Aula 2 balanco de massa

Operações UnitáriasAula 2

Sistema de unidadesPrincípios de conservaçãoBalanco materialNumeros adimensionais

Silvana Palmeira

Sistemas de unidades

Quem é maior 8 ou 80?

2

Para se responder a esta pergunta deve-se pensar em definir a grandeza de forma

qualitativa e quantitativa

A pergunta necessita de sentido porque não há termo de comparação.

Evidentemente que 8 m3 significa mais que 80 litros (80 dm3).

Sendo de outra forma, identificando-se a dimensao, fica mais facil de responder: 8 kg e 80 kg

3

Importância das dimensões

Para se definir uma grandeza existem duas dimensões a qualitativa e a quantitativa

Qualitativamente – a grandeza será definida pela equação dimensional, sendo esta constituída

pela base MLT ou FLT, onde o expoente indica o grau de dependência entre a grandeza derivada

e a grandeza fundamental (MLT ou FLT)

4



A depender da base utilizada, as "unidades" de grandezas físicas permitem organizar o trabalho científico e técnico sendo que, com apenas sete grandezas básicas é possível formar um sistema que abranja todas necessidades. :Dimensões de um corpo, Velocidade, Força, TrabalhoPotência

5

Tradicionalmente a Engenharia usava 3 sistemas:

MKS (metro, quilograma, segundo)

ou

CGS (centímetro, grama, segundo),

MKfS (metro, kilogramaforça, segundo)


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A definição quantitativa depende do sistema de unidade considerado

Por exemplo, se considerarmos o Sistema Internacional (SI), temos como grandezas fundamentais ou primarias:

M – massa – kg (quilograma)L – comprimento – m (metro)T – tempo – s (segundo)

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Mas existem outros sistemas que utilizam outras unidades:

Massa SI Americano Inglês kg oz lbm

8


Comprimento

m (SI)ft (Inglês)in jdmillg

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Tempos (SI) min h diasemanamêsanosécmilênio10

As demais grandezas são denominadas grandezas derivadas:

Grandeza Unidade Equação dimensionalv(velocidade) m/s [v] = L/TF (força) N (newton) [F] = (M*L)/T2

dv/dy hz ou 1/s [dv/dy] = T-1

(gradiente de velocidade) [dv

dy ]=LT -1

L=T -1= 1

T12

Energia = Força * DistânciaEnergia = (Kg*m/s2) * (m)Energia = kg*m2/s2 = J (Joule) 13

512.106 [bytes] = 512 [Mbytes] = 512.000.000 bytes

400.10-9 [s] = 400 [ns]

HD com 80Gbytes

80.000.000.000 bytes

80 bilhões de bytes 15

As unidades não podem ser canceladas ou fundidas a menos que sejam homogêneas.

Elas contêm quantidades sinificativas de informações que não podem ser ignoradas.

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5 quilogramas + 3 calorias (massa e energia)Não tem significado, pois as dimensões dos dois termos são diferentes !!!


17

1 kg + 500 gramas (massa) Mesma dimensão. Tem significado, mas ainda não pode ser executada. As unidades devem ser transformadas em iguais, sejam libras, gramas, kg, onças e assim por diante, para que a operacao seja efetuada.1 kg =1000 gramas, então, 1000 g + 500 g pode ser somado, resultando em 1500g

Cuidado

1 hp + 300 W (Potencia)As dimensões são as mesmas (potência = energia por unidade de tempo), porém as unidades são diferentes. Precisam ser transformadas em unidades iguais para depois somar os termos:1 hp = 746 W (caderno de dados ou outras tabelas)746 W + 300 W = 1046 W

18


19

Equivalentes estão na mesma linha

Transformação de unidades

20



21

Transformação de unidadesEquivalentes estão na mesma linha

22

Equivalentes estão na mesma linhaTransformação de unidades


7,5 1

23



1

24

Transformação de unidadesEquivalentes estão na mesma linha

Exemplo: Transforme 400 in3/dia em cm3/min

400 in3

dia (2,54 cmin )

3 1 dia24 h

1 h60min

=4,56 cm3

min

25


Muitas unidades possuem nomes especiais:Força = Newton = N F = m * a

N=kg . ms2

Outros exemplos:

J = JouleW = Watt

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Massa = M Comprimento = L Tempo = ØTemperatura = T

