Aula de Física III - Óptica Ondulatória · A natureza ondulatória da luz foi introduzida nos...

InterferênciaDifração

Aula de Física III - Óptica Ondulatória

Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected])

Universidade do Estado do Rio de JaneiroInstituto Politécnico - IPRJ/UERJ

Departamento de Engenharia Mecânica e EnergiaGraduação em Engenharia Mecânica/Computação

2 de dezembro de 2010

Prof.: Leandro Aguiar Fernandes([email protected]) Aula de Física III - Óptica Ondulatória

O Experimento de YoungAnálise Qualitativa

O Experimento de Young

A natureza ondulatória da luz foi introduzida nos estudos deEletromagnetismo através de um experimento fundamentalpara demonstrá-la, realizado em 1801 por Thomas Young;

Young imaginou dois conjuntos de ondas na água que chegamjuntos a um canal estreito, observando que se entrarem de talforma que as elevações de um coincidam com as do outro,produzirão como resultado elevações maiores. Entretanto, seas elevações de um coincidam com as depressões do outro,preencherão exatamente essas depressões;

Essas observações se comprovaram no chamado Experimento

de Fenda Dupla de Young, e a essa fenômeno dá-se o nomede Interferência.

Conforme já visto, a representação de uma oscilação harmônica édada por:

E (~x , t) = Re[ν(~x) exp(−iωt)] (1)

No caso de uma onda eletromagnética plana, temos que:

ν(~x) = Aeiδ ∗ e ikx =⇒ E (~x , t) = A cos(k ∗ ~x − ωt + δ) (2)

E (~x , t) = Re[ν(~x) exp(−iωt)] (1)

ν(~x) = Aeiδ ∗ e ikx

=⇒ E (~x , t) = A cos(k ∗ ~x − ωt + δ) (2)

E (~x , t) = Re[ν(~x) exp(−iωt)] (1)

ν(~x) = Aeiδ ∗ e ikx =⇒

E (~x , t) = A cos(k ∗ ~x − ωt + δ) (2)

E (~x , t) = Re[ν(~x) exp(−iωt)] (1)

~k ≡ ku ≡ vetor de onda; u = versor de direção de propagação;

k = 2πλ = ω

= número de onda;

v = velocidade de fase; λ = comprimento de onda no meio;

ω = 2πf = 2πT

= velocidade de pulsação da onda;

f = frequência; T = período.

No Experimento de Young com luz monocromática, a função deonda resultante num ponto P é a soma dde duas contribuiçõesdistintas:

E (~x , t) = Re[ν1(~x) exp(−iωt) + ν2(~x) exp(−iωt)] (3)

Logo, a intensidade em P será:

I (~x) = |ν1(~x) + ν2(~x)|2 = ||ν1| exp(iϕ1) + |ν2| exp(iϕ2)|2 (4)

Onde:~k ≡ ku ≡ vetor de onda; u = versor de direção de propagação;

k = 2πλ = ω

= número de onda;

ω = 2πf = 2πT

k = 2πλ = ω

= número de onda;

ω = 2πf = 2πT

k = 2πλ = ω

= número de onda;

ω = 2πf = 2πT

k = 2πλ = ω

= número de onda;

ω = 2πf = 2πT

k = 2πλ = ω

= número de onda;

ω = 2πf = 2πT

k = 2πλ = ω

= número de onda;

ω = 2πf = 2πT

k = 2πλ = ω

= número de onda;

ω = 2πf = 2πT

k = 2πλ = ω

= número de onda;

ω = 2πf = 2πT

k = 2πλ = ω

= número de onda;

ω = 2πf = 2πT

Logo, obtemos:

I (~x) = [|ν1| exp(iϕ1)+|ν2| exp(iϕ2)][|ν1| exp(−iϕ1)+|ν2| exp(−iϕ2)] =

= |ν1|2 + |ν2|2 + |ν1||ν2|[exp(iϕ2 − iϕ1) + exp(iϕ1 − iϕ2)]

