AXIOMAS DE PEANO E OS NÚMEROS NATURAIS

Hugo Felipe Gequelim [Bolsista PICME/CNPq], Ronie Peterson Dario [Orientador]1

1Departamento Acadêmico de MatemáticaCampus Sede

Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPRAvenida Sete de Setembro, 3165 - Curitiba-PR, Brasil - CEP 80230-901

hugogequelim@hotmail.com, ronie@utfpr.edu.br

Resumo - Por meio da Teoria Axiomática dos Conjuntos apresentamos uma construção do conjunto dos númerosnaturais como modelo para a axiomática de Peano. Depois de apresentarmos os axiomas de Peano, desenvolvemosa parte inicial da teoria elementar dos números naturais. O texto é apresentado de maneira elementar, visando suautilização pelo aluno de graduação.

Palavras-chave: Números Naturais, Axiomas de Peano, Indução Matemática.

Abstract - In this note we present the set of the natural numbers as a model to the Peano Axioms, by means ofthe Axiomatic Set Theory. Using the Peano Axioms we present the first part of the elementary number theory. Ourapproach is more elementary than usual.

Keywords: Natural Numbers, Peano Axioms, Induction.

INTRODUÇÃO

Invariavelmente, um estudante de matemática se depara com a teoria elementar dos nú-meros. Muitas vezes, consiste de uma disciplina na qual ele tem a oportunidade de aprender aaritmética básica do conjunto dos números naturais e dos números inteiros. Necessariamente,tudo começa com a teoria elementar dos conjuntos e com uma mínima introdução da lógicamatemática. É usual admitir a existência do conjunto dos números naturais

N = {0, 1, 2, . . .},

já munido das duas operações de adição e multiplicação. A partir disto, admitem-se as propri-edades das operações e a teoria prossegue abordando a divisibilidade e culminando nas aplica-ções das congruências.

Já o conjunto dos números inteiros algumas vezes é apresentado formalmente, ou seja,é obtido via uma construção teórica. Isto é feito introduzindo uma relação de equivalência noconjunto dos pares ordenados de números naturais. Sendo assim, um número inteiro é definidocomo um conjunto, a saber, uma classe de equivalência (para mais detalhes veja [1]). O mesmoocorre com o conjunto dos números racionais, em que um número é novamente definido comoum conjunto. Mais precisamente, um número racional é também uma classe de equivalência,desta vez obtida por uma relação de equivalência introduzida no conjunto dos pares ordenadosde números inteiros, tendo a segunda entrada não nula.

Contudo, como descrito no primeiro parágrafo, a construção do conjunto dos númerosnaturais muitas vezes não é abordada. O que se faz ,quando se faz, é admitir alguns concei-tos primitivos (número natural, por exemplo) e listar alguns axiomas: afirmações admitidascomo verdadeiras, sem demonstrações. No caso dos números naturais, um conjunto mínimode axiomas é dado pelos conhecidos Axiomas de Peano. A partir destes, demonstram-se aspropriedades dos números naturais, incluindo as propriedades da adição e da multiplicação.

Uma construção do conjunto dos números naturais, hoje considerada a padrão (no entantoraramente abordada na graduação), é devida a Neumann1. Um número natural é definido comoum conjunto, em analogia à outras construções de conjuntos numéricos. Neste trabalho, apre-sentamos essa construção de maneira breve, utilizando uma linguagem elementar. Objetivamosassim mostar que a construção dos números naturais também pode ser apresentada ao aluno degraduação sem maiores percalços, definindo número natural também como conjunto. Depoisde apresentada a construção, verificamos que o conjunto obtido serve de modelo para a axio-mática de Peano. A partir dos axiomas, demonstramos as primeiras propriedades dos númerosnaturais.

METODOLOGIA

O início deste trabalho consistiu do estudo da teoria elementar (e um pouco da axiomática)dos conjuntos, juntamente com alguma lógica matemática. Feito isso, foi possível abordardiretamente o foco principal do trabalho, que consiste da construção do conjunto dos númerosnaturais e no seu entendimento como modelo para a axiomática de Peano.

OS NÚMEROS NATURAIS E OS AXIOMAS DE PEANO

A axiomatização definitiva do conjunto dos números naturais foi feita em 1889, quandoo matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) publicou seu livro "Arithmetices Prin-cipia: Nova Methodo Exposita". Neste livro, ele enunciou alguns axiomas sobre númerosnaturais, que ficaram posteriormente conhecidos como os Axiomas de Peano. Para estudá-los,precisamos inicialmente admitir três “conceitos primitivos"(sem definição). São eles: zero(denotado por 0), número natural e a noção de sucessor de um número natural. Sendo n umnúmero natural, vamos denotar por s(n) o seu sucessor. Assim, os Axiomas de Peano podemser listados da maneira seguinte.