Exemplo: qual a dimensão da força?F = m . a

F=M . Lφ2

M = kg, g, ton, lb, etc...L = m, cm, mm, km, pé, polegada, etc...Ø = h, min, s, dia, ano, etc…T = °C, K, °R, °F

F=kg . ms2

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Consistencia dimensional

Sistema MKfS

Um outro sistema bastante utilizado até hoje é o MkfS. Neste sistema as grandezas fundamentais adotadas para o estudo dos Fenômenos de Transporte são:Grandeza UnidadeF (força) kgf (1 kgf = 9,8 N)L (comprimento) m (metro)T (tempo) s (segundo)

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Algumas grandezas derivadas no MKfS:

Grandeza Unidade

M (massa) utm (1 utm = 9,8 kg)

- massa específica kg/m³

M= F×T 2

L

ρ= ML3 =F×T2

L4

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7 Passos para a resolução1- Faça um desenho esquemático do sistema (geometria do problema)2 - Verifique a consistência do Sistema de medidas e a compatibilidade dos algarismos significativos3- Declare de forma concisa a informação dada e a solicitada para resolução do problema 4 - Liste as leis matemáticas básicas5- Relacione as hipóteses simplificadoras6- Faça uma análise algébrica7- Introduza valores numéricos

Princípios e técnicas para resolução de problemas

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Princípio

Aprende-se melhor, fazendo!!!!!

O domínio vem com a prática


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7 Passos para a resolução1- Faça um desenho esquemático do sistema (geometria do problema)2 - Verifique a consistência do Sistema de medidas e a compatibilidade dos algarismos significativos3- Declare de forma concisa a informação dada e a solicitada para resolução do problema 4 - Liste as leis matemáticas básicas5- Relacione as hipóteses simplificadoras6- Faça uma análise algébrica7- Introduza valores numéricos


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Tabela de conversão1 ft 0,3048 m 1 gl 231 in3

1 lb 0,4536 Kg 1 in3 0,01639litros1 lbf 4,4482 N 1 psi 6, 895x103 Pa1 ft 12 in 1W 1,341x 10-3HP1in 2,54 cm

O domínio vem com a prática


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Exercícios exemplo

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Se um avião voa a uma velocidade duas vezes superior à do som ( 1.100 ft/s), qual será sua velocidade em milhas por hora?

2 1100 1 mi 60s 60 min = 1500 mi/h S 5.280 ft 1min 1h

Exercício resolvido

1.13 FOX 6ª ed.EnunciadoA massa da bola de golfe oficial inglesa é 45,9 g e o seu diâmetro

médio é 41,1 mm. Determine a massa específica e a densidade relativa da referida bola. (ρH2O = 1000 kg/m3)

Resolução: Passos 1 – 31- Geometria do problema2- Declaração das informações dadas e solicitadas3- Formulação básica

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Exercício 1.13 FOX 6ª ed.

Resolução: Passos 1 – 3 Modelo Físico e Dados Modelo matemático

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Exercício 1.13 FOX 6ª ed

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Exercício 1.13 FOX 6ª ed

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Três enfoques para o estudo dos processamentos industriais iniciais

1. Estudar a tecnologia de um certo tipo de indústria, por exemplo: cervejarias, laticínios, industria açucareira, etc...2. Estudar as operações usuais a muitas indústrias, por exemplo: evaporação, extração, centrifugação, etc...3. Estudar os fenômenos de transferência de quantidade de movimento, calor e massa.

Princípios básicos

Existe um pequeno número de princípios elementares, técnicas matemáticas e leis da físico-química que são fundamentais e formam a base para o estudo da transferência de momento, calor e massa e os processos de separação. Quem pretende operar processos industriais deve ter um bom domínio destes conhecimentos.

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a)a) Princípios ou leis da Princípios ou leis da conservação de massa,conservação de massa, quantidade de movimento e energiaquantidade de movimento e energia

b)b) Equações constitutivas ou descritivas do Equações constitutivas ou descritivas do fenômeno de transferênciafenômeno de transferência

c)c) Equações de estado (gases ideais, Van der Equações de estado (gases ideais, Van der Walls, etc.)Walls, etc.)

