Caderno2 DIG

INTRODUO capa1

PROGRAMA DE ENSINO

GUIA PARA AULAS

CADERNO 2

INTRODUO 22

PROGRAMA DE ENSINO

GUIA PARA AULASLIVRO 2

PRIMEIRA TURMA DO CRCULO DA MATEMTICA DO BRASIL, PORTO ALEGRE, SETEMBRO DE 2013

INTRODUO 22

INTRODUO 22O CRCULO DA MATEMTICA DO BRASIL GUIA PARA AULAS II

ndiceintroduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

sugesto de programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8

Como usar este livro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10

A abordagem pedaggica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12

Diretrizes procedimentais da abordagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14

A Bailarina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

Pontos explosivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

A Mquina de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

O Relgio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .42

O Labirinto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47

O Sanduche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

Nmeros entre nmeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

Cortando a pizza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63

Desvendando o desconhecido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66

Existem diferentes tamanhos de infinito? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68

PROGRAMA DE ENSINO

GUIA PARA AULASLIVRO 2

7O CRCULO DA MATEMTICA DO BRASIL GUIA PARA AULAS II

introduoMensagem de Bob e Ellen Kaplan para a equipe de educadores do Crculo da Matemtica do BrasilUm abrao caloroso para todos vocs, os pioneiros desta grande aventura!So vocs que iro desbravar os caminhos que os outros seguiro ao trazeras glrias da matemtica juventude do Brasil e depois deles para asgeraes futuras.

Ser exaustivo e eletrizante, cheio de prazeres e desapontamentos. Vocsdevem se preparar para as frustraes e ajudar uns aos outros a super-las,aprender com elas e continuar a clarear a selva da confuso. Que triunfo, sevocs conseguirem salvar uma nica criana da ignorncia paralisante! E sepuderem provocar as foras de entendimento para duas, cinco ou para umaturma de crianas entusiastas da matemtica ou para a rede de seusamigos, famlias e outras crianas!

O que matemtica? uma de nossas maneiras de compreender aestrutura do mundo, o poder que o conhecimento d, o sentido interior daautoestima que vem da realizao das nossas prprias descobertas. a msica da mente: mistrios atraentes e suas solues deslumbrantesque vm da admirao das harmonias secretas do nosso mundo.

Ento, iniciem, e fiquem em contato com a gente e uns com os outros.Coragem, pacincia, reflexo. Cada um de vocs o centro silencioso deum esplendoroso crculo da matemtica.

Plus Ultra!

Bob e Ellen

SUGESTO DE PROGRAMA 9O CRCULO DA MATEMTICA DO BRASIL GUIA PARA AULAS II

O primeiro ponto o entendimento dosistema posicional dos nmeros, que sempre uma parte muito difcil,especialmente para aqueles que acabaramde aprender a ler da esquerda para a direitae que descobrem que, quando nossosnmeros crescem, eles o fazem da direitapara a esquerda. Os pontos explosivosfazem isso ser vvido. importante para osestudantes praticarem a leitura do que umnmero ao olharem os pontinhos emcolunas e imaginarem como escrev-loscom os pontinhos quando eles iniciam comum nmero. Como sempre, a iniciativa devevir deles, tanto quanto possvel: deixe-osdecidir quantas colunas devem serdesenhadas para um problema particular se fizerem mais do que o necessrio, serbom para verem que aquelas colunas semuso ficaro vazias. Tambm bom terexemplos com colunas intermedirias vazias(309, 2, 407), muita variedade e o quantomais de experimentao possvel para queos estudantes no fiquem entediados, masque sintam que tm pleno domnio destagrande inveno de sua espcie.

Agora, adio e, para variar, comece com adana na linha dos nmeros. Novamente,deixe-os ficar o mximo possvel nocomando, decidindo, por exemplo, quenome dar danarina ou ao corredor; ondecomear, para que lado a bailarina oubailarino vai estar virado, quantos passos

sero dados sempre deixando cada umadas crianas prever onde a danarina parar,escrevendo suas previses no quadro-negro. Isso faz com que tudo seja um jogoem que elas se envolvam e para que aomesmo tempo desenvolvam a noo dedistncia e a operao da adio. Uma vezque as crianas j estejam confortveis comisso, podemos fazer a adio com os pontosexplosivos elas ficaro agradavelmentesurpresas ao ver esta nova ideia em umaroupa velha, e uma fasca vir ao esfregarjuntos os dois gravetos.

Subtrao: volte dana na linha dosnmeros, para trabalhar a ideia de subtraoe ento a de nmeros negativos. Nasequncia, com os pontos explosivos epontos vazios para nmeros negativos (falarsobre a regra de que um ponto vazio e umponto slido, na mesma coluna, sedestroem mutuamente). O professorsempre deve ficar de olhos e de ouvidosabertos para outros modos pelos quais osestudantes podem pensar a subtrao (ficardevendo, emprestando, a temperaturacaindo, descendo ao invs de ir para aesquerda etc.).

A multiplicao introduzida de forma maisfcil ao perguntar quantas unidades detijolinhos de 1 x 1 so necessrias paracobrir vrios retngulos (por ltimo ascrianas devem escolher as dimenses dos

retngulos). A multiplicao e a adio socombinadas ao perguntarmos quantostijolinhos precisamos para cobrir oitoandares de 5 x 20 em um edifcio, porexemplo. E faam isso novamentedanando na linha dos nmeros: adanarina agora saltar 6 vezes, cada saltosendo de 4 passos, ou o que as crianasescolherem. Quanto maior a variedade demaneiras de apresentar uma nova ideia,melhor.

Diviso: cortando sanduches quadrados epizzas redondas para servir a voc e seusamigos convidados; ou quantos passosforam em cada um dos saltos da bailarina, se4 saltos iguais a levam do zero ao 12.

A diviso agora nos transporta (atravs docorte dos sanduches) ao prximo mundo, odas fraes e j fizemos mais do queaquilo que usualmente feito nos primeirosanos da escola! importante que osprofessores inventem seus prprios jogos,trilhem seus prprios caminhos levandoseus alunos a descobrir as novas operaes.

Deixem que fiquem curiosos ao manter umaboa srie de questes de fundo: quantosnmeros existem l? Ser que existe umprimeiro nmero de todos? Um ltimo? Ummenor? Um maior? Ser a multiplicao algoextravagante ou somente adio em altavelocidade? (Ela aparecer propriamente

assim nesse estgio mas, quando muitomais tarde chegarmos a 3.4117 x 18.6,continuar sendo? Ou PI x a raiz quadradade 2?) No vamos subestimar as crianas:questes de fundo so: nmeros so ou noreais; como sabemos que estas verdades soverdadeiras? Ser que os marcianos teriam amesma matemtica que temos? No seesqueam das mquinas de funes comoum prazer sempre constante. Uma questopara deix-los instigados, porm semfornecer resposta: que nmero vezes elemesmo d 16? Ou 9? Ou 4? Est bem, quenmero vezes ele mesmo igual a 2?

Grandes objetivos gerais: no somentedominar as quatro operaes bsicas, masvendo que a adio e a subtrao soinversas delas mesmas (se anulam), assimcomo a multiplicao e a diviso. E trazendotanta geometria quanto for possvel a essemundo aritmtico.

Adiante: no somente fraes e geometria,mas a estrutura mais profunda do queacabamos de conquistar: se o 1 o bloco deconstruo bsico da adio, qual o blocode construo bsico da multiplicao?Nmeros PRIMOS! E fazendo mquinas defunes desenharem figuras delas mesmas:grficos!

Podemos, por favor, fazer matemticadurante o dia todo, todos os dias?

sugesto de programaAqui est, em linhas gerais, o programa que gostaramos de sugerirpor Bob & Ellen Kaplan

COMO USAR ESTE LIVRO 11O CRCULO DA MATEMTICA DO BRASIL GUIA PARA AULAS II

Este livro faz parte da coleo de materiaisde apoio aos educadores do Crculo daMatemtica do Brasil. Contm sugestes deum programa de ensino desenvolvido para10-12 encontros de 50 minutos comcrianas entre 7 e 10 anos, cursando osprimeiros anos do Ensino Fundamental nasescolas pblicas brasileiras, nas suas cincoregies. Isso no quer dizer que esteprograma, assim como os exercciosincludos, no possa ser utilizado paraensinar crianas menores ou maiores,dependendo do nvel dos alunos e doscaminhos que a conversa tome em cadaaula; podem ser aprofundados aspectosdiferentes de cada exerccio e comdiferentes graus de sofisticao matemtica.

Neste livro, alm das sugestes dosprofessores Bob e Ellen Kaplan, podemosencontrar uma multiplicidade de narrativasdos prprios educadores recontando osproblemas matemticos que aprenderamcom os professores Kaplan, durante aprimeira capacitao dada por eles no Brasil(Porto Alegre, 29 de julho a 2 de agosto de2013). Cada educador contou o problemado seu jeito. Esperamos que, lendo asdiferentes verses, cada educador construao seu prprio jeito, adequando osproblemas ao perfil dos seus alunos ealunas. Ao longo das narrativas doseducadores, vocs iro encontrar caixas deconversa com comentrios e assuntos quevisam a complementar as atividadesdescritas no livro, seja propondo arealizao de reflexo quanto ao contedoapresentado e as diferentes formas deadapt-las para a sala de aula, sejaexplicitando quais caractersticas a atividaderelatada desenvolve.

