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MEDIDAS DE POSIÇÃO E
DE DISPERSÃO
Bioestatística e Delineamento Experimental - 2012
Profª Andréa H Dâmaso
Tópicos da aula
Medidas de tendência central e dispersão
Variáveis contínuas: distribuição normal
Amostra
Variabilidade amostral
Relembrando... tipos de variáveis
Dicotômicas
Politômicas
Nominais
(ordem não importa)
Ordinais
(tem uma ordem lógica)
Discretas
(números inteiros)
Contínuas
(aceitam decimais) Raça, estado
civil, religião...
NSE, IMC categ,
avaliação
qualitativa...
“CONTAGENS”
Nº filhos, anos de
estudo...
“MEDIDAS”
Peso, altura,
pressão.
Renda familiar
(R$)
Estatística descritiva
Medidas de ocorrência
FREQUÊNCIA ou PORCENTAGEM
Incidência
Prevalência
Odds
Medida de precisão
INTERVALO DE CONFIANÇA
Medidas tendência central
MODA
MÉDIA
MEDIANA
Medidas de dispersão
AMPLITUDE
VARIÂNCIA
DESVIO PADRÃO
ERRO PADRÃO
Distribuição de frequência
Descrição de uma variável qualitativas ou categóricas
Dicotômicas ou binárias
Politômicas
Cálculo de proporções
Divisão de um número por outro, onde o numerador está
contido (é subconjunto) no denominador
Exemplo: Desnutrição: sim /não
Em 100 crianças, 20 estão desnutridas (20%)
Como apresentar as informações?
Dados da coorte de nascimentos de 2004. Pelotas, RS (n=6000)
Número Peso ao nascer
(g)
Número de
gravidez
1 750 1
2 1500 3
3 1520 2
4 2450 4
5 1790 1
6 3000 2
7 1930 2
..... ..... ...
5999 3510 1
6000 2900 1
Distribuição de frequência
Descrição de uma variável numérica
Tabela que mostra um número de observações ou
valores dentro de certos intervalos
Distribuição de frequência: variável “discreta”
Número de gravidezes das mães da coorte de 2004. Pelotas, RS (n=6000)
Número de gravidez Frequência (n) %
1 2092 34,9
2 1644 27,4
3 970 16,1
4 544 9,1
5 282 4,7
6 168 2,8
7 105 1,8
8 69 1,2
9 48 0,8
10 39 0,7
11 20 0,3
12 11 0,1
13 8 0,1
Distribuição de frequência: variável “discreta”
Número de gravidez das mães da coorte de 2004. Pelotas, RS (n=6000)
Número de gravidezes Frequência (n) %
1 2092 34,9
2 1644 27,4
3 970 16,1
≥4 1294 21,6
Distribuição de frequência: variável “contínua”
Peso ao nascer das crianças da coorte de 2004. Pelotas, RS (n=4555)
Peso ao nascer (gramas) Frequência %
<1000 52 1,1
1000-1499 43 0,9
1500-1999 98 2,2
2000-2499 305 6,7
2500-2999 1112 24,4
3000-3499 1747 38,3
3500-3999 976 21,5
4000 222 4,9
...
... mas para variáveis contínuas queremos descrever
os dados de forma ainda mais sucinta!
Medidas de tendência central
Medidas de posição
Medidas de dispersão
Descrição de variáveis contínuas
MÉDIA
MEDIANA
MODA
AMPLITUDE
INTERVALO INTERQUARTIL
VARIÂNCIA
DESVIO PADRÃO
TERCIL
QUARTIL
QUINTIL
DECIL
PERCENTIL
Medidas de tendência central, de posição e
de variabilidade ou dispersão
Utilizadas para variáveis:
Quantitativas ou numéricas
Discreta
Contínua
São valores calculados com o objetivo de descrever os
dados de forma ainda mais resumida do que usando uma
tabela
Medidas de tendência central
Média
Moda
Mediana
Medidas de tendência central
Média
xi: valor de cada indivíduo
∑: somatória
n: total de indivíduos
x
x
n
i
i
n
1
Vantagem:
Utiliza TODOS os
valores da distribuição
Desvantagem:
É influenciada por
valores extremos
Medidas de tendência central
Moda
Valor que mais se repete na amostra (na distribuição)
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 8, 9, 9
Moda: 2
Quando mais de um valor se repete o mesmo número de
vezes BIMODAL
Medidas de tendência central
Mediana
Valor que divide a distribuição ao meio
1º passo: ordenar os dados de menor a maior
2º passo: ver qual valor ocupa o “meio” da distribuição
Se...
