Caderno de Exercícios de IO

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL

ESCOLA SUPERIOR DE CIÊNCIAS EMPRESARIAIS

DEPARTAMENTO DE ECONOMIA E GESTÃO

[email protected]

INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL

CADERNO DE EXERCÍCIOS

JORGE CAIADO

Setúbal, 2004

mailto:[email protected]

ESCE/Intituto Politécico de Setúbal

Jorge Caiado Caderno de Exercícios de Investigação Operacional 2

NOTA INTRODUTÓRIA

O Caderno de Exercícios de Investigação Operacional constitui um documento

pedagógico de apoio às aulas práticas e dirige-se aos alunos dos cursos de licenciatura

em Gestão de Sistemas de Informação e Gestão de Distribuição e Logística da Escola

Superior de Ciências Empresariais do Instituto Politécnico de Setúbal.

O Caderno de Exercícios encontra-se estruturado da seguinte forma:

1. Introdução à Programação Linear

2. Método do Simplex

3. Dualidade

4. Análise de Sensibilidade e Pós-optimização

5. Problemas de Transportes e de Afectação

Espera-se assim que este Caderno de Exercícios lhe possa ser útil como material

didáctico de exercitação e clarificação da matéria estudada.

Agradece-se a todos os alunos e leitores que verifiquem em todos os exercícios

resolvidos as soluções que se encontram no final do presente texto, sendo obviamente

da exclusiva responsabilidade do autor os erros detectados.

Bom trabalho!

O autor



I. INTRODUÇÃO À PROGRAMAÇÃO LINEAR

1. Resolva graficamente cada um dos seguintes problemas e comente a solução obtida:

(Ramalhete, Guerreiro e Magalhães, 1984)

a) Maximizar z = x1 + 2x2 b) Minimizar z = x1 + x2

sujeito a x1 − 2x2 ≤ 3 sujeito a x1 − x2 ≤ 2x1 + x2 ≤ 3 x1 − x2 ≥ −2

x1, x2 ≥ 0 x1, x2 ≥ 0

c) Maximizar z = 3x1 + 4x2 d) Maximizar z = 2x1 + 3x2

sujeito a x1 − 2x2 ≥ 4 sujeito a x1 + x2 ≤ 7x1 + x2 ≤ 3 2x1 + 3x2 ≥ 12

x1 ≤ 5

x1, x2 ≥ 0 x1, x2 ≥ 0

e) Minimizar z = 3x1 + 2x2 f) Maximizar z = 6x1 + 3x2

sujeito a 2x1 + 2x2 ≤ 8 sujeito a 2x1 + 3x2 ≤ 28x1 + 5x2 ≥ 10 2x1 + 5x2 ≤ 42

−x1 + 3x2 = 6 x1 − x2 ≤ 0

x1, x2 ≥ 0 x1, x2 ≥ 0

g) Para o sistema de restrições

−x1 + x2 ≤ 1 6x1 + 4x2 ≥ 24

x2 ≥ 2

x1, x2 ≥ 0

considere separadamente os objectivos

(i) Maximizar z = x1 (v) Minimizar z = x1 − x2

(ii) Minimizar z = x1 + x2 (vi) Minimizar z = x1

(iii) Minimizar z = x2 (vii) Minimizar z = −x1 + x2

(iv) Maximizar z = x2 (viii) Minimizar z = 3x1 + 2x2



2. Uma empresa produz dois produtos, A e B, em quantidades x1 e x2,

respectivamente, e espera minimizar o custo z = 2x1 + 10x2, sujeito às restrições

funcionais 2x1 + x2 ≤ 6 e 5x1 + 4x2 ≥ 20, e à restrição de sinal x1, x2 ≥ 0. Determine as

quantidades óptimas de cada produto a ser produzido e o custo associado.

3. “Uma empresa produz dois bens: I e II. O lucro unitário que obtém com o produto I

é de 40$00/ton. e com o produto II é de 30$00/ton. A unidade de produção

compõe-se de três secções; corte, mistura e embalagem cujo equipamento pode

ser utilizado 8 horas por dia. O processo da produção caracteriza-se do seguinte

modo: (1) O produto I é primeiro cortado e a seguir embalado; cada tonelada deste

produto utiliza utiliza 1/2 hora da secção de corte e 1/3 hora da secção de

embalagem; (2) O produto B é primeiro misturado e depois embalado; cada

tonelada deste produto B utiliza 1 hora da secção de mistura e 2/3 hora da secção

de embalagem. Qual a combinação de produtos que a empresa deve realizar

diariamente a fim maximizar o lucro total?” (Ferreira, 1976)

4. Uma empresa produz dois modelos de barcos de corrida. O modelo I gera um lucro

de 10400 euros enquanto que o modelo II gera um lucro de 9500 euros. O modelo I

requer 40 horas para as operações de Corte e Montagem, e 24 horas para o

Acabamento. Por sua vez, o modelo II requer 25 horas para Corte e Montagem, e

30 horas para o Acabamento. O tempo disponível para Corte e Montagem é de 400

horas, e de 360 horas para o Acabamento. Face ao exposto, determine o número

óptimo de barcos de cada modelo a ser produzido e o lucro global resultante.



5. “Uma empresa predente realizar um show televisivo para publicitar os seus

produtos. O show durará meia hora e nele actuará um actor cómico e um conjunto

musical. A empresa deseja que sejam consagrados pelo menos 3 minutos a

anúncios. A estação televisiva exige que o tempo dedicado a anúncios não exceda

12 minutos, não podendo, além disso, em caso algum, ser superior ao tempo

atribuído ao actor cómico. Este não está disposto a intervir mais de 20 minutos. Ao

conjunto cabe preencher o tempo restante. O custo de actuação do actor é de

150$00/minuto; o do conjunto, de 1000$00/minuto.

A experiência mostra que, por cada minuto que o actor se exibe, 40 mil

espectadores ligam o televisor; por cada minuto de actuação do conjunto esperam-

se 20 mil novos telespectadores; e por cada minuto de anúncios, 10 mil pessoas

desligam o aparelho. Formalize o problema admitindo que a empresa tem por

objectivo:

(1) Maximizar o número de espectadores;

(2) Minimizar o custo do programa.”

(Ferreira, 1976)



II. MÉTODO DO SIMPLEX

1. Considere o seguinte problema de PL:

Maximizar z = 3x1 + 5x2

sujeito a x1 ≤ 4 2x2 ≤ 12 3x1 + 2x2 ≤ 18

x1, x2 ≥ 0

a) Resolva o problema graficamente.

b) Resolva o problema pelo método do Simplex na forma algébrica.

2. Use o método do Simplex na forma algébrica para resolver o seguinte problema:

Maximizar z = 4x1 + 3x2 + 6x3

sujeito a 3x1 + x2 + 3x3 ≤ 30 2x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 40

x1, x2, x3 ≥ 0


Maximizar z = 6x1 − 3x2

sujeito a 7x1 + 5x2 ≤ 35 2x1 − x2 ≤ 2

x1, x2 ≥ 0

a) Resolva o problema utilizando o método do Simplex. A solução óptima é única?

b) Resolva o problema graficamente e indique o percurso correspondente às várias

iterações do método do Simplex.