Dentro do esprito deste livro, de servircomo um Guia para as Aulas, importantemanter em mente todos os fundamentos daabordagem pedaggica do LIVRO 1 repetidas mais adiante , como as diretrizesde atuao em sala. Lembrem-se de recorrer

sempre que necessrio s recomendaesdos professores Kaplan; voltem ao livro,releiam a introduo e as diferentesperspectivas de abordar as atividades.Reflitam sobre as singularidades de cadaturma e como adapt-las de forma a tornar amatemtica cada vez mais atraente paraseus alunos.

positivo notar que cada sala de aula umaexperincia nica, o respeito ao ritmonatural das turmas essencial. Lembrem-seque o foco a criana, no o contedo a serpassado. Sejam flexveis, ajustem o materials necessidades de cada turminha,respeitando o nvel de entendimento dosalunos e estimulando-os a sempre dar umpasso frente. exemplo de Ellen e Bob,recebam bem seus novos amigos no mundoda matemtica, tornem os momentos doCrculo da Matemtica do Brasil algoagradvel, como uma conversa entreamigos. A dinner table conversation, comodiria Bob.

No tenham dvidas de que surgirodificuldades, fiquem atentos realidade dasescolas e de seus alunos. Quando frustrados,compreendam a situao de cada um,entendam o impacto que a sua ateno temna vida dessas crianas. A ateno de umadulto que escuta e valoriza o que a crianafala tem impacto direto na autoestima delae na forma como ela enxerga a vida, e quemaravilha quando esse adulto que escutatem tanta coisa interessante para conversartambm! Mantenham em mente que nemtodos os alunos tm uma estrutura familiar eque alguns problemas de comportamentopodem ser fruto da falta de estabilidade doambiente ao qual essas crianas estoexpostas. Mantenham seu entusiasmo paraensin-las, certamente seu humor sercontagiante ao longo dos encontrossemanais. Lembrem-se: ateno + respeito +firmeza fazem toda a diferena, afinal, o quemais vocs esperariam vivenciar com seusmais novos amigos para toda a vida?

Como usar este livropor ngels Varea

A ABORDAGEM PEDAGGICA 13O CRCULO DA MATEMTICA DO BRASIL GUIA PARA AULAS II

Uma abordagem sempre algo difcil detransmitir, pois demanda uma apropriaoque na maior parte das vezes vem com avivncia do dia a dia. No entanto, durantenosso primeiro workshop fomos capazes deidentificar e apontar diretrizes daabordagem vivida no Crculo da Matemticado Brasil. Este texto uma inspirao de taisdiretrizes e do post Qual o significado dosmandamentos pedaggicos do Crculo daMatemtica do blog do Crculo.

Diga-me e eu esquecerei, pergunte-me e eudescobrirei. Esse o mote principal daabordagem pedaggica do Crculo. Mas porque ele to importante? Existe muita coisapor trs do simples perguntar. Fornecer criana uma dvida, em oposio a umainformao que ela deve absorver, reconhecer a importncia da autonomiapara a formao das pessoas. priorizar aliberdade pessoal na construo doconhecimento no sentido de respeitar aindividualidade do ser humano; ritmos deaprendizado so diferentes, a experinciapessoal de cada um influencia na linguageme no formato de apresentao do contedoa ser repassado. O reconhecimento daindividualidade de cada um, respeitandoritmos, reconhecendo diferenas, incluindoas crianas como agentes de construo doconhecimento so caractersticas dapedagogia do Crculo da Matemtica efazem parte da proposta de humanizaodo ensino.

Existe muita beleza por trs do perguntarincessante e do esforo para que as crianasobtenham suas prprias respostas. Primeiro,porque a resposta conquistada smbolo daautonomia fortalecida de cada um e temimpacto direto na autoestima da criana. Porisso mais valorizada do que a informaoentregue sem reflexo. Segundo, porque oaprendizado volta a focar no mais importante:o indivduo. As prioridades nos encontros doCrculo da Matemtica do Brasil so a pessoa ea sua jornada para o conhecimento. Ocontedo apenas o meio para promover odesenvolvimento pessoal e social de cada um.

Alm de servir como meio de motivao daautonomia, o perguntar incessante tambmleva a uma promoo da socializao edemocratizao em sala de aula. Isso ocorreporque mais que ter a funo de instigar, asperguntas funcionam como ferramenta deincluso. responsabilidade do educadordo Crculo da Matemtica do Brasil provocara participao de todos no processo deaprendizado, incluindo os mais dispersos,nas atividades realizadas em sala. Por trs daincluso e da importncia dada percepode todos, h o elemento de realizao evalorizao da democracia. A mensagemque se passa que todos so importantes etodos devem ser ouvidos e, acima de tudo,devem ter sua opinio respeitada. por issotambm que erros so bem-vindos eincorporados durante as sesses deencontro com os estudantes.

A abordagem pedaggicapor Brbara Barbosa

O erro elemento essencial para oaprendizado, e incorporado e valorizadona sala de aula. Ele ajuda a construir oraciocnio para se chegar at a respostacerta. E por isso que qualquer contribuionas sesses do Crculo, at mesmo chutes,so escritos na lousa, para que todospercebam que a opinio de todo mundoimporta. Os palpites para a resposta sovalorizados; isso deixa os alunos vontadepara participar e demonstra s crianas queh valor em sua participao. Mas, mais doque isso, a ateno dada a todos os palpitesfunciona como ferramenta de empatia. Aoescrever um palpite no quadro e perguntarde onde veio tal palpite, uma chance criada para que todos sejam capazes deentender a construo do raciocnio alheio,criando laos de confiana entre os alunos.

Mas, alm da construo desse lao deconfiana entre alunos, importante queexistam os mesmos laos entre professor ealuno. encorajado que o professor saiba osnomes de seus alunos e os trate pelo nome.Os envolvidos nos encontros devem sentirsua individualidade reconhecida e o nome fazparte da identificao pessoal de cada um.Outro meio de fortalecer laos entre professore aluno a demonstrao de existncia dedvidas por parte do professor. Nas aulas doCrculo os professores demonstram dvidas einsegurana quanto s respostas frente aocontedo. O erro cometido em frente turma leva a uma naturalizao do erro. Este

tambm mais um meio de demonstrarpara as crianas que o conhecimento construdo, no dado, e que o erro faz partedo caminho para se chegar resposta certa.Mas, mais importante de tudo, umcaminho de mostrar aos estudantes queningum sabe a resposta de tudo. Ahumanizao do professor, via possibilidadede erro do mesmo, um elemento queencoraja o questionamento a todo o tempo.O intuito capacitar os indivduos para quebusquem o motivo das coisas, em oposioa aceitar fatos sem question-los, e para quesejam capazes de entender que figuras deautoridade tambm erram.

A abordagem do Crculo da Matemtica doBrasil busca cultivar o que h de maishumano nas pessoas, como a empatia, viaincluso de percepes diferentes pararesolver uma questo proposta em sala deaula. Como a imaginao, exercida tantopelos alunos quanto pelo professor, querealiza atividades com apelo ldico e queexigem o exerccio de reflexo envolvendotons de fantasia. Como promoo dacooperao, que gera laos de solidariedade,por meio da incluso e da ateno dada atodos os envolvidos, em oposio promoo de um esprito competitivo dentrode sala de aula. E por isso que durante osencontros semanais todos aprendem,porque todos fazem parte do processo deconhecer uns aos outros e de desvendar omaravilhoso mundo da matemtica.

Diga-me e eu esquecerei,pergunte-me e eu descobrirei.

DIRETRIZES E PROCEDIMENTOS DA ABORDAGEM 17O CRCULO DA MATEMTICA DO BRASIL GUIA PARA AULAS II

O PERGUNTAR INCESSANTE1. Tenha a sensibilidade de colocar a pergunta certa na hora certa. Algumasvezes coloque questes ambguas: metade do caminho para aprendermatemtica est em adivinhar como se pode responder a uma questo.

2. Seja paciente. Cada um tem seu ritmo. As crianas precisam de tempopara pensar e para responder. No apresse os resultados.

3.As questes devem estimular as crianas a expor suas ideias. Pense: comofazer perguntas estimulantes? No h receita, depende do contexto.

4. Chame as crianas pelo nome. O perguntar incessante antes de tudoreconhece a individualidade das crianas. As crianas gostam denmeros, mas elas mesmas no so nmeros.

5. Existe uma coreografia do ensino, prpria ao Crculo da Matemtica.Acelere at chegar ao clmax e ento pause. Use a linguagem:

3o que voc acha disso?

