Aula_12_SEM0104
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SEM0104 SEM0104 -- Aula Aula 1212Cinemtica Cinemtica e Cintica de e Cintica de Partculas no Plano e no Partculas no Plano e no EspaoEspaoPartculas no Plano e no Partculas no Plano e no EspaoEspao
Prof. Dr. Marcelo Prof. Dr. Marcelo BeckerBeckerSEM - EESC - USP
-
IntroduoIntroduo
Sistemas de Referncia
Diferena entre Movimentos
Sumrio da AulaSumrio da Aula
Diferena entre Movimentos
Cintica
EESC-USP M. Becker 2009 2/58
-
IntroduoIntroduo Cinemtica:estuda os movimentos dos
corpos (no suas causas)
Cintica ou Dinmica: estuda os
movimentos focando suas causas e origem
Anlise baseada na geometria do sistema
mecnico
3 Leis de Newton
Inrcia
Variao da Quantidade de Movimento Linear
Ao e Reao
EESC-USP M. Becker 2009 3/58
-
IntroduoIntroduo
Sistemas Sistemas de de RefernciaReferncia
Diferena entre Movimentos
Sumrio da AulaSumrio da Aula
Diferena entre Movimentos
Cintica
EESC-USP M. Becker 2009 4/58
-
Sistema de Referncia InercialSistema de Referncia Inercial Base vetorial com origem pr-definida
Vetor Posio
kzjyixrOAIrrrr
000 ++=z
=
0
0
0
z
yx
rOAIr
x
y
z
ij
krOA
Amplitude do vetor nas direes dos versoresA
O
EESC-USP M. Becker 2009 5/58
-
Sistema de Referncia InercialSistema de Referncia Inercial Vetor Velocidade
O vetor velocidade absoluta a derivada do
vetor posio (representado no sistema inercial)
( )
0xdtd
( )( )( )( )
=
==
0
0
0
0
0
0
z
yx
zdtd
ydtd
xdt
rdtd
v OAIAI
&
&
&rr
kzjyixvAIr
&r
&r
&r
000 ++=EESC-USP M. Becker 2009 6/58
-
Sistema de Referncia InercialSistema de Referncia Inercial Vetor Acelerao
O vetor acelerao absoluta a 2a derivada do
vetor posio (representado no sistema inercial)
( ) 022
xdtd
( )( )( )( )
=
==
0
0
0
02
2
02
2
02
2
2
z
yx
zdtd
ydtd
xdt
rdtd
a OAIAI
&&
&&
&&rr
kzjyixaAIr
&&r
&&r
&&r
000 ++=EESC-USP M. Becker 2009 7/58
-
Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema de Referncia Mvel:
Pode facilitar a representao de determinados
movimentos complexos (dividindo-os em
movimentos mais simples que se somam para
compor o movimento absoluto)compor o movimento absoluto)
Sistema Mvel com Translao Pura
Sistema Mvel com Rotao Pura
Matriz de Transformao de Coordenadas
Relao entre os sistemas de referncia que viabiliza a
passagem de um sistema mvel para o inercial e vice-
versa...
Qq. Movimento uma composio desses dois!...
EESC-USP M. Becker 2009 8/58
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Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Transladando
Sistema Inercial: I(x,y,z), origem O
Sistema Mvel: B1(x1,y1,z1), origem A
Bz
x
y
z
ij
kIrOA
A
O
B1rAB
i1j1
k1
B
x1
y1
z1 Cursores de ambos sistemas permanecem sempre paralelos!
111 ,,,, kjikjirrrrrr
{I}
{B1}
EESC-USP M. Becker 2009 9/58
-
Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Transladando
Assim:
=
ji
ji
r
r
r
r
0100011
=
kj
kj
r
r
r
r
100010
1
1
sIs IBrr
.
1= sIs BI
rr
1.