(Ramalhete, Guerreiro e Magalhães, 1984)

4. Resolva os seguintes problemas utilizando o método do Simplex:

a) Maximizar z = x1 + 9x2 + x3 b) Minimizar z = 80x1 + 60x2

sujeito a x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 9 sujeito a 0,2x1 + 0,32x2 ≤ 0,25 3x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 15 x1 + x2 = 1

x1, x2, x3 ≥ 0 x1, x2 ≥ 0



5. O quadro seguinte refere-se a um problema de maximização: (Ramalhete, Guerreiro

e Magalhães, 1984)

VB z x1 x2 x3 x4 x5 VSMz 1 2 e 0 0 0 10x4 0 −4 c 0 1 0 1x3 0 b −1 1 0 0 4x5 0 3 d 0 0 1 a

Diga a que condições devem obedecer a, b, c, d e e para que sejam verdadeiras as

seguintes afirmações:

a) A solução é óptima.

b) Existem soluções óptimas alternativas.

c) A solução é não limitada.

d) A solução é degenerada.


Min z = 3x1 + 2x2 + 4x3

sujeito a 2x1 + x2 + 3x3 = 60 3x1 + 3x2 + 5x3 ≥ 120 e x1, x2, x3 ≥ 0

Resolva o problema usando o método do Grande M e o método das duas fases.

7. Use o método do Grande M e o método das duas fases para resolver o seguinte

problema de PL:

Min Z = 4x1 + 4x2 + x3

sujeito a x1 + x2 + x3 ≤ 2 2x1 + x2 ≤ 3 2x1 + x2 + 3x3 ≥ 3 e x1, x2, x3 ≥ 0



III. DUALIDADE

1. Escreva o dual de cada um dos seguintes problemas de PL:

a) Minimizar z = 5x1 + 9x2 b) Maximizar z = x1 + 9x2 + 15x3

sujeito a 3x1 + 2x2 ≤ 6 sujeito a 3x1 + 2x2 ≥ 11 5x1 + x2 ≥ 10 x1 + x2 + x3 = 15

x1 + 10x2 ≥ 9 8x2 + 7x3 ≤ 25x1, x2 ≥ 0 x1, x2, x3 ≥ 0

c) Minimizar z = 3x1 + 5x2 + x3 d) Maximizar z = 5x1 + 3x2 + 14x3

sujeito a x1 + x2 + x3 ≥ 6 sujeito a 2x1 + x2 + 3x3 ≤ 14 3x1 + 8x2 + 9x3 ≤ 50 x1 + 3x2 +2x3 ≤ 15 6x1 + 7x3 ≥ 12 x1 + x2 + x3 ≥ 8 12x2 + 4x3 = 15 x1, x2, x3 ≥ 0

x1, x2, x3 ≥ 0

2. Seja o quadro óptimo do Simplex dum problema de PL: (Guerreiro, Magalhães e

Ramalhete, 1985)

4 5 0 0 0VB z x1 x2 S1 S2 S3 VSMz 1 0 0 14 9 0 108x2 0 0 1 2 1 0 12x1 0 1 0 1 1 0 12S3 0 0 0 −2 −2 1 0

a) Indique as soluções óptimas dos problemas primal e dual.

b) Que conclusão se pode retirar em relação à solução do dual, sabendo que a

solução óptima do primal é degenerada?


Max Z = 24x1 + 25 x2

sujeito a x1 + 5 x2 ≤ 10 4x1 + x2 ≤ 30 e x1, x2 ≥ 0

a) Resolva-o pelo método do simplex.

b) Obtenha o problema dual e resolva-o pelo método do Grande M.




Min Z = 2x1 + x2 + 3x3

sujeito a 5x1 + 2x2 + 7x3 = 420 3x1 + 2x2 + 5x3 ≥ 280 e x1, x2, x3 ≥ 0

a) Resolva-o pelo método das Duas Fases.

b) Obtenha o problema dual e resolva-o pelo método do Simplex.

5. Num restaurante do litoral algarvio os clientes tem preferência por pratos que têm

várias qualidades de marisco. Usualmente, os pratos são confeccionados de dois

modos: na modalidade I, o prato é composto de 5 lagostins, 2 santolas e 1 ostra; na

modalidade II, o prato é composto de 3 lagostins, 3 santolas e 3 ostras. O preço do

prato da modalidade I é de 80 euros e o da modalidade II de 60 euros. As

disponibilidades diárias totais de marisco são as seguintes: 30 lagostins, 24 santolas

e 18 ostras.

a) Determine o número de pratos que se devem confeccionar diariamente de modo

a maximizar a receita.

b) Indique, caso exista, a solução óptima do problema dual e interprete-a

economicamente.

6. A empresa Motolusa produz três tipos de motos, A, B e C. As contribuições unitárias

para o lucro são 270 u.m., 300 u.m e 450 u.m., respectivamente. As necessidades de

baterias e geradores de carga para cada moto são as seguintes:

A B CBaterias 1 3 4

Geradores 2 3 4

No início de cada dia de produção, a empresa dispõe de um stock de apenas 100

bacterias e 127 geradores de carga, não se prevendo a curto prazo alterações no

aprovisionamento. Actualmente, a empresa tem uma capacidade de produção diária

que não ultrapassa as 75 unidades.

a) Formalize o problema em termos de Programação Linear. Qual deverá ser a

produção a realizar de modo a maximizar o lucro?

b) Indique a solução óptima do problema dual e interprete-a economicamente.



IV. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE E PÓS-OPTIMIZAÇÃO


Max Z = 3x1 + x2 + 4x3

sujeito a 6x1 + 3x2 + 5x3 ≤ 25 3x1 + 4x2 + 5x3 ≤ 20 e x1, x2, x3 ≥ 0

O último quadro do Simplex deste problema é o seguinte:

VB z x1 x2 x3 S1 S2 VSMz 1 0 2 0 1/5 3/5 17x1 0 1 −1/3 0 1/3 −1/3 5/3x3 0 0 1 1 −1/5 2/5 3

a) Indique a solução óptima do problema primal.

b) Construa o problema dual e resolva-o graficamente.

c) Indique a solução óptima do poblema dual.

d) Considere as seguintes alterações no modelo original: c2` = 3, a12` = 2, a22` = 3.

Usando a teoria de dualidade, averigúe se a solução do problema original ainda

permanece óptima com estas alterações.

e) Obtenha os novos valores dos coeficientes de x2 resultantes das alterações

referidas na alínea anterior.

f) Considere agora que foi introduzida uma nova variável no modelo:

Max Z = 3x1 + x2 + 4x3 + 2xN

sujeito a 6x1 + 3x2 + 5x3 + 3xN ≤ 25 3x1 + 4x2 + 5x3 + 2xN ≤ 20 e x1, x2, x3 ≥ 0

Que implicações terá na optimalidade e admissibilidade da solução? Determine

os coeficientes desta nova variável no último quadro do Simplex e resolva o

problema.

g) Considere que foi introduzida no modelo a restrição 9x1 + 2x2 + 6x3 ≤ 30. Teste a

admissibilidade e a optimalidade da solução do problema com a introdução da

nova restrição. Caso se justifique, reoptimize o problema.




Max Z = 2x1 − x2 + x3

sujeito a 3x1 + x2 + x3 ≤ 60x1 − x2 + 2x3 ≤ 10x1 + x2 − x3 ≤ 20

e x1, x2, x3 ≥ 0

O último quadro do Simplex deste problema é dado por:

VB Z x1 x2 x3 S1 S2 S3 VSMZ 1 0 0 3/2 0 3/2 1/2 25S1 0 0 0 1 1 −1 −2 10x1 0 1 0 1/2 0 1/2 1/2 15x2 0 0 1 −3/2 0 −1/2 1/2 5

Teste a admissibilidade e a optimalidade da solução do problema após as seguintes

alterações (caso se justifique, reoptimize o problema com vista a obtenção da nova

solução óptima):

a) Variações nos termos independentes; de b1 = 60, b2 = 10 e b3 = 20 para b1’ = 70,

b2’ = 20 e b3’ = 10.

b) Variações nos coeficientes de x1; de c1 = 2, a11 = 3, a21 = 1 e a31 = 1 para c1’ = 1,

a11’ = 2, a21’ = 2 e a31’ = 0.

c) Variações nos coeficientes de x3; de c3 = 1, a13 = 1, a23 = 2 e a33 = −1 para

c3’ = 2, a13’ = 3, a23’ = 1 e a33’ = −2.

d) Variações nos coeficientes da função objectivo para Z’ = 3x1 − 2x2 + 3x3.

e) Introdução de uma nova restrição, 3x1 − 2x2 + x3 ≤ 30.

f) Introdução de uma nova variável, xN, com coeficientes cN = −1, a1N = −2, a2N = 1

e a3N = 2.