3que ideia bacana! (sem ser excessivamente entusiasta)

3eu acho que voc pode estar certo

3eu tambm no sei (mesmo que saiba, apenas como sinal de empatia).

6.O perguntar deve promover a interao estratgica entre as crianas.Quando uma criana erra a resposta, pergunte o que o/a colega acha.Pergunte tambm quando ela acerta. Promova a interao, deixe a elas aautoridade do responder na prtica.

7.As questes devem ser simples. No precisa usar linguagem de beb,mas ela deve ser clara e simples. Muitas vezes, no entanto, os alunos noentendem. No h problema, siga refraseando at que o que est sendodito fique claro para todos (isso tambm um modo de ampliar ovocabulrio matemtico dos seus alunos/as).

OUVIR DE VERDADE8.Muitas vezes os/as professores/as tm uma atitude preparada para ouvir,mas no conseguem dar materialidade a essa ao. Para que issoacontea, registre no quadro todos os tipos de respostas, incluindo,principalmente, as erradas. No porque o aluno/a errou que ele ou ela menos importante. Todas as respostas devem ser escutadas e registradas.

9.Desconstrua para construir. No se preocupe demasiadamente com otempo e com as metas (no que elas no sejam importantes, mas nodevem ser atingidas apenas formalmente), o foco deve ser a qualidade doprocesso que voc est construindo.

10. Seja um bom, ou boa, ouvinte. Muitas vezes, ensinar confundido comfalar, quando escutar to ou mais importante.

Diretrizes e procedimentais da abordagemAbaixo, temos a sistematizao de pontos procedimentais que podem ajudar na vivncia da abordagem pedaggica do Crculo da Matemtica do Brasil

11. Simplifique tanto quanto possvel questes complexas. Traduzapensamentos complexos em pensamentos simples. Ajude seusalunos/as a entender os problemas dando a eles uma ponte de acessoa maneiras mais simples de pensar.

12. Traduza as respostas em uma linguagem que tenha um equivalentematemtico, assim fica mais fcil de registrar a participao das crianasem termos concretos e um modo de inclu-las.

13.No elogie diretamente as crianas quando elas acertam. Elogie suaparticipao. Elogie quando o resultado certo atingido. Exemplo:Muito bom, ento, o que isso sugere?.

A ORGANIZAO DO QUADRO14.D flexibilidade ao seu quadro: mantenha em lugar destacado o

raciocnio principal, auxiliado por outras partes do quadro. Nosubdivida o seu quadro, d organicidade a ele.

15.No se esquea de registrar todas as respostas das crianas no quadro,pois o quadro tambm das crianas.

16.Deixe alguns resultados certos no quadro quando estiver perguntando,de tal modo que as crianas possam responder s suas questesbuscando-os no quadro. O seu quadro pode parecer bagunado, masele deve ter uma lgica.

O ERRO17.O erro bom. Respostas erradas so muito bem-vindas. Registre todas

as respostas erradas como seu ponto de partida para organizar opensamento seu e o da classe em direo resposta correta.

18.Use o erro pedagogicamente para organizar o pensamento de seusestudantes. Respostas muito erradas so muito boas como teis pontosde partida.

19.No tenha medo de errar de fato, faa alguns erros intencionais, poisisso pode revelar o entendimento dos estudantes e relaxar o clima.

ESTRATGIAS INCLUSIVAS20. Se voc escutar, registrar as respostas, receber bem os erros, isso vai

ajudar muito na incluso dos alunos/as. Mas se os estudantes noparticiparem, tente cativ-los, fazendo perguntas simples a eles, do tipoqual o seu nmero favorito?, qual a cor que voc quer que usemospara pintar... algo no quadro?, e assim por diante.

DIRETRIZES E PROCEDIMENTOS DA ABORDAGEM 19O CRCULO DA MATEMTICA DO BRASIL GUIA PARA AULAS II

21. Respeite a diversidade. Cada criana deve avanar dentro de seuprprio ritmo. Mas no respeite mau comportamento, crianas rudes,exibidas. No promova um ambiente competitivo permitindocomportamentos no cvicos das crianas.

22.Diversifique os problemas e as questes. Se voc v que um problema muito difcil, tente um outro problema diferente e retorne a umaverso simplificada do problema difcil mais tarde (o uso da mquinade funes sempre uma boa alternativa para dar uma quebra comuma regra fcil e recuperar as crianas perdidas).

23. Se o ambiente for hostil, introduza questes bem gentis, para mostrarque a conversa no perigosa, do tipo como devemos chamar ovencedor dessa corrida?.

O FIM24.Quando voc se aproximar do fim, retome o caminho lgico que vocs

seguiram para chegar ao resultado. Enfatize os pontos importantes.

25. Simplesmente chegar aos resultados corretos no o fim, ou objetivo,de tudo. O segredo est na construo do processo. Brinque com oresultado. No termine o problema com a resposta certa, extrapole,invente, aplique o resultado. Pergunte se existem outras formas de sechegar ao mesmo resultado. Tente terminar em uma nota alta com umaquesto aberta: Vamos imaginar o que pode ser feito com esseresultado na prxima aula.

OS NOS26.No se deve focar a aula como sesses de cpia do quadro, sem o

devido pensar. As crianas devem focar o pensar, no o copiar.

27.No seja escravo/a dos contedos. Simplesmente passar pelo materialno deve ser nossa prioridade (ver ponto 9). A nossa prioridade deveser estimular o interesse das crianas em pensar matematicamente.

AS SUTILEZAS28. A maior nfase deve ser na promoo da imaginao das crianas e

daquilo que elas esto sentindo. Por isso importante saber quais soos pontos difceis e os pontos de acesso matemtica para cadacriana.

29.Quando formalizar? No momento em que voc julgue que sem o rigora discusso ficar muito solta mas no quando o rigor puder matar adiscusso.

30.Voc precisa julgar quando voc passou por um ponto sem ele ficarclaro para todos, ao mesmo tempo em que voc no deseja que ele setorne repetitivo a ponto de ficar chato para todos.

Ser que tudo isso muito para memorizar? Relaxe. Voc ir se divertir, com aqueles que sero seus amigos/as para toda a vida.

FOTO FULANO DE TAL E QUAL

A BAILARINA 21O CRCULO DA MATEMTICA DO BRASIL GUIA PARA AULAS II

1. OBJETIVO3Identificar padres nos passos que a bailarina desenvolve sobre a reta;

3Trabalhar a forma intuitiva da adio e subtrao (nmeros crescem paraa direita e decrescem para a esquerda);

3Introduzir a ideia inicial de que h nmeros menores que zero.

2. PLANO SUGERIDOBasicamente esta atividade pode ser desenvolvida de quatro maneirasdiferentes, em horas distintas, para que fique bem claro para a criana opropsito do jogo. Seguem na ordem as atividades, com as devidasilustraes correspondentes:

1a) Identificando PadresA bailarina comea no ponto 0. Aps ela se preparar para o primeiro salto,ela atinge a posio 2. Durante o salto ela consegue dar um giro no ar eatinge a posio 4. E assim ela vai saltando e danando. Qual a posio queela parou depois da posio 4?

Observao sobre a atividade: intervalos e quantidade de saltos podem servariados. Ainda, depois de verificado que a turma obteve um bomentendimento, pode-se generalizar a questo e perguntar turma: E se abailarina desse mais 10 saltos, em que posio ela pararia?.

A reta da bailarina uma das atividades base recomendadas no Crculo.Com a reta voc pode ter uma ideia do nvel geral da turma quanto aoconhecimento do posicionamento dos nmeros.

No deixe de envolver a turma para pensar na reta. O prprio processo dedesenhar ela no quadro uma tima oportunidade para entender at ondevai o conhecimento dos alunos.

2a) Somando na RetaAqui, desenvolve-se a soma na reta numrica deixando claro, por meio deexemplificaes, que os nmeros crescem para a direita. O exemplo refere-se conta 2 + 3 = 5. A bailarina sempre inicia suas danas na posio zero.Supondo que ela avance diretamente para a posio 2 e aps isso d mais 3 saltos direita, que posio ela atinge?

3a) Subtrao na RetaA diferena aqui que devemos deixar claro que os nmeros decrescempara a esquerda. Nosso exemplo ilustra a conta 6 4 = 2. Neste caso, assimcomo na adio, a bailarina comea sua coreografia sobre a posio 0. Apartir da ela consegue fazer um supergiro que atinge a posio 6. Apsesse passo, ela retorna para a esquerda 4 posies. Que posio ela atingeno final?

4a) Descobrindo nmeros menores que ZeroNesta atividade, conversaremos com as crianas sobre a possibilidade deexistirem nmeros esquerda do zero. Questionaremos se possvel umnmero ser menor do que o zero.

A bailarinapor Guilherme Betto

0 2 5

0 2 6

?

0 2 4

Ns somos muito democrticos no Crculo. Seus alunos no gostam debal? Tente incorporar um personagem que os interesse. Pea sugestes.

Quais outros contedos podem ser desenvolvidos utilizando a reta dos nmeros?


