probabilidade da união desses dois eventos. Usando a fórmula da probabilidade da união, temos:

)()()()( AAPAPAPAAP ∩−+=∪

Mas nós vimos que a intersecção entre eventos complementares é vazia. Sua probabilidade é nula.

0)()()( −+=∪ APAPAAP

)()()( APAPAAP +=∪

E nós vimos também que a união entre eventos complementares é justamente o espaço amostral. A probabilidade de ocorrer o espaço amostral é sempre igual a 1.

Ficou em dúvida?

Considere o lançamento do dado.

O espaço amostral é o conjunto de todos os resultados possíveis = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Considere o evento que ocorre quando lançamos o dado e sai um número de 1 a 6. Qual a probabilidade deste evento? É de 100%. Com certeza, quando lançarmos o dado, vai sair um número de 1 a 6. Isto porque esse evento é simplesmente igual ao espaço amostral. A probabilidade de ocorrer o espaço amostral é de 100%.

)()()( APAPAAP +=∪



)()(1 APAP= +

E é esse resultado que nos interessa.

⇒

PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR:

Sejam A e A dois eventos complementares. Então:

)()(1 APAP= +

EC 21. TRT 2ª REGIAO 2008 [FCC]

A probabilidade de que Antônio esteja vivo daqui a 10 anos é igual a 80% e de que Paulo o esteja daqui a 10 anos é 70%. Então, a probabilidade de que somente um deles esteja vivo daqui a 10 anos é igual a

(A) 30%

(B) 36%

(C) 56%

(D) 38%

(E) 44%

Resolução: Seja A o evento que ocorre se Antônio estiver vivo daqui a 10 anos.

0,8Logo, a probabilidade do evento complementar (Antônio estar morto daqui a 10 anos) é de:

1 0,2

Seja B o evento que ocorre se Paulo estiver vivo daqui a 10 anos. 0,7

Logo: 1 1 0,7 0,3

Para que somente um dos dois esteja vivo daqui a dez anos, devemos ter: - Antônio vivo e Paulo morto ( ) ou - Antônio morto e Paulo vivo ( )

Logo, temos que calcular a seguinte probabilidade:

Entre colchetes, temos dois eventos mutuamente excludentes. A probabilidade da união é igual à soma das probabilidades.



Supondo que os eventos são independentes, ou seja, que o fato de Antônio viver (ou morrer) em nada influi na vida de Paulo, temos:

0,8 0,3 0,2 0,7 0,24 0,14 0,38 Gabarito: D

Existem alguns tipos de problema em que a probabilidade pedida é muito difícil de ser calculada. Nesses casos, desconfie. Às vezes é mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar, o que nos ajuda a resolver a questão.

Vejamos alguns exercícios.

EP 2 Lançamos um dado seis vezes. Qual a probabilidade de sair pelo menos uma vez o número 5?

Resolução:

Seja A o evento que ocorre quando, em pelo menos um dos 6 lançamentos, temos o resultado 5.

Uma primeira forma de resolução seria listar todos os casos possíveis e todos os casos favoráveis.

Casos possíveis: 1; 1; 1; 1; 1; 1 1; 1; 1; 1; 1; 2 1; 1; 1; 1; 1; 3

[...] E a lista continuaria com inúmeras linhas. Ficar listando todos os casos possíveis não dá.

Poderíamos tentar resolver considerando que o evento ‘A’ é, na verdade, uma união de vários eventos. Precisaríamos calcular a probabilidade de:

· Sair o número 5 exatamente 1 vez

· Sair o número 5 exatamente 2 vezes







Depois fazemos a união de todos esses eventos. A probabilidade da união de todos esses eventos é o resultado procurado.

Só que isso dá um trabalhão. Só para que fique claro como os eventos acima são difíceis de lidar, tomemos o segundo deles. Trata-se do evento que ocorre quando, lançando o dado seis vezes, obtém-se o resultado 5 exatamente duas vezes. Para calcular a probabilidade relacionada, teríamos que dividir este evento em diversos outros eventos:

· Sair o número 5 apenas no primeiro e no segundo lançamento;

· Sair o número 5 apenas no primeiro e no terceiro lançamento;

· Sair o número 5 apenas no primeiro e no quarto lançamento;

· Sair o número 5 apenas no primeiro e no quinto lançamento;

· Sair o número 5 apenas no primeiro e no sexto lançamento;

· Sair o número 5 apenas no segundo e no terceiro lançamento;

· Sair o número 5 apenas no segundo e no quarto lançamento;

· Sair o número 5 apenas no segundo e no quinto lançamento;

· Sair o número 5 apenas no segundo e no sexto lançamento;

· Sair o número 5 apenas no terceiro e no quarto lançamento;

· Sair o número 5 apenas no terceiro e no quinto lançamento;

· Sair o número 5 apenas no terceiro e no sexto lançamento;

· Sair o número 5 apenas no quarto e no quinto lançamento;

· Sair o número 5 apenas no quarto e no sexto lançamento;

· Sair o número 5 apenas no quinto e no sexto lançamento.

Depois, teríamos que fazer um procedimento análogo para todos os outros eventos (sair 5 exatamente uma vez; sair 5 exatamente três vezes; etc).

Vamos procurar outra saída.

O evento pedido no enunciado foi “sair 5 pelo menos 1 vez”.

Qual seu evento complementar?

Seu evento complementar é “não sair 5 nenhuma vez”. Vamos chamá-lo de A

Ah, para esse evento complementar é bem mais fácil de calcularmos a probabilidade.

Ele é a intersecção dos seguintes eventos:

· Não sai 5 no primeiro lançamento

· Não sai 5 no segundo lançamento



· Não sai 5 no terceiro lançamento

· Não sai 5 no quarto lançamento

· Não sai 5 no quinto lançamento

· Não sai 5 no sexto lançamento

Todos os eventos acima têm probabilidade de 5/6. E todos eles são independentes. Isto porque o resultado de um lançamento não interfere em nada no resultado de qualquer outro lançamento. Vimos que, quando os eventos são independentes, a probabilidade da intersecção é igual ao produto das probabilidades.

Ficamos com: 6

65

65

65

65

65

65

65)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=×××××=AP

Portanto: 6

651)( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=AP

A utilização do evento complementar facilitou muito as contas.

O enunciado típico de utilização do evento complementar geralmente contém expressões como: “calcule a probabilidade de tal resultado ocorrer pelo menos uma vez.”

Sempre que você se deparar com algo semelhante, lembre-se de verificar se a utilização do evento complementar facilita o cálculo.

EC 22. MINISTERIO DA SAUDE 2007 [FCC]

Sabe-se que 3/5 dos pacientes submetidos a uma determinada cirurgia sobrevivem. Se 4 pacientes realizarem a cirurgia, a probabilidade de que pelo menos um não sobreviva é de:

a) 609/625

b) 544/625

c) 96/625

d) 24/625

e) 16/625

Resolução:

Pede-se a probabilidade de que pelo menos um paciente morra.

Este é o caso clássico de utilização do evento complementar: quando temos a expressão “pelo menos um”.



Sempre que aparecer esta expressão, é mais fácil calcularmos a probabilidade do evento complementar. Ou seja, vamos pensar justamente no evento que é o contrário do que o solicitado no enunciado.

Seja A o evento “pelo menos um paciente morre”. Seja A o evento complementar, ou seja, “todos os pacientes sobrevivem”. O evento complementar é uma intersecção de 4 eventos:

· E1 – o primeiro paciente sobrevive

· E2 – o segundo paciente sobrevive

· E3 – o terceiro paciente sobrevive

· E4 – o quarto paciente sobrevive

Quando todos estes quatro eventos ocorrerem simultaneamente (intersecção), aí nós teremos o evento A .

Todos esses eventos têm probabilidade de 3/5. E todos eles são independentes. Assim, a probabilidade da intersecção se resume ao produto das probabilidades.

4321 EEEEA ∩∩∩=)4()3()2()1()4321( EPEPEPEPEEEEP ×××=∩∩∩

46,06,06,06,06,0)4321( =×××=∩∩∩ EEEEPOu seja:

000.10296.16,0)( 4 ==AP

Já calculamos a probabilidade do evento complementar.

Agora fica bem fácil calcular a probabilidade do evento original.

A probabilidade de A fica:

625544

000.10704.8

000.10296.11)( ==−=AP

Gabarito: B.

EC 23. MPE PE 2006 [FCC]

Um lote contém 20 peças das quais 5 são defeituosas. Colhendo-se uma amostra de 2 peças, ao acaso e sem reposição deste lote, a probabilidade de se obter pelo menos uma pela defeituosa é:

a) 21/38

b) 19/38

c) 17/38

d) 15/38



e) 13/38

Resolução.

Vamos chamar de A o evento “escolher pelo menos uma peça defeituosa”. Vamos chamar de A o evento complementar. O evento complementar ocorre quando “todas as peças escolhidas são normais”.

Considerem os seguintes eventos:

E1 – a primeira peça escolhida é normal

E2 – a segunda peça escolhida é normal

O evento A é a intersecção desses dois eventos acima. Para que Aocorra, ambos devem ocorrer simultaneamente.

21 EEA ∩=

Queremos achar a probabilidade da intersecção.

Mas, agora, diferentemente dos exercícios anteriores, esses eventos não são mais independentes. A probabilidade da intersecção não é mais o produto das probabilidades.

Na hora de escolhermos a primeira peça, a probabilidade de ela não ser defeituosa é de 15/20. Temos 15 peças a nosso favor em 20 possíveis.

Na hora de escolhermos a segunda peça, a probabilidade de ela não ser defeituosa vai depender do resultado da primeira escolha. Se, na primeira escolha, tiver saído uma peça defeituosa, a probabilidade da segunda peça não ser defeituosa será 15/19. Continuamos tendo 15 peças normais. São 15 casos favoráveis, em 19 possíveis.

De outro modo, se a primeira peça escolhida for normal, a probabilidade da segunda também ser normal será de 14/19. Teremos apenas 14 casos favoráveis.

Logo, os eventos não são independentes. O resultado de uma escolha influi na probabilidade da segunda escolha.

A fórmula da probabilidade da intersecção fica: )21()( EEPAP ∩=

)12()1()( EEPEPAP ×=

Na primeira escolha, a probabilidade de tomarmos uma peça não defeituosa é de 15/20. Temos 15 peças normais (casos favoráveis) num total de 20 (casos possíveis).

20/15)1( =EP

Já tendo escolhido uma peça não defeituosa, qual a probabilidade da segunda também ser não defeituosa. Ou seja, qual a probabilidade de ocorrer o evento E2, dado que o evento E1 já ocorreu?



Já tendo retirado uma peça normal, sobram 14 peças normais (casos favoráveis), num total de 19 (casos possíveis).

19/14)12( =EEP

Portanto: )12()1()( EEPEPAP ×=

3821

197

23

1914

2015)( =×=×=AP

Logo:

3817

38211)( =−=AP

Gabarito: C.

EC 24. BACEN/2006 [FCC]

A probabilidade de um associado de um clube pagar a sua mensalidade com atraso é de 5%. Entre 5 associados escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de pelo menos 1 pagar a sua mensalidade sem atraso é:

a) 1 – 0,955

b) 0,955

c) 4,75 . 0,955

d) 5 . 0,955

e) 1 – 0,055

Resolução.

Nesta questão da FCC, queremos calcular a probabilidade de pelo menosum associado pagar a mensalidade sem atraso.

Seja A o evento “pelo menos 1 associado paga sem atraso”. Queremos calcular a probabilidade de A . Só que calcular esta probabilidade não é nada simples.

Qual o evento complementar de A ? É o evento “todos os associados atrasam o pagamento”. Vamos chamá-lo de evento A . Esse evento A é uma intersecção de vários eventos. Ele corresponde aos seguintes eventos, quando ocorrem simultaneamente:

O primeiro associado atrasa o pagamento (evento E1)

O segundo associado atrasa o pagamento (evento E2)

O terceiro associado atrasa o pagamento (evento E3)

O quarto associado atrasa o pagamento (evento E4)

O quinto associado atrasa o pagamento (evento E5)



Todos esses eventos tem probabilidade de 5%.

Vamos considerar que todos esses eventos sejam independentes. Ou seja, a probabilidade da intersecção é o produto das probabilidades.

Ficamos com:

)5()4()3()2()1()54321( EPEPEPEPEPEEEEEP ××××=∩∩∩∩

505,005,005,005,005,005,0)54321( =××××=∩∩∩∩ EEEEEP

Assim, a probabilidade de todos os associados atrasarem é de 0,055. Portanto, a probabilidade de pelo menos um associado pagar sem atraso é:

505,01− Gabarito: E

EC 25. MMA 2008 [CESPE]

O Brasil faz parte de um grupo de 15 países denominados megadiversos, que, juntos, abrigam cerca de 70% da biodiversidade do planeta. No Brasil, existem 6 regiões com uma diversidade biológica própria, os chamados biomas. Por exemplo, o bioma caatinga, no nordeste do país, ocupa uma área de aproximadamente 844.452 km2; o bioma pantanal, no centro-oeste do país, ocupa uma área de aproximadamente 150.500 km2. A Comissão Nacional de Biodiversidade (CONABIO), que atua fundamentalmente na implementação da política nacional de biodiversidade, é constituída pelo presidente e mais 6 membros titulares, tendo estes 6 últimos 2 suplentes cada. No Programa Nacional de Florestas, há alguns projetos em andamento, como, por exemplo, o Plano Nacional de Silvicultura com Espécies Florestais Nativas (P1) e o Plano de Recuperação de Áreas Degradadas (P2).

Com base nessas informações e no texto acima, julgue os itens a seguir.

