Aula c.bancario

1 CURSO ON-LINE – MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO - SENADO

PROFESSOR: GUILHERME NEVES

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Aula 2 – Senado Federal RAZÃO E PROPORÇÃO ................................................................................................................... 2

GRANDEZAS DIRETAMENTE/INVERSAMENTE PROPORCIONAIS ................................................. 22

REGRA DE TRÊS............................................................................................................................ 25

Conjuntos Numéricos .................................................................................................................. 34

Conjunto dos Números Naturais ................................................................................................. 35

Operações com números naturais .............................................................................................. 36

Conjunto dos números inteiros ................................................................................................... 43

Regras dos sinais com números inteiros ..................................................................................... 45

Conjunto dos números racionais ................................................................................................ 47

Conjunto dos números irracionais .............................................................................................. 54

Números reais ............................................................................................................................. 55

Reta real ...................................................................................................................................... 55

Potências ..................................................................................................................................... 60

Radicais ........................................................................................................................................ 66

Comparação de radicais .............................................................................................................. 72

Progressão Geométrica ........................................................................................................... 73

Cálculo da razão ....................................................................................................................... 74

Termo Geral .............................................................................................................................. 74

Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita .................................................. 75

Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita ............................................... 75

Relação das questões comentadas ............................................................................................. 80

Gabaritos ..................................................................................................................................... 97




RAZÃO E PROPORÇÃO

Razão de um número a para um número b, sendo b diferente de zero, é o quociente de a por b.

Denotamos por a : b = a / b a razão entre os números a e b. O número a é chamado de antecedente e o número b de consequente.

O conceito de razão nos permite fazer comparações de grandeza entre dois números.

Há, por exemplo, um tipo especial de razão: a escala.

A escala é a relação entre as distâncias representadas num mapa e as correspondentes distâncias reais. Escala é a razão entre a medida no desenho e o correspondente na medida real.

real Medidadesenho do Medida Escala =

Proporção é a igualdade entre duas razões. A proporção entre dc e

ba é a

igualdade: dc

ba= . Podemos escrever

/ /

Com a notação da esquerda, dizemos que a e c são os antecedentes; b e d são os conseqüentes.

Com a notação da direita, dizemos que a e d são os extremos, e que b e c são os meios.

Em toda proporção, é válida a seguinte propriedade (chamada de Propriedade Fundamental das Proporções): o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

· ·

Por exemplo,

46

812 6 · 8 4 · 12 48

É importantíssima a seguinte propriedade: A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para o seu consequente.




Por exemplo,

46

812

4 86 12

1218

Ou seja, podemos “prolongar” toda proporção, somando os numeradores das frações e somando os denominadores. Utilizaremos diversas vezes esta propriedade na resolução de questões envolvendo divisão proporcional.

Isso é o básico que devemos saber para resolver questões sobre razões, proporções e divisão proporcional. Ao longo da resolução das questões, colocarei mais algumas propriedades e definições.

01. (Pref. de Barueri 2006/CETRO) A definição de densidade demográfica é dada pela razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. Pedro fez uma pesquisa, em sua cidade, para calcular qual seria a densidade demográfica da região onde mora. Ele conseguiu, junto à prefeitura, as seguintes informações: a área da cidade era de 2.651 km2 e a quantidade de pessoas que residiam na localidade era de 151.107 habitantes. De posse dessas informações, ele concluiu que a densidade demográfica de sua cidade é de:

(A) 57 habitantes / km2

(B) 58 habitantes / km2

(C) 59 habitantes / km2

(D) 15 habitantes / km2

(E) 155 habitantes / km2

Resolução

De acordo com o enunciado,

á ú

á ã151.107

2.651

á 57 /

Letra A

02. (SEMAE de Piracicaba 2006/CETRO) Em uma fábrica trabalham 216 funcionários, sendo que 135 são do sexo masculino e 81 pertencem ao sexo




feminino. Calcule a razão entre o número de funcionários do sexo masculino e o número do sexo feminino.

(A) 4/3

(B) 3/5

(C) 3/7

(D) 2/5

(E) 5/3

Resolução

Para calcular a razão entre o número de funcionários do sexo masculino e o número do sexo feminino basta dividir o número de homens pelo número de mulheres.

13581

4527

159

53

A fração 135/81 foi simplificada por 3, por 3, e por 3. Se você já tivesse percebido que 135 e 81 são divisíveis por 27, poderia ter simplificado direto.

Letra E

03. (AFC 2002/ESAF) Os números A, B e C são inteiros positivos tais que A < B < C. Se B é a média aritmética simples entre A e C, então necessariamente a razão (B - A) / (C - B) é igual a:

a) A / A

b) A / B

c) A / C

d) B / C

e) - (B/B)

Resolução

Se B é a média aritmética entre A e C, podemos escrever:




2 2 2

Queremos calcular o valor de (B - A) / (C - B):

2 21

Analisando as alternativas, temos que

1

Portanto, a resposta é a letra A.

04. (SEMAE de Piracicaba 2006/CETRO) A razão entre o comprimento e a largura de um retângulo é 3/2. Sabendo que a largura é 10 cm, qual é a área desse retângulo em centímetros quadrados?

(A) 120

(B) 150

(C) 80

(D) 180

(E) 340

Resolução

Algebricamente, a frase “A razão entre o comprimento e a largura de um retângulo é 3/2” pode ser escrita como

32

Como a largura é igual a 10 cm, temos que

1032

Lembrando que o produto dos meios é igual a produto dos extremos,

2 · 3 · 10

2 · 30

15

A área do retângulo é o produto do comprimento pela largura, assim:




· 15 · 10 150

Letra B

05. (Pref. Rio Claro 2006/CETRO) Em uma proporção contínua, a terceira proporcional dos números 1 e 5 é igual a

(A) 15.

(B) 20.

(C) 25.

(D) 30.

(E) 35.

Resolução

Uma proporção é contínua quando os meios são iguais. Ou seja, é uma proporção do tipo

E o número c é chamado de terceira proporcional dos números a e b.

Assim,

15

5

1 · 5 · 5

25

Portanto, 25 é a terceira proporcional dos números 1 e 5.

Letra C

O momento é oportuno para lembrar que na proporção

O número d é a quarta proporcional dos números a, b, c.

06. (EBDA 2006/CETRO) A razão entre dois segmentos de reta x e y é 2/5, então a razão entre o quíntuplo do segmento x e a metade do segmento y é igual a:




(A) 1/2

(B) 1/4

(C) 4

(D) 2

(E) 4/5

Resolução

Pelo enunciado, podemos escrever que

25

Queremos calcular a seguinte razão:

5

2

Lembre-se que para dividir frações, repetimos a fração do numerador, invertemos a fração do denominador e multiplicamos. Dessa forma,

5

25 ·

210 · 10 ·

25

205 4

Letra C

07. (Câmara Municipal de Araçatuba 2008/CETRO) Um carro faz, na cidade, 14 Km por litro de combustível. No tanque do carro cabem, ao todo, 40 litros de combustível, portanto, na cidade, ele consegue andar, com um tanque cheio,

(A) 360 Km.

(B) 420 Km.

(C) 460 Km.

(D) 560 Km.

(E) 600 Km.

Resolução

A razão entre a quantidade de quilômetros rodados e a quantidade de litros de combustível é constante e igual a 14 quilômetros por um litro.

Assim,




40

14 1

Sabemos que em toda proporção o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Dessa forma,

· 1 14 · 40

560

Letra D

08. (Pref. Taquarivaí 2006/CETRO) Na proporção x/y = 2/5. Sabendo-se que x+y=49, o valor de x e y será de:

(A) x = 20; y = 29

(B) x = 14; y = 35

(C) x = 29; y = 20

(D) x = 35; y = 14

(E) x = 15; y = 34

Resolução

25

Dica: É preferível que você coloque as incógnitas no numerador e os números no denominador. Você poderá fazendo isso trocando os meios de lugar, ou trocando os extremos. Por exemplo, podemos trocar o y com o 2. Essa troca é válida porque o produto dos meios é igual ao produto dos extremos, e a ordem dos fatores não altera o produto.

Assim, a mesma proporção pode ser escrita como

2 5

Vamos agora utilizar uma propriedade que mencionei no início da aula.

Podemos “prolongar” toda proporção, somando os numeradores das frações e somando os denominadores.




2 5 2 5497 7

Dessa forma,

2 7 14 5 7 35

Letra B

09. (CRP 4ª 2006/CETRO) Considere dois números x e y que sejam diretamente proporcionais a 8 e 3 e cuja diferença entre eles seja 60. Determine o valor de ( x + y ). (A) 92 (B) 123 (C) 132 (D) 154 (E) 166

Resolução

Se os números x e y são diretamente proporcionais a 8 e 3, podemos escrever

8 3

E da mesma forma que podemos “prolongar” a proporção somando os numeradores e os denominadores, podemos também subtrair. Assim,

8 3 8 3605 12

8 12 96 3 12 36

Portanto,

96 36 132

Letra C

10. (Pref. Pinheiral 2006/CETRO) Em uma festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes, é de 3/2. A porcentagem de rapazes na festa é:

(A) 25%

(B) 30%

(C) 33%

(D) 38%




(E) 40%

Resolução

Se a razão entre o número de moças e o de rapazes é 3/2, então

32

Falamos anteriormente que é preferível que você coloque as incógnitas no numerador e os números no denominador. Você poderá fazendo isso trocando os meios de lugar, ou trocando os extremos.

3 2

Queremos saber o percentual de rapazes. Podemos supor que o total de pessoas é igual a 100. Se o total de pessoas (m+r) for igual a 100, então quantos serão rapazes?

3 2 3 2100

5 20

2 20 40

Ou seja, se fossem 100 pessoas no total, 40 seriam rapazes. Portanto, o percentual de rapazes é 40%.

Letra E

11. (PRODESP 2003/CETRO) Se a razão entre dois números é 5 e a soma entre eles é 30, pode-se afirmar que a diferença entre eles é

(A) 10

(B) 12

(C) 15

(D) 20

(E) 25

Resolução

Sejam x e y os números.




5 5

Como a soma deles é 30,

30

5 30 6 30 5

Como 5 , ã 5 · 5 25

A diferença entre eles é 25 – 5 = 20.

Letra D

12. (Pref. Estância Turística de Embu 2006/CETRO) Paulo tem três filhos, Rodrigo de 15 anos, Ricardo de 20 anos e Renato de 25 anos. Paulo pretende dividir R$ 3.000,00 para os três filhos em valores proporcionais as suas idades. É correto afirmar que o valor que Rodrigo deve receber é:

(A) R$ 1.500,00

(B) R$ 1.250,00

(C) R$ 1.000,00

(D) R$ 750,00

(E) R$ 500,00

Resolução

Queremos dividir R$ 3.000,00 em três partes diretamente proporcionais a 15, 20 e 25 anos, que são as idades de Rodrigo, Ricardo e Renato, respectivamente.

Assim,

15 20 25

Obviamente 3.000.

Assim, somando os numeradores e somando os denominadores, podemos prolongar a proporção.

15 20 25 15 20 253.000

60 50

Temos então:




15 50 15 · 50 750

Letra D

13. (CAERN 2010/FGV) Dividindo-se 11.700 em partes proporcionais a 1, 3 e 5, a diferença entre a maior das partes e a menor delas é a) 6.500. b) 5.500. c) 5.800. d) 5.200. e) 5.000 Resolução

Devemos dividir 11.700 em partes diretamente proporcionais a 1,3 e 5 dias. Assim, temos a seguinte proporção:

1 3 5

Obviamente, a soma das três partes (a+b+c) é igual a 11.7000. Dessa forma,

1 3 5 1 3 511.700

9 1.300

Assim:

1 · 1.300 1.300

3 · 1.300 3.900

5 · 1.300 6.500

A diferença entre a maior das partes e a menor delas é 6.500 1.300 5.200. Letra D 14. (Pref. de Mairinque 2009/CETRO) Três técnicos receberam, ao todo, por um serviço R$3.540,00. Um deles trabalhou 2 dias, o outro 4 dias e o outro 6 dias. Sabendo-se que a divisão do valor é proporcional ao tempo que cada um trabalhou, o técnico que trabalhou mais dias recebeu




(A) R$590,00.

(B) R$680,00.

(C) R$1.180,00.

(D) R$1.770,00.

(E) R$2.420,00.

Resolução

Devemos dividir R$ 3.540,00 em partes diretamente proporcionais a 2,4 e 6 dias. Assim, temos a seguinte proporção:

2 4 6

Obviamente, a soma das três partes (a+b+c) é igual a R$ 3.540,00. Dessa forma,

2 4 6 2 4 63.540

12 295

O técnico que mais trabalhou (6 dias) recebeu

6 295 6 · 295 1.770

Letra D

15. (TCM SP 2006/CETRO) Uma gratificação de R$ 5.280,00 será dividida entre três funcionários de uma empresa na razão direta do número de filhos e na razão inversa das idades de cada um. André tem 30 anos e possui 2 filhos; Bruno com 36 anos tem 3 filhos e Carlos tem 48 anos e 6 filhos. É correto que o mais velho receberá

(A) R$1 200,00.