A bailarinapor Viviane Beatriz Hummes

-9-10 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-9-10 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-9-10 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

importante lembrar que quem toma as decises em sala de aula so osalunos. Como descrito nesta atividade, busque sempre perguntar para osalunos qual prximo passo deve ser tomado. Mostre s crianas que elastm o controle sobre a situao. Para que lado a bailarina deve virar?Quantos saltos ela deve dar? Se ela ficar cansada, ela d saltos menores?E quando ela quer descansar, qual o melhor nmero para tirar umcochilo? Quantos nmeros faltam para o nmero do cochilo? Quanto issosignifica em saltos? Seja criativo com as suas perguntas, voc pode sesurpreender com as respostas.

Que tal pensar em outras formas de usar a reta dos nmeros em sala de aula?

Se voc quiser apresentar nmeros mltiplos e a possibilidade de umnmero ser mltiplo de mais de um nmero, voc pode realizar uma corridaentre duas bailarinas que, quando saltam, alcanam distncias diferentes.

Quantos contedos diferentes voc consegue pensar que podem serapresentados utilizando a reta dos nmeros?

As avaliaes externas, como o Saeb e a Prova Brasil, e os ParmetrosCurriculares Nacionais avaliam e indicam que identificar a localizao denmeros na reta numrica um objetivo que deve ser abordado comalunos desde as sries iniciais do Ensino Fundamental at o Ensino Mdio.

Conduzir o aluno para que ele compreenda a representao geomtricados nmeros naturais e dos nmeros inteiros em uma reta numerada,organizados em uma sequncia crescente, muitas vezes tarefa difcil paraos professores das sries iniciais.

Os professores Bob Kaplan e Ellen Kaplan propem uma atividade quesugere uma maneira de abordar este conceito com crianas das sriesiniciais. De uma maneira ldica e divertida, os professores fazem uso de gize quadro-negro para explicar s crianas a ordem e a localizao dosnmeros na reta numrica.

A atividade dos professores Kaplan, que aqui chamamos de Bailarina,consiste em trabalhar a habilidade de o aluno localizar nmeros positivos,negativos e o zero na reta representativa dos nmeros inteiros.

Os professores Kaplan desenham uma reta numerada no quadro-negro ecolocam uma bailarina em um dos pontos. Ento, contam uma histria deque essa bailarina gosta de saltar de um ponto para outro. Assim, paratestar a habilidade da bailarina, iniciam perguntando aos alunos quantospontos eles querem que a bailarina salte e qual a direo que osestudantes gostariam que ela andasse.

Por exemplo, se a bailarina est no ponto zero e os alunos pedem que elasalte sete pontos para a direita, ento a bailarina sai do 0 e vai parar noponto 7. Agora, a bailarina est no ponto 7 e os alunos solicitam que elasalte trs para a direita, ento ela vai parar no ponto 10. Se algum alunosugere que ela salte onze nmeros para a esquerda, ela vai parar no ponto -1. Seguem ilustraes desta situao ao lado.

Esta atividade pode ser um meio de explorar a habilidade de o alunoperceber a disposio dos nmeros inteiros na reta numrica,compreendendo que h uma ordem lgica de organizao desses nmerosna reta. Nesse sentido, os professores Kaplan fazem uma variao destaatividade: os alunos dizem o nmero que eles querem que a bailarina pareao saltar e depois devem descobrir qual a direo que a bailarina ter que ire quantos saltos ela ter que dar. Por exemplo, a bailarina est no ponto -1 eos alunos querem que ela pare no ponto 6, ento os professoresperguntam quantos saltos e em qual direo a bailarina ter que andar parachegar ao ponto 6.


Da experincia em salapor Raphael Gomes de Oliveira

(...) fizemos a reta com umapersonagem do desenho 'MonsterHigh', todas elas riram do meu desenho,mas consegui manter minimamente aateno delas. Mas algumasapresentavam dificuldades emrealmente saber a ordem de grandezados nmeros e, em alguns casos, at oordenamento deles. No consegui fazeros saltos, ento, fui tentando ver se elasconseguiam completar a reta com osnmeros que faltavam; enquanto umadelas conseguiu listar vrios, outrasainda estavam confusas sobre o querealmente estvamos fazendo.

E quando vi que meu tempo estava porterminar, lancei uma pergunta paratodas me responderem: "Ser que adistncia (ou tamanho da reta, no merecordo exatamente o termo) entre o90 e o 100 a mesma que entre o 20 eo 30?". A resposta rpida e geral foi "no,porque 90 e 100 so bem maiores".Repliquei perguntando "Ser? Quantosnmeros tm entre cada intervalo (nofoi exatamente essa palavra)?". Meutempo estava realmente no fim, e pedipra que pensassem e merespondessem na prxima aula; nessemomento, algumas j se dispersaramarrumando seu material e, enquantoisso, vi uma delas contando nos dedoscom uma cara espantada e me disse:"fessor, a mesma coisa, porque tem 10nmeros entre o 20 e o 30 e 10nmeros entre o 90 e o 100".

Alguns instantes depois, o sinal tocoucomo se fosse o apito do juizdecretando o fim do jogo. Fui emboracom a sensao de que tinha feitoaquele gol que aos 45 do segundotempo garante ao menos o empate.

FOTO FULANO DE TAL E QUAL

O interessante da aplicao desse mtodo registrar no quadro todas assugestes citadas pelos alunos. Quando o estudante nota que o que ele diz levado em considerao, e que ele importante para a construo doresultado, o mesmo se sentir mais estimulado a participar da aula.

A forma adotada para expressar a exploso (BOOM!!, KAPLUM!!, KABANG!!,POW!!) no est preestabelecida, vai de acordo com o som emitido pelaclasse, e cabe ao professor orient-la de que, quando ocorre a soma de 10pontinhos na casa das unidades temos 1 dezena, a juno de 10 pontinhosna casa das dezenas tem 1 centena, e assim sucessivamente, facilitando acompreenso dos alunos.

De forma resumida, incentivar a participao do aluno na aula de umamaneira espontnea, sem menosprezar toda e qualquer sugesto, contribuir de maneira igualitria para a construo do conhecimento deforma mais leve, menos opressora e menos excludente. O intuito no sfazer esses alunos adquirirem gosto pela matemtica, e sim compreend-lade forma a ajudar em sua melhor formao escolar. Para que assim, commuito trabalho e comprometimento, melhoremos juntos a realidade daeducao em nosso pas.

Os exemplos utilizados em sala de aula vo surgindo conforme a sugestoda classe. Carlos Antonio Alves dos Santos

PONTOS EXPLOSIVOS 27O CRCULO DA MATEMTICA DO BRASIL GUIA PARA AULAS 2

fato, afirmar que toda a metodologia dos professores Bob e Ellen Kaplan,com base no Diga-me e eu esquecerei; pergunte-me e eu descobrirei),contribui bastante para a quebra de um paradigma que se propaga pelasociedade h longos e longos anos: o da averso a Matemtica. Isso porquese trabalha com as crianas de uma maneira distinta da convencional, que instig-las a participar da construo do aprendizado.

Uma das aplicaes dessa metodologia consiste na adio com pontinhosonde so utilizados pontos como representao numrica de forma distribudaem Unidades, Dezenas, Centenas, Milhares, etc. em um quadro (Figura 1):

A atividade dos pontos explosivos permite que a adio e subtrao degrandes nmeros seja intuitiva. Mostra para os estudantes que eles nonecessitam saber escrever os nmeros formalmente para saber matemtica.Comece com a adio de nmeros pequenos, para que eles possamentender a mecnica da atividade, e v aos poucos aumentando.

Verifique se eles esto entendendo o que acontece no quadro o tempotodo. Antes de ensin-los a adicionar com os pontos, ensine-os a escreverusando pontos. Escreva nmeros grandes e pergunte qual deles o maior e por que.

Pontos explosivospor Carlos Antonio Alves dos Santos

MILHARES CENTENAS DEZENAS UNIDADES

+


+

Alm de somar, o que mais podemos fazer com os pontos explosivos?

No exemplo acima temos a soma dos nmeros 355 + 146. Vale ressaltar quedurante toda a aplicao do Crculo da Matemtica possvel notar que osprofessores Kaplan levam apenas a base da metodologia a ser aplicada emaula, sendo que a construo de todo o problema e sua devida soluo sodadas de acordo com o que foi proposto pelos alunos (neste caso, ascrianas de sries iniciais). Ou seja, os exemplos utilizados em sala de aulavo surgindo conforme a sugesto da classe.

Em que consiste tal mtodo de adio com pontinhos? De fato, para seprender a ateno de uma criana, devemos usar imagens, desenhos,barulhos, algo que torne interessante a aula e estimulante sua participao.Nesse caso, quando feita a soma dos pontos com o auxlio dos alunos(as),chegando ao numero 10, destacam-se os pontos, resultando numaexploso!! (Figura 2).