Princípios básicos

As operações unitárias e os princípios de transferência

Força ou Força ou fluxo por fluxo por

unidade de unidade de superfíciesuperfície

Coeficiente Coeficiente de de

transferênciatransferência

Gradiente Gradiente de de

potencialpotencial

GradienteGradienteVelocidadeVelocidadeTemperaturaTemperatura

FluxoFluxoMomentumMomentumCalorCalor

Conservação da massa

Como se sabe, “na natureza nada se cria, nada se destrói, tudo se transforma”, ou seja, a matéria não é criada e muito menos destruída, e, portanto, num balanço material envolvendo um certo sistema, a massa que neste entra deverá ser a mesma que dele estará saindo.

A massa de um produto que entra em um sistema, mesmo que transformada em outros produtos, sempreserá a mesma que está saindo deste sistema.

Vazoes Vazoesde deEntrada Saida

Balanço de massa

sistema

PROCESSOS ESTACIONÁRIO Balanços para os quais o termo de acumulação é igual a zero. Regime Permanente – aquele em que as propriedades do sistema não variam com o tempo.

PROCESSOS NÃO - ESTACIONÁRIO Balanços para os quais as quantidades e as condições operacionais variam com o tempo no interior do sistema. Regime transiente – aquele em que as propriedades do sistema variam com o tempo.

Balanço de massa

A tecnica de balanco de massa demanda um tratamento sistematico do problema, com a realizacao de algumas etapas para sua resolucao.1. Esquematizar um fluxograma basico do processo2. Identificar as correntes de entrada e saida3. Quantificar as substancias que compoem as correntes4. Escolher uma base de calculo e indica-la com clareza5. Fazer os balancos global e por componente

Balanço de massa

Balanço de massa

Em um Balanço Material, não se deve confundirmassa com volume, pois as massas específicasdos produtos são diferentes.

massaentrando

righ

massagerada

righ

massasaindo

righ

massaconsumida

righ

[ ]

A tecnica de balanco de massa demanda um tratamento sistematico do problema, com a realizacao de algumas etapas para sua resolucao.1. Esquematizar um fluxograma basico do processo2. Identificar as correntes de entrada e saida3. Quantificar as substancias que compoem as correntes4. Escolher uma base de calculo e indica-la com clareza5. Fazer os balancos global e por componente

Balanço de massa

Estudo de caso Produção de salsichas

Balanço de massa

Para produção de 25 Kg de salsicha com teor de gordura de 30% utilizam-se carne de gado e gordura de gado. A carne de gado contém 18% de proteína, 70% de água e 12% de gordura. E a gordura contém 78% de gordura, 17% de água e 5% de proteína. Faça um balanço global da massa do sistema e de cada componente da mistura.

Balanço de massa

1. Esquematizar um fluxograma basico do processo2. Identificar as correntes de entrada e saida3. Quantificar as substancias que compoem as correntes4. Escolher uma base de calculo e indica-la com clareza5. Fazer os balancos global e por componente

Balanço de massa

Base de Cálculo: 25 Kg de salsicha

Corrente de Entrada = C + GCorrente de Saida = S

Balanço de massa global: C + G = S Carne gordura salsicha

Balanço de gordura: 0,12C + 0,78G = 0,3(25)

Balanço de massa


Balanço de massa global: C + G = 25 (1) Carne gordura salsicha

Balanço de componente: 0,12C + 0,78G = 0,3(25) (2) (gordura)Temos um sistema de equação, que pode ser resolvido por um dos 2 métodos. Vamos resolver por substituição:

Balanço de massa


Substituindo a equacao 1 em 2 e resolvendo a equação para o balanço de gordura, temos: 0,12 (25 – G) + 0,78 G = 7,5 3,0 – 0,12 G + 0,78 G = 7,5 0,66 G = 4,5 G = 4,5 / 0,66 G = 6,82 Kg Massa de gordura = 6,82Kg

Balanço de massa


Balanço de massa global: C + G = 25 (1) Carne gordura salsicha

Balanço global: C + 6,82 = 25 C = 25 – 6,82 C = 18,18 Kg de carne

Balanço de massa

Estudo de caso Evaporacao

Balanço de massa

Se alimenta um evaporador de forma continua com 25 Ton/h de uma solucao que contem 10% de NaOH, 10% de NaCl e 80% de H2O. Durante a evaporacao se elimina agua e o sal se precipita na forma de cristais, que sedimentam. A solucao concentrada que sai do evaporador contem 50% de NaOH, 2% de NaCl e 48% de agua. Calcule a vazao massica (Kg/h):a) De solucao concentradab) De agua evaporadac) De sal que precipita