Portanto:

I (~x) = |ν|2 = |ν1|2 + |ν2|2 + 2|ν1||ν2| cos(ϕ2 − ϕ1)] (5)

cuja interpretação geométrica podemos ver gra�camente:

Logo, obtemos:

Portanto:

I (~x) = |ν|2 = |ν1|2 + |ν2|2 + 2|ν1||ν2| cos(ϕ2 − ϕ1)] (5)

Logo, obtemos:

Portanto:

I (~x) = |ν|2 = |ν1|2 + |ν2|2 + 2|ν1||ν2| cos(ϕ2 − ϕ1)] (5)

Logo, obtemos:

Portanto:

I (~x) = |ν|2 = |ν1|2 + |ν2|2 + 2|ν1||ν2| cos(ϕ2 − ϕ1)] (5)

Logo, obtemos:

Portanto:

I (~x) = |ν|2 = |ν1|2 + |ν2|2 + 2|ν1||ν2| cos(ϕ2 − ϕ1)] (5)

Logo, obtemos:

Portanto:

I (~x) = |ν|2 = |ν1|2 + |ν2|2 + 2|ν1||ν2| cos(ϕ2 − ϕ1)] (5)

Logo, obtemos:

Portanto:

I (~x) = |ν|2 = |ν1|2 + |ν2|2 + 2|ν1||ν2| cos(ϕ2 − ϕ1)] (5)

O resultado (5) ainda pode ser escrito na forma:

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos∆ (6)

onde ∆ é a diferença de fase entre as duas ondas. A equação (6) édita Lei Básica de Interferência. e o último termo de (6) é ditotermo de interferência entre as ondas. Observe que:

∆ = 2nπ (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = 1 =⇒ I = (√

I1+√

(7)A interferência em (7) é dita construtiva. E ainda:

∆ = 2nπ+1 (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = −1 =⇒ I = (√

I1−√

(8)A interferência em (8) é dita destrutiva. Em particular, se I1 = I2,temos que I = 4I1 (construtiva) ou I = 0 (destrutiva).

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos∆ (6)

∆ = 2nπ (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = 1 =⇒ I = (√

I1+√

∆ = 2nπ+1 (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = −1 =⇒ I = (√

I1−√

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos∆ (6)

∆ = 2nπ (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = 1 =⇒ I = (√

I1+√

∆ = 2nπ+1 (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = −1 =⇒ I = (√

I1−√

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos∆ (6)

∆ = 2nπ (n = 0,±1,±2, . . .)

=⇒ cos∆ = 1 =⇒ I = (√

I1+√

∆ = 2nπ+1 (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = −1 =⇒ I = (√

I1−√

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos∆ (6)

∆ = 2nπ (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒

cos∆ = 1 =⇒ I = (√

I1+√

∆ = 2nπ+1 (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = −1 =⇒ I = (√

I1−√

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos∆ (6)

∆ = 2nπ (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = 1

=⇒ I = (√

I1+√

∆ = 2nπ+1 (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = −1 =⇒ I = (√

I1−√

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos∆ (6)

∆ = 2nπ (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = 1 =⇒

I = (√

I1+√

∆ = 2nπ+1 (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = −1 =⇒ I = (√

I1−√

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos∆ (6)

∆ = 2nπ (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = 1 =⇒ I = (√

I1+√

A interferência em (7) é dita construtiva. E ainda:

∆ = 2nπ+1 (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = −1 =⇒ I = (√

I1−√

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos∆ (6)

∆ = 2nπ (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = 1 =⇒ I = (√

I1+√

∆ = 2nπ+1 (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = −1 =⇒ I = (√

I1−√

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos∆ (6)

∆ = 2nπ (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = 1 =⇒ I = (√

I1+√

∆ = 2nπ+1 (n = 0,±1,±2, . . .)