5 0 1+

Os pontos restantes descem para a 3 linha (resultado) e o grupo de pontosque ocasionou a exploso se transforma em um novo ponto na casa aolado (conforme destacado na figura 2). No caso de a soma resultar emnenhum ponto, significa dizer que temos o nmero 0 como resultado. (Fig.3)

PONTOS EXPLOSIVOS 29O CRCULO DA MATEMTICA DO BRASIL GUIA PARA AULAS II

A brincadeira dos pontos explosivos tem como objetivo ensinar a somar deuma forma simples e divertida. Nela, os nmeros so expressos sob a formade pontos que, separados em colunas, representam a quantidade deunidades, dezenas, centenas, milhares, etc., respectivamente, que seequivalem forma como o nmero escrito. Para escrever um nmerodesta forma, deve-se desenhar uma tabela composta por colunas para asordens, ou seja, da direita para a esquerda, 1, 10, 100, 1000, e assimsucessivamente, e nas linhas se representar com pontos o nmero deunidades de cada ordem contidas no nmero sendo decomposto.Tomemos o nmero 1345. Ao olhar para ele, vemos que formado por 5unidades de 1, 4 unidades de 10, 3 unidades de 100 e 1 unidade de 1000.Expressando isso sob a forma de pontos, temos:

Um jeito interessante e interativo de realizar a brincadeira em sala de aula ir perguntando s crianas, conforme escrevem o nmero no quadro sob aforma de pontos, quantos 1 tem esse nmero?, quantos 10 tem aqui?.Pode-se pedir tambm para que elas escolham quais 10 pontos queremque explodam, deixando-as irem ao quadro para contornar e agrupar ospontos escolhidos. Da mesma forma, interessante ilustrar cada explosocom um barulho (como CABUM ou POW), para tornar a brincadeira maisdivertida e deter a ateno das crianas. A participao delas essencial, demodo que o professor deve incentiv-las a participar de todo o processo,para que elas mesmas faam as contas, somando de 10 em 10, e cheguemjuntas ao resultado.

Pontos explosivospor Caroline Beatriz Rodriguez de Souza

1345

1000 100 10 1

895

1000 100 10 1

1000 100 10 1

2 2 4 0

Faa perguntas diferentes para garantir a ateno dos alunos:quantos 1 tem esse nmero?, quantos 10 tem aqui?.Caroline Beatriz Rodrigues de Souza

O interessante aqui que, se a criana souber contar at 10, ela conseguiridentificar com quantos 1, quantos 10, etc. o nmero escrito, mesmoque este seja um nmero muito grande, uma vez que cada pedao donmero sempre ter, no mximo, 9 unidades.

Para somar utilizando-se tal mtodo, deve-se escrever sob a forma depontos na tabela os nmeros que se deseja somar, um embaixo do outro.Por exemplo, se quisermos somar 1345 com 895, temos que desenhar:

Como cada pedao do nmero s pode ter nove unidades, temos que,cada vez que em uma coluna sejam formados grupos com 10 pontos, elesexplodem e pulam para a coluna seguinte como um ponto s (uma vez que10x1=10; 10x10=100...). Os pontos que sobrarem na coluna, depois que os10 explodirem, representam o pedao do nmero resultante da somareferente unidade expressa pela respectiva coluna. A figura 3 ilustra oexemplo acima.

Da experincia em salapor Priscilla Perez

(...) Iniciei efetivamente essa semana com as turmas, j tive 2 aulas com quase todas.Uma das aulas que me chamou ateno essa da foto. So alunos no 5 ano,comeamos a conversar sobre nmeros favoritos, e logo foram surgindo nmerosgrandes. Assim que escrevi seus nmeros na lousa, despertei o interesse deles. Equando escrevi "unidade" j foram me dizendo pra escrever dezenas e centenas.Questionei se haviam s esses, eles disseram que, at onde sabiam, sim.

Fomos posicionando os nmeros nas suas respectivas casas e tudo corria muito bem,at que um aluno pediu pra ir ao quadro escrever um nmero pros outrosadivinharem, como consegui registrar. Ele colocou 2 bolinhas na casa das centenas, 1na das dezenas e 3 na das unidades. Perguntei ento se todos haviam entendido quenmero era aquele e sugeri que colocassem suas respostas no quadro (como na foto).Eles estavam falando "Tia, 200, 10 e 3", pedi para eles registrarem que nmero eraesse e a esto os registros muito interessantes.

Podemos ver que crianas de 5 ano ainda tm certa dificuldade emidentificar/registrar nmeros dessa forma. Indaguei a todos da turma e todos foramdebatendo a resposta, que parecia ser muito simples. Ento retornei aos que jhavamos feito at que todos berraram "ahhhh, 213". Isso ocorreu tambm quandoregistrei o nmero 460, primeiro eles disseram 46, pois no havia registro na casa dasunidades, depois riscaram o que haviam dito e disseram 460.

J era professora de Matemtica, mas o Crculo est me proporcionando uma novaviso dos meus alunos. Poder utilizar o raciocnio que est por trs dos "erros" dosalunos, de forma paciente, para conduzi-los forma matemtica usual criada por elesmesmos!


Este um exerccio muito til e divertido, tanto para ensinar quanto parapraticar soma e subtrao, independente do aluno saber escrever osnmeros ou no.

1. SomaExemplo 1: Suponha que queiramos realizar a conta: 371 + 5024

1 PASSO: Escrever as colunas das unidades, dezenas, centenas, milhares, eassim por diante. Aqui introduzida a ideia de que cada coluna s pode ternmeros de 0 a 9, ou seja, cada 10 unidades so uma dezena, cada 10dezenas so uma centena, e assim por diante.

Pontos explosivospor Thalita Hamanaka

1000smilhares

100scentenas

10sdezenas

1sunidades

1000smilhares

100scentenas

10sdezenas

1sunidades

2 PASSO: Escrever os nmeros que queremos somar na tabela,representando-os na forma de pontos. Do exemplo, 371 equivale a 300 + 70+ 1, ou seja, 3 centenas, 7 dezenas e 1 unidade.

Envolva as crianas o tempo todo de forma que a matria seja interessantepara elas, pea nmeros difceis e grandes. Estimule o palpite sobreresultados antes de realizar a conta. Escreva os palpites no quadro parachecar se algum palpite est prximo ao resultado verificado.

3 PASSO: Somar os pontos de cada coluna.

Assim, temos 371 + 5024 = 5395

5 3 9 5

1000smilhares

100scentenas

10sdezenas

1sunidades


Exemplo 2: Queremos somar 187 + 24569:

1 E 2 PASSOS:

Assim, temos 187 + 24569 = 24756.

1000smilhares

10000sdezenas

de milhares

100scentenas

10sdezenas

1sunidades

1000smilhares

10000sdezenas

de milhares

100scentenas

10sdezenas

1sunidades

6

1000smilhares

10000sdezenas

de milhares

100scentenas

10sdezenas

1sunidades

6

1000smilhares

10000sdezenas

de milhares

100scentenas

10sdezenas

1sunidades

42 7 5 5

1000smilhares

10000sdezenas

de milhares

100scentenas

10sdezenas

1sunidades

2. Subtrao

Primeiramente, vamos definir as notaes. Denotaremos os valores a seremsubtrados com bolinhas. Cada bolinha come um ponto, de forma que umanula o outro. Assim, teremos, por exemplo:

8 - 3 3 - 8 8 - 3 3 - 8

5 - 5

100scentenas

10sdezenas

1sunidades

7 5 5

100scentenas

10sdezenas

1sunidades

7 4 3

100scentenas

10sdezenas

1sunidades

=

Exemplo 1: Comecemos por um caso simples. Se quisermos calcular 785 42, temos:

1 E 2 PASSOS: Na subtrao, representamos os valores subtrados comobolinhas, e cada uma delas come um ponto.

A subtrao requer ateno quanto aos formatos dos pontos, e um jeito divertido de estender a atividade.

Os alunos adoram vir ao quadro, especialmente para estaatividade. Distribua tarefas que envolvam o quadro entre osalunos mais dispersos, garantindo sua participao.

3 PASSO: Anulando pontos e bolinhas.

Assim, temos 785 42 = 743.

3 PASSO E PONTOS EXPLOSIVOS:

Aqui, introduzimos a ideia de que, a cada 10 pontos em uma coluna, huma exploso e estes 10 pontos se transformam em um ponto na coluna esquerda da anterior.


Exemplo 2: Vamos, agora, calcular 542 38.

