MEDIDAS DE DISPERSÃO

Profa Ana Clara Guedes

MEDIDAS DE DISPERSÃOObserve os dois quadros abaixo e compare a Dispersão dos pontos azuis, em torno do ponto vermelho (referencial). Pode-se notas que existe maior dispersão dos pontos no quadro A do que no quadro B.

QUADRO A QUADRO B

MEDIDAS DE DISPERSÃOChamamos de Dispersão (ou variabilidade) de um conjunto de dados maior ou menor diversificação dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central tomado como ponto de comparação (em geral a média aritmética).Sejam os conjuntos: CONJUNTO A: 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

MÉDIA

CONJUNTO B: 2 4 6 8 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

MÉDIA

O conjunto A apresenta menor variação que o conjunto B.

Para visualizar a importância das medidas de dispersão, observe o exemplo a seguir.

ALUNO NOTAS MÉDIA

Antônio 5 5 5 5 5

João 6 4 5 4 6

José 10 5 5 5 0

Pedro 10 10 5 0 0

Imagine que quatro alunos tenham feito cinco provas, todas com valor máximo 10 pontos.

Os resultados estão apresentados abaixo.Calcule a nota média de cada aluno.

Observe que todos ao alunos obtiveram média igual a 5, mas a variação das notas não é a mesma.

ALUNO NOTAS MÉDIAAntônio 5 5 5 5 5 5João 6 4 5 4 6 5José 10 5 5 5 0 5Pedro 10 10 5 0 0 5

Observe que:•As notas de Antônio não variaram•As notas de João variaram menos do que as notas de José•As notas de Pedro variaram mais do que as notas de todos os outros

Você pôde fazer esta “análise visual” porque os conjuntos são pequenos. Mas, e quando forem grandes conjuntos?? E mesmo pequenos conjuntos, mas com valores grandes??

Abaixo apresentamos os salários de 25 funcionários (5 de cada loja), escolhidos aleatoriamente entre todos os funcionários de 4 Grandes Lojas:

• Você seria capaz de, visualmente, indicar qual conjunto de dados tem maior dispersão?

LOJA SALÁRIOS

Casa América 627 685 723 1215 1374

Loja da Economia 600 750 928 1213 1380

Rei da Cozinha 614 753 1115 1218 1299

Espaço da Casa 618 788 813 815 1370

As medidas de dispersão (também chamadas medidas de variação) servem para calcular a dispersão dos dados em relação à sua média.

• São três as medidas que veremos aqui: 1. Variância 2. Desvio Padrão 3.Coeficiente de Variação

VARIÂNCIA• A Variância baseia-se nos desvios em torno da média aritmética.

• Usamos o símbolo s² para variância de uma amostra.

• Usamos o símbolo ² para variância de uma população.

• Usando o Excel, calcule a variância das notas dos 5 alunos (acompanhe os passos a seguir).

Acompanhe o passo-a-passo:

1. Inserir os dados

2. Calcular a média aritmética de cada aluno

2. Resultados da média aritmética de cada aluno

3. Calcular a variância de cada aluno

3. Resultados da variância de cada aluno

ALUNO NOTAS MÉDIA VarAntônio 5 5 5 5 5 5 0João 6 4 5 4 6 5 1José 10 5 5 5 0 5 12,5Pedro 10 10 5 0 0 5 25

Vamos comparar os valores da variância com as observações que tínhamos:•As notas de Antônio não variaram (a variação é nula)•As notas de João variaram menos do que as notas de José (a variação das notas é menor para João)•As notas de Pedro variaram mais do que as notas de todos os outros (a variação das notas de Pedro é a maior)

A interpretação da variância se faz comparando os valores encontrados para cada conjunto. Quanto maior o valor da variância, maior é a variação dos dados. E vice-versa.

Continuando a tabela das notas:

OBSERVAÇÃO:A variância tem a desvantagem de ser apresentada não na unidade de

medida dos dados, mas sim no quadrado da unidade!!

Assim, se a variável é “número de irmãos” a variância terá unidade “Número de irmãos ao quadrado”. Ou, se a variável for “tempo gasto em minutos para realização de um experimento” a variância terá unidade “minutos ao quadrado”!

Do ponto de vista prático, isto é um inconveniente!

Por causa disto foi desenvolvida outra medida: o desvio-padrão!

DESVIO PADRÃOO Desvio Padrão é a raiz quadrada da Variância.

• Usamos o símbolo s para desvio padrão de uma amostra.

• Usamos o símbolo para desvio padrão de uma população.

• Usando o Excel, podemos calcular o desvio padrão a partir da função “raiz quadrada” ou a partir da função “desvpad” (acompanhe os passos a seguir).

Acompanhe o passo-a-passo:1. Cálculo do Desvio Padrão

2. Resultados do Desvio Padrão

ALUNO NOTAS MÉDIA Var Desv PadAntônio 5 5 5 5 5 5 0 0João 6 4 5 4 6 5 1 1José 10 5 5 5 0 5 12,5 3,5Pedro 10 10 5 0 0 5 25 5

A análise do desvio padrão se faz da mesma forma que a da variância, comparando os valores encontrados para cada conjunto. Quanto maior o valor do desvio padrão, maior é a variação dos dados. E vice-versa.

Continuando a tabela das notas:

OBSERVAÇÃO:• O fato de o desvio padrão ser expresso na mesma

unidade dos dados limita seu emprego quando desejamos comparar a variabilidade de dois ou mais conjuntos de unidades de medidas diferentes.

• Além disto, um desvio padrão igual a 2 pode ser considerado pequeno para um conjunto cuja média é 200, mas pode ser relativamente grande para um conjunto cuja média é igual a 5.

• Para controlar as limitações do desvio padrão, definimos uma medida a dispersão expressa em porcentagem, chamada de Coeficiente de Variação.

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

Como podemos comparar a variação destes conjuntos de dados (duas variáveis) se as unidades de medidas são diferentes?

Seria como perguntar: “quem é maior: 5cm ou 2Kg?”.

Para estes casos, usamos o Coeficiente de Variação como medida de variação.

É comum apresentar o Coeficiente de Variação em porcentagem. Para isto basta multiplicar o resultado por 100!

Média Desvio Padrão

Estatura (cm) 175 5

Peso (Kg) 68 2

Suponhamos os seguintes resultados dos dados de alturas e pesos de 150 indivíduos:

médiaãodesviopadrCV

Como o valor do CV é maior para os pesos, dizemos que os indivíduos analisados apresentam maior variação nos pesos do que nas idades.

Média Desvio Padrão C V

Estatura (cm) 175 5 2,86%

Peso (Kg) 68 2 2,94%

Cálculo do Coeficiente de Variação:

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

• CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil, São Paulo: Saraiva, 2001.• VIEIRA, Sônia. Introdução à bioestatística, 3.ed., Rio de Janeiro:

Elsevier, 1980.