1=
EESC-USP M. Becker 2009 10/58
-
Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Transladando
Dado um vetor:
rIrr rrr .+=Bz
Posio de A no Sistema Inercial
ABBOAIOBI rIrrrrr
1.+=
x
y
z
ij
kIrOA
A
O
B1rAB
i1j1
k1
B
x1
y1
z1
IrOB
Posio de B no Sistema Inercial
Posio de B relativa a A no Sistema Mvel
{I}
{B1}
EESC-USP M. Becker 2009 11/58
-
Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Transladando
Para que a soma seja possvel necessrio que
o vetor seja representado no sistema
inercial:ABB rr
1
Bz
x
y
z
ij
kIrOA
A
O
B1rAB
i1j1
k1
B
x1
y1
z1
IrOBABBABI rIrrr
1.=
{I}
{B1}
EESC-USP M. Becker 2009 12/58
-
Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Transladando
Para calcular a velocidade absoluta:
Deriva-se o vetor posio com relao ao tempo
No sistema Inercial:
( )( ) ( )ABBOAIOBIBI rIrdtd
rdtd
vrrrr
1.+==
( ) ( ) ( )ABBABBOAI rdtdIrI
dtd
rdtd rrr
11.. ++=
0
ABIAIABBAI vvvIvrrrr
+=+=1
.
EESC-USP M. Becker 2009 13/58
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Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Transladando
Para calcular a acelerao absoluta:
Deriva-se o vetor velocidade com relao ao tempo
No sistema Inercial:
( ) ( )ABBOAIOBIBI rIrdtd
rdtd
arrrr
1.2
2
2
2
+==
ABIAIABBAI aaaIarrrr
+=+=1
.
EESC-USP M. Becker 2009 14/58
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Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Girando
Sistema Inercial: I(x,y,z), origem O
Sistema Mvel: B1(x1,y1,z1), origem A
Bz.
x
y
z
ij
kIrOA
A
O
B1rAB
i1j1
k1
B
x1
y1
z1
{I}
{B1}
.
Cursores de ambos sistemas deixam de ser paralelos e passam a manter uma relao que depende do ngulo
EESC-USP M. Becker 2009 15/58
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Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Girando
Supondo que o sistema mvel gire em torno de
z1:
Bz. 0 0
x
y
z
ij
kIrOA
A
O
B1rAB
i1j1
k1
B
x1
y1
z1
{I}
{B1}
.
=
)(00
tI
&
r
=
)(00
tI
&&
&r
EESC-USP M. Becker 2009 16/58
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Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Girando
Projetando-se os cursores do sistema mvel para
o inercial (forma matricial):
iscirr
0
x
y
i
j
O
i1j1 x1
y1
{I}{B1}
=
kji
cs
sc
kji
r
r
r
r
10000
1
1
1
sTs IBrr
.
1 = sTs BIrr
1.
1=
EESC-USP M. Becker 2009 17/58
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Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Girando
Como o determinante de T sempre unitrio:
TTT =1
x
y
i
j
O
i1j1 x1
y1
{I}{B1}
sTs IBrr
.
1 =
sTs BT
Irr
1.=
EESC-USP M. Becker 2009 18/58
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Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Girando
Supondo que o sistema mvel gire em torno de
y1:
=
sc 0
=
0 &r
x
z
i
k
O
i1k1 x1
z1
{I}{B1}
=
cs
T0
010
=
0)(tI &
r
EESC-USP M. Becker 2009 19/58
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Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Girando
Supondo que o sistema mvel gire em torno de
x1:
=
001
=
)(t
&
r
y
z
j
k
O
j1k1 y1
z1
{I}{B1}
=
cs
scT00
=
00I
r
EESC-USP M. Becker 2009 20/58
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Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Girando
Deve-se observar que a matriz de transformao
T depende do tempo!
{I} {B1111}T
TT
EESC-USP M. Becker 2009 21/58
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Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Girando
Dado um vetor:
TrTrr rrr .+=Bz
Posio de A no Sistema Inercial
.