1 E 2 PASSOS:

Agora, temos que ter em mente que na subtrao as exploses acontecemao contrrio. Nas contas de subtrao, as exploses acontecem quandopuxamos pontinhos para a direita. Por exemplo, quando transformamosuma dezena em 10 unidades. As exploses devem acontecer quando noh pontinhos suficientes para as bolinhas comerem. O que nos leva ao 3passo:

3 PASSO E PONTOS EXPLOSIVOS:

100scentenas

10sdezenas

1sunidades

100scentenas

1000smilhares

10sdezenas

1sunidades

100scentenas

10sdezenas

1sunidades

100scentenas

10sdezenas

1sunidades

=

5 0 4

100scentenas

1000smilhares

10sdezenas

1sunidades

100scentenas

1000smilhares

10sdezenas

1sunidades

100scentenas

1000smilhares

10sdezenas

1sunidades

=

=

- 90

100scentenas

1000smilhares

10sdezenas

1sunidades

- 9

100scentenas

1000smilhares

10sdezenas

1sunidades

=

- 4 - 3 - 90

100scentenas

1000smilhares

10sdezenas

1sunidades

- 90

100scentenas

1000smilhares

10sdezenas

1sunidadesAteno, para a atividade abaixo, os alunos tm que entender a

dinmica dos nmeros negativos para que ela sejadesenvolvida. Tal atividade tima para consolidar oconhecimento da existncia dos nmeros menores que o zero.

Assim, temos 542 38 = 504.

Vamos, agora, a um exemplo com resultado negativo.

Exemplo 3: Vamos calcular 764 5073.

1 E 2 PASSOS:

3 PASSO: Para contas com resultado negativo, as exploses acontecem quandopuxamos bolinhas, pois, neste caso, no podem sobrar pontinhos. Ento, temos:

A MQUINA DAS FUNES 37O CRCULO DA MATEMTICA DO BRASIL GUIA PARA AULAS II

A Mquina de Funespor Maysa Menezes e Daniela Motta

Crianas so seres bem inventivos, imaginao algo que elas possuem aosmontes e descobrir um de seus maiores fascnios. Elas adoram sonsdiferentes, do tipo engraado que s aquele objeto tem, especialmente seesse som aparecer quando eles falarem algo, imagens curiosas, coisas quepiscam e brilham, histrias inusitadas fazem parte do pensar infantil.

Aprender algo delicioso, e as crianas amam o aprender, a chance deentender como as coisas funcionam, por que elas so da maneira que so e,quando elas tm a chance de demonstrar como elas se sentem em relaoaos aprendizados, algo quase que mgico ocorre, e seus olhos brilham deuma maneira nica; elas ficam felizes, to felizes que essa alegria fica difcilde ser contida dentro de si. Ento elas precisam falar e levantar da cadeira edar aquela contribuio mais que calorosa, mesmo que errnea, mas que asfaz se sentirem importantes junto com o que disseram. Cometeramos umerro se no levssemos em considerao o que a criana diz, pois a sala seilumina quando aquilo faz sentido para elas. A mquina de funes umagrande maneira de explorar o esprito inventivo das crianas.

Funo um dos contedos mais importantes na matemtica, masassuntos que envolvem funes se tornaram to repetitivos que acabaramsendo considerados cansativos, chatos, e isso to real para ns que atdifcil imaginar como poderia ser diferente. Funes, afinal, pior que isso sse elas forem exponenciais.

Funes so um assunto presente em todas as reas da vida, e sempreprecisamos delas, mesmo quando no percebemos. De fato, a construodo raciocnio que h no conceito de funo uma das relaes maisincrveis j realizadas pelo ser humano. Ao longo dos anos aprendemos adecorar, a encaixar nmeros nas funes previamente dadas e a beleza dese descobrir a lgica das funes se torna quase que inexistente. Assim,perdemos o belo que est presente em compreender as funes.

Crianas e Funes... Ser que isso combina? Como tornar um assunto tocomplexo e importante de uma maneira que possa ser divertida para ascrianas, mas que se mantenha o raciocnio bem trabalhado?

Maquinas de Funes!Mas o que so essas mquinas de funes e como funcionam?

A mquina de funes serve para introduzir a intuio das equaes. umtimo curinga para os momentos em sala de aula em que os alunos estodispersos e um pouco cansados da atividade principal. s vezes, mudar oassunto um pouco ajuda na renovao dos nimos para entender algumoutro assunto complicado.

Ateno, a mquina de funes exige um quadro extremamente organizado,para que assim os alunos entendam bem o que est acontecendo.

Pea nmeros s crianas (...) lembrando-se de cham-las pelo nome, uma decada vez. Maysa Menezes e Daniela Motta

a)Desenhar no quadro uma mquina ou algo que simbolize uma mquina(pedir s crianas ideias para o desenho);

b) Ao desenh-la, dizer que aquela mquina tem um segredo que precisaser descoberto por elas;

c)Mostrar, por meio de nomes como Entra e Sai, que existe um lugaronde colocamos os nmeros na tal mquina e outro por onde saem apspassarem pela transformao que ocorre dentro da mquina;

d) A seguir, pea nmeros s crianas (lembrando-se de cham-las pelonome, uma de cada vez, assim como fazem os professores Kaplan), taiscomo: seu nmero favorito, seu nmero da sorte, etc.;

e) Escreva no quadro uma tabela simples onde marcar os nmeros queentram e os que saem, claramente, para que possa registrar os nmerosdados pelas crianas e as respostas obtidas e para que eles possamconstruir um raciocnio baseando-se no que a tal mquina est fazendo.

f) Anote na tabela todos os palpites, e procure dar a todos eles a mesmaimportncia, tarefa difcil j que bem provvel que alguma das crianasvai estar apenas dando palpites toa.

g) Em certo momento uma das crianas, ou at mais, perceber o segredoda mquina. Oua!

h)Questione os demais alunos a respeito da veracidade do segredo e, aseguir, pea s crianas para que o ajudem a fazer as contas para ver se realmente aquele o segredo da mquina.

i) Se o segredo que foi testado no funcionar, procure incentiv-los acontinuar a procura do segredo que vai solucionar o mistrio. Casofuncione, Bingo! Parabenize-os* e v em frente com as prximas atividades!

>Lembre-se que so as ideias e os esforos pela descoberta que devemser parabenizados e no as crianas.

Da experincia em salapor Karolynne Barrozo

Hoje trabalhei com as turminhas de crianas do 4 Ano: A mquina defunes (ou transformar nmeros!). Eu comecei perguntando quemgostava de videogame, televiso, computador... E todos disseram quesim. Sem hesitar, eu perguntei o que havia de comum em tudo que eucitei. Eles disseram que so aparelhos e mquinas. Eu disse para elesque uma mquina realiza funes, a TV, por exemplo, tem a funo detransmitir informaes e tambm pode ser uma forma deentretenimento, assim como os outros recursos citados. E nessaconversa eu falei que eles criariam uma mquina e nessa mquinahaveria um segredo que todos deveriam descobrir. Algumasturminhas me pediram para desenhar mquina de gelo, outros umamquina de lavar roupas e outra turma a Mquina do Tempo. Sobre aMquina do Tempo, achei interessante a ideia e eles me ajudaram amontar a mquina, com todo o design, com retngulos, botes eportas. Eles pediram para que eu desenhasse um portal que vinha dopassado e saa para o futuro. E foi a que tive uma ideia, que taltrabalhar com eles uma mquina com operaes inversas?. Eucomecei perguntando os nmeros preferidos de todos e assim todosparticiparam. E no exemplo da mquina a funo seria x+7. Logo elesdescobriram a regra, mas, como aprendi com Bob e Ellen Kaplan, noparei com a resposta certa, mas continuei problematizando eobservando outras possibilidades. Perguntei sobre a possibilidade devoltarmos no tempo e disse: Os nmeros entraram pelo portal dopassado e saram no futuro, mas e se eles quiserem voltar, entrar pelofuturo com a finalidade de ir ao passado? Como ficaria?. Ento, com osnmeros que eles me deram, eu fui invertendo a funo e elesperceberam que a funo agora era x-7. E assim, eu fui colocando osnmeros na posio final (no futuro) para a entrada (passado), com afinalidade de eles descobrirem que nmero entraria.

Dessa forma, eu pude compreender que as crianas do 4 Ano Ademonstraram habilidades de compreenso da transformao de umarelao no inverso. Da compreenso de que adio e subtrao sooperaes inversas. Eu ia questionando as crianas sobre suasrespostas e elas me diziam, a regra no incio era aumentando de 7 em7 e agora diminuindo de 7 em 7. As respostas das crianas iam mefornecendo dados de como trabalhar com outras possibilidades defuno e, assim, usar as descobertas das crianas como uma forma deestimular o desenvolvimento de diferentes estratgias de resoluo deproblemas matemticos.


A Mquina de Funespor Robson Lopes

A Mquina de Funes um diagrama que representa uma mquina quetem uma entrada, aplica-se a regra como um conjunto de operaes efornece a resposta como uma sada. Sua tarefa determinar tanto o queacontece na entrada, na sada ou o que ocorre dentro mquina. Namquina de funes pode-se trabalhar com as quatro operaeslivremente. Ou combinaes entre elas.

Durante a atividade os alunos tero dois nmeros: um de entrada e outrode sada. Cabe ao professor incentivar os alunos a tentarem fazer umarelao entre ambos os nmeros, usando padres ou linguagemmatemtica, relacionando e conectando esses nmeros.

Vejamos um exemplo.

Certifique-se que os alunos entendem a atividade, pergunte a eles o que estacontecendo.