1. Suponha que as probabilidades de os planos P1 e P2, referidos no texto, terem 100% de suas metas atingidas sejam, respectivamente, iguais a 3/7 e 2/5, e que ambos estejam em andamento independentemente um do outro. Nesse caso, a probabilidade de pelo menos um desses planos ter suas metas plenamente atingidas é superior a 0,7.

Resolução:

Seja “A” o evento que ocorre quando pelo menos um dos planos atinge todas as suas metas. O evento complementar, indicado por A , é aquele que ocorre quando nenhum plano atinge suas metas.

Seja E1 o evento que ocorre quando o primeiro plano não atinge suas metas.



Seja E2 o evento que ocorre quando o segundo plano não atinge suas metas.

De acordo com o texto, temos:

74

731)1( =−=EP

53

521)2( =−=EP

Com isso, temos:

)21()( EEPAP ∩=

Os planos são independentes. Logo, a probabilidade da intersecção é o produto das probabilidade.

)2()1()( EPEPAP ×=

3512

53

74)( =×=AP

Logo:

)(1)( APAP −=

3523

35121)( =−=AP =0,66

Gabarito: errado.



Caso João e Roberto sejam pré-candidatos ao cargo de senador e Maria e Ana sejam pré-candidatas ao cargo de deputado federal, a chance de que a chapa sorteada tenha qualquer um desses nomes será maior que 49%.

Resolução:



Queremos que pelo menos uma das pessoas indicadas (João, Roberto, Maria, Ana) seja escolhida (evento A).

O evento complementar ocorre quando nenhuma delas é escolhida (evento ).

O evento ocorre quando:

- João e Roberto não são escolhidos para senador;

- Maria e Ana não são escolhidas para deputado.

A probabilidade de João e Roberto não serem escolhidos é de 5/7 (são 5 casos favoráveis em 7 possíveis).

A probabilidade de Maria e Ana não serem escolhidas é de 10/12 (10 casos favoráveis em 12 possíveis).

Logo:

57

1012

5084

Do que resulta:

1 15084

3484 40,4%

Gabarito errado

7. Teorema da probabilidade total

EP 3 Uma urna tem uma bola branca e uma bola preta (vamos chamá-la de primeira urna). Outra urna tem três bolas brancas e uma bola preta (vamos chamar de segunda urna). Escolhe-se uma dessas urnas ao acaso e retira-se uma bola. Qual a probabilidade da bola escolhida ser preta?

Resolução:

Seja ‘U1’ o evento que ocorre quando a urna escolhida para a retirada da bola é a primeira urna. Seja ‘U2’ o evento que ocorre quando a urna escolhida para a retirada da bola é a segunda urna.

Observe que os eventos U1 e U2 são complementares.

A probabilidade de se escolher cada uma das duas urnas é de 50%.

5,0)()( 21 == UPUP

Esses dois eventos são complementares. Abrangem todos os casos possíveis. Todas as bolas em questão pertencem a uma dessas duas urnas. E não há nenhuma bola que pertença, simultaneamente, a ambas.



Seja ‘A’ o evento que ocorre quando a bola retirada é preta.

Suponha que escolhemos a primeira urna. A probabilidade de sair uma bola preta é de 50%. Ou seja, a probabilidade de sair bola preta, dado que escolhemos a primeira urna, é de 50%.

5,0)( 1 =UAP

Suponha agora que escolhemos a segunda urna. A probabilidade de sair uma bola preta é de 25%. Ou seja, a probabilidade de sair bola preta, dado que escolhemos a segunda urna, é de 25%.

25,0)( 2 =UAP

Mas a pergunta foi: qual a probabilidade de sair bola preta?

Para achar a probabilidade do evento ‘A’, basta somar as probabilidades acima, certo???

Errado!!!

Muita gente cai nesse erro. Cuidado para não cometê-lo.

Para checar o absurdo que seria, considere ‘B’ o evento que ocorre quando a bola sorteada é branca.

Ficaríamos com:

5,0)( 1 =UBP e 75,0)( 2 =UBP

Por esse raciocínio, a probabilidade de sair bola branca seria de 125%, algo absurdo.

Como fazer?

É aqui que entra o teorema da probabilidade total.

Como U1 e U2 são eventos complementares, a união de ambos é igual ao espaço amostral. Vamos chamar de S o espaço amostral.

21US U∪=

A intersecção de ‘A’ com ‘S’ é igual ao próprio ‘A’. Isso porque ‘A’ é um evento, que está contido no espaço amostral.

ASA =∩

Portanto, podemos escrever: )()( SAPAP ∩=

[ ])()( 21UAPAP U∪∩=



[ ])()()( 21 UAUAPAP ∩∪∩=)()()( 21 UAPUAPAP ∩+∩=

)()()()()( 2211 UAPUPUAPUPAP ×+×=

⇒

TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL:

Se dois eventos U1 e U2 forem complementares, a probabilidade de ocorrer o evento A é dada por:

)2()2()1()1()( UAPUPUAPUPAP ×+×=

Você não precisa decorar a fórmula acima. Muito menos gravar o procedimento para chegar nela. O que importa é que você entenda a continuação do problema, que vem logo abaixo. Apenas isso. Se para você a continuação do problema fizer sentido, ok, está ótimo. Nem se preocupe com a fórmula acima.

O evento ‘A’ pode ocorrer tanto quando escolhemos a Urna 1 quanto quando escolhemos a urna 2. Temos as seguintes hipóteses:

· Há 50% de chances de escolhermos a urna 1. Escolhida tal urna, há 50% de chances de sair a bola preta

· Há 50% de chances de escolhermos a urna 2. escolhida tal urna, há 25% de chances de sair a bola preta

A probabilidade de sair a bola preta fica:

375,025,05,05,05,0 =×+×

Ou, aplicando a fórmula:

)()()()()( 2211 UAPUPUAPUPAP ×+×=

%5,37375,025,05,05,05,0)( ==×+×=AP

Resposta: a probabilidade de sair bola preta é de 37,5%

Muita gente, em vez de gravar a fórmula, costuma fazer um “diagrama” parecido com este:



A ideia do diagrama é a que segue. Representamos cada possível resultado por um círculo. Primeiro, temos as opções: “urna 1” e “urna 2”. A probabilidade de escolher qualquer uma delas é 50%. Por isso, escrevemos o número 0,5 em cima da seta correspondente.

Escolhida a “urna 1”, a probabilidade de escolher bola branca é 50%. Ou seja, a probabilidade de escolher bola branca dado que escolhermos a urna 1 é de 50%. Novamente, escrevemos 0,5 na seta correspondente. Isso se repete para todas as demais setas.

Feito isso, para calcular a probabilidade de um certo evento, basta multiplicar as probabilidades.

Exemplo: qual a probabilidade de escolher uma bola preta da urna 2?

Basta multiplicar as probabilidades até chegar ao círculo que representa a bola preta da urna 2. No caso, temos:

125,025,05,0 =×

Aproveitando o desenho, qual a probabilidade de escolhermos uma bola preta da urna 1? Temos:

25,05,05,0 =×

A probabilidade de escolher uma bola preta fica:

375,0125,025,0 =+

Este diagrama é uma forma esquemática de apresentação da fórmula que estudamos.

O diagrama e a fórmula representam o que é chamado de “teorema da probabilidade total”.

Tanto a fórmula que estudamos, como o diagrama que a representa, podem ser facilmente generalizados para casos em que há mais eventos em análise. Veremos como fazer isso nos exercícios.



Vejamos uma outra solução. Agora, uma solução ERRADA.

Vamos dar nomes às bolas:

· B11 é a bola branca da urna 1

· P11 é a bola preta da urna 1

· B21 é a primeira bola branca da urna 2

· B22 é a segunda bola branca da urna 2

· B23 é a terceira bola branca da urna 2

· P21 é a primeira bola preta da urna 2.

Seja S o espaço amostral.

S = {B11, P11, B21, B22, B23, P21}

O evento ‘A’ é dado por:

A = {P11, P21}

Se fôssemos adotar o procedimento visto desde o começo da aula, dividindo o número de elementos do evento pelo número de elementos do espaço amostral (ou ainda, dividindo o número de casos favorável pelo número de casos possível), teríamos:

31

62)( ==AP

Qual o erro desta solução? O grande problema é que os resultados não são equiprováveis. A título de exemplo, a bola preta da primeira urna tem uma chance maior de ser escolhida do que a bola preta da urna 2. Quando os eventos elementares não são equiprováveis, para achar a probabilidade, não podemos simplesmente dividir número de casos favoráveis por número de casos possíveis.

Para usar esta segunda solução, precisamos de uma pequena adaptação, que reflita as diferentes probabilidades de cada evento. Precisamos da abordagem frequentista da probabilidade, já mencionada no começo da aula.

Podemos pensar que fazemos o tal sorteio 80 vezes. Como a chance de escolha de cada uma das urnas é de 50%, vamos supor que escolhemos a primeira urna 40 vezes e que escolhemos a segunda urna, também, 40 vezes.

Das 40 vezes em que escolhemos a primeira urna, em 20 sorteamos a bola preta (P11). Em outras 20, sorteamos a bola branca (B11).

Das 40 vezes em que escolhemos a segunda urna, em 10 sorteamos a bola preta (P21). Em 10 escolhemos a bola branca B21. Em outras 10 escolhemos a bola branca B22. E nas outras 10 escolhemos a bola branca B23.



Os oitenta sorteios estão assim distribuídos (casos possíveis):

· Em 20 vezes a bola P11 é sorteada

· Em 20 vezes a bola B11 é sorteada

· Em 10 vezes a bola P21 é sorteada




Os casos favoráveis são aqueles em que uma bola preta é sorteada:

· 20 vezes a bola P11 é sorteada

· 10 vezes a bola P21 é sorteada.

Agora sim, podemos fazer a divisão entre casos possíveis e favoráveis. Com o artifício acima, conseguimos levar em consideração que as bolas da urna 1 têm probabilidade maior de serem escolhidas que as bolas da urna 2.

375,08030

____

===possivelcasosnumero

favoraveiscasosnumeroP

EC 27. Câmara dos Deputados 2007 [FCC]

Uma rede local de computadores é composta por um servidor e 2 (dois) clientes (Z e Y). Registros anteriores indicam que dos pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vêm de Z e 70% de Y. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentara erro. Sabendo-se que 2% dos pedidos feitos por Z e 1% dos pedidos feitos por Y apresentam erro, a probabilidade do sistema apresentar erro é:

a) 5%

b) 4,1%

c) 3,5%

d) 3%

e) 1,3%

Resolução:

Escolhe-se um pedido ao acaso. Seja ‘Z’ o evento que ocorre quando o pedido escolhido é feito pelo cliente Z. Seja ‘Y’ o evento que ocorre



quando o pedido escolhido é feito pelo cliente Y. Seja E o evento que ocorre quando o pedido escolhido apresentar erro. Foi dado que:

· Há 30% de chances de o pedido vir de Z. Quando o pedido vem de Z, a probabilidade de apresentar erro é de 2%

· Há 70% de chances de o pedido vir de Y. Quando o pedido vem de Y, a probabilidade de apresentar erro é de 1%

Portanto, a probabilidade de erro é:

%3,101,07,002,03,0)( =×+×=EP

Gabarito: E.

Outra opção é usar a fórmula vista. ‘Z’ e ‘Y’ são eventos complementares. Logo:

)()()()()( YAPYPZAPZPEP ×+×=

%3,101,07,002,03,0)( =×+×=EP

Uma terceira opção é usar a abordagem frequentista da probabilidade.

Podemos pensar que são feitos 1000 pedidos. São 300 do cliente Z e 700 do cliente Y.

Dos 300 pedidos do cliente Z, 6 apresentam erro (=2% de 300).

Dos 700 pedidos do cliente Y, 7 apresentam erro (=1% de 700).

Desta forma, dos 1000 pedidos, 13 apresentam erro (=6+7).

São 13 pedidos com erro num total de 1000 pedidos.

A probabilidade de erro fica:

%3,11000

13==P

EC 28. TJ PI 2009 [FCC]

Em uma repartição pública, três setores A, B e C são responsáveis pela análise de todos os processos autuados, recebendo cada um o mesmo número de processos para analisar independentemente. Pela complexidade de tais processos, sabe-se que em A, B e C, respectivamente, 6%, 4,5% e 1,5% não são analisados dentro do tempo estipulado pela Administração. Escolhendo aleatoriamente um processo entre todos autuados, a probabilidade dele ser analisado dentro do tempo estipulado é de

(A) 94,0%.

(B) 94,5%.



(C) 95,0%.

(D) 96,0%.

(E) 98,5%.

Resolução: Podemos montar a seguinte tabela: Setor Probabilidade de

atraso Probabilidade de análise dentro

do tempo A 6% 94% B 4,5% 95,5% C 1,5% 98,5%

Sabemos que: - há 1/3 de chance de um processo ser analisado em A. Quando isso ocorrer, há 94% de chance de ser analisado dentro do tempo. - há 1/3 de chance de o processo ser analisado em B. Quando isso ocorrer, há 95,5% de chance de ser analisado dentro do tempo. - há 1/3 de chance de o processo ser analisado em C. Quando isso ocorrer, há 98,5% de chance de ser analisado dentro do tempo. A probabilidade de ser analisado dentro do tempo fica:

13 0,94

13 0,955

13 0,985

13 0,94 0,955 0,985

13 2,88 0,96

Gabarito: D

EC 29. TRE PI 2009 [FCC]

Três candidatos, A, B e C, disputam as próximas eleições para o Governo do Estado. A, B e C têm respectivamente 30%, 38% e 32% da preferência do eleitorado. Em sendo eleito, a probabilidade de dar prioridade para a Educação é de 30%, 50% e 40%, para os candidatos A, B e C, respectivamente. A probabilidade da Educação não ser priorizada no próximo governo é dada por

(A) 0,446

(B) 0,554

(C) 0,592

(D) 0,644

(E) 0,652

Resolução



Candidato Probabilidade de priorizar a educação

Probabilidade de não priorizar a educação

A 30% 70% B 50% 50% C 40% 60%

Temos:

- A tem 30% de chance de ser eleito. Se isso ocorrer, há 70% de chance de a educação não ser priorizada.