(B) R$1 280,00.

(C) R$1 600,00.

(D) R$2 200,00.

(E) R$2 400,00.

Resolução




Temos agora uma divisão diretamente proporcional ao número de filhos e inversamente proporcional às idades.

Em divisões desse tipo, a proporção tomará a seguinte forma:

No nosso exemplo, a divisão será diretamente proporcional a 2, 3 e 6 (ficam no numerador) e será inversamente proporcional a 30, 36 e 48 (ficam no denominador).

230

336

648

Podemos simplificar as frações:

115

112

18

Podemos facilitar nossas vidas adotando o seguinte procedimento:

Sempre que numa proporção houver frações nos denominadores, devemos calcular o m.m.c dos denominadores das frações.

No caso, o m.m.c. entre 8,12 e 15 é igual a 120. Devemos agora dividir 120 por 15 e multiplicar por 1. Devemos dividir 120 por 12 e multiplicar por 1. Devemos dividir 120 por 8 e multiplicar por 1.

8 10 15

Agora temos uma proporção muito parecida com às dos quesitos anteriores. Devemos somar os numeradores e os denominadores.

8 10 15 8 10 155.280

33 160

O mais velho, Carlos, receberá:

15 160 15 · 160 2.400

Letra E

16. (FCC-- TRF-1a-Região 2001) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão




direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou é

(A) 48

(B) 50

(C) 52

(D) 54

(E) 56

Resolução

Temos novamente uma divisão diretamente proporcional às idades e divisão inversamente proporcional aos tempos de serviços.

A proporção terá a seguinte forma:

27 4293

a b=

O m.m.c entre 3 e 9 é igual a 9. Para facilitar nossas vidas, devemos dividir 9 por 3 e multiplicar por 27, resultando 81. Devemos dividir 9 por 9 e multiplicar por 42, resultando 42.

164 481 42 81 42 123 3a b a b+= = = =

+

481 1083442 563

108 56 52

a

b

a b

= ⋅ =

= ⋅ =

− = − =

Letra C




17. (Vestibular FGV 2003) Em uma sala de aula, a razão entre o número de homens e o de mulheres é 3/4. Seja N o número total de pessoas (número de homens mais o de mulheres). Um possível valor para N é: A) 46 B) 47 C) 48 D) 49 E) 50

Resolução

A razão entre o número de homens e o de mulheres é 3/4, logo:

34 3 4 3 4 7

Portanto, n é um número divisível por 7. Dentre as alternativas, o único número divisível por 7 é 49.

Letra D

18. (ESAF) Ao dividir a quantia de R$ 10.000,00 em duas partes inversamente proporcionais a 2 e 3, nessa ordem, a primeira e a segunda parte são, respectivamente:

a) R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00

b) R$ 6.000,00 e R$ 4.000,00

c) R$ 5.000,00 e R$ 5.000,00

d) R$ 8.000,00 e R$ 2.000,00

e) R$ 2.000,00 e R$ 8.000,00

Resolução

Quando a divisão for inversamente proporcional, a proporção seguirá a seguinte forma:

Temos então que:

12

13




O m.m.c. entre 2 e 3 é 6. Assim, devemos dividir 6 por 2 e multiplicar por 1 (obtemos 3). Dividimos 6 por 3 e multiplicamos por 1 (obtemos 2).

3 2 3 210.000

5 2.000

Assim,

3 2.000 6.000 2 2.000 4.000

Letra B

19. (AFC/CGU 2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2:3:4. O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a:

a) 40°

b) 70°

c) 75°

d) 80°

e) 90°

Resolução

Sejam a,b,c os ângulos do triângulos. Veremos na aula de geometria que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º. Portanto, 180 .

2 3 4 2 3 4180

9 20

O maior ângulo é c.

4 20 80

Letra D

20. (SUSEP 2010/ESAF) Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires entre seus três filhos, na razão direta da quantidade de filhos que cada um tem e na razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do filho mais velho é duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filho do meio é três vezes a renda do mais novo, e que, além disso, o filho mais velho tem três filhos, o filho do meio tem dois filhos e o filho mais novo tem dois filhos, quantos alqueires receberá o filho do meio?




a) 80

b) 100

c) 120

d) 160

e) 180

Resolução

Digamos que a renda do filho mais novo seja igual a 1. Portanto a renda do filho mais velho será igual a 2 e a renda do filho do meio será igual a 3.

Temos a seguinte proporção:

O mínimo múltiplo comum entre 2, 3 e 1 é igual a 6. Podemos desenvolver a proporção da seguinte maneira: dividimos pelo denominador e multiplicamos pelo numerador (com as frações que se encontram no denominador). Por exemplo, olhe para a primeira fração: 3/2. Dividimos 6 (m.m.c.) por 2 e multiplicamos por 3. Obtemos o número 9. A segunda fração: 6 dividido por 3, vezes 2: obtemos o número 4. Finalmente a última fração: 6 dividido por 1, vezes 2: obtemos o número 12. A proporção ficará:

Temos uma divisão diretamente proporcional aos números 9, 4 e 12.

Assim, o filho do meio receberá 4 x 20 = 80 alqueires.

Letra A

21. (TJPA 2006/CESPE-UnB)




O mapa do estado do Pará ilustrado acima está desenhado na escala 1:17.000.000, ou seja, uma distância de 1 cm no mapa corresponde à distância real, em linha reta, de 17 milhões de centímetros. Ao medir, com a régua, a distância no mapa entre Jacareacanga e Belém, um estudante encontrou 6,7 cm. Com base apenas nessas informações, é correto o estudante concluir que a distância real, em linha reta, entre essas duas cidades é

A) inferior a 1.000 km.

B) superior a 1.000 km e inferior a 1.080 km.

C) superior a 1.080 km e inferior a 1.150 km.

D) superior a 1.150 km.

Resolução

A escala de um mapa é, por definição:

A escala do mapa é de 1: 17.000.000 e a medida encontrada no desenho entre as duas cidades é de 6,7 cm.

117.000.000




Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:

17.000.000 ·

17.000.000 · 6,7

113.900.000

Temos os seguintes múltiplos e submúltiplos do metro.

Múltiplos: Decâmetro (dam), hectômetro (hm) e quilômetro (km).

Submúltiplos: Decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).

km hm dam m dm cm mm

Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10 a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda devemos dividir por 10 a cada passagem.

Como queremos expressar 113.900.000 cm em quilômetros, devemos dividir esta medida por 100.000 (5 casas correspondem a 5 zeros).

113.900.000 113.900.000

100.000 1.139


Letra C

22. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Alexandre, Jaime e Vítor são empregados de uma empresa e recebem, respectivamente, salários que são diretamente proporcionais aos números 5, 7 e 9. A soma dos salários desses 3 empregados corresponde a R$ 4.200,00. Nessa situação, após efetuar os cálculos, conclui-se corretamente que

A) a soma do salário de Alexandre com o de Vítor é igual ao dobro do salário de Jaime.

B) Alexandre recebe salário superior a R$ 1.200,00.

C) o salário de Jaime é maior que R$ 1.600,00.

D) o salário de Vítor é 90% maior do que o de Alexandre.

Resolução




Digamos que os salários de Alexandre, Jaime e Vítor são, respectivamente, iguais a , .

Como esses valores são diretamente proporcionais a 5,7 e 9. Podemos escrever a seguinte proporção:

5 7 9

Sabemos também que a soma dos salários dos 3 empregados é igual a R$ 4.200,00. Prolongaremos a proporção somando os antecedentes e somando os consequentes.

5 7 9 5 7 94.200

21 200

Assim:

5 · 200 1.000

7 · 200 1.400

9 · 200 1.800

Vejamos cada uma das alternativas de per si.

A) a soma do salário de Alexandre com o de Vítor é igual ao dobro do salário de Jaime. (VERDADEIRO)

1.000 1.800 2.800 2

B) Alexandre recebe salário superior a R$ 1.200,00. (FALSO)

1.000 1.200


1.400 1.600 D) o salário de Vítor é 90% maior do que o de Alexandre. (FALSO).

O salário de Vítor é 80% maior do que o de Alexandre

Letra A

23. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Antônio era viúvo e tinha três filhos: um com 13 anos, outro com 14 anos e, o mais velho, com 18 anos. Um dia, Antônio chamou seus filhos e disse que tinha feito seu testamento deixando para eles a quantia que tinha acumulado na caderneta de poupança.




“Quando eu morrer”, disse ele, “o montante deverá ser dividido em partes diretamente proporcionais às idades de vocês no dia de minha morte”.

Antônio morreu cinco anos depois desse dia e, na caderneta de poupança, havia exatos R$ 450.000,00. A quantia que o filho mais velho recebeu foi:

a) R$ 142.500,00

b) R$ 154.000,00

c) R$ 165.500,00

d) R$ 168.000,00

e) R$ 172.500,00

Resolução

Cinco anos depois da realização do testamento os filhos têm 18, 19 e 23 anos. Devemos, portanto, dividir R$ 450.000,00 em partes diretamente proporcionais a 18, 19 e 23. Temos a seguinte proporção:

18 19 23

Obviamente 450.000.

Assim, somando os numeradores e somando os denominadores, podemos prolongar a proporção.

18 19 23 18 19 23450.000

60 7.500

O mais velho recebeu 23 7.500 172.500 .

Letra E

GRANDEZAS DIRETAMENTE/INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas sequências de números são ditas diretamente proporcionais se o quociente entre os elementos correspondentes for constante.

Ou seja, as sequências ( , , … , e ( , , … , são diretamente proporcionais se




O número k é a chamada constante de proporcionalidade.

Duas sequências de números são ditas inversamente proporcionais se o produto entre os elementos correspondentes for constante.

Ou seja, as sequências ( , , … , e ( , , … , são inversamente proporcionais se

· · ·

O número k é a chamada constante de proporcionalidade.

24. (AFC-STN 2000/ESAF) Em um processo de fabricação, o custo total é inversamente proporcional ao quadrado das quantidades produzidas. Quando são produzidas 5 unidades, o custo total é igual a 225. Assim, quando forem produzidas 12 unidades, o custo total será igual a:

a) 625/25

b) 625/24

c) 625/16

d) 625/15

e) 625/12

Resolução

Chamemos a grandeza custo de C e a grandeza quantidade produzida de Q. Sabemos que o custo total é inversamente proporcional ao quadrado das quantidades produzidas.

Quando duas grandezas são inversamente proporcionais, o produto entre os valores correspondentes é constante. Assim,

· ·

225 · 5 · 12

225 · 25144

Podemos simplificar 225 e 144 por 9.

25 · 2516

62516




Letra C

25. (Vestibular FGV 2002) Uma variável y é inversamente proporcional ao quadrado de outra variável x. Para x = 3, y vale 15. Então, se x = 4, y deverá valer:

a) 1/16

b) 15/16

c) 45/16

d) 135/16

e) 625/16

Resolução

Grandezas inversamente proporcionais variam a produto constante.

· ·

15 · 3 · 4

135 16 ·

13516

Letra D

26. (FNDE 2007/FGV) A grandeza é diretamente proporcional às grandezas e e inversamente proporcional à grandeza . Quando 20, 12 e 30, o valor de é 42. Então, quando os valores de , e forem respectivamente 25, 8 e 70, o valor de será: a) 15 b) 21 c) 30 d) 56 e) 35 Resolução Grandezas diretamente proporcionais variam a quociente constante e grandezas inversamente proporcionais variam a produto constante. Portanto:




··

··

Vamos substituir os valores:

42 · 3020 · 12

· 7025 · 8

1.260240

· 70200

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, portanto:

240 · · 70 1.260 · 200 Assim,

1.260 · 200240 · 70 15

Letra A

REGRA DE TRÊS

Chama-se “Regra de Três” a certos problemas nos quais, sendo dados valores de várias grandezas, sempre em número ímpar de, no mínimo três, propôs-se determinar o valor de uma, e somente uma grandeza desconhecida.

Lembremos que para resolver questões de Regra de Três, devemos construir uma tabela agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência. Em seguida devemos determinar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais. O último passo é montar a proporção.

27. (Câmara Itapeva 2006/CETRO) Uma torneira aberta completamente enche um recipiente de 40 litros em 33 segundos, em quanto tempo esta mesma torneira, aberta completamente, encherá um reservatório de 1.240 litros?

(A) 13minutos e 15 segundos

(B) 14 minutos e 10 segundos

(C) 10 minutos e 14 segundos

(D) 20 minutos

(E) 17 minutos e 3 segundos




Resolução

Litros Segundos 40 33

1.240 x

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

Aumentando a quantidade de litros do reservatório, o tempo para enchê-lo também aumentará. Portanto as grandezas são diretamente proporcionais. Colocamos uma seta no mesmo sentido.

