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Funes com uma varivel complexa Engenharia Eltrica - UNIFAP Prof. Joo Ferreira

Aula sobre o Captulo 2 Funes, Limites e Continuidade.

PLOTAGEM DE FUNES COMPLEXAS

Se plotarmos o grfico da funo

Equao 1

no estamos plotando uma funo de varivel complexa, mas sim uma funo de varivel real

z, conforme mostrado na Figura 1.

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Figura 1. Grfico da funo f[z_]:= z + 1/z.

Por exemplo, para plotar o grfico de uma funo de varivel complexa, deve-se plotar

o grfico da parte real da funo f(z) = z + 1/z:

Equao 2

conforme a Figura 2.

1 Comando para se plotar funo no software Mathematica.

2 1 1 2

5

5

2

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Figura 2. Grfico da parte real da funo f[z]:=z + 1/z.

e plotar o grfico da parte imaginria da funo f(z) = z + 1/z:

Equao 3

conforme a Figura 3. Aqui McMahon

Figura 3. Grfico da parte imaginria da funo f[z]:=z + 1/z.

A Figura 4 mostra os dois grficos sobrepostos, percebendo-se que na origem a funo

colapsa.

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Figura 4. Grfico das partes real e imaginria da funao f[z]:= z + 1/z em um mesmo

sistema ortogonal.

Pode-se plotar o mdulo ou valor absoluto da funo |f(z)|. Ele obtido por

Equao 4

Neste caso,

uma plotagem dessa funo mostrada na Figura 5.

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Figura 5. Uma plotagem de |f(z)| para f[z]:=z + 1/z.

Exemplo 2.9 (McMahon, 2009, p. 34). Plote a parte real de f[z]:=z + 1/z ao longo da

linha x + i2, para .

Resoluo. A plotagem com a parte real ou imaginria fixada como essa outra forma de

se estudar o comportamento da funo. A parte real dada por (Equao 2)

Re(f) = [(x3+ x y

2+ x)/(x

2+y

2)] = u(x,y)

Fazendo-se y = 2, temos:

u(x,2) = (x3+ x 2

2+ x)/(x

2+2

2)=(x

3+ 4x + x)/(x

2+4)=(x

3+ 5x )/(x

2+4)

10 5 5 10

10

5

5

10

5

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Figura 6. Uma plotagem de Re(f) = (x3+ x 2

2+ x)/(x

2+2

2)=u(x,y) com y = 2.

Exemplo 2.10 Gere uma plotagem de contorno de |f(z)| =

.

Soluo. Uma plotagem de contorno uma boa maneira de se visualizar onde a funo

est aumentando, diminuindo ou em colapso. Ns mostramos uma plotagem de contorno de

|f(z)|= |1/z| na Figura 7, gerada pelo software Mathematica do wolfran. A plotagem mostra

valores crescentes em cores mais claras note que a rea em torno da origem, inclusive,

branca, indicando que a funo colapsa ali.

Figura 7. Uma plotagem de contorno (curvas de nvel) de nvel de |f(z)| = |1/z|, mostrando

zonas em que a funo est aumentando em magnitude e o ponto em que ela colapsa, na

origem.

O grfico da funo |f(z)|= |1/z| est mostrado na Figura 8. Lembrando-se que o

mdulo de f(z) obtido por:

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Equao 5

.

Figura 8. Grfico da funo

.