- B tem 38% de chance de ser eleito. Se isso ocorrer, há 50% de chance de a educação não ser priorizada.

- C tem 32% de chance de ser eleito. Se isso ocorrer, há 60% de chance de a educação não ser priorizada.

A probabilidade de a educação não ser priorizada é:

0,3 0,7 0,38 0,5 0,32 0,6 0,21 0,19 0,192 0,592

Gabarito: C

EC 30. TJ PI 2009 [FCC]

Duas pessoas A e B são encarregadas de realizar um trabalho independentemente. A executará 60% da tarefa e B o restante. Sabe-se que A comete 2% de falhas em seus trabalhos e B comete 5%. A probabilidade de todo o trabalho inicial ser realizado sem falhas é igual a

(A) 90,8%.

(B) 94,6%.

(C) 96,2%.

(D) 96,5%.

(E) 96,8%.

Resolução:

A ideia da banca era cobrar, novamente, o teorema da probabilidade total.

Na minha opinião, a questão não poderia ser resolvida com o teorema da probabilidade total. Na verdade, faltariam dados para resolver a questão. Mas não vou me alongar nas críticas ao enunciado, pois acho que pode mais confundir do que ajudar.

Vamos à solução que o examinador queria.

Devemos interpretar o enunciado assim. Uma tarefa pode ser executada por A ou por B.



Há 60% de chance de ser executada por A e 40% de chance de ser executada por B.

Caso seja executada por A, a chance de falha é de 2% (logo, a chance de acerto é de 98%). Caso seja executada por B, a chance de falha é de 5% (logo, a chance de acerto é de 95%).

A chance da tarefa ser executada sem erros é de:

Gabarito: E 0,6 0,98 0,4 0,95 0,588 0,38 0,968

8. Teorema de Bayes

Existem alguns problemas que podem ser resolvidos por meio de uma fórmula conhecida como “Teorema de Bayes”.

Contudo, creio que resolver as questões usando o teorema não é muito proveitoso. É mais fácil resolver apenas usando a abordagem frequentista da probabilidade (ressalva para questões de provas específicas para o cargo de estatístico).

Por este motivo, não daremos muita atenção à fórmula, ok?


Uma rede local de computadores é composta por um servidor e 2 clientes (A e B). Registros anteriores indicam que, dos pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vêm de A e 70% de B. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Sabe-se que 2% dos pedidos feitos por A e 5% dos feitos por B apresentam erro. Selecionando um pedido ao acaso, a probabilidade dele ser proveniente de A, sabendo que apresentou erro, é

(A) 5/41

(B) 6/41

(C) 3/5

(D) 2/35

(E) 1/35

Resolução.

Primeiro vamos resolver sem usar a fórmula do teorema de Bayes, para mostrar que, nas questões usualmente cobradas em prova, a fórmula é totalmente desnecessária.

Vamos considerar que são feitos 1000 pedidos. 30% é proveniente de A e 70% é proveniente de B.



- 300 pedidos de A

- 700 pedidos de B

Dos pedidos de A, 2% apresentam erro.

6 pedidos de A apresentam erro.

0,02 300 6

Dos pedidos de B, 5% apresentam erro.

0,05 700 35

Com isso, os 1.000 pedidos são assim discriminados:

- 6 são de A e apresentam erro

- 294 são de A e não apresentam erro

- 35 são de B e não apresentam erro.

- 665 são de B e não apresentam erro

É dado que o pedido selecionado apresentou erro. Precisamos rever nossa lista de casos possíveis:

- 6 são de A e apresentam erro

- 294 são de A e não apresentam erro

- 35 são de B e não apresentam erro.

- 665 são de B e não apresentam erro

Queremos saber a probabilidade de o pedido ter vindo de A. São 6 casos favoráveis em 41 possíveis (=35 + 6).


641

Gabarito: B

Agora vamos resolver de outra forma, para mostrar a fórmula correspondente ao teorema de Bayes.



Seja “A” o evento que ocorre quando se seleciona aleatoriamente um pedido e verifica-se que ele provém do cliente A.

Seja “B” o evento análogo para o cliente B.

Seja “E” o evento que ocorre quando o pedido escolhido apresenta erro.

Do enunciado, temos:

0,3 0,7

| 0,02 | 0,05

A pergunta é: qual a probabilidade de o pedido ter vindo de A, dado que apresenta erro? Ou seja:

| ?

Usando a fórmula da probabilidade condicional:

|

Mas sabemos que: | . Substituindo este resultado na equação acima:

||

Do teorema da probabilidade total, sabemos que: |

Substituindo este resultado na equação acima:

|

||

||

| |

Esta é a fórmula do teorema de Bayes.

Substituindo os valores:

|0,02 0,3

0,02 0,3 0,05 0,76

6 356

41

Convenci vocês de que é melhor ficar sem a fórmula?

Resumindo: existe uma fórmula que representa o chamado “teorema de Bayes”. Para resolvermos questões de concurso (em provas abertas a



candidatos de todas as áreas), a fórmula é desnecessária. Podemos ficar apenas com a abordagem frequentista da probabilidade.


Considere que 60% do total dos títulos que um investidor possui é do tipo X e o restante do tipo Y. A probabilidade do título X apresentar uma taxa de retorno igual ou superior à taxa de inflação é igual a 80% e do título Y igual a 50%. Selecionando ao acaso um título entre estes em poder do investidor e verificando que a taxa de retorno apresentada foi inferior à taxa de inflação, a probabilidade dele ser um título do tipo Y é igual a

(A) 37,5%

(B) 50,0%

(C) 56,5%

(D) 62,5%

(E) 65,0%

Resolução:

Suponha que são 100 títulos. Temos a seguinte distribuição:

- 60 títulos são do tipo X

- 40 títulos são do tipo Y.

80% dos títulos X têm retorno igual ou superior à inflação

50% dos títulos Y têm retorno igual ou superior à inflação.

0,8 60 48

0,5 40 20

Ficamos com:

- 48 títulos do tipo X têm retorno igual ou superior à inflação

- 12 títulos do tipo X não têm retorno igual ou superior à inflação.

- 20 títulos do tipo Y têm retorno igual ou superior à inflação.

- 20 títulos do tipo Y não têm retorno igual ou superior à inflação.

Escolhe-se um título ao acaso. É dado que seu retorno é inferior à inflação. Nossos casos possíveis ficam:

- 48 títulos do tipo X têm retorno igual ou superior à inflação

- 12 títulos do tipo X não têm retorno igual ou superior à inflação.



- 20 títulos do tipo Y têm retorno igual ou superior à inflação.

- 20 títulos do tipo Y não têm retorno igual ou superior à inflação.


Os casos favoráveis são aqueles em que o título é do tipo Y. São 20 casos favoráveis.


2032 62,5%

Gabarito: D

EC 33. INFRAERO 2009 [FCC]

Considere que, em um determinado período, uma pessoa aplica 40% de seu dinheiro em um título do tipo A e o restante em um título do tipo B, independentemente. A probabilidade de ela obter uma taxa de retorno igual ou superior à taxa de inflação na aplicação do título A é igual a 80% e na aplicação do título B igual a 90%. Logo após o período de aplicação, um título em poder dessa pessoa é escolhido aleatoriamente e verifica-se que a taxa de retorno foi inferior à taxa de inflação. A probabilidade de o título ser do tipo A é

(A) 2/3

(B) 4/5

(C) 3/8

(D) 4/7

(E) 3/5

Resolução:

Na minha opinião, a questão apresenta falhas e deveria ser anulada.

A banca quis fazer um enunciado semelhante ao da questão anterior, apenas mudando os valores.

O problema é que há um problema na redação desta questão.

O que importa para o cálculo da probabilidade é a quantidade de títulos de cada tipo. E isso não foi fornecido pela questão.

A questão apenas disse que 40% do dinheiro é aplicado em títulos do tipo A e 60% do dinheiro é aplicado em títulos do tipo B.

Isso não permite concluir, contudo, que 40% da quantidade total de títulos é do tipo A. Também não permite concluir que 60% da quantidade



total de títulos seja do tipo B. Isto ocorre porque não sabemos o preço unitário dos títulos.

Para melhor visualização, considere que a pessoa tem R$ 100,00. Ela aplica R$ 40,00 em títulos A e R$ 60,00 em títulos B.

Considere que o título A custe R$ 1,00 e o título B custe R$ 60,00.

Ou seja: ela comprará 40 títulos A e 1 título B. Selecionando-se aleatoriamente um título, a probabilidade de ele ser do tipo A é de 40/41 = 97,56%.

A probabilidade de o título ser do tipo A é bem maior, apesar de o dinheiro aplicado neste tipo de título ser apenas 40% da quantia investida.

Mas não vamos brigar com a questão. Nunca devemos fazer isso, pelo menos não na hora da prova. Vamos adotar a solução que o examinador quer ver.

O examinador queria a seguinte interpretação:

40% dos títulos são do tipo A

60% dos títulos são do tipo B.

Se forem 100 títulos, teremos:

- 40 títulos A

- 60 títulos B

80% dos títulos A têm retorno igual ou superior à inflação

90% dos títulos B têm retorno igual ou superior à inflação

0,8 40 32

0,9 60 54

Logo:

- 32 títulos A têm retorno igual ou superior à inflação

- 8 títulos A não têm retorno igual ou superior à inflação

- 54 títulos B têm retorno igual ou superior à inflação

- 6 títulos B não têm retorno igual ou superior à inflação

Escolhe-se um título ao acaso. É dado que a taxa de retorno foi inferior à inflação. Nossos casos possíveis ficam:

- 32 títulos A têm retorno igual ou superior à inflação

- 8 títulos A não têm retorno igual ou superior à inflação



- 54 títulos B têm retorno igual ou superior à inflação

- 6 títulos B não têm retorno igual ou superior à inflação

São 14 casos possíveis. Os casos favoráveis são aqueles em que o título é do tipo A. Há 8 casos favoráveis.

814

47

Gabarito: D

EC 34. DNOCS 2010 [FCC]

Um investidor aplica todo seu dinheiro da seguinte maneira: 50% em títulos de tipo X, 30% em títulos de tipo Y e 20% em títulos de tipo Z, independentemente. Sabe-se que a probabilidade de cada título apresentar uma taxa de rendimento superior à taxa de inflação é de 95% para o título tipo X, de 80% para o título tipo Y e de 80% para o título tipo Z. Um título em poder do investidor é escolhido aleatoriamente e verifica-se que não apresentou uma taxa de rendimento superior à taxa de inflação. A probabilidade deste título NÃO ser do tipo Z é igual a

(A) 80%.

(B) 70%.

(C) 68%.

(D) 64%.

(E) 52%

Resolução:

Na minha opinião, a questão apresenta exatamente a mesma falha de redação da questão anterior.

Deixando este problema de lado, vamos à solução que a banca queria.

Se forem 1.000 títulos, teremos:

- 475 títulos X com retorno superior à inflação

- 25 títulos X com rendimento não superior à inflação

- 240 títulos Y com retorno superior à inflação

- 60 títulos Y com rendimento não superior à inflação

- 160 títulos Z com retorno superior à inflação

- 40 títulos Z com rendimento não superior à inflação

É dado que o título não apresentou retorno superior à inflação.

- 475 títulos X com retorno superior à inflação



- 25 títulos X com rendimento não superior à inflação

- 240 títulos Y com retorno superior à inflação

- 60 títulos Y com rendimento não superior à inflação

- 160 títulos Z com retorno superior à inflação

- 40 títulos Z com rendimento não superior à inflação

Casos possíveis: 25 60 40 125

São favoráveis os casos em que o título não é do tipo Z. Estão nesta situação os 25 títulos X e os 60 título Y, totalizando 85 casos favoráveis.

85125 68%

Gabarito: C


Determinados processos de um tribunal são encaminhados para a análise de 3 analistas: X, Y e Z. Sabe-se que 30% de todos esses processos são encaminhados para X, 45% para Y e 25% para Z. Usualmente, por falta de documentação, uma parcela de tais processos é devolvida. Sabe-se que 5% , 10% e 10% dos processos de X, Y e Z, respectivamente, são devolvidos. A probabilidade de que um processo escolhido ao acaso tenha sido encaminhado para X, sabendo que foi devolvido, é

(A) 4/15

(B) 3/17

(C) 6/19

(D) 7/15

(E) 3/19

Resolução:

Supondo 1.000 processos, temos:

- 15 processos de X são devolvidos

- 285 processos de X não são devolvidos

- 45 processos de Y são devolvidos

- 405 processos de Y não são devolvidos

- 25 processos de Z são devolvidos

- 225 processos de Z não são devolvidos.



Escolhe-se um processo aleatoriamente. É dado que ele foi devolvido. Ficamos com:

- 15 processos de X são devolvidos

- 285 processos de X não são devolvidos

- 45 processos de Y são devolvidos

- 405 processos de Y não são devolvidos

- 25 processos de Z são devolvidos

- 225 processos de Z não são devolvidos.


