Aula vinte e dois calculo um 2016 aluno
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Professor: Carlos Alberto de Albuquerque
Blog: http://professorcarlosaa.blogspot.com.br/
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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
AULA
VINTE E
DOIS
Porque toda a lei se cumpre em só preceito, a saber:Amarás o teu irmão como a ti mesmo.
Gálatas, 5-14
ÁREA
Desde os tempos mais antigos os
matemáticos se preocupam com o problema
de determinar a área de uma figura plana.
O procedimento mais usado foi o método da
exaustão, que consiste em aproximar a
figura dada por meio de outras, cujas áreas
são conhecidas.
ÁREA
Como exemplo,
podemos citar o
círculo.
Para definir sua
área, consideramos
um polígono regular
inscrito de n lados,
que denotamos por
Pn.
ÁREA
Seja An a área do polígono
Pn.
Então
,nTn AnA
ÁREA
Onde
É a área do triângulo de base ln e altura hn.
nTA
ÁREA
Fazendo n crescer cada vez mas, isto é,
n→+∞,
O polígono Pn torna-se uma aproximação do
círculo.
O perímetro Pn aproxima-se do comprimento da
circunferência 2πr e a altura h aproxima-se do
raio r.
ÁREA
ÁREA
Para definir a área de uma figura plana
qualquer, procedemos de forma análoga.
Aproximamos a figura por polígonos cujas
áreas possam ser calculadas pelos métodos da
geometria elementar.
ÁREA
Consideremos agora o
problema de definir a
área de uma região
plana S, delimitada pelo
gráfico de uma função
contínua não negativa f,
pelo eixo dos x e por
duas retas x = a e x = b.
ÁREA
Para isso, fazemos uma partição do
intervalo [a, b], isto é, dividimos o intervalo
[a, b] em n subintervalos, escolhendo os
pontos:
ÁREA
ÁREA
ÁREA
ÁREA
ÁREA
ÁREA
ÁREA
DEFINIÇÃO: Seja y = f(x) uma função
contínua, não negativa em [a, b].
A área sob a curva y = f(x), de a até b, é
definida por:
],,[int
,,,1
,
1
10lim
ii
i
n
i
iix
xxervalodo
arbitráriopontouméc
nicadaparaonde
xcfA
INTEGRAL DEFINIDA
A integral definida está associada ao limite
da definição anterior.
Ela nasceu com a formalização matemática
dos problemas de áreas e problemas
físicos.
De acordo com a terminologia introduzida
em aulas anteriores, temos a seguinte
definição.
INTEGRAL DEFINIDA
DEFINIÇÃO: Seja f uma função definida no
intervalo [a,b] e seja P uma partição qualquer
de [a,b].
A integral definida de f de a até b, dada por:
Desde que o limite do 2º membro exista.
:
,
pordenotadaé
dxxfb
a
,lim1
0
b
a
n
i
iixmáx
xcfdxxfi
INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Se f é contínua sobre [a,b] e se F é uma
primitiva de f neste intervalo, então:
. b
a
aFbFdttf
INTEGRAL DEFINIDA
EXEMPLO.
Calcular a integral definida:
3
1
.xdx
SOLUÇÃO
EXERCÍCIO 1
Calculo a integral definida:
.cos2
0
dtt
SOLUÇÃO
EXERCÍCIO 2
Calculo a integral definida:
SOLUÇÃO
EXERCÍCIO 3
Calculo a integral definida:
SOLUÇÃO
EXERCÍCIO 4
Calculo a integral definida:
SOLUÇÃO
EXERCÍCIO 5
Calculo a integral indefinida:
dtgcos
SOLUÇÃO
EXERCÍCIO 6
Calculo a integral indefinida, usando o método
da substituição:
4t
t
e
dte
SOLUÇÃO
EXERCÍCIO 7
Calculo a integral indefinida, usando o método
da integração por partes:
dxx3cos
SOLUÇÃO
EXERCÍCIO 8
Determine a seguinte derivada:
dxx
x
dy
dy
3
2 9
2
SOLUÇÃO
EXERCÍCIO 9
Determine a seguinte derivada:
1
dtsenttd
d
SOLUÇÃO
FIM
DA AULA
VINTE E DOIS