Balanço de massa

ES

Evap

P

Base de Cálculo: Tomar o NaOH como componente para a base de calculo, visto que não se precipita e sua massa não se modifica nas correntes de entrada e saida.Dados ENTRADA 25Ton/h SAIDA SENaOH = 10% SNaOH = 50%

ENaCl = 10% SNaCl = 2%

EH2O = 80% SH2O = 48%

Balanço de massaE

SP

Evap

Calculo da vazao massica dos componentes na corrente de entrada em (Kg/h) Base de calculoENTRADA E = 25Ton/h MNaOH = ENaOH* E = 0,1*25.000 = 2.500 Kg/h

MNaCl = ENaCl* E = 0,1*25.000 = 2.500 Kg/h

MH2O = EH2O* E = 0,8*25.000 = 20.000 Kg/h

Balanço de massa

SOLUCAOCálculo da massa dos componentes da corrente de saida (solucao concentrada)BALANCOSAIDA S (Kg/h)MNaOH entra = MNaOH sai 2.500 = SNaCl* S

2500 = 0,5 * S S = 5.000Kg/h MNaCl = SNaCl* S = 0,02* 5.000 = 100Kg/h

MH2O = SH2O* S = 0,48 * 5.000 = 2.400 Kg/h

Balanço de massa

SOLUCAOCálculo da massa de agua evaporadaBALANCOENTRADA(Kg/h) SAIDA (kg/h)NaOH = 2.500 2.500NaCl = 2.500 100H2O = 20.000 2.400

MH2O evaporada = MH2O(entra – sai) = 20.000 – 2.400

MH2O evaporada = 17.600Kg/h

Balanço de massa

SOLUCAOCálculo da massa de sal que precipitaBALANCOENTRADA(Kg/h) SAIDA (kg/h)NaOH = 2.500 2.500NaCl = 2.500 100H2O = 20.000 2.400

MNaCl precipita = MNaCl(entra – sai) = 2.500 – 100

MNaCl precipita = 2.400Kg/h

Balanço de massa

Se alimenta um evaporador de forma continua com 25 Ton/h de uma solucao que contem 10% de NaOH, 10% de NaCl e 80% de H2O. Durante a evaporacao se elimina agua e o sal se precipita na forma de cristais, que sedimentam. A solucao concentrada que sai do evaporador contem 50% de NaOH, 2% de NaCl e 48% de agua. Calcule a vazao massica (Kg/h):a) De solucao concentradab) De agua evaporadac) De sal que precipita

Balanço de massa

ES

Evap

P

Base de Cálculo: Tomar o NaOH como componente para a base de calculo, visto que não se precipita e sua massa não se modifica nas correntes de entrada e saida.Dados ENTRADA 25Ton/h SAIDA SENaOH = 10% SNaOH = 50%

ENaCl = 10% SNaCl = 2%

EH2O = 80% SH2O = 48%

Balanço de massaE

SP

Evap

SOLUCAO Base de Calculo E = 25.000 Kg/hBALANCO GLOBAL: E = S + P + Evap (1)BALANCO POR COMPONENTENaOH: 0,1E = 0,5 S (2)NaCl: 0,1E = 0,02 S + P (3)H2O: 0,8 E = 0,48 S + Evap (4)

a) Calculo da corrente de Saida S: (2)0,1* 25.000 = 0,5 * S S = 5.000 Kg/h

Balanço de massaE

SP

Evap


b) Calculo da massa de precipitado P: (3)0,1* 25.000 = 0,02 * S + P P = 2.500 – 0,02* 5.000 P = 2.400 Kg/h

Balanço de massaE

SP

Evap


c) Calculo da massa de agua evaporada Evap: (3)0,8* 25.000 = 0,48 * S + Evap Evap = 20.000 – 0,48* 5.000 = 17.600 Evap = 17.600 Kg/h

Balanço de massaE

SP

Evap

SOLUCAO Base de Calculo E = 25.000 Kg/hBALANCO GLOBAL: E = S + P + Evap (1)Confirmacao dos resultados (validando 1)E = 25.000S = 5.000P = 2.400Evap = 17.600E = S + P + Evap 25.000 = 5.000 + 2.400 + 17.600 (Kg/h)

Balanço de massaE

SP

Evap

IntroduçãoVamos analisar a queda de pressão para o escoamento de um fluido com viscosidade numa tubulação cilíndrica, retilínea, horizontal e cuja parede apresente rugosidade. Algumas variáveis devem ser consideradas.