São favoráveis os 15 casos em que o processo é encaminhado para X. 1585

317

Gabarito: B


Certo programa computacional pode ser usado com uma entre três sub-rotinas: A, B e C, dependendo do problema. Sabe-se que a sub-rotina A é usada em 50% das vezes, a B em 30% e a C em 20%. As probabilidades de que o programa chegue a um resultado dentro do limite de tempo são de 80%, caso seja usada a sub-rotina A, 60% caso seja usada a sub-rotina B e 60% caso seja usada a sub-rotina C. Se o programa foi realizado dentro do limite de tempo, a probabilidade de que a sub-rotina A tenha sido a escolhida é igual a

(A) 2/5

(B) 4/7

(C) 3/5

(D) 5/7

(E) 4/5

Resolução:

Se o programa for usado 100 vezes, temos:

- 40 vezes é usada a rotina A e chega-se ao resultado dentro do limite de tempo

- 10 vezes é usada a rotina A e não se chega ao resultado dentro do limite de tempo.



- 18 vezes é usada a rotina B e chega-se ao resultado dentro do limite de tempo

- 12 vezes é usada a rotina B e não se chega ao resultado dentro do limite de tempo.

- 12 vezes é usada a rotina C e chega-se ao resultado dentro do limite de tempo

- 8 vezes é usada a rotina C e não se chega ao resultado dentro do limite de tempo.

É dado que se chegou a um resultado dentro do limite de tempo. Nossos casos possíveis ficam:

- 40 vezes é usada a rotina A e chega-se ao resultado dentro do limite de tempo

- 10 vezes é usada a rotina A e não se chega ao resultado dentro do limite de tempo.

- 18 vezes é usada a rotina B e chega-se ao resultado dentro do limite de tempo

- 12 vezes é usada a rotina B e não se chega ao resultado dentro do limite de tempo.

- 12 vezes é usada a rotina C e chega-se ao resultado dentro do limite de tempo

- 8 vezes é usada a rotina C e não se chega ao resultado dentro do limite de tempo.

São 70 casos possíveis. São favoráveis os casos em que foi rodada a rotina A.

4070

47

Gabarito: B

EC 37. TRF 2ª REGIÃO 2007 [FCC]

Um teste laboratorial de sangue é 95% efetivo para detectar uma certa doença, quando ela está presente. Entretanto, o teste também resulta em falso positivo para 1% das pessoas saudáveis testadas. Se 0,5% da população realmente tem a doença, a probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado que o resultado do teste é positivo, é:

a) 0,9

b) 0,8



c) 0,4

d) 0,35

e) 0,32

Resolução:

Vamos supor que a população tem 100.000 habitantes. Para obedecer às condições do enunciado, temos o seguinte quadro:

475 pacientes têm a doença e o exame dá positivo

25 pacientes têm a doença e o exame dá negativo

98.505 pacientes não têm a doença e o exame dá negativo

995 pacientes não têm a doença e o exame dá positivo

Estamos interessados nos casos em que a pessoa tem a doença. Os casos favoráveis são:



E foi dada uma condição. A condição é o exame ter dado positivo. Vamos rever nossos casos possíveis e favoráveis.

Casos possíveis:



98.505 pacientes não têm a doença e o exame dá negativo

995 pacientes não têm a doença e o exame dá positivo

Casos favoráveis:




32,0995475

475≅

+=P

Gabarito: E.



Observe que, mesmo quando o teste dá positivo, a probabilidade de a pessoa ter a doença é bem pequena.

EC 38. TSE 2007 [CESPE]

Um documento administrativo pode ser encaminhado de duas formas diferentes: A ou B. Os registros históricos mostram que o encaminhamento pela forma A ocorreu em 70% dos casos, e, pela forma B, ocorreu em 30% dos casos. Entre os documentos encaminhados pela forma A, observou-se que, em 60% das situações, o tempo necessário para o documento chegar ao destino final foi maior que 10 dias. Já entre os documentos encaminhados pela forma B, em 40% dos casos o tempo necessário para o documento chegar ao destino final foi maior que 10 dias. Considerando que o tempo necessário para um documento chegar ao destino final foi maior que 10 dias, a probabilidade desse documento ter sido encaminhado pela forma A é um valor H, tal que

A) 0,40 ≤ H ≤ 0,55.

B) 0,55 ≤ H ≤ 0,70.

C) 0,70 ≤ H ≤ 0,85.

D) 0,85 ≤ H ≤ 1,00.

Resolução:

Vamos pensar que são 100 documentos encaminhados. Temos:

- 70 são encaminhados pela forma A

- 30 são encaminhados pela forma B

Dos 70 encaminhados pela forma A, 60% gastaram mais de 10 dias para chegar ao destino final. Dos 30 encaminhados pela forma B, 40% gastaram mais de 10 dias para chegar ao destino final. Logo:

- 42 foram encaminhados pela forma A e gastaram mais de 10 dias

- 28 foram encaminhados pela forma A e gastaram 10 dias ou menos

- 12 são encaminhados pela forma B e gastaram mais de 10 dias

- 18 são encaminhados pela forma B e gastaram 10 dias ou menos

Pede-se a probabilidade de um documento ter sido encaminhado pela forma A dado que o tempo foi maior que 10 dias.

São 42 casos favoráveis:





São 54 casos possíveis:



- 12 são encaminhados pela forma B e gastaram mais de 10 dias

- 18 são encaminhados pela forma B e gastaram 10 dias ou menos


=5442

0,77

Gabarito: C

EC 39. MS ADM 2010 [CESPE]

João foi submetido a um teste de laboratório para o diagnóstico de uma doença rara. A probabilidade de essa doença se desenvolver em um indivíduo como o João é igual a 0,001. Sabe-se que esse teste pode resultar em “falso positivo”, ou seja, indicar que João possui essa doença, quando na verdade ele não a tem. Ou, o teste pode resultar em “falso negativo”, isto é, indicar que João não possui a doença, quando na verdade ele está doente. A probabilidade de o teste resultar em falso positivo é igual a 0,05 e a probabilidade de o teste resultar em falso negativo é igual a 0,02.

Com base nas informações dessa situação hipotética, julgue os itens subsequentes.

66. Se qualquer indivíduo como João submeter-se ao teste, então a probabilidade de o teste produzir um resultado negativo é superior a 0,94 e é inferior a 0,98.

67. Se o teste ao qual João foi submetido der resultado positivo, então a probabilidade de ele estar de fato com a doença é inferior a 0,02.

68. Se quatro indivíduos que possuem essa doença forem selecionados ao acaso e submetidos ao referido teste de laboratório, e se os resultados forem independentes entre si, então a probabilidade de ocorrerem exatamente dois resultados negativos e dois resultados positivos é inferior a 0,005.

Resolução:

Vamos supor que são 100.000 pessoas como João.

O número de pessoas com a doença é:



0,001 100.000 100

Logo, são 100 doentes e 99.900 saudáveis. Doentes SaudáveisTeste positivo Teste negativo Total 100 99.900

A probabilidade de falso positivo é 5%. Ou seja, entre os saudáveis, o teste vai dar positivo 5% das vezes.

0,05 99.900 4.995 Doentes SaudáveisTeste positivo 4.995 Teste negativo Total 100 99.900

Fazendo a diferença entre 99.900 e 4.995, encontramos em quantos casos o teste dá negativo para os saudáveis. Doentes SaudáveisTeste positivo 4.995 Teste negativo 94.905 Total 100 99.900

A probabilidade de falso negativo é 2%. Logo, entre os doentes, o teste dará negativo em 2% das vezes.

2% 100 2 Doentes SaudáveisTeste positivo 98 4.995 Teste negativo 2 94.905 Total 100 99.900

Item 66.

Pede-se a probabilidade de teste negativo.

Casos favoráveis: 94.900 + 2 = 94.907

Casos possíveis: 100.000

Probabilidade:

94.907100.000 94,907%

Item certo.

Item 67.



É dado que João fez o teste e deu positivo. Pede-se a probabilidade de a pessoa ser doente.

Temos que rever os casos possíveis e favoráveis, considerando a condição dada: Doentes SaudáveisTeste positivo 98 4.995 Teste negativo 2 94.905Total 100 99.900

Casos favoráveis: 98

Casos possíveis: 98 + 4.995 = 5.093

A probabilidade de ter a doença é dada por:

985.093 1,92%

Item certo.

Em vez de fazer a multiplicação, poderíamos multiplicar, que é mais rápido.

2% de 5.000 = 100.

Logo, 98 é menos de 2% de 5.000. Já sabemos que a probabilidade é menor que 2%, ainda que não a tenhamos calculado.

Item 68.

Da tabela, sabemos que 98% dos doentes tem resultado positivo e 2% tem resultado negativo.

As seguintes possibilidades atendem ao item:

1 – positivo, positivo, negativo, negativo

2 – positivo, negativo, positivo, negativo

3 – positivo, negativo, negativo, positivo

4 – negativo, negativo, positivo, positivo

5 – negativo, positivo, negativo, positivo

6 – negativo, positivo, positivo, negativo

Vamos trabalhar com o primeiro caso.

Queremos que o primeiro doente tenha resultado positivo, o segundo tenha resultado positivo, o terceiro, negativo, e o quarto, negativo.



Todos os eventos são independentes. A probabilidade da intersecção é o produto das probabilidades:

Os demais casos (de 2 a 6, acima listados) têm a mesma probabilidade.

0,98 0,98 0,02 0,02

Portanto, a probabilidade de exatamente dois resultados positivos fica:

Para facilitar as contas, vamos aproximar. Vamos substituir 0,98 por 1.

6 0,98 0,98 0,02 0,02

Com isso, estamos aumentando a probabilidade.

6 0,02 0,02 0,0024

Na verdade, a probabilidade é um pouco menor que 0,0024. Isto porque nós trocamos 0,98 por 1.

Concluímos que P < 0,0024. Logo, certamente é menor que 0,005.

Item certo

Gabarito: certo, certo, certo

9. Probabilidade e análise combinatória

Em vários problemas de probabilidade nós podemos usar as ferramentas estudadas em análise combinatória.

Podemos usar a análise combinatória para contar quantos são os casos possíveis e quantos são os casos favoráveis.


Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando-se, ao acaso, três desses profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a:

a) 0,10

b) 0,12

c) 0,15

d) 0,20

e) 0,24

Resolução:

De quantas formas podemos escolher os profissionais?

Vamos dividir em etapas.



Na primeira etapa, temos 10 opções (são 10 profissionais).

Escolhido o primeiro para entrar no grupo de trabalho, sorteamos o segundo. Nessa segunda etapa temos, portanto, 9 opções.

Escolhidos os dois primeiros, vamos ao terceiro. Para a terceira vaga do grupo de trabalho nos restam 8 opções.

Logo, o número total de formas pelas quais podemos formar o tal grupo é:

7208910 =××


Vamos ver agora quantos são os casos favoráveis.

Estamos interessados nos casos em que os três escolhidos são do mesmo sexo.

Vamos dividir em dois casos. Primeiro caso: são sorteadas três mulheres. Segundo caso: são sorteados três homens.

Vejamos de quantas formas podemos escolher três mulheres.

No primeiro sorteio, temos 4 mulheres para escolher. São 4 maneiras de completar a primeira etapa.

Escolhida a primeira mulher, vamos para a segunda etapa. No segundo sorteio, temos 3 opções de mulher.

Escolhidas a primeira e a segunda mulheres, vamos para a terceira etapa. Na terceira etapa, restaram opções de mulher.

Assim, o número de maneiras pelas quais podemos escolher três mulheres é:

24234 =××

São 24 formas de se sortearem as três mulheres.

Para os homens as contas são análogas. Temos 6 formas de realizar a primeira etapa (são 6 opções de homem para o segundo sorteio). Escolhido o primeiro homem, ficamos com 5 opções para o segundo sorteio. Escolhidos o primeiro e o segundo homens, ficamos com 4 opções para o terceiro sorteio.

O número de maneiras pelas quais podemos escolher três homens é:

1ª etapa 2ª etapa 3ª etapa

10 9 8


4 3 2



120456 =××

São 120 formas de se escolherem os três homens.

Ao todo, são 144 casos favoráveis. São 120 casos em que temos três homens no grupo de trabalho. E 24 casos nos quais temos três mulheres no grupo de trabalho.

Além disso, são 720 casos possíveis.

A probabilidade de termos três profissionais do mesmo sexo é:

%2051

6012

720144

====P

Gabarito: D

Não sei se vocês notaram, mas, no exercício anterior, não nos preocupamos muito em saber se a ordem era importante ou não. Não nos preocupamos em saber se era um caso de arranjo ou combinação.

O grande detalhe é que estamos estudando probabilidades. Não se pergunta o número de formas de se executar um dado processo. Pergunta-se a probabilidade de ocorrência de um dado evento.

Para achar a probabilidade, contamos os casos possíveis e os favoráveis.

E na hora de contar quantos são os casos possíveis e favoráveis é que usamos a análise combinatória, podendo, dependendo do caso, usar a combinação ou o arranjo.

Acontece que, se considerarmos que a ordem importa, ou seja, o conjunto A,B,C é diferente do conjunto C, B, A, então o número de casos possíveis e favoráveis será bem grande.

Se considerarmos que a ordem não importa (caso de combinação), teremos que excluir as contagens repetidas. Só que fazemos isso tanto no numerador quanto no denominador. O número de casos favoráveis diminui. E o número de casos possíveis também diminui. De forma que a fração não se altera.

O que estou querendo dizer é que, para calcular a probabilidade, é muitas vezes indiferente considerar se a ordem importa ou não.

Vamos ver por que.


6 5 4



Vamos refazer o EC 40. Na solução lá da página 74, nós simplesmente utilizamos o princípio fundamental da contagem (supusemos, implicitamente, que a ordem de escolha era relevante; uma alteração na ordem das pessoas escolhidas implicaria em nova formação do grupo de engenheiros). Vamos fazer uma segunda solução, considerando que a ordem não importa (supondo um caso de combinação).

