Matemtica Financeira

Administrao

Prof. Iuri Jauris

1 Semestre de 2015

Centro Universitrio Franciscano

1. Regime de Capitalizao Composta

Nos juros simples vimos que os juros produzidos a cada perodofinanceiro eram iguais pois a base de clculo para todos os perodosera a mesma, ou seja o Valor Presente (PV). A base conceitual era aPA (Progresso Aritmtica)

No regime de juros compostos os juros produzidos a cada perodofinanceiro passam a compor o capital para clculo dos juros noperodo seguinte, mudando, portanto, a base de clculo. Quando este o processo de capitalizao tais juros so chamados de JurosCompostos, Juros Acumulados ou Juros Capitalizados ou Jurossobre Juros.

No sistema de juros compostos, os juros produzidos a cada perodo financeiros so crescentes.

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Os Juros Compostos so de relevante importncia pois acapitalizao composta a que melhor retrata a realidade. Ascompras a prazo, a Caderneta de Poupana, o financiamento dacasa prpria so alguns exemplos onde a capitalizao composta.

1.2. Juros Compostos

Sejam:

- PV o Valor Presente (Present Value) , Capital ou Valor Atual;- J os juros produzidos;- n o prazo de aplicao;- i a taxa unitria de juros compostos;- FV o Valor Futuro (Future Value), Montante ou Valor Final.

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Seja um capital PV aplicado taxa i de juros compostos por nperodos, teremos para FV:

1 Perodo: FV1 = PV(1+i)

2 Perodo: FV2 = FV1(1+i) = PV(1+i)(1+i) = PV(1+i)2

3 Perodo: FV3 = FV2(1+i) = PV(1+i)2(1+i) = PV(1+i)3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n Perodo: FVn = FVn-1 (1+i) = PV(1+i)n assim,

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1n

FV PV i

PV2 = FV1

PV3 = FV2

O termo (1 +i)n na equao anterior tambm denominado deFator de Acumulao de Capital para Pagamento Simples ou nico.Temos ento:

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. ,FV PV FACs i n

Exemplo 1: Qual o montante produzido por um capital de R$250.000 que ficou aplicado durante 1 ano e 2 meses taxa de 7,5%a.m. de juros compostos?

R: 1 688.111,01n

FV PV i

61.3. Valor Presente a uma Taxa Constante

O valor presente ento pode ser determinado por:

1n

FVPV

i

denominado Fator de Valor Atual para Pagamentos Simples.

Assim , temos que:

. ,PV FV FVAs i n

1

1n

i

1n

Se FV PV i

1.4. Clculo dos Juros Compostos

Uma vez que se conhecem o Valor Futuro (FV) e o Valor Presente (PV)pode-se determinar a frmula para clculo do juro (J) de uma operaofinanceira a juros compostos:

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J FV PV

1n

J PV i PV

1 1n

J PV i

Exemplo 2: Qual o capital que, aplicado a 8,2% a.m., durante 6meses, rende juros compostos de R$ 75.573,51?

8

R: 1 1 125.000,01n

J PV i

1.5. Taxa de Juros Compostos

1 1n nFV

FV PV i iPV

Da equao inicial temos que:

Logo;

1

1 1 1

n

n nFV FV FV

i i iPV PV PV

9 Exemplo 3: Um investidor aplicou R$ 320.000,00 em ttulos, queproporcionaro um resgate de R$ 397.535,00 aps 90 dias deaplicao. A que taxa mensal de juros compostos est aplicado oseu capital

R:

1

1 0,075 . .

nFV

i a mPV

Exemplo 4: Uma pessoa toma emprestado a juros de 6% a.m. R$16.450,00 pelo prazo de 8 meses. Qual o montante a ser devolvido?Quanto o juro pago?

26.218,80FV R:

9.768,80J

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1.6. Prazo a uma Taxa Constante

1 1 ln ln 1n n nFV FV

FV PV i i iPV PV

Novamente da equao inicial temos que:

logo:

ln

ln 1 lnln 1

FV

FV PVn i n

PV i

11

Exemplo 5: Se a inflao mensal est em torno de 7%, em quanto tempouma mercadoria que custa R$ 15.000 atingir o preo de R$ 26.670,00?

R:

ln

8,5ln 1

FV

PVn meses

i

Exemplo 6: Qual o capital que, aplicado a 3,2% a.m., durante 6 meses,rende juros com-postos de R$ 6.563,00?

R: PV = 31.548,18

Exemplo 7: Um investidor aplicou R$ 319.985,00 em ttulos que, lheproporcionaro um resgate de R$ 337.004,00 aps 90 dias de aplicao. Aque taxa mensal de juros compostos est aplicado o seu capital?

