Aula 10 - Medidas de posição e de dispersão

Raciocnio Lgico, Estatstica,

Matemtica e Matemtica Financeira p/

AFRFB e AFT

Prof. Vtor Menezes www.estrategiaconcursos.com.br 1

AULA 10: Medidas de posio e de disperso.

1. MEDIDAS DE POSIO.................................................................................................................... 2

2. MDIA ............................................................................................................................................. 3

2.1. Mdia para dados em rol ...................................................................................................................... 3

2.2. Propriedades da mdia aritmtica ........................................................................................................ 9

2.3. Mdia para dados agrupados por valor.............................................................................................. 13

2.4. Mdia para dados em classe ............................................................................................................... 20

2.5. Mdia ponderada ................................................................................................................................ 33

2.6. Mdia geomtrica e mdia harmnica ................................................................................................ 42 3. MEDIANA E MEDIDAS SEPARATRIZES .......................................................................................... 47

3.1. Mediana para dados em rol ................................................................................................................ 48

3.2. Mediana para dados agrupados por valor .......................................................................................... 53

3.3. Demais medidas separatrizes para dados em rol ou agrupados por valor ......................................... 57

3.4. Medidas separatrizes para dados em classe. ...................................................................................... 62 4. MODA ........................................................................................................................................... 85

4.1. Moda para dados em rol e para dados agrupados por valor ............................................................. 85

4.2. Moda para dados em classe ................................................................................................................ 91

4.3. Moda bruta, moda de King, moda de Pearson .................................................................................... 98

4.4. Moda quando as amplitudes de classe so diferentes ....................................................................... 102 5. PROPRIEDADES DA MEDIANA E DA MODA ................................................................................ 106

6. MEDIDAS DE DISPERSO ............................................................................................................ 106

6.1. Amplitude .......................................................................................................................................... 108

6.2. Desvio em relao mdia aritmtica .............................................................................................. 108

6.3. Desvio mdio ..................................................................................................................................... 110

6.4. Varincia ........................................................................................................................................... 114

6.5. Propriedades das medidas de posio relacionadas aos desvios ..................................................... 117

6.6. Forma alternativa para clculo da varincia ................................................................................... 121

6.7. Desvio padro. .................................................................................................................................. 128

6.8. Propriedades das medidas de disperso ........................................................................................... 130

6.9. Coeficiente de variao. .................................................................................................................... 137 6.10. Medidas de disperso para dados em classe .................................................................................... 143

6.11. Varincia da unio de dois conjuntos ............................................................................................... 147 7. RESUMO ................................................................................................................................... 159

8. QUESTES APRESENTADAS EM AULA ........................................................................................ 160

9. GABARITO ................................................................................................................................... 184



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Prezados,

Nesta aula deveramos estudar, alm das medidas de posio e de disperso, os seguintes tpicos: noes de assimetria e Box plot. Como a aula foi ficando muito grande, deixei esses assuntos para a prxima aula.

Outra coisa: a partir dessa aula, vou usar cada vez mais questes de outras bancas. Vou dar prioridade para as questes que explorem assuntos mais diversificados, independente de que banca as tenha elaborado.

O objetivo j ir preparando vocs para, em mais algumas aulas, entrarmos nos tpicos de estatstica inferencial. Talvez seja a parte mais crtica da matria. E a parte que tem eliminado muita gente nas ltimas provas.

E, como sempre, questes da Esaf no utilizadas nas aulas ficam para a lista de reviso.

Ah, por falar em lista de reviso, no consegui terminar ainda a terceira lista, de matemtica financeira. A lista j est com 50 exerccios resolvidos, todos de Esaf. Mas ainda tenho mais 66 para resolver, tambm todos de Esaf. Ento ainda vou demorar mais um pouco, ok?

1. MEDIDAS DE POSIO

Medidas de posio nos fornecem informaes acerca de posies que os dados ocupam. Podem ser de dois tipos:

Medidas de tendncia central (mdia, mediana e moda).

Medidas separatrizes

As medidas de tendncia central indicam valores em torno dos quais os dados giram. Um exemplo a mdia. Se dissermos que a nota mdia dos alunos em uma prova foi 6, razovel esperar que as notas giraram em torno de 6. Um ou outro aluno deve ter tirado 9 ou 10. Um ou outro deve ter tirado 0 ou 1. Mas a maioria deve ter ficado com uma nota intermediria, uns 4, 5, 6 ou 7.

Se dissermos que a nota mdia desses mesmos alunos em uma outra prova foi 8, razovel esperar que as notas giraram em torno de 8. Um ou outro aluno tirou 0 ou 1. Mas o restante deve ter ido muito bem, tirando 6, 7, 8, 9 e 10.

As medidas separatrizes nos ajudam a separar os dados. Um exemplo de medida separatriz o quartil. Uma srie de dados possui trs quartis que separam a srie de dados em quatro partes com mesmo nmero de elementos.



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2. MDIA

A mdia aritmtica dos dados dada pela soma dos valores observados, dividida pelo total de observaes.

Vamos agora aprender a calcul-la, conforme os dados estejam em rol, agrupados por valor ou em classes.

2.1. Mdia para dados em rol

Voltemos nossa pesquisa sobre o salrio dos moradores do bairro, visto l na aula anterior. Relembrando o nosso rol:

Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Calculando a soma dos dados, temos:

3610

1=

=iiX

S relembrando. A simbologia acima significa que queremos somar valores (pois h um smbolo de somatrio). Quais valores? Valores de X para os quais i vai de 1 at 10. Ou seja, queremos somar todos os 10 valores observados.

A mdia fica:

6,31036___

==X

Ou seja, o conjunto de pessoas pesquisadas apresenta um salrio mdio de R$ 3.600,00.

Mdia apenas isto. Basta somar todos os valores e dividir pelo nmero de dados.

Este smbolo adotado para mdia ( X ) muito comum. Muitos autores o utilizam. importante saber isto porque s vezes as provas de concursos simplesmente indicam X e no explicam que se trata da mdia.

Para um conjunto de n dados, a mdia pode ser representada por:

n

XX

n

i=

1___

A frmula acima indica que, para obter a mdia aritmtica, somamos todos os dados e dividimos por n.

Uma coisa que muita gente confunde o seguinte. Muitas pessoas acham que a mdia precisa pertencer ao conjunto de dados. Isto falso. No exemplo acima, a mdia foi 3,6. E na nossa amostra no h nenhuma pessoa que ganhe um salrio de R$ 3.600,00.

Este valor 3,6 s um indicativo de que os salrios das pessoas entrevistadas devem girar em torno de R$ 3.600,00.



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Exerccios

Questo 1 TRT 2 REGIO 2008 [FCC]

A mdia aritmtica dos salrios dos 200 funcionrios de uma empresa igual a R$ 1.500,00. Caso haja a demisso de todos os funcionrios que ganham, cada um, R$ 2.000,00 e admisso de 10 funcionrios ganhando, cada um, R$ 1.200,00, a mdia aritmtica fica com o valor de R$ 1.325,00. Isto significa que o nmero de funcionrios da empresa passa a ser de

(A) 135

(B) 140

(C) 150

(D) 160

(E) 170

Resoluo:

Inicialmente, a mdia igual a 1.500.

Lembrando, para calcular a mdia, somamos todos os dados e dividimos por 200 (pois so 200 funcionrios)

Logo:

200500.1 =

X

Do que resulta:

000.300200500.1 == X

A soma dos salrios de todos os funcionrios igual a R$ 300.000,00.

Depois das demisses, o salrio total diminui. Se foram demitidos k funcionrios, e cada um deles ganhava R$ 2.000,00, ento a nova soma de salrios fica:

k 000.2000.300 Em seguida, temos as admisses. So contratados 10 funcionrios e cada um deles ganha R$ 1.200,00. O novo total passa a ser de:

10200.1000.2000.300 + k Nesta situao, o nmero de funcionrios na empresa igual a:

10200 + k Para obter a nova mdia, dividimos a soma de todos os salrios pelo novo quantitativo de funcionrios:

1020010200.1000.2000.300325.1

+

+=

kk

kk

=

210000.2000.312325.1



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Multiplicando cruzado:

kk = 000.2000.312325.1210325.1 50=k

Descobrimos que foram demitidos 50 funcionrios. Como, em seguida, foram contratados 10 empregados, ento o nmero de funcionrios na empresa passou a ser de:

10200 + k 160= Gabarito: D

Questo 2 Fiscal ICMS/DF 2001 [FCC]

Em determinado ms, a mdia aritmtica dos pagamentos de certo tributo, efetuados por 53 empresas, foi de R$ 2.340,00. Acrescentando-se o pagamento feito por uma nova empresa, a mdia passou a ser R$ 2.480,00. O valor do tributo pago por esta empresa foi de:

a) 140,00

b) 990,00

c) 5.820,00

d) 7.420,00

e) 9.900,00

Resoluo:

Antes de fazer a questo, olhemos atentamente as alternativas. D pra descartar alguma sem precisar fazer contas?

Sim! possvel descartar as letras A e B.

Com as 53 empresas, a mdia era de R$ 2.340,00. Depois, uma quinquagsima quarta empresa se juntou s 53 iniciais. E a mdia aumentou para R$ 2.480,00.

Ora, se a mdia aumentou, porque o tributo pago por esta ltima empresa foi maior que a mdia anterior. Ou seja, o tributo pago pela ltima empresa foi maior que R$ 2.340,00.

E antes mesmo de resolver a questo, podemos j arriscar um chute. Uma nica empresa aumentou a mdia em mais de cem reais. Ela deve ter pago um tributo bem alto. Portanto, se fssemos chutar, sem fazer conta, bons palpites seriam as alternativas D e E. A letra E melhor que a D. Isto porque a letra B igual letra E dividido por 10, possivelmente esperando um erro de conta do candidato.