Primeiro vejamos o número de casos possíveis. Queremos escolher 3 profissionais em 10 possíveis, sendo que a ordem de escolha não é relevante. Temos uma combinação de 10 engenheiros, tomados 3 a 3. O número de casos possíveis é dado por:

( ) ( ) ( ) ( ) 1201238910

!7!3!78910

!7!3!10

3,10 =××××

=×

×××=

×=C


Vamos aos casos favoráveis. São duas possibilidades. Ou são escolhidas três mulheres ou são escolhidos três homens.

Vejamos de quantas formas podemos escolher três homens. Queremos formar um grupo de 3 engenheiros a partir de 6 disponíveis. Temos uma combinação de 6, tomados 3 a 3.

O número de maneiras de se escolherem os 3 engenheiros é:

20!3

456!3!3

!3456!3!3

!63,6 =

××=

××××

=×

=C

Analogamente, o número de maneiras de se escolherem as 3 engenheiras é:

4!1!3!34

!1!3!4

3,4 =××

=×

=C

Temos um total de 24 casos favoráveis (=20+4). E temos 120 casos possíveis. A probabilidade procurada fica:

%2012024

==P

E, novamente, marcamos a letra D.

Note que a reposta foi a mesma, seja quando consideramos que a ordem era relevante, seja quando consideramos ser um caso de combinação.

Considerando arranjo, os casos possíveis eram 720, contra 144 casos favoráveis.

Considerando combinação, os casos possíveis foram reduzidos para 120. Em contrapartida, os casos favoráveis também foram reduzidos, na



mesma proporção. Por isso a probabilidade não se altera, pois numerador e denominador foram reduzidos por um mesmo fator.

Foi por isso que não nos preocupamos muito em saber se a ordem importava ou não.

O importante é manter a coerência, do início ao fim do exercício.

Detalhe: isso só vale se não houver reposição.

Caso haja reposição, as duas soluções darão resultados diferentes. Considerar que a ordem é importante dará um resultado diferente da solução que não considera.

Este detalhe é bem sutil. Vejamos um exercício:

EC 41. COFECON 2009 [UNIVERSA]

São lançados dois dados cujas faces são numeradas de 1 a 6. O jogador P vence se a divisão do maior número pelo menor número for exata. Caso contrário, o jogador Q vence. Nessa situação, é correto afirmar que

(A) Q será o vencedor.

(B) P será o vencedor.

(C) o jogo é equilibrado, isto é, cada jogador tem igual chance de vencer.

(D) a probabilidade de Q vencer é de 5/6

(E) a probabilidade de P vencer é de 2/3

Resolução:

Primeiro vamos ao número de casos possíveis.

Para o primeiro dado há seis resultados possíveis.

Para o segundo dado há seis resultados possíveis.

O número de pares de resultados é dado por:

Bastou aplicar o princípio fundamental da contagem.

6 6 36

A divisão não será exata quando forem obtidos os seguintes pares:

(2, 3), (3,2), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3), (3,5), (5,3), (4,5), (5,4), (4,6), (6,4), (5,6), (6,5)



Em 14 casos a divisão não é exata. Logo, em 22 casos a divisão é exata.

A probabilidade de P vencer é:

2236

1118

Consequentemente, a probabilidade de Q vencer é:

718

Não há alternativa correta.

Na minha opinião, a questão deveria ser anulada.

O gabarito dado pela banca foi a letra E.

Gabarito: E

Para chegar a este gabarito, poderíamos fazer assim: Números sorteados

Divisão exata?

1 e 1 Sim 1 e 2 Sim 1 e 3 Sim 1 e 4 Sim 1 e 5 Sim 1 e 6 Sim 2 e 2 Sim 2 e 3 Não 2 e 4 Sim 2 e 5 Não 2 e 6 Sim 3 e 3 Sim 3 e 4 Não 3 e 5 Não 3 e 6 Sim 4 e 4 Sim 4 e 5 Não 4 e 6 Não 5 e 5 Sim 5 e 6 Não 6 e 6 Sim

São 21 casos: em 7 casos a divisão não é exata, em 14 a divisão é exata.

A probabilidade de P vencer é:

1421

23



Esta probabilidade está indicada na letra “e”, que foi dada como gabarito.

A banca considerou que sortear (4, 5) e (5,4) dá no mesmo.

Com isso, o número de casos possíveis foi reduzido de 36 para 21. O número de casos favoráveis (vitória de P) foi reduzido de 22 para 14.

As reduções não foram na mesma proporção.

Qual o erro desta resolução?

O erro está em se considerar que a ordem não é importante.

A banca está afirmando que os 21 casos possíveis por ela obtidos são equiprováveis, ou seja, têm a mesma chance de sair.

Mas isso é falso.

Como exemplo, tomemos o caso (1,1).

Para obtermos este resultado, devemos obter 1 no primeiro dado e devemos obter 1 no segundo dado. A probabilidade é:

16

16

136

Agora tomemos o caso (4,5). Como a banca considera que a ordem não é importante, este caso representa, na verdade, duas possíveis ocorrências:

- 4 no primeiro dado e 5 no segundo;

- 5 no primeiro dado e 4 no segundo.

A probabilidade de ocorrer um destes dois eventos fica:

216

16

118

Veja que os eventos não são equiprováveis. Obter (4, 5), em qualquer ordem, é muito mais fácil que obter (1, 1).

Na minha opinião, a questão deveria ser anulada.

Como faço sempre que minha resposta diverge da banca, peço que, se vocês encontrarem algum erro na minha solução, me avisem.


Ao se lançar uma vez um par de dados não viciados, ao mesmo tempo, a probabilidade de a soma dos pontos ser 4 ou 8 é de

(A) 5/ 36.

(B) 7/ 36.



(C) 8/ 36.

(D) 11/ 36.

(E) 13/36

Resolução.

Temos uma questão extremamente semelhante à anterior, também elaborada pela Universa, no mesmo ano de 2009. Mas, surpreendentemente, aqui ela não cometeu o mesmo erro. A banca considerou que a ordem dos resultados é importante.

No lançamento do primeiro dado, há 6 resultados possíveis.

No lançamento do segundo dado, há 6 resultados possíveis.

Aplicando o princípio fundamental da contagem:

6 6 36


Vamos agora aos casos favoráveis.

Para que a soma seja 4 ou 8, podemos ter:

(2,2), (3,1), (1,3), (2,6), (6,2), (3,5), (5,3), (4,4)



836

Gabarito: C

EC 43. TRF 1ª Região/2001 [FCC] A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências das notas obtidas num teste de matemática, realizado por 50 estudantes.

Notas Frequência absoluta 0 �− 2 4 2 �− 4 12 4 �− 6 15 6 �− 8 13 8 �− 10 6

Selecionando-se ao acaso e sem reposição três estudantes dentre esses 50, a probabilidade de pelo menos um ter tirado nota igual ou superior a 2 é:



a) 3

504⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ b)

3

5041 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− c)

473

5046

504

350

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ d)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

35034

e) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

35034

1

⎟⎜

Resolução: A questão emprega outra simbologia para a combinação.

⎞⎟⎠

⎜⎝

⎛=

pn

C pn,

Tanto faz escrever pnC , ou ⎟⎟⎠

⎜⎞

⎜⎝

⎛pn

, é a mesma coisa.

Selecionam-se, aleatoriamente, três alunos. Seja A o evento que ocorre quando pelo menos um dos três alunos escolhidos tirou nota igual ou superior a 2. O evento complementar (símbolo: A ) ocorre quando todos os três alunos selecionados tiraram nota menor que 2.

Vamos calcular a probabilidade do evento complementar ( A

⎟⎜

).

Comecemos pelo número de casos possíveis. Temos 50 alunos. Precisamos escolher 3, sem reposição, onde a ordem não importa. Temos uma combinação de 50, tomados 3 a 3.

Número de casos possíveis: ⎞⎟⎠

⎜⎝

⎛3

⎟⎜

50

Agora os casos favoráveis. Queremos ver quantas combinações podemos formar com 3 alunos que tiraram notas abaixo de 2. São 4 alunos nessa condição. Precisamos escolher 3, sem reposição, onde a ordem não importa. Temos uma combinação de 4, tomados 3 a 3.

Número de casos favoráveis: ⎞⎟⎠

⎜⎝

⎛34

⎟⎜

A probabilidade do evento complementar fica:

⎞⎟⎠

⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

35034

)(AP

Consequentemente, a probabilidade do evento A fica:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

35034

1)(AP



Gabarito: E.

EC 44. TI PI 2009 [FCC]

Todas as comissões possíveis com 4 pessoas escolhidas entre um grupo de 6 foram formadas. Escolhendo aleatoriamente uma destas comissões, a probabilidade de Antônio e Paulo, que fazem parte do grupo, pertencerem à comissão é igual a

(A) 2/5

(B) 3/4

(C) 3/5

(D) 1/2

(E) 2/3

Resolução:

Comissões possíveis:

,6!

4! 2! 15

Os casos favoráveis são aqueles em que Antônio e Paulo fazem parte do grupo.

Temos que contar quantas são as comissões com Antônio, Paulo e mais duas pessoas.

Eram 6 pessoas. Duas já foram escolhidas para compor a comissão (Antônio e Paulo). Sobraram 4 pessoas e temos que escolher mais duas para completar a comissão.

O número de maneiras de fazer isso é:

,4!

2! 2! 6

A probabilidade fica: 6

1525

Gabarito: A


Considere amostras ordenadas de tamanho 4 com repetição, com escolhas aleatórias tomadas de uma população de tamanho 10. A probabilidade de que nenhum elemento apareça mais de uma vez na amostra é

(A) 1/40

(B) 1/20

(C) 1/8



10 9 8 7

(D) 27/1000

(E) 63/125

Resolução:

Para facilitar o entendimento, considere as 10 primeiras letras do alfabeto:

A, B, C, D, E, F, G, H, I, J

Vamos escolher 4 letras, com reposição.

O número de amostras possível é:

- para a primeira letra há 10 opções

- para a segunda letra há 10 opções

- para a terceira letra há 10 opções

- para a quarta letra há 10 opções

Aplicando o PFC:

Os casos favoráveis são aqueles em que não há elementos repetidos.

10 10 10 10

Ficamos com:

- para a primeira letra há 10 opções

- para a segunda letra há 9 opções

- para a terceira letra há 8 opções

- para a quarta letra há 7 opções

Aplicando o PFC:

A probabilidade é dada por: 10 9 8 7

10 10 10 109 8 7

10 10 109 7

5 5 563

125Gabarito: E


O grupo que trabalha num departamento de uma empresa estatal é composto de 3 analistas e 4 advogados. Se 4 indivíduos são escolhidos aleatoriamente e se lhes atribui um projeto, a probabilidade de que o grupo do projeto tenha exatamente 2 analistas é

(A) 2/17

(B) 4/15



(C) 9/17

(D) 5/19

(E) 18/35

Resolução:

Grupos com exatamente 2 analistas:

, , 3 6 18

Grupos possíveis:

A probabilidade é igual a:

, 35

1835

Gabarito: E


Uma fábrica de chocolate produz dois tipos de caixas de bombons: com e sem açúcar. Cada caixa contém 10 bombons. Por descuido, foram misturados 3 bombons sem açúcar em uma caixa de bombons doces. A caixa foi oferecida a uma criança que retirou 2 bombons. A probabilidade destes dois bombons serem sem açúcar é:

a) 1/15

b) 1/20

c) 3/20

d) 3/15

e) 1/5

Resolução:

Vamos usar o princípio fundamental da contagem para calcular o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.

Podemos dividir o processo em etapas.

A criança retira dois chocolates da caixa. Na primeira retirada, tem 10 opções (pois, inicialmente, são 10 bombons).

Retirado o primeiro bombom, passamos para a segunda retirada, em que há 9 opções.

O número de casos possíveis é:



90910 =×

Agora vamos aos casos favoráveis. Queremos os casos em que os dois bombons são sem açúcar. Na primeira etapa, há 3 opções de bombons sem açúcar. Retirado o primeiro bombom sem açúcar, para a segunda etapa sobram duas opções.

623 =×

São 6 casos favoráveis e 90 casos possíveis. A probabilidade fica:

151

906==P

Gabarito: A.


Em um jogo, um participante seleciona sucessivamente ao acaso duas bolas de uma urna que contém 10 bolas sendo: 4 pretas, 3 vermelhas e 3 brancas. O esquema de premiação do jogo consiste das seguintes regras: para cada bola vermelha sorteada o participante ganha um real, para cada bola preta sorteada ele perde um real e para cada bola branca sorteada ele não ganha e nem perde nada.

Se a seleção for realizada sem reposição, a probabilidade do participante não ganhar nada neste jogo é:

a) 1/6

b) 1/5

c) 1/4

d) 1/3

e) 1/8

Resolução:

Vamos dividir o procedimento em etapas. Cada retirada é uma etapa.

Na primeira etapa, há 10 opções. Retirada a primeira bola, para a segunda etapa sobram 9 opções. O número de casos possíveis é:

90910 =×São 90 casos possíveis.

1ª etapa 2ª etapa

10 9

1ª etapa 2ª etapa

3 2

1ª etapa 2ª etapa

10 9



Para o jogador não ganhar e nem perder nada, temos as seguintes possibilidades:

· Ele retira duas bolas brancas

· Ele retira uma bola preta na primeira escolha e uma vermelha na segunda escolha

· Ele retira uma bola vermelha na primeira escolha e uma bola preta na segunda

Primeira situação: ele retira duas bolas brancas. Na primeira etapa há 3 opções (há 3 bolas brancas disponíveis). Retirada a primeira bola branca, sobram 2 opções para a segunda etapa.

623 =×

Segunda situação: a primeira bola retirada é preta e a segunda é vermelha. Na primeira etapa há 4 opções. Na segunda, são 3.