ABBT
OAIOBI rTrrrrr
1.+=
x
y
z
ij
kIrOA
A
O
B1rAB
i1j1
k1
B
x1
y1
z1
IrOB
Posio de B no Sistema Inercial
Posio de B relativa a A no Sistema Mvel
{I}
{B1}
.
EESC-USP M. Becker 2009 22/58
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Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Girando
Para que a soma seja possvel necessrio que
o vetor seja representado no sistema
inercial:
ABB rr
1
Bz.
x
y
z
ij
kIrOA
A
O
B1rAB
i1j1
k1
B
x1
y1
z1
IrOBABB
TABI rTr
rr
1.=
{I}
{B1}
.
EESC-USP M. Becker 2009 23/58
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Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Girando
Para calcular a velocidade absoluta:
Deriva-se o vetor posio com relao ao tempo
No sistema Inercial:
( ) ( )ABBTOAIOBIBI rTrdtd
rdtd
vrrrr
1.+==
( ) ( ) ( )ABBTABBTOAI rdtdTrT
dtd
rdtd rrr
11.. ++=
( ) ABBTABBTIAI vTrTv rrrr 11 .. ++=EESC-USP M. Becker 2009 24/58
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Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Girando
Assim:
( ) ABBTABBTIAIBI vTrTvv rrrrr 11 .. ++=
ABIABIIAIBI vrvvrrrrr
++=
EESC-USP M. Becker 2009 25/58
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Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Girando
Para calcular a acelerao absoluta:
Deriva-se o vetor velocidade com relao ao tempo
No sistema Inercial:
( ) ( )ABBTOAIOBIBI rTrdtd
rdtd
arrrr
1.2
2
2
2
+==
( ) ( ) ( )
++= ABB
TABB
TOAI rdt
dTrTdtd
rdtd
dtd rrr
11..
( )[ ]ABBTABBTIAI vTrTvdtd rrrr
11.. ++=
EESC-USP M. Becker 2009 26/58
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Sistema de Referncia MvelSistema de Referncia Mvel Sistema Mvel Girando
Assim:
( ) ( ) ( ) ( ) ABBTIABBTIAIBI rTdtd
rTdtd
vdtd
arrrrrr
11.. ++=
( ) ( ) ( ) ( )ABBTABBTABBTI rdtdTr
dtdT
dtd
rdtdT
dtdtdtrrrr
111 2
2
... +++
( ) ( )( )( ) ( ) ABBTABBTIABBTI
ABBT
IIABBT
IAIBI
aTvTvT
rTrTaarrrrr
rrrr&rrr
111
11
...
..
+++
++=
EESC-USP M. Becker 2009 27/58
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Exerccio 1Exerccio 1 Imagine que um pisto hidrulico com uma massa m em sua
extremidade gire com velocidade angular em relao ao eixo Z (inercial). Um sistema mvel de referncia X1Y1Z1,
solidrio ao pisto gira tb. com uma velocidade angular . Obtenha os vetores posio, velocidade e acelerao do
ponto B nos sistemas inercial e mvel.
.
.
ponto B nos sistemas inercial e mvel.
X
Y
Z = Z1.
Y1
X1B
EESC-USP M. Becker 2009 28/58
-
Exerccio 2Exerccio 2 Imagine o disco principal B girando com velocidade angular
constante. Um disco secundrio D montado a uma
distncia b em relao ao centro de rotao do disco
principal sobre o suporte C (fixo no disco principal). O centro
do disco secundrio encontra-se a uma altura c em relao
ao disco principal e sua rotao p constante. Deseja-se ao disco principal e sua rotao p constante. Deseja-se
calcular a acelerao absoluta de um ponto A no disco
secundrio, exatamente no instante em que = 0o e o ponto A encontrar-se na posio vertical em relao ao disco
secundrio.