Número ímpar de dados: valor do meio
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 8, 9, 9
Número par de dados: média dos dois do meio
1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 8, 9, 9
Fórmula:
(n + 1)/2
Média x Mediana
Semelhantes para distribuições simétricas: Peso ao nascer
Média: 3131 g
Mediana: 3180 g
Distantes para distribuições assimétricas: Renda familiar
Média: R$ 791
Mediana: R$ 500
Então...
Qual medida de tendência central usar?
MÉDIA ou MEDIANA?
Mediana x Média: peso ao nascer
Distribuição simétrica
0
50
01
00
01
50
02
00
0
n
1000 2000 3000 4000 5000 6000Peso ao nascer
Média: 3131 gramas; Mediana: 3180 gramas
Média
Mediana x Média: renda familiar
Distribuição assimétrica 0
10
00
20
00
30
00
n
0 5000 10000 15000 20000Renda famil iar (reais)
Média: R$ 791; Mediana: R$ 500
Mediana
Medidas de posição
Percentis (dividem os dados em 100 partes iguais)
Percentil 10, percentil 50, percentil 99...
Quartis
Primeiro, segundo, terceiro, quarto quartil
Quintil
Primeiro, segundo, terceiro, quarto, quinto quintil
Percentis de peso ao nascer
. su peson,d
peso ao nascer em gramas
-------------------------------------------------------------
Percentiles Smallest
1% 1950 1100
5% 2340 1490
10% 2570 1550 Obs 962
25% 2870 1570 Sum of Wgt. 962
50% 3180 Mean 3200.639
Largest Std. Dev. 511.0475
75% 3510 4690
90% 3830 4700 Variance 261169.5
95% 4050 4700 Skewness -.1061833
99% 4450 4880 Kurtosis 3.579037
Medidas de dispersão (variabilidade)
Várias maneiras de medir a dispersão
Amplitude (maior - menor)
Amplitude interquartil (p75 - p25)
Variância
Desvio padrão
Medidas de dispersão (variabilidade)
Amplitude
Valor maior – valor menor
Apenas considera os valores extremos
Ex: 5 medidas de glicemia em mmol/l
80; 85; 88; 90; 500
Amplitude: 500-80=480
Medidas que se distanciam muito das demais influenciam
muito a amplitude
Medidas de dispersão (variabilidade)
Amplitude interquartil
Percentil 75 – percentil 25
Considera apenas a parte central dos valores de um
conjunto de dados
Joga fora os valores mais altos e os mais baixos
Não influenciada pelos valores discrepantes
Medidas de dispersão (variabilidade)
Variância (S2)
Boas propriedades estatísticas
Usa todas as observações
É uma medida dos “desvios” (ao quadrado) de cada
observação em relação à média
Pq ao quadrado?
Unidade de medida ao quadrado difícil interpretação
Medidas de dispersão (variabilidade)
Desvio padrão (S)
É a raiz quadrada da variância
Quanto mais próximos os valores individuais estiverem de
sua média, < a dispersão e < o desvio-padrão
Muito útil para distribuições dos dados aproximadamente
normais
Distribuição normal
Ou Gaussiana
Simétrica
Forma de “sino”
É uma distribuição contínua
Descreve bem fenômenos biológicos
5 4 0 0
5 0 0 0
4 6 0 0
4 2 0 0
3 8 0 0
3 4 0 0
3 0 0 0
2 6 0 0
2 2 0 0
1 8 0 0
1 4 0 0
1 0 0 0
6 0 0
1 8
1 6
1 4
1 2
1 0
8
6
4
2
0
S t d . D e v = 5 5 7 . 3 8
M e a n = 3 1 5 2
N = 5 2 5 8 . 0 0
Percentagem
Peso ao nascer
Distribuição normal padrão (propriedades)
1. Qualquer variável com distribuição simétrica
(normal) pode ser relacionada com uma distribuição
normal padrão
Média: zero; DP: 1
Posso estimar entre quais valores está x% dos meus dados
Distribuição normal padrão (propriedades)
2. Área abaixo da curva
A área abaixo de toda a curva normal = 1, ou seja, a
probabilidade de que uma observação fique em algum
lugar abaixo da curva é 100%
3. A probabilidade de se estimar a localização
exata de um indivíduo em específico é “zero”
Não posso estimar a posição de um valor específico, mas
posso calcular:
Proporção de indivíduos abaixo ou acima de certo valor
Proporção de indivíduos entre certos valores
Distribuição normal padrão (propriedades)
Exemplo
Qual a probabilidade de uma criança ter peso ao
nascer igual a 4000 gramas?
