Aula 11 Sinais e Sistemas – Capítulo 3 Simon Haykin.

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Sinais e Sistemas – Capítulo 3

Simon Haykin

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Representações de Fourier para Sinais

Os sinais podem ser representados por uma combinação ponderada de senóides complexas Tais sinais, quando aplicados a um sistema linear, proporciona uma saída que é a superposição ponderada das respostas do sistema a cada senóide complexa O estudo de sinais e sistemas usando representações senoidais é denominado análise de Fourier Os métodos de Fourier têm aplicação difundida, indo além dos sinais e sistemas, sendo usados em todos os ramos da engenharia e da ciência

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Senóides Complexas e Sistema LTI

Vimos no capítulo anterior que, a entrada

njenx

resulta na saída

njj eeHny

em que

k

kjj ekheH

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Vimos no capítulo anterior que, a entrada

tjetx

resulta na saída

tjejHty

em que

dehjH j

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Dizemos que a senóide complexa

tjet

é uma autofunção do sistema H associado com o autovalor porque ela satisfaz um problema de autovalor descrito por

jH

Isto significa que o sistema provoca o efeito de uma multiplicação por um escalar em uma função de entrada de autofunção, tais como são as senóides complexas.

ttH

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Observe que se representarmos um sinal arbitrário como sendo uma superposição ponderada de autofunções, então podemos transformar as complicadas operações de convolução em simples operações de multiplicação. Considere a entrada em um sistema LTI como sendo a soma ponderada de M senóides complexas

M

k

tjk

keatx1

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Se for uma autofunção do sistema com autovalor H(jωk), então cada termo da entrada Produz um termo de saída , de modo que

tj ke tj

kkea

tjkk

kejHa

M

k

tjkk

kejHaty1

Ou seja, a saída é uma soma ponderada de M senóides complexas, sendo os pesos ak modificados pelas respostas em frequência do sistema, H(jωk), de modo que a operação de convolução, h(t)*x(t), torna-se uma operação de multiplicação por kk jHa

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Representações de Fourier para Quatro Classes de Sinais

Propriedade de Tempo

Periódica Não Periódica

Contínuo Série de Fourier (FS)

Transformada de Fourier (FT)

Discreto Série de Fourier de

Tempo Discreto (DTFS)

Transformada de Fourier de

Tempo Discreto (DTFT)

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Sinais Periódicos: Representações da Série de Fourier

Considere representar um sinal periódico como uma superposição ponderada de senóides complexas A superposição deve ter o mesmo período que o sinal, de modo que cada senóide da superposição deve ter o mesmo período do sinal Isto significa que a frequência de cada senóide deve ser um múltiplo inteiro da frequência fundamental do sinal

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Se x[n] for um sinal de período fundamental N, então procuramos representá-lo pela DTFS

k

njkekAnx 0ˆ

em que Ω0=2π/N é a frequência fundamental de x[n].

A frequência da k-ésima senóide na superposição é dada por kΩ0

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De forma similar, se x(t) for um sinal de período fundamental T, então procuramos representá-lo pela FS

k

tjkekAtx 0ˆ

em que ω0=2π/T é a frequência fundamental de x(t).

A frequência da k-ésima senóide na superposição é dada por kω0

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Quantos termos e pesos devemos usar em cada soma?

k

tjkekAtx 0ˆ

k

njkekAnx 0ˆ

FS:

DTFS:

njk

njknj

njknjNnkNj

e

ee

eee

0

0

000

2

Portanto, há somente N

senóides complexas distintas da forma njke 0

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Um conjunto único de N senóides complexas distintas é obtido admitindo-se que o índice de frequência assuma quaisquer N valores consecutivos, de modo que

Nk

njkekAnx 0ˆ

onde a notação k=(N) indica que k varia ao longo de quaisquer N valores consecutivos, sendo tais valores normalmente escolhidos de modo a simplificar o problema através da exploração de simetrias do sinal.