Litros Segundos 40 33

1.240 x

401.240

33

40 · 33 · 1.240

33 · 1.24040 1.023 .

Dividindo por 60 (para passar para minutos), 1.023 segundos = 17 minutos e 3 segundos.

Letra E

28. (FNDE 2007/FGV) Uma fábrica de roupas recebeu uma encomenda para confeccionar uma grande quantidade de uniformes. Designou então 15 costureiras (todas com a mesma capacidade de trabalho) para realizar a tarefa, e o trabalho ficou pronto em 12 dias. Se tivesse designado 20 costureiras, o trabalho seria realizado em: a) 10 dias b) 9 dias c) 8 dias d) 15 dias e) 16 dias Resolução Vamos montar uma tabela com os dados.




Costureiras Dias 15 12

20 x

Aumentando a quantidade de costureiras, o número de dias diminui. Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais.

Costureiras Dias 15 12

20 x

Vamos montar a proporção. Como as grandezas são inversamente proporcionais, devemos inverter a coluna das costureiras.

12 2015

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

20 · 12 · 15

20 180

9 Letra B 29. (CAERN 2010/FGV) Cinco máquinas com a mesma capacidade de trabalho enchem 30 garrafas de 250 mL em 12 minutos. Três dessas máquinas serão utilizadas para encher 15 garrafas de 500 mL. Para realizar essa tarefa, serão necessários a) 18 minutos. b) 24 minutos. c) 20 minutos. d) 15 minutos. e) 30 minutos. Resolução Vamos montar uma tabela com os dados do problema.

Máquinas Garrafas mL Minutos

5 30 250 12




3 15 500 x

Antes de analisar as grandezas, vamos simplificar as colunas. A primeira coluna pode ser simplificada por 15 e a terceira coluna pode ser simplificada por 250.


5 2 1 12

3 1 2 x

Diminuindo a quantidade de máquinas, serão gastos mais minutos. Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. Diminuindo a quantidade de garrafas, diminuirá a quantidade de minutos necessários. As grandezas são diretamente proporcionais. Aumentando a capacidade de cada garrafa, serão gastos mais minutos. As grandezas são diretamente proporcionais.


5 2 1 12

3 1 2 x

A proporção ficará: 12 3

5 ·21 ·

12

As duas últimas frações são canceladas.

12 35

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

3 12 · 5

3 60

20 Letra C 30. (MINC 2006/FGV) Trabalhando 8 horas por dia, 5 homens constroem um galpão em 6 dias. Em quantos dias 4 homens, trabalhando 6 horas por dia, construiriam o mesmo galpão? (A) 8 (B) 9 (C) 10




(D) 12 (E) 15 Resolução Vamos montar uma tabela com os dados do problema.

Horas por dia Homens Dias

8 5 6

6 4 x

Vejamos: Diminuindo a quantidade de horas por dia, então aumentaremos a quantidade de dias. Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. Diminuindo a quantidade de homens, serão necessários mais dias. Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais.

Horas por dia Homens Dias

8 5 6

6 4 x

A proporção ficará:

6 68 ·

45

6 24

40

O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, portanto:

24 6 · 40

24 240

10 Letra C 31. (FCC) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12h. Outra pessoa y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é:

a) 4




b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

Resolução

Digamos que a eficiência de x tenha valor numérico igual a 100. Portanto, a eficiência de y será 150.

Eficiência Horas

100 12 150 x

Observe que, porque y é mais eficiente do que x, y gastará menos horas do que x. Portanto, as grandezas são inversamente proporcionais. Colocaremos uma seta para cima.

Eficiência Horas

100 12 150 x

Na montagem da proporção, deveremos inverter a coluna da eficiência.

150100

12

150 1.200

8 .

Letra E

32. (Câmara Itapeva 2006/CETRO) Uma fábrica de motocicletas demora 10 dias de trabalho, numa jornada de 9 horas por dia, para produzir 250 motocicletas. Quantos dias serão necessários para produzir 300 motocicletas, trabalhando 12 horas por dia?




(A) 12 dias

(B) 10 dias

(C) 15 dias

(D) 9 dias

(E) 6 dias

Resolução

Dias Horas por dia Motocicletas 10 9 250 x 12 300

Antes de começar a resolução, podemos simplificar os números que estão na mesma coluna. Podemos simplificar 9 e 12 por 3. Podemos simplificar 250 e 300 por 50.


Aumentando a quantidade de horas trabalhadas por dia, a quantidade de dias diminuirá (seta para cima, pois as grandezas são inversamente proporcionais). Aumentando o número de motocicletas a serem produzidas, o número de dias aumentará (seta para baixo, pois as grandezas são diretamente proporcionais).


A proporção ficará:

10·

56

10 2018

20 180 9 .

Letra D




33. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Considere que uma equipe formada por 5 empregados cataloga 360 livros em 2 horas. Nesse caso, o número de livros a mais que poderão ser catalogados por uma equipe formada por 7 empregados que trabalhem durante 2 horas, com a mesma eficiência da equipe anterior, é igual a

A) 118.

B) 124.

C) 138.

D) 144.

Resolução

Vamos resumir os dados da questão em uma tabela.

Empregados Livros Horas 5 360 2 7 x 2

Ora, já que a quantidade de horas nas duas situações é a mesma, podemos concluir que esta não vai influenciar no resultado.

Empregados Livros 5 360 7 x

Aumentando a quantidade de empregados, a quantidade de livros catalogados também aumentará (as grandezas são diretamente proporcionais).

57

360

5 · 7 · 360

7 · 3605 504

A questão pergunta quantos livros a mais poderão ser catalogados:

504 360 144

Letra D

34. (TJBA 2003/CESPE-UnB) Considerando que os servidores de uma repartição pública sejam igualmente eficientes, julgue os itens que se seguem.




Se 7 deles analisam 42 processos em um dia, então 5 servidores analisarão, em um dia, menos de 35 processos.

Resolução

Servidores Processos em um dia 7 42 5 x

Diminuindo a quantidade de servidores, a quantidade de processos analisados em um dia também diminuirá. Desta forma, as grandezas são diretamente proporcionais.

75

42

7 5 · 42

7 210

30

Poderíamos ter pensado da seguinte maneira:

Se 7 deles analisam 42 processos, então 1 servidor analisa 6 processos (42/7=6). Ora, se 1 servidor analisa 6 processos, então 5 servidores analisam 30 processos (5 x 6 = 30).

O item está certo.

35. Se 20 servidores, trabalhando 4 horas por dia, levam 6 dias para concluir determinada tarefa, então serão necessários menos de 6 servidores para completarem, em 12 dias, a mesma tarefa, trabalhando 8 horas por dia. Resolução

Servidores Horas por dia Dias 20 4 6 x 8 12

Podemos simplificar as colunas. A segunda coluna é simplificável por 4 e a terceira coluna é simplificável por 6.

Servidores Horas por dia Dias

20 1 1




x 2 2

Aumentando a quantidade de horas trabalhadas (aumentando a carga horária), a quantidade de servidores pode diminuir. As grandezas são inversamente proporcionais.


20 1 1 x 2 2

Aumento o prazo, ou seja, aumentando a quantidade de dias, a quantidade de servidores pode diminuir. As grandezas são inversamente proporcionais.


20 1 1 x 2 2

20 21 ·

21

204

4 20 5

O item está certo.

Conjuntos Numéricos

Não podemos estudar Matemática sem falar sobre números. O engraçado é que definir o que é um número está fora do escopo deste curso. Para falar a verdade, é bem complicado definir o que são números...

O professor Giuseppe Peano (1858-1932) era um matemático notável.

Na introdução de seu trabalho intitulado Sul concetto de numero (1891), escreveu: Uma criança, desde tenra idade, usa as palavras um, dois, três, etc., posteriormente usa a palavra número; somente muito mais tarde a palavra agregado aparece em seu vocabulário. E como a filologia nos ensina, o desenvolvimento dessas palavras ocorre na mesma ordem nas línguas indo-européias. Portanto, do ponto de vista prático, a questão me parece resolvida;




ou seja, não há vantagem, no ensino, definir número. Esta ideia é muito clara para os alunos e qualquer definição iria somente confundi-los.

Por outro lado, mesmo sem definir os “números”, todos nós temos uma noção bem definida sobre esses objetos matemáticos. E não precisamos falar que os números estão ao nosso redor como bem disse Pitágoras:

“Os números governam o mundo”.

Nesta parte da aula, apresentaremos os chamados conjuntos numéricos e suas propriedades.

Conjunto dos Números Naturais

A noção de um número natural surge com a pura contagem de objetos. Ao contar, por exemplo, os livros de uma estante, temos como resultado um número do tipo:

0,1,2,3 …

Obviamente não poderíamos ter um número negativo de livros. Também não poderíamos imaginar alguém falando: “Tenho 3,4231 livros na minha estante”.

A este conjunto denominamos conjunto dos números naturais.

Se por acaso houver a necessidade de excluir o número 0 (zero), indicaremos com um asterisco sobrescrito à letra N.

1,2,3,4 …

Este conjunto é chamado conjunto dos números naturais não-nulos. No conjunto dos números naturais, podemos definir apenas duas operações básicas: adição e multiplicação.

Você deve estar se perguntando: “E por que não subtração e divisão?”

A questão é a seguinte: dizemos que uma operação está bem definida quando sempre podemos operar naquele conjunto. Por exemplo: Será que é sempre possível somar dois números naturais? É claro que sim!!

Podemos efetuar 2+3=5, 3+0=3 e assim por diante.

Ou seja, a soma de dois números naturais também é um número natural. Por isso, dizemos que o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à adição.

Será que é sempre possível multiplicar dois números naturais? É claro que sim!!




Podemos efetuar 3 x 5 = 15, 4 x 1 = 4, 8 x 0 = 0...

Podemos então concluir que o produto de dois números naturais é também um número natural. Ou seja, o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à multiplicação.

Será que é sempre possível subtrair dois números naturais? Agora respondemos em alto e bom tom... NÃO!!!

Podemos efetuar 5 – 3 = 2. Por outro lado, não podemos efetuar (no conjunto dos números naturais) 3 – 5. Isto porque o resultado desta operação é um número negativo. Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais NÂO É FECHADO em relação à subtração.

Da mesma maneira sabemos que o conjunto dos números naturais NÃO É FECHADO em relação à divisão. Podemos efetuar 8 : 2 = 4, mas não podemos efetuar 2 : 8 (o resultado desta operação, como iremos ver adiante, é uma fração que não é um número natural).

Observe que falamos algumas expressões tipicamente matemáticas como soma, adição, multiplicação, produto, etc.

Qual é a diferença entre soma e adição? É a mesma coisa? Vejamos...

Operações com números naturais

Como bem já dissemos, podemos definir apenas duas operações no conjunto dos números naturais: adição e multiplicação.

Vamos aprender detalhadamente cada uma dessas operações.

Considere o seguinte cálculo: 3 + 5 = 8.

O símbolo “+” representa a operação de adição. O resultado da adição é chamado de soma.

Portanto “adição” e “soma” não têm o mesmo significado. Adição é o nome da operação. Soma é o resultado da adição.

Definimos então a operação de adição:

a,b parcelas

c somaa b c

→⎡+ = ⎢ →⎣

No nosso exemplo, os números 3 e 5 são as parcelas e 8 é a soma.

Vejamos algumas propriedades importantes da adição.




1 Propriedade comutativa

Esta propriedade afirma que alterar a ordem das parcelas não altera a soma. Em símbolos:

para todos a,b Na b b a+ = + ∈

Obviamente sabemos que 3 + 5 = 8 e 5 +3 = 8, portanto 3 + 5 = 5 + 3.

Ex.: 4 5 5 4 9 4 59 5 4

+=+⎭⎬⎫

=+=+

2 Propriedade associativa A adição de três números naturais pode ser feita associando-se as duas primeiras ou as duas últimas parcelas. Aqui, devemos obedecer à regra de que devemos primeiro efetuar as operações que se encontram dentro dos parêntesis.

5) (3 2 5 3) (2 10 8 2 5) (3 210 5 5 5 3) 2(

++=++⎭⎬⎫

=+=++=+=++

3 Existência do elemento neutro da adição

Existe o número 0 (zero) que possui a seguinte propriedade.

0 0

Desta forma, 5 + 0 = 0 + 5 = 5. Por esta razão, o número zero é chamado de elemento neutro da adição.

4 Propriedade do fechamento

A soma de dois números naturais é um número natural.

Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a adição é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai adicionar dois números naturais? Com certeza o resultado (a soma) será um número natural!! Não tem como a soma ser um número negativo, um número irracional, etc.

Vamos falar um pouquinho agora sobre a multiplicação. Observe o seguinte cálculo:

3 4 12




Podemos representar a operação da multiplicação por dois símbolos (ou nenhum como veremos adiante). Usualmente, utilizamos o ·.

Assim, 3 4 3 · 4 12.