(A1) 0 (zero) é um número natural e não é sucessor de um número natural2.(A2) Todo número natural tem um único sucessor, que também é um número natural.(A3) Se dois números naturais tem o mesmo sucessor, então eles são iguais entre si.(A4) Se um subconjunto X dos números naturais possui o elemento zero e também o sucessor

de todos os elementos de X , então X é igual ao conjunto dos números naturais.

Tendo os axiomas e os conceitos primitivos, faz sentido falar no conjunto dos númerosnaturais como é usual. Pode causar estranheza o axioma A4, que é denomianado Axioma daIndução. Simbolicamente, ele estabelece que se X ⊂ N e se valem as duas condições:(i) 0 ∈ X;(ii) Para todo n, se n ∈ X , então s(n) ∈ X;

então X = N.

1John von Neumann, 1903-19572A axiomatização original começa com 1 no lugar de 0.

O axioma A4 torna-se mais aceitável após a construção explícita dos naturais, como vere-mos. A patir desse axioma, demonstra-se o Princípio da Indução Matemática, que enunciaremosno Teorema 1, a frente. Com este teorema desenvolveremos a parte inicial da teoria dos númerosnaturais.

A CONSTRUÇÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS

Assumir um número natural como um conceito primitivo, ou como uma simples noçãovaga de grandeza, é um tanto incômodo. Deve ser possível definir explicitamente um númeronatural por meio de um conjunto, obtendo um análogo às outras construções de conjuntos nu-méricos como em [1]. Para isso foram construídos os modelos da axiomática de Peano. Nestecontexto, um modelo consiste de uma tripla (A, 0, s), onde A é um conjunto infinito, 0 é umelemento de A e s é uma definição designada ao sucessor de um elemento de A. Desta forma,construir um conjunto dos números naturais significa obter um modelo para os axiomas dePeano, isto é, via teoria dos conjuntos, obter uma definição de zero, de número natural e desucessor, que satisfaça os axiomas. Existe uma noção de equivalência entre dois modelos, quenão abordaremos aqui. Uma discussão mais aprofundada neste ponto pode ser vista no livro deHalmos [2]. Neste trabalho, ficaremos satisfeitos obtendo apenas um modelo, segundo o qual oconjunto A será chamado de conjunto dos números naturais.

A primeira definição a ser feita é de um elemento 0 (zero). Neste contexto, faz sentidodefinir zero como o conjunto vazio, isto é,

0 = ∅.

O próximo passo é definir o sucessor do conjunto x como

s(x) = x ∪ {x}.

Veja como obter número 1, definido então como o sucessor do zero:

1 = s(0) = s(∅) = ∅ ∪ {∅} = {∅} = {0}.

Na sequência, obtêm-se o 2, como sucessor do 1. Desta forma:

2 = s(1) = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0, 1}.

Seguindo este processo, informalmente podemos dizer que um número natural n é defi-nido como o conjunto dos números naturais menores que n.

Temos assim uma noção para 0 e uma definição de sucessor que parece funcionar. Osnúmeros naturais são obtidos via aplicação da função sucessor. Contudo, falta formalizar oconjunto dos números naturais. Para isso, existe uma dificuldade que reside justamente na teo-ria dos conjuntos. Apenas com a teoria elementar dos conjuntos, que é a teoria padrão ensinadana graduação, não é possível completar a construção formal dos números naturais. Isto ocorre,essencialmente, pela impossibilidade em admitir a existência de um conjunto infinito na teoriaelementar. Numa tentativa de corrigir este problema e paradoxos como o de Russel, surgiu aTeoria Axiomática dos Conjuntos, hoje a mais aceita pela matemática moderna. Constrói-setoda uma teoria dos conjuntos a partir de uma lista de Axiomas, conhecida como Axiomasde Zermelo-Fraenkel. O mais conhecido certamente é o Axioma da Escolha. Contudo,nos interessa diretamente o Axioma da Infinitude, com o qual podemos obter o conjuntodos números naturais. Antes de enunciá-lo, precisamos da noção de conjunto sucessor: umconjunto A é um conjunto sucessor quando: 0 ∈ A e vale a condição: n ∈ A ⇒ s(n) ∈ A.

Assim, um conjunto sucessor A deve conter o sucessor de qualquer elemento de A.

Axioma da Infinitude Existe um conjunto que contem 0 e o sucessor de cada um deseus elementos.