3. Uma empresa produz três tipos de produtos, P1, P2 e P3. O número de

horas/máquina necessário à produção de cada unidade dos respectivos produtos é

dado por:

Produto/ Máquina M1 M2 M3P1 8 4 2P2 4 3 P3 3 1

A capacidade disponível das máquinas é de 200, 160 e 50 horas semanais,

respectivamente, para M1, M2 e M3. Segundo a Direcção Comercial as vendas

potenciais de P1 e P2 devem exceder a capacidade máxima de produção enquanto

que as vendas previsionais de P3 são de 20 unidades por semana. As margens brutas

unitárias dos produtos P1, P2 e P3 são de 20, 6 e 8 euros, respectivamente.

a) Formalize o problema em termos de programação linear.

b) Resolva o problema através do método do Simplex.

c) Indique, caso existam, as soluções óptimas do par de problemas duais e

interprete-as economicamente.

d) O Director de Produção considera que depois de feita uma revisão à máquina

M3 é possível aumentar a sua capacidade disponível para 80 horas/semana.

Analise as implicações desta situação.

4. Considere o problema de PL e o respectivo quadro óptimo do Simplex:

Max Z = 3x1 + x2 + px3

sujeito a 6x1 + 3x2 + 5x3 ≤ q 3x1 + 4x2 + 5x3 ≤ 20 e x1, x2, x3 ≥ 0

VB z x1 x2 x3 S1 S2 VSM

z 1 0 r 0 1/5 3/5 17x1 0 1 s 0 1/3 −1/3 5/3x3 0 0 t 1 −1/5 2/5 3

a) Determine os valores reais p, q, r, s e t, e indique a solução óptima do par de

problemas duais. Construa o problema dual e resolva-o graficamente.

b) Considere as seguintes alterações no modelo original: c2` = 3, a12` = 2, a22` = 3.

Com base na teoria de dualidade, teste a optimalidade da solução do problema.



5. Uma empresa electrónica produz actualmente dois modelos de rádios para

automóveis, A e B, cujas margens brutas unitárias são, respectivamente, 30 euros e

50 euros. Por razões de mercado, a produção diária destes modelos de rádios deve

ser de pelo menos 100 unidades. Por motivos de produção, por cada 10 unidades

do modelo B produzidos não poderão produzir-se mais do que 15 unidades do

modelo A.

O processo de produção de cada um dos modelos evolve duas secções: Fabricação

de Peças e Montagem (S1) e Acabamento (S2). A produção de uma unidade do

modelo A necessita de 8 minutos em S1 e 4 minutos em S2. A produção de uma

unidade do modelo B requer 6 e 3 minutos em S1 e S2, respectivamente.

Diariamente a empresa pode utilizar cada uma das secções durante o tempo

seguinte: S1 12 horas, S2 10 horas.

a) Formalize o problema em termos de PL.

b) Resolva-o pelo método do Simplex e indique as soluções óptimas, caso existam,

do par de problemas duais. Interprete-as economicamente.

c) Suponha que a secção de Acabamento tem capacidade para funcionar, num turno

extradionário, mais 2 horas diárias, o que, todavia, implicará nesta secção um

aumento de 2 minutos e 1 minuto, respectivamente, na produção de cada um dos

modelos de rádios. Analise economicamente as implicações desta situação.

d) Suponha que as Direcções de Produção e Comercial, face à capacidade de

produção e às potencialidades de expansão do mercado, propõem uma produção

de rádios destes modelos de pelo menos 130 unidades diárias. Analise as

implicações desta proposta.

6. A empresa LUSOPINHO fabrica três modelos de camas de casal, A, B e C. O processo

de produção envolve duas Secções: Secção de Corte e Secção de Montagem e

Acabamento. Cada cama de casal do modelo A requer 1 hora na Secção de Corte e 2

horas na Secção de Montagem e Acabamento. Cada unidade do modelo B exige 1 hora

em cada uma das duas Secções. Cada unidade do modelo C necessita de 2 horas na

Secção de Corte e 5 horas na Secção de Montagem e Acabamento. As Secções de Corte

e Montagem e Acabamento têm uma capacidade de utilização de 120 horas e 200 horas

quinzenais, respectivamente. A produção de camas de casal dos modelos A e B é tripla



de C. Um estudo de mercado levado a cabo pela Direcção Comercial aponta para uma

procura dos modelos A, B e C não inferior a 80 unidades. As margens brutas unitárias

estimadas das vendas de A, B e C são de 10, 20 e 15 euros, respectivamente.

a) Formalize o problema em termos de PL.

b) Resolva-o pelo método do Simplex e indique as soluções óptimas, caso existam, do

par de problemas duais. Interprete-as economicamente.

c) Admita que, com o aperfeiçoamento do processo de fabrico, a Secção de Corte tem

capacidade para funcionar mais 20 horas, o que todavia, implicará nesta secção mais

30 min. de laboração por cada unidade fabricada de A e C. Analise o comportamento

da optimalidade e admissibilidade da solução perante estas alterações?

d) Se a procura destes modelos aumentasse 20 unidades e as respectivas margens brutas

unitárias aumentassem 5 euros em cada modelo, que implicações económicas teria?

7. A empresa INFOREX S.A. produz três modelos de computadores, C1, C2 e C3,

que geram margens brutas unitárias de 120, 200 e 160 euros, respectivamente. Para

desenvolver a actividade produtiva a empresa dispõe de 5 homens, cada um

podendo trabalhar 40 horas/semana, e duas máquinas, M1 e M2, cuja capacidade de

laboração é de 30 e 35 horas semanais, respectivamente. A produção de cada

computador do modelo C1 requer 5 horas-homem (hh), 1 hora na máquina M1 e 2

horas na máquina M2. O modelo C2 exige 8 hh, 2 horas em M1 e 1 hora em M2. O

modelo C3 necessita de 7 hh e 1 hora na máquina M2. As previsões de vendas

semanais de C1 e C2 são de pelo menos 20 unidades.


b) Resolva o problema pelo método do Simplex e indique as soluções óptimas,

caso existam, dos problemas primal e dual. Interprete-as economicamente.

c) Analise as implicações económicas do despedimento de 1 operário.

d) Num estudo de mercado levado a cabo pelo Departamento de Marketing,

conclui-se que a empresa tem potencialidades para vender mais 5

unidades/semana dos modelos C1 e C2, desde que se comprometa a baixar a

margem bruta destes produtos em 20 e 40 euros, respectivamente. Será que esta

situação é vantajosa para a empresa? Justifique a sua resposta.



