Álgebra II – Lei de composição interna

1. Lei de composição interna

1.1 Lei de composição interna

Definição. Seja E um conjunto não vazio. Toda aplicação (função) f : E x E E recebe o nome de

operação sobre E ou lei de composição interna sobre E.

Exemplos e contraexemplos.

a) f : * x * * tal que f(x,y) = xy é uma operação em *.

b) A potenciação não é considerada uma operação em , pois f(2,-1) = 2-1 = 2

1 .

c) Seja E = n( ), ou seja, o conjunto das matrizes quadradas de ordem n sobre . f : E x E E tal

que f é a multiplicação de matrizes é uma operação em n( ).

d) Seja E = V3, ou seja, o conjunto formado pelos vetores do espaço. f : E x E E onde f é a adição de

vetores é uma operação ou lei de composição interna em V3.

e) Observe que o produto escalar entre dois vetores não é uma lei de composição interna, pois sendo

(2,3,1) e (-1,4,2) e temos que = 12 V3. Nesse caso temos uma lei de composição

externa.

f) A aplicação f : E x E E onde E = V3 e f é o produto vetorial é uma lei de composição interna, ou

operação em V3.

g) f : x onde f(x,y) = x.y - 2x é uma operação em .

Observações

a) O símbolo “” será utilizado para indicar uma operação genérica. Assim escreveremos xy

(lê – se “x estrela y”) ao invés de f(x,y). Exemplo: escreveremos xy = xy – 2x ao invés de

f(x,y) = xy – 2x.

b) Outras notações poderão ser usadas para indicar uma operação sobre E. O símbolo “+” fica

reservado para operações de caráter aditivo, “.” para operações de caráter multiplicativo e os símbolos

, , , e outros, para operações genéricas.

Exercícios

Problema 1.Seja E = munido da operação xy = x.y – 2x . Determine 34 e 43.

Problema 2. Considere E = , ou seja, o conjunto das funções de em , munido da operação

composição “”. Sendo f(x) = 2x e g(x) = x + 3 determine fg e gf.