Vamos resoluo. No incio, quando eram apenas 53 empresas, a mdia podia ser escrita como:

53

53

1

=

iXX



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Substituindo o valor de X por 2.340, temos:

23405353

234053

1

53

1 ==

i

i

XX

(I)

O que isto significa? Significa que se somarmos os tributos pagos pelas 53 empresas, o total obtido ser 53 x 2340.

Depois que a ltima empresa pagou seu tributo, a mdia passa a ser escrita como:

54'

54

1

=

iXX

Modifiquei o smbolo da mdia s para diferenciar da mdia anterior.

Substituindo o valor de 'X por 2.480, temos:

24805454

248054

1

54

1 ==

i

i

XX

(II)

Isto significa que, somando os tributos pagos pelas 54 empresas (considerando as 53 empresas iniciais e mais a ltima empresa a pagar tributo), o resultado obtido ser 54 2480.

Na equao (II) eu tenho o total pago pelas 54 empresas. Na equao (I) eu tenho o total pago pelas 53 empresas iniciais. Se subtrairmos um pelo outro obtemos o que? Obtemos o tributo pago pela ltima empresa (X54). Ficamos com:

54

53

1

54

1XXX ii =

Caso tenha ficado difcil de entender, como se estivssemos fazendo a seguinte conta:

(X1 + X2 + X3 + ... + X52 + X53 + X54) (X1 + X2 + X3 + ... + X52 + X53) = X54.

Continuando:

54

53

1

54

1XXX ii =

54234053248054 X=

Se voc quiser fazer a conta e marcar a resposta, sem problemas, vai dar certo.

S vou dar uma sugesto. Na conta acima, temos duas multiplicaes envolvendo nmeros de quatro dgitos. So trabalhosas de fazer. Tomam um tempo. Alm das multiplicaes, temos uma subtrao. Seria timo se eu pudesse primeiro fazer a subtrao, diminuir os valores, e depois fazer a multiplicao. Com esta idia, podemos fazer o seguinte:

23405324805454 =X

234053248053248054 +=X



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Continuando a soluo:

234053248053248054 +=X

Colocando o 53 em evidncia:

)23402480(53248054 +=X )140(53248054 +=X

Pronto, agora temos apenas uma multiplicao e envolvendo nmeros menores.

7420248054 +=X

E nem precisamos fazer essa soma. J sabemos que o tributo pago pela ltima empresa ser igual a 7.420 mais 2.480. Logo, esse valor ser maior que 7.420. Portanto, a nica alternativa possvel a letra E.

990054 =X

Gabarito: E.

Questo 3 TCU 2009 [CESPE]

Uma instituio realizou levantamento com vistas a comparar os valores de dez diferentes tipos de itens de consumo. Para cada item i(i = 1, 2, ..., 10), foi registrado um par de valores (xi,yi), em que xi representa o valor do item i estabelecido pela empresa A, e yi representa o valor desse mesmo item fornecido pela empresa B. Os seguintes resultados foram encontrados:

+ = 130; = 10

+ = 1.790; = 26

Com base nessas informaes, julgue os itens a seguir.

96. A mdia amostral dos valores x1, x2, ..., x10 13% maior do que a mdia amostral dos valores y1, y2, ..., y10.

98. A mdia aritmtica da distribuio x1 y1, x2 y2, ..., x10 y10 maior que 43.

Resoluo:

Item 96.

Temos:

+ = 130



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+ = + = 130 (equao I) Sabemos tambm que:

= 10

= = 10 (equao II) Somando as duas equaes:

+ + = 130 + 10

2 = 140

= 70 Voltando na equao I:

= 10

70 + = 10

= 60 Mdia dos valores de x:

= =70

10= 7

Mdia dos valores de y:

= =60

10= 6

A mdia de x vale 7. A mdia de y vale 6.

7

6= 1,1666

A mdia de x 16,6% maior que a de y.

Item errado.

Item 98.

Temos:

( + ) = 1.790 Desenvolvendo o quadrado da soma:

+ + 2 = 1.790



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+ + 2 = 1.790 (equao I)

Alm disso:

( ) = 26 Desenvolvendo o quadrado da diferena:

+ 2 = 26

+ 2 = 26 (equao II) Fazendo a subtrao entre I e II:

+ + 2 + 2 = 1.790 26

2 + 2 = 1.764

2 + 2 = 1.764

4 = 1.764

= 441 Logo, a mdia do produto fica:

10

=441

10= 44,1

Item certo

Gabarito: errado, certo

2.2. Propriedades da mdia aritmtica

Voltemos nossa pesquisa de salrios dos moradores do bairro Nova Vila.

Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Suponhamos que todas essas dez pessoas receberam um aumento salarial de R$ 1.000,00. Agora, seus salrios so:

Salrios aps o aumento: 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8.

Qual a nova mdia?

A nova mdia ser:

6,410

8765543332=

+++++++++=X



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O salrio mdio agora de R$ 4.600,00.

Antes, com os salrios antigos, a mdia era de R$ 3.600,00. Agora, todos os dados foram somados em R$ 1.000,00. E a mdia tambm foi somada de R$ 1.000,00.

Suponhamos agora que todos esses funcionrios, alm do salrio normal (j reajustado em R$ 1.000,00), vo receber em dezembro o dcimo terceiro integral. Assim, no ms de dezembro, os salrios vo ficar:

Salrio mais dcimo terceiro: 4, 6, 6, 6, 8, 10, 10, 12, 14, 16.

A nova mdia fica:

2,910

161412101086664=

+++++++++=X

Note que todos os valores foram dobrados. A mdia, que era de R$ 4.600,00, passou a R$ 9.200,00. Portanto, a mdia tambm dobrou.

Podemos resumir essas propriedades da seguinte forma:

somando ou subtraindo uma constante c de cada elemento do conjunto de dados, a mdia do novo conjunto fica aumentada ou diminuda de c.

multiplicando ou dividindo cada elemento do conjunto de dados por uma constante c, a mdia do novo conjunto fica multiplicada ou dividida por c.

Outras duas propriedades da mdia so:

a mdia aritmtica o valor em relao ao qual mnima a soma dos quadrados dos desvios.

a soma de todos os desvios em relao mdia aritmtica igual a zero.

Sobre essas duas ltimas propriedades, por enquanto vai ficar s o registro de que elas existem. Explicaremos com mais detalhes no tpico de medidas de disperso.

Exemplos

Exemplo 1

Calcule a mdia aritmtica da seguinte sequncia: {1, 3, 5}

Resoluo:

33

531=

++=X

Exemplo 2

Calcule a mdia aritmtica da seguinte sequncia: {3, 5, 7} (observe que esta foi obtida a partir da sequncia anterior, somando 2 a todos os elementos).



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Resoluo:

53

753=

++=X

Repare que, como somamos 2 a todos os elementos (em relao sequncia anterior), a mdia tambm foi adicionada de 2. Ou seja, a mdia sofre a mesma alterao sofrida pelos dados.

Exemplo 3

Calcule a mdia aritmtica da seguinte sequncia: {6, 10, 14} (observe que esta sequncia foi obtida a partir da anterior, multiplicando todos os elementos por 2).

Resoluo:

103

14106=

++=X

Repare que, como multiplicamos por 2 todos os elementos (em relao sequncia anterior), a mdia tambm foi multiplicada por 2. Ou seja, a mdia sofre a mesma alterao sofrida pelos dados.

Questo 4 SEFAZ BA 2004 [FCC]

Uma administradora de locao de imveis, com o objetivo de analisar o mercado em sua regio, procedeu s seguintes operaes:

I. Multiplicou por dois os valores de todos os alugueis de sua carteira

II. Subtraiu R$ 1.200,00 de cada valor encontrado no item I.

III. Dividiu por R$ 1.000,00 cada valor encontrado no item II

IV. Calculou a mdia aritmtica de todos os valores apurados no item III.

Se o valor encontrado no item IV foi de 3/10, ento a mdia aritmtica dos valores dos alugueis em reais :

a) 2300

b) 1700

c) 1500

d) 1300

e) 750

Resoluo:

Vamos chamar a mdia dos aluguis de X .



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Primeiro, todos os valores so dobrados. Ou seja, a mdia desses novos valores tambm ser dobrada.

Mdia dos valores obtidos no item I: 2 Depois, todos os valores so subtrados por R$ 1.200,00. Ou seja, a mdia desses novos valores tambm ser reduzida de R$ 1.200,00.

Mdia dos valores obtidos no item II: 2 1200 Por fim, todos os valores so divididos por R$ 1.000,00. Portanto, a mdia tambm ficar dividida por mil.

Mdia dos valores obtidos em III:

2 12001000

O enunciado me disse que a mdia dos valores obtidos no item III de 3/10. Portanto:

2 12001000

=3

10

2 1200 = 300010

= 300

2 = 1200 + 300 = 1500 = 750

Gabarito: E.

Questo 5 BACEN/2006 [FCC]

A mdia aritmtica dos salrios dos 100 empregados em uma empresa de R$ 1.500,00. Na hiptese de serem demitidos 20 empregados, que ganham cada um o salrio de R$ 2.500,00, e ser concedido, posteriormente, um aumento de 10% em todos os salrios remanescentes, a nova mdia aritmtica dos salrios ser de:

a) R$ 1.375,00

b) 1.350,00

c) R$ 1.345,00

d) 1.320,00

e) 1.300,00

Resoluo:

A mdia inicial era de R$ 1.500,00. E como obtemos essa mdia? Somamos todos os 100 salrios e dividimos por 100.



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000.150100

1500100

1

100

1==

=

=

ii

ii

XX

A soma de todos os 100 salrios de R$ 150.000,00.

Foram demitidos 20 funcionrios que ganhavam, cada um, o salrio de R$ 2.500,00. A soma dos salrios desses 20 funcionrios :

000.50500.220 = Agora, a soma dos salrios dos oitenta funcionrios remanescentes fica:

000.100000.50000.150 = E a nova mdia fica:

00,250.180

000.10080

80

1==

=i

iX

A nova mdia de 1.250,00.

