AULA 3 - Construindo Modelos MatemáticosAULA 3 - Construindo Modelos Matemáticos

• Exemplo de Motivação - Problema de Mistura

• Solução Gráfica– Conjunto de Soluções Factíveis

– Plotando a Função Objetivo

– Achando uma solução ótima

• Soluções Ótimas Múltiplas

• Modelos Infactíveis

• Modelos Ilimitados

• Usando Indexação - Modelos Literais• Exercício de Modelagem - Reservatórios d’água

• Programas Lineares, Não-Lineares e Inteiros• Programas Inteiros - Seleção de Investimentos, Siderúrgica e Custo Fixo

A refinaria de petróleo Recap destila óleo cru proveniente de duas fontes, Arábia e Venezuela e produz três produtos: gasolina, querosene e lubrificantes. Os óleos têm diferentes composições químicas e fornecem diferentes quantidades de destilados por barril processado. Cada barril da Arábia dá 0,3 barril de gasolina, 0,4 de querosene e 0,2 de lubrificante. Para a Venezuela estas quantidades são respectivamente: 0,4, 0,2 e 0,3. Há 10% de resíduos. Os óleos diferem em custo e disponibilidade. A Recap pode comprar até 9000 barris da Arábia a $20 o barril e até 6000 barris da Venezuela a $15 o barril. Contratos da Recap com distribuidores exigem que ela produza 2000 barris por dia de gasolina, 1500 de querosene e 500 de lubrificantes. Como cumprir os contratos gastando o mínimo? (qual o mix de compra/refino dos óleos)

Exemplo de Motivação - Problema de MisturaExemplo de Motivação - Problema de Mistura

3-2

Construindo o Modelo de Mistura

Variáveis de decisão:

x1 := quantidade de barris refinados /dia vindos da Arábia (103)

x2 := quantidade de barris refinados /dia vindos da Venezuela (103)

Tipo das Variáveis de Decisão:

x1, x2 >= 0 (reais não-negativos)

Conjunto de Restrições Principais:

0,3 x1 + 0,4 x2 >= 2,0 (gasolina)

0,4 x1 + 0,2 x2 >= 1,5 (querosene)

0,2 x1 + 0,3 x2 >= 0,5 (lubrificantes)

x1 <= 9 (Arábia)

x2 <= 6 (Venezuela)

Função Objetivo: Minimizar 20x1 + 15 x2 (custo total) 3-3

Construindo o Modelo de Mistura

3-4

Modelo Matemático

Min Custo(x1, x2) = 20x1 + 15 x2 (custo total)

0,3 x1 + 0,4 x2 >= 2,0 (gasolina)

0,4 x1 + 0,2 x2 >= 1,5 (querosene)

0,2 x1 + 0,3 x2 >= 0,5 (lubrificantes)

x1 <= 9 (Arábia)

x2 <= 6 (Venezuela)

x1, x2 >= 0 (reais não-negativos)

Forma Geral de um Modelo Matemático

Min ou Max (funções objetivo)

sujeito a

(restrições principais)

(tipo das variáveis de decisão)

3-5

Exercício de modelagem

Problema: Construa o modelo matemático que determina o retângulo de área máxima cujo perímetro vale 80 metros.

Modelo:

l = largura do retângulo (m)

w = comprimento do retângulo (m)

Max lw

sujeito a 2l + 2w <= 80

l, w >= 0

3-6

Solução Gráfica

Conjunto de soluções factíveis - CSF - (de um modelo matemático)

Vamos desenhar o CSF do problema de mistura da Recap

3-7

É a coleção de todos os valores que as variáveis de decisão podem assumir, respeitando todas as restrições do modelo.

Solução Gráfica - Conjunto de Soluções Factíveis

x1, x2 >= 0 0,3 x1 + 0,4 x2 >= 2,0 (gasolina)

3-8

Solução Gráfica - Conjunto de Soluções Factíveis

3-9

CSF

Solução Gráfica - Plotando a Função Objetivo

3-10

Solução Gráfica - Achando uma solução ótima

Solução ótima = solução factível com melhor (max/mim) valor da função objetivo.

Graficamente, é um ponto factível situado na melhor curva de nível da função.

3-11

PAULO FRANÇA:

depois desse dar o exercício 1 de Ex.aula3.ppt

PAULO FRANÇA:

depois desse dar o exercício 1 de Ex.aula3.ppt

Solução Gráfica - Achando uma solução ótima

Max lw

sujeito a 2l + 2w <= 80

l, w >= 0

3-12

PAULO FRANÇA:

pedir para ser resolvido em aula

PAULO FRANÇA:

pedir para ser resolvido em aula

Soluções Ótimas Múltiplas

As soluções ótimas dos problemas Recap e do retângulo de área máxima são únicas. Porém, pode haver modelos com soluções ótimas múltiplas.

Suponha que no problema Recap, a função objetivo fosse trocada para

Min 20 x1 + 10 x2

3-13

Modelos Infactíveis

Um modelo pode apresentar CSF nulo. Diz-se que o modelo é infactível.

No problema da Recap, suponha que ambas as disponibilidades sejam reduzidas para 2000 barris/dia. O CSF é nulo, pois os contratos não podem ser atendidos.

Min 20x1 + 15 x2

0,3 x1 + 0,4 x2 >= 2,0 (gasolina)0,4 x1 + 0,2 x2 >= 1,5 (querosene)0,2 x1 + 0,3 x2 >= 0,5 (lubrificantes) x1 <= 2 (Arábia)

x2 <= 2 (Venezuela) x1, x2 >= 0 (reais não-negativos)

3-14

Modelos Ilimitados

Modelos eventualmente podem apresentar solução ótima ilimitada.

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Min -2x1 + 15 x2

0,3 x1 + 0,4 x2 >= 2,0 0,4 x1 + 0,2 x2 >= 1,5 0,2 x1 + 0,3 x2 >= 0,5

x2 <= 6 x1, x2 >= 0

PAULO FRANÇA:

depois desse dar o exercício 2 do Ex.aula3.ppt

PAULO FRANÇA:

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