AULA 11 FUNÃ+O LOGARITMO.pdf

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AULA 11 – FUNÇÃO LOGARÍTMICA

LOGARITMOS

INTRODUÇÃO

Os séculos XVI e XVII ficaram marcados peloestudo e desenvolvimento da Astronomiacom Johannes Kepler(1571 – 1639), Nicolau Copérnico(1473 – 1543), Isaac Newton (1642 1727) eoutros; também houve um grande avançonas Navegações. Entretanto essas atividadesdemandavam cálculos trabalhosos ecomplexos. Era necessário criar um métodoque facilitasse os trabalhosos cálculosdecorrentes dos estudos da Astronomia edas cartas de navegação.

HISTÓRIA DO LOGARITMO

Os logaritmos foram inventados por JohnNapier, de modo a simplificar os processosde multiplicação e divisão. John Napiertrabalhou durante 20 anos na suadescoberta. Napier refletiu sobre o que játinha sido publicado sobre a sucessão depotências de um número dado, em queestudou os resultados que Arquimedes tinhaapresentado em "Arithmetica Integra".Napier publicou o resultado de parte dassuas investigações, num primeiro livro,intitulado "Mirifi Logarithmorum Canonis

descriptio", sem, contudo expor os meios quetinha empregue. Neste livro explica ologaritmo natural comparando os termos daprogressão aritmética e geométrica. Ilustratambém as tabelas dos logaritmos dealgumas funções trigonométricasrelativamente aos ângulos do primeiroquadrante.Vejamos como Napier definiu o logaritmo.Começou por tentar manter os termos daprogressão geométrica, de potências inteirasde um número dado, perto uns dos outros.Era necessário que o número dado estivesse

perto de um, assim Napier decidiu utilizar, 1 – 10-7 = 0,9999999Para conseguir certo equilíbrio e evitar o usodas casas decimais, Napier multiplicou todasas potências por 107. Temos então que:

Em que L é o logaritmo de Napier do númeroN. Considerou o logaritmo de 107 igual azero.Se dividíssemos tanto os números, como oslogaritmos por 107, obteríamos praticamenteum sistema de logaritmos de base 1/e, em

que:

Mas, Napier não tinha a ideia de base dosistema de logaritmos, nem da importânciado número e, que só um século mais tarde,com o desenvolvimento do CálculoInfinitesimal, viu a sua importância serreconhecida.Embora Napier fosse o primeiro a publicar osresultados das suas investigações, tambémna Suíça, Jobst Bürgi desenvolveu ologaritmo de forma semelhante. Bürgiescolheu um número um pouco maior 1 + 10-

4, e em vez de multiplicar por 107 multiplicoupor 104. No entanto só publicou os seusresultados em 1620.O rápido reconhecimento das vantagens deutilizar os logaritmos na prática deve-se aHenry Briggs. Ele percebeu que a base queNapier utilizava era inconveniente. Entrou emcontato com o mesmo, em 1616, e sugere amudança para uma base decimal.Napier reconheceu a melhoria introduzida por

Briggs e, em conjunto estabeleceram asseguintes igualdades:

log1 = 0 e log10 = 1

Napier tentou introduzir nos seus logaritmosa base 10, e concluir a sua obra em quedescrevia como construiu o logaritmo, massem sucesso. Esta última obra foi concluídapelo seu filho e publicada em 1619,intitulando-se "Mirifici Canonis Constructio".Briggs partindo dos estudos de Napiercomeçou a trabalhar no cálculo dos

logaritmos, para a base decimal. Em 1617,apresentou a tabela de logaritmos dosnúmeros de 1 a 1000, calculados até àdécima quarta casa decimal. Seis anosdepois completou o seu trabalho anteriordando os logaritmos dos números de 1 a 20000 e de 90 000 a 100 000. Em 1628, oholandês Henry Vlacq, preencheu a lacunadas tábuas precedentes, publicando outracom os logaritmos dos números de 20000 a

en

n

n

111lim

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm44/jonhnapier.htm


http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm44/numeroe.htm



http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm44/henrybriggs.htm

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm44/henrybriggs.htm






2

90000. Napier, além de inventar oslogaritmos, é considerado o precursor daRégua de cálculo. Relativamente ao resto daEuropa, também outros matemáticosreconheceram a importância da descobertade Napier, como é o caso de Kepler, que

introduziu entre 1625 e 1629 as tabelas na Alemanha. Enquanto que Cavalière eEdmund Wingate introduziram as tabelaslogarítmicas na Itália e na França em 1624 e1626, respectivamente.