Depois disso, todos os funcionrios ganham um reajuste de 10%. Portanto, a mdia sofre a mesma alterao, e tambm aumentada em 10%.

Gabarito: A.

2.3. Mdia para dados agrupados por valor

Acima, vimos que, quando os dados esto em rol, basta somar todos eles e dividir por n (onde n o nmero de dados).

Quando os dados esto agrupados por valor, a ideia de clculo da mdia ser a mesma.

Vamos ver como fica. Para tanto, voltemos aos salrios dos moradores do bairro Nova Vila.

Quando os dados estiverem agrupados, uma forma de calcular a mdia a seguinte.

Primeiro passo: criamos uma terceira coluna, igual ao produto das duas anteriores.

Salrios Frequncia absoluta simples = Salrio x frequncia

1 1 1

2 3 6

3 1 3

4 2 8

5 1 5

6 1 6

7 1 7

Segundo passo: calculamos os totais das duas ltimas colunas.



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Salrios Frequncia absoluta simples = Salrio x frequncia

1 1 1

2 3 6

3 1 3

4 2 8

5 1 5

6 1 6

7 1 7

TOTAL 10 36

Terceiro passo: a mdia ser dada pela diviso do total da coluna (salrio x frequncia) pelo total da coluna de frequncias.

6,31036

==X

Repare que a mdia foi de R$ 3.600,00. A mesma mdia obtida quando os dados estavam em rol. O valor tinha que dar igual. Afinal de contas, so os mesmos dados, apenas dispostos de forma diferente.

Outro aspecto interessante. O total da coluna de (salrio x frequncia) justamente a soma de todos os salrios.

Para fazer este procedimento, importante que se trabalhe apenas com frequncias simples. Tanto faz ser absoluta ou relativa. Mas tem que ser simples. Se o exerccio te der uma tabela de frequncias acumuladas, antes de resolver, tem que passar para a respectiva frequncia simples.

Vamos ver como seria. Se o exerccio trouxesse a seguinte tabela:

Salrios (em R$ 1.000,00)

Frequncia relativa acumulada

1 0,1

2 0,4

3 0,5

4 0,7

5 0,8

6 0,9

7 1,0

Como voc calcularia a mdia?

Antes de comear a resolver, temos que achar a frequncia relativa simples, pois, para calcular a mdia, no serve a frequncia acumulada.



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Salrios (em R$ 1.000,00)

Memria de clculo

Frequncia relativa simples

Frequncia relativa acumulada

1 (=0,1) 0,1 0,1

2 (=0,4 0,1) 0,3 0,4

3 (=0,5-0,4) 0,1 0,5

4 (=0,7-0,5) 0,2 0,7

5 (=0,8 0,7) 0,1 0,8

6 (=0,9 0,8) 0,1 0,9

7 (= 1 0,9) 0,1 1,0

Feito isto, podemos criar a coluna de (frequncia x salrios), calcular os totais de cada coluna e achar a mdia.

Salrio (em R$ 1.000,00)

Frequncia relativa simples ( fr )

= Salrio x frequncia

1 0,1 0,1

2 0,3 0,6

3 0,1 0,3

4 0,2 0,8

5 0,1 0,5

6 0,1 0,6

7 0,1 0,7

TOTAL 1 3,6

E a mdia fica:

6,316,3

==X

Observe que a resposta a mesma (tanto para frequncias absolutas quanto relativas). O que importa que as frequncias sejam simples. Nunca acumuladas.

Se fssemos resumir todos os procedimentos para calcular a mdia, poderamos express-los por meio das seguintes frmulas:

n

fXX ii

= (quando trabalhamos com frequncias absolutas)

1

=ii frXX (quando trabalhamos com frequncias relativas)

Quando os dados esto em ROL, vimos no comeo desta aula que a frmula da mdia :

n

XX

n

ii

=

=1

E agora, quando temos dados agrupados, a frmula mudou. Mas todas elas so formas ligeiramente diferentes de se escrever a mesma coisa. A ttulo de exemplo, vamos comparar

n

Xn

ii

=1 comn

fX ii .



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A primeira frmula para dados em rol. A segunda, para dados agrupados.

O denominador das duas frmulas o mesmo. No caso dos salrios das pessoas do bairro Nova Vila, so 10 observaes. Portanto, 10=n . Agora vamos nos concentrar nos numeradores.

Quando os dados esto em rol, temos: 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Quando escrevemos os dados em rol, representamos cada termo por iX . Assim, temos dez valores de Xi.

X1 = 1; X2 = 2; X3 = 2; X4 = 2; X5 = 3; X6 = 4; X7 = 4; X8 = 5; X9 = 6; X10 = 7.

Deste modo, para somar todos os dez valores, fazemos:

=

10

1iiX =36

E 36 o numerador da frmula n

Xn

ii

=1 .

J quando os dados esto agrupados, a notao muda um pouco. Ficamos com:

Salrios Frequncia absoluta simples

1 1

2 3

3 1

4 2

5 1

6 1

7 1

Continuamos tendo dez observaes. Mas, para represent-las, no usamos mais dez valores de Xi. Usamos apenas sete. Um para cada valor diferente de salrio.

Assim, dizemos que X1 = 1. Isto porque o primeiro valor de salrio observado igual a 1.

Dizemos tambm que X1 tem frequncia igual a 1 ( 11 =f ). Dizemos que X2 = 2. Isto porque o segundo valor observado igual a 2. Dizemos tambm

que sua frequncia igual a 3 ( 32 =f ). Ou seja, este segundo valor, na verdade, representa trs termos. Trs observaes esto representadas por este X2 = 2. Por isso dizemos que os dados esto agrupados. Agrupamos trs termos em uma nica linha da tabela.

Nesta representao, de dados agrupados, temos:

X1 = 1; X2 = 2; X3 = 3; X4 = 4; X5 = 5; X6 = 6; X7 = 7.

Mas, agora, se quisermos somar todas as observaes, no podemos simplesmente fazer:

2876543217

1=++++++=

=iiX

Isto estaria errado porque, como j dissemos, cada valor de Xi pode representar mais de uma observao. Por isso temos que multiplicar cada valor de Xi pela sua respectiva

Prof. Vtor Menezes

frequncia. Deste modo, quando os dados esto agrupados, a soma de todos os valores fica ligeiramente diferente. Neste exemplo da pesquisa de salrios, ficamos com:

17

1=

=iii fX

Resumindo:

Quando os dados esto em rol, para somar todos os dados fazemos:

Quando os dados esto agrupados, para somar todos os dados fazemos:

Estas duas frmulas fornecem exatamente o mesmo resultado.

Questo 6 CEAP PB 2009 [CESPE]

O grfico acima mostra a distribuio percentual de veculos de acordo com suas velocidades aproximadas, registradas por meio de um radar instalado em uma avenida. velocidade mdia aproximada, em km/h, dos veculos que foram registrados pelo radar foi

a) inferior a 40.

b) superior a 40 e inferior a 43.

c) superior a 43 e inferior a 46.

d) superior a 46.

Resoluo.

O grfico de colunas uma forma de representar dauma tabela, teramos:


Matemtica e Matemtica Financeira

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. Deste modo, quando os dados esto agrupados, a soma de todos os valores fica te exemplo da pesquisa de salrios, ficamos com:

17161524133211 =++++++

Quando os dados esto em rol, para somar todos os dados fazemos:

Quando os dados esto agrupados, para somar todos os dados fazemos:

Estas duas frmulas fornecem exatamente o mesmo resultado.

CEAP PB 2009 [CESPE]

O grfico acima mostra a distribuio percentual de veculos de acordo com suas velocidades aproximadas, registradas por meio de um radar instalado em uma avenida. velocidade mdia aproximada, em km/h, dos veculos que foram registrados pelo radar foi

b) superior a 40 e inferior a 43.

c) superior a 43 e inferior a 46.

O grfico de colunas uma forma de representar dados agrupados. Passando os dados para



AFRFB e AFT

.com.br 17

. Deste modo, quando os dados esto agrupados, a soma de todos os valores fica te exemplo da pesquisa de salrios, ficamos com:

36

Quando os dados esto em rol, para somar todos os dados fazemos: iX .

Quando os dados esto agrupados, para somar todos os dados fazemos: ii fX .

O grfico acima mostra a distribuio percentual de veculos de acordo com suas velocidades aproximadas, registradas por meio de um radar instalado em uma avenida. A velocidade mdia aproximada, em km/h, dos veculos que foram registrados pelo radar foi

dos agrupados. Passando os dados para



AFRFB e AFT


Velocidade frequncia relativa (%) Frequncia vezes valor (%)

20 5 100

30 15 450

40 30 1200

50 40 2000

60 7 420

70 2 140

80 1 80

Total 100 4390

A tabela est aproximada, pois no sabemos, com exatido, as frequncias relativas das velocidades 60, 70 e 80.

90,431004390

==X

Gabarito: C

Questo 7 TERRACAP 2009 [UNIVERSA]

Em uma licitao para aquisio de lotes destinados construo de residncias, quinze propostas foram apresentadas. Os valores das propostas e a frequncia com que apareceram se encontram na tabela a seguir.

Valor (R$) Frequncia

100.000,00 1

105.000,00 2

110.000,00 5

112.000,00 4

115.000,00 3

A mdia aritmtica de um conjunto de dados a soma de todos os valores dividida pelo nmero total de itens. Para o conjunto de valores apresentados pelos licitantes, a mdia aritmtica, em R$,

(A) 107.000,00.

(B) 108.250,00.

(C) 110.020,00.

(D) 111.500,00.

(E) 113.000,00.

Resoluo.

Para facilitar nossas contas, vamos dividir todos os valores por 1.000.

Os dados esto agrupados por valor. Para calcular a mdia, primeiro criamos uma coluna adicional, de valor vezes frequncia.



AFRFB e AFT


Valor (R$ 1.000) Frequncia Valor vezes frequncia

100 1 100

105 2 210

110 5 550

112 4 448

115 3 345

Agora calculamos os totais das colunas de frequncia e de valor vezes frequncia.