8. A empresa IDANHAR S.A. fabrica três tipos de queijos, A, B e C, cujas margens

brutas unitárias são 4,2 e 3 euros, respectivamente. O processo produtivo utilizado

na fabricação dos queijos é artesanal e envolve matérias primas, em grande parte,

derivadas do leite. A quantidade de leite necessário para produzir cada um dos três

tipos de queijos é de 1, 3 e 4 litros, respectivamente. A disponibilidade diária de

leite é de 6000 litros. Os meios humanos e materiais existentes na fábrica impõem

uma produção de queijos do tipo C igual a metade da diferença entre A e B. De

acordo com a experiência passada, a procura de queijos dos tipos A e B no mercado

não deve ser inferior a 2000 unidades.


b) Resolva-o pelo método do Simplex e indique as soluções óptimas, caso existam,

do par de problemas duais. Interprete-as economicamente.

c) Suponha que com o aperfeiçoamento do processo de fabricação é possível

reduzir a quantidade de leite utilizada na fabricação de A e B em 0,5 e 1,5 litros,

respectivamente, o que todavia, vai levar a que estes produtos percam alguma

qualidade e, consequentemente, o mercado deixe de adquirir 500 unidades

diárias destes tipos de queijos. Que implicações terá esta alteração no plano de

produção óptimo? E na admissibilidade da solução? Justifique a sua resposta.

d) Considere que o Director Geral da empresa pretende aumentar as margens

brutas unitárias dos queijos A e B para 4.5 e 3.5 euros, respectivamente. Analise

as suas implicações económicas.

e) O Director de Produção afirma que é possível aumentar o lucro global da

fábrica produzindo um novo tipo de queijo, D, com uma margem bruta unitária

de 5 euros, sem alterar a relação de produção de A, B e C imposta pelos

recursos humanos e materiais existentes e que o mercado o vai incluir nas suas

preferências habituais. Para produzir este novo produto apenas vai ser

necessário dispor de 2.5 litros de leite por unidade. Comente a sua afirmação.

9. A empresa Infornet_PT Lda. produz três produtos P1, P2 e P3, cujas margens

brutas unitárias são 50, 75 e 100 euros, respectivamente. Segundo o Director de

Produção, por cada unidade produzida de P2 são fabricadas respectivamente 2 e 3

unidades de P1 e P3, sendo o limite da capacidade de produção igual a 40



unidades semanais. O Director de Marketing da empresa afirma que as vendas do

produto P1 devem ser pelo menos iguais às de P2. A empresa dispõe de 20

trabalhadores que são afectos às tarefas de produção e comercialização de P1, P2

e P3 na proporção de 1:1:2. Qual o plano óptimo de produção que conduza ao

lucro máximo?


b) Resolva-o pelo método do Simplex e indique as soluções óptimas, caso

existam, dos problemas primal e dual. Interprete-as economicamente.

c) Analise as implicações económicas de um aumento da margem bruta de P1 e

P3 em 30 e 20 euros, respectivamente.

d) Será vantajoso para a empresa a contratação de 5 novos trabalhadores?

Justifique convenientemente a resposta.

10. Considere o seguinte problema de programação linear:

Max Z = 3x1 + x2 − x3

sujeito a 2x1 + x2 + x3 ≤ 8 4x1 + x2 − x3 ≤ 10 e x1, x2, x3 ≥ 0

O quadro óptimo do Simplex é dado por:

VB z x1 x2 x3 S1 S2 VSM

z 1 0 0 α 1/2 1/2 9x2 0 0 1 β 2 −1 6x1 0 1 0 θ −1/2 1/2 1

a) Calcule os parâmetros reais α, β e θ sem resolver o problema desde a sua

formulação inicial. Indique o par de problemas duais.

b) Analise as implicações da alteração de c2 para 2 unidades monetárias.



11. Considere o problema de PL e o respectivo quadro óptimo do Simplex

Max Z = x1 + x2

sujeito a 3x1 + 2x2 ≤ 20 2x1 + 3x2 ≤ 20

x1 + 2x2 ≥ 2 e x1, x2 ≥ 0

VB Z x1 x2 S1 S2 E1 A1 VSMZ 1 0 0 1/5 1/5 0 M 8E1 0 0 0 −1/5 4/5 1 −1 10x2 0 0 1 −2/5 3/5 0 0 4x1 0 1 0 3/5 -2/5 0 0 4

a) Represente graficamente a região admissível ao problema.

b) Indique e interprete as soluções do problema primal e dual.

c) Determine os intervalos de sensibilidade para os termos independentes.

d) Analise as implicações na SBA dada perante as seguintes alterações:

(i) 4'11 =a e 2'

22 =a ;

(ii) 10'1 =b ;

(iii) 2e5.1 '2

'1 == cc ;

(iv) introdução de uma nova restrição, 1522 21 ≤+ xx .

12. Uma fábrica produz 3 produtos (A, B e C) cujas margens brutas unitárias são de

4, 1 e 2 euros, respectivamente. Os recursos utilizados por unidade produzida são

os seguintes:

Recurso I Recurso IIA 2 1B 1 4C 0 2

A disponibilidade dos recursos I e II é de 16 e 12 unidades, respectivamente.

Segundo o Director de Produção, a produção de A e B não deve ser inferior ao

dobro da produção de C em 6 unidades. A produção óptima é de 8 unidades do

produto A e 1 unidade do produto C.



a) Formalize o problema em termos de programação linear e resolva-o pelo

método do Simplex. Indique a interprete economicamente a solução óptima do

problema dual.

b) O Director de Marketing propõe baixar a margem bruta unitária do produto A

em 2 euros. Que implicações terá esta alteração no plano de produção óptimo?

Justifique, convenientemente, a sua resposta.

c) Segundo a Direcção de Produção a empresa poderá ver-se forçada a reduzir a

quantidade disponível do recurso II para 6 unidades. Que implicações

produzirá esta alteração na solução óptima do problema? E se reduzir este

recurso para 10 unidades?

13. Considere o problema de programação linear

Min Z = −2x1 + x2 + −x3

sujeito a x1 + x2 + x3 ≤ 6−x1 + 2x2 ≤ 4

e x1, x2, x3 ≥ 0

e o respectivo quadro óptimo do Simplex:

VB Z x1 x2 x3 S1 S2 VSMZ −1 0 3 1 2 0 12x1 0 1 1 1 1 0 6S2 0 0 3 1 1 1 10

a) Indique a solução óptima do par de problemas duais.

b) Construa o problema dual e resolva-o graficamente.

c) Determine os intervalos de sensibilidade para os coeficientes da FO.

d) Analise as implicações na optimalidade e admissibilidade da solução resultantes

das seguintes alterações:

(i) 5e2 '22

'12 == aa ;

(ii) 3e10 '2

'1 == bb ;

(iii) 3e0 '3

'11 −== ca ;

(iv) introdução de uma nova actividade 2e1,1com 21 =−== NNNN aacx .



V. PROBLEMAS DE TRANSPORTES E AFECTAÇÃO

1. Considere o seguinte problema de transporte:

Destino

1 2 3 Oferta

1 8 12 3 25Origem 2 9 6 4 40

3 10 7 5 35Procura 20 50 30

a) Obtenha uma solução básica admissível inicial pelo método do Canto do

Noroeste.

b) Obtenha uma solução básica admissível inicial pelo método de Vogel.

c) Determine a solução óptima do problema pelo método de Stepping-Stone.

d) Determine a solução óptima do problema pelo método de Dantzig.

e) Escreva o problema dual e obtenha a respectiva solução óptima.

2. Um Director de uma grande empresa é responsável pela Secção de Produção de

três fábricas distintas, F1, F2 e F3, que produzem pneus de automóveis. As

unidades fabris produzem a mesma qualidade de pneus, mas têm diferentes

capacidades de produção. As fábricas F1, F2 e F3 produzem 1500, 2500 e 2000

pneus, respectivamente. Existem 4 mercados abastecedores deste produto, embora,

por razões de natureza comercial e fiscal, nem todas as fábricas podem servir todos

os mercados. A fábrica F1 pode abastecer os 4 mercados, M1, M2, M3 e M4, a

custos unitários de transporte de 4, 3, 2 e 5 euros, respectivamente. A fábrica F2

apenas pode fornecer os mercados M1, M2 e M3 com custos unitários de

transporte de 2, 1 e 4 euros, respectivamente. A fábrica F3 apenas pode abastecer

os mercados M2, M3 e M4 com custos unitários de transporte de 4, 2 e 7 euros,

respectivamente. Os mercados M1, M2 e M3 necessitam de 1500, 1200 e 1800

pneus, respectivamente. O mercado M4 necessita de pelo menos 500 pneus.


b) Formalize o problema em temos de um problema de transporte e determine o

plano óptimo de transporte. Comente a solução obtida.



