Mecanica dos Fluidos IAula pratica 1

(Semana de 22 a 26 de Setembro de 2008)

EXERCICIO 1 Em Mecanica dos Fluidos e muito frequente que interesse me-dir a diferenca entre duas pressoes. Os manometros de tubos em U , que sao umdos modelos mais comuns e mais simples de manometros diferenciais, utilizam adiferenca de elevacao de um lquido entre os dois bracos do U para determinara diferenca de pressao entre as duas tomadas. Os manometros de tubos inclina-dos sao apenas uma variante, destinada a aumentar a sensibilidade da leitura dapressao.Considere o exemplo concreto de um escoamento de ar na atmosfera, em que oobjectivo e medir a pressao pB em relacao a hidrostatica local da atmosfera. Atomada de pressao em A esta montada de tal modo que a pressao pA e a pressaohidrostatica dessa zona (A e B estao a mesma cota). Entre A e A e B e B ostubos contem ar em repouso e com a mesma massa volumica da atmosfera ex-terior. O manometro tem uma inclinacao tal que sen() = 0, 2 e o comprimentomolhado e ` = 145 mm. O fluido manometrico e alcool, com massa volumica = 780 kg/m3.

1. Calcule a diferenca de pressao (pB pA).

2. Em que medida a diferenca de cota entre o manometro e os pontos A e B

afecta a diferenca de pressao (pB pA) em relacao a (pB pA) ?

3. Normalmente, se se pretende medir a diferenca entre uma pressao pB e apressao hidrostatica local (que e pA), costuma-se deixar a extremidade Ado manometro aberta directamente para a atmosfera, eliminando o tuboAA. Qual o erro cometido, pelo facto de A e A estarem a cotas diferentese, portanto, terem pressoes hidrostaticas diferentes?

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Solucoes:(pBpA) = 222 Pa. A diferenca de cota nao afecta a diferenca de pressao. Eliminaro tubo AA, deixando a extremidade A do manometro aberta para a atmosfe-ra, nao introduz nenhum erro, porque a distribuicao hidrostatica de pressao daatmosfera e igual a distibuicao hidrostatica dentro do tubo AA.

EXERCICIO 2 As comportas de barragens costumam ter a forma de um seg-mento de cilindro, articulado no seu eixo, e por isso se designam por comportasde segmento. Com esta geometria, a operacao de abertura e fecho e mais estavel,porque a forca f de abertura depende do peso proprio da comporta, mas e inde-pendente da distribuicao de pressao na face da comporta em contacto com a agua.Em repouso, esta distribuicao de pressao e hidrostatica, alterando-se substancial-mente quando ha escoamento de agua. Utilize o valor de = 1 103 kg/m3.

1. Considere uma comporta de segmento 10 m de largura, 6 m de altura, comuma curvatura de 10 m de raio e o centro a meia altura. Qual e a cota doponto de aplicacao da resultante das forcas de pressao da agua quando acomporta esta fechada (nao havendo escoamento, a distribuicao de pressaoe hidrostatica) e o nvel da agua chega ate a altura maxima da comporta?Calcule as componentes horizontal e vertical da resultante, sem esquecerque uma das faces da comporta esta em contacto com a atmosfera.

2. Mostre que a resultante das forcas de pressao da agua sobre um segmento ci-lndrico passa sempre pelo eixo do cilindro, qualquer que seja a distribuicaode pressao.

Solucoes:A cota da resultante em relacao a base da comporta e 2 m. Com a comportafechada e cheia ate cima, a componente horizontal da resultante e 1, 76 106 N,a componente vertical e 1, 77 105 N.A forca de pressao exercida sobre uma superfcie elementar e sempre ortogonal asuperfcie; se a superfcie for cilndrica e um vector com a direccao radial; portan-to, tem momento nulo relativamente ao eixo. O integral de todos eses momentos

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infinitesimais nulos, ao longo da superfcie do cilindro, e um momento resultan-te nulo. Como o momento resultante e nulo em relacao ao eixo do cilindro, aresultante passa pelo eixo.

EXERCICIO 3 Considere um cilindro fechado em cima e aberto em baixo (se-melhante a um copo virado para baixo), parcialmente mergulhado na agua de umtanque cuja superfcie livre esta em contacto com a atmosfera. A diferenca entre onvel dentro do cilindro e no tanque e h2 = 200 mm, a altura do cilindro acima donvel no tanque e h1 = 500 mm. O diametro do cilindro e D = 500 mm. Admitaque a pressao do ar dentro do cilindro e praticamente uniforme e que a pressaoatmosferica exterior tambem e praticamente uniforme, igual a 1, 013 105 Pa. Amassa volumica da agua e = 103 kg/m3.

1. Calcule a pressao do ar no interior do cilindro.

2. Calcule a componente vertical da forca de pressao exercida sobre o cilindro.Nao esqueca a face interior nem a face exterior do cilindro.

3. Calcule a forca resultante horizontal exercida sobre um arco de 180 daparede vertical do cilindro. Tenha em conta a forca exercida no exterior eno interior do cilindro.