John Napier (1550 – 1617)

Henry Briggs (1561 – 1631)

Significado etimológico:

LÓGOS: Razão, evolução, discurso.

ARITHMÓS: Número.

Literalmente: A evolução de um número.

Kepler propôs a contração: log

No século XVII as potências de base 2 eramlidas:

24 = 16 “O 4 evolui na base 2 dando 16”

32 = 9 “O 2 evolui (logarithmorum) na base 3dando como resultado 9.

Ou logarithmorum 9 basis 3 aequalis 2 .

HOJE

FACILITADOR DE OPERAÇÕES

Em vista das dificuldades na realização doscálculos, tornava-se necessário obter novosmétodos que permitissem efetuarmultiplicações, divisões, potenciação,radiciação de maneira mais rápida.Podem-se classificar as operaçõesaritméticas segundo seu grau de dificuldadeem três espécies:

as de primeira espécie: adição esubtração; as de segunda espécie: multiplicação

e divisão; as de terceira espécie: potenciação e

radiciação.

Procurava-se um processo que permitissereduzir cada operação de segunda outerceira espécie a uma de espécie inferior e,portanto, mais simples.

Exemplos:

1) Um processo utilizado para se efetuarmultiplicações, baseava-se na identidadealgébrica:

22

22.

y x y x y x

29log3

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm44/regua.htm

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm44/regua.htm



3

E na tabela a seguinte:

n 2

2

n

1200 360000

1201 360600,251202 3612011203 361802,251204 3624041205 363006,251845 851006,251846 8519291847 852852,251848 8537761849 854700,251850 855625

Com o auxílio da tabela, multiplique

1425 . 321 utilizando esse processo.

22

2

3211525

2

3211525321.1425

22

2

1204

2

1846321.1425

362404851929321.1425

Através desse processo, tivemos além dasconsultas à tabela a transformação de umamultiplicação em uma adição e duassubtrações.

2) Na busca de formas que transformamoperações de 2ª. espécie em operações de1ª. espécie, uma acabou despertando aatenção dos matemáticos da época devido àsua simplicidade:

Note que no primeiro membro da igualdadedesta propriedade tem-se um produto,enquanto no segundo membro, no expoentetem-se uma soma. Para a utilização desseprocesso precisamos de uma tabela depotências.

Exemplos:

1)n 2n

1 22 43 84 16

5 326 647 1288 2569 51210 1024

Suponha que desejamos multiplicar 16. 64sabemos que:

16.64 = 24 . 26 = 24+6 = 210

Note que basta somar 4 + 6 = 10 e consultar

a tabela o resultado, que é 1024. A primeira coluna é a dos logaritmos na base2 e a segunda coluna a dos respectivosantilogaritmos.Vejamos outro exemplo só que agora vamosutilizar potências de base 10.

2)n 10n 60,8 1,7839060,9 1,7846261,0 1,7853361,1 1,78604

61,2 1,78675 105,0 2,02119105,1 2,02160105,2 2,02202105,3 2,02243

125,7 2,09934125,8 2,09968125,9 2,10003126,0 2,10072

7691 3,885987692 3,886047693 3,88610

Multiplique 61,2 . 125,7

61,2 . 125,7 = 101,78675 . 102,09934

61,2 . 125,7 = 101,78675 + 2,09934 = 103,88609

489525321.1425

nmnmaa.a



4

Assim 103,88609 7692,8Portanto 61,2 . 125,7 = 7692,8

Perceba que tivemos consulta à tabela eefetuamos a adição 1,78675 + 2,09934.

Nos dois últimos exemplos temos o métododos logaritmos, no primeiro exemplo a baseutilizada foi a base 2 e no segundo exemploa base 10.No primeiro exemplo: queequivale a 24 = 16 e queequivale a 26 = 64.

No segundo exemplo:que equivale a 101,78675 eNa verdade, podemos ter a base 10 que échamada de base decimal ou outras basestambém importantes.

DEFINIÇÃO DE LOGARITMO

Seja a > 0 e a ≠ 1, o logaritmo de x > 0 nabase a é o expoente y a que se deve elevar a de tal modo que ay = x.

a = base do logaritmob = logaritmando ou antilogaritmox = logaritmo

BASE DO LOGARITMO

Se a = 10 (base decimal) não se escreve echama-se logaritmo decimal log 2

Se a = e (base neperiana) chama-se lnx ouLx e lê-se logaritmo neperiano ou natural ln 2 ou L2

CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO

Sendo x > 0, a > 0 e a 1 e m um númeroreal qualquer, temos a seguir algumasconsequências da definição de logaritmo:

Observação:

É um número racional?