3. Mostre que qualquer problema de afectação é caso particular de um problema de

transporte.

4. Uma empresa tem três unidades fabris, A, B e C, localizadas em pontos distintos,

que fornecem quatro mercados consumidores, M1, M2, M3 e M4. Por razões de

mercado, a fábrica C não abastece os mercados M1 e M4. Sabendo que os custos

de transporte, as disponibilidades e as necessidades são:

M1 M2 M3 M4 Oferta

A 5 3 7 9 5

B 1 2 5 6 10

C 4 2 15

Procura 20 10 15 15

a) Determine o plano óptimo de transporte.

b) Escreva o problema em termos de PL.

5. No problema de transportes a seguir apresentado a procura total excede a oferta

total. Suponha que os custos de penalização por unidade não satisfeita da procura

são 5, 3 e 2 euros respectivamente para os destinos 1, 2 e 3.

1 2 3 Oferta

1 5 1 7 10

2 6 4 6 80

3 3 2 5 15

Procura 75 20 50

Determine a solução óptima deste problema.



6. A equipa docente do departamento de Métodos Quantitativos de uma escola do

ensino superior, formada por 4 Assistentes (A1, A2, A3 e A4) e 2 Professores (P1

e P2), face às dificuldades manifestadas por alguns alunos em presenciar as aulas,

decidiu escrever uma sebenta de Investigação Operacional com 6 capítulos. Após

várias reuniões, cada um dos docentes apresentou o tempo necessário (em dias)

para escrever cada capítulo da sebenta:

1 2 3 4 5 6

A1 3 5 2 4 7 3

A2 6 4 1 6 5 9

A3 4 7 8 12 9 4

A4 3 8 2 10 7 11

P1 2 3 1 7 12 4

P2 1 10 9 7 6 5

Qual o tempo total mínimo para a conclusão da sebenta?

7. Uma empresa multinacional de auditoria e consultoria pretende formar uma

equipa de 5 consultores para efectuar uma auditoria técnico-financeira a uma

empresa de utilidade pública. Um dos administradores da empresa pediu ao

coordenador da equipa que elaborasse um plano de afectação dos 5 consultores às

diversas tarefas de modo a minimizar o tempo total de realização do trabalho.

Após uma análise do sistema e das potencialiddaes dos consultores envolvidos, o

coordenador estimou os seguintes tempos de execução das diversas tarefas:

Rui José Ana Rita João

Controlo de pagamentos 8 2 8 3 2Controlo de recebimentos 3 9 2 1 1

Controlo orçamental 7 9 7 7 3Controlo contabilístico 5 3 4 5 1

Inspecção física 1 1 4 4 9

Qual a melhor decisão de gestão que deverá ser tomada?



8. Considere um problema de afectação de 6 operadores a 6 máquinas, em que o

operador C não pode ser afectado à máquina M2 e o operador E não pode ser

afectado à máquina M3, dada pela seguinte matriz de custos, em euros, por hora

de laboração:

Máquina

M1 M2 M3 M4 M5 M6

A 3 8 2 10 3 4

B 8 7 2 9 7 10

Operador C 6 2 7 5 8

D 8 4 2 3 5 2

E 9 10 9 10 6

F 5 7 2 7 3 9

Determine o plano óptimo de afectação e o respectivo custo total.

9. Uma empresa do sector de alimentação e bebidas tem 3 unidades fabris, U1, U2 e U3

que fornecem 4 mercados consumidores, A, B, C e D. Por motivos logísticos, a fábrica

U1 não abastece o mercado B e a fábrica U3 não fornece os mercados B e C. Os custos

de transporte (em euros), as disponibilidades e as necessidades são as que constam do

quadro seguinte:

A B C D Oferta

U1 20 16 18 90

U2 25 15 17 22 110

U3 18 20 60

Procura 50 80 70 100


b) Determine o plano óptimo de transporte. Comente a solução obtida.

10. Uma fábrica de electrodomésticos tem 6 empregados (A, B, C, D, E e F) e 5 máquinas

(M1, M2, M3, M4 e M5). A insuficiente qualificação dos empregados E, A e C não



lhes permite trabalhar com as máquinas M2, M3 e M4, respectivamente. O Director de

Produção pretende definir um plano de afectação homem/máquina que minimize o

custo total de produção. Os custos de afectação (em euros) são os seguintes:

Máquina

M1 M2 M3 M4 M5

A 8 7 10 6

B 7 12 9 6 8

Empregado C 5 7 7 7

D 10 10 8 5 4

E 13 8 8 9

F 6 9 10 9 6


b) Determine o plano óptimo de afectação. Comente a solução obtida.

11. Um fabricante nacional de barcos de pesca da marca LUSOMAR vende a sua

produção através de 3 centros de distribuição, Lisboa, Porto e Faro, cuja

capacidade mensal é de 40, 35 e 30 barcos, respectivamente. As encomendas

mensais dos retalhistas R1, R2, R3 e R4, servidas pelos centros de distribuição,

previstas para o próximo mês são 20, 25, 35 e 45 unidades, respectivamente. Os

custos de transporte entre os centros de distribuição e os retalhistas são os

seguintes (em euros por unidade)

R1 R2 R3 R4Lisboa 45 50 35Porto 25 40 45 60Faro 40 30 50 45

Actualmente, por motivos de natureza logística, não se efectua o transporte entre

o centro de distribuição de Lisboa e o retalhista R1. Face ao exposto, determine o

plano óptimo de transporte entre os centros de distribuição e os retalhistas.

12. O Director Geral do Banco Luso pretende lançar no mercado 5 novos produtos

financeiros, P1, P2, P3, P4 e P5. Para o efeito, pediu ao Departamento Comercial



que elaborasse uma campanha publicitária para estes produtos. O Director de

Marketing consultou as 7 principais empresas de comunicação a operar no

mercado português e solicitou-lhes orçamentos para a publicitação dos diferentes

produtos em anúncios audo-visuais. Os valores apresentados nas diversas

propostas, em contos por segundo de publicitação, foram os seguintes:

Empresa E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 P1 35 29 36 28 27 34 36 P2 28 30 32 29 38 33 40

Produto P3 30 24 25 21 34 33 24 P4 40 28 20 21 38 27 30 P5 32 34 32 30 27 29 30

Considerando que o Director de Marketing do Banco Luso quer publicitar cada

produto financeiro em uma e uma só empresa de comunicação, qual a melhor

escolha a fazer de modo a minimizar o custo total da campanha publicitária?

13. Uma empresa do sector de indústria química tem 4 fábricas situadas em locais

distintos do País, Loures (L), Palmela (P), Cartaxo (C) e Torres Vedras (T), que

produzem o medicamento MILAGREX. As capacidades de produção das fábricas

em L, P, C e T são de 1100, 1200, 1300 e 1000 unidades diárias, respectivamente.