Solucoes:A pressao absoluta da superfcie livre da agua dentro do copo e p0 = 1, 013105+ g h2 = 1, 033 105 Pa (a pressao relativa a atmosfera g h2 = 1, 96 103 Pa).Sendo a pressao do ar dentro do copo aproximadamente uniforme, todo o ar es-tara a pressao desta superfcie livre. Na realidade, a pressao do ar diminui desdea superfcie livre ate ao topo do copo: tomando a massa volumica do ar igual a1,2 kg/m3, a variacao de pressao absoluta e de 1, 2 g (h1 + h2) = 8 Pa, valorefectivamente muito pequeno comparado com as outras diferencas de pressao.Se a pressao interna do ar e uniforme, a componente vertical da forca de pressaoexercida sobre as faces internas e externas do copo e (p0 patm) R2 = 385 N (a

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forca e para cima, porque a pressao interna p0 e superior a atmosferica).Para calcular a componente horizontal pedida, convem representar a diferenca depressao entre a face interna e externa da parede. Tomemos como referencia z = 0o nvel da agua no interior do cilindro. Na parte inferior z [0, h2], a diferenca depressao e p(z) = g h2 g (h2 z) = g z. Na parte superior z [h2, h1+h2],a diferenca de pressao e uniforme p(z) = g h2. A resultante horizontal pedidae fH = ( g h

22/2 + g h2 h1)D = 588 N.

Exerccios adicionais, alem dos anteriores que sao osmais directamente recomendados como preparacao paraa aula de problemas

EXERCICIO 4 Considere um tambor cilndrico fechado, de altura muito gran-de comparada com o seu diametro, cheio de um lquido cuja massa volumica e = 800 kg/m3, uniforme em todo o espaco. O cilindro tem raio R = 1 m. Noponto de coordenadas cilndricas r = 0 m, z = +3 m e imposta uma pressao ab-soluta de 7, 648 104 Pa. A pressao atmosferica reinante no exterior do cilindroe uniforme, igual a 1 105 Pa.

1. Calcule a pressao absoluta num ponto generico do fluido.

2. Determine a pressao relativa a hidrostatica local no lquido, num pontogenerico.

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3. Calcule a componente vertical e a componente horizontal da resultante daforca de pressao exercida sobre a parede do cilindro entre a cota z = 1 m ez = +1 m de um arco de 180 da parede vertical do cilindro. Esta porcaoda parede e a que esta indicada na figura acima. Nao esqueca a face interiornem a face exterior do cilindro.

Solucoes:A pressao absoluta e p(r, , z) = 7, 648 104 + 800 9, 8 (3 z) Pa.O fluido esta em condicoes hidrostaticas, portanto a pressao relativa a hidrosta-tica local e nula.A componente vertical e nula.Sendo z1 = 1 m, z2 = +1 m, a componente horizontal e

fH = (2R)

[(7, 648104 + 800 9, 8 3 1105

)(z2 z1) + g

(z222 z

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)]= 0.

Repare-se que, sendo a geometria de largura constante, a variacao hidrostatica emrelacao a pressao media nao afecta a forca resultante porque a variacao e linear.De facto, com z2 = z1, o termo (2R) g (z22z1)/2 e nulo, na expressao de fH .Repare-se tambem que a pressao interna em z = 0 e igual a pressao atmosferica.E por estas razoes que a resultante horizontal e nula.

EXERCICIO 5 Pretende-se que um cilindro hidraulico (1) accione um deter-minado equipamento (2) com uma forca de 5104 N. Pretende-se bombear o oleonuma pequena bomba manual aspirante-premente (3), que nao exija um esforcosuperior a 200 N para movimentar o embolo.

A bomba e constituda por um cilindro de 3 cm de diametro interno com um cursode 30 cm. A bomba manual (2) e o cilindro hidraulico (1) encontram-se a uma dis-

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tancia vertical z de bastantes metros, muito superior a dimensao dos elementosprincipais do sistema. Quando o cilindro hidraulico desce, o oleo e recolhido numreservatorio, mantido aproximadamente a pressao atmosferica. Um conjunto devalvulas de controlo e alguns outros acessorios completam a instalacao. A massavolumica do oleo e 870 kg/m3.

1. Determine o diametro do cilindro (1) e a pressao maxima do oleo. Naoprecisa de ter em conta o atrito do oleo no circuito hidraulico.

2. Calcule a amplitude do movimento vertical do cilindro (1) produzido pelodeslocamento da bomba (3) ao longo do seu curso.

3. A diferenca de cota z da bomba (3) relativamente a bomba (1) pode al-terar significativamente a forca de bombagem? Faca uma estimativa paraz = 15 m.

4. que modificacao introduziria na instalacao para o esforco de bombagem setornar independente da diferenca de cota z?

Solucoes:Com z = 0 m, a pressao maxima do oleo e 2, 83 105 Pa, para nao exceder aforca de 200 N no embolo da bomba (3).O diametro mnimo do cilindro (1) e 0,474 m (seria prudente prever um diametroum pouco maior). Um deslocamento de 0,3 m do embolo da bomba movimentao cilindro 1, 2 103 m.Com z = 15 m, a forca de elevacao aumenta 2, 26 104 N para a mesma forcaaplicada na bomba; a forca na bomba diminui 90,4 N para a mesma forca deelevacao do cilindro 1. A forca de bombagem torna-se independente da diferencade cota se o deposito acumulador de oleo nao estiver a pressao atmosferica, masa uma pressao tanto maior quanto maior for a diferenca de cota ate ao cilindrohidraulico (1).