10y = 2

Vamos supor por absurdo que q

p

y , ou

seja y Q então: q

q

q

p

210

é absurda

pois 10p = 100...0 (p zeros) e 2q = 2.2.2...2 (qvezes 2), logo Q.

PROPRIEDADES

Condição de existência: (a > 0, a 1, x > 0, y> 0 e m IR).

1) Logaritmo do produto:

xam xm

a log

yan yn

a log

y xa p y x p

a ..log

nm paaaaanm pnm p

.

2) Logaritmo do quociente:

xam x m

a log

yan y n

a log

416log2

664log2

78675,12,61log10

09934,27,125log10

x y xaa

y log

101log 0 a

a

aaaa

11log

mmm

a aama log

bambba m

a

ba loglog

cbcbaa loglog

15 pois 01log3)

164 pois 216log2)

322 pois 532log1)

:Exemplos

0

5

2

4

5

2

2log10

y2log10

2log10

y x y x aaa loglog).(log



5

y xa p y x p

a ..log

nm p

aaa

aa

nm p

n

m

p

3) Logaritmo da potência:

nmn

a xam x log I

xa p x p

a log II

Substituindo II em I teremos

pnmn

pmaaaa

.

m = n.p xn xa

n

a log.log

MUDANÇA DE BASEEm algumas situações podemos encontrarno cálculo vários logaritmos em basesdiferentes. Como as propriedadeslogarítmicas só valem para logaritmos numamesma base, é necessário fazer, antes, aconversão dos logaritmos de basesdiferentes para uma única base conveniente.Essa conversão chama-se mudança debase. Para fazer a mudança de uma base a para uma outra base b usa-se:

Exemplo: Mude para a base decimal ologaritmo

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

A função f: IR+ IR definida por

f(x) = x

alog , com a 1 e a > 0, é chamada

função logarítmica de base a. O domínio

dessa função é o conjunto IR+ (reaispositivos, maiores que zero) e ocontradomínio é IR (reais).

GRÁFICO

Temos dois casos a considerar:

y x y

x

aaa logloglog

xn xa

n

a log.log

a

x

xb

b

a log

log

log

3log2

x x f y alog)(



6

EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

São equações em que a variável está numlogaritmo.

Exemplos:

7

2

)53(

2 loglog

x

, 4log )13(

2

x

2loglog 2

2

2 x x

Obs. Os valores encontrados na resoluçãoda equação só serão consideradossoluções se satisfizerem as condições deexistência do logaritmo.

1) Resolver a equação 7

2

)53(

2 loglog x

2) Resolver a equação )54(

2

)32(

2 loglog

x x

3) Resolver a equação 4log )13(

2 x

1) Resolver a equação

2log

)21(3log1

2

x

5) Resolver a equação 2loglog 2

2

2 x x

6) Resolver a equação

2log1

log

log

log2

3

3

3

3

x

x

x

x



7

EXERCÍCIOS DE APLICAÇÕES DOLOGARITMO

1) O pH de uma solução é definido por

H pH

1log , onde H+ é a concentração

de hidrogênio em íons grama por litro desolução. O pH de uma solução. Determine opH de uma solução, tal que H+ = 1,0.10-8.

2) Em uma determinada cidade a taxa decrescimento populacional é de 4% ao ano,aproximadamente. Em quantos anos apopulação desta cidade irá dobrar, se a taxade crescimento continuar a mesma?Dado: log 2 = 0,3 e log 1,04 = 0,015

3) A Escala de Magnitude de Momento(abreviada como MMS e denotada comoMW), introduzida em 1979 por Thomas Hakse Hiroo Kanamori, substituiu a Escala deRichter para medir a magnitude dosterremotos em termos de energia liberada.Menos conhecida pelo público, a MMS é, noentanto, a escala usada para estimar asmagnitudes de todos os grandes terremotosda atualidade. Assim como a escala Richter,a MMS é uma escala logarítmica. MW e M0 seRelacionam pela fórmula:

0w Mlog3

2+7,10-=M

Onde M0 é o momento sísmico (usualmenteestimado a partir dos registros de movimentoda superfície, através dos sismogramas),cuja unidade é o dina ⋅ cm. O terremoto deKobe, acontecido no dia 17 de janeiro de1995, foi um dos terremotos que causarammaior impacto no Japão e na comunidadecientífica internacional. Teve magnitude MW =7,3. Mostrando que é possível determinar amedida por meio de conhecimentosmatemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do terremoto de Kobe (em dina ⋅ cm)?