1234 =×Terceira situação. É análoga à anterior.

1243 =×

Assim, o número de casos favoráveis é: 6 + 12 + 12 =30

A probabilidade procurada é:

3/19030

==P

Gabarito: D


Em um jogo, um participante seleciona sucessivamente ao acaso duas bolas de uma urna que contém 10 boas sendo: 4 pretas, 3 vermelhas e 3 brancas. O esquema de premiação do jogo consiste das seguintes regras: para cada bola vermelha sorteada o participante ganha um real, para cada bola preta sorteada ele perde um real e para cada bola branca sorteada ele não ganha e nem perde nada.

1ª etapa 2ª etapa

3 2

1ª etapa 2ª etapa

4 3

1ª etapa 2ª etapa

3 4



Se a seleção for realizada com reposição, a probabilidade do participante ganhar R$ 1,00 neste jogo é:

a) 0,25

b) 0,18

c) 0,15

d) 0,12

e) 0,10

Resolução:

Exercício semelhante ao anterior. Os casos possíveis agora mudam, pois há reposição de bolas. Na primeira etapa, temos 10 opções. A bola retirada é recolocada na urna. Para a segunda etapa, temos, novamente, 10 opções. Ficamos com 100 casos possíveis:

Casos possíveis: 1001010 =×

Para o participante ganhar R$ 1,00, temos duas situações:

· A primeira bola retirada é branca e a segunda vermelha

· A primeira bola retirada é vermelha e a segunda branca

Primeira situação. Para a primeira etapa temos 3 opções de bolas brancas. Para a segunda etapa temos 3 opções de bolas vermelhas.

933 =×

Para a segunda situação as contas são análogas. Temos, novamente, 9 casos favoráveis.

O número total de casos favoráveis é 18 (9+9=18)

A probabilidade procurada é:

18,010018

==P

Gabarito: B.


Em um setor de uma fábrica trabalham 10 pessoas que serão divididas em 2 grupos de 5 pessoas cada para realizar determinadas tarefas. João e Pedro são duas dessas pessoas. Nesse caso, a probabilidade de João e Pedro ficarem no mesmo grupo é

1ª etapa 2ª etapa

10 10

1ª etapa 2ª etapa

3 3



A) inferior a 0,36.

B) superior a 0,36 e inferior a 0,40.

C) superior a 0,40 e inferior a 0,42.

D) superior a 0,42 e inferior a 0,46.

E) superior a 0,46.

Resolução:

Vamos focar no grupo do João.

De quantas formas é possível montar o grupo de João?

Bem, temos que escolher, entre as 9 pessoas restantes, 4 para completar o grupo. O número de maneiras de fazer isso é:

279234

67894,9 ××=

×××××

=C

Agora vamos aos casos favoráveis.

Estamos interessados nos casos em que Pedro e João ficam juntos. Assim, uma das 4 vagas do grupo de João deve ser preenchida com Pedro. Sobram 3 vagas a serem preenchidas. O número de formas de preenche-las é:

7823

6783,8 ×=

×××

=C


==××

×=

94

27978P 0,44

Gabarito: D.

EC 51. MINISTÉRIO DA SAÚDE 2008 [CESPE]

Julgue o item a seguir:

Se uma gaveta de arquivo contiver 7 processos distintos: 3 referentes à compra de materiais hospitalares e 4 referentes à construção de postos de saúde, então, retirando-se ao acaso, simultaneamente, 3 processos dessa gaveta, a probabilidade de que pelo menos dois desses processos sejam referentes a compra de materiais hospitalares será superior a 0,4.

Resolução:



A gaveta contém 7 processos e vamos retirar 3. Vejamos de quantas formas é possível escolher os três processos.

Temos um caso de combinação:

3523

5673,7 =

×××

=C


Destes 35 casos possíveis, nos interessam aqueles em que temos pelo menos dois processos de compra de material hospitalar. Ou seja, estamos interessados nos casos em que:

- exatamente 2 dos processos escolhidos são de compra de material hospitalar

- exatamente 3 dos processos escolhidos são de compra de material hospitalar

Primeiro caso: exatamente 2 processos de compra são escolhidos.

No primeiro caso, temos que escolher 2 processos de compra (entre os três disponíveis) e 1 processo sobre outro assunto (entre os quatro disponíveis).

O número de formas de escolhermos os 2 processos de compra fica:

32,3 =C

O número de forma de escolhermos o processo sobre outro assunto é dado por:

41,4 =C

Se dividirmos a escolha dos processos em etapas, temos:

- há 3 formas de executarmos a primeira etapa (qual seja, escolher os processos sobre compra de material hospitalar)

- há 4 formas de executarmos a segunda etapa (qual seja, escolher o processo sobre outro assunto).

Aplicando o PFC, temos:

1243 =×

Segundo caso: os três processos escolhidos são sobre compra de material hospitalar.

Há um único modo de fazer esta escolha.



13,C3 =

Com isso, o número de casos favoráveis fica:

12 + 1 = 13.

E a probabilidade é dada por:

3513

=P = 0,37

Gabarito: errado.



A probabilidade de uma chapa ser sorteada é maior que 1/20 .

5 7 12 420

Resolução:

Para calcular o número de casos possíveis, usamos o PFC.

Para a escolha do governador há 5 opções.

Para a escolha do senador há 7 opções.

Para a escolha do deputado há 12 opções.

Aplicando o PFC:

A probabilidade é dada por:

O item afirma que a probabilidade é maior que:

1420

120

1400

Contudo, 1/420 é menor que 1/400. O item está errado.

Gabarito: errado.



EC 53. BASA 2009 [CESPE]

Com relação ao cálculo de probabilidades, julgue os itens seguintes.

68 Considere que duas bolas tenham sido selecionadas aleatoriamente, e sem reposição, de uma urna contendo 10 bolas numeradas de 0 a 9. Se a soma dos números associados às bolas retiradas é um número par, a probabilidade de ambos os números serem ímpares é menor que 50%.

70. Suponha, que em um clube, existam 3 bolas de basquete, 2 bolas de futebol e 3 bolas de vôlei. Sabendo-se que, em um dado momento, 4 bolas já haviam sido emprestadas, a probabilidade de um menino que tenha chegado imediatamente após esse momento conseguir tomar emprestada uma bola de futebol é maior que 55%.

Resolução:

Item 68.

De 0 a 9 são 5 números pares e 5 números ímpares.

Para a soma dos dois números escolhidos ser par, temos duas possibilidades:

- os dois números são pares.

- os dois números são ímpares.

De quantos modos podemos escolher dois números pares?

Temos cinco números possíveis e precisamos escolher 2. Trata-se de combinação de 5, tomados 2 a 2.

Há 10 formas de escolher dois números pares.

,5 4

2 10

De modo análogo, há 10 formas de escolher dois números ímpares.

Somando tudo:

São 20 formas de escolhermos duas bolas, tal que a soma seja par.

10 10 20

É dado que a soma dos dois números é par. Logo, estamos em um dos 20 casos acima.

A probabilidade de ambas bolas serem ímpares é igual a:

1020 50%

Item 70.



Vamos calcular a probabilidade de o menino não conseguir a bola de futebol.

Para tanto, as duas bolas de futebol devem já ter sido emprestadas.

O número total de maneiras de escolhermos 4 das 8 bolas para emprestar é:

Agora vamos aos casos favoráveis.

,8 7 6 5

4 3 2 70

Estamos interessados nos casos em que, destas 4 bolas emprestadas, 2 sejam de futebol.

Neste caso, para completar as 4 bolas, precisamos escolher mais 2, entre as 6 restantes.

O número de maneiras de fazer isso é:

A probabilidade de as bolas de futebol já terem sido emprestadas é:

,6 5

2 15

1570

Logo, a probabilidade de pelo menos uma das bolas não ter sido emprestada é igual a:

11570

5570 78,57%

Gabarito: errado, certo

EC 54. BRB 2009 [CESPE]

A senha de um cartão de crédito possui quatro dígitos, que são algarismos entre 0 e 9, e a administradora desse cartão veda senhas em que todos os quatro algarismos sejam iguais, ou que os algarismos correspondam ao dia e mês de aniversário do titular do cartão. Por exemplo, se um indivíduo nasceu no dia 4 de março, a senha de seu cartão não pode ser 0403. É possível que diferentes cartões de crédito tenham a mesma senha. A senha é solicitada sempre que o titular realizar algum pagamento; se o portador do cartão errar ao informar a senha por três vezes consecutivas, o cartão é bloqueado imediatamente.

Com base no texto acima, julgue os itens a seguir.

103. Se um indivíduo nasceu no primeiro semestre do ano, então um número de quatro dígitos, escolhido aleatoriamente, tem mais de 99,9% de chance de ser uma senha possível para ele.



104. Considere que um titular de cartão, nascido no dia 12 de outubro, tenha esquecido sua senha, mas lembre apenas que ela é um múltiplo de 5. Se, ao fazer um pagamento, ele inserir, a cada solicitação de senha, um número distinto, de quatro dígitos, escolhido aleatoriamente entre suas possíveis senhas, a probabilidade de ele ter seu cartão bloqueado será igual a 1994/1997.

Resolução:

Item 103.

O número de senhas possíveis, ignorando as restrições, é:

10 10 10 10 10.000

Contudo, temos que excluir os casos em que os quatro algarismos são iguais (0000, 1111, 2222, 3333, 4444, 5555, 6666, 7777, 8888, 9999).

10.000 10 9.990

Temos também que excluir a senha correspondente à sua data de aniversário.

9.990 1 9.989

Assim, se escolhermos uma senha aleatoriamente, independente de restrições, temos 10.000 casos possíveis. Destes, 9.989 são casos favoráveis, ou seja, podem ser usados como senha.

9.98910.000 99,89%

Item errado.

1.998 1 1.997

Item 104.

Se a senha é múltipla de cinco, então o último algarismo só pode ser 0 ou 5.

O número de senhas possível é:

10 10 10 2 2.000

Destas senhas, temos que retirar aquelas com quatro algarismos repetidos que também sejam múltiplas de cinco (0000, 5555).

2.000 2 1.998

Também temos que retirar a senha 1210, que corresponde ao seu aniversário, e é múltipla de cinco.

São 1.997 senhas possíveis.



A pessoa vai escolher três senhas para testar. A probabilidade de, em uma destas vezes, ela acertar a senha, é:

31997

Logo, a probabilidade ele não acertar a senha nestas três vezes (bloqueando sua senha) é:

13

199719941997

Item certo

Gabarito: errado, certo

Encerramos aqui nossa aula.

Bons estudos!

Vítor

II. QUADRO RESUMO

Tópico Lembretes

Probabilidade

(abordagem frequentista)

- É a freqüência relativa que seria obtida em um número muito grande de experimentos.

Probabilidade quando

eventos elementares são equiprováveis

número de casos favoráveisnúmero de casos possíveis

=

nº de elementos do eventonº de elementos do espaço amostral

Probabilidade condicional - Rever lista de casos possíveis e favoráveis, eliminando aqueles que não atendem à condição.

- Fórmula:

)()()|(

BPBAPBAP ∩

=

Se os eventos forem independentes, então:

)()|( APBAP =

Se os eventos forem independentes também vale:



Tópico Lembretes

Probabilidade da união )()()()( BAPBPAPBAP ∩−+=∪

Se eventos forem mutuamente excludentes, então:

)()()( BPAPBAP +=∪

Probabilidade do evento complementar

)()(1 APAP= +

Teorema da probabilidade total Usar árvore de probabilidades em que os ramos representam eventos complementares. Anotar em cada “setinha” a probabilidade associada.

Probabilidade e análise combinatória

Usar análise combinatória para contar número de casos favoráveis e número de casos possíveis.

III. LISTA DAS QUESTÕES DE CONCURSO

EC 1. AUGE MG 2009 [CESPE]

Em um departamento de determinada empresa, 30% das mulheres são casadas, 40% solteiras, 20% divorciadas e 10% viúvas. Considerando a situação hipotética acima, é correto afirmar que a probabilidade de uma mulher

A) ser solteira ou divorciada é 0,50.

B) ser solteira é 0,50.

C) ser casada ou solteira é 0,60.

D) ser divorciada ou viúva é 0,40.

E) não ser casada é 0,70.





Considerando que José seja um dos pré-candidatos ao cargo de governador, a probabilidade de que José esteja na chapa sorteada será maior que 0,1.

EC 3. MPOG 2010 [ESAF]

Um viajante, a caminho de determinada cidade, deparou-se com uma bifurcação onde estão três meninos e não sabe que caminho tomar. Admita que estes três meninos, ao se lhes perguntar algo, um responde sempre falando a verdade, um sempre mente e o outro mente em 50% das vezes e consequentemente fala a verdade nas outras 50% das vezes. O viajante perguntou a um dos três meninos escolhido ao acaso qual era o caminho para a cidade e ele respondeu que era o da direita. Se ele fizer a mesma pergunta a um outro menino escolhido ao acaso entre os dois restantes, qual a probabilidade de ele também responder que é o caminho da direita?

a) 1.

b) 2/3.

c) 1/2.

d) 1/3.

e) 1/4.