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Tipos de Simetrias Escolhas comuns

Simetria Par K=0 a k=N-1

Simetria Ímpar K=-N/2 a k=N/2-1

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As senóides complexas de tempo contínuo possuem frequências kω0 sempre distintas. Consequentemente, há potencialmente um número infinito de termos distintos na FS Aproximamos x(t) como

k

tjkekAtx 0ˆ

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Sinais Periódicos de Tempo Discreto: A DTFS

Para determinar os pesos ou coeficientes A(k), minimizaremos o Erro Quadrático Médio (MSE) entre o sinal e sua representação em série.

Nn

nxnxN

MSE2ˆ][

1

Nn Nk

njkekAnxN

MSE2

0][1

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Seja c um número complexo qualquer. Então |c|2=cc*.

Nn Nm

njm

Nk

njk emAnxekAnxN

MSE*

00 ][][1

Nk Nm Nn

nmkj

Nn Nn

njk

Nm Nn

njm

Nn

eN

kAmAenxN

kA

enxN

mAnxN

MSE

00

0

11

11

**

*2


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Definindo então

Nn

njkenxN

kX 01

NkNkNkNn

kAkXkAkXkAnxN

MSE2**21

Completando o quadrado, temos

NkNk

Nn

kXkXkXkAkXkAkA

nxN

MSE

22**2

21

NkNkNn

kXkXkAnxN

MSE2221


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NkNkNn

kXkXkAnxN

MSE2221

Portanto, a dependência que o MSE tem com os coeficientes desconhecidos A[k] se reduz ao termo do meio. Consequentemente, o MSE é minimizado forçando o termo do meio tender a zero ou A[k]->x[k] Se A[k]=X[k], então MSE=0


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Nk

njkekXnx 0

Dizemos que x[n] e X[k] são um par de DTFS e denotamos esta relação como

Nn

njkenxN

kX 01

A partir de N valores de X[k] podemos determinar x[n], e vice-versa Veremos que as vezes é mais conveniente representar o sinal através de x[n] e as vezes através dos coeficientes X[k] da DTFS


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Exemplo 3.1: Encontre a representação por DTFS para

nnx

8cos

Solução: O período fundamental é N=16. Consequentemente, Ω0=2π/16 .

njjnjj

njnj

eeee

eenx

88

88

2

1

2

12


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Igualando com a DTFS,

com k iniciando em -7, isto é

então, temos que

njjnjj eeeenx 88

2

1

2

1


8

7

8

k

njkekXnx

Todos os componentes de x[n] estão concentrados em duas frequências, Ω0 e –Ω0.

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Desde que N=16, então X[15]=X[31]=...=(1/2)e-jΦ e, similarmente, X[17]=X[33]=...=(1/2)ejΦ com todos os outros valores de X[k] iguais a zero


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Exemplo 3.2: Encontre os coeficientes da DTFS para a onda quadrada com período N mostrada a seguir

Solução: O período é N, de forma que Ω0=2π/N. É conveniente, para este caso, avaliar a DTFS em n=-M até n=N-M-1. Dessa forma temos


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Fazendo a mudança m=n+M, então


M

Mn

njkMN

Mn

njk eN

enxN

kX 0011 1

M

m

mjkMjk eeN

kX2

0

001

A soma da série geométrica produzirá

,2,,0,1

10

00 12

NNke

e

N

ekX

jk

MjkMjk

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Que pode ser reescrito como


Dividindo o numerador e o denominador por 2j, temos

,2,,0,

1

,1

11

22

212212

12

2

212

00

00

0

0

0

0

NNkee

ee

N

e

e

e

e

NkX

jkjk

MjkMjk

jk

Mjk

jk

Mjk

2Sen

212Sen1

2

21

0

022

212212

00

00

k

Mk

Njee

jee

NkX

jkjk

MjkMjk

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Substituindo Ω0=2π/N, temos


NNk

Nk

MN

k

NkX 2,,0,

Sen

12Sen1

Usando a regra de L’Hopital, temos que

N

M

Nk

MN

k

NNNk

12

Sen

12Sen1

lim,2,,0

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Supondo N=50 e M=4, então temos a seguinte DTFS


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Supondo N=50 e M=12, então temos a seguinte DTFS


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