71

Análise dimensional

72


O ideal seria a resolução analítica do problema para,através de uma lei física, relacionar a variável dependente ∆P, com as variáveis independentes, relacionadas com as características do tubo e do fluido

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Solução empírica

Que experimentos devem ser conduzidos para determinar a queda de pressão dentro do tubo?

De que depende a queda de pressão?

Que parâmetros são significativos para a resolução do problema?


Vamos especificar alguns parâmetros cujo senso comum nos leva a crer que variáveis são significativos:

Com relação à tubulação : O comprimento: L O diâmetro do tubo: D A variação média do raio interno do tubo: ε (altura média da rugosidade)

74


Vamos especificar alguns parâmetros cujo senso comum nos leva a crer que variáveis são significativos:

Com relação ao fluido: A viscosidade : μ A massa específica do fluido: ρ

Com relação ao escoamento: A velocidade média: V A queda de pressão: ∆P

75

IntroduçãoPelo menos 7 parâmetros estão envolvidos:Comprimento do tubo: LDiâmetro do tubo: DRugosidade do tubo: Velocidade do escoamento: vMassa específica do fluido: ρViscosidade do fluido: μQueda de pressão: ΔP

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∆P = f(L,D,V, ρ, μ, ε)7 variáveis

77


O uso da análise dimensional permite obter resultados significativos com pouco esforço.

Teorema de Buckingham (1867 – 1940)

78

Teorema dos Buckingham

O lorde do condado de Buckingham descobriu, no início do século XX, uma relação de enorme valor.

Como ele usou a letra grega para designar osgrupos adimensionais seu teorema ficou conhecido como o teorema dos .

79



Dado um problema físico que possa ser expresso pela relação:

q1 = f (q2, q3,..., qn)

Onde: q1: é o parâmetro dependente

q2, q3,..., qn: são os (n-1) parâmetros independentes

80


Matematicamente podemos expressar a expressão funcional equivalente por:

g = f (q1,q2, q3,..., qn) = 0

Onde: g: é uma função não especificada, diferente de f

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Contextualizando para o exemplo citado, podemos escrever:

g = f (∆P, x,D,V, ρ, μ, ε) = 0

82


O Teorema de Buckingham afirma que o investigador não precisa tomar em consideração cada uma das variáveis em separado, para obter uma expressão válida de uma lei física.

Pode-se reduzir o número de variáveis em uma quantidade igual ao número de dimensões em que se expressam estas variáveis.

83


Ou seja, os parâmetros podem ser agrupados em uma quantidade de razões adimensionais, dadas pela fórmula:

n – K

Onde:n: números de parâmetros do problema k: número mínimo de dimensões independentes necessárias para especificar as dimensões de todos os parâmetros 84


Pesquisando-se o conjunto de grandezas da Mecânica, observa-se a existência de somente 3 grandezas independentes (primárias), a partir das quais, podem ser relacionadas as demais grandezas (derivadas).

Na base MLT, tem-se as grandezas primárias: Massa, comprimento e tempo;

Na base FLT, tem-se as grandezas primárias: Força, comprimento e tempo;85

Teorema dos Pi BuckinghamPasso 1: Listagem dos parâmetros (n) envolvidosSe todos os parâmetros pertinentes não forem incluídos, uma relação pode ser obtida, mas não fornecerá a história completa. Se houver inclusão de parâmetros que não têm efeito sobre o fenômeno físico em estudo, o processo de análise dimensional mostrará que eles não entram na relação buscada.

ΔP = g(x, D, ρ, μ, ε , v)

G = (∆P,x,D, ρ, μ, ε,v) = 0 (n = 7 parâmetros)

86


Teorema dos Pi BuckinghamPasso 2: Escolha das dimensões básicas (k)

Selecione um conjunto (k) de dimensões primárias.