Valor (R$ 1.000) Frequncia Valor vezes frequncia

100 1 100

105 2 210

110 5 550

112 4 448

115 3 345

Total 15 1653

A mdia dada pela diviso entre os totais acima obtidos:

1653

15= 110,2

Mas ns dividimos todos os valores por 1.000. Pelas propriedades da mdia, conclumos que a mdia tambm foi dividida por 1.000.

Para achar a mdia dos dados originais, temos que, novamente, multiplicar por 1.000.

110,2 1.000 = 110.200

Na minha opinio, no h alternativa correta e a questo deveria ser anulada.

No gabarito definitivo, foi indicada a letra C.

Caso vocs encontrem algum erro na minha soluo, por favor me avisem.

Gabarito: C

Questo 8 MPE PE 2006 [FCC]

Em uma linha de produo de montadoras de tratores, existem 5 verificaes realizadas pela equipe de controle de qualidade. Foram sorteados alguns dias do ms e anotados os nmeros de controles em que o trator produzido foi aprovado nestes dias.

Aprovaes N de tratores

3 250

4 500

5 1250

Total 2000

A tabela acima descreve estes dados coletados. Sabe-se que cada reprovao implica em custos adicionais para a montadora. Admitindo-se um valor bsico de R$ 10,00 por cada item reprovado no trator produzido, a mdia da despesa adicional por trator produzido ser

(A) R$ 1,00

(B) R$ 10,00



AFRFB e AFT


(C) R$ 6,00

(D) R$ 5,00

(E) R$ 7,00

Resoluo:

Um trator com 3 aprovaes teve 2 reprovaes. Ou seja, representa uma despesa adicional de R$ 20,00.

Um trator com 4 aprovaes teve 1 reprovao. Ou seja, representa uma despesa adicional de R$ 10,00.

Um trator com 5 aprovaes no teve reprovao. No representa nenhuma despesa adicional.

Podemos construir a seguinte tabela:

Despesa adicional (X)

N de tratores (f)

20,00 250

10,00 500

0,00 1250

Total 2000

Vamos calcular a mdia de despesa adicional. Vamos criar a coluna adicional de valor vezes frequncia.

X f fX 20,00 250 5.000

10,00 500 5.000

0,00 1250 0

Total 2000 10.000

A mdia fica:

5000.2000.10

==X

A mdia de R$ 5,00 por trator.

Gabarito: D

2.4. Mdia para dados em classe

Considere a tabela abaixo, que representa os dados da nossa pesquisa sobre os salrios dos moradores do bairro Nova Vila.



AFRFB e AFT


Classes de valores Frequncia absoluta simples

[1;4) 5

[4;7) 4

[7;10) 1

A tabela acima outra forma de representao do rol que estamos estudando. Apenas agrupamos os valores, distribuindo-os em classes.

Vamos agora calcular a mdia. Novamente, a exemplo do que fizemos para os dados agrupados por valor, temos que garantir que as frequncias sejam simples. Tanto faz serem absolutas ou relativas. Mas tm que ser simples. Se o exerccio pedir clculo de mdia e fornecer frequncias acumuladas, voc tem que achar as respectivas frequncias simples.

Neste caso, j temos direto as frequncias absolutas simples. J d para comear a calcular a mdia.

TOME NOTA!!!

Para clculo da mdia, sempre utilize frequncias simples (pode ser absoluta ou relativa).

Quando falamos sobre dados dispostos em classes, comentamos que se perdia informao. Olhemos para a primeira classe, com valores de R$ 1.000,00 a R$ 4.000,00. Sabemos que cinco pessoas esto nesta classe, mas no temos como determinar o salrio de cada uma delas. Sabemos apenas que ganham de R$ 1.000,00 at R$ 3.999,99 (repare que nesta classe no levamos em conta as pessoas que ganham exatamente R$ 4.000,00).

Para calcular a mdia, precisaramos somar todos os dez salrios e dividir por 10. Ora, se no sabemos mais, com exatido, o salrio de cada uma das dez pessoas, no temos mais como calcular a mdia.

Assim, quando os dados estiverem em classes, no possvel saber qual a verdadeira mdia dos dados. O que fazemos simplesmente dar um chute. isso mesmo! Um chute.

A mdia verdadeira, esta no d para achar. Mas d para estimar um valor para esta mdia. Como fazer?

O primeiro passo calcular o ponto mdio de cada classe.

Classes de valores Ponto mdio Frequncia absoluta

simples

[1;4) 2,5 5

[4;7) 5,5 4

[7;10) 8,5 1

Pronto, agora vamos ao nosso chute. Vamos considerar que todas as pessoas de cada classe ganham exatamente o salrio correspondente ao ponto mdio da classe. Ou seja, as 5 pessoas da primeira classe ganham R$ 2.500,00. As 4 pessoas da segunda classe ganham R$ 5.500,00. E a pessoa da terceira classe ganha R$ 8.500,00. Novamente, isto apenas um chute.

Feito isso, agora a questo que temos basicamente o clculo de uma mdia para dados agrupados. O procedimento o mesmo que vimos no tpico anterior. Relembrando.



AFRFB e AFT


Primeiro passo: criamos uma coluna adicional, contendo o produto dos valores por suas respectivas frequncias.

Ponto mdio Frequncia absoluta

simples Ponto mdio x

frequncia

2,5 5 12,5

5,5 4 22

8,5 1 8,5

Segundo passo: somamos os valores das colunas.

Ponto mdio Frequncia absoluta

simples Ponto mdio x

frequncia

2,5 5 12,5

5,5 4 22

8,5 1 8,5

Totais 10 43

Terceiro passo: dividimos o total da coluna (valor x frequncia) pelo total da coluna de frequncias.

3,41043

==X

Pronto, est calculada a mdia (ou melhor, chutada). Repare que este valor no igual mdia verdadeira (3,6). Quem tem acesso a todos os dados sabe que o salrio mdio das dez pessoas pesquisadas de R$ 3.600,00. Contudo, sem acesso a todas as informaes, estimamos a mdia em R$ 4.300,00.

Antes de irmos para os exerccios, s um comentrio. Alm da mdia aritmtica, h outras (veremos mais algumas adiante). Contudo, para fins de concurso, a aritmtica a mais importante (porque a mais cobrada). Portanto, se o exerccio falar apenas mdia, sem mencionar que a aritmtica, pode supor que se trata dela.

Vamos a alguns exerccios sobre o assunto.

Questo 9 Petrobras 2008 [CESGRANRIO]

A tabela abaixo apresenta os pesos de um grupo de pessoas e suas respectivas frequncias. No h observaes coincidentes com os extremos das classes.



AFRFB e AFT


O peso mdio do conjunto de pessoas, em kgf,

(A) 60

(B) 65

(C) 67

(D) 70

(E) 75

Resoluo:

Os dados esto em classe. Quando isso ocorre, temos perda de informao.

Exemplo: no sabemos quais os valores das cinco observaes da segunda classe. Sabemos apenas que esto entre 50 e 60 kgf.

Se no sabemos mais os valores de cada uma das observaes, no temos mais como somar todas elas, portanto, no possvel calcular a mdia.

O que fazemos dar um chute. Fazemos uma considerao. Consideramos que as frequncias se referem aos pontos mdios das classes.

Ento, o primeiro passo para calcular a mdia para um conjunto de dados em classes achar os pontos mdios das classes.

Classes Ponto mdio (X)

[40; 50) 45

[50 ; 60) 55

[ 60; 70) 65

[ 70; 80) 75

[ 80; 90) 85

Observem que todas as classes tm a mesma amplitude (no caso, a amplitude 10).

Quando isso ocorre, precisamos calcular apenas o primeiro ponto mdio (=45).

Para obter os demais, basta ir somando de 10 em 10 (que justamente a amplitude de classe).

Assim, os pontos mdios seguintes so: 55, 65, 75, 85.

Agora, calculamos a mdia dos pontos mdios.



AFRFB e AFT


Classes Ponto mdio (X) f fX [40; 50) 45 2 90

[50 ; 60) 55 5 275

[ 60; 70) 65 7 455

[ 70; 80) 75 8 600

[ 80; 90) 85 3 255

total 25 1675

A mdia dada pela diviso entre os dois valores acima (total de valor vezes frequncia dividido pelo total das frequncias):

==

251675X 67

Uma dificuldade neste tipo de questo so as contas envolvidas. Uma alternativa para facilitar as contas trabalhar com uma varivel auxiliar (d).

Esta varivel auxiliar d obtida a partir da varivel original (X). Podemos usar somas, subtraes, multiplicaes e divises, com o intuito de chegar a nmeros mais fceis. Atingido este objetivo, a transformao vlida.

Quando todas as classes tm a mesma amplitude, uma maneira de calcular d assim: subtramos o primeiro valor de X; dividimos pela amplitude de classe.

Neste exerccio, o primeiro valor de X 45. A amplitude de classe 10. Ficamos com:

1045

=

Xd

A tabela abaixo traz os valores de d:

Classes Ponto mdio (X)

1045

=

Xd f fd

[40; 50) 45 0 2 0

[50 ; 60) 55 1 5 5

[ 60; 70) 65 2 7 14

[ 70; 80) 75 3 8 24

[ 80; 90) 85 4 3 12

Total 25 55

E agora calculamos a mdia de d. Por qu? Porque mais fcil (j que os nmeros so menores).

2,2100220

2555

===d

A mdia de d 2,2. Mas ns no queremos a mdia de d. Ns queremos a mdia de X. Isto pode ser conseguido isolando X.

451010

45+=

= dXXd



AFRFB e AFT


Toda vez que somamos, subtramos, multiplicamos ou dividimos um conjunto de dados por uma constante, a mdia sofre a mesma variao. Logo, a relao entre as mdias de X e d fica:

4510 += dX

674522 =+=X Gabarito: C

Questo 10 SEFAZ PAR 2002 [ESAF]

A tabela de frequncias abaixo apresenta as frequncias acumuladas (F) correspondentes a uma amostra da distribuio dos salrios anuais de economistas (Y) em R$ 1.000,00, do departamento de fiscalizao da Cia. X. No existem realizaes de Y coincidentes com as extremidades das classes salariais.