Em essência, o Axioma da Infinitude afirma que existe um conjunto sucessor. Define-seentão o conjunto dos números naturais N como a interseção de todos os conjuntos sucessores.Pelo Axioma da Infinitude, o conjunto dos números naturais não é vazio. Por definição, 0 ∈ N.Justifica-se assim a notação conhecidaN = {0, 1, 2, . . .}. Resta observar que realmente trata-sede um modelo para a axiomática de Peano. Mas isto é imediato. Por definição, 0 ∈ N. Osucessor de cada número natural é também um número natural, também por definição. Ainda,se s(x) = s(y), então x ∪ {x} = y ∪ {y}. Isto implica diretamente que x ⊂ y e y ⊂ x.Segue que x = y. Finalmente, basta lembrar que N está contido em todo conjunto sucessorpara justificar a validade do axioma A4, da indução.

Agora que apresentamos a construção teórica dos números naturais, retomaremos a teoriageral. A partir do axioma da indução podemos demonstrar o Princípio da Indução Matemática.

Teorema 1 (Princípio de Indução Matemática) Seja P (n) uma sentença aberta3 sobre o nú-mero natural n. Se valem as duas condições:(i) P (0) é verdadeira;(ii) Para todo n, se P (n) é verdadeira, então P (s(n)) é verdadeira;

então P (n) é verdadeira para todo n ∈ N.

Demonstração Seja S = {n ∈ N : P (n) é verdadeira}. Vamos mostrar que S = N. Dahipótese (i) temos que 0 ∈ S. Supondo que n ∈ S, temos que P (n) é verdadeira. Por (ii),P (s(n)) é verdadeira. Logo, s(n) ∈ S. Assim, n ∈ S implica s(n) ∈ S. Pelo Axioma A4,S = N. Logo, P (n) é verdadeira, para todo n ∈ N. �

É importante ressaltar que podemos estender o princípio da indução para afirmações quesão verdadeiras somente a partir de outro número natural que não o zero. A demonstração desteteorema mais geral pode ser consultada em [[3], Teorema 1.3.1, p. 8].

Por exemplo, podemos provar por indução que 2n > n2, para todo n ≥ 5. Para tal,basta demonstrarmos que a afirmação é verdadeira para n = 5 e, supondo P (n) verdadeira,mostrarmos que P (s(n)) também é verdadeira, para todo n ≥ 5.

O Teorema 1 será utilizado na demonstração de todos os resultados na sequência. Oprimeiro fato a ser demonstrado é que qualquer número natural difere de seu sucessor.

Teorema 2 Para todo n ∈ N, s(n) 6= n.

Demonstração Seja S = {a ∈ N : s(a) 6= a}. Basta mostrarmos que S = N. O axioma A1

garante que 0 ∈ S. Se a ∈ S, então s(a) 6= a. Pelo axioma A3 temos que s(s(a)) 6= s(a).Logo, s(a) ∈ S, sempre que a ∈ S. Pelo Teorema 1, podemos garantir que qualquer númeronatural será diferente de seu sucessor. �

Nas duas próximas seções estudaremos as operações de adição e de multiplicação.

3Trata-se de uma afirmação que, a priori, não sabemos se é verdadeira ou falsa.

ADIÇÃO

Para definirmos a adição de dois números naturais começamos definindo a adição dequalquer natural com 0 (zero), a adição de qualquer natural com 1 (um) e a adição de umnatural com o sucessor de outro natural. Essas definições representam um ponto de partida,como os axiomas, a partir dos quais podemos estender a definição e demonstrar as propriedadesda operação. Definiremos, para quaisquer números naturais a e b, as somas elementares abaixo,utilizando o símbolo “+" para representar a operação de adição.

(i) a+ 0 = a (ii) a+ 1 = s(a) (iii) a+ s(b) = s(a+ b).

Trata-se de uma definição recursiva. No primeiro item, estamos admitindo a existência deum elemento neutro para a adição, isto é, um número que pode ser somado a qualquer númeronatural n resultando no próprio n.

Teorema 3 (Propriedadades da Adição) Para todos a, b, c ∈ N, tem-se:

(1) (Associatividade) a+ (b+ c) = (a+ b) + c.

(2) (Comutatividade) a+ b = b+ a.

(3) (Cancelamento) a+ b = a+ c⇒ b = c.

(4) (Integridade) a+ b = 0⇒ a = b = 0.