=⇒ cos∆ = −1 =⇒ I = (√

I1−√

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos∆ (6)

∆ = 2nπ (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = 1 =⇒ I = (√

I1+√

∆ = 2nπ+1 (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒

cos∆ = −1 =⇒ I = (√

I1−√

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos∆ (6)

∆ = 2nπ (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = 1 =⇒ I = (√

I1+√

∆ = 2nπ+1 (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = −1

=⇒ I = (√

I1−√

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos∆ (6)

∆ = 2nπ (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = 1 =⇒ I = (√

I1+√

∆ = 2nπ+1 (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = −1 =⇒

I = (√

I1−√

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos∆ (6)

∆ = 2nπ (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = 1 =⇒ I = (√

I1+√

∆ = 2nπ+1 (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = −1 =⇒ I = (√

I1−√

A interferência em (8) é dita destrutiva. Em particular, se I1 = I2,temos que I = 4I1 (construtiva) ou I = 0 (destrutiva).

I = I1 + I2 + 2√

I1I2 cos∆ (6)

∆ = 2nπ (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = 1 =⇒ I = (√

I1+√

∆ = 2nπ+1 (n = 0,±1,±2, . . .) =⇒ cos∆ = −1 =⇒ I = (√

I1−√

Análise Qualitativa

No Experimento de Young, a distância d entre as fendas é muitopequena quando comparada com o percurso luminoso. As ondasgeradas pelas duas fendas terão a mesma fase, já que são excitadaspela mesma onda incidente, de forma que podemos representar afunção de onda observada como sendo:

ν(P) = ν1 + ν2 =A

r1eikr1 +

r2eikr2 (9)

Como d << R , onde R é a distância do ponto médio entre asfendas ao ponto observado, então:

r1 ≈ R − d

2senθ; r2 ≈ R +

2senθ (10)

Desta forma, (9) �ca:

ν(P) =A

Re(ikR− ikd

2 senθ) +A

Re(ikR+ ikd

2 senθ) (11)

ν(P) = ν1 + ν2 =A

r1eikr1 +

r2eikr2 (9)

r1 ≈ R − d

2senθ; r2 ≈ R +

2senθ (10)

ν(P) =A

Re(ikR− ikd

2 senθ) +A

Re(ikR+ ikd

2 senθ) (11)

ν(P) = ν1 + ν2 =A

r1eikr1 +

r2eikr2 (9)

r1 ≈ R − d

2senθ; r2 ≈ R +

2senθ (10)

ν(P) =A

Re(ikR− ikd

2 senθ) +A

Re(ikR+ ikd

2 senθ) (11)

ν(P) = ν1 + ν2 =A

r1eikr1 +

r2eikr2 (9)

r1 ≈ R − d

2senθ; r2 ≈ R +

2senθ (10)

ν(P) =A

Re(ikR− ikd

2 senθ) +A

Re(ikR+ ikd

2 senθ) (11)

ν(P) = ν1 + ν2 =A

r1eikr1 +

r2eikr2 (9)

r1 ≈ R − d

2senθ; r2 ≈ R +

2senθ (10)

ν(P) =A

Re(ikR− ikd

2 senθ) +A

Re(ikR+ ikd

2 senθ) (11)

ν(P) = ν1 + ν2 =A

r1eikr1 +

r2eikr2 (9)

r1 ≈ R − d

2senθ; r2 ≈ R +

2senθ (10)

ν(P) =A

Re(ikR− ikd

2 senθ) +A

Re(ikR+ ikd

2 senθ) (11)

ν(P) = ν1 + ν2 =A

r1eikr1 +

r2eikr2 (9)

r1 ≈ R − d

2senθ; r2 ≈ R +

2senθ (10)

ν(P) =A

Re(ikR− ikd

2 senθ) +A

Re(ikR+ ikd

2 senθ) (11)

A intensidade resultante é da forma (6), com:

I1 = I2 =A2

R2; ∆ = ϕ2 − ϕ1 = kd senθ (12)

cuja interpretação física é imediata, uma vez que d senθ = r2 − r1.Portanto, (6) �ca:

I − 2I1(1 + cos∆) = 4I1 cos2

onde I1 é a intensidade que resultaria se uma única fenda estivesseaberta. Desta forma o espaçamento entre dois extremos relativos(máximos ou mínimos), fazendo senθ ≈ θ, será:

∆θ ≈ 2πkd

d(<< 1) (14)

I1 = I2 =A2

R2; ∆ = ϕ2 − ϕ1 = kd senθ (12)

I − 2I1(1 + cos∆) = 4I1 cos2

∆θ ≈ 2πkd

d(<< 1) (14)

I1 = I2 =A2

R2; ∆ = ϕ2 − ϕ1 = kd senθ (12)

I − 2I1(1 + cos∆) = 4I1 cos2

∆θ ≈ 2πkd

d(<< 1) (14)

I1 = I2 =A2

R2; ∆ = ϕ2 − ϕ1 = kd senθ (12)

I − 2I1(1 + cos∆) = 4I1 cos2

∆θ ≈ 2πkd

d(<< 1) (14)

I1 = I2 =A2

R2; ∆ = ϕ2 − ϕ1 = kd senθ (12)

I − 2I1(1 + cos∆) = 4I1 cos2

∆θ ≈ 2πkd

d(<< 1) (14)

I1 = I2 =A2

R2; ∆ = ϕ2 − ϕ1 = kd senθ (12)

I − 2I1(1 + cos∆) = 4I1 cos2

∆θ ≈ 2πkd

d(<< 1) (14)

e o espaçamento correspondente no plano de observação, é∼ R∆θ. Para λ = 5 ∗ 10−5 cm e d = 5 ∗ 10−2 cm, temos∆θ ∼ 10−3 rad e, se R ∼ 2 ∗ 102 cm, o espaçamento dos extremosserá R∆θ ∼ 2mm. Portanto, por (12), as condições deinterferência se interpretam como sendo:

r2 − r1 = nλ =⇒ ∆ = 2nπ; (n = 0,±1,±2, . . .) (15)

que corresponde a uma interferência construtiva, e:

r2 − r1 =

)λ =⇒ ∆ = (2n + 1)π; (n = 0,±1,±2, . . .)

(16)que corresponde a uma interferência destrutiva.

r2 − r1 = nλ =⇒ ∆ = 2nπ; (n = 0,±1,±2, . . .) (15)

r2 − r1 =

)λ =⇒ ∆ = (2n + 1)π; (n = 0,±1,±2, . . .)

r2 − r1 = nλ =⇒ ∆ = 2nπ; (n = 0,±1,±2, . . .) (15)

r2 − r1 =

)λ =⇒ ∆ = (2n + 1)π; (n = 0,±1,±2, . . .)

r2 − r1 = nλ =⇒ ∆ = 2nπ; (n = 0,±1,±2, . . .) (15)

r2 − r1 =

)λ =⇒ ∆ = (2n + 1)π; (n = 0,±1,±2, . . .)

que corresponde a uma interferência destrutiva.

r2 − r1 = nλ =⇒ ∆ = 2nπ; (n = 0,±1,±2, . . .) (15)

r2 − r1 =

)λ =⇒ ∆ = (2n + 1)π; (n = 0,±1,±2, . . .)

Conceitos BásicosO Princípio de Huygens-Fresnel

Conceitos Básicos

Segundo a Lei da Propagação Retilínea da Óptica Geométrica,um feixe de transmitido através de orifício seria observadocomo um cilindro circular, e formaria uma imagem idêntica aoorifício num anteparo de observação;

Enretanto, quando o orifício é muito pequeno, e a distância Rao anteparo é su�cientemente grande, veri�ca-se que a luzpenetra na região de sombra geométrica, com o aparecimentode franjas claras e escuras na vizinhança do limite da sombra;

Esses desvios de propagação retilínea da luz são denominadosDifração, e este fenômeno é característico da TeoriaOndulatória da Luz.