Por exemplo:MLT ou FLT (Em ambos os casos k = 3)

87


Teorema dos Pi Buckingham Passo 3: Expressão dos parâmetros em termos das

dimensões básicasExpresse todos os parâmetros em termos das dimensões básicas (MLT), G =(∆P,x,D, ρ, μ, ε,v) = 0 ∆P [M/LT2] x [L] D [L] ρ μ ε v88



Passos para determinação dos grupos :

Listar as dimensões de todos os parâmetros em termos das dimensões primárias: (MLT)

Variável D x ∆P V ε ρ μ

Dimensão L L ML-1 t -2 L t -1 L ML -3 ML-1 t -1

89

Teorema dos Pi de Buckingham

Passo 4: Determinação do número de termos Pi

n (Pi) = n – k = 4

90



Passo 5: Escolha das variáveis de referência

Escolha uma quantidade de variáveis de referência (r), que seja igual ao número de dimensões básicas. Estes parâmetros não podem ter as mesmas dimensões finais.

Ex.: (ρ,v, D ) r = k = 3

91


Teorema dos Pi BuckinghamOs 7 parâmetros envolvidos no cálculo da queda de pressão em um tubo horizontal podem ser classificados:Comprimento do tubo: xDiâmetro do tubo: DRugosidade do tubo: εMassa específica do fluido: ρViscosidade do fluido: μVelocidade do escoamento: vQueda de pressão: ΔP

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GEOMÉTRICOS(dimensões lineares)

FÍSICOS

CINEMÁTICOS


Passos para determinação dos grupos :

Selecionar da lista um nº de parâmetros a serem repetidos (r), igual ao nº de dimensões primárias (m), desde que sejam incluídas todas as dimensões primárias

m = r = 3 parâmetros a serem repetidos

Variável D x ∆P V ε ρ μ

Dimensão L L ML-1 t -2 L t -1 L ML -3 ML-1 t -1

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Passo 6: Construção dos termos PiEstabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros selecionados no Passo 5 com cada um dos outros parâmetros a fim de formar grupos adimensionais.

G = (∆P, x , ρ, v, D, μ, ε) = 0

1 = ρa Vb Dc ∆P 2 = ρd Ve Df x 3 = ρg Vh Di ε 4 = ρj Vk Dm μ94

Teorema dos Pi de BuckinghamPasso 7: Resolução dos sistemas de equações dos termos Resolva as equações dimensionais para obter os n-k grupos adimensionais. G = (∆P, x, ρ, v, D, μ, ε) = 0

95


π 1= ρ a v b D c ΔP

M 0 L 0 T 0 = (ML3)a

(LT )b (L) c ( MLT 2)

M : 0 = a + 1 ⇒ a = −1L : 0 = − 3 a + b + c − 1 ⇒ c = 0T : 0 = −b − 2 ⇒ b = − 2


Encontrando o grupo adimensional 1: 1 = ρa Vb Dc ∆P =

M: a + 1 = 0 a = - 1L: -3a + b + c – 1 = 0 c = 0T: - b + 2 = 0 b = - 2

1 = ρ-1 V-2 D0 ∆P

96

Teorema dos Pi de BuckinghamPasso 7: Resolução dos sistemas de equações dos termos PiAgora resolva as equações dimensionais para obter os outros n-k grupos adimensionais.

97


π 2= ρ d v e D f x π 2

=LD

π 3= ρ g v h D i ∈¿

¿π 3

= ∈ D

π 4= ρ j v k D m μ

π 4=

μρ v D

Teorema dos Pi de BuckinghamPasso 8: Verificando a adimensionalidade dos termos Pi

98


π 2=

xD

LL = 1

π 3= ∈ D π 1

=ΔPρ v 2

π 4=

μρ v D

Teorema dos Pi de BuckinghamDada uma relação entre n parâmetros, então os n

parâmetros podem ser agrupados em n-k razões independentes adimensionais, ou parâmetros que podem ser expressos na forma funcional por:

99


π 1= g (π 2 , π 3

, . . . , π n−k)

G = (π 1, π 2 , π 3, . . . , π n−k)= 0


100


π 1=

ΔPρ v 2 π 4

=μ

ρ v Dπ 3

= ∈ Dπ 2

=LD

π 1= g (π 2 , π 3

, . . . , π n−k)

ΔPρ v 2 = g( xD , e

D, μρ v D)

Passo 9: Encontrando a função dos termos


A forma da função deve ser determinada experimentalmente. Entretanto, em vez de realizar 1 milhão de experimentos, pode-se estabelecer a natureza da função a partir de 10 experimentos apenas.