EESC-USP M. Becker 2009 29/58
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Exerccio 2Exerccio 2 Figura
EESC-USP M. Becker 2009 30/58
-
Exerccio 3Exerccio 3 Imagine uma placa montada sobre um eixo rotativo. Nesta
placa constri-se um rasgo onde uma partcula A, conectada
a uma mola, executa um movimento retilneo. O eixo gira
com uma velocidade angular (t) e uma acelerao angular (t). A partcula executa movimentos oscilatrios retilneos s(t) dentro do rasgo. O rasgo construdo na placa com um
..
.
dentro do rasgo. O rasgo construdo na placa com um
ngulo de inclinao (fixo). Determine os vetores de velocidade e acelerao absoluta do ponto A.
EESC-USP M. Becker 2009 31/58
-
Exerccio 3Exerccio 3 Figura
EESC-USP M. Becker 2009 32/58
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Exerccio 4Exerccio 4 O sistema mecnico mostrado na figura composto pela
estrutura A, pelo rotor B, pelo brao com massa desprezvel C
e pela massa concentrada D. Trs sistemas de referncia
devem ser utilizados, sendo o 1o Inercial, o 2o, B1 fixo no rotor,
e o 3o, B2 solidrio ao brao C. A velocidade angular do rotor
[rad/s], variando com uma taxa [rad/s2]. Em um dado ... [rad/s], variando com uma taxa [rad/s ]. Em um dado instante os ngulos e so diferentes de 0o, e a rotao e acelerao do sistema brao-massa pontual dada por e . Obtenha os vetores posio, velocidade e acelerao absoluta da massa pontual em D.
.
..
EESC-USP M. Becker 2009 33/58
-
Exerccio 4Exerccio 4 Figura Y=Y1
B
C
X =X1
R . ..
O O1
LNo instante representado
X2Y2
A
D
.
..
LNo instante representado
X=X1 e Y=Y1
EESC-USP M. Becker 2009 34/58
-
IntroduoIntroduo
Sistemas Sistemas de de RefernciaReferncia
Diferena entre MovimentosDiferena entre Movimentos
Sumrio da AulaSumrio da Aula
Diferena entre MovimentosDiferena entre Movimentos
Cintica
EESC-USP M. Becker 2009 35/58
-
Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos Movimentos Planos
Caracterizados por rotaes
consecutivas em torno dos mesmos eixos
(Z, Z1, Z2, ...)(Z, Z1, Z2, ...)
Assim:
Bn-1n.
=
00n.
...B23
.
=
003.
B12.
=
002.
I1.
=
001.
36/58EESC-USP M. Becker 2009
-
Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos As matrizes de Transformao tm a
seguinte estrutura:
T=
cos1-sen
sin1cos
00 .= TB s sT1 = -sen1
0cos1
001
.= T1B1s Is
Tn =cosn-senn
0
sinncosn
0
001
.= TnBns Bn-1s
.
.
.
.
.
.
37/58EESC-USP M. Becker 2009
-
Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos Transformao de Coordenadas da base
inercial { I } para a ltima base mvel {Bn}:
.= TBns Is
T=
c1-s1
0
s1c10
001
cn-sn
0
sncn0
001
...
T=
001
c(1+ ...+n)-s(1+ ...+n)
0
s(1+ ...+n)c(1+ ...+n)
038/58EESC-USP M. Becker 2009
-
Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos As velocidades angulares absolutas no
sistema inercial { I } sero:
I1.
=
00I1 = .T+
00I1
.
I2 =T
B 2.
=I1 = 01.
I1 = .T1+ 01 + 2.
I1I2 = B12 =.
.T1+00
1 + 2 +...+ n.
I1.
In =T
B12.
=.
.T1T
Bn-1n.
+ +... ... Tn-1
T
.
39/58EESC-USP M. Becker 2009
-
Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos Assim, observa-se que em
movimentos planos, as rotaes
ocorrem sempre no mesmo eixo,
podendo ser somadas diretamente...podendo ser somadas diretamente...
Caso as rotaes 1, 2, ..., n sejam constantes, as respectivas
aceleraes angulares sero nulas!
