Aula 09

Forças Magnéticas, Materiais e Indutância

Prof

Daniel D. Silveira

Introdução

Objetivos–

Discutir força e torque em condutores por onde flui corrente elétrica

–

Discutir os vários tipos de materiais magnéticos–

Analisar circuitos magnéticos elementares e forças sobre materiais magnéticos

–

Apresentar os conceitos de indutâncias própria e indutância mútua

Força em uma carga em movimento

Força em uma partícula carregada causada por um campo elétrico (mesma direção do campo)

Força em uma partícula carregada causada por um campo magnético (perpendicular ao campo)

EQFrr

=

BvQFrrr

×=


Equação de força de LorentzDeterminação da órbita em magnetrons, caminhos de prótons e em ciclotrons, movimento de partículas carregadas sob a ação dos campos elétrico e magnético

)( BvEQFrrrr

×+=


E9.1) A carga pontual Q=18 nC tem uma velocidade de 5.106 m/s na direção av=0,6ax+0,75ay+0,3az. Calcule a intensidade da força exercida na carga pelo campo:

a) B= -3ax

+4ay

+6az

mTb) E=-3ax

+4ay

+6az

kV/mc) B e E agindo conjuntamente

Força em um elemento dif. de corrente

A força exercida em uma partícula também pode ser escrita como a força diferencial

Consiste de um grande número de pequenas cargasA força diferencial é a soma das forçasSe as cargas são elétrons em movimento num condutor, a força é transferida para o condutor

BvdQFdrrr

×=


Essas forças geram uma separação de cargas e nota-se uma pequena diferença de potencial (Efeito Hall)Muito utilizado em sensores, wattímetros

a) v em –ax

, Q positivo b)

v em ax

, Q negativo

Efeito Hall


Intensidade da força em um condutor retilíneo em um campo magnético uniforme

LIddSKdvJ

dvBJFd

BvdvFd

dvdQvJ

v

v

v

rrr

rrr

rrr

rr

==

×=

×=

==

)(ρ

ρρ

dSBKF

dvBJF

BLIdFd

dSBKFd

S

vol

∫

∫×=

×=

×=

×=

rrr

rrr

rrr

rrr

θBILsenFBLIF

BLIdF

=×=

×−= ∫rrr

rrr


Para um condutor reto em um campo magnético uniforme


Exemplo 9.1 – Seja uma espira quadrada no plano z=0, no qual circula uma corrente de 2 mA no campo de um filamento infinito no eixo y. Qual a força total na espira?


E9.2 –

O campo B= -2ax

+3ay

+4az

mT

está

presente no espaço livre. Encontre o vetor força exercida num fio retilíneo que conduz uma corrente de 12 A na direção aAB

, dados A(1, 1, 1) e: a) B(2, 1, 1) b) B(3, 5, 6)

Força entre elementos dif. de corrente

A força total entre dois circuitos filamentares

Forças entre dois filamentos infinitos

2212

112210

4Ld

RLdaIIF R

rrrr

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ×= ∫ ∫πμ

Força e torque em um circuito fechado

A força em um circuito filamentar fechado em um campo magnético uniforme é zeroO torque, porém, é normalmente diferente de zeroO torque também é

independente da escolha da origem, desde que a força total seja zero

( ) 12112121

2211

0 FRFRRTFF

FRFRTrrrrrrrr

rrrrr

×=×−==+

×+×=

A origem é escolhida no eixo de rotação e no plano que contém as forças aplicadasSeja uma espira diferencial de corrente–

A força total é

zero, a origemdo torque será

no centro da espira


BSdITdrrr

×=

O produto da corrente da espira pela área vetorial da espira é o momento de dipolo magnético diferencial

Estes são resultados genéricos, que se aplicam a espiras diferencias de qualquer formatoO torque em uma espira plana de qualquer tamanho ou formato em um campo magnético uniforme é


BmdTd

SdImdrrr

rr

×=

=

BmBSITrrrrr

×=×=

E9.5) Um triângulo condutor filamentar une os pontos A(3, 1, 1), B(5, 4, 2) e C(1, 2, 4). Pelo segmento AB passa uma corrente de 0,2 A na direção aAB . Está presente um campo magnético B= 0,2ax-0,1ay+0,3az T. Calcule: a) a força no segmento BC; b) a força na espira triangular; c) o torque na espira em relação a uma origem em A; d) o torque na espira em relação a origem em C.