Conceitos Básicos

Para distâncias não excessivamente grandes, a imagemobservad preserva semelhança com a forma geométrica doobjeto, sendo de�nida assim a Difração de Fresnel;

Para R →∞, o resultado passa a depender somente dadireção de observação, e não guarda mais semelhança com aforma do objeto, sendo de�nida assim a Difração de

Fraunhofer.

O Princípio de Huygens-Fresnel

O Princípio de Huygens é baseado na formação de frentes deonda, onde cada ponto que as compõem se comporta comofonte puntiforme, gerando ondas secundárias;

A idéia básica de Augustin Fresnel foi justamente combinar oprincípio de Huygens com o conceito de interferência,aplicando-o à propagação de ondas monocromáticas;

A amplitude das ondas secundárias provenientes de umelemento de superfície dσ de uma frente de onda

∑não é a

mesma em todas as direções: é máxima na direção n normal àfrente de onda, e decresce de 0 a π

2 ao longo da mesma.

∑não é a

Assim, a contribuição de dσ à onda num ponto de observação Pseria, segundo Fresnel, proporcional a dσ e à função de onda ν(P ′)no ponto P' no qual dσ é um entorno, e a um fator de obliquidadeF (θ), máximo para θ = 0 e tendendo a zero quando θ → π

Desta forma, obtemos a função que expressa analiticamente oPrincípio de Huygens-Fresnel:

dν(P) = F (θ)ν(P ′)e ikr

rdσ =⇒ ν(P) =

∫∑ F (θ)ν(P ′)

rdσ =⇒ ν(P) =

∫∑ F (θ)ν(P ′)

rdσ =⇒ ν(P) =

∫∑ F (θ)ν(P ′)

=⇒ ν(P) =

∫∑ F (θ)ν(P ′)

rdσ =⇒

ν(P) =

∫∑ F (θ)ν(P ′)

rdσ =⇒ ν(P) =

∫∑ F (θ)ν(P ′)

Suponhamos, agora, uma onda plana ν = A e ikz e tomemos comofrente de onda

∑o plano z = 0. Logo:

ν(P) = A

∫∑ F (θ)ν(P ′)

rdσ (18)

Vamos aplicar o Princípio de Huygens-Fresnel à propagação daonda plana, com o auxílio do Método das Zonas de Fresnel:

ν(P) = A

∫∑ F (θ)ν(P ′)

rdσ (18)

ν(P) = A

∫∑ F (θ)ν(P ′)

rdσ (18)

ν(P) = A

∫∑ F (θ)ν(P ′)

rdσ (18)

Desta forma, consideremos uma série de esferas de raiosr0, r0 + λ

2 , r0 + λ, r0 + 3λ2 , . . ., que formam frentes de onda de raios

ρ1, ρ2ρ3, . . ., cujos valores podemos calcular pelo Teorema dePitágoras:

− r20 = λr0 +

ρ2 = (r0 + λ)2 − r20 = 2λr20 + λ2

(r0 + n

− r20 = nλr0 +

− r20 = λr0 +

ρ2 = (r0 + λ)2 − r20 = 2λr20 + λ2

(r0 + n

− r20 = nλr0 +

− r20 = λr0 +

ρ2 = (r0 + λ)2 − r20 = 2λr20 + λ2

(r0 + n

− r20 = nλr0 +

− r20 = λr0 +

ρ2 = (r0 + λ)2 − r20 = 2λr20 + λ2

(r0 + n

− r20 = nλr0 +

− r20 = λr0 +

ρ2 = (r0 + λ)2 − r20 = 2λr20 + λ2

(r0 + n

− r20 = nλr0 +

Tomando r0 >> λ, o último termo de (19) pode ser desprezado, ouseja, ρn =

√nλr0, (n = 1, 2, 3, . . .). Os círculos dividem o plano

∑numa série de anéis circulares concêntricos chamados Zonas deFresnel. Assim, sendo k = 2π

kr1 = k

)= kr0 + π

kr2 = k(r0 + λ) = kr0 + 2π . . .