Quando estamos trabalhando com letras ou com expressões dentro de parêntesis é muito comum não utilizamos símbolo algum para representar a multiplicação. Assim,

3 3 .

Ou seja, 3 3 · 3 .

Vamos nos deparar muitas vezes com expressões do tipo: 2 1 .

Observe que não há símbolo algum entre os parêntesis do meio. Esta expressão significa que devemos multiplicar as expressões que estão nos parêntesis.

2 1 2 · 1 2 1

Daqui por diante usaremos indistintamente os símbolos ·. Normalmente utilizaremos quando estivermos trabalhando exclusivamente com números e utilizaremos · quando houver letras na expressão. Mas não se preocupe... Você pode utilizar qualquer um dos dois símbolos. Veja o que fica melhor esteticamente e utilize... Ok?

Podemos agora definir a operação da multiplicação, suas propriedades e nomenclaturas.

a,b fatores

c produtoa b c

→⎡× = ⎢ →⎣

Da mesma maneira que foi comentado na operação de adição, convém observar a diferença entre “multiplicação” e “produto”. Multiplicação é o nome da operação e produto é o resultado da multiplicação.

5 Propriedade comutativa

A ordem dos fatores não altera o produto.

É-me indiferente efetuar 3 x 4 ou efetuar 4 x 3. O resultado (produto) será o mesmo 12.

Desta forma, podemos afirmar que para todos a,bab ba N= ∈ .

Lembre-se que significa a vezes b. Ou seja,

· ·




2 7 7 2 14 2 714 7 2

⋅=⋅⎭⎬⎫

=⋅=⋅

6 Propriedade associativa

A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois primeiros ou os dois últimos fatores.

5) (4 3 5 4) (3 60 20 3 5) (4 360 5 12 5 4) 3(

⋅⋅=⋅⋅⎭⎬⎫

=⋅=⋅⋅=⋅=⋅⋅

7 Existência do elemento neutro da multiplicação

Existe o número 1 (um) que possui a seguinte propriedade:

· 1 1 ·

Ou seja, tanto faz efetuar 4 vezes 1 ou 1 vezes 4: o resultado é igual a 4.

Por essa razão, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação.

8 Propriedade do fechamento

O produto de dois números naturais é um número natural.

Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a multiplicação é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai multiplicar dois números naturais? Com certeza o resultado (o produto) será um número natural!! Não tem como o produto ser um número negativo, um número irracional, etc.

Temos ainda uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição. É a chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou simplesmente propriedade distributiva.

9 Propriedade Distributiva




Antes de enunciar a propriedade seja com palavras seja com símbolos, vejamos um exemplo. Efetue 2 · 3 5 .

Existe uma hierarquia entre as operações matemáticas. Se não estivessem escritos os parêntesis, no caso, 2 · 3 5, deveríamos efetuar primeiramente 2 · 3 6 e em seguida adicionar o 5. No caso, 2 · 3 5 6 5 11.

Mas no nosso caso há os parêntesis. Devemos, portanto, ignorar a hierarquia das operações, pois devemos efetuar obrigatoriamente as operações que estão dentro dos parêntesis.

2 · 3 5 2 · 8 16

A propriedade distributiva nos diz que na multiplicação de uma soma por um número natural, multiplicam-se cada um dos termos por esse número e em seguida somamos os resultados. No caso, para efetuar 2 · 3 5 podemos multiplicar 2 por 3, multiplicar 2 por 5 e finalmente somar os dois resultados.

2 · 3 5 2 · 3 2 · 5 6 10 16

Utilizaremos bastante este fato ao trabalhar com “letras”... Por exemplo, a expressão 2 · 3 pode ser desenvolvida da seguinte maneira:

2 · 3 2 · 2 · 3 2 · 6

Ou simplesmente:

2 · 3 2 6

36. (TCE/PB/2006/FCC) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos substituídos por letras.” M A R R A + M A R R A T O R T A

Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros do acervo dessa biblioteca é um número

a) menor que 70000. b) compreendido entre 70000 e 75000. c) compreendido entre 75000 e 80000. d) compreendido entre 80000 e 85000. e) maior que 85000.

Resolução




Vamos entender o enunciado. Ele simplesmente efetuou uma adição e trocou os algarismos por letras. Letras iguais correspondem a números iguais e letras distintas correspondem a algarismos distintos.

Olhemos inicialmente para os algarismos das unidades. Devemos descobrir um número tal que A A A+ = . Ou seja, qual é o número que somado com ele mesmo, é igual a ele mesmo?? Só pode ser o número zero!! Tem-se, então, que 0A = . Observe que 0 + 0 = 0 (lembre-se que o número zero é o elemento neutro da adição). Já podemos substituir as letras A por 0.

M 0 R R 0

M 0 R R 0

T O R T 0

Observe os algarismos das dezenas e das centenas. Aparentemente realizamos a mesma operação R R+ e obtemos dois resultados distintos. Isso se deve ao fato de a soma ser maior do que 10 e somos obrigados a acrescentar uma unidade na casa das centenas. Devemos testar R para o seguinte conjunto de valores: {5,6,7,8,9} (pois a soma deve ser maior do que 10).

Será que R = 5? Rapidamente concluímos que R não pode ser 5, pois ao efetuar R + R = 10, temos que T = 0. Mas lembre-se que letras distintas correspondem a algarismos distintos. E como A = 0, T não pode ser 0 e consequentemente R não pode ser 5.

Será que R = 6? Vejamos o que acontece... Lembre-se que 6 + 6 =12.

M 0 R=6 R=6 0

M 0 R=6 R=6 0

T O=1 R=3 T=2 0

Observe o absurdo. Ao efetuarmos 6 + 6 obtemos 12. Escrevemos o algarismo das unidades 2 no resultado e “subimos 1”. Na coluna do meio devemos efetuar R + R + 1 (este 1 é aquele que “subiu”). Temos que 6 + 6 + 1 = 13, então escrevemos o algarismo das unidades 3 e subimos 1. Temos agora que R = 3. Absurdo, já que estávamos supondo que R = 6.

Da mesma maneira, testando R = 7 e R = 8 chegamos a absurdos parecidos com o caso R = 6.

Chega-se a conclusão de que R=9.




0 9 9 0

0 9 9 0

9 8 0

Desse modo, sabemos que T=8. Logo, a soma será escrita da seguinte forma:

4 0 9 9 0

4 0 9 9 0

8 1 9 8 0

Logo, MARRA=81980.

Letra D

37. (Senado Federal/2008/FGV) Na operação de multiplicação abaixo, cada letra representa um algarismo

O valor de A+B+C é:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

Resolução

3 1 3, 3 2 6, 3 3 93 4 12, 3 5 15, 3 6 183 7 21, 3 8 24, 3 9 27

× = × = × =× = × = × =× = × = × =

Ao multiplicarmos o algarismo C pelo número 3, obtemos um número cujo algarismo das unidades é igual a 4. Logo, . Como , ao efetuarmos o produto do número 3 pelo algarismo B, devemos adicionar 2 ao resultado.

1 A B 8

8C = 3 8 24× =




x 3

A B 8 4

O produto 3 B⋅ deverá ser um número cujo algarismo das unidades seja igual a 6, pois ao adicionarmos 2 teremos como resultado um número cujo algarismo das unidades é igual a 8. Logo, B=2, pois 3 2 6× = .

1 A 2 8

X 3

A 2 8 4

Finalmente, o número A deve ser tal que 3 A⋅ termine em 2. Portanto, 4A = .

1 4 2 8

X 3

4 2 8 4

Como 4A = , 2B = e 8C = , temos que 14A B C+ + = .

Letra E

Conjunto dos números inteiros

Vimos anteriormente que o conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição e à multiplicação. Com o intuito de definir a operação “subtração” ampliaremos o conjunto dos números naturais.

Criamos, portanto, o conjunto dos números inteiros que é representado pela letra Z (inicial de zahl - número em alemão).

Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

Dizemos que o número – é o simétrico ou oposto do número .




Por exemplo, o número 5 é o simétrico de 5 e reciprocamente: 5 é o simétrico de 5.

Neste conjunto destacam-se os seguintes subconjuntos:

(1) Conjunto dos inteiros não nulos (diferentes de zero):

| 0 … 3, 2, 1,1,2,3, …

(2) Conjunto dos inteiros não positivos (menores ou iguais a zero):

| 0 … 3, 2, 1,0

(3) Conjunto dos inteiros não negativos (maiores ou iguais a zero):

| 0 0,1,2,3,4 …

(4) Conjunto dos inteiros negativos (menores que zero):

| 0 … 3, 2, 1

(5) Conjunto dos inteiros positivos (maiores que zero):

| 0 1,2,3,4 …

Observe que o número 0 não pertence ao conjunto dos inteiros positivos e não pertence ao conjunto dos inteiros negativos. Portanto, o número 0 (zero) não é positivo e não é negativo. Dizemos que zero é neutro.

Observe que sempre que efetuarmos a adição de um número com o seu oposto (simétrico) o resultado será igual a 0. Desta forma:

5 5 0

2 2 0

3 3 0

Podemos então definir a operação “subtração” da seguinte maneira:

a minuendob subtraendoc diferença

a b c→⎡

⎢− = →⎢⎢ →⎣




Rapidamente percebemos que a subtração não é uma operação comutativa. Basta olhar, por exemplo, que 5 – 3 = 2 e 3 – 5 = - 2. A subtração também não goza da propriedade associativa e não possui elemento neutro.

Podemos afirmar que o conjunto dos números inteiros é FECHADO em relação à subtração. Ou seja, se você vai calcular a diferença entre dois números inteiros, com certeza o resultado será um número inteiro.

Observe ainda que todos os números naturais são números inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Dizemos que o conjunto dos números naturais é subconjunto dos números inteiros.

Regras dos sinais com números inteiros

( )a a− − =

( ) ( ) ( )a b a b a b ab⋅ − = − ⋅ = − ⋅ = −

( ) ( )a b ab− ⋅ − =

As observações acima são conhecidas como “Regra dos sinais” para a multiplicação (e divisão) de inteiros.

Sinais dos números Resultado

iguais positivo

diferentes negativo

Exemplos:




Vejamos como operar a adição e a subtração com números inteiros.

Se os números possuírem sinais iguais, devemos adicionar os números e repetir o sinal.

2 3 5

2 3 5

Se os números possuírem sinais opostos, devemos subtrair os números e repetir o sinal do maior.

5 2 3

5 2 3

38. (TRT/2006/FCC) O esquema abaixo representa a subtração de dois números inteiros, na qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X, Y, Z e T.

Obtido o resultado correto, a soma X+Y+Z+T é igual a:

a) 12 b) 14 c) 15 d) 18 e) 21

Resolução

Podemos reescrever o enunciado da seguinte maneira:

Onde a primeira linha representa o minuendo, a segunda linha o subtraendo e a terceira linha representa a diferença.

Para descobrirmos o valor de Z, devemos perceber que 6 2 4− = . Portanto, 2Z = .

4 9 6

0 9

3 8 4




Para descobrirmos o valor de X, devemos perceber que 17 9 8− = . Portanto, 7X = .

Concluído esse raciocínio inicial, temos plenas condições de terminar a subtração.

7, 1, 2, 818

X Y Z TX Y Z T= = = =+ + + =

Letra D

Conjunto dos números racionais

Até o presente momento, conseguimos definir 3 operações básicas: adição, multiplicação e subtração. Com os números expostos não temos condições de definir a divisão. Isto porque com números inteiros podemos dividir 8 por 2, mas não podemos dividir 2 por 8. Para resolver este impasse, vamos definir o conjunto dos números racionais que é representado pela letra Q.

O número p é chamado numerador da fração e o número q é chamado denominador da fração.

O conjunto dos racionais é formado por todas as frações em que o numerador é inteiro e o denominador é um inteiro não-nulo e também por todos os números que podem ser representados desta forma. Todo número na forma de decimal finito ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração.

Todos os números naturais são números racionais, pois todos podem ser escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1.

221

Todos os números inteiros são números racionais, pois todos podem ser escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1.

4 9 7 6 0 9 2

3 8 4

4 9 7 6 1 0 9 2 3 8 8 4




22

1

Observe que o sinal – pode ser colocado em qualquer lugar da fração. Desta forma:

21

21

21 2

Além dos números naturais e números inteiros, todos os números decimais finitos e as dízimas periódicas também são números racionais.

Números decimais finitos são números como 1,47 ; 2, 513 ; 3,0154.

Para transformar números decimais finitos na forma de fração devemos seguir os seguintes passos:

i) Colocar no numerador todo o número sem a vírgula.

ii) Colocar no denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais.

1,47147100

2,5132.5131.000

3,015430.154

10.000

Finalmente as dízimas periódicas. O que são dízimas periódicas? São números decimais com infinitas casas decimais. Só isso? Não...

É preciso que exista certo conjunto de números que se repitam periodicamente infinitas vezes. Vejamos alguns exemplos:

0,14141414141414141414141414141414141414141414 ….