Existem 3 armazéns abastecedores deste produto, A1, A2 e A3, embora, por

motivos de natureza comercial e logística, a fábrica em L não fornece A1,

acontecendo o mesmo com as fábricas de P e C em relação a A3 e A2,

respectivamente. Os armazéns A1, A2 e A3 necessitam de 2000, 1400 e 1700

unidades diárias do medicamento MILAGREX. Os custos unitários de transporte

do produto MILAGREX da fábrica de L para A2 e A3 são 15 e 18 euros,

respectivamente, de P para A1 e A2 são 12 e 22 euros, de C para A1 e A3 são 16

e 13 e de T para A1, A2 e A3 são 20, 17 e 11 euros.


b) Formalize o problema em temos de um problema de transporte e determine o

plano óptimo de transporte. Comente a solução obtida.



14. Considere um problema de afectação de operários a tarefas, em que o operário B

não pode ser afecto à tarefa T1 e a tarefa T4 não pode ser executada pelo operário

D, dada pela seguinte matriz de custos (em euros, por hora de laboração):

Tarefa

T1 T2 T3 T4 T5

A 20 25 20 26 19

B 21 17 23 21

Operário C 18 23 20 18 18

D 14 19 26 20

E 23 21 25 18 24

F 19 19 17 17 18


b) Determine o plano óptimo de afectação e o respectivo custo total

15. Suponha que três empresas químicas, A, B e C, vendem o medicamento Memo+

aos hospitais H1, H2, H3 e H4, cujas necessidades diárias são 100, 125, 190 e 70

unidades, respectivamente. A capacidade de produção das empresas A, B e C é de

220, 250 e 180 unidades, respectivamente. Os custos unitários de transporte

diários deste medicamento da empresa A para H1, H2, H3 e H4 são de 2, 3, 1 e 6

euros, respectivamente. Da empresa B para H1, H3 e H4 são de 7, 3 e 4 euros,

respectivamente. E da empresa C para H2, H3 e H4 são de 8, 2 e 5 euros,

respectivamente. Por motivos de natureza comercial, as empresas B e C não

fornecem os hospitais H2 e H1, respectivamente. Os custos de armazenagem para

as empresas A, B e C por cada unidade não transportada do produto Memo+ são

de 1, 1.5 e 2 euros, respectivamente.

Formalize o problema em termos de um problema de transporte e determine o

plano óptimo de transporte. Interprete a solução obtida.



16. O Director Geral da empresa Finança da Beira S.A. pretende elaborar um plano de

afectação de cada um dos seus 6 consultores financeiros a um dos 5 projectos de

investimento em curso com vista à elaboração dos respectivos relatórios de

progresso. Depois de feita uma análise do sistema, o Director Geral chegou à

seguinte matriz de tempos de execução (em horas) dos referidos relatórios:

Projecto

P1 P2 P3 P4 P5

A 10 12 20 14 10

B 7 11 10 15 13

Consultor C 15 12 9 17 20

D 12 17 18 14 10

E 11 14 14 10 12

F 13 11 17 11 15


b) Determine o plano óptimo de afectação e o respectivo custo total.

17. Uma empresa formada por 3 fábricas, F1, F2 e F3, produz actualmente quatro

produtos, A, B, C e D. A capacidade de produção das fábricas F1, F2 e F3 é de

125, 250 e 300 toneladas diárias, respectivamente. Segundo o Director Comercial,

a procura dos produtos A, B, C e D é de 100, 150, 200 e 350 toneladas diárias,

respectivamente. A empresa não tem capacidade para produzir o produto B na

fábrica F2 nem para produzir os produtos C e D na fábrica F1. Os custos unitários

de produção são os seguintes (em euros/ton.):

ProdutoA B C D

F1 550 375

Fábrica F2 400 525 500F3 450 575 425 475


b) Formalize o problema em termos de programação de transporte e determine o

plano óptimo de produção. Interprete economicamente a solução obtida.



18. Num pequeno País produtor de petróleo, existem 4 refinarias de petróleo (R1, R2,

R3 e R4) com capacidade de produção de 15, 20, 35 e 30 milhões de galões de

gasolina. Estas fornecem 3 áreas de abastecimento (A1, A2 e A3) com

necessidades de 20, 25 e 15 milhões de galões de gasolina. Por razões comerciais

e de logística, a área A1 não é abastecida pelas refinarias R1 e R3, enquanto que a

refinaria R2 não fornece a área A3. Os custo unitários de transporte são os

seguintes:

A1 A2 A3

R1 80 100

R2 120 110

R3 150 95

R4 140 90 105

Determine o plano óptimo de transporte e o respectivo custo total.

19. Num fábrica de componentes metálicas existem 4 categorias de máquinas (M1,

M2 e M3) e 4 tarefas específicas (A, B, C e D). O número de máquinas

disponíveis dos 3 tipos é de 20, 35 e 25, respectivamente. O número de operários

necessários em cada tarefa é de 15, 20, 30 e 35, respectivamente. As máquinas do

tipo M3 não podem ser afectas à tarefa C. Os custos de afectação (em euros) são

os seguintes:

Tarefa

A B C D

M1 20 10 15 20Máquina M2 15 16 14 17

M3 15 20 13

Determine o plano óptimo de afectação. Comente a solução obtida.



20. Considere o seguinte problema de afectação em que os elementos da matriz sãolucros unitários:

1 2 3 4

A 20 25 20 26 1

B 15 21 17 23 1

C 18 23 20 18 1

1 1 1 1

Resolva-o pelo método Húngaro.

21. Considere o seguinte problema de afectação:

A B C D E1 10 12 12 14 12 12 9 11 17 8 13 13 13 10 9 9 14 11 16 11 12 10 1

1 1 1 1 1

Determine o plano óptimo de afectação se:

a) o objectivo for minimizar o custo total;

b) o objectivo for maximizar o lucro total.

22. Uma empresa de confecção produz fatos de homem em 3 fábricas distintas, F1, F2

e F3, que fornecem 4 lojas de venda ao público, A, B, C e D, situadas em

diferentes centros comerciais. A capacidade de produção mensal das fabricas F1,

F2 e F3 é de 1000, 2000 e 1400 fatos, respectivamente. A procura mensal deste

tipo de fatos nas lojas A, B, C e D é de 600, 900, 850 e 1100, respectivamente.

Por motivos logísticos, a fábrica F1 não fornece a loja A nem F3 fornece D. Os

custos unitários de transporte (em euros) das fábricas para as lojas são os

seguintes:

Loja A B C D

F1 3 5 12Fábrica F2 7 6 9 11

F3 6 10 8



a) Determine o plano óptimo que minimiza o custo total de transporte.

b) Supondo que o lucro bruto unitário de venda de cada fato é de 50 euros,

formalize o problema de modo a maximizar o lucro total.

23. A empresa NovaBeira S.A. produz aparelhos de ar condicionado em 3 fábricas

(F1, F2 e F3) que fornecem 3 mercados abastecedores (M1, M2 e M3). As

capacidades de produção semanal de F1, F2 e F3 são 25, 20 e 40 unidades,

respectivamente. As necessidades semanais de M1, M2 e M3 são 50, 20 e 30

unidades, respectivamente. Por motivos logísticos, F1 não fornece M1. Os custos

unitários de transporte das fábricas para os mercados são os seguintes:

M1 M2 M3F1 8 7

F2 10 9 11

F3 13 14 12

Resolva o problema pelo algoritmo de transportes. Interprete a solução obtida.

24. Considere o seguinte problema de transportes (minimização):

Destino

1 2 3 4 5 Oferta

A 3 2 4 2 5 1

Origem B 1 2 2 3 3 1

C 5 6 6 4 7 1

D 3 5 4 6 4 1

Procura 1 1 1 1 1

a) Obtenha uma SBA inicial pelo método do “Canto do Noroeste”. Quantas

variáveis básicas há nessa solução básica admissível inicial? E destas quantas

são degeneradas?

b) Resolva o problema pelo método Húngaro.