krn = kr0 + nπ; (n = 1, 2, . . .) (20)

ou seja, a contribuição dos pontos da primeira Zona de Fresnel àintegral (18) está defasada de π em relação ao centro das Zonas deFresnel. Em média, a contribuição da primeira Zona de Fresnelinterfere construtivamente com as da terceira, quinta, etc., edestrutivamente com as da segunda, quarta, etc.

kr1 = k

)= kr0 + π

kr2 = k(r0 + λ) = kr0 + 2π . . .

krn = kr0 + nπ; (n = 1, 2, . . .) (20)

kr1 = k

)= kr0 + π

kr2 = k(r0 + λ) = kr0 + 2π

krn = kr0 + nπ; (n = 1, 2, . . .) (20)

kr1 = k

)= kr0 + π

kr2 = k(r0 + λ) = kr0 + 2π . . .

krn = kr0 + nπ; (n = 1, 2, . . .) (20)

kr1 = k

)= kr0 + π

kr2 = k(r0 + λ) = kr0 + 2π . . .

krn = kr0 + nπ; (n = 1, 2, . . .) (20)

kr1 = k

)= kr0 + π

kr2 = k(r0 + λ) = kr0 + 2π . . .

krn = kr0 + nπ; (n = 1, 2, . . .) (20)

A área da n-ésima Zona de Fresnes é:

π(ρ2n − ρ2n−1) ≈ πλr0 (21)

ou seja, todas as zonas circulares têm aproximadamente a mesmaárea.Como r0 >> λ, o fator F (θ) de (18) varia muito pouco sobrea n-ésima zona. Logo:

θ → π

2=⇒ lim

n→∞Fn = 0 (22)

Logo, podemos decompor (18) como sendo:

ν(P) = A

∞∑n=1

rdσ (23)

Tomando coordenadas polares, temos que dσ = 2πρ dρ. Comor2 = ρ2 + r20 , então:

π(ρ2n − ρ2n−1) ≈ πλr0 (21)

θ → π

2=⇒ lim

n→∞Fn = 0 (22)

ν(P) = A

∞∑n=1

rdσ (23)

π(ρ2n − ρ2n−1) ≈ πλr0 (21)

ou seja, todas as zonas circulares têm aproximadamente a mesmaárea.

Como r0 >> λ, o fator F (θ) de (18) varia muito pouco sobrea n-ésima zona. Logo:

θ → π

2=⇒ lim

n→∞Fn = 0 (22)

ν(P) = A

∞∑n=1

rdσ (23)

π(ρ2n − ρ2n−1) ≈ πλr0 (21)

θ → π

2=⇒ lim

n→∞Fn = 0 (22)

ν(P) = A

∞∑n=1

rdσ (23)

π(ρ2n − ρ2n−1) ≈ πλr0 (21)

θ → π

=⇒ limn→∞

Fn = 0 (22)

ν(P) = A

∞∑n=1

rdσ (23)

π(ρ2n − ρ2n−1) ≈ πλr0 (21)

θ → π

limn→∞

Fn = 0 (22)

ν(P) = A

∞∑n=1

rdσ (23)

π(ρ2n − ρ2n−1) ≈ πλr0 (21)

θ → π

2=⇒ lim

n→∞Fn = 0 (22)

ν(P) = A

∞∑n=1

rdσ (23)

π(ρ2n − ρ2n−1) ≈ πλr0 (21)

θ → π

2=⇒ lim

n→∞Fn = 0 (22)

ν(P) = A

∞∑n=1

rdσ (23)

π(ρ2n − ρ2n−1) ≈ πλr0 (21)

θ → π

2=⇒ lim

n→∞Fn = 0 (22)

ν(P) = A

∞∑n=1

rdσ (23)

π(ρ2n − ρ2n−1) ≈ πλr0 (21)

θ → π

2=⇒ lim

n→∞Fn = 0 (22)

ν(P) = A

∞∑n=1

rdσ (23)

ρ dρ = r dr

=⇒ dσ

r= 2π dr (24)