Observe que o conjunto de dígitos 14 se repete infinitas vezes.

32,021 …

Observe que o conjunto de dígitos 546 se repete infinitas vezes.

Pense em uma raça preguiçosa... pensou?

A raça mais preguiçosa que existe é a dos MATEMÁTICOS!

Os Matemáticos são tão preguiçosos que adoram inventar abreviações, notações e símbolos... Tudo para escrever pouco.




Imagine se estivéssemos dando esta aula em um quadro...Teríamos uma preguiça enorme de escrever

32,021 …

(Aqui no computador é muito fácil... Basta utilizar CTRL+C e CTRL+V!!)

A notação é a seguinte: utiliza-se uma barra em cima dos dígitos que se repetem, ou seja, do período. Portanto,

32,021546546546546546 … 32,021546

Muito mais simples, não?

A pergunta que surge é a seguinte: se afirmamos que as dízimas periódicas são números racionais e os números racionais são representados por frações, como transformamos as dízimas periódicas em frações?

Existem diversos métodos para fazer esta transformação. Há livros que costumam separar as dízimas periódicas em simples e compostas. Há livros que fazem esta transformação utilizando sistemas de equações. Há outros que utilizam P.G. (progressão geométrica). Pela experiência que temos, julgamos o método abaixo como o mais simples por diversas razões.

i) Qual a utilidade de separar as dízimas periódicas em simples e compostas?

ii) Você gosta armar sistemas de equações e resolvê-los? Um pouco trabalhoso para resolver uma simples questão de dízima periódica, não?

iii) É realmente necessário aprender Progressão Geométrica para resolver uma simples questão de dízima periódica?

Vejamos um exemplo: transformar em fração o número 3,12851851851 …

O primeiro passo é colocar naquela notação da barra que falamos anteriormente.

3,12851851851 … 3,12851

Denominaremos “Número Completo” e abreviaremos por NC o número da dízima periódica sem a vírgula e sem a barra. No nosso exemplo,

312.851.

Denominaremos “Número fora da barra” e abreviaremos por NFB os números que estão fora da barra. No nosso exemplo, 312.

Meio caminho já foi andado. O numerador da fração é o número .

Por enquanto, nossa fração está assim:




3,12851312.851 312

E como fica o denominador?

Você deve contar quantos algarismos estão embaixo da barra. No nosso caso, há 3 números embaixo da barra. A regra nos diz que devemos colocar no denominador tantos 9’s (noves) quantos forem os números embaixo da barra. Como são 3 números embaixo da barra, devemos colocar 3 noves no denominador.

3,12312.851 312

Pronto? Ainda não!! Falta só uma coisinha para terminar...

Vamos olhar agora para os números que estão “entre a vírgula e a barra”. Quantos são eles? 2!!!

A regra nos diz que devemos colocar tantos zeros quantos forem os algarismos entre a vírgula e a barra.

3,312.851 312

Pronto!!!

3,12851312.851 312

99.900312.53999.900

Se você só acredita vendo... pegue uma calculadora e divida 312.539 por 99.900.

Muito fácil não??

E olhe que já colocamos como primeiro exemplo um número bem difícil.

Vamos praticar um pouco mais.

Transforme em fração o número 0,666666 …

Vamos colocar na notação da barra.

0,666 … 0, 6

ú 6

ú 0




Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um 9 no denominador.

Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não colocamos zeros no denominador.

0,666 …6 0

969

23



0,1343434 … 0,134

ú 134

ú 1

Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no denominador.

Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Apenas um!! Portanto, colocamos um zero no denominador..

0,1343434 …134 1

990133990



0,999 … 0, 9

ú 9

ú 0

Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um 9 no denominador.

Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não colocamos zeros no denominador.

0,999 …9 0

999 1

Portanto, 0,999 … 1

Observe que 0,99999999999... não é APROXIMADAMENTE 1!! É IGUAL a 1!!




A bem da verdade, 0,999 … 1 representam o mesmo número. Apenas estão escritos de maneiras diferentes.

39. (BNB 2003/ACEP) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é igual a:

A) 88 B) 89 C) 90 D) 91 E) 92

Resolução

Para transformar a expressão decimal 0,011363636... em uma fração o primeiro passo é escrever na notação da barra.

0,011363636 … 0,01136

ú 1.136

ú 11

Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no denominador.

Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Três!! Portanto, colocamos três zeros no denominador.

0,011361.136 11

99.0001.125

99.000

A questão pede que coloquemos a resposta na forma de fração irredutível. Fração irredutível é aquela que não pode mais ser simplificada. Claramente podemos simplificar o numerador e o denominador por 5.

1.12599.000

22519.800

Na realidade, podemos simplificar o numerador e o denominador por 5 várias vezes.

22519.800

453.960

9792

Agora podemos simplificar o numerador e o denominador por 9.




9792

188

Agora não dá para simplificar mais. Temos, portanto, uma fração irredutível.

0,011363636 …1

88

A questão pede para efetuar onde 1 88.

1 88 89

Letra B

Agora que já definimos o conjunto dos números racionais, podemos falar na divisão propriamente dita.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

→→→→

+⋅=

resto rquociente qdivisor ddividendo D

r q d D ou d | D q r

Exemplo:

38 | ___9__ 2 4

Ou seja, 38 dividido por 9 é igual a 4 e resto 2. Isto porque 9 · 4 2 38.

Quando o resto de uma divisão é zero, dizemos que a divisão é exata.

É importante frisar que é impossível dividir por 0. Ou seja, o divisor nunca pode ser 0.

Assim, não há sentido na fração 5/0.

40. (ANVISA 2010/CETRO) Considere 0,00003 e 3.600.000. Desse modo, b/a vale

a) cento e vinte trilhões.

b) cento e vinte bilhões.

c) um bilhão e duzentos milhões.

d) cento e vinte milhões.

e) um milhão, cento e vinte mil.




Resolução

Para efetuar a divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e em seguida “apagar as vírgulas”.

3.600.000,000000,00003

360.000.000.0003 120.000.000.000

Letra B

Subconjuntos Notáveis dos Racionais

Analogamente ao conjunto dos números inteiros, há certos subconjuntos do conjunto dos números racionais que merecem destaque. Ei-los:

(1) Conjunto dos racionais não nulos (diferentes de zero):

| 0

(2) Conjunto dos racionais não positivos (menores ou iguais a zero):

| 0

(3) Conjunto dos racionais não negativos (maiores ou iguais a zero):

| 0

(4) Conjunto dos racionais negativos (menores que zero):

| 0

(5) Conjunto dos racionais positivos (maiores que zero):

| 0

Conjunto dos números irracionais

Não há unanimidade quanto ao símbolo para representar o conjunto dos irracionais.

Existem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não é periódica. Tais números não são racionais e são denominados irracionais. Alguns exemplos famosos:

√2 1,4142135 …

3,1415926535 …

2,718281 …




0,12345678910111213141516 …

A constante de Champernowne é a concatenação dos números naturais nas casas decimais.

ö 0,235711131719 …

A constante de Coperland-Erdös é a concatenação dos números primos nas casas decimais.

0,5772156649 …

Tais números não podem ser expressos como uma fração com numerador e denominador inteiros.

Números reais

Chama-se conjunto dos números reais - - aquele formado por todos os números com representação decimal (finita, ou infinita periódica ou infinita não periódica). Podemos dizer que o conjunto dos números reais é a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.

Reta real

Os números reais podem ser representados por pontos em uma reta orientada denominada Reta Real.

41. (CAERN 2010/FGV) Analise as afirmativas a seguir:

I - √6 é maior do que 5/2. II – 0,555... é um número racional. III – Todo número inteiro tem antecessor. Assinale a) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. b) se somente a afirmativa II estiver correta.




c) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. d) se somente a afirmativa I estiver correta. e) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. Resolução Vamos analisar cada uma das alternativas de per si.

Queremos comparar o número √6 com 5/2. Vamos elevar os dois números ao quadrado para compará-los.

√6 6

52

254 6,25

Como o quadrado do número 5/2 é maior que o quadrado do número √6, concluímos que 5/2 √6. A frase I está errada. II – O número 0,555... é uma dízima periódica e, portanto, é um número racional. A frase II está correta. III – O conjunto dos números inteiros é … , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 … . Como o conjunto dos inteiros não é limitado à esquerda, concluímos que todo número inteiro possui antecessor. A frase III está correta. Letra E 42. (TRT-SC 2007/CETRO) Considere os conjuntos:

N, dos números naturais.

Z, dos números inteiros.

Q, dos números racionais.

R, dos números reais.

Assinale a alternativa correta.

(A) a, b N temos a b N

(B) Existe um elemento em Z que é menor que qualquer número inteiro.

(C) N Z Q R




(D) a Z, b Z e b 0 a/b Z

(E) A equação 3x 1 = 0 não tem solução em Q.

Resolução

a) Falsa. A subtração não é uma operação nos Naturais, isto porque nem sempre a – b N. A subtração só é definida quando o minuendo (a) for maior ou igual ao subtraendo (b). Por exemplo, 3 – 5 = -2 e 2 N.

b) Falsa. O conjunto Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} não possui um menor elemento nem um maior elemento.

c) Verdadeiro. Todo número natural é um número inteiro, todo número inteiro é um número racional e todo número racional é um número real.

d) Falsa. Se a Z, b Z e b 0, nem sempre a/b Z. Por exemplo, 8 Z, 5 Z e 8/5 = 1,6 .

e) Vamos resolver a equação 3x 1 = 0.

3 1

13

Portanto, a alternativa E é falsa.

Letra C

43. (Agente Administrativo – Ministério dos Transportes 2010/CETRO) Em relação ao estudo dos Conjuntos Numéricos, considere as seguintes afirmações:

I.

II. N Z Q R

III.

IV.

V.

Considere:

Ir = Conjunto dos números irracionais.

N = Conjunto dos números naturais.




Q = Conjunto dos números racionais.

R = Conjunto dos números reais.

Z = Conjunto dos números inteiros.

As afirmações verdadeiras estão contidas em

a) I apenas.

b) I e III apenas.

c) I, II e V apenas.

d) II, III, IV e V apenas.

e) I, II, III, IV e V.

Resolução

Nenhum número racional é irracional. Os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma a/b, onde a é inteiro e b é um inteiro diferente de zero. A união do conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais (Ir) é o conjunto dos números reais.

Como vimos na questão anterior, N Z Q R.

Assim,

I é verdadeira, II é verdadeira. III é falsa, pois . IV é falsa, pois . V é verdadeira pois o conjunto dos números irracionais é formado

por todos os números reais que não são racionais.

Letra C

44. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 2005/FEPESE) Considere os conjuntos:

N dos números naturais,

Q dos números racionais,

Q+ números racionais não-negativos,

R dos números reais.

O número que expressa

a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não de N.




b) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+.

c) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de N.

d) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q+.

e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q.

Resolução

a) Falso, pois a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de N.

b) Verdadeiro, pois o valor pago por um sorvete é um racional não-negativo. Por exemplo, 2,37 reais.

c) Falso, pois a medida da altura de uma pessoa não necessariamente é um elemento de N, pode ser um racional não-natural. Por exemplo, 1,72m.

d) Falsa, pois, teoricamente, a velocidade média de um veículo pode ser um número irracional.

e) Falsa, pois a medida do lado de um triângulo pode ser irracional.

Letra B

45. (TCE-MG FCC 2007) Considere o número inteiro e positivo X4Y, em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. Sabendo que 15 480 : (X4Y) = 24, então X4Y é um número compreendido entre

a) 800 e 1 000

b) 600 e 800

c) 400 e 600

d) 200 e 400

e) 100 e 200

Resolução

A expressão 15.480 : (X4Y) pode ser escrita assim:

15.4804




Temos então:

15.4804 24

O número (X4Y) que está dividindo, pode “passar para o segundo membro” multiplicando.

15.480 24 24 ( 4 ) 15.480 ( 4 ) 645( 4 )

X Y X YX Y

= ⇒ ⋅ = ⇒ =

Letra B

Vamos resolver uma série de questões envolvendo as quatro operações fundamentais.

46. (TCE-PB 2007/FCC) Quantos algarismos são usados para numerar de 1 a 150 todas as páginas de um livro?

a) 327

b) 339

c) 342

d) 345

e) 350

Resolução

Da página 1 até a página 9 são usados 9 x 1 = 9 algarismos.

Da página 10 até a página 99 são usados 90 x 2 = 180 algarismos.

Da página 100 até a página 150 são usados quantos algarismos?

Cada página tem 3 algarismos. Da página 100 até a página 150 são 51 páginas!

Portanto, teremos 51 x 3 = 153 algarismos.

Total: 9 + 180 + 153 = 342 algarismos.

Letra C

Potências




A multiplicação de fatores iguais pode ser escrita na forma de potência. Observe:

4 4 · 4 · 4 · 4 · 4 1.024

Na potência 4 4 é a base (fator que se repete) e 5 é o expoente (número de vezes que o fator se repete).