Classes F

29,5 39,5 2

39,5 49,5 6

49,5 59,5 13

59,5 69,5 23

69,5 79,5 36

79,5 89,5 45

89,5 99,5 50

Assinale a opo que corresponde ao salrio anual mdio estimado para o departamento de fiscalizao da Cia. X.

a) 70,0

b) 69,5

c) 68,0

d) 74,4

e) 60,0

Resoluo:

Primeiramente, repare que as frequncias fornecidas so acumuladas. Para calcular a mdia, sempre temos que utilizar frequncias simples.

Faamos isto.



AFRFB e AFT


Classes Frequncia simples Frequncia acumulada

29,5 39,5 2 2

39,5 49,5 4 6

49,5 59,5 7 13

59,5 69,5 10 23

69,5 79,5 13 36

79,5 89,5 9 45

89,5 99,5 5 50

Agora sim, podemos continuar com o clculo.

Vamos encontrar os pontos mdios de cada classe.

Classes Pontos mdios Frequncia simples

29,5 39,5 34,5 2

39,5 49,5 44,5 4

49,5 59,5 54,5 7

59,5 69,5 64,5 10

69,5 79,5 74,5 13

79,5 89,5 84,5 9

89,5 99,5 94,5 5

Note que todas as amplitudes de classes so iguais a 10. Assim, podemos simplesmente encontrar o primeiro ponto mdio (=34,5). Os demais so obtidos por soma. Basta somar 10 sempre.

Como no temos acesso a todos os dados, vamos dar um chute. Vamos supor que todas as observaes coincidem com os pontos mdios de cada classe.

O que temos agora um clculo de mdia para dados agrupados. So trs passos a fazer.

Primeiro passo: criamos uma coluna adicional, multiplicando cada valor por sua respectiva frequncia simples.

Pontos mdios Frequncia simples Valor x frequncia

34,5 2 69

44,5 4 178

54,5 7 381,5

64,5 10 645

74,5 13 968,5

84,5 9 760,5

94,5 5 472,5

Segundo passo: calculamos os totais das colunas.



AFRFB e AFT


Pontos mdios Frequncia simples Valor x frequncia

34,5 2 69

44,5 4 178

54,5 7 381,5

64,5 10 645

74,5 13 968,5

84,5 9 760,5

94,5 5 472,5

Totais 50 3475

Terceiro passo: dividir o total da coluna (valor x frequncia) pelo total da coluna de frequncias.

5,6950

3475==X

Gabarito: B.

Outra soluo possvel envolve a utilizao da varivel auxiliar.

Vamos partir da tabela de pontos mdios com suas respectivas frequncias simples.

Classes Pontos mdios Frequncia simples

29,5 39,5 34,5 2

39,5 49,5 44,5 4

49,5 59,5 54,5 7

59,5 69,5 64,5 10

69,5 79,5 74,5 13

79,5 89,5 84,5 9

89,5 99,5 94,5 5

Antes de criar a coluna adicional, contendo a multiplicao de valor e frequncia, vamos criar uma varivel auxiliar.

Vamos cham-la de varivel d.

Vamos chamar os pontos mdios de X.

Vou agora mostrar uma forma ligeiramente diferente de calcular a varivel d.

Para cada valor de X, encontramos um valor de d, da seguinte maneira:

105,74

=

Xd

Vamos verificar mais de perto esta equao.

No problema anterior, subtramos X do primeiro ponto mdio.

Agora, optamos por subtrair por 74,5, que o ponto com maior frequncia. Isso facilitar as contas, pois a maior frequncia ser multiplicada por zero, como veremos mais adiante.



AFRFB e AFT


Sempre bom lembrar: no h regra fixa para o clculo da varivel auxiliar. Atingido o objetivo de chegarmos a nmeros mais amigveis, ok, tudo certo.

O primeiro valor de X 34,5.

5,341 =X

O primeiro valor da nossa varivel auxiliar d ser:

410

5,745,341 =

=d

O segundo valor de X 44,5.

5,442 =X

O segundo valor da nossa varivel auxiliar d ser:

310

5,745,442 =

=d

E assim por diante.

Podemos resumir todos os valores de d com a tabela abaixo.

Pontos mdios (X) Varivel auxiliar (d) Frequncia simples

34,5 -4 2

44,5 -3 4

54,5 -2 7

64,5 -1 10

74,5 0 13

84,5 1 9

94,5 2 5

Agora continuamos o exerccio. S que em vez de calcular a mdia dos valores de X, vamos calcular a mdia dos valores de d. Por qu? Porque os valores da varivel d so menores e, alm disso, no apresentam casas aps a vrgula. As contas ficam mais fceis de fazer.

Primeiro passo: criamos uma coluna auxiliar de (valor x frequncia).

Varivel auxiliar )(d

Frequncia simples )( f fd

-4 2 -8

-3 4 -12

-2 7 -14

-1 10 -10

0 13 0

1 9 9

2 5 10

Perceberam que o 13 (maior frequncia) foi multiplicado por 0? Por isso eu disse que as contas ficariam ainda mais fceis.



AFRFB e AFT


Segundo passo: calculamos os totais das colunas.

Varivel auxiliar )(d

Frequncia simples )( f fd

-4 2 -8

-3 4 -12

-2 7 -14

-1 10 -10

0 13 0

1 9 9

2 5 10

Totais 50 -25

Terceiro passo: encontramos a mdia:

5,05025

=

=d

Ou seja, a mdia dos valores auxiliares de -0,6.

S que no queremos a mdia dos valores auxiliares. Queremos a mdia dos valores de X.

Sabemos que:

105,74

=

Xd

Isolando X, temos:

5,7410 += dX

Ou seja, para obter X, pegamos cada valor de d, multiplicamos por 10 e somamos 34,5.

S que ns vimos, l em propriedades da mdia (matria da aula anterior), que sempre que somamos, subtramos, multiplicamos ou dividimos os valores por uma dada constante, a mdia sofre exatamente a mesma alterao.

Ou seja, a mdia de X fica:

5,7410 += dX

5,74)5,0(10 +=X 5,69=X

No custa nada reforar: usar a varivel auxiliar opcional. s uma maneira que pode ajudar a diminuir as contas.

Questo 11 AFRF/2001 [ESAF]

Frequncias Acumuladas de Salrios Anuais, em Milhares de Reais, da Cia. Alfa



AFRFB e AFT


Classes de Salrio Frequncias Acumuladas

( 3; 6] 12

(6; 9] 30

(9; 12] 50

(12; 15] 60

(15; 18] 65

(18; 21] 68

Quer-se estimar o salrio mdio anual para os empregados da Cia. Alfa. Assinale a opo que representa a aproximao desta estatstica calculada com base na distribuio de frequncias.

a) 10,00

b) 9,93

c) 13,50

d) 15,00

e) 12,50

Resoluo:

Foram dadas frequncias acumuladas. S que para calcular a mdia sempre trabalhamos com frequncias simples. Tanto faz serem absolutas ou relativas. Vamos encontrar as frequncias absolutas simples correspondentes.

Classes De Salrio

Memria De clculo

Frequncias Simples

Frequncias Acumuladas

( 3; 6] =12 12 12

(6; 9] =30-12 18 30

(9; 12] =50-30 20 50

(12; 15] =60-50 10 60

(15; 18] =65-60 5 65

(18; 21] =68-65 3 68

Agora podemos comear a trabalhar, pois j temos as frequncias simples.

Precisamos encontrar os pontos mdios das classes.



AFRFB e AFT


Classes de Salrio

Ponto mdio

Frequncias Simples

Frequncias Acumuladas

( 3; 6] 4,5 12 12

(6; 9] 7,5 18 30

(9; 12] 10,5 20 50

(12; 15] 13,5 10 60

(15; 18] 16,5 5 65

(18; 21] 19,5 3 68

Mais uma vez, todas as amplitudes de classes so iguais (todas valem 3). Podemos encontrar apenas o primeiro ponto mdio. Os demais so obtidos por soma (basta somar 3).

Para facilitar as contas, criamos a varivel auxiliar d. Vamos pegar cada valor de X e subtrair 4,5 (pois 4,5 igual ao primeiro ponto mdio). Em seguida dividimos por 3 (pois 3 a amplitude de classe).

35,4

=

Xd

Ponto mdio d Frequncias Simples

4,5 0 12

7,5 1 18

10,5 2 20

13,5 3 10

16,5 4 5

19,5 5 3

Vamos calcular a mdia dos valores de d.

Primeiro passo: criamos a coluna de valor vezes frequncia.

d Frequncias Simples ( f )

fd

0 12 0

1 18 18

2 20 40

3 10 30

4 5 20

5 3 15

Segundo passo: Calculando os totais



AFRFB e AFT


d Frequncias Simples ( f )

fd

0 12 0

1 18 18

2 20 40

3 10 30

4 5 20

5 3 15

TOTAL 68 123

Terceiro passo: encontrando a mdia de d:

68123

=d

S que no queremos a mdia de d. Queremos a mdia de X. Sabemos que:

35,4

=

Xd

Isolando o X:

5,43 += dX

E a mdia de X fica:

5,43 += dX

93,95,468

1233 +=X

Gabarito: B

TOME NOTA!!!

MEDIA PARA DADOS EM CLASSES

Utilize sempre frequncias simples.

Considerar que as frequncias so associadas aos pontos mdios das classes.

Procedimento opcional: criar varivel auxiliar.

Primeira forma usual: subtrair do primeiro ponto mdio e dividir pela amplitude de classe.

Outra forma possvel: subtrair do ponto mdio com maior frequncia e dividir pela amplitude de classe.

Procedimento opcional, com intuito de facilitar as contas.



