LTDUM LOUCO TRABALHO DIRIGIDO!!!!

ENCONTRO DE MATEMTICA PROFESSOR: JUDSON SANTOS

Professor: Judson Santos / Luciano Santos Aluno(a): ____________________________________________________________________ n _______________ Data: ________/________/2009 MDULO DE PRODUTOS NOTAVEIS E FATORAO Produtos Notveis e Fatorao Produtosnotveissoosqueobedecemaleisespeciaisdeformaoe,porisso,nosoefetuadaspelaRegra OrdinriadaMultiplicao"depolinmios.Essesprodutossonumerososedoorigemaconjuntode identidades de grande aplicao. Comisso,onossoobjetivodeensinarosprodutosnotveisexatamentemostrartcnicascriadaspelos matemticos para facilitar o desenvolvimento de um produto de expresses sem utilizar a multiplicao. S uma perguntinha por que temos que saber isso? Podemos responder pergunta da turma com duas observaes: Oqueestamosestudandosoasregrasdalgebra,isto,comooperarcomexpressesqueenvolvem letras(vocjnotouqueessasexpressesaparecemnasequaes,nasfunes,nageometria,oque mostra como so importantes);Prosseguindo seus estudos, voc ver que esses calculas algbricos continuaro importantes e teis. Caro aluno, agora vamos estudar algumas tcnicas de produtos notveis e fatorao: ( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) z y z x y x z y x z y xyz xz xy z y x z y xy y x y x x y x y xy y x y x y x x y x y xy y x x y x y xy y x y x x y x y xy y x y x x y x y xy xy x y x y xy x y x y xy y x y x x y xy xy y x x y xy xy x y xy xy x y xm m m m m mn n n n n n+ + + + + + = + ++ + + + + = + ++ + + = ++ + + = ++ + = ++ + + + = + + + = + + = + = + = + + + = ++ = + + = + + + 3 . 13) .( 2 . 12. ..... .......... . . 11. . . . 10. . 9. ........ . . 8. . . 7. 6. 5. 3 . 3 . 43 . 3 . 3. 2 . 2. 2 . 13 3 3 32 2 2 22 1 2 1 1 2 2 1 2 1 24 3 2 2 3 4 5 52 2 3 31 2 1 2 13 2 2 3 4 42 2 3 32 23 2 2 3 33 2 2 3 32 2 22 2 2 LISTA DE EXERCICIOS RESOLVIDOS 1. Se x um nmero real tal que tal que15, xx+ = determine o valor de 221. xx+ Soluo: Elevando ambos os membros da equao 15 xx+ =ao quadrado, obtemos: 221 12 25, x xx x+ + =e da, 22123. xx+ = 2. Fatore a expresso 3 25 5. E x x x = + Soluo:Temos3 25 5 E x x x = +

2( 5) ( 5) x x x =

2( 5)( 1) x x = ( 5)( 1)( 1). x x x = + 3. Simplifique a expresso 2 2 2.( )( ) ( )( ) ( )( )x y zAx y x z y z y x z x z y= + + Soluo: Note que podemos escrever a expresso acima da seguinte forma: 2 2 2.( )( ) ( )( ) ( )( )x y zAx y x z x y y z x z y z= + Assim, reduzindo a expresso ao mesmo denominador comum vem: 2 2 2( ) ( ) ( ).( )( )( )x y z y x z z x yAx y y z x z + = Por outro lado, desenvolvendo o denominador, obtemos: 2( )( )( ) ( )( ) x y y z x z xy xz y yz x z = + 2 2 2xy xyz xz xz = +2 2 2xy yz xyz yz + + 2 2 2( ) ( ) ( ). x y z y x z z x y = + Portanto:2 2 22 2 2( ) ( ) ( )1.( ) ( ) ( )x y z y x z z x yAx y z y x z z x y + = = + 4. Se0, x y z + + = mostre que 3 3 33 . x y z xyz + + = Soluo: Observe que 3 3 3 30 ( ) 3( )( )( ). x y z x y z x y y z x z = + + = + + + + + +Como, x y z y z x + = + = e, x z y + = ento: 3 3 3 3 3 33( )( )( ) 0 3 . x y z y x y x y z xyz + + + = + + = 5. Calcule o valor da expresso 3 3 3(2004) (1003) (1001).2004 1003 1001S| | = | \ Soluo: Vamos tomar x = 1003 e y = 1001. Dessa forma, a expresso S se reduz a: 3 3 3( ).( )x y x ySxyx y+ =+ Mas, como sabemos,3 3 2 2 3( ) 3 3 . x y x xy xy y + = + + +Dessa forma, obtemos: 2 23 3 3 ( )3.( ) ( )xy xy xyx ySxyx y xyx y+ += = =+ + 6. Sabendo que x, y e z so reais satisfazendo xyz = 1, calcule o valor da expresso: 1 1 1.1 1 1Ax xy y yz z xz= + ++ + + + + + Soluo: Como xyz = 1, ento0, x 0 y e0. z Assim,