Sendo um número real e um número inteiro maior que 1, define-se:

· · … ·

Exemplos:

5 5 · 5 · 5 125

8 8 · 8 64

23

23

·23

49

2 2 · 2 · 2 8

• Toda potência de expoente 1 é igual a base.

• Toda potência de expoente 0 é igual a 1.

1, 0

Observação: 0 é çã á .

• Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de expoente positivo.

1

Exemplos:

5 5

IMPORTANTE

Se o expoente é um número par, o resultado da potência é positivo.

Se o expoente é ímpar e a base é um número negativo, o resultado da potência é negativo.

Se a base é positiva, o resultado da potência é positivo.




34

1

25

52

1258

515

15

Propriedades Operatórias

·

Em palavras:

• Para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são adicionados.

• Para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são subtraídos.

• Para elevar uma potência a outra potência, conserva-se a base e os expoentes são multiplicados.

Exemplos

5 · 5 5 5

55 5 5

5 5 · 5

47. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) A soma dos algarismos do número 10 3 é:

a) 88 b) 89 c) 91 d) 95 e) 97

Resolução

Qual o significado de · · · · · · · · ·

Com dez fatores “x”.




Portanto, 10 10.000.000.000

10 3 10.000.000.000 3 9.999.999.997

A soma dos algarismos é 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 88.

Letra A

48. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Simplificando , encontra-se:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 221

Resolução

Vamos relembrar algumas propriedades das potências.

Lembre-se que para multiplicar duas potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. Assim,

·

/

E da mesma forma que · , temos que · (óbvio não?).

Como podemos utilizar estas propriedades para resolver esta questão?

Observe que 20 = 18+2 e 19 = 18 +1. Portanto:

2 2 2 · 2

2 2 2 · 2

2 22

2 · 2 2 · 22

Podemos colocar 218 em evidência:

2 · 2 2 · 22

2 · 2 22

2 2 4 2 6

Letra C

49. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Simplificando a expressão onde n pertence ao conjunto dos números inteiros, obtém-se o seguinte resultado:




a) 1/3 b) 1/27 c) 3 d) 27 e) 1/9

Resolução

Vamos resolver de duas maneiras. A primeira, utilizando as propriedades vistas na questão anterior.

3 3 33 3 3

3 · 3 3 · 3 3 · 33 · 3 3 · 3 3 · 3

Vamos colocar 3n em evidência no numerador e no denominador.

3 · 3 3 · 3 3 · 33 · 3 3 · 3 3 · 3

3 · 3 3 33 · 3 3 3

3 3 33 3 3

3 3 33 3 3

13

19

127

9 3 1

9 3 12713

1327

13/11327

·1

131

27

Ufa! Trabalhoso... Vejamos uma maneira bem mais fácil!

Dê uma olhada para as alternativas. Percebeu que o valor de não influencia na resposta? Desta maneira, vamos escolher um valor arbitrário. É óbvio que vamos escolher um número bom! E qual seria um número bom? Eu escolheria o número 3 porque todos os expoentes deixam de ser negativos.

3 3 33 3 3

Esta é a expressão. Vamos substituir por 3.

3 3 33 3 3

3 3 33 3 3

9 3 1243 81 27

13351

Simplificando por 13...

13351

127

Bem melhor, não?!

Letra B

50. (Pref. de Resende 2007/CEPERJ) Considere-se que 10 , 3 . O valor de tal que 10 9.000 é:

a) 3,628 b) 3,746




c) 3,882 d) 3,015 e) 3,954

Resolução

Perceba que 9.000 9 · 1.000 3 · 10

Mas o enunciado nos disse que 3 10 , .

Portanto:

9.000 9 · 1.000 3 · 10 10 , · 10

Lembre-se que para elevar uma potência a outra potência, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

9.000 10 , · 10 10 , · 10 10 , · 10 10 , 10 ,

10 9.000

10 10 ,

3,954

Letra E

51. (FNDE 2007/FGV) O valor da expressão é:

a) 4 b) 16 c) 14 d) 12 e) 6

Resolução

4 22 16

O primeiro passo é reduzir todas as potências para base 2.

Observe que 4 2 , portanto 4 2 2 .

Temos ainda que 16 2 , portanto 16 2 2

A expressão ficará assim:

4 22 16

2 22 2

2 · 2 22 · 2 2

2 · 2 12 · 2 1




Para dividir potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

2 · 2 12 · 2 1

2 · 2 12 1

2 · 2 12 1

2 · 8 12 1

2 · 71

14

Letra C

Radicais

Se é um número não‐negativo ( 0) e é um número natural maior que 1, então a raiz enésima de é um número não‐negativo ( 0) tal que .

Vamos recordar o resultado de algumas raízes para fixar o conceito.

√9 3 3 9.

√32 2 2 32.

√0 0 0 0.

√ é í , é é .

Raízes de índice par

Quando elevamos um número positivo ou negativo ao quadrado (ou a qualquer outro expoente par), o resultado é sempre um número positivo. Veja os exemplos:

5 25

5 25

Mas isso não implica dizer que o número 25 tem duas raízes quadradas: 5 e -5.

Na definição dada, foi dito que a raiz enésima de um número positivo é um número positivo.

Portanto:

√25 5

√25 5

Desta maneira, é falso afirmar que √49 7.




Por outro lado, podemos escrever que √25 5. Não é o radical que “causa” o sinal, e sim o sinal que o antecede.

É importante saber que não existe raiz de um número negativo se o índice do radical for par (trabalhando com números reais).

Por exemplo, √ 16 não existe porque não há um número real que elevado ao quadrado dê 16. Até porque todo número elevado ao quadrado não pode ser negativo.

Note a diferença:

√16 4

√ 16 ã

Raízes de índice ímpar

Se o índice do radical é ímpar, admite-se a existência de raízes com radicando negativo.

√8 2 2 8

√ 8 2 2 8

Propriedades

Considere , números reais não-negativos ( 0 0), um número natural maior que 1 e um número inteiro qualquer.

√ · √ √

√√

0

√ √

√ √

Efetue √3 · √12 2√27 3√75)




√3 · √12 2√3 · √27 3√3 · √75 √3 · 12 2√3 · 27 3√3 · 75

√36 2√81 3√225 6 2 · 9 3 · 15 33

Estas propriedades ajudam a simplificar radicais, por exemplo:

√28 √4 · 7 √4 · √7 2√7

√300 √100 · 3 √100 · √3 10√3

0,444 …49

√4√9

23

Potência de expoente racional

Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número natural não nulo, temos:

√

Observe:

Exemplos:

3 3 √3

5 5 √25

27 , … 27 √27 3

Racionalização de Denominadores

Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os radicais que aparecem nesse denominador, sem alterar o valor da fração.

Grosso modo, racionalizar é “tirar” o radical do denominador.

Para racionalizar, devemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por um número chamado fator racionalizante do denominador.

1º caso Racionalizando quando o denominador é um radical de índice 2

√




Para racionalizar frações em que o denominador é uma raiz quadrada, multiplicamos ambos os termos da fração por essa mesma raiz quadrada e, assim, obtemos uma fração equivalente com denominador radical.

Lembre-se que se é um número não-negativo, √ · √ √ .

Veja os exemplos:

8√2

8 · √√2 · √

8√22

4√2

102√5

10 · √2√5 · √

10√52 · 5

10√510

√5

O NÚMERO NÃO MUDOU!! MUDOU APENAS A FORMA DE ESCREVÊ-LO!!

2º caso Racionalizando quando o denominador é um radical de índice diferente de 2

Lembre-se que se a é um número não-negativo, √ .

8√2

8 · √√2 · √

8√4√2

8√42

4√4

Observe que o expoente do fator racionalizante foi obtido assim: 5 3 2

3º caso Racionalizando quando o denominador é uma soma ou diferença de dois termos, sendo pelo menos um dos termos um radical

Para ensinar este 3º caso, falarei sobre um “produto notável”.

·

Concluímos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

· 2 2

Pois bem, vamos ver um exemplo:

6√5 √2

6 · √ √√5 √2 · √ √

6 · √5 √2

√5 √2

6 · √5 √25 2

6 · √5 √23

2 · √5 √2 2√5 2√2

74 √3

7 · √4 √3 · √

7 · 4 √3

4 √3

7 · 4 √316 3

7 · 4 √313

Observe que o fator racionalizante de √5 √2 é √ √ (troca o sinal).




O fator racionalizante de 4 √3 é √ .

52. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Na igualdade √ √√ √

√ , o valor de é:

a) 1 b) 3 c) 3 d) 5 e) 7

Vejamos alguns exemplos de racionalização de denominadores. Racionalizar o denominador significa transformar o denominador em um número racional. Ou seja, se o denominador apresenta um radical, nosso objetivo é eliminar o radical.

4√2

Observe que o denominador é um número irracional. Racionalizar o denominador significar “acabar com o número irracional do denominador”.

Neste caso, a saída é multiplicar o numerador e o denominador por √2.

4√2

·√2√2

4√22 2√2

Desta forma:

4√2

2√2

Vamos lembrar o seguinte produto notável:

·

Este produto notável nos ajudará na racionalização de denominadores como o do enunciado.

Sempre que tivermos uma soma de radicais no denominador, devemos multiplicar o numerador e o denominador pela diferença dos radicais. Sempre que tivermos uma diferença de radicais no denominador, devemos multiplicar o numerador e o denominador pela soma dos radicais.




√7 √5√7 √5

·√7 √5√7 √5

√49 √35 √35 √25

√7 √5

7 2√35 57 5

12 2√352

√7 √5√7 √5

6 √35

Como √ √√ √

√ , concluímos que 6 35

O valor de é 6 35 36 35 1

Letra A

53. (APO/MPOG – 2008 – ESAF) Sabe-se que os números x,y e z são números racionais. Sabe-se, também, que

2√33 √3

.

Com essas informações, conclui‐se que:

a) · 6 b) 6 c) · 0 d) / 6 e) · 6

Resolução

Racionalizando o denominador:

2√33 √3

·3 √33 √3

3 √3 6√3 69 3

3 6 6 · √39 3

Para que z seja racional, o número que multiplica √3 deve ser igual a 0. Portanto,

6 0

6

Letra E




Comparação de radicais

Para comparar radicais (decidir quem é o maior ou o menor) devemos utilizar a seguinte propriedade:

√ √

Isto significa que podemos alterar o índice da raiz. Para tanto, devemos multiplicar (ou dividir) o índice por certo número p e, para não alterar o valor da raiz, devemos multiplicar (ou dividir) o expoente do radicando pelo mesmo número p.

Exemplo:

2 2 ·· 2

Exemplo: Quem é maior: √2 ou √3 ?

Ora, os índices são diferentes. Para fazer a comparação, devemos reduzir os radicais ao mesmo índice. Devemos pensar em um número que seja múltiplo de 4 e de 5. Que tal 20?

Devemos raciocinar da seguinte maneira: Qual o número que multiplicado por 5 é igual a 20? Este número é 4. Portanto, devemos multiplicar o índice e o expoente do primeiro radical por 4.

√2 2· √16

Vejamos o segundo radical. Qual o número que multiplicado por 4 é igual a 20? Este número é 5. Portanto, devemos multiplicar o índice e o expoente do segundo radical por 5.

3· √243

Desta forma: perguntar quem é maior: √2 ou √3 é o mesmo que perguntar quem é maior: √16 ou √243?

Como √243 √16, então √3 √2

54. (Secretaria Municipal de Fazenda 2005/FJG) Os valores √4, √8 √16, quando ordenados de modo decrescente, têm a seguinte apresentação:

a) √4 √16 √8 b) √4 √8 √16




c) √16 √4 √8 d)√8 √4 √16

Resolução

Para comparar os radicais, devemos reduzi-los ao mesmo índice. Para começar, devemos pensar em um número que seja múltiplo dos índices.

Qual um múltiplo comum de 2, 6 e 3? Que tal 6?

Devemos multiplicar 2 por 3 para obter 6.



Desta forma:

√4 4· √64

√16 16· √256

Facilmente percebemos que:

√256 √64 √8

Portanto:

√16 √4 √8

Letra C

Progressão Geométrica Considere uma sequência de números reais , , , … , .

Esta sequência será chamada de Progressão Geométrica (P.G.) se cada termo, a partir do segundo, for igual ao produto do anterior com uma constante real .

O número real é denominado razão da progressão geométrica.

é o primeiro termo, é o segundo termo, e assim por diante. O termo de ordem n é chamado n-ésimo termo.

Exemplos:

Progressão Geométrica Primeiro termo ( ) Razão ( ) 3, 6, 12, 24, 48, 96, … 3 2




96, 48, 24, 12, 6, 3, … 96 12

2, 2, 2, 2, 2, … 2 1 1, 2, 4, 8, 16, 32, … 1 2

5, 0, 0, 0, 0, … 5 0

Cálculo da razão Considere uma progressão geométrica não-estacionária, ou seja, cuja razão é diferente de 0 (ver último exemplo do tópico anterior).

