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Curso de Engenharia - UNIVESP

Disciplina Matemática

Bimestre 1

Exercícios da semana 5 - vídeoaulas 17 e 18

Resumo da aula:

Todo problema que pode ser equacionado na forma matemática busca encontrar uma solução.

Ou seja, procura-se pelo número, ou números, que satisfaçam determinadas condições.

Seguindo esse raciocínio poderíamos pensar que basta encontrar uma solução para equação que

qualquer problema em matemática está resolvido. Mas não é isso que acontece.

Muitas vezes, um problema encontra duas ou mais soluções possíveis e, dependendo do caso,

uma delas pode não ser apropriada para resolver a equação.

Assim, às vezes o que importa é não somente encontrar a solução de um problema, mas sim

encontrar a melhor forma de resolvê-lo.

Os problemas de otimização são um exemplo disso. Nesses casos, o importante é procurar a

melhor solução para resolver o problema: o menor custo, o maior rendimento, o melhor caminho,

o que leva o menor tempo, etc.

Existem alguns métodos para resolver problemas de otimização. O mais simples é a partir do

equacionamento de problemas lineares, ou seja, que envolvem somente equação do primeiro

grau (que, no plano cartesiano são representadas como uma reta).

Nessa aula, esse tema é tratado com maiores detalhes e é demonstrado como resolver alguns

desses problemas.

Joel Vieira de Lima Júnior.

02/10/2014.

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Exercícios das vídeoaulas 17 e 18 – Matemática

Texto A

Achar o ótimo é mais do que simplesmente resolver um problema: é encontrar a melhor solução

possível, o que significa, quase sempre, maximizar ou minimizar uma função. Problemas que se

limitam à ideia de proporcionalidade envolvem apenas cálculos matemáticos simples, como foi

visto em aula: funções do primeiro grau, equação da reta, representação de igualdades e

desigualdades no plano cartesiano, interseção de retas etc. A partir da situação problema, o

desafio é encontrar a função a ser otimizada, representar as exigências sobre ela por meio de

equações ou inequações, e buscar as técnicas que conduzem às respostas das perguntas

formuladas. Um roteiro para isso foi apresentado na resolução dos problemas em aula. Vamos

explicitar tal roteiro por meio de uma sequência de perguntas no problema a seguir. A atividade a

ser realizada consiste em ler com atenção o enunciado do problema, inclusive a tabela que

registra os dados, e responder as perguntas parciais formuladas, efetuando os cálculos indicados,

até chegar à solução.

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PROBLEMA (problema 3 da aula)

Uma indústria pode produzir dois tipos de produtos, A e B, utilizando três tipos de materiais, I, II e

III. O modo como ela opera é descrito na tabela abaixo:

Produtos >>

Materiais

A B Estoque

I 1 3 10

II 2 2 12

III 0 1 4

Lucro unitário >> 4 reais 6 reais Lucro Total

L

(Para produzir uma unidade de A utilizam-se 1 unidade do material I, 2 unidades do

material II e nada do material III; no caso de B, utilizam-se 3 unidades do material I, 2

unidades de II e 1 unidade de III)

Determine quantas unidades devem ser produzidas de A e quantas de B de modo que o

Lucro Total seja máximo

ROTEIRO PARA A RESOLUÇÃO

1. Qual a função a ser otimizada? Trata-se da busca de um máximo ou de um mínimo?

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Quantidade de unidades a serem produzidas de dois produtos para ter um lucro máximo. Ou seja, a busca é

do lucro máximo.

2. Quais as limitações impostas aos valores de x e y, devido à natureza do problema e às

condições da produção?

3. Como se formula o problema proposto sinteticamente, na linguagem matemática?

Lucro total = 4a + 6b

4. Represente no plano cartesiano os pontos (x, y) que satisfazem a restrição x + 3y ≤ 10

5. Represente no plano cartesiano os pontos (x;y) que satisfazem às inequações 2x + 2y ≤ 12

(material II) e y ≤4 (material III)

6. Represente no plano cartesiano a região que corresponde aos pontos (x; y) que satisfazem

simultaneamente todas as condições do enunciado.

7. Para escolher entre os pontos de V o que responde a pergunta do problema, ou seja, o par (x; y) que torna o Lucro L máximo, calcule o valor de L = 4x + 6y em um ponto qualquer da região V; por exemplo, no ponto (6; 0).