Não tenho como calcular esta probabilidade exata, mas
posso calcular...
Qual é a proporção de crianças com peso ao nascer
maior de 4000 gramas?
Área abaixo da curva
Média = 3230
DP = 610
Crianças com peso ao
nascer > 4000 gramas
Área abaixo da curva
Distribuição normal padrão
(x - média)/desvio padrão
(4000 - 3230)/610 = 1,26 = z
Olhando as tabelas de distribuição normal...
z = 0,1038, ou seja, 10,4% das crianças tem peso
ao nascer maior do que 4000 gramas
... Uso de amostras
O que seria uma amostra? Não é melhor avaliar
toda a população ?
Amostra
Quero conhecer um atributo de uma população (alvo)
Estado nutricional das crianças brasileiras menores de 5 anos
Escolho um grupo para estudar
Crianças menores de 5 anos da cidade de Pelotas
Deste grupo tiro uma amostra
Definição da população
UNIVERSO ou POPULAÇÃO TOTAL
POPULAÇÃO ALVO
AMOSTRA
Amostra: características
1. Representar a população
Equiprobabilidade = representatividade
Todos os indivíduos da população alvo têm a mesma chance de
participar do estudo (de serem sorteados)
POPULAÇÃO ALVO POPULAÇÃO ALVO
Amostra: características
2. Precisão
Amostra de tamanho adequado
Garantir o mínimo de precisão
Garantir a chance de demonstrar uma diferença entre dois
grupos
PODER: probabilidade de encontrar uma diferença qdo ela
realmente existe
Quanto maior a amostra, maior o poder
Estudos com baixo poder (amostra pequena) para testar
associações são um desperdício de tempo e dinheiro
Amostra: características
3. Variabilidade amostral
Cada amostra dá um resultado
Repetir o processo de amostragem e estudar a distribuição
dos resultados
Como será que a distribuição das amostras se
compara com a distribuição em toda população?
Se coletarmos muitas amostras independentes, do mesmo
tamanho, de uma mesma população e calcularmos a média
de cada amostra...
Distribuição das médias amostrais
Então, a amostra...
Tem importância pelo que nos conta sobre a
população que representa
A média e o desvio padrão da amostra são usados
para estimar a média e o desvio padrão da
população
s
xamostra
população
Distribuição das médias amostrais
A média da distribuição das médias amostrais é a
média da população (isso eu já sei!!!)
E como é a variabilidade da média da população?
O desvio padrão da distribuição das amostras se denomina
ERRO PADRÃO
Distribuição das médias amostrais
Enquanto o desvio padrão mede a variabilidade dos
indivíduos da amostra
... o erro padrão mede a variabilidade da média
das amostras
E indica com que precisão a média da população pode ser
estimada pela média amostral
Distribuição das médias amostrais
Erro padrão
nep
Desvio padrão da
população
Tamanho da amostra
Distribuição das médias amostrais
Dificilmente nós conhecemos o desvio padrão da
população ()
Então se usa o desvio padrão da amostra (s) para
estimar o erro padrão
n
sep
Desvio padrão da
amostra
Tamanho da amostra
E o que eu faço com o erro padrão?
Serve para calcular o Intervalo de Confiança
Intervalo de Confiança: intervalo de valores que
contém o parâmetro de interesse
Valores dentro dos quais existe uma certa probabilidade de
estar incluída a real média da população
Usado para comparar se existem diferenças entre dois ou
mais grupos
Testes de hipóteses
Isso será visto nas próximas aulas...
Referências bibliográficas
Massad E, Menezes R, Silveira P, Ortega N. Métodos Quantitativos em
Medicina. SP: Manole, 2004
Kirkwood B and Sterne J. Essential of medical statistics. Blackwell Science,
2003