8

4) Para determinar a rapidez com que seesquece de uma informação, foi efetuado umteste em que listas de palavras eram lidas aum grupo de pessoas e, num momentoposterior, verificava-se quantas dessaspalavras eram lembradas. Uma análisemostrou que, de maneira aproximada, opercentual S de palavras lembradas, emfunção do tempo t, em minutos, após o testeter sido aplicado, era dado pela expressão:

S 18 log(t 1) 86.

a) Após 9 minutos, que percentual dainformação inicial era lembrado?

b) Depois de quanto tempo o percentual Salcançou 50%?

5) Para se calcular a intensidade luminosa L,medida em lumens, a uma profundidade de xcentímetros num determinado lago, utiliza-sea lei de Beer-Lambert, dada pela seguintefórmula:

Llog 0,08x

15

Qual a intensidade luminosa L a umaprofundidade de 12,5 cm?

6) Ao se ligar a chave S do circuito RC, representado na figura a seguir, aintensidade da corrente i que percorre o

circuito é dada pela equaçãot

2i 5 e ,

i em

miliàmperes; t, em milissegundos, t 0.

Ao se ligar a chave do circuito, pode-seconcluir que a intensidade da corrente i ficará reduzida à metade do seu valor inicial

em quantos milissegundos? Dado

693,02

1ln



9

7) O nível sonoro S é medido em decibéis(dB) de acordo com a expressão

0

log10 I

I S , onde I é a intensidade da

onda sonora e Io = 10-12 W/m2 é a intensidadede referência padrão correspondente aolimiar da audição do ouvido humano. Numacerta construção, o uso de proteção auditivaé indicado para trabalhadores expostosdurante um dia de trabalho a um nível igualou superior a 85 dB. O gráfico a seguirmostra o nível sonoro em função da distânciaa uma britadeira em funcionamento na obra:

a) A que distância mínima da britadeira os

trabalhadores podem permanecer sem

proteção auditiva?

b) Qual é a intensidade da onda sonora

emitida pela britadeira a uma distância de 50

m?

EXERCÍCIOS

1) Calcule os logaritmos:

a) 4

2log b) 81

3log c) 8

2

1log

d) 27

3

1log e) 5 27

9

1log

2) Determine y na expressão25log1

5

y

3) Resolva a equação: 34x+1 – 7.32x + 2 = 0.

Dado: 631,0log2

3

4) Determine o domínio das funções:

a) 322 x y b) 4

9

1

3

1

x

y

c)

4

1log

x

x y d)

22

log

x x

x y

5) Faça o gráfico das funções a seguir:

a) x y 2log2 b) x

y 2log2

c)2

2

1log)(

x

x f d)2

2

1log)(

x

x f

6) Sejam a IR, a > 1 e f:IR IR definida

por2

)( x x aa

x f

. Determine a função

inversa de f(x).

7) Se N é o menor número natural para oqual (2N)N tem pelo menos 30 dígitos, entãoN é:

(Utilize a aproximação: log 2 = 0,30)

a) 7.

b) 8.

c) 9.

d) 10.

e) 11.



10

8) A capacidade de produção de umametalúrgica tem aumentado 10% a cada mêsem relação ao mês anterior. Assim, aprodução no mês m , em toneladas, tem sido

de m 11800 1,1 .

Se a indústria mantiver este

crescimento exponencial, quantos meses,

aproximadamente, serão necessários paraatingir a meta de produzir, mensalmente,12,1 vezes a produção do mês um?Dado: log1,1 0,04.

9) Considere a equação

2

3x 3x

log log x 1.3

A soma dos

quadrados das soluções reais dessaequação está contida no intervalo:

a) [0,5)

b) [5,10)

c) [10,15)

d) [15,20)

e) [20, )

10) Resolva a equação:

0log16log 77

4

x x

x

11) No plano cartesiano, seja P(a,b) o pontode interseção entre as curvas dadas pelas

funções reais f e g definidas por x

1f x

2

e 1

2

g x log x.

É correto afirmar que

a) 2

2

1a log

1log

a

b) 2 2a log log a

c) 1 1

2 2

1a log log

a

d) 2 1

2

a log log a

12) Um lago usado para abastecer umacidade foi contaminado após um acidenteindustrial, atingindo o nível de toxidez T0,correspondente a dez vezes o nível inicial.Leia as informações a seguir.