Para calcular a razão de uma P.G., basta calcular o cociente entre dois termos consecutivos.

No nosso primeiro exemplo, 63

126 2.

No nosso segundo exemplo, 4896

2448

12.

No nosso terceiro exemplo, 22

22 1.

No nosso quarto exemplo, 21

42 2.

Termo Geral Considere a progressão geométrica , , , … , . Existe uma expressão que permite calcular qualquer termo da progressão conhecidos um termo qualquer e a razão.

Comecemos com a expressão básica que relaciona um termo qualquer com o primeiro termo e a razão.

·

Em que é o primeiro termo, é a razão da progressão e é o termo de ordem n (n-ésimo termo).

Exemplo: Qual o décimo primeiro termo da progressão geométrica 3, 6, 12, 24, … ?

Resolução

Queremos calcular o décimo primeiro termo, e, portanto, 11.

Utilizemos a fórmula do termo geral:

· ·

3 · 2 3.072




Obviamente não seremos a ficar presos a esta fórmula. Ou seja, não somos obrigados a conhecer o primeiro termo para calcular um termo qualquer da P.G. Vejamos um exemplo análogo ao da progressão aritmética.

Exemplo: O décimo termo de uma progressão geométrica é igual a 4. Calcule o décimo sexto termo sabendo que a razão da progressão é 3.

Resolução

Devemos avançar 6 termos do décimo ao décimo sexto termo.

Assim, a expressão do termo geral ficará:

·

4 · 3 2.916

Soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita

A soma dos termos iniciais de uma progressão geométrica é:

· 11

Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da P.G. 3, 6, 12, 24, … .

Resolução

A razão, como já vimos, é igual a 2.

· 11

3 · 2 12 1

3 · 1.024 11 3 · 1.023

3.069

Soma dos termos de uma Progressão Geométrica Infinita Se , , , … , , … é uma P.G. com razão 1 1, então:

1

Exemplo

Calcular a soma dos infinitos termos da P.G. 9, 6, 4, … .

Resolução




Para calcular a razão basta dividir o segundo termo pelo primeiro:

69

23

Assim,

19

1 23

91/3

9 ·31

27

55. (EBDA 2006/CETRO) Numa P.G, de termos positivos, O primeiro termo é igual a 5 e o sétimo termo é 320. Somando os dez primeiros termos dessa PG, obtém-se: (A) 5.000 (B) 5.115 (C) 4.995 (D) 5.015 (E) 4.895

Resolução

Ora, o problema nos forneceu o primeiro e o sétimo termos de uma P.G. e nos pede a soma dos dez primeiros termos. Para calcular a soma dos termos de uma P.G. precisamos apenas do primeiro termo e da razão. A relação entre o primeiro e o sétimo termos de acordo com a fórmula do termo geral é a seguinte:

·

320 5 ·

64 2 2

Dessa forma, a soma dos dez primeiros termos será:

· 11

· 11

5 · 2 12 1

5 · 1023 5.115

Letra B

56. (TRT-SC 2005/FEPESE) Numa plantação de eucaliptos, as árvores são atacadas por uma praga, semana após semana. De acordo com observações feitas, uma árvore adoeceu na primeira semana; outras duas, na segunda semana; mais quatro, na terceira semana e, assim por diante, até que, na décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto sete árvores. Pode-se afirmar que o número total de árvores dessa plantação é: a) menor que 824 b) igual a 1024




c) igual a 1030 d) igual a 1320 e) maior que 1502

Resolução

Eis o número de árvores atacadas ao longo das semanas:

1, 2, 4, 8, …

Temos uma progressão geométrica de razão igual a 2, pois cada termo é igual ao anterior multiplicado por 2.

O total de árvores atacadas nas 10 semanas é igual à soma dos 10 primeiros termos desta progressão geométrica.

· 11

· 11

1 · 2 12 1

1 · 1023 1.023

Assim, o total de árvores é igual a 1.023 + 7 = 1.030 (7 árvores não foram atacadas).

Letra C

57. (Analista Administrativo – ANEEL 2006/ESAF) Os números A,B e 10 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Os números 1, A e B formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. Com essas informações, pode-se afirmar que um possível valor para o produto das razões dessas progressões é igual a:

a) -12 b) -15 c) 10 d) 12 e) 8

Resolução

Vimos anteriormente que dados três números em P.A. (progressão aritmética), o termo do meio sempre será a média aritmética dos outros dois. Então, se os números A,B e 10 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, temos que:

102 2 10

Sempre que tivermos três números em P.G., o quadrado do termo central será igual ao produto dos extremos. Então, se Os números 1, A e B formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, temos que:




1 ·

Substituindo (II) em (I),

2 10

2 10

2 10 0

A√ 42

A1 1 4 · 2 · 10

2 · 2

A1 √81

41 9

4

Logo, A=10/4=5/2 ou A = - 2.

Como ,

Se A = 5/2 = 2,5, então B = 25/4 = 6,25

Se A = -2, então B = 4.

Temos duas possibilidades para as progressões:

i) (2,5; 6,25; 10) é uma progressão aritmética de razão igual a 3,75.

(1; 2,5; 6,25) é uma progressão geométrica de razão 2,5.

O produto das razões é igual a 3,75 x 2,5 = 9,375.

ii) (-2, 4, 10) é uma progressão aritmética de razão igual a 6.

(1, -2, 4) é uma progressão geométrica de razão igual a -2.

O produto das razões é igual a -2 x 6 = -12.

Letra A

58. (FUVEST 1ª fase 2001) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10 b) 12 c) 14




d) 16 e) 18

Resolução

Chamarei o terceiro termo das progressões de y (já que coincidem). Se o segundo termo da P.G. for igual a x, então o segundo termo da P.A. será igual a x+2.

Temos então a P.A. (4, x+2, y) e a P.G. (4, x, y).

Dados três números em P.A. (progressão aritmética), o termo do meio sempre será a média aritmética dos outros dois. Então, se os números 4, x+2 e y formam, nessa ordem, uma progressão aritmética, temos que:

24

2 2 4 4

2

Sempre que tivermos três números em P.G., o quadrado do termo central será igual ao produto dos extremos. Então, se Os números 4, x e y formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, temos que:

4 ·

Substituindo (I) em (II),

4 · 2

8 0

Daí podemos concluir que x = 0 ou x = 8.

Mas se x = 0, então y = 0, o que é um absurdo visto que o terceiro termo é estritamente positivo.

Concluímos que x = 8.

Então y = 2 x 8 = 16.

O terceiro termo das progressões é y = 16.

Letra D




Relação das questões comentadas

01. (Pref. de Barueri 2006/CETRO) A definição de densidade demográfica é dada pela razão entre o número de habitantes de uma região e a área dessa região. Pedro fez uma pesquisa, em sua cidade, para calcular qual seria a densidade demográfica da região onde mora. Ele conseguiu, junto à prefeitura, as seguintes informações: a área da cidade era de 2.651 km2 e a quantidade de pessoas que residiam na localidade era de 151.107 habitantes. De posse dessas informações, ele concluiu que a densidade demográfica de sua cidade é de:

(A) 57 habitantes / km2

(B) 58 habitantes / km2

(C) 59 habitantes / km2

(D) 15 habitantes / km2

(E) 155 habitantes / km2

02. (SEMAE de Piracicaba 2006/CETRO) Em uma fábrica trabalham 216 funcionários, sendo que 135 são do sexo masculino e 81 pertencem ao sexo feminino. Calcule a razão entre o número de funcionários do sexo masculino e o número do sexo feminino.

(A) 4/3

(B) 3/5

(C) 3/7

(D) 2/5

(E) 5/3

03. (AFC 2002/ESAF) Os números A, B e C são inteiros positivos tais que A < B < C. Se B é a média aritmética simples entre A e C, então necessariamente a razão (B - A) / (C - B) é igual a:

a) A / A

b) A / B

c) A / C

d) B / C

e) - (B/B)




04. (SEMAE de Piracicaba 2006/CETRO) A razão entre o comprimento e a largura de um retângulo é 3/2. Sabendo que a largura é 10 cm, qual é a área desse retângulo em centímetros quadrados?

(A) 120

(B) 150

(C) 80

(D) 180

(E) 340

05. (Pref. Rio Claro 2006/CETRO) Em uma proporção contínua, a terceira proporcional dos números 1 e 5 é igual a

(A) 15.

(B) 20.

(C) 25.

(D) 30.

(E) 35.

06. (EBDA 2006/CETRO) A razão entre dois segmentos de reta x e y é 2/5, então a razão entre o quíntuplo do segmento x e a metade do segmento y é igual a:

(A) 1/2

(B) 1/4

(C) 4

(D) 2

(E) 4/5

07. (Câmara Municipal de Araçatuba 2008/CETRO) Um carro faz, na cidade, 14 Km por litro de combustível. No tanque do carro cabem, ao todo, 40 litros de combustível, portanto, na cidade, ele consegue andar, com um tanque cheio,

(A) 360 Km.

(B) 420 Km.

(C) 460 Km.

(D) 560 Km.




(E) 600 Km.

08. (Pref. Taquarivaí 2006/CETRO) Na proporção x/y = 2/5. Sabendo-se que x+y=49, o valor de x e y será de:

(A) x = 20; y = 29

(B) x = 14; y = 35

(C) x = 29; y = 20

(D) x = 35; y = 14

(E) x = 15; y = 34

09. (CRP 4ª 2006/CETRO) Considere dois números x e y que sejam diretamente proporcionais a 8 e 3 e cuja diferença entre eles seja 60. Determine o valor de ( x + y ). (A) 92 (B) 123 (C) 132 (D) 154 (E) 166

10. (Pref. Pinheiral 2006/CETRO) Em uma festa, a razão entre o número de moças e o de rapazes, é de 3/2. A porcentagem de rapazes na festa é:

(A) 25%

(B) 30%

(C) 33%

(D) 38%

(E) 40%

11. (PRODESP 2003/CETRO) Se a razão entre dois números é 5 e a soma entre eles é 30, pode-se afirmar que a diferença entre eles é

(A) 10

(B) 12

(C) 15

(D) 20

(E) 25




12. (Pref. Estância Turística de Embu 2006/CETRO) Paulo tem três filhos, Rodrigo de 15 anos, Ricardo de 20 anos e Renato de 25 anos. Paulo pretende dividir R$ 3.000,00 para os três filhos em valores proporcionais as suas idades. É correto afirmar que o valor que Rodrigo deve receber é:

(A) R$ 1.500,00

(B) R$ 1.250,00

(C) R$ 1.000,00

(D) R$ 750,00

(E) R$ 500,00

13. (CAERN 2010/FGV) Dividindo-se 11.700 em partes proporcionais a 1, 3 e 5, a diferença entre a maior das partes e a menor delas é a) 6.500. b) 5.500. c) 5.800. d) 5.200. e) 5.000

14. (Pref. de Mairinque 2009/CETRO) Três técnicos receberam, ao todo, por um serviço R$3.540,00. Um deles trabalhou 2 dias, o outro 4 dias e o outro 6 dias. Sabendo-se que a divisão do valor é proporcional ao tempo que cada um trabalhou, o técnico que trabalhou mais dias recebeu

(A) R$590,00.

(B) R$680,00.

(C) R$1.180,00.

(D) R$1.770,00.

(E) R$2.420,00.

15. (TCM SP 2006/CETRO) Uma gratificação de R$ 5.280,00 será dividida entre três funcionários de uma empresa na razão direta do número de filhos e na razão inversa das idades de cada um. André tem 30 anos e possui 2 filhos; Bruno com 36 anos tem 3 filhos e Carlos tem 48 anos e 6 filhos. É correto que o mais velho receberá

(A) R$1 200,00.

(B) R$1 280,00.




(C) R$1 600,00.

(D) R$2 200,00.

(E) R$2 400,00.