Demonstração (1) Fixaremos a e b e utilizaremos indução sobre c. Se c = 0, então a+(b+0) =a+b = (a+b)+0, pela definição (i) da adição. Supondo (a+b)+c = a+(b+c) e utilizando adefinição (iii) da adição, temos (a+b)+s(c) = s([(a+b)+c]) = s([a+(b+c)]) = a+s(b+c),que por sua vez é igual a a + (b + s(c)). Pelo Princípio da Indução Matemática (Teorema 1),temos que a+ (b+ c) = (a+ b) + c.(2) Indução sobre a. Se a = 0, então 0 + b = b = b + 0. Supondo a + b = b + a, temos, peloaxioma A2, que s(a + b) = s(b + a), o que implica em s(a) + b = b + s(a). Pelo Princípio daIndução Matemática (Teorema 1), tem-se a+ b = b+ a.(3) Novamente indução sobre a. Se a = 0, então 0 + b = 0 + c, implicando em b = c.Suponha que a + b = a + c implique em b = c. Assumindo s(a) + b = s(a) + c, temos ques(a+b) = s(a+c). Pelo axioma A3, a+b = a+c. Assim, novamente Teorema 1, a+b = a+cimplica em b = c.(4) Supondo b 6= 0, concluímos que b = s(x), para algum x ∈ N, ou seja, 0 = a + b =a + s(x) = s(a + x). Mas isto é impossível, pois pelo axioma A1, zero não é sucessor deum número natural. Logo, b = 0. Note que isto implica diretamente que a = 0, concluindo ademonstração. �

MULTIPLICAÇÃO

A multiplicação também é definida de maneira recursiva. Utilizaremos o símbolo “∗"para representar a operação de multiplicação.

(i) a ∗ 0 = 0 (ii) a ∗ 1 = a a ∗ s(b) = a ∗ b+ a.

A multiplicação a ∗ b também pode ser representada simplesmente por ab.

Teorema 4 (Propriedadades da Multiplicação) Para todos a, b, c ∈ N, tem-se:

(1) (Associatividade) a(bc) = (ab)c.

(2) (Comutatividade) ab = ba.

(3) (Distributividade) a(b+ c) = ab+ ac.

(4) (Integridade) Se ab = 0, então a ou b = 0.

Demonstração (1) Usando agora indução em c. Se c = 0, então a(b ∗ 0) = 0 = (ab) ∗ 0.Supondo a(bc) = (ab)c, temos, pela terceira definição da multiplicação, que a(b ∗ s(c)) =a(bc + b). Pela propriedade distributiva, isto é igual a abc + ab. Também temos pela definição(iii) da multiplicação que (ab) ∗ s(c) = abc+ ab. Logo, a(b ∗ s(c)) = (ab) ∗ s(c). Por InduçãoMatemática (Teorema 1), a(bc) = (ab)c para todo a, b, c ∈ N.(2) Por indução sobre a. Se a = 0, constatamos que 0 ∗ b = 0 = b ∗ 0. Supondo que ab = ba,temos que s(a)∗b = ab+a = ba+a. Pela lei do cancelamento da adição, ab = ba. Por InduçãoMatemática (Teorema 1), ab = ba para todo a, b ∈ N.(3) Novamente indução sobre a. Se a = 0, temos que 0 ∗ (b + c) = 0 = 0 ∗ b + 0 ∗ c.Supondo a(b + c) = ab + ac e utilizando a terceira definição da multiplicação temos ques(a) ∗ (b + c) = a(b + c) + (b + c), que é igual a ab + ac + b + c. Por sua vez, isto é igual a(ab+ b) + (ac+ c), o que nos leva a b ∗ s(a) + c ∗ s(a). Pelo Teorema 1, a(b+ c) = ab+ ac.(4) Supondo que a seja diferente de 0, temos que a será o sucessor de algum x ∈ N. Podemosentão escrever 0 = ab, que por sua vez é s(x) ∗ b = bx + b. Assim bx + b = 0. Pelo item 4 doteorema anterior, bx = b = 0. Repetindo o processo para b, chegamos que ax = a = 0. Logo,ab = 0 implica em a ou b = 0. �

CONCLUSÕES

A construção dos números naturais, do ponto de vista da teoria dos conjuntos, é com-preenssível a um aluno em início de graduação. Contudo, a construção depende da teoria axio-mática dos conjuntos, que é um (grande) curso a parte. Isto dificulta um pouco, mas não impede,a exposição completa da construção formal. Entender ao menos as ideias principais da maneiraexposta neste trabalho, é de fundamental importância na estruturação do conhecimento mate-mático de um aluno de graduação. Conhecer a construção, além da axiomática de Peano, tornamais consistente o conhecimento do conjunto dos números naturais e por consequência, conferemais segurança aos estudos posteriores.

AGRADECIMENTOS

Agradeço ao CNPq pela viabilização da bolsa de estudos e ao professor Ronie PetersonDario, pela orientação neste trabalho.

REFERÊNCIAS

[1] FERREIRA, J.A Construção dos Números. Coleção Textos Universitários, Sociedade Bra-sileira de Matemática, Rio de Janeiro, 2011.

[2] HALMOS, P. R.Teoria Ingênua dos Conjuntos, Ciência Moderna, Rio de Janeiro, 2001.

[3] HEFEZ, A. Elementos de Aritmética, SBM, Rio de Janeiro, 2011.

[4] SCHEINERMAN, E. R. Matemática Discreta: uma introdução, Cengage Learning, SãoPaulo, 2011.