AFRFB e AFT


2.5. Mdia ponderada

A mdia ponderada uma variao da mdia aritmtica. Vamos ver do que se trata por meio de um exemplo.

Num curso, o aluno faz quatro provas. A sua nota final a mdia dessas quatro provas. Suponha que suas notas foram: 10, 9, 7, 6.

A nota final fica:

84

67910=

+++=NF

Ok, at aqui nenhuma novidade. Fizemos a mdia aritmtica normal, a mesma que vimos nos tpicos anteriores.

Esse mesmo aluno faz outro curso, em que so aplicadas apenas duas provas. Suas notas so: 9,5 e 7,5.

A mdia aritmtica dessas notas fica:

5,82

5,75,9=

+

S que, nesse segundo curso, a nota final no calculada simplesmente por meio da mdia aritmtica. Isso porque a primeira prova de mltipla escolha. A segunda discursiva. Como a segunda prova mais complicada, mais difcil, ela vale mais. Ela tem peso trs. A primeira prova, mais simples, tem peso 1. O que significa isso?

Significa que, na hora de calcular a nota final, a segunda prova vale trs vezes mais.

A nota final, nesse segundo curso, igual a:

84

5,735,91' =

+=NF

como se a segunda prova fosse triplicada. como se estivssemos, na verdade, fazendo uma mdia aritmtica entre os valores 9,5; 7,5; 7,5; 7,5. Triplicamos a segunda nota porque ela tem peso 3.

( )5,735,9141

' +=NF

primeira notasegunda nota

peso da primeira nota peso da segunda nota

soma dos pesos(=1+3)



AFRFB e AFT


A nota final, neste segundo curso, uma mdia ponderada das notas das duas provas. uma modificao da mdia aritmtica. Na mdia ponderada, cada valor tem um peso diferente.

Se vocs lembrarem da mdia para dados agrupados, sua frmula era:

n

fXX ii

=

Esta frmula a de cima no deixa de ser uma mdia ponderada. Fazemos a mdia entre os valores de Xi, onde os pesos de ponderao so as frequncias.

A mdia ponderada tambm empregada quando queremos calcular a mdia da reunio de dois conjuntos. Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 4

Numa empresa, temos 4 homens e 5 mulheres. A mdia salarial dos homens de R$ 825,00. A mdia salarial das mulheres R$ 600,00. Qual a mdia geral, de homens e mulheres?

Resoluo

Vamos chamar o salrio dos homens de H.

Como assim???

Suponha que os quatro homens desta empresa ganhem os seguintes salrios:

725,00; 800,00; 850,00; 925,00.

Pronto, a mdia desses salrios de 825,00.

Se chamarmos esses valores de H queremos dizer o seguinte:

O salrio do primeiro homem 725. Portanto: 7251 =H

O salrio do segundo homem 800. Portanto: 8002 =H

E assim por diante.

Pois bem, somando o salrio de todos os homens e dividindo por 4, obtemos justamente a mdia de salrio dos homens. Fica assim:

4825 =

H


33008254 ==H

Ou seja, a soma dos salrios de todos os homens igual a R$ 3.300,00.

Vamos chamar de M o salrio das mulheres. Se somarmos o salrio de todas as mulheres e dividirmos por 5, obtemos a mdia de salrio para as mulheres. Fica assim:



AFRFB e AFT


300060055

600 === M

M

Ou seja, a soma dos salrios de todas as mulheres igual a R$ 3.000,00.

O exerccio pede a mdia geral, de homens e mulheres.

Para obter a mdia geral, somamos os salrios de todos os homens, de todas as mulheres, e dividimos por 9 (so nove pessoas ao todo).

Fica assim:

9_

+=

MHgeralMdia

Substituindo os valores:

7009

30003300_ =

+=geralMdia

A mdia geral, incluindo homens e mulheres, de R$ 700,00.

Vamos reescrever a soluo? Vamos agora fazer aparecer a tal da mdia ponderada.

Chamamos os salrios dos homens de H.

Somando o salrio de todos os homens e dividindo por 4, obtemos justamente a mdia de salrio dos homens. Fica assim:

4825 =

H


8254=H

Vamos chamar de M o salrio das mulheres. Se somarmos o salrio de todas as mulheres e dividirmos por 5, obtemos a mdia de salrio para as mulheres. Fica assim:

60055

600 == M

M

O exerccio pede a mdia geral, de homens e mulheres.

Para obter a mdia geral, somamos os salrios de todos os homens, de todas as mulheres, e dividimos por 9 (so nove pessoas ao todo).

Fica assim:

9_

+=

MHgeralMdia

Substituindo os valores:

7009

60058254_ =

+=geralMdia



AFRFB e AFT


Observe que a mdia geral uma mdia ponderada entre as mdias dos homens e das mulheres. O peso da mdia dos homens o nmero de homens. O peso da mdia das mulheres o nmero de mulheres.

Um outro tipo de exerccio semelhante a este, porm com um nvel de dificuldade um pouco maior, o que segue.

Exemplo 5

Numa empresa, temos 100 funcionrios. A mdia do salrio dos homens de R$ 1.000,00. A mdia do salrio das mulheres de R$ 900,00. A mdia geral, considerando homens e mulheres, R$ 960,00. Quantas mulheres h na empresa?

Resoluo

Este exerccio um pouco mais difcil que o anterior.

Como no sabemos o nmero de homens e de mulheres, vamos dizer que so a homens e b mulheres.

Portanto: 100=+ ba (h 100 funcionrios na empresa). Esta a primeira equao.

100=+ ba (I) Vamos, novamente, chamar o salrio dos homens de H e o das mulheres de M.

A mdia dos salrios dos homens R$ 1.000,00. Portanto, somando todos os salrios dos homens e dividindo por a (so a homens), temos a mdia salarial masculina (=1000).

a

H=1000


aH = 1000

mdia dos homens

mdia das mulheres

peso da mdia dos homens peso da mdia das

mulheres

soma dos pesos(=4+5)

( ) 7006005825491

_ =+=geralMdia



AFRFB e AFT


Assim, a soma dos salrios de todos os homens igual a mil vezes o nmero de homens.

A mdia dos salrios das mulheres R$ 900,00. Portanto, somando o salrio de todas as mulheres e dividindo por b (so b mulheres), temos a mdia salarial feminina (=900):

bM

=900


bM = 900

A soma dos salrios de todas as mulheres igual a 900 vezes o nmero de mulheres.

A mdia geral R$ 960,00. Ou seja, somando o salrio de todos os homens e de todas as mulheres, dividindo pelo nmero de pessoas (= ba + ), temos a mdia geral.

baMH

+

+=960


)(960 baMH +=+ Ou seja, a soma de salrios de homens e mulheres igual a 960 vezes o nmero de pessoas.

Substituindo as somas de salrios de homens e mulheres:

)(9609001000 baba +=+ (II) Esta a equao II. Temos duas equaes e duas variveis. H diversas formas de resolver. Aqui, vamos fazer o seguinte:

)(9609001000 baba +=+ Substitumos a1000 por aa + 900100

Continuando:

)(960900900100 babaa +=++ Colocando 900 em evidncia:

)(960)(900100 babaa +=++ Lembrando que 100=+ ba

100960100900100 =+ a Dividindo todos os termos por 100:

960900 =+a 4060 == ba

)(9609001000 baba +=+

)(960900900100 babaa +=++



AFRFB e AFT


So quarenta mulheres na empresa.

Para quem tem facilidade com contas, esta resoluo rpida. J outras pessoas preferem, em vez de ficar montando essas equaes, decorar uma frmula que d direto o percentual de homens (ou de mulheres). Esta frmula nada mais que uma combinao das duas equaes vistas acima.

Vamos chamar a mdia dos salrios das mulheres de M . A mdia dos salrios dos homens de H . A mdia geral, considerando homens e mulheres, de X . O percentual de homens e mulheres no conjunto fica:

%6010060

9001000900960hom__ ==

=

=

MHMX

ensdeperc

%4010040

10009001000960

__ =

=

=

=

HMHX

mulheresdeperc

Outra opo fazer um desenho esquemtico, identificando os termos da frmula.

O tamanho total do segmento de reta igual a 100. Ele equivale, em mdulo, aos denominadores de ambas as frmulas. E os numeradores correspondem, em mdulo, s diferenas abaixo indicadas:

E temos que ter o cuidado na hora de montar as fraes. O nmero 60, que corresponde diferena entre a mdia feminina e a geral, vai entrar na frmula do percentual de homens. O nmero 40, correspondente diferena entre a mdia masculina e a geral, vai entrar na frmula do percentual de mulheres.

%6010060hom__ ==ensdeperc

%4010040

__ ==mulheresdeperc

Por que que temos que fazer essas inverses?



AFRFB e AFT


Vamos imaginar uma situao em que a proporo de homens maior que a de mulheres. Nesse caso, a mdia geral vai estar mais prxima da mdia masculina. como se a mdia masculina puxasse a mdia geral mais para o seu lado.

Do contrrio, se tivermos mais mulheres que homens, a a mdia geral estar mais prxima da mdia feminina. A mdia feminina puxa a mdia geral para o seu lado.

Em resumo, o sexo que detiver a maior proporo puxar a mdia geral para prximo da sua mdia.

Quanto menor a proporo de mulheres, maior a distncia entre a mdia feminina e a mdia geral. Assim, uma distncia grande (entre a mdia feminina e a geral) est relacionada a uma proporo pequena de mulheres.

Para os homens a situao anloga. Quanto maior a proporo de homens, menor ser a distncia entre a mdia masculina e a geral. Em outras palavras, uma distncia pequena entre a mdia masculina e a geral corresponde a uma proporo grande de homens.

Notaram que as grandezas tm relao inversa? Quanto maior a proporo menor a distncia. Quanto menor a proporo, maior a distncia.

Da que surgem as inverses.