Escrever a expresso da maneira abaixo com todos os palpites pode ajudarna visualizao e entendimento da criana.

Existe uma entrada, 4, um conjunto de operaes da mquina, 4 x 2, e umasada, 8.

Existe uma entrada, 5, um conjunto de operaes da mquina, 5 x 2, e umasada, 10.

Neste exemplo o objetivo encontrar a operao que foi feita dentro damquina. Voc tambm pode solicitar tanto o nmero de entrada quanto onmero de sada. A mquina de funes uma forma divertida de praticarmatemtica, melhora a comunicao e interao com os alunos, alm depr em prtica o ensino da lgebra.1

Convide os estudantes a pensar em uma mquina de funes. Se algum delesse animar em fazer uma mquina para a turma, pea que ele lhe diga o segredono seu ouvido e deixe-o aproveitar a ateno de estar na frente do quadro.

1. A lgebra rea deestudos da matemtica

que estuda a manipulaoformal de equaes,

operaes matemticas,polinmios e estruturasalgbricas (Wikipdia).


Como fazer a mquina de funes1. Desenhe uma mquina no quadro. Veja o exemplo abaixo.

Mquinas de funes podem ser desenhadas de muitas maneirasdiferentes, mas a ideia a mesma.

2. Explique para os alunos que, quando um nmero entra na mquina, amquina segue uma certa regra para produzir o nmero de sada. Otrabalho dos alunos descobrir o que a mquina fez.

3. Desenhe um quadro com as colunas Entra e Sai. Explique aos alunos queesse quadro o jeito de acompanhar o que a mquina est fazendo.

Convide um aluno para fazer a mquina no quadro. Ou pergunte a eles qual formato ela deve ter. No se esqueade mexer com a imaginao e tornar a aula divertida para osestudantes. A mquina de funes muito verstil. E se depois de um

tempo voc juntar a mquina de funes com a bailarina? Ouos pontos explosivos? Quais outras atividades voc podeapresentar em conjunto com a mquina de funes?

4. Pea aos alunos para falarem alguns nmeros para voc colocar namquina.

5. Coloque o primeiro nmero no quadro, na coluna Entra.

6. Pergunte aos alunos qual nmero deve sair e escreva no quadro nacoluna Sai.

7. Continue adicionando os nmeros dos alunos no quadro na coluna Entra,logo em seguida coloque os nmeros que esto saindo na coluna Sai doquadro, e deixe os alunos pensarem sobre o que a mquina de funesest fazendo com os nmeros que esto entrando.

8. Pea aos alunos um nmero para colocar na coluna Sai e pergunte a elesqual nmero se deve colocar na coluna Entra.

9. Pergunte aos alunos o que a mquina est fazendo. Que tipo deoperao a mquina de funes est executando.

10. Escreva todas as ideias e sugestes dos alunos no quadro.

A mquina de funes superadaptvel. Voc pode comear com umafuno bem simples, trabalhando apenas a soma ou subtrao.Dependendo do nvel dos alunos, qualquer nmero ou operao pode serutilizado. Alm de exercitar lgebra, a mquina de funes tambm mexecom lgica matemtica e o raciocnio dedutivo dos estudantes.

O quadro o maior instrumento do professor e do aluno nosencontros do Crculo da Matemtica. importante anotar tudono quadro como forma de prender a ateno dos alunos egarantir o entendimento das atividades.

A brincadeira pode comear com qualquer nmero. Mas, se voc quiser,pode ir trabalhando indutivamente os pulos, anotando no quadro quaisnmeros incluem todos. Passa a ser mais interessante quando os nmerossomam alm do 12. Isso acontece a partir do 5, isto , quando se pula de 5em 5. Temos assim, 5, depois 10 e depois, com mais 5, 15. Bom, 15 horas, so3 horas, e depois mais 5, vo para 8 horas, e depois para 13, que uma hora,e assim por diante, at completar todos os nmeros. Ento, pode-se fazerpulando de 6 em 6 e assim por diante.

As retas a serem criadas so inmeras. Depois disso, subentendendo que jconheam nmeros simples (0 a 12, por exemplo), sugere-se tambm quecomecem a registrar os nmeros formadores do relgio com peas dedomin. O objetivo verificar a internalizao de operaes como a adioe a subtrao (e suas propriedades). Exemplo:

No se esquea de envolver os alunos na atividade fazendo perguntasdiferentes a todo o momento. Pergunte qual o prximo nmero, qualnmero eles acham que passa por todos os nmeros do relgio, etc.

RELGIO 43O CRCULO DA MATEMTICA DO BRASIL GUIA PARA AULAS 2

O objetivo desta atividade , atravs da numerao de um relgio, perceberquestes como a existncia de nmero entre nmeros. Os nmerosfracionados correspondem aos minutos e esses minutos so compostos desegundos. Pode-se tambm apresentar ao aluno, a ttulo de motivao, ahistria sobre a origem do relgio.

Para comear, seria interessante apresentar a eles um relgio simples, semnumerao e, a partir disso, fazer a conexo com o que conhecem sobre otempo e de que forma o relgio pode ser dividido em horas.

O Relgio uma atividade maravilhosa que, assim como a reta dosnmeros, tem diversas funes. Apresentar a natureza de nmerosmltiplos entre si, possibilitar a introduo da ideia de nmeros primos,pensar em frao e em diviso so algumas possibilidades.

Qual outro contedo pode ser utilizado com a atividade do relgio?

O Relgiopor Adriana Santos

E se tivermos um relgio maiorainda, para verificar mais nmeros? Que tal um relgio com 15 nmeros?

Com o relgio construdo no quadro, solicita-se que o aluno desenhe umareta que saia de 12 e que percorra cada um dos nmeros do relgio,primeiro de 1 a 1, depois de 2 a 2, etc., sempre perguntando se, fazendoisso, todos os nmeros que aparecem de 12 a 11, no sentido do relgio,participariam. Os alunos podem ento concluir que, de 1 a 1, todos osnmeros participam. Mas pulando de 2 em 2 isso no acontece. E pulandode 3 em 3?

No caso em que se pula de 2 em 2, a reta sai de 12 e chega a 2. Agora, a retadeve sair de 2 e chegar a 4. E assim vai: 4 a 6; 6 a 8; 8 a 10; 10 a 12. importanteque o aluno perceba que a numerao aumenta a cada duas unidades.

Esta atividade pode envolver outra: Nmeros entre nmeros. Ser que as horas so compostas por nmeros fechados? Como explicar a questo dos minutos e dos segundos? Esta atividade tambm interagecom a questo das formas geomtricas e suas nomenclaturas.

RELGIO 45O CRCULO DA MATEMTICA DO BRASIL GUIA PARA AULAS II

O Relgiopor Vanessa Rodrigues

O Relgiopor talo Lucas

A atividade do relgio, assim como todas as atividades que seguem aabordagem dos professores Kaplan, requer a capacidade de percepodesenvolvida. No entanto, creio que essa exija um pouco mais, levando emconsiderao as vrias tentativas que os alunos tero que fazer.

Tudo comea quando o professor desenha um relgio na lousa e traz osestudantes para um mundo de percepes e desafios, onde ele d ao alunoo dever de ligar todos os nmeros e prope que no fim chegue ao pontoinicial, sem que nenhum nmero fique fora desse elo.

O professor sugere classe os pulinhos de tanto que podem ser feitoscada vez, e assim a turma vai tentando ligar todos os pontos, todos juntos,opinando. Vo existir pulos de nmeros que sero possveis e outros queno sero possveis. Os possveis so: 1, 5, 7, 11. Os que no so possveis: 2, 3, 4, 6, 8, 9,10.

Mostre para os estudantes que eles tomam a deciso: quantosnmeros deve ter o relgio? Pergunte tudo! Por onde comear,quantos nmeros pular, quais nmeros eles acham que passampor todos os nmeros do relgio.

Novamente contando, as crianas vero que o bonequinho volta ao 12 semter passado por todos os nmeros.

As tentativas continuam e, em cada passo/pulo, o professor questiona se oprximo vai funcionar.

Com isso, as crianas so estimuladas a buscar a regularidade escondida,nos nmeros que no funcionam.

Alm disso, para os nmeros que no funcionam, o professor desenha ospassos; com isso, estrelas vo se formando no desenho, como na figura:

Depois, o professor pode deixar que os alunos mais introvertidos escolhamoutros nmeros e repetir o procedimento.

O objetivo que os alunos descubram que os nmeros que no funcionamno tm divisores comuns com o nmero do relgio, isto , eles sorelativamente primos ou primos-entre-si.

O professor desenha, na lousa, um crculo. Questiona os alunos o que podeser o desenho e, depois, conta que um relgio.

Por ser um relgio, o primeiro nmero a ser escolhido o 12.

O professor desenha um bonequinho no nmero 12 do relgio e faz aseguinte pergunta:

Que tamanhos de pulos o bonequinho (do qual as crianas escolhem o nome) pode dar passando por todos os nmeros do relgio?