1(1 ) (1 ) 1z xAz x xy x y yz z xz= + ++ + + + + + 11z xz xz xyz x xy xyz z xz= + ++ + + + + + 11 1 1z xz xz x xy z xz= + ++ + + + + +11 1 1z xzz xz z xz z xz= + ++ + + + + + 11z xzz xz+ +=+ +1. =7. Se ab = 1 e2 23, a b + =determine 2 22 22.a bb a+ +Soluo: Temos: 2 2 4 2 2 42 2 2 222a b a ab bb a ab+ ++ + =2 2 22( )( )a bab+= 9. = 8. Prove que se 1x y za b c+ + =e 0,a b cx y z+ + = ento 2 2 22 2 21.x y za b c+ + = Soluo: Elevando a equao1x y za b c+ + =ao quadrado, obtemos: 2 2 22 2 22 1,x y z xy y z x za b c a b b c a c| |+ + + + + = |\ ou seja,2 2 22 2 22 1.x y z xyc xzb yzaa b c abc+ + | |+ + + = |\ Por outro lado, da equao0,a b cx y z+ + = temos0. xyc xzb yza + + =Logo,2 2 22 2 21.x y za b c+ + =9. Se a, b e c so trs nmeros distintos e satisfazem as equaes: 333000,a pa qb pb qc pc q + + =+ + =+ + = calcule a + b + c. Soluo: Multiplicando a segunda equao por 1 e somando com a primeira, obtemos: 3 3( ) 0, a b pa b + = ou ainda, 2 2( )( ) ( ) 0, a b a ab b pa b + + + =2 2( )( ) 0. a b a ab b p + + + =Como0, a b pois os nmeros so distintos, obtemos:2 20. (*) a ab b p + + + =Analogamente,multiplicandoaterceiraequaopor1esomandocomaprimeiraequao, obtemos: 2 20. (**) a ac c p + + + =Agora, multiplicando (**) por 1 e somando com (*), obtemos:2 20, ab ac b c + =( ) ( )( ) 0, a b c b c b c + + =( )( ) 0. b c a b c + + =Da, como0, b c segue que a + b + c = 0. 10. Sejam a, b e c nmeros reais distintos e no nulos. Se a + b + c = 0, mostre que9.a b b c c a c a bc a b a b b c c a | || |+ + + + = | | \ \ Soluo: Faamos,e .a b b c c ax y zc a b = = =Assim, devemos provar que1 1 1( ) 9, x y zx y z| |+ + + + = |\ ou seja,9,x y z x y z x y zx y z+ + + + + ++ + =ou ainda,1 1 1 9y z x z x yx y z+ + ++ + + + + = 6.y z x z x yx y z+ + + + + =Mas, x y a b b c bz c a c a+ | || |= + | |\ \ 2 2a ab bc c bac c a + = 2 2( ) ( ) a c ba c bac c a = ( )( ) ( ) a c a c b a c bac c a + = ( )( ) a c a c b bac c a + = ( ) b b bac = 22.bac= Analogamente, conclumos que 22 y z cx ab+=e 22.x z ay bc+=Logo, pelo exerccio 4, segue que2 2 22 2 2 y z x z x y a b cx y z bc ac ab+ + ++ + = + +3 3 32a b cabc| | + += |\ 32abcabc| |= |\ 6, =como queramos provar. OBSERVAO:EssasquestescomentadasacimaforamfeitaspeloprofessorOnofre Campos. LISTA DE EXERCICIOS Problema 1. a)Sejam a, b e c nmeros reais, tal quebc ac ab c b a + + = + +2 2 2. Prove que a = b = c. b)Determine todos os reais x e y tal que0 2 2 2 8 5 52 2= + + + + x y xy y x . Problema 2. (EUA) Se a, b, c so nmeros reais que satisfazem14 6 , 7 4 , 7 22 2 2 = + = + = + a c c b b a . Calcule o valor de 2 2 2c b a + + . Problema 3. Sejam a, b e c nmeros reais. Prove que: ( )( ) bc ac ab c b a c b a abc c b a + + + + = + +2 2 2 3 3 33Problema 4. Dizemos que um nmero x a soma de dois quadrados, se existem inteiros a e b tais que x = a2 + b2. Prove que se dois nmeros so somas de dois quadrados, seu produto tambm o . Problema 5. Determine todas as solues reais (x,y,z) tais que = = +122z xyy x. Problema 6. (OMCAMPINENSE 2005)Mostre que 31 42005 um nmero inteiro Problema 7. (HONG KONG 1996)Se 21996 1+= x , ento 4x3 1999x 1997 igual a: a) 0 b) 1 c) -1d) 2 e) -2 Problema 8. Um aluno resolvendo uma questo de mltipla escolha chegou ao seguinte resultado, no entanto as opes estavam em nmeros decimais e pedia-se a mais prxima do valor encontrado para resultado, e, assim sendo, procurou simplificar esse resultado, a fim de melhor estimar a resposta. Percebendo que o radicando da raiz de ndice 4 quarta potncia de uma soma de dois radicais simples, sabendo que este resultado da forma( ) q p com q p > + .Calcule o valor de p + q. Problema 9. (UFC - 2004) O valor exato de( ) ( ) 7 10 32 7 10 32 + +: a) 12 b) 11c) 10 d) 9 e) 8RESP.: C Problema 10. (O.C.M. - 1997) Se x2 + x + 1 = 0, calcule o valor numrico de: 2272723322221......1 1 1||

\|+ + +||

\|+ +||

\|+ +||

\|+xxxxxxxxRESP.: 54 Problema 11. (EUA 1997)Os nmeros reais e so tais que = + + = + 0 11 5 30 17 5 32 32 3 . Calcule + . RESP.: 02 Problema 12. (OMSE - 99)Fatorar9 12 83 x x ( )( ) 3 6 4 3 2 : .2+ + x x x RESP Problema 13. (O.M.ARGENTINA - 1989)Calcule o valor da raiz quadrada do nmero. 22222 1111111111 Problema 14. (CANAD)Calcule 8.... 220712207122071220712207 .Expressesuarespostanaforma dc b a +, quando a, b, c e d so inteiros positivos. Calcule. d c b a + + + Problema 15. (CONE SUL - 1988)Calcule o produto das razes inteiras da equao irracional 3 3 32 37 13 37 13 = + x x Problema 16. (EUA)Resolva a equao1 9 6 4 3 2 = + +x x x x x no conjunto dos nmeros reais.