. . .
40/58EESC-USP M. Becker 2009
-
Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos Movimentos Tri-dimensionais
Neste caso, as rotaes ocorrem
sucessivamente em eixos diferentes (p.e.:
Z, X1, Z2, ...)Z, X1, Z2, ...)
Assim:
B23.
=
003.
B12.
=
200
.
I1.
=
001.
41/58EESC-USP M. Becker 2009
-
Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos As matrizes de Transformao:
T1 =c1-s1
0
s1c10
001
.= T1B1s Is
T2 =0
c2-s2
0s2c2
100
.= T2B2s B1s
T3 =c3-s3
0
s3c30
001
.= T3B3s B2s
42/58EESC-USP M. Becker 2009
-
Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos As velocidades angulares absolutas no
sistema inercial { I } sero:
I1.
=
00I1 = .T+
2.c1 .s
.
I1.
I2 =T
B 2.
=
.
I1 = 01.
I1 = .T1+ 2.s11
I1I2 = B12 =.
.T1+.
I1.
I3 =T
B12.
=
.
.T1T
B23.
+.T2
T
.
2.c1 + 3.s1 .s22.s1 - 3.c1 .s2
1 + 3.c2
.
. .
43/58EESC-USP M. Becker 2009
-
Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos Assim, observa-se neste exemplo que em
movimentos 3-D, embora as rotaes
fossem apenas nos eixos X e Z (sistemas
mveis), quando vistas no sistema Inercial,
surgem termos em Y...surgem termos em Y...
Mesmo que as rotaes 1, 2, ..., n sejam constantes, as respectivas aceleraes
angulares, vistas no sistema inercial, NONOsero nulas (Apesar de 1, 2, ..., n serem nulas...).
.... ..
. . .
44/58EESC-USP M. Becker 2009
-
Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos As aceleraes angulares absolutas no
sistema inercial { I } sero:
I1.
=
00I1 = d =
00I1 = 0
1..
I1 = ddt
= 00
1.2.s11.2.c1
0
. .
.
I2.
=I2 = ddt
.
45/58EESC-USP M. Becker 2009
-
Diferenas entre MovimentosDiferenas entre Movimentos
1.2.s1 + 1.3.c1.s2 + 2.3.s1.c2 1.2.c1 + 1.3.s1.s2 + 2.3.c1.c2
2.3.s2
. . .
I3.
=I3 = ddt
. ..
. . . . . .
. .
As aceleraes angulares absolutas dos
sistemas B2 e B3 aparecem pois os vetores
velocidade angular variam de direo...
46/58EESC-USP M. Becker 2009
-
IntroduoIntroduo
Sistemas Sistemas de de RefernciaReferncia
Diferena entre MovimentosDiferena entre Movimentos
Sumrio da AulaSumrio da Aula
Diferena entre MovimentosDiferena entre Movimentos
CinticaCintica
EESC-USP M. Becker 2009 47/58
-
CinticaCintica Foca causas e origem de movimentos
Baseia-se nas 3 Leis de Newton:
Primeira Lei de Newton ( Princpio da Inrcia):"Ummvel tende a permanecer em repouso ou emmovimento retilneo e uniforme se a resultante das
Sir IsaacSir Isaac NewtonNewton(1642(1642--1727)1727)
movimento retilneo e uniforme se a resultante dasforas que atuam sobre ele for nula."
Segunda Lei de Newton (Princpio Fundamental):"Se um corpo estiver sujeito a uma resultante nonula, esta causar uma acelerao proporcional sua intensidade."
Terceira Lei de Newton (Princpio da Ao eReao): "Para cada fora de ao correspondeuma fora de reao com as seguintescaractersticas:mesma direo; sentidos contrrios; emesma intensidade.