101


ΔPρ v 2 = g(LD ,

D, μρ v D)


Somente o parâmetro precisa ser variado. E isto pode ser feito simplesmente pela variação da velocidade, por exemplo.

102


ΔPρ v 2 = g(LD ,

D, μρ v D)

π 4=

μρ v D


Encontrar a relação entre os termos Pi usando as dimensões F L T.

103


104


Grupos adimensionais

Existem várias centenas de grupos adimensionais de importância para a engenharia.

Seguindo a tradição, cada um desses grupos recebeu o nome de um cientista que pela primeira vez o utilizou.

Alguns são fundamentais para a mecânica dos fluidos. Nós hoje encontramos um deles.

105


Grupos adimensionais

Alguns são fundamentais para a mecânica dos fluidos. Nós hoje encontramos um deles. O número de Reynolds. (Osborne Reynolds, 1880)

Re=1π 4

=ρ v Dμ


Grupos adimensionais importantes para a MF

Com o passar dos tempos vários grupos adimensionais diferentes foram identificados. Seguindo uma tradição, cada um recebeu o nome do cientista que o utilizou pela primeira vez.Alguns ocorrem com muita frequencia que vão ser apresentados na lâmina a seguir.

106


Números adimensionais:

1880 – Número de Reynolds:

Re =

Parâmetro chave para determinar o regime de um escoamento. É a razão entre forças de inércia e forças viscosas.

Escoamentos com Re muito grandes são turbulentos. Aqueles em que as forças de inércia são pequenas

comparadas com as viscosas, são chamados escoamentos laminares10

7



Número de Euler:

Eu =

É a razão entre forças de pressão e forças de inércia. É conhecido como coeficiente de pressão. É utilizado no

estudo de fenômenos de cavitação.

108



Número de Froude:

Fr2 =

O número de Froude elevado ao quadrado pode ser interpretado como a razão entre forças de inércia e a gravidade.

É utilizado no estudo de escoamento em canais abertos, onde L (o comprimento característico é a profundidade da água). Número de Froude < 1, indicam escoamento subcrítico e > 1, escoamento supercrítico.10

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Exercício proposto 7.14 FOX 6ªed.Medições da altura de líquido a montante de uma obstrução colocada em um escoamento de canal aberto podem ser usadas para determinar a vazão em volume (Q). Admita que a vazão sobre um vertedor é uma função da altura a montante (h), da gravidade (g) e da largura do canal (b). Utilize a análise dimensional para determinar a dependência funcional de Q em relação às outras variáveis.

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Exercício proposto 7.17 FOX 6ªed. O tempo (t) para drenagem de óleo para fora de um recipiente de calibração depende da viscosidade (), da massa específica do fluido (), do diâmetro do orifício (D), e da gravidade (g). Utilize a análise dimensional para determinar a dependência funcional do tempo (t) em relação às outras variáveis.

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Exercício proposto 7.17 FOX 6ªed. Encontre um conjunto adequado de parâmetros adimensionais para organizar dados oriundos de uma experiência de laboratório, na qual um tanque é drenado através de um orifício a partir de um nível inicial de líquido (h0). O tempo (t) para esvaziar o tanque depende do seu diâmetro (D), do diâmetro do orifício (d), da aceleração da gravidade (g), da massa específica () e da viscosidade do fluido (). Quantos parâmetros adimensionais resultarão? Quantas variáveis de referência devem ser selecionadas? Explicite o parâmetro que contém a viscosidade.

Referências BROWN, George Granger. Operaciones basicas de la

Ingenieria Quimica. Editorial Marin. Barcelona: 1965 ÇENGEL, Yunus A.; CIMBALA, John M. Mecânica dos fluidos:

Fundamentos e aplicações. McGraw Hill do Brasil. 2007. FOUST, Alan S. ; WENZEL, Leonard A.; CLUMP, Curtis W.;

MAUS, Louis. Principios de Operaciones Unitarias. Companhia Editorial Continental. Mexico. 13ªed.

FOX, Robert W.; McDONALD, Alan T. Introdução à mecânica dos fluidos. Ed. LTC: Rio de Janeiro. 2009. 6ªed.

McCABE, Warren L; SMITH, Julian C.; PETER, Harriott, Operações basicas da Engenharia Quimica. McGraw Hill do Brasil. 5ed.

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Aula 2 balanco de massa

Engineering

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