16. (FCC-- TRF-1a-Região 2001) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos de arquivar 164 processos e dividiram esse total na razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus respectivos tempos de serviço público. Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no serviço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou é

(A) 48

(B) 50

(C) 52

(D) 54

(E) 56

17. (Vestibular FGV 2003) Em uma sala de aula, a razão entre o número de homens e o de mulheres é 3/4. Seja N o número total de pessoas (número de homens mais o de mulheres). Um possível valor para N é: A) 46 B) 47 C) 48 D) 49 E) 50

18. (ESAF) Ao dividir a quantia de R$ 10.000,00 em duas partes inversamente proporcionais a 2 e 3, nessa ordem, a primeira e a segunda parte são, respectivamente:

a) R$ 4.000,00 e R$ 6.000,00

b) R$ 6.000,00 e R$ 4.000,00

c) R$ 5.000,00 e R$ 5.000,00

d) R$ 8.000,00 e R$ 2.000,00

e) R$ 2.000,00 e R$ 8.000,00

19. (AFC/CGU 2004/ESAF) Os ângulos de um triângulo encontram-se na razão 2:3:4. O ângulo maior do triângulo, portanto, é igual a:




a) 40°

b) 70°

c) 75°

d) 80°

e) 90°

20. (SUSEP 2010/ESAF) Um pai deseja dividir uma fazenda de 500 alqueires entre seus três filhos, na razão direta da quantidade de filhos que cada um tem e na razão inversa de suas rendas. Sabendo-se que a renda do filho mais velho é duas vezes a renda do filho mais novo e que a renda do filho do meio é três vezes a renda do mais novo, e que, além disso, o filho mais velho tem três filhos, o filho do meio tem dois filhos e o filho mais novo tem dois filhos, quantos alqueires receberá o filho do meio?

a) 80

b) 100

c) 120

d) 160

e) 180

21. (TJPA 2006/CESPE-UnB)




O mapa do estado do Pará ilustrado acima está desenhado na escala 1:17.000.000, ou seja, uma distância de 1 cm no mapa corresponde à distância real, em linha reta, de 17 milhões de centímetros. Ao medir, com a régua, a distância no mapa entre Jacareacanga e Belém, um estudante encontrou 6,7 cm. Com base apenas nessas informações, é correto o estudante concluir que a distância real, em linha reta, entre essas duas cidades é

A) inferior a 1.000 km.

B) superior a 1.000 km e inferior a 1.080 km.


D) superior a 1.150 km.

22. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Alexandre, Jaime e Vítor são empregados de uma empresa e recebem, respectivamente, salários que são diretamente proporcionais aos números 5, 7 e 9. A soma dos salários desses 3 empregados corresponde a R$ 4.200,00. Nessa situação, após efetuar os cálculos, conclui-se corretamente que

A) a soma do salário de Alexandre com o de Vítor é igual ao dobro do salário de Jaime.

B) Alexandre recebe salário superior a R$ 1.200,00.


D) o salário de Vítor é 90% maior do que o de Alexandre.

23. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) Antônio era viúvo e tinha três filhos: um com 13 anos, outro com 14 anos e, o mais velho, com 18 anos. Um dia, Antônio chamou seus filhos e disse que tinha feito seu testamento deixando para eles a quantia que tinha acumulado na caderneta de poupança.

“Quando eu morrer”, disse ele, “o montante deverá ser dividido em partes diretamente proporcionais às idades de vocês no dia de minha morte”.

Antônio morreu cinco anos depois desse dia e, na caderneta de poupança, havia exatos R$ 450.000,00. A quantia que o filho mais velho recebeu foi:

a) R$ 142.500,00

b) R$ 154.000,00

c) R$ 165.500,00

d) R$ 168.000,00

e) R$ 172.500,00




24. (AFC-STN 2000/ESAF) Em um processo de fabricação, o custo total é inversamente proporcional ao quadrado das quantidades produzidas. Quando são produzidas 5 unidades, o custo total é igual a 225. Assim, quando forem produzidas 12 unidades, o custo total será igual a:

a) 625/25

b) 625/24

c) 625/16

d) 625/15

e) 625/12

25. (Vestibular FGV 2002) Uma variável y é inversamente proporcional ao quadrado de outra variável x. Para x = 3, y vale 15. Então, se x = 4, y deverá valer:

a) 1/16

b) 15/16

c) 45/16

d) 135/16

e) 625/16

26. (FNDE 2007/FGV) A grandeza é diretamente proporcional às grandezas e e inversamente proporcional à grandeza . Quando 20, 12 e 30, o valor de é 42. Então, quando os valores de , e forem respectivamente 25, 8 e 70, o valor de será: a) 15 b) 21 c) 30 d) 56 e) 35 27. (Câmara Itapeva 2006/CETRO) Uma torneira aberta completamente enche um recipiente de 40 litros em 33 segundos, em quanto tempo esta mesma torneira, aberta completamente, encherá um reservatório de 1.240 litros?

(A) 13minutos e 15 segundos

(B) 14 minutos e 10 segundos

(C) 10 minutos e 14 segundos




(D) 20 minutos

(E) 17 minutos e 3 segundos

28. (FNDE 2007/FGV) Uma fábrica de roupas recebeu uma encomenda para confeccionar uma grande quantidade de uniformes. Designou então 15 costureiras (todas com a mesma capacidade de trabalho) para realizar a tarefa, e o trabalho ficou pronto em 12 dias. Se tivesse designado 20 costureiras, o trabalho seria realizado em: a) 10 dias b) 9 dias c) 8 dias d) 15 dias e) 16 dias 29. (CAERN 2010/FGV) Cinco máquinas com a mesma capacidade de trabalho enchem 30 garrafas de 250 mL em 12 minutos. Três dessas máquinas serão utilizadas para encher 15 garrafas de 500 mL. Para realizar essa tarefa, serão necessários a) 18 minutos. b) 24 minutos. c) 20 minutos. d) 15 minutos. e) 30 minutos. 30. (MINC 2006/FGV) Trabalhando 8 horas por dia, 5 homens constroem um galpão em 6 dias. Em quantos dias 4 homens, trabalhando 6 horas por dia, construiriam o mesmo galpão? (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 12 (E) 15 31. (FCC) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12h. Outra pessoa y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é:

a) 4

b) 5




c) 6

d) 7

e) 8

32. (Câmara Itapeva 2006/CETRO) Uma fábrica de motocicletas demora 10 dias de trabalho, numa jornada de 9 horas por dia, para produzir 250 motocicletas. Quantos dias serão necessários para produzir 300 motocicletas, trabalhando 12 horas por dia?

(A) 12 dias

(B) 10 dias

(C) 15 dias

(D) 9 dias

(E) 6 dias

33. (TJPA 2006/CESPE-UnB) Considere que uma equipe formada por 5 empregados cataloga 360 livros em 2 horas. Nesse caso, o número de livros a mais que poderão ser catalogados por uma equipe formada por 7 empregados que trabalhem durante 2 horas, com a mesma eficiência da equipe anterior, é igual a

A) 118.

B) 124.

C) 138.

D) 144.

(TJBA 2003/CESPE-UnB) Considerando que os servidores de uma repartição pública sejam igualmente eficientes, julgue os itens que se seguem. 34. Se 7 deles analisam 42 processos em um dia, então 5 servidores analisarão, em um dia, menos de 35 processos. 35. Se 20 servidores, trabalhando 4 horas por dia, levam 6 dias para concluir determinada tarefa, então serão necessários menos de 6 servidores para completarem, em 12 dias, a mesma tarefa, trabalhando 8 horas por dia. 36. TCE/PB/2006/FCC) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números




naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos substituídos por letras.” M A R R A + M A R R A T O R T A

Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros do acervo dessa biblioteca é um número

a) menor que 70000. b) compreendido entre 70000 e 75000. c) compreendido entre 75000 e 80000. d) compreendido entre 80000 e 85000. e) maior que 85000.

37. (Senado Federal/2008/FGV) Na operação de multiplicação abaixo, cada letra representa um algarismo

O valor de A+B+C é:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

38. (TRT/2006/FCC) O esquema abaixo representa a subtração de dois números inteiros, na qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X, Y, Z e T.

Obtido o resultado correto, a soma X+Y+Z+T é igual a:

a) 12 b) 14 c) 15 d) 18 e) 21

39. (BNB 2003/ACEP) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta




dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é igual a:

A) 88 B) 89 C) 90 D) 91 E) 92

40. (ANVISA 2010/CETRO) Considere 0,00003 e 3.600.000. Desse modo, b/a vale

a) cento e vinte trilhões.

b) cento e vinte bilhões.

c) um bilhão e duzentos milhões.

d) cento e vinte milhões.

e) um milhão, cento e vinte mil.

41. (CAERN 2010/FGV) Analise as afirmativas a seguir:

I - √6 é maior do que 5/2. II – 0,555... é um número racional. III – Todo número inteiro tem antecessor. Assinale a) se somente as afirmativas I e III estiverem corretas. b) se somente a afirmativa II estiver correta. c) se somente as afirmativas I e II estiverem corretas. d) se somente a afirmativa I estiver correta. e) se somente as afirmativas II e III estiverem corretas. 42. (TRT-SC 2007/CETRO) Considere os conjuntos:

N, dos números naturais.

Z, dos números inteiros.

Q, dos números racionais.

R, dos números reais.

Assinale a alternativa correta.




(A) a, b N temos a b N

(B) Existe um elemento em Z que é menor que qualquer número inteiro.

(C) N Z Q R

(D) a Z, b Z e b 0 a/b Z

(E) A equação 3x 1 = 0 não tem solução em Q.

43. (Agente Administrativo – Ministério dos Transportes 2010/CETRO) Em relação ao estudo dos Conjuntos Numéricos, considere as seguintes afirmações:

I.

II. N Z Q R

III.

IV.

V.

Considere:

Ir = Conjunto dos números irracionais.

N = Conjunto dos números naturais.

Q = Conjunto dos números racionais.

R = Conjunto dos números reais.

Z = Conjunto dos números inteiros.

As afirmações verdadeiras estão contidas em

a) I apenas.

b) I e III apenas.

c) I, II e V apenas.

d) II, III, IV e V apenas.

e) I, II, III, IV e V.

44. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 2005/FEPESE) Considere os conjuntos:




N dos números naturais,

Q dos números racionais,

Q+ números racionais não-negativos,

R dos números reais.

O número que expressa

a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não de N.

b) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+.

c) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de N.

d) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q+.

e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q.

45. (TCE-MG FCC 2007) Considere o número inteiro e positivo X4Y, em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. Sabendo que 15 480 : (X4Y) = 24, então X4Y é um número compreendido entre

a) 800 e 1 000

b) 600 e 800

c) 400 e 600

d) 200 e 400

e) 100 e 200

46. (TCE-PB 2007/FCC) Quantos algarismos são usados para numerar de 1 a 150 todas as páginas de um livro?

a) 327

b) 339

c) 342

d) 345

e) 350




47. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) A soma dos algarismos do número 10 3 é:

a) 88 b) 89 c) 91 d) 95 e) 97

48. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Simplificando , encontra-se:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 221

49. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Simplificando a expressão onde n pertence ao conjunto dos números inteiros, obtém-se o seguinte resultado:

a) 1/3 b) 1/27 c) 3 d) 27 e) 1/9

50. (Pref. de Resende 2007/CEPERJ) Considere-se que 10 , 3 . O valor de tal que 10 9.000 é:

a) 3,628 b) 3,746 c) 3,882 d) 3,015 e) 3,954

51. (FNDE 2007/FGV) O valor da expressão é:

a) 4 b) 16 c) 14 d) 12 e) 6

52. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Na igualdade √ √√ √

√ , o valor de é:




a) 1 b) 3 c) 3 d) 5 e) 7

53. (APO/MPOG – 2008 – ESAF) Sabe-se que os números x,y e z são números racionais. Sabe-se, também, que

2√33 √3

.

Com essas informações, conclui‐se que:

a) · 6 b) 6 c) · 0 d) / 6 e) · 6

54. (Secretaria Municipal de Fazenda 2005/FJG) Os valores √4, √8 √16, quando ordenados de modo decrescente, têm a seguinte apresentação:

a) √4 √16 √8 b) √4 √8 √16 c) √16 √4 √8 d)√8 √4 √16

55. (EBDA 2006/CETRO) Numa P.G, de termos positivos, O primeiro termo é igual a 5 e o sétimo termo é 320. Somando os dez primeiros termos dessa PG, obtém-se: (A) 5.000 (B) 5.115 (C) 4.995 (D) 5.015 (E) 4.895

56. (TRT-SC 2005/FEPESE) Numa plantação de eucaliptos, as árvores são atacadas por uma praga, semana após semana. De acordo com observações feitas, uma árvore adoeceu na primeira semana; outras duas, na segunda semana; mais quatro, na terceira semana e, assim por diante, até que, na décima semana, praticamente toda a plantação ficou doente, exceto sete árvores. Pode-se afirmar que o número total de árvores dessa plantação é: a) menor que 824 b) igual a 1024




c) igual a 1030 d) igual a 1320 e) maior que 1502

57. (Analista Administrativo – ANEEL 2006/ESAF) Os números A,B e 10 formam, nessa ordem, uma progressão aritmética. Os números 1, A e B formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. Com essas informações, pode-se afirmar que um possível valor para o produto das razões dessas progressões é igual a:

a) -12 b) -15 c) 10 d) 12 e) 8

58. (FUVEST 1ª fase 2001) Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18




Gabaritos 01. A 02. E 03. A 04. B 05. C 06. C 07. D 08. B 09. C 10. E 11. D 12. D 13. D 14. D 15. E 16. C 17. D 18. B 19. D 20. A 21. C 22. A 23. E 24. C 25. D 26. A 27. E 28. B 29. C 30. C 31. E 32. D 33. D 34. Certo 35. Certo 36. D 37. E 38. D 39. B 40. B 41. E 42. C




43. C 44. B 45. B 46. C 47. A 48. C 49. B 50. E 51. C 52. A 53. E 54. C 55. B 56. C 57. A 58. D

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