O número de peças vendidas diariamente numa loja pode ser considerada como uma variável aleatória X com a seguinte distribuição de probabilidades:

Sabendo que em um determinado dia o número de peças vendidas não foi nulo, então a probabilidade de ter sido inferior a 4 é igual a

(A) 75,00%

(B) 80,00%

(C) 93,75%

(D) 95,25%

(E) 96,35%

EC 5. TJ PI 2009 [FCC]

As unidades de televisores vendidas diariamente em uma loja apresentam a seguinte distribuição de probabilidades de ocorrência de vendas de n unidades:



Em um determinado dia, sabendo-se que ocorreu a venda de pelo menos um televisor, a probabilidade de ter sido inferior a 4 unidades é de

(A) 3/4

(B) 11/15

(C) 5/8

(D) 7/8

(E) 9/10

EC 6. INMETRO 2010 [CESPE]

As fábricas A, B e C, que produzem determinado dispositivo X, integram uma mesma empresa. A tabela abaixo mostra a participação percentual de cada fábrica na produção desse dispositivo. Apesar de o consumidor do dispositivo X não saber de qual fábrica ele originou, sabe-se que 90% dos consumidores estão satisfeitos quando ele é fabricado em A, 80% estão satisfeitos quando ele é fabricado em B e 60% estão satisfeitos quando sua produção é na fábrica C, conforme a tabela seguinte.

Se determinado consumidor está satisfeito com o produto X, então a probabilidade de o produto ter sido produzido na fábrica A é igual a

A 0,67.

B 0,60.

C 0,20.

D 0,12.

E 0,06.

EC 7. STN 2008 [ESAF]

Dois eventos A e B são ditos eventos independentes se e somente se:

a) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for nula

b) a ocorrência de B alterar a probabilidade de ocorrência de A.



c) a ocorrência de A alterar a probabilidade de ocorrência de B.

d) a ocorrência de B não alterar a probabilidade de ocorrência de A.

e) a probabilidade de ocorrência conjunta de A e B for igual a 1.


A e B são eventos independentes se:

a) )()()( BPAPBAP +=∩

b) )()()( BPAPBAP ÷=∩

c) )()()( BPAPBAP −=∩

d) )()()( ABPAPBAP +=∩

e) )()()( BPAPBAP ×=∩


Anemia ferropriva é o tipo de anemia mais comum e é causada pela deficiência de ferro (sideropénia). Nesse tipo de anemia, a ingestão de ferro está menor que o mínimo necessário para as atividades do organismo que precisam de ferro. Considere um estudo de anemia ferropriva realizado que gerou os seguintes dados:

O Valor Preditivo Positivo (VPP) é a probabilidade de o indivíduo ser portador da doença, dado que o exame (teste) deu positivo. Para os resultados do estudo sobre anemia ferropriva, tem-se que VPP é igual a

(A) 0,38

(B) 0,47

(C) 0,63

(D) 0,70

(E) 0,88

EC 10. TCE ES 2004 [CESPE]

Considere que dois controladores de recursos públicos de um tribunal de contas estadual serão escolhidos para auditar as contas de determinada empresa estatal e que, devido às suas qualificações técnicas, a probabilidade de José ser escolhido para essa tarefa seja de 3/8, enquanto



a probabilidade de Carlos ser escolhido seja de 5/8. Em face dessas considerações, julgue os itens subseqüentes.

1. Considere que, na certeza de que Carlos tenha sido escolhido, a probabilidade de José ser escolhido é 1/5. Nessas condições, a probabilidade de José e Carlos serem ambos escolhidos é menor que 1/4.

EC 11. INSS 2008 [CESPE]

De acordo com dados do IBGE, em 2007, 6,4% da população brasileira tinha 65 anos de idade ou mais e, em 2050, essa parcela, que constitui o grupo de idosos, corresponderá a 18,8% da população. Com base nessas informações e nas apresentadas na tabela acima, julgue os itens seguintes.

1. Se, em 2050, três pessoas da população brasileira forem escolhidas ao acaso, a probabilidade de todas elas terem até 59 anos de idade é inferior a 0,4.

2. Considere-se que, em 2050, serão aleatoriamente selecionados três indivíduos, um após o outro, do grupo de pessoas que compõem a parcela da população brasileira com 15 anos de idade ou mais. Nessa situação, a probabilidade de que apenas o terceiro indivíduo escolhido tenha pelo menos 65 anos de idade será superior a 0,5 e inferior a 0,6.

EC 12. CEHAP 2008 [CESPE]

Uma urna contêm 5 bolas amarelas e 4 bolas azuis, todas do mesmo tamanho e feitas do mesmo material. Caso se retirem 2 bolas sucessivamente da urna, sem repô-las, a probabilidade de que sejam retiradas 2 bolas amarelas será

A inferior a 0,2.

B superior a 0,2 e inferior a 0,25.



C superior a 0,25 e inferior a 0,3.

D superior a 0,3.

EC 13. TRT 9 2007 [CESPE]

Julgue os itens a seguir.

De 100 processos guardados em um armário, verificou-se que 10 correspondiam a processos com sentenças anuladas, 20 estavam solucionados sem mérito e 30 estavam pendentes, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente. Nessa situação, a probabilidade de se retirar desse armário um processo que esteja com sentença anulada, ou que seja um processo solucionado sem mérito, ou que seja um processo pendente, aguardando a decisão de juiz, mas dentro do prazo vigente, é igual a 3/5.


Considere que, em 2005, foram julgados 640 processos dos quais 160 referiam-se a acidentes de trabalho; 120, a não-recolhimento de contribuição do INSS; e 80, a acidentes de trabalho e não-recolhimento de contribuição de INSS. Nesse caso, ao se escolher aleatoriamente um desses processos julgados, a probabilidade dele se referir a acidentes de trabalho ou ao não-recolhimento de contribuição do INSS é igual a

a) 3/64

b) 5/64

c) 5/16

d) 7/16

e) 9/16


De acordo com informações apresentadas no endereço eletrônico www.trtrio.gov.br/Administrativo, em fevereiro de 2008, havia 16 empresas contratadas para atender à demanda de diversos serviços do TRT/1.ª Região, e a quantidade de empregados terceirizados era igual a 681.

Se, entre as 16 empresas contratadas para atender aos serviços diversos do TRT, houver 4 empresas que prestem serviços de informática e 2 empresas que cuidem da manutenção de elevadores, e uma destas for escolhida aleatoriamente para prestar contas dos custos de seus serviços, a probabilidade de que a empresa escolhida seja prestadora de serviços de informática ou realize a manutenção de elevadores será igual a

A) 0,125.

B) 0,250.



C) 0,375.

D) 0,500.

E) 0,625.



Considerando que Mariana seja pré-candidata ao cargo de governador e Carlos seja pré-candidato ao cargo de senador, então a probabilidade de que a chapa sorteada ou não tenha o nome de Maria ou não tenha o nome de Carlos será inferior a 0,75.

EC 17. TJ PI 2009 [FCC]

Em uma entrevista realizada com 4.000 pessoas, foi inquirida de cada uma sua posição em relação a um determinado projeto. Todas responderam e cada uma deu uma e somente uma das duas posições conforme apresentado pela tabela abaixo:

A porcentagem de pessoas que são contra o projeto ou são mulheres é de

(A) 37,5%.

(B) 47,5%.

(C) 52,5%.

(D) 57,5%.

(E) 80,0%.


A tabela abaixo apresenta a distribuição conjunta das frequências das variáveis “tipo de processo” (Y) e “setor” (X), referente aos processos autuados, em um período analisado, numa repartição pública:



A porcentagem dos processos autuados no Setor B ou que não são do tipo III é

(A) 92,5%

(B) 87,5%

(C) 62,5%

(D) 37,5%

(E) 32,5%


A tabela apresenta a classificação segundo duas variáveis, sexo e idade, dos 1.200 funcionários de uma empresa.

Se um funcionário é selecionado ao acaso dessa empresa, a probabilidade dele ser mulher ou ter pelo menos 30 anos é

(A) 11/24

(B) 13/15

(C) 19/24

(D) 12/17

(E) 11/17

EC 20. TRF 2ª REGIÃO 2007 [FCC] Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Supondo que

4,0)( =AP e 7,0)( =∪ BAP e pBP =)( . Os valores de p que fazem com que A e B sejam mutuamente exclusivos e A e B sejam independentes são, respectivamente, a) 0,3 e 0,5



b) 0,4 e 0,2 c) 0,5 e 0,2 d) 0,6 e 0,2 e) 0,3 e 0,4

EC 21. TRT 2ª REGIAO 2008 [FCC]

A probabilidade de que Antônio esteja vivo daqui a 10 anos é igual a 80% e de que Paulo o esteja daqui a 10 anos é 70%. Então, a probabilidade de que somente um deles esteja vivo daqui a 10 anos é igual a

(A) 30%

(B) 36%

(C) 56%

(D) 38%

(E) 44%

EC 22. MINISTERIO DA SAUDE 2007 [FCC]

Sabe-se que 3/5 dos pacientes submetidos a uma determinada cirurgia sobrevivem. Se 4 pacientes realizarem a cirurgia, a probabilidade de que pelo menos um não sobreviva é de:

a) 609/625

b) 544/625

c) 96/625

d) 24/625

e) 16/625


Um lote contém 20 peças das quais 5 são defeituosas. Colhendo-se uma amostra de 2 peças, ao acaso e sem reposição deste lote, a probabilidade de se obter pelo menos uma pela defeituosa é:

a) 21/38

b) 19/38

c) 17/38

d) 15/38

e) 13/38

EC 24. BACEN/2006 [FCC]

A probabilidade de um associado de um clube pagar a sua mensalidade com atraso é de 5%. Entre 5 associados escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de pelo menos 1 pagar a sua mensalidade sem atraso é:



a) 1 – 0,955

b) 0,955

c) 4,75 . 0,955

d) 5 . 0,955

e) 1 – 0,055

EC 25. MMA 2008 [CESPE]

O Brasil faz parte de um grupo de 15 países denominados megadiversos, que, juntos, abrigam cerca de 70% da biodiversidade do planeta. No Brasil, existem 6 regiões com uma diversidade biológica própria, os chamados biomas. Por exemplo, o bioma caatinga, no nordeste do país, ocupa uma área de aproximadamente 844.452 km2; o bioma pantanal, no centro-oeste do país, ocupa uma área de aproximadamente 150.500 km2. A Comissão Nacional de Biodiversidade (CONABIO), que atua fundamentalmente na implementação da política nacional de biodiversidade, é constituída pelo presidente e mais 6 membros titulares, tendo estes 6 últimos 2 suplentes cada. No Programa Nacional de Florestas, há alguns projetos em andamento, como, por exemplo, o Plano Nacional de Silvicultura com Espécies Florestais Nativas (P1) e o Plano de Recuperação de Áreas Degradadas (P2).

Com base nessas informações e no texto acima, julgue os itens a seguir.

1. Suponha que as probabilidades de os planos P1 e P2, referidos no texto, terem 100% de suas metas atingidas sejam, respectivamente, iguais a 3/7 e 2/5, e que ambos estejam em andamento independentemente um do outro. Nesse caso, a probabilidade de pelo menos um desses planos ter suas metas plenamente atingidas é superior a 0,7.



Caso João e Roberto sejam pré-candidatos ao cargo de senador e Maria e Ana sejam pré-candidatas ao cargo de deputado federal, a chance de que a chapa sorteada tenha qualquer um desses nomes será maior que 49%.

EC 27. Câmara dos Deputados 2007 [FCC]

Uma rede local de computadores é composta por um servidor e 2 (dois) clientes (Z e Y). Registros anteriores indicam que dos pedidos de certo



tipo de processamento, cerca de 30% vêm de Z e 70% de Y. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentara erro. Sabendo-se que 2% dos pedidos feitos por Z e 1% dos pedidos feitos por Y apresentam erro, a probabilidade do sistema apresentar erro é:

a) 5%

b) 4,1%

c) 3,5%

d) 3%

e) 1,3%

EC 28. TJ PI 2009 [FCC]

Em uma repartição pública, três setores A, B e C são responsáveis pela análise de todos os processos autuados, recebendo cada um o mesmo número de processos para analisar independentemente. Pela complexidade de tais processos, sabe-se que em A, B e C, respectivamente, 6%, 4,5% e 1,5% não são analisados dentro do tempo estipulado pela Administração. Escolhendo aleatoriamente um processo entre todos autuados, a probabilidade dele ser analisado dentro do tempo estipulado é de

(A) 94,0%.

(B) 94,5%.

(C) 95,0%.

(D) 96,0%.

(E) 98,5%.

EC 29. TRE PI 2009 [FCC]

Três candidatos, A, B e C, disputam as próximas eleições para o Governo do Estado. A, B e C têm respectivamente 30%, 38% e 32% da preferência do eleitorado. Em sendo eleito, a probabilidade de dar prioridade para a Educação é de 30%, 50% e 40%, para os candidatos A, B e C, respectivamente. A probabilidade da Educação não ser priorizada no próximo governo é dada por

(A) 0,446

(B) 0,554

(C) 0,592

(D) 0,644

(E) 0,652



EC 30. TJ PI 2009 [FCC]

Duas pessoas A e B são encarregadas de realizar um trabalho independentemente. A executará 60% da tarefa e B o restante. Sabe-se que A comete 2% de falhas em seus trabalhos e B comete 5%. A probabilidade de todo o trabalho inicial ser realizado sem falhas é igual a

(A) 90,8%.

(B) 94,6%.

(C) 96,2%.

(D) 96,5%.

(E) 96,8%.