Objetivo: apresentar a diferença no comportamento dos vários tipos de materiais sob o efeito de campos magnéticosModelo: um elétron em órbita, que é análogo a uma espira de corrente

A natureza dos materiais magnéticos


Três momentos são possíveis neste modelo:–

Devido a circulação da corrente no sentido oposto ao sentido de circulação do elétron

–

Devido ao spin do elétron–

Devido ao spin do núcleo

A combinação destes momentos determina as características magnéticas do material


Os seis tipos de materiais magnéticos são:Diamagnéticos

Paramagnéticos

Superparamagnéticos

FerromagnéticosFerrimagnéticos

Antiferromagnéticos


Material diamagnético –

Os campos magnéticos pequenos gerados pelo movimento dos elétrons em suas órbitas e pelo spin do elétron se combinam para produzir um campo líquido zero

–

Presente em todos os materiais, pode ser encoberto por outros efeitos

Cobre, Ouro, Gases inertes (H, He)


Material paramagnético –

Os efeitos do spin do elétron e do movimento orbital não se cancelam totalmente

–

O átomo tem um pequeno momento magnético, mas um ajuntamento de vários átomos produz um momento magnético médio igual a zero

–

Não são observados efeitos magnéticos na ausência de um campo externo

–

Os momentos tendem a se alinharem com o campo externo, e causam um pequeno aumento neste campo

Potássio, Oxigênio e tungstênio


As quatro classes restantes (ferromagnético, antiferromagnético, ferrimagnético e superparamagnético) têm todos momentos atômicos fortesA interação dos átomos adjacentes causa um alinhamento aditivo ou subtrativo dos momentos magnéticos dos átomos


Material ferromagnético –

Cada átomo possui um momento de dipolo grande

–

Formação de domínios, na presença de campo magnético externo os momentos se alinham ao campo e o campo magnético interno aumenta consideravelmente

–

Quando o campo é

removido, um campo remanescente continua na estrutura (histerese)

Fe, Ni, abaixo da temperatura de Curie

Estado magnético do material é função de sua história magnética: histeresePerdem esta característica com o aumento da temperatura (temperatura de Curie, 770oC)


Material antiferromagnético–

Forças entre átomos adjacentes causam os momentos atômicos a se alinharem de forma antiparalela

–

O momento magnético resultante é

zero–

Pouco afetados pela presença de um campo magnético externo

–

Não são efeitos de atual importância em engenharia


Material ferrimagnético–

Forças entre átomos adjacentes causam os momentos atômicos a se alinharem de forma antiparalela

–

Os momentos não são iguais–

Resposta considerável à

presença de um campo magnético externo, mas não tão grande quanto em materiais ferromagnéticos

–

Apresentam maior resistência elétrica do que os ferromagnéticos, menores corrente induzidas e menores perdas quando expostos a campos alternados no tempo

Ferrites de Níquel-Zinco, Ferrite de Níquel


Material superparamagnético–

Compostos de agrupamentos de partículas ferromagnéticas numa matriz não-ferromagnética

Fita magnética utilizada em gravadores de áudio e vídeo

Resumo


Magnetização e permeabilidade

A intensidade de campo elétrico E e a densidade de campo elétrico D são relacionadas pela permissividade εA intensidade de campo magnético H e a densidade de campo magnético B são relacionadas pela permeabilidade μ, para meios isotrópicos lineares (ver fundamentação física no Hayt, 7ª edição, p. 276)

rμμμ 0=

HBrr

μ=

Condições de fronteira magnéticas

Seja a fronteira entre dois materiais lineares homogêneos isotrópicos com permeabilidades μ1 e μ2

Condições de fronteira magnéticas

Aplicando-se a lei de Gauss para o campo magnético, tem-se as seguintes relações

K deve ser zero se nenhum dos materiais for condutor

KHH

HH

BB

tt

NN

NN

rrr

rr

rr

=−

=

=

21

12

12

12

μμ

KBBKaHH

KaHH

tt

Ntt

N

r

rrrr

rrrr

=−

×=−

=×−

2

2

1

1

1221

1221 )(

μμ

E9.8) Seja a permissividade 5 uH/m na região A onde x < 0 e 20 uH/m na região B onde x > 0. Se existe uma densidade superficial de corrente K=150ay-200az A/m em x=0, e se HA=300ax-400ay+500az A/m, calcule: a)|HTA|; b) |HNA|; c) |HTB|; d) |HNB|