25. Uma empresa tem cinco fábricas (F1, F2, F3, F4 e F5), que fornecem 3 mercados

abastecedores (A, B e C). Por motivos logísticos, a fábrica F2 não fornece o

mercado B e o mercado A não é abastecido pela fábrica F5. Os custos de

transporte, as disponibilidades e as necessidades são os seguintes:

A B C Oferta

F1 10 16 20 100

F2 12 15 80

F3 20 13 16 280

F4 13 16 14 300

F5 12 11 140

Procura 180 200 220

a) Determine o plano óptimo de transporte e interprete a solução obtida.

b) Escreva o problema em termos de PL e construa o 1.º quadro do Simplex.

26. Na competição “24 horas de Karting das Universidades e Politécnicos”, um dos

patrocinadores da prova pretende comparticipar a inscrição das 5 equipas que se

revelarem mais competitivas nos testes cronometrados com os 5 karts disponíveis.

No dia da prova de selecção compareceram 6 grupos e fizeram-se testes

cronometrados com os elementos de cada um dos grupos, tendo estes utilizado

cada um dos 5 karts. Os melhores tempos registados pelos elementos dos grupos

com cada um dos respectivos karts, foram os seguintes (em minutos):

Kart

1 2 3 4 5

1 12 13 10 13 12

2 10 11 9 13

Grupo 3 16 12 14 12 12

4 16 15 10 15 11

5 15 11 11 18 17

6 13 14 13 12 16

Determine o plano óptimo de afectação das equipas em termos de performance

competitiva.



27. A empresa Lusotécnica Lda. produz um determinado modelo de televisores em 3

fábricas distintas (F1, F2 e F3), que fornecem 4 hipermercados da zona Norte (H1,

H2, H3 e H4). O número de unidades produzidas pelas três fábricas é de 1000,

2000 e 1400, respectivamente. A procura deste modelo de televisores nos

hipermercados H1, H2, H3 e H4 é de 600, 900, 850 e 1100 unidades,

respectivamente. Por motivos comerciais, a fábrica F1 não fornece H1. Os custos

unitários de transporte (em euros) são os seguintes:

H1 H2 H3 H4F1 9 10 12F2 14 8 11 9F3 10 15 12 13

Determine o plano óptimo de transporte e interprete a solução obtida.

28. Considere um problema de afectação dado pela seguinte matriz de custos ou

lucros unitários (em euros):

A B C D1 7 12 8 102 9 10 11 3 13 7 12 74 8 12 10 95 7 13 6 14

Qual o plano óptimo de afectação se o objectivo for:

a) minimizar o custo total;

b) maximizar o lucro total.



29. Uma empresa tem 2 armazéns (A1 e A2) que fornecem um determinado produto a

3 lojas (L1, L2 e L3). As capacidades de A1 e A2 são de 100 e 120 unidades,

respectivamente. As necessidades de L1, L2 e L3 são de 60, 40 e 80 unidades,

respectivamente. Os custos unitários de transporte (em euros) da origem Ai para o

destino Lj são os seguintes:

L1 L2 L3A1 10 12

A2 7 11 8

Por motivos comercias, o armazém A1 não fornece a loja L1.a)Escreva o problema em termos de um problema de programação linear.b)Resolva o problema pelo algoritmo de transportes. Interprete a solução obtida.

30. Considere o seguinte problema de transportes (minimização)

Destino

1 2 3 4 5 Oferta

A 5 7 8 6 7 1

Origem B 11 12 15 14 12 1

C 3 3 4 5 6 1

D 10 12 9 8 9 1

E 9 14 12 13 11 1

Procura 1 1 1 1 1

a) Obtenha uma SBA inicial pelo método do “Canto do Noroeste”. Quantas

variáveis básicas há em cada SBA inicial? E destas quantas são degeneradas?

b) Resolva o problema pelo método Húngaro.



SOLUÇÕES

I. Introdução à Programação Linear

1. a) x1 = 0; x2 = 3; z = 6. b) x1 = 0; x2 = 0; z = 0. c) Solução não admissível.d) x1 = 0; x2 = 7; z = 21. e) x1 = 0; x2 = 2; z = 4. f) x1 = 5,6; x2 = 5,6; z = 50,4.g) (i) Solução não limitada (ii) x1 = 2,(6); x2 = 2; z = 4,(6) (iii) Soluções óptimasalternativas; z = 2 (iv) Solução não limitada (v) Soluções óptimas alternativas,z = −1 (vi) x1 = 2; x2 = 3; z = 2 (vii) Solução não limitada (viii) Soluções óptimasalternativas, z = 12.

2. x1 = 4/3; x2 = 10/3; z = 36.

3. x1 = 16; x2 = 4; z = 760.

4. x1 = 5; x2 = 8; z = 128000.

5. (1) Max Z = 40x1 + 20x2 − 10x3. (2) Min W = 150x1 + 1000x2

II. Método do Simplex

1. b) x1 = 2, x2 = 6; z = 36.

2. x1 = 0, x2 = 10, x3 = 20/3; z = 70.

3. x1 = 1, x2 = 0; z = 6.

4. a) x2 = 9/2, x5 = 6, x1 = x3 = x4 = 0; z = 81/2. b) x1 = 0,583, x2 = 0,417, x3 = 0, x4 = 0;z = 71,67.

5. a) e>0, a>0. b) e=0, a>0. c) a>0, c≤0, d≤0, e<0. d) a=0.

6. x1 = 0, x2 = 15, x3 = 15; z = 90.

7. x1 = 0, x2 = 0, x3 = 1, x4 = 1, x5 = 3, x6 = 0; z = 1.



III. Dualidade

2. a) Primal: X*=(12,12,0,0,0); Z*=108; Dual: Y*=(14,9,0,0,0); W*=108.b) Soluções óptimas alternativas.

3. a) x1 = 140/19, x2 = 50/95; Z = 190. b) y1 = 4, y2 = 5; W = 190.

4. a) x1 = 35, x2 = 0, x3 = 35; Z = 175.

5. a) x1 = 3, x2 = 5; Z = 540. b) y1 = 1.5, y2 = 0, y3 = 0.5; W = 540.

6. a) x1 = 63.5, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 36,5, x5 = 0, x6 = 11.5; Z = 17145.b) y1 = 0, y2 = 135, y3 = 0, y4 = 0, y5 = 105, y6 = 90; W = 17145.

IV. Análise de Sensibilidade

1. a) X*=(5/3,0,3,0,0), Z*=17 c) Y*=(1/5,3/5,0,2,0), W*=17 d) A solução primal deixa de ser óptima e) X*=(35/12,15/4,0,0,0), Z*=20 f) A solução primal deixa de ser óptima. Nova SBA: X*=[(0,0,2,5)(0,0)] Z*=18 g) X*=[(10/9,0,10/3)(5/3,0,0)] Z*=50/3

3. c) X*=[(15,5,20),(0,85,0) Z*=490 e Y*=[(1.5,0,4,−0.5)(0,0,0)], W*=490 d) A solução deixa de ser admissível

4. a) p=4, q=25, r=2, s=−1/3, t=1. Primal: X*=[(5/3,0,3),(0,0) Z*=17 Dual: Y*=[(1/5,3/5)(0,2,0)], W*=17 b) X*=[(2.91(6),3.75,0)(0,0)] Z*=20

5. b) X*=[(0,120)(20,180,0,240)], Z*=6000 e Y*=[(0,0,8.(3),0)(36.(6),0)], W*=6000c) Não altera a optimalidade da solução

d) A solução deixa de ser admissível

6. b) X*=[(0,72,24)(0,8,16)], Z*=1800 e Y*=[(15,0,0,5)(10,0,0)], W*=1800c) O lucro óptimo passa a ser 1762 euros

d) A solução deixa de ser admissível

7. b) X*=[(10,10,5)(35,0,0)], Z*=4000 e Y*=[(0,240,160,-440)(0,0,0)], W*=4000c) A solução dada deixa de ser admissível

d) Não é vantajosa

8. b) X*=[(2000,0,1000)(0,0)],Z*=11000 e Y*=[(1.8(3),2.1(6),0)(0,1.(3),0)],W*=11000c) Não afecta a admissibilidade mas vai alterar a optimalidade.