Questo 12 Prefeitura de Recife 2003 [ESAF]

Em uma amostra, realizada para se obter informao sobre a distribuio salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salrio mdio vale R$ 1.200,00. O salrio mdio observado para os homens foi de R$ 1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opo correta.

a) O nmero de homens na amostra igual ao de mulheres.

b) O nmero de homens na amostra o dobro do de mulheres.

c) O nmero de homens na amostra o triplo do de mulheres.

d) O nmero de mulheres o dobro do nmero de homens.

e) O nmero de mulheres o qudruplo do nmero de homens.

Resoluo:

Repare que a mdia de homens de 1300. A mdia de mulheres de 1100.

Se no conjunto tivssemos mais homens, a mdia geral (considerando homens e mulheres) estaria mais prxima de 1300.

Do contrrio, se tivssemos mais mulheres, a mdia geral estaria mais prxima de 1100.

Contudo, a mdia geral deu exatamente no meio entre 1300 e 1100. Portanto, o nmero de homens igual ao nmero de mulheres. Nem precisou fazer conta.

De todo modo, para treinarmos, vamos ver como ficaria a resoluo.



AFRFB e AFT


Os percentuais ficam:


%50200100

__ ==mulheresdeperc

Gabarito: A

Questo 13 Prefeitura de So Paulo 2007 [FCC]

No presente ms, o salrio mdio mensal pago a todos os funcionrios de uma firma foi de R$ 530,00. Sabe-se que os salrios mdios mensais dos homens e mulheres so respectivamente iguais a R$ 600,00 e R$ 500,00. No prximo ms, todos os homens recebero um adicional de R$ 20,00 e todas as mulheres um reajuste salarial de 10%, sobre os salrios atuais. Supondo que o quadro de funcionrios no se alterou, aps esses reajustes, o salrio mdio mensal de todos os funcionrios passar a ser igual a:

a) 540,00

b) 562,00

c) 571,00

d) 578,00

e) 580,00

Resoluo:

A mdia dos homens de 600, a das mulheres de 500 e a mdia geral 530. Note que a mdia geral est mais prxima de 500. Portanto, temos mais mulheres do que homens.

Vamos usar as frmulas que vimos l no Exemplo 5.

%30500600500530hom__ =

=

=

MHMX

ensdeperc

%7010070

600500600530

__ =

=

=

=

HMHX

mulheresdeperc

Outra resoluo possvel seria fazer aquele nosso desenho:



AFRFB e AFT


Novamente, obtemos:


%7010070

__ ==mulheresdeperc

Conclumos que 30% so homens e 70% so mulheres.

Ou seja, nesta empresa, de cada 100 funcionrios, 30 so homens.

Suponhamos que a empresa tenha 100 funcionrios. Inicialmente, temos que a mdia dos homens de R$ 600,00 e a mdia das mulheres R$ 500,00.

Todos os homens recebem um adicional de R$ 20,00. Ora, se todos os homens tm seus salrios acrescidos de R$ 20,00, isto significa que a mdia dos homens sofrer a mesma alterao. A nova mdia dos homens ficar igual a R$ 620,00.

Ok, a mdia dos salrios dos homens igual a 620. Significa que, somando todos os salrios dos homens (aps o aumento) e dividindo por 30, obtemos 620.

3062030

620 == H

H

Todas as mulheres tero seu salrio multiplicado por 1,1. Isto porque aumentar algo em 10% o mesmo que multiplicar por 1,1. Portanto, a mdia dos salrios das mulheres sofrer a mesma alterao. Ser tambm multiplicada por 1,1, passando a ser igual a R$ 550,00. Assim, somando os salrios das mulheres (aps o aumento) e dividindo por 70, obtemos 550.

7055070

550 == M

M

A mdia geral simplesmente somar todos os salrios dos homens, todos os salrios das mulheres, e dividir por 100.

571385186755362100

7055030620100

_ =+=+=+

=

+= MHgeralMdia

Gabarito: C.



AFRFB e AFT


Na verdade, nem precisava fazer a conta final. Repare na soma: 385186 + O algarismo das unidades da soma ser igual a 1 (advindo da soma de 6 com 5). Pronto, s a j d para marcar letra C.

Outra opo para calcular a mdia geral, era lembrar que ela uma mdia ponderada entre as mdias dos homens e das mulheres. E os pesos so, respectivamente, o nmero de homens e o nmero de mulheres.

Ficaria assim:

( ) 5715507062030100

1_ =+=geralMdia

2.6. Mdia geomtrica e mdia harmnica

Este assunto no muito cobrado em concursos. Mas no custa nada comentar.

Aqui, tambm estamos interessados em calcular um valor mdio, assim como feito com a mdia aritmtica. S que a conta que fazemos outra.

Por definio, a mdia geomtrica de n valores no negativos (X1, X2, ..., Xn) :

n

n

ii

nn XXXXG

=

==1

21 ...

Por definio, a mdia harmnica de n valores diferentes de zero (X1, X2, ..., Xn) :

1

1

11

=

=

n

iiX

nH

Frmulas meio complicadas, no?

Vamos ver alguns exemplos que fica mais fcil.

Suponhamos que nossos dados so apenas: 3 e 12. Apenas dois nmeros (para facilitar as contas).

Para calcular a mdia aritmtica, conforme vimos na seo anterior, ficamos com:

5,72123

=

+=X

A mdia geomtrica diferente. Para obt-la, multiplicamos todos os dados. Depois tiramos a raiz ensima. Como neste caso so apenas dois valores, ser a raiz quadrada.

61232 ==G

A mdia harmnica um pouco mais complicada. Vamos dividir em trs passos.

Primeiro passo: achamos os recprocos de cada valor.

Para obter o recproco de um nmero, basta inverter seu numerador com seu denominador. Vamos a um exemplo.



AFRFB e AFT


Tomemos o nmero 32

. Seu recproco 23

.

No nosso caso, os valores so 3 e 12.

O recproco de 3 31

.

O recproco de 12 121

.

Segundo passo: calculamos a mdia aritmtica dos recprocos.

Ficamos com:

245

212

14

2121

31

=

+

=

+

Terceiro passo: calculamos o recproco do valor obtido acima. Pronto. Esta a mdia harmnica.

524

=H

8,4=H

Se resumirmos todos esses trs passos numa frase, podemos dizer que a mdia harmnica o recproco da mdia aritmtica dos recprocos dos valores.

Uma coisa que cai bastante em concurso no essa parte de contas. simplesmente saber o seguinte:

Para qualquer conjunto de n nmeros positivos, a mdia harmnica menor ou igual mdia geomtrica e esta menor ou igual mdia aritmtica. A igualdade s ocorre se todos os nmeros forem iguais entre si.

Vamos olhar no caso dos nmeros 3 e 12. A mdia aritmtica foi de 7,5. Foi a maior das mdias. A mdia harmnica foi de 4,8. Foi a menor das trs. E a mdia geomtrica foi de 6, o valor intermedirio.

Se, em vez de 3 e 12, os valores fossem 12 e 12, a teramos:

12=== HGX Quando todos os valores so iguais, as mdias coincidem.

Resumindo, o que geralmente cai em prova saber que:

XGH (e a igualdade s ocorre se todos os dados forem iguais)



AFRFB e AFT


TOME NOTA!!!

COMPARAO DAS MDIAS

XGH (e a igualdade s ocorre se todos os dados forem iguais)

Exemplo 6

Para a sequncia (4,6,9), calcule as mdias aritmtica, harmnica e geomtrica.

Resoluo:

Mdia aritmtica:

319

3964

3=

++==

iXX

Mdia geomtrica:

6216964 33 ===G

Mdia harmnica:

Primeiro passo: encontrando os recprocos:

91

,

61

,

41

Segundo passo: mdia dos recprocos:

10819

31

36469

391

61

41

=++

=

++

Terceiro passo: recproco do valor acima:

19108

=H

Exemplo 7

Para a sequncia (4,4,4), calcule as mdias aritmtica, harmnica e geomtrica.

Resoluo:

Como todos os valores so iguais, todas as mdias so iguais a 4.



AFRFB e AFT


Questo 14 AFRF 2005 [ESAF]

Assinale a opo que expresse a relao entre as mdias aritmtica ( X ), geomtrica (G) e harmnica (H), para um conjunto de n valores positivos (X1, X2, ..., Xn).

a) XHG , com XHG == somente se os n valores forem todos iguais.

b) HXG , com HXG == somente se os n valores forem todos iguais.

c) HGX , com HGX == somente se os n valores forem todos iguais.

d) XGH , com XGH == somente se os n valores forem todos iguais.

e) GHX , com GHX == somente se os n valores forem todos iguais.

Resoluo:

Aplicao direta do resumo visto acima.

Gabarito: D.

Questo 15 ENAP 2006 [ESAF]

O valor mais prximo da mdia harmnica do conjunto de dados: {10, 5, 3, 4, 5, 10, 3, 8, 9, 3} igual a

a) 6.

b) 6,5.

c) 4,794.

d) 10.

e) 3,9.

Resoluo:

Os recprocos so:

1/10; 1/5; 1/3; 1/4; 1/5; 1/10; 1/3; 1/8; 1/9; 1/3.

Fazendo a mdia desses valores, temos:

=

+++++++++

31

91

81

31

101

51

41

31

51

101

101

Agrupando os termos iguais:

=

+++++

1012

512

313

91

81

41

101

Simplificando 2 com 10:



AFRFB e AFT


=

+++++

51

512

313

91

81

41

101

Agrupando 2/5 com 1/5; agrupando 1/4 com 1/8:

++++=

513

313

91

81

82

101

Fazendo as divises:

+++= 6,01

91375,0

101

Observe que 1/9 uma frao mais complicada. D uma dzima peridica. Vamos aproximar 1/9 por 0,11.

)085,2(1016,01

91375,0

101

+++

E a mdia harmnica fica:

085,210

H

Outra diviso complicada de fazer. Vamos aproximar. Vamos trocar o denominador 2,085 por 2.