R: PV = 31.548,18

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LISTA DE EXERCCIOS 4

2. VALOR FUTURO A TAXAS VARIVEIS

At agora tratamos a Capitalizao composta com uma taxa fixapara todos os perodos. Isto uma caracterstica de operaes comtaxa pr - fixada.

No mercado financeiro so comuns operaes onde a taxa conhecida aps apurada a inflao do perodo e, muitodificilmente so iguais em todos os perodos da operao. So astaxas ps-fixadas.

Considerando um capital PV, aplicado a juros compostos e s taxasseguintes:

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i1 no 1 perodo

i2 no 2 perodo

i3 no 3 perodo

............................

in no n-simo perodo

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1 2 31 1 1 ... 1 nFV PV i i i i

Exemplo1: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado por trs mesesconsecutivos s taxas mensais de 3,60%, 3,5% e 3,02%. Qual o valora resgatar aps vencido o terceiro ms?

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1 2 31 1 1 ... 1 1.104,64nFV PV i i i i R:

Exemplo2: Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado por trs meses,no primeiro ms rendeu 3,0%, no segundo 4,0% e, ao final doterceiro ms o total de juros mais capital importava em R$11.200,00. A que taxa de juros mensal esteve aplicado no terceiroms?

R: 3 0,04555 . .i a m

2.1. Taxa Total de Juros

A taxa total do perodo pode ser dada por:

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1 2 3(1 )(1 )(1 )...(1 ) 1ni i i i i

ou

Taxa total de juros (no perodo).

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1 2 3 nPV(1+i )(1+i )(1+i )...(1+i )1 1

FVi i

PV PV

Exemplo 3: Qual a taxa total de juros no perodo do exerccio anterior?

R: i = 0,119 a.p.

Exemplo 4: Um fundo de aes teve os seguintes rendimentos:

Jan/07: + 3,98%

Fev/07: + 5,17%

Mar/07: - 5,12%

Abr/07: - 0,94%

4.1. Qual a rentabilidade acumulada nesses quatro meses?

4.2. Qual deve ser a rentabilidade no perodo maio/junho 07 para que se

atinja, no semestre uma rentabilidade acumulada de 6,00% ?

4.3. Supondo que a rentabilidade de maio/07 seja de 3,60%, determine a

rentabilidade que deve ocorrer em junho/07 para que a rentabilidade

acumulada do semestre seja 6,00%.

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R:

4.1) i1-4 = 0,0278 (taxa total de juros em 4 meses)

4.2) i1-6 = (1+ i1-4 )(1 + i5-6 ) -1 = 0,06 i5-6 = 0,03132 (em maio/junho)

4.3) i6 = -0,00451 (em junho)

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2.2. Valor Futuro para Perodos Fracionrios

Se denominarmos n o nmero de perodos inteiros em que ocapital permanecer aplicado e n1 a frao de perodo de aplicao,teremos:

PV Capital Aplicado

n n de perodos inteiros

n1 frao de perodo

FV = ?

A determinao de FV depende de como est regulamentado o perodofracionrio n1. Duas situaes podem ocorrer:

i) No remunerao no perodo fracionrio;

ii) Remunerao no perodo fracionrio.

Quando houver remunerao no perodo fracionrio esta poder ser ajuros simples ou a juros compostos. Se a remunerao for a juros simplestemos que se convencionou a chamar de Conveno Linear , se a juroscompostos Conveno Exponencial.

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Exemplo: Suponhamos que um capital de R$ 18.000,00 estejaaplicado a juros compostos de 7,50% a.m. por trs meses e meio.

Como o perodo a que se refere a taxa o ms e temos um nmerono inteiro de meses, precisamos adotar alguma conveno para oclculo do montante numa situao como essa.

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2.2.1. Remunerao do Capital Somente no Perodo Inteiro (no remunerao no perodo fracionrio)

Nesse caso o capital s ser remunerado aps um nmero inteiro deperodos. Assim teremos:

Assim temos que:

Logo para o exemplo anterior, se um capital de R$ 18.000,00 aplicado a juros compostos de 7,50% a.m. por trs meses e meio,teramos;

PV = 18.000

i = 0,075 a.m.

n = 3 meses

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1 1n

FV FV n FV n n PV i

1 22.361,34n

FV PV i

Quando o prazo de uma operao financeira for fracionrio emrelao ao prazo que a taxa se refere preciso estabelecer o critriopara o clculo dos juros na parte fracionria do prazo. Assim, temoso que se convencionou chamar de CONVENO LINEAR (jurossimples) e CONVENO EXPONENCIAL (juros compostos).

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2.2.2. Remunerao do Capital tambm no Perodo Fracionrio

2.2.2.1. Conveno Linear

A conveno linear aquela que remunera a juros compostos aparte inteira do perodo considerado, e a juros simples a parte nointeira do perodo considerado.