Nova SBA: x1* = 3000; x2* = 3000; x6* = 4500; Z*=18000 d) Vai alterar a optimalidade da solução. Nova SBA: x1* = 2000; x3* = 1000; x4* = 0; Z*=12000 e) A afirmação é correcta (Z*’=12000).



9. b) X*=[(10,10,0)(10,0,0)],Z*=1250 Y*=[(0,−12.5,62.5)(0,0,25)],W*=1250c) O lucro passa a ser de 1600 euros, com X*=[(20,0,0)(0,20,0)]d)Sim (Z* = 1562.5)

10. a) 1, 3 e –1; X*=[(1,6,0)(0,0)], Z*=9 ; Y*=[(0.5,0.5)( 0,0,1)], W*=9.b) Vai afectar a optimalidade da solução. Nova SBA: X*=[(0,8,0)(0,2)], Z*=16.

11. b) X*=[(4,4),(0,0,10)], Z*=8 ; Y*=[(0.2,0.2,0),(0,0)], W*=8.c) b1∈[13.(3) , 30] , b2∈[13.(3) , 30] e c3∈]−∞ , 12].d) (i) A solução deixa de ser óptima. Nova SBA: X*=[(0,10,18),(0,0)], Z*=10.

(ii) A solução deixa de ser admissível(iii) A solução deixa de ser óptima. Nova SBA: X*=[(4,4,10),(0,0)], Z*=14.(iv) Vai afectar a admissibilidade da solução. Nova SBA:

X*=[(5,2.5),(0,2.5,8)], Z*=7.5.

12. a) Y*=[(2.5,0,−1),(0,0.5,0)], W*=34.b) Vai alterar o plano óptimo de produção.

Nova SBA: X*=[(7.75,0.5,1.125),(0,0,0)], Z*=18.25.c) Com b2’=6 a solução deixa de ser admissível. Com b2’=10 não altera a SBA

dada.

13. a) X*=[(6,0,0),(0,10)], Z*=−12 ; Y*=[(−2,0),( 0,−3, −1)], W*=−12.c) c1∈]−∞ , −1] , c2∈[−2 , +∞[ e c3∈[−2 , +∞[.d) (i) Não afecta a optimalidade da solução.

(ii) O valor de Z* pasas a ser −20 com X*=[(10,0,0),(0,13)](iii) Vai afectar a optimalidade da solução dada (solução não limitada).(iv) Vai afectar a optimalidade da solução. Nova SBA:

X*=[(16,0,0,10),(0,0)], Z*=−22.

V. Problemas de Transportes e Afectação

2. b) F1-M4 (1500), F2-M1 (1500), F2-M2 (1000), F3-M2 (200), F3-M3 (1800).Custo = 15900

4. a) A-M2 (5), B-M1 (10), C-M3 (15), Fict.-M1 (10), Fict.-M2 (5), Fict.-M3 (0),Fict.-M4 (15). Custo = 55

5. 1-2 (10), 2-1 (60), 2-2 (10), 2-3 (10), 3-1 (15), Fict.-3 (40). Custo = 595 euros

6. A1-4, A2-5, A3-6, A4-3, P1-2, P2-1. Duração = 19 dias

7. CP-José, CR-Rita, CO-João, CC-Ana, IF-Rui. Duração = 11 dias

8. A-M2, B-M2, C-M3, D-M4, E-M6, F-M5. Custo = 24 euros

9. U1-C (40), U1-D (50), U2-B (80), U2-C (30), U3-A (50), U3-D (10), Fict.-D(40). Custo = 4350



10. A-M2, B-M4, C-M1, D-M5, E-M3, F-Fict. Custo = 30

11. L-R4 (40), P-R1 (20), P-R3 (45), F-R2 (25), F-R3 (0), F-RA (5), Fict.-R3 (20)Custo = 3550

12. P1-E2, P2-E1, P3-E4, P4-E5, P6-E6, P7-E7. Custo = 125 contos

13. L-A2 (1100), P-A1 (1200), C-A1 (600), C-A3 (700), T-A3 (1000), Fict.-A1(200), Fict.-A2 (300). Custo = 60600 euros.

14. A-Fict., B-T3, C-T5, D-T1, E-T4, F-T2. Custo = 86 euros

15. A-H1 (95), A-H2 (125), B-H1 (5), B-H3 (10), B-H4 (70), B-Fict. (165), C-H3(180). Custo = 1517,5 euros

16. b) A-P1, B-P3, C-P2, D-P5, E-Fict., F-P4. Custo = 53 horas

17. b) F1-B (125), F2-A (100), F2-D (150), F3-C (200), F3-D (100), Fict.-B (200),Fict.-D (100). Custo = 294375 euros

18. R1-A2 (15), R2-A1 (20), R3-A3 (15), R3-Fict. (20), R4-A2 (10), R4-Fict.(20). Custo = 5925

19. M1-B (20) , M1-C (10), M2 – A (15) , M2 – C (20), M3 – D (25) , Fict. –D(10).Custo = 1180 euros.

20. A-2 , B-A, C-3 , D-1. Lucro = 68.

21. a) 1-A, 2-D, 3-C, 4-E, Fict.- B. Custo = 37. b) 1-D, 2-C, 3-A, 4-B, Fict.- E. Lucro = 60.

22. a) F1-B (900), F1-C (100), F2-D (1100), F2-Fict. (900), F3-A (600), F3-C (750),F3-Fict. (50). Custo = 24900 euros.

23. F1-M3 (25), F2-M1 (0), F2-M2 (20), F3-M1 (35), F3-M3 (5), FF-M1 (15).Custo = 870.

24. a) A1-1 (1), A-2 (0), B-2 (1), B-3 (0), C-3 (1), C-4 (0), D-4 (1), D-5 (0), Fict.-5 (1).Custo = 17; 9 variáveis básicas (4 variáveis degeneradas).

b) A-2, B-1, C-4 , D-5 (ou D-3), F-3 (OU F-5). Custo = 11.

25. F1-A (100), F2-A (80), F3-B (200), F3-Fict. (80), F4-C (80), F4-Fict. (220),F5-C (140). Custo = 7220.

26. 1-G1, 2-G4, 3-G5, 4-G3, 5-G2, 6-G6. Custo=54.



27. F1-H2 (0), F1-H3 (850), F1-HF (150), F2-H2 (900), F2-H4 (1100), F3-H1(600), F3-HF (800).Custo = 31600.

28. 1-A, 1-Fict., 3-B, 4-D, 5-C. Custo=29. 1-B, 2-C, 3-A, 4-Fict., 5-D. Lucro=50.

29. A1-L2 (40), A1-L3 (20), A1-LF (40), A2-L1 (60), A2-L3 (60).Custo = 1540.

30. a) A1-1 (1), A-2 (0), B-2 (1), B-3 (0), C-3 (1), C-4 (0), D-4 (1), D-5 (0), E-5 (1).Custo = 40; 9 variáveis básicas (4 variáveis degeneradas).

b) A-4, B-5, C-2 , D-3 ,E-1. Custo = 39.

Caderno de Exercícios de IO

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