52

10085,210

=H

Quando ns trocamos o denominador 2,085 por 2, ns aumentamos um pouco a nossa frao. Portanto, na verdade, a mdia harmnica um pouco menor que 5.

O nmero mais prximo disto o 4,794.

Gabarito: C.

Achou a questo muito trabalhosa?

Numa eventual falta de tempo, uma maneira mais rpida para orientar o chute seria calcular a mdia aritmtica dos valores fornecidos.

61060

==X

Como a mdia harmnica menor que a aritmtica, j descartamos as alternativas A, B e D. A ficaramos entre as alternativas C e E. No chute, ficaramos com 50% de chance de acerto.

Questo 16 TCU 2009 [CESPE]

Uma instituio realizou levantamento com vistas a comparar os valores de dez diferentes tipos de itens de consumo. Para cada item i(i = 1, 2, ..., 10), foi registrado um par de valores (xi,yi), em que xi representa o valor do item i estabelecido pela empresa A, e yi representa o valor desse mesmo item fornecido pela empresa B. Os seguintes resultados foram encontrados:



AFRFB e AFT


+ = 130; = 10

+ = 1.790; = 26

Com base nessas informaes, julgue os itens a seguir.

99. A mdia harmnica dos valores x1, x2, ..., x10 menor que 8.

Resoluo.

J vimos na Questo 3 que a mdia aritmtica de x 7.

Como a varivel x representa valores de itens de consumo, ento s assume valores maiores que zero.

Logo, a mdia aritmtica maior ou igual s demais mdias, harmnica e geomtrica.

Conclumos que a mdia harmnica menor ou igual a 7. Portanto, certamente menor que 8.

Gabarito: certo

3. MEDIANA E MEDIDAS SEPARATRIZES

Medidas separatrizes so medidas que separam os dados de forma bem especfica.

Uma medida separatriz que ns j mencionamos a mediana. Quando a vimos pela primeira vez, dissemos que ela era uma medida de tendncia central. Ela, assim como a mdia e a moda, nos indica um valor em torno do qual os dados giram.

Alm de ser uma medida de tendncia central, ela tambm uma medida separatriz. Isto porque ela separa os dados de uma forma bem especfica. Sendo a mediana o termo do meio, ela deixa metade dos dados sua esquerda e a outra metade sua direita.

Outra medida separatriz o quartil. So trs quartis, dividindo a sequncia de dados em quatro partes iguais (em quatro partes com o mesmo nmero de termos).

O primeiro quartil separa a sequncia de dados de forma que sua esquerda fiquem 25% dos valores e sua direita 75%. Assim, o primeiro quartil o valor que no superado por 25% das observaes.

O segundo quartil coincide com a mediana, deixando 50% dos valores de cada lado.

O terceiro quartil deixa sua esquerda 75% dos valores e sua direita 25%. Logo, o terceiro quartil o valor que no superado por 75% das observaes.

Outra medida separatriz o decil. So nove decis que dividem a srie em dez partes iguais.



AFRFB e AFT


O primeiro decil deixa sua esquerda 10% dos valores; sua direita 90% (ou seja, no superado por 10% das observaes). O segundo decil deixa sua esquerda 20% dos valores; sua direita 80%. E assim por diante.

O quinto decil coincide com a mediana, deixando 50% dos valores de cada lado.

A ltima medida separatriz que veremos o percentil. O primeiro percentil deixa sua esquerda 1% dos valores e sua direita 99% (ou seja, no superado por 1% das observaes). O segundo percentil deixa sua esquerda 2% dos valores e sua direita 98%. E assim por diante. O quinquagsimo percentil coincide com a mediana, deixando 50% dos valores de cada lado.

Ento, resumindo as medidas separatrizes: a mediana, os quartis, os decis, os percentis.

3.1. Mediana para dados em rol

Imaginemos o seguinte rol: 2, 7, 8, 11, 13.

So cinco elementos. O do meio o terceiro. Portanto, a mediana para este conjunto de dados :

8=D Repare que a mediana divide a srie em duas partes com a mesma quantidade de dados. esquerda do nmero 8 temos dois valores (2 e 7). direita do nmero 8 tambm temos dois valores (11 e 13).

Para o exemplo que estamos trabalhando desde o incio da aula, o rol :

Rol (dados em R$ 1.000,00): 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7.

Quem a mediana?

Neste rol, o nmero de dados par. Ou seja, no tem um termo que seja o do meio. Nestes casos, adotamos o seguinte procedimento:

1 tomamos os dois termos centrais (neste caso, o quinto e o sexto elemento)

2 fazemos a mdia entre eles.

O quinto elemento 3 (X5 = 3). O sexto elemento 4 (X6 = 4).

A mediana fica:

5,32

43=

+=D

Quando a srie tem um nmero mpar de elementos, fatalmente a mediana far parte do conjunto de dados. Como existir um termo do meio, ele ser a mediana.

Quando a srie tem um nmero par de elementos, a mediana no necessariamente far parte do conjunto de dados. Ela foi simplesmente resultado de uma conta.

A mediana, alm de ser uma medida de tendncia central, tambm uma medida separatriz. Ela separa a srie de dados de forma bem especfica, em duas partes com mesmo nmero de elementos.



AFRFB e AFT


Exemplo 8

Encontre a mediana para os seguintes conjuntos de dados:

a) 1, 2, 5, 4, 6, 2, 3, 3, 3

b) 2, 8, 5, 1

c) 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 40, 40

Resoluo:

a) A sequncia tem nove termos. A mediana simplesmente o termo central, ou seja, o quinto termo. O quinto termo o seis. Portanto:

6=D Certo???

ERRADO!

Antes de fazermos qualquer coisa com a srie de dados, temos que pass-la para um rol, colocando os termos em ordem crescente.

ROL: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6

Pronto. Agora a sequncia est ordenada. O quinto termo o 3.

3=D b) Primeiro, achemos o rol.

ROL: 1, 2, 5, 8.

A sequncia tem quatro termos (nmero par). No h termo central. Fazemos a mdia dos dois termos centrais.

5,32

52=

+=D

c) ROL: 1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19, 40, 40

So vinte e um termos. O do meio o dcimo primeiro.

3=D Apenas por curiosidade, vamos calcular a mdia deste conjunto.

52,721

15821

=== iXX

A mediana deu 3. uma medida de tendncia central. Ns vimos l no incio desta aula que medidas de tendncia central nos do um indicativo de valores em torno dos quais os dados giram. Portanto, tomando a mediana, dizemos que os dados giram em torno de 3.



AFRFB e AFT


Mas a mdia tambm uma medida de tendncia central. Tomando apenas a mdia, dizemos que os dados giram em torno de 7,52.

Como pode? Os dados giram em torno de 3 ou 7,52??? Na verdade, as medidas de tendncia central no precisam necessariamente coincidir. Elas coincidem quando a sequncia for simtrica. Ainda falaremos sobre simetria/assimetria mais adiante.

Mdia e mediana so obtidas por meios diferentes. A primeira resulta da soma de todos os valores, dividido pelo nmero de dados. A segunda resulta de uma contagem, em que tomamos o termo do meio. Cada uma delas procura expressar a tendncia central, mas de forma distinta.

Suponha que esta srie de dados da letra C represente os salrios dos funcionrios de uma dada empresa, em nmeros de salrios mnimos.

Assim, os quatro primeiros funcionrios ganhariam 1 salrio mnimo. Os seis seguintes, dois salrios mnimos. E assim por diante, at os dois ltimos, que ganham quarenta salrios mnimos.

Olha como a coisa interessante. Nesta empresa, como em qualquer outra, a maior parte dos funcionrios recebe um salrio mais baixo. So operrios, tcnicos, secretrias etc. E poucos funcionrios recebem um salrio muito alto. So diretores, gerentes, etc.

Se a empresa quiser fazer uma propaganda sua, dizendo que um timo lugar para trabalhar, dir que o salrio mdio por ela pago de mais de 7 salrios mnimos. que, mesmo com a grande maioria dos funcionrios ganhando um salrio muito baixo, temos uns poucos felizardos que ganham um salrio to alto a ponto de fazer com que a mdia no seja assim to baixa.

Por outro lado, se os funcionrios quiserem fazer uma campanha para aumento salarial, podero dizer que o salrio mediano na empresa de apenas 3 salrios mnimos.

Suponha que, por algum motivo, a gente exclua dos nossos dados os dois funcionrios que ganham 40 salrios mnimos. Ficaramos com o seguinte conjunto:

1, 1, 1, 1, 2, 2 ,2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 8, 9, 19.

A mediana agora igual a 2. E a mdia passa a ser igual a 4,1. A mediana variou bem menos que a mdia. Isso porque a mediana menos influenciada por valores extremos. Ela pouco sensvel a tais valores. A mdia, contrariamente, mais influenciada por valores muito grandes (ou muito pequenos). Dizemos que a mdia mais sensvel que a mediana.

Por isso, em pesquisas de distribuio de renda, muitas vezes utilizada a mediana como medida de tendncia central. Geralmente poucas pessoas tm renda extremamente alta. Estas pessoas contribuem para aumentar a renda mdia, num quadro em que grande parte da populao tem renda baixa. A mediana, nesses casos, tende a fornecer valores mais baixos, que descrevem melhor a populao pesquisada.

Questo 17 CGU 2008 [ESAF]

Determine a mediana do seguinte conjunto de dados:

58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 56.

a) 28



AFRFB e AFT


b) 31

c) 44

d) 50

e) 56

Resoluo:

A questo sobre mediana. Basta fazer o rol e achar o termo do meio.

ROL: 5, 9, 12, 17, 21, 28, 31, 44, 56, 57, 58, 63, 73, 88, 95.

So quinze valores. O do meio o oitavo.

A mediana igual a 44.

44=D

Gabarito: C.

Questo 18 SEFAZ/SP 2009 [ESAF]

Determine a mediana das seguintes observaes:

17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 9.

a) 13,5

Aula 10 - Medidas de posição e de dispersão

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