Uma rede local de computadores é composta por um servidor e 2 clientes (A e B). Registros anteriores indicam que, dos pedidos de certo tipo de processamento, cerca de 30% vêm de A e 70% de B. Se o pedido não for feito de forma adequada, o processamento apresentará erro. Sabe-se que 2% dos pedidos feitos por A e 5% dos feitos por B apresentam erro. Selecionando um pedido ao acaso, a probabilidade dele ser proveniente de A, sabendo que apresentou erro, é

(A) 5/41

(B) 6/41

(C) 3/5

(D) 2/35

(E) 1/35


Considere que 60% do total dos títulos que um investidor possui é do tipo X e o restante do tipo Y. A probabilidade do título X apresentar uma taxa de retorno igual ou superior à taxa de inflação é igual a 80% e do título Y igual a 50%. Selecionando ao acaso um título entre estes em poder do investidor e verificando que a taxa de retorno apresentada foi inferior à taxa de inflação, a probabilidade dele ser um título do tipo Y é igual a

(A) 37,5%

(B) 50,0%

(C) 56,5%

(D) 62,5%

(E) 65,0%



EC 33. INFRAERO 2009 [FCC]

Considere que, em um determinado período, uma pessoa aplica 40% de seu dinheiro em um título do tipo A e o restante em um título do tipo B, independentemente. A probabilidade de ela obter uma taxa de retorno igual ou superior à taxa de inflação na aplicação do título A é igual a 80% e na aplicação do título B igual a 90%. Logo após o período de aplicação, um título em poder dessa pessoa é escolhido aleatoriamente e verifica-se que a taxa de retorno foi inferior à taxa de inflação. A probabilidade de o título ser do tipo A é

(A) 2/3

(B) 4/5

(C) 3/8

(D) 4/7

(E) 3/5

EC 34. DNOCS 2010 [FCC]

Um investidor aplica todo seu dinheiro da seguinte maneira: 50% em títulos de tipo X, 30% em títulos de tipo Y e 20% em títulos de tipo Z, independentemente. Sabe-se que a probabilidade de cada título apresentar uma taxa de rendimento superior à taxa de inflação é de 95% para o título tipo X, de 80% para o título tipo Y e de 80% para o título tipo Z. Um título em poder do investidor é escolhido aleatoriamente e verifica-se que não apresentou uma taxa de rendimento superior à taxa de inflação. A probabilidade deste título NÃO ser do tipo Z é igual a

(A) 80%.

(B) 70%.

(C) 68%.

(D) 64%.

(E) 52%


Determinados processos de um tribunal são encaminhados para a análise de 3 analistas: X, Y e Z. Sabe-se que 30% de todos esses processos são encaminhados para X, 45% para Y e 25% para Z. Usualmente, por falta de documentação, uma parcela de tais processos é devolvida. Sabe-se que 5% , 10% e 10% dos processos de X, Y e Z, respectivamente, são devolvidos. A probabilidade de que um processo escolhido ao acaso tenha sido encaminhado para X, sabendo que foi devolvido, é

(A) 4/15

(B) 3/17

(C) 6/19



(D) 7/15

(E) 3/19


Certo programa computacional pode ser usado com uma entre três sub-rotinas: A, B e C, dependendo do problema. Sabe-se que a sub-rotina A é usada em 50% das vezes, a B em 30% e a C em 20%. As probabilidades de que o programa chegue a um resultado dentro do limite de tempo são de 80%, caso seja usada a sub-rotina A, 60% caso seja usada a sub-rotina B e 60% caso seja usada a sub-rotina C. Se o programa foi realizado dentro do limite de tempo, a probabilidade de que a sub-rotina A tenha sido a escolhida é igual a

(A) 2/5

(B) 4/7

(C) 3/5

(D) 5/7

(E) 4/5


Um teste laboratorial de sangue é 95% efetivo para detectar uma certa doença, quando ela está presente. Entretanto, o teste também resulta em falso positivo para 1% das pessoas saudáveis testadas. Se 0,5% da população realmente tem a doença, a probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado que o resultado do teste é positivo, é:

a) 0,9

b) 0,8

c) 0,4

d) 0,35

e) 0,32

EC 38. TSE 2007 [CESPE]

Um documento administrativo pode ser encaminhado de duas formas diferentes: A ou B. Os registros históricos mostram que o encaminhamento pela forma A ocorreu em 70% dos casos, e, pela forma B, ocorreu em 30% dos casos. Entre os documentos encaminhados pela forma A, observou-se que, em 60% das situações, o tempo necessário para o documento chegar ao destino final foi maior que 10 dias. Já entre os documentos encaminhados pela forma B, em 40% dos casos o tempo necessário para o documento chegar ao destino final foi maior que 10 dias. Considerando que o tempo necessário para um documento chegar ao



destino final foi maior que 10 dias, a probabilidade desse documento ter sido encaminhado pela forma A é um valor H, tal que

A) 0,40 ≤ H ≤ 0,55.

B) 0,55 ≤ H ≤ 0,70.

C) 0,70 ≤ H ≤ 0,85.

D) 0,85 ≤ H ≤ 1,00.

EC 39. MS ADM 2010 [CESPE]

João foi submetido a um teste de laboratório para o diagnóstico de uma doença rara. A probabilidade de essa doença se desenvolver em um indivíduo como o João é igual a 0,001. Sabe-se que esse teste pode resultar em “falso positivo”, ou seja, indicar que João possui essa doença, quando na verdade ele não a tem. Ou, o teste pode resultar em “falso negativo”, isto é, indicar que João não possui a doença, quando na verdade ele está doente. A probabilidade de o teste resultar em falso positivo é igual a 0,05 e a probabilidade de o teste resultar em falso negativo é igual a 0,02.

Com base nas informações dessa situação hipotética, julgue os itens subsequentes.

66. Se qualquer indivíduo como João submeter-se ao teste, então a probabilidade de o teste produzir um resultado negativo é superior a 0,94 e é inferior a 0,98.

67. Se o teste ao qual João foi submetido der resultado positivo, então a probabilidade de ele estar de fato com a doença é inferior a 0,02.

68. Se quatro indivíduos que possuem essa doença forem selecionados ao acaso e submetidos ao referido teste de laboratório, e se os resultados forem independentes entre si, então a probabilidade de ocorrerem exatamente dois resultados negativos e dois resultados positivos é inferior a 0,005.


Uma empresa de consultoria no ramo de engenharia de transportes contratou 10 profissionais especializados, a saber: 4 engenheiras e 6 engenheiros. Sorteando-se, ao acaso, três desses profissionais para constituírem um grupo de trabalho, a probabilidade de os três profissionais sorteados serem do mesmo sexo é igual a:

a) 0,10

b) 0,12

c) 0,15

d) 0,20

e) 0,24



EC 41. COFECON 2009 [UNIVERSA]

São lançados dois dados cujas faces são numeradas de 1 a 6. O jogador P vence se a divisão do maior número pelo menor número for exata. Caso contrário, o jogador Q vence. Nessa situação, é correto afirmar que

(A) Q será o vencedor.

(B) P será o vencedor.

(C) o jogo é equilibrado, isto é, cada jogador tem igual chance de vencer.

(D) a probabilidade de Q vencer é de 5/6

(E) a probabilidade de P vencer é de 2/3


Ao se lançar uma vez um par de dados não viciados, ao mesmo tempo, a probabilidade de a soma dos pontos ser 4 ou 8 é de

(A) 5/ 36.

(B) 7/ 36.

(C) 8/ 36.

(D) 11/ 36.

(E) 13/36

EC 43. TRF 1ª Região/2001 [FCC] A tabela abaixo apresenta a distribuição de frequências das notas obtidas num teste de matemática, realizado por 50 estudantes.

Notas Frequência absoluta 0 �− 2 4 2 �− 4 12 4 �− 6 15 6 �− 8 13 8 �− 10 6

Selecionando-se ao acaso e sem reposição três estudantes dentre esses 50, a probabilidade de pelo menos um ter tirado nota igual ou superior a 2 é:

a) 3

504⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ b)

3

5041 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− c)

473

5046

504

350

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ d)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

35034

e) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

35034

1

EC 44. TI PI 2009 [FCC]

Todas as comissões possíveis com 4 pessoas escolhidas entre um grupo de 6 foram formadas. Escolhendo aleatoriamente uma destas comissões,



a probabilidade de Antônio e Paulo, que fazem parte do grupo, pertencerem à comissão é igual a

(A) 2/5

(B) 3/4

(C) 3/5

(D) 1/2

(E) 2/3


Considere amostras ordenadas de tamanho 4 com repetição, com escolhas aleatórias tomadas de uma população de tamanho 10. A probabilidade de que nenhum elemento apareça mais de uma vez na amostra é

(A) 1/40

(B) 1/20

(C) 1/8

(D) 27/1000

(E) 63/125


O grupo que trabalha num departamento de uma empresa estatal é composto de 3 analistas e 4 advogados. Se 4 indivíduos são escolhidos aleatoriamente e se lhes atribui um projeto, a probabilidade de que o grupo do projeto tenha exatamente 2 analistas é

(A) 2/17

(B) 4/15

(C) 9/17

(D) 5/19

(E) 18/35


Uma fábrica de chocolate produz dois tipos de caixas de bombons: com e sem açúcar. Cada caixa contém 10 bombons. Por descuido, foram misturados 3 bombons sem açúcar em uma caixa de bombons doces. A caixa foi oferecida a uma criança que retirou 2 bombons. A probabilidade destes dois bombons serem sem açúcar é:

a) 1/15

b) 1/20

c) 3/20



d) 3/15

e) 1/5


Em um jogo, um participante seleciona sucessivamente ao acaso duas bolas de uma urna que contém 10 bolas sendo: 4 pretas, 3 vermelhas e 3 brancas. O esquema de premiação do jogo consiste das seguintes regras: para cada bola vermelha sorteada o participante ganha um real, para cada bola preta sorteada ele perde um real e para cada bola branca sorteada ele não ganha e nem perde nada.

Se a seleção for realizada sem reposição, a probabilidade do participante não ganhar nada neste jogo é:

a) 1/6

b) 1/5

c) 1/4

d) 1/3

e) 1/8


Em um jogo, um participante seleciona sucessivamente ao acaso duas bolas de uma urna que contém 10 boas sendo: 4 pretas, 3 vermelhas e 3 brancas. O esquema de premiação do jogo consiste das seguintes regras: para cada bola vermelha sorteada o participante ganha um real, para cada bola preta sorteada ele perde um real e para cada bola branca sorteada ele não ganha e nem perde nada.

Se a seleção for realizada com reposição, a probabilidade do participante ganhar R$ 1,00 neste jogo é:

a) 0,25

b) 0,18

c) 0,15

d) 0,12

e) 0,10


Em um setor de uma fábrica trabalham 10 pessoas que serão divididas em 2 grupos de 5 pessoas cada para realizar determinadas tarefas. João e Pedro são duas dessas pessoas. Nesse caso, a probabilidade de João e Pedro ficarem no mesmo grupo é

A) inferior a 0,36.

B) superior a 0,36 e inferior a 0,40.



C) superior a 0,40 e inferior a 0,42.

D) superior a 0,42 e inferior a 0,46.

E) superior a 0,46.

EC 51. MINISTÉRIO DA SAÚDE 2008 [CESPE]

Julgue o item a seguir:

Se uma gaveta de arquivo contiver 7 processos distintos: 3 referentes à compra de materiais hospitalares e 4 referentes à construção de postos de saúde, então, retirando-se ao acaso, simultaneamente, 3 processos dessa gaveta, a probabilidade de que pelo menos dois desses processos sejam referentes a compra de materiais hospitalares será superior a 0,4.



A probabilidade de uma chapa ser sorteada é maior que 1/20 .

EC 53. BASA 2009 [CESPE]

Com relação ao cálculo de probabilidades, julgue os itens seguintes.

68 Considere que duas bolas tenham sido selecionadas aleatoriamente, e sem reposição, de uma urna contendo 10 bolas numeradas de 0 a 9. Se a soma dos números associados às bolas retiradas é um número par, a probabilidade de ambos os números serem ímpares é menor que 50%.

70. Suponha, que em um clube, existam 3 bolas de basquete, 2 bolas de futebol e 3 bolas de vôlei. Sabendo-se que, em um dado momento, 4 bolas já haviam sido emprestadas, a probabilidade de um menino que tenha chegado imediatamente após esse momento conseguir tomar emprestada uma bola de futebol é maior que 55%.

EC 54. BRB 2009 [CESPE]

A senha de um cartão de crédito possui quatro dígitos, que são algarismos entre 0 e 9, e a administradora desse cartão veda senhas em que todos os quatro algarismos sejam iguais, ou que os algarismos correspondam ao dia e mês de aniversário do titular do cartão. Por exemplo, se um indivíduo nasceu no dia 4 de março, a senha de seu cartão não pode ser 0403. É possível que diferentes cartões de crédito tenham a mesma senha. A senha é solicitada sempre que o titular realizar algum



pagamento; se o portador do cartão errar ao informar a senha por três vezes consecutivas, o cartão é bloqueado imediatamente.

Com base no texto acima, julgue os itens a seguir.

103. Se um indivíduo nasceu no primeiro semestre do ano, então um número de quatro dígitos, escolhido aleatoriamente, tem mais de 99,9% de chance de ser uma senha possível para ele.

104. Considere que um titular de cartão, nascido no dia 12 de outubro, tenha esquecido sua senha, mas lembre apenas que ela é um múltiplo de 5. Se, ao fazer um pagamento, ele inserir, a cada solicitação de senha, um número distinto, de quatro dígitos, escolhido aleatoriamente entre suas possíveis senhas, a probabilidade de ele ter seu cartão bloqueado será igual a 1994/1997.

IV. GABARITO DAS QUESTÕES DE CONCURSO

1 e

2 certo

3 d

4 certo

5 b

6 d

7 d

8 e

9 d

10 certo

11 errado errado

12 c

13 certo

14 c

15 c

16 anulado

17 e

18 a

19 c

20 a

21 d

22 b

23 c

24 e

25 errado

26 errado

27 e

28 d

29 c

30 e

31 b

32 d

33 d

34 c

35 b

36 b

37 e

38 c

39 certo certo certo

40 d

41 e

42 c

43 e

44 a

45 e

46 e

47 a

48 d

49 b

50 d

51 errado

52 errado

53 errado certo

54 errado certo

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