- A vazão natural do lago permite que 50%de seu volume sejam renovados a cada dezdias.- O nível de toxidez T(x), após x dias do

acidente, pode ser calculado por meio daseguinte equação:

T(x) = T0 (0,5)0,1x

Considere D o menor número de dias desuspensão do abastecimento de água,necessário para que a toxidez retorne aonível inicial.Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a:

a) 30

b) 32

c) 34

d) 36

13) O número N de átomos de um isótoporadioativo existente em uma amostra diminuicom o tempo t , de acordo com a expressão

t0N t N e ,

λ

sendo N0 o número de

átomos deste isótopo em t 0 e λ aconstante de decaimento. Abaixo, está

apresentado o gráfico do N

10log em função de

t, obtido em um estudo experimental do radiofármaco Tecnécio 99 metaestável (99mTc),muito utilizado em diagnósticos do coração.



11

A partir do gráfico, determine:

a) o valor de log10N0;

b) o número N0 de átomos radioativos de

99mTc ;

c) a meia-vida (T1/2) do 99mTc.

Note e adote: A meia-vida (T1/2) de umisótopo radioativo é o intervalo de tempo emque o número de átomos desse isótopoexistente em uma amostra cai para ametade; 10log 2 0, 3; 10log 5 0,7.

14) Se2

a

a

6 log m2,

1 log m

com a 0, a 1 e

m 0, então o valor dem

a m

é

a) 4

b)1

4

c) 1d) 2

e)1

2

15) A superfície de um reservatório de águapara abastecimento público tem 320.000 m2 de área, formato retangular e um dos seuslados mede o dobro do outro. Essa superfícieé representada pela região hachurada nailustração abaixo. De acordo com o CódigoFlorestal, é necessário manter ao redor doreservatório uma faixa de terra livre,denominada Área de Proteção Permanente(APP), como ilustra a figura abaixo. Essafaixa deve ter largura constante e igual a 100m, medidos a partir da borda do reservatório.

a) Calcule a área da faixa de terradenominada APP nesse caso.

b) Suponha que a água do reservatóriodiminui de acordo com a expressão

t0( ) 2 ,

V t V em que V 0 é o volume inicial

e t é o tempo decorrido em meses. Qual éo tempo necessário para que o volume sereduza a 10% do volume inicial? Utilize se

necessário, 10log 2 0, 30.

16) Se os números reais a e b satisfazem,simultaneamente, as equações

1a b

2 e 2

ln a b ln 8 ln 5,

um possível valor dea

b é

a)2.

2

b) 1.c) 2. d) 2.

e) 3 2.

17) O número de soluções reais da equação

x xlog (x 3) log (x 2) 2 é:

a) 0.b) 1.c) 2.d) 3.e) 4.

18) Uma quantia inicial de R$ 1.000,00 foiinvestida em uma aplicação financeira querende juros de 6%, compostos anualmente.Qual é, aproximadamente, o temponecessário para que essa quantia dobre?

2(Use log (1,06) 0,084.)

19) Verifique se as afirmações abaixo sãoverdadeiras ou falsas. Justifique suaresposta.

a) O número2 1

x 2 2

2 1

é irracional;

b) O valor da expressão2

3 2

x 4 x

x 2x 4x 4x

,

quando x 9876, é igual a1

9874;

c) Se x 0,001 , então3 x

x 1 4

x 31000

3 x

;



12

d) O valor real de x que torna a igualdade

3

10 10 10log log x log x 1 verdadeira é

menor do que um.

20) Considere N o menor número inteiropositivo tal que log(log(logN)) seja um inteiro

não negativo. O número N, representado nosistema de numeração decimal, possui:

a) 2 algarismos.b) 3 algarismos.c) 10 algarismos.d) 11 algarismos.e) 100 algarismos.

RESPOSTAS

1)

a) 2

b) 4

c) – 3

d)2

3

e)10

3

2)5

2

3) 0,315

4)a) x ≥ 5

b) x ≤ 2

c) – 2 < x < 0 ou x > 2

d) x > 2

5)

a)

b)

c)



13

c)

d)

6)

11

2

log)(

x x

a x f

7) D

8) m = 28

9) C

10) 0 e 2

11) A

12) C

13) a) No gráfico, log10No = 6.

b) log10No = 6 No = 106 = 1 000 000.

c) oNN(t)

2

o

o

NlogN(t) log

2

logN(t) logN log2

logN(t) 6 0,3

logN(t) 5,7

Observando o gráfico,

logN(t) = 5,7 t = 6 horas.

14) E

15) a) 10000(24 + ) m2

b) aproximadamente 3 meses e 10 dias.

16) A

17) B

18) 11,9 anos

19) a) falsa b) verdadeira c) falsad) verdadeira

20) D

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