Logo, a (23) �ca:

ν(P) = A

∞∑n=1

rn∫rn−1

r2π dr =

= 2π A

∞∑n=1

Fne ikr

∣∣∣∣∣rn

rn−1

∞∑n=1

(e ikrn − eikrn−1)Fn

Agora, por (20), temos que, lembrando que e ink = (−1)n:

ν(P) = −iλAe ikr0∞∑n−1

[(−1)n−(−1)n−1]Fn = 2iλAe ikr0∞∑n−1

(−1)n+1Fn

(25)Este resultado con�rma que as Zonas de Fresnel ímpares interferementre si construtivamente.

ρ dρ = r dr =⇒

r= 2π dr (24)

Logo, a (23) �ca:

ν(P) = A

∞∑n=1

rn∫rn−1

r2π dr =

= 2π A

∞∑n=1

Fne ikr

∣∣∣∣∣rn

rn−1

∞∑n=1

[(−1)n−(−1)n−1]Fn = 2iλAe ikr0∞∑n−1

(−1)n+1Fn

ρ dρ = r dr =⇒ dσ

r= 2π dr (24)

Logo, a (23) �ca:

ν(P) = A

∞∑n=1

rn∫rn−1

r2π dr =

= 2π A

∞∑n=1

Fne ikr

∣∣∣∣∣rn

rn−1

∞∑n=1

[(−1)n−(−1)n−1]Fn = 2iλAe ikr0∞∑n−1

(−1)n+1Fn

r= 2π dr (24)

Logo, a (23) �ca:

ν(P) = A

∞∑n=1

rn∫rn−1

r2π dr =

= 2π A

∞∑n=1

Fne ikr

∣∣∣∣∣rn

rn−1

∞∑n=1

[(−1)n−(−1)n−1]Fn = 2iλAe ikr0∞∑n−1

(−1)n+1Fn

r= 2π dr (24)

Logo, a (23) �ca:

ν(P) = A

∞∑n=1

rn∫rn−1

r2π dr =

= 2π A

∞∑n=1

Fne ikr

∣∣∣∣∣rn

rn−1

∞∑n=1

[(−1)n−(−1)n−1]Fn = 2iλAe ikr0∞∑n−1

(−1)n+1Fn

r= 2π dr (24)

Logo, a (23) �ca:

ν(P) = A

∞∑n=1

rn∫rn−1

r2π dr =

= 2π A

∞∑n=1

Fne ikr

∣∣∣∣∣rn

rn−1

∞∑n=1

[(−1)n−(−1)n−1]Fn = 2iλAe ikr0∞∑n−1

(−1)n+1Fn

r= 2π dr (24)

Logo, a (23) �ca:

ν(P) = A

∞∑n=1

rn∫rn−1

r2π dr =

= 2π A

∞∑n=1

Fne ikr

∣∣∣∣∣rn

rn−1

∞∑n=1

[(−1)n−(−1)n−1]Fn = 2iλAe ikr0∞∑n−1

(−1)n+1Fn

r= 2π dr (24)

Logo, a (23) �ca:

ν(P) = A

∞∑n=1

rn∫rn−1

r2π dr =

= 2π A

∞∑n=1

Fne ikr

∣∣∣∣∣rn

rn−1

∞∑n=1

[(−1)n−(−1)n−1]Fn = 2iλAe ikr0∞∑n−1

(−1)n+1Fn

Este resultado con�rma que as Zonas de Fresnel ímpares interferementre si construtivamente.

r= 2π dr (24)

Logo, a (23) �ca:

ν(P) = A

∞∑n=1

rn∫rn−1

r2π dr =

= 2π A

∞∑n=1

Fne ikr

∣∣∣∣∣rn

rn−1

∞∑n=1

[(−1)n−(−1)n−1]Fn = 2iλAe ikr0∞∑n−1

(−1)n+1Fn

Aula de Física III - Óptica Ondulatória · A natureza ondulatória da luz foi introduzida nos...

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