8. Note que o valor de L é 24 ao longo de toda a reta 4x + 6y = 24. Represente tal reta no plano cartesiano, juntamente com a região de viabilidade V.

9. Calcule o valor de L em outro ponto da região de viabilidade, por exemplo, no ponto (0; 10/3).

10. Verifique que a reta 4x + 6y = 20, ao longo do qual o lucro L é igual a 20, é paralela à reta 4x + 6y = 24, situando-se abaixo dela. Como o ponto em que a reta 4x + 6y = L corta o eixo Y no ponto (0; L/6), quanto maior o lucro L, mais alto no eixo Y é o ponto em que a reta L = 4x + 6y o corta. Assim, o lucro máximo corresponde à reta L = 4x + 6y que corta o eixo Y no ponto mais alto. Será uma reta paralela a 4x +6y = 20, mas que passa pelo ponto da região V que possibilita o maior valor da ordenada em que corta o eixo Y. Verifique que tal ponto é justamente a interseção das retas I e II. Determine esse ponto e calcule o valor de L correspondente. Esse será o máximo lucro possível, respeitadas as exigências do enunciado.

Respostas sintetizadas no gráfico a seguir:

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Texto B

Problemas que envolvem a determinação do valor mínimo de uma função podem ser resolvidos de maneira análoga ao de valor máximo, com a permuta de desigualdades do tipo ax + by < c por outras do tipo ax + by > c. Para praticar mais um pouco a solução de problemas lineares de otimização, vamos agora tratar de um problema de minimização. O roteiro será mais simplificado, nos exercícios que seguem, mas a ideia é basicamente a mesma dos problemas já resolvidos até este ponto.

Uma informação complementar, apenas para ativar a curiosidade: problemas de máximos e de mínimos relacionam-se intimamente com frequência. A busca do máximo lucro pode estar associada ao mínimo custo, por exemplo.

Uma ideia interessante é pensar nessa dualidade, ao enfrentar problemas concretos.

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PROBLEMA (problema 4 da aula)

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Uma pessoa deve fazer uma dieta alimentar que forneça diariamente pelo menos as quantidades de vitaminas B1 e B2 indicadas na tabela abaixo. Por razões de saúde, a dieta deve incluir apenas os alimentos I e II, acondicionados em pacotes de 100g.

Determine o número de pacotes de cada tipo de alimento que deve ser ingerido de modo que as prescrições médicas sejam cumpridas e o custo da alimentação seja o menor possível.

alimento I

pacote de 100g tem:

alimento II

pacote de 100g tem:

prescrição médica

(mínimo diário)

vitamina B1 1,00 mg 0,50 mg 4,00 mg

vitamina B2 0,60 mg 1,20 mg 6,00 mg

preço do pacote 6,00 reais 4,00 reais Custo Total: C

Roteiro para a Resolução

1. Devemos determinar o número x de pacotes do alimento I e o número y de pacotes do alimento II a serem consumidos de modo a o custo total C da alimentação ser mínimo, satisfeitas as condições da dieta. Expresse o custo C em função de x e y.

2. Expresse as condições impostas pela dieta em termos de x e y.

3. Represente no plano cartesiano os pontos que satisfazem a desigualdade 2x + y ≥ 8, os que satisfazem a desigualdade 6x + 12y ≥ 60, e a região de viabilidade para o problema

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4. Determine o ponto de interseção das retas correspondentes a B1 e B2.

(2, 4) 5. Calcule o custo da dieta em um ponto qualquer da região de viabilidade, por exemplo, o

ponto (10; 0). Mostre que o custo mantém esse valor constante ao longo de uma reta. Represente essa reta no plano cartesiano.

C = 6x + 4y C = 60

6. Calcule o custo da alimentação no ponto (8;0), mostre que ele é constante ao longo de uma reta paralela à do custo C = 60, mas que se situa abaixo dessa reta.

(0, 8) C = 6.0 + 4.8 C = 32

7. Mostre que a reta que corresponde ao custo mínimo é a que passa pelo ponto mais baixo da região de viabilidade, ou seja, pelo ponto de interseção das retas correspondentes a B1 e B2, calculado anteriormente. O valor mínimo do custo é o valor de C = 6x + 4y nesse ponto. Determine tal valor.

(2, 4) C = 6.2 + 4.4 C = 28

Gráfico que responde às questões anteriores:

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