O circuito magnético

Grande similaridade com circuitos resistivos CC

∫

∫

∫

=⋅

=

=

⋅=

=

⋅=

−∇=

0LdESdR

RIV

SdJI

EJ

LdEV

VE

S

B

AAB

rr

rr

rr

rr

r

σ

σ

NILdH

Sd

V

SdB

HB

LdHV

VH

m

S

B

AmAB

m

=⋅

=ℜ

ℜΦ=

⋅=Φ

=

⋅=

−∇=

∫

∫

∫

rr

rr

rr

rr

r

μ

μ


A grande diferença reside na natureza não linear das porções ferromagnéticas dos circuitos magnéticos


Para o circuito elétrico, a fonte de tensão é parte do caminho fechadoPara o circuito magnético, o enrolamento em que flui a corrente irá envolver ou encadear o circuito magnéticoNão é possível identificar um par de terminais nos quais a força magnetomotriz está aplicada


Seja o toróide abaixo com núcleo de ar e as seguintes características:–

Seção transversal: 6 cm2

–

Número de voltas do enrolamento: N=500–

Raio: 15 cm, corrente no enrolamento: 4A


Como apenas um material estava envolvido, não háa possibilidade de se encontrar a força magnetomotriz através de diferentes elementos do circuitoO problema se torna mais interessante e prático quando materiais ferromagnéticos estão envolvidos


Curvas de magnetização do aço silício desmagnetizado (H=B=0)


Laço de histerese para o aço silício–

São indicadas a força coerciva Hc

e a densidade

de fluxo remanescente Br


Exemplo 9.7) Seja agora um toróide com núcleo de aço, com 500 espiras, exceto por um gap de ar de 2 mm. Qual corrente é necessária para estabelecer uma densidade de fluxo de 1 T em todos os pontos do núcleo?Exemplo 9.8) Dada uma corrente de bobina de 4 A no circuito magnético do exemplo anterior, qual será a densidade de fluxo?


E9.9) Dado o circuito magnético da figura, assuma B=0,6 T no ponto médio da perna esquerda e calcule: a) Vm,ar b) Vm,aço ; c) A corrente necessária em uma bobina de 1300 espiras enrolada na perna esquerda.

Energia potencial e forças em materiais magnéticos

A energia total armazenada em um campo magnético estacionário no qual B está linearmente relacionado a H

unidade J/m3, útil para a definição de indutância

dvHBWvol

H

rr∫ ⋅=

21

Indutância e indutância mútua

Indutância–

Razão entre o produto número de espiras vezes o fluxo dividido pela corrente

–

Unidade é

o henry

(H), equivale um weber-espira/ampere–

Definição aplicável a meios magnéticos lineares

INL Φ

=


Pode-se calcular a indutância em um cabo coaxial por unidade de comprimento (em henrys/m)

E de um toróide, considerando-se as dimensões da seção reta pequenas comparadas com o raio médio

–

Assumindo-se que as espiras estão enroladas bem próximas umas das outras

abL ln

20

πμ

=

0

20

2πρμ SNL =


Uma definição equivalente de indutância pode ser feita utilizando o ponto de vista da energia

O interior de qualquer condutor também contém fluxo magnético. A indutância interna de um fio longo, retilíneo, de seção reta circular de raio a e com distribuição uniforme de corrente (em H/m)

2

2IWL H=

πμ

8int, =aL


A indutância mútua entre os circuitos 1 e 2, em termos de enlace de fluxo mútuos

–

significa o fluxo produzido por I1

, o qual envolve o caminho da corrente filamentar

I2

A indutância mútua depende da interação magnética entre duas correntes (em henrys)

1

12212 I

NM Φ=

2112 MM =

12Φ


Calcule as indutâncias próprias e mútuas entre dois solenóides coaxiais de raio R1 e R2, R2 > R1, os quais são percorridos por correntes I1 e I2 com n1 e n2 espiras/m, respectivamente.

Lista de exercícios

9.3, 9.5, 9.6, 9.7, 9.9, 9.13, 9.14, 9.18, 9.22, 9.24, 9.28, 9.30, 9.33, 9.36, 9.38, 9.41

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