48/58EESC-USP M. Becker 2009
-
CinticaCinticaPrimeira Lei de Newton
(Princpio da Inrcia):
Se nenhuma fora externa for aplicada sob Se nenhuma fora externa for aplicada sob
uma partcula, esta manter sua
quantidade de movimento linear constante
IJA = m . IvA = cte
49/58EESC-USP M. Becker 2009
-
CinticaCinticaSegunda Lei de Newton
(Variao da Quantidade de Movimento Linear):
A Quantidade de Movimento Linear de uma A Quantidade de Movimento Linear de uma
partcula s pode ser alterada mediante a
aplicao de foras externas
=ddt
m . IvA = m . IvA + m . IvA.
.
IJAi =1
n
IFi =ddt
50/58EESC-USP M. Becker 2009
-
CinticaCintica
Considerando que a variao de massa seja
nula:
= m . IvA + m . IvA.
.
Jn
IFi =d
= m . IvA + m . IvAIJAi =1
IFi =dt
0
ou m . BnaAi =1
n
BnFi =m . IaAi =1
n
IFi =
51/58EESC-USP M. Becker 2009
-
CinticaCinticaTerceira Lei de Newton
(Princpio da Ao e Reao):
Torna possvel a construo de Diagramas Torna possvel a construo de Diagramas
de Corpo Livre
2a e 3a Leis juntas tornam possvel obter um
conjunto de equaes responsvel por
descrever o movimento do corpo ao longo
do tempo e obter as foras...
52/58EESC-USP M. Becker 2009
-
CinticaCintica Equaes de Movimento:
Equaes Diferenciais de 2a Ordem
Lineares
No Lineares
x(t) = (x(t); x(t)).. .f
x(0); x(0). Condies Iniciais de Movimento
53/58EESC-USP M. Becker 2009
-
ExerccioExerccio A partcula a seguir desloca-se sobre um cano
girando com velocidade angular constante . Pede-se para determinar a equao de movimento da partcula.
2
54/58EESC-USP M. Becker 2009
-
ExerccioExerccio
Sistemas de coordenadas...
Y =Y1
Y2
Z2
2
2x(t)
BA
X
Z
X1Z1 1
X2
Z2
O
A
55/58EESC-USP M. Becker 2009
-
ExerccioExerccio O sistema mecnico mostrado na figura composto pela
estrutura A, pelo rotor B, pelo conjunto brao-mola com
massa desprezvel C e pela massa concentrada D. Trs
sistemas de referncia devem ser utilizados, sendo o 1o
Inercial, o 2o, B1 fixo no rotor, e o 3o, B2 solidrio ao conjunto
brao-mola C. A velocidade angular do rotor [rad/s], ..
.
brao-mola C. A velocidade angular do rotor [rad/s], variando com uma taxa [rad/s2]. Em um instante genrico t, os ngulos e so diferentes de 0o, e a rotao do sistema brao-mola dada por e . Calcule: (a) as matrizes de transformao de coordenadas dos sistemas mveis para o
inercial e vice-versa; (b) uma expresso analtica para a
velocidade angular absoluta da base B2 representando-a no
sistema de referncia B2;
..
. ..
56/58EESC-USP M. Becker 2009
-
Continuao...Continuao...
(c) Em um dado instante de tempo, o brao C travado no
ponto O1 e impedido de girar, ficando na posio 0. Determine uma expresso analtica para a acelerao absoluta da massa
no sistema mvel B2; (d) Calcule as componentes da fora
normal entre massa e brao uma mola com constante de normal entre massa e brao uma mola com constante de
elasticidade k e desprezando-se o atrito entre a partcula e o brao; (e) Obtenha uma expresso analtica para o movimento
da massa D no sistema mvel de referncia assumindo-se como
condies iniciais de movimento: brao travado em O1, L(0) = 0
e L(0) = 0..
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Exerccio Exerccio Figura Y=Y1
B
C
X =X1
R . ..
O O1
LNo instante representado
X2Y2
L(t)
A
D
.
..
LNo instante representado
X=X1 e Y=Y1
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