Assim tem-se que:

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11 1 .n

FV PV i i n

PV = 18.000i = 0,075 a.m.n = 3 mesesn1 = 0,5 meses

11 1 . 23.199,76n

FV PV i i n

e pelo problema anterior teramos ento:

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2.2.2.2. Conveno Exponencial

A conveno exponencial remunera a juros compostos todo operodo de aplicao. Assim,

11n n

FV PV i

PV = 18.000i = 0,075 a.m.n = 3 mesesn1 = 0,5 meses

11 23.184,73n n

FV PV i

e pelo problema anterior teramos ento:

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LISTA DE EXERCCIOS 5

3. Taxas Proporcionais e Equivalentes

Enquanto no regime de juros simples as taxas proporcionais e astaxas equivalentes se confundem, favorecendo muitas vezes atuma identidade entre esses 2 conceitos, no regime de juroscompostos a diferena entre esses 2 conceitos muito maisperceptvel.

No regime de juros compostos as taxas proporcionais no soequivalentes e fazem capitais iguais aplicados a tempos iguaisproduzirem montantes diferentes.

Observe o exemplo a seguir:

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Exemplo1: Trs investidores A, B e C tinham cada um R$ 10.000,00para aplicar. A aplicou a 120% a.a, B aplicou a 60% a.s. e C aplicou a10% a.m. Quais os montantes de cada um desses trs investidoresdepois de decorrido 1 ano?

R:

A : FV = 22.000; B: FV = 25.600; C: FV = 31.384,28

Logo, observe que: Embora as taxas de 120% a.a, 60% a.s., e 10%a.m. sejam proporcionais, quando aplicadas a capitais iguais porprazos iguais, produziram montantes diferentes. Sendo assim, oclculo de taxas equivalente, no regime de juros compostos no serestringe a uma simples proporo.

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Taxas Equivalentes

Taxas equivalentes so taxas de juros fornecidas em unidades de tempodiferentes que, ao serem aplicadas a um mesmo capital, durante ummesmo prazo, produzem um mesmo montante no final daquele prazo, noregime de juros compostos. Dessa forma temos que:

Onde;

ieq = taxa equivalente (que se quer calcular);

i = taxa fornecida;

QQ = quanto eu quero, perodo desejado (para o qual se deseja calcular ataxa equivalente);

QT = quanto eu tenho, perodo fornecido (aquele a que se refere a taxafornecida).

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/

1 1 .100QQ QT

eqi i

(dado em %)

Exemplo 1 : Calcular a equivalncia entre as taxas:

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Taxa Conhecida Taxa equivalente para:

a) 79,5856% ao ano 1 ms

b) 28,59% ao trimestre 1 semestre

c) 2,5% ao ms 105 dias

d) 0,5 ao dia 1 ano

e) 25% (ano comercial) 1 ano exato ( base 365 dias)

R:

a)ieq = { ( 1 + ic)

QQ/QT - 1 } . 100 ieq = { ( 1 + 0,7958)30/360 - 1 } . 100 ieq = { ( 1 + 0,7958)0,083333 - 1 } . 100 ieq = { 1,049997 - 1 } . 100 ieq = { 0,049997 } . 100

b) ieq = { ( 1 + 0,2859)180/90 - 1 } . 100 ieq = { ( 1 + 0,2859)2 - 1 } . 100 ieq = { 1,653539 - 1 } . 100 ieq = { 0,653539 } . 100

Exemplo 2: Determinada Instituio Financeira paga juros de56,42% a.a. Pede-se qual a taxa paga numa aplicao de 67 dias.

R: 8,68% ao perodo (67 dias)

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c)ieq = { ( 1 + 0,025)105/30 - 1 } . 100 ieq = { ( 1, 025)3,5 - 1 } . 100 ieq = { 1,090269 - 1 } . 100

d) ieq = { ( 1 + 0,005)360/1 - 1 } . 100 ieq = { ( 1,005)360 - 1 } . 100 ieq = { 6,022575 - 1 } . 100

e) ieq = { ( 1 + 0,25)365/360 - 1 } . 100ieq = { ( 1, 25)1,013889 - 1 } . 100 ieq = { 1,253880 - 1 } . 100 ieq = { 0,253880 } . 100

Exemplo 3:Em 1985 a rentabilidade das Cadernetas de Poupana foi de 31,66% a.a. Qual a taxa de rentabilidade trimestral deste ano?

Resp: ieq = 7,118% a.t.

Exemplo 4: Qual a taxa mensal de juros compostos que faz com queo capital de R$ 100,00 produza, em um ano, o mesmo montanteque produz com a taxa anual de 45%?

Resp.: 3,14% a.m.

Exemplo 5: O Produto Nacional Bruto de um pas cresceu 200% em10 anos. Qual foi a taxa de crescimento anual?

Resp.: 11,6123% a.a.

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LISTA DE EXERCCIOS 6