A pergunta pode parecer confusa, a princpio, mas o professor explica:

Se o bonequinho der pulos de tamanho 1, ele passar por todos osnmeros antes de voltar ao 12?

Contando, as crianas podero ver que sim, portanto 1 funciona.

E com pulos 2?

?

Da experincia em salapor por Viviane Hummes

Na semana passada, eu trabalhei a atividade do relgio com minhas turmas. Ointeressante perceber a quantidade de variaes que podemos fazer com estaatividade. Para cada turma a atividade tomava um rumo diferente.

Inicialmente, eu desenhava o relgio e a figura de um personagem posicionada nonmero 12. Como eu desenho muito mal e, muitas vezes, perco a ateno dos alunosao demorar a desenhar, resolvi fazer um boneco palito. Chamei-o ento de Sr. Palito epara cada turma contava uma histria, dizendo que ele era muito magro porque davamuitas voltas em torno do relgio. Continuava a histria dizendo que o Sr. Palito eraum sujeito metdico e que a cada volta ele tinha que passar por todos os nmeros eretornar para o nmero 12, no importava quantas voltas fossem necessrias dar.Quando isso acontecia ele ficava imensamente feliz, mas quando ele no passava portodos os nmeros o Sr. Palito ficava muito triste e chorava.

Ento, inicivamos as voltas em torno do relgio, primeiramente, indo de 1 em 1,depois de 2 em 2, de 3 em 3, etc. Assim, esbocei uma tabela de duas colunas, ondenuma registrava os tipos de passos do Sr. Palito e noutra fazia uma carinha, feliz :Dquando o Sr. Palito conseguia e triste :( quando ele no conseguia passar por todos osnmeros. Sempre fazendo questionamentos do tipo: por quantos nmeros o Sr. Palitopassar se ele for de 1 em 1, de 2 em 2, de 3 em 3, etc.? Nessas situaes, ele irconseguir passar por todos os nmeros? Ficar feliz ou triste?

Em algumas turmas as reflexes foram mais profundas, j em outras, que talvez notenham se alongado muito nos questionamentos, consegui avanar e testar todos osnmeros at o 12; outras, ainda, no se aprofundaram nos questionamentos edemonstraram um pouco mais de impacincia e disperso. Nesses momentos, pararesgatar a ateno dos alunos, fiz uma mquina de funes. Para aproveitar opersonagem do relgio e relacionar com a ideia, desenhei uma mquina de funesque era um carro e cujo motorista era o Sr. Palito. Os alunos adoraram isso. incrvelver como eles se interessam em conversar sobre algum personagem fictcio. Eles"viajam" muito nas histrias...

medida que as turmas foram indo e vindo, surgiu uma turminha que tem um alunoque se destaca. Aquele aluno experto para o qual sempre temos que achar estratgiaspara que ele no d todas as respostas. E, como no poderia ser diferente, este meninofoi o nico que apresentou respostas mais rebuscadas frente aos questionamentos.Por exemplo, no caso do Sr. Palito andar de 5 em 5, fui desenhando os traos que opersonagem fazia ao andar de 5 em 5, primeiramente do 12 para o 5, depois do 5 parao 10, ento do 10 para o 3. Neste momento, perguntei se o Sr. Palito conseguiria andarpor todos os nmeros e este aluno respondeu-me que sim e que, alm disso, o Sr.Palito daria mais 9 passos, pois faltavam 9 nmeros para retornar at o nmero 12. Osoutros colegas desta turma no entenderam muito bem a colocao do colega, masconcordaram, pois normalmente este aluno acerta tudo. O mais interessante observar as relaes que os alunos fazem nessas situaes.

De maneira geral, as turmas gostaram muito desta atividade. Mas claro que a maiorparte dos alunos, mesmo gostando, apresenta uma conduta dispersiva e, muitas vezes,no se concentra durante as aulas, deixando de aprofundar as reflexes e aprimorarseu conhecimento.

O LABIRINTO 47O CRCULO DA MATEMTICA DO BRASIL GUIA PARA AULAS II

Desenhe uma figura com cinco quadrados por cinco quadrados (5x5). Estaatividade consiste em fazer um caminho de modo que se passe por cadaquadradinho apenas uma vez na figura abaixo, em linha horizontal ouvertical, comeando em um ponto marcado.

O Labirintopor Manoela Franco, Nayara Neves e Tadeu Cordovil

Com esta atividade, busca-se despertar o interesse do aluno em procurarvrias alternativas para a soluo de um problema. Ao incentivar as aesdas crianas, o professor permite que elas continuem tentando encontrar asoluo. Ao chegar ao final da primeira soluo, pode-se continuar, no preciso parar por a, pois outros caminhos podem ser descobertos. Ter oproblema do labirinto 5x5 resolvido um dos resultados desejveis ao finalda aula. Mas conseguir a participao de todos, ou da maioria, ver neles avontade e o desejo de resolver o problema percebendo expresses dedvida, curiosidade e manifestaes de esforo do raciocnio sempre ser oobjetivo principal.

O professor pode desenhar vrios quadrados 5x5 na lousa e pedir que osalunos tentem as diferentes formas de caminhos, iniciando a partir dedeterminado ponto. Depois, deve-se usar todos esses desenhos paradiscutir o que foi feito. Melhor evitar dar essa atividade em uma folha, paraque ela no seja um evento isolado, mas sim uma atividade em comum,que todos podem fazer na lousa, mesmo que o grupo tenha que se revezar,dependendo do tamanho da lousa. No fique nervoso(a) com a bagunaque isso pode gerar, pois faz parte do divertimento!

O labirinto uma atividade muito envolvente, estimula o raciocnio lgico etrabalha com a identificao de padres. Estimule seus alunos a tentar todosos quadrados. Se houver poucos alunos na sesso, convide-os para brincarno quadro, eles adoram a ateno.

Ateno: faa o primeiro junto com eles, para que eles entendam o princpioda brincadeira.

Da experincia em salapor Samanta Stein da Silva

Falando em labirinto, em uma das turmas, depois de os alunos tentarem vrias vezespassar por todas as casas comeando pela segunda casa, chegaram concluso deque no era possvel. Perguntei, mas por qu?. A resposta de uma aluna mesurpreendeu: Acho que tem a ver com a quantidade de casas em cima e embaixo dacasa que comeamos. Se tem nmero mpar de casas em cima e embaixo, no possvel. Mas se tem nmero par de casas em cima e embaixo, conseguimos fazer ocaminho. Perguntei aos outros: O que vocs acham disso?. Logo, algum respondeu:Acho que precisamos testar em outras casas onde isso acontece para termos certeza.Comeamos a testar, mas infelizmente o tempo de aula terminou. Me surpreendeu oraciocnio para demonstrar que eles apresentaram! Tinham uma hiptese, mas sabiamque no podiam afirmar sem ter mais preciso.


Depois pode-se sugerir que eles faam o caminho a partir do ponto central:

E finalmente lanado o desafio: fazer o caminho comeando peloseguinte ponto:

Lance um desafio: pergunte aos alunos quantas maneiras diferentes elesconseguem de andar por todos os quadrados saindo de um nico ponto.

O labirinto uma atividade que demonstra claramente que pessoasdiferentes podem tomar caminhos diferentes e chegar ao mesmo ponto.Como fazer seus alunos chegarem a esta mesma concluso?

E agora? Ser que possvel? O que os alunos vo achar?

A partir desse ponto os alunos podem tentar os caminhos mais diferentespossveis para tentar encontrar uma soluo. Ento, surgiro os maioresquestionamentos: o ponto inicial determina se possvel solucionar oproblema? E se tentarmos iniciar a partir de outros pontos?

A realizao dessa atividade permite inmeros questionamentos da partedos alunos. um problema que lhes d a liberdade para que eles mesmostentem resolv-lo de inmeras formas possveis.

Uma das principais formas de incentivo utilizada pelos professores Kaplan conhecida na pedagogia como o reforo positivo. O reforo pode serqualquer evento que aumente a frequncia de uma reao precedente(Myers, 1999). Desta forma, o reforo pode ser despertado por uma srie deaes, como um elogio, uma salva de palmas ou simplesmente um what agreat idea! (que ideia legal!).

A primeira tentativa pode ser comear a desenhar o caminho atravs deste ponto.

Assim, alguns dos caminhos possveis seriam esses:


O professor desenha na lousa um quadrado (5x5) formado por 25quadrados congruentes e prope aos seus alunos um jogo. O objetivo perpassar todos os quadrados cumprindo as seguintes regras: s permitido se mover para os quadrados adjacentes nas direes vertical ehorizontal; permitido passar por cada quadrado somente uma nica vez.

Primeiro o professor pergunta se possvel realizar essa tarefa comeando doquadrado localizado no canto superior esquerdo. Nesse momento, os alunospodem desenhar na lousa, de preferncia (ou em folhas de papel), natentativa de responder pergunta. Encontrada a soluo, o professor podelevantar diversas questes. Ser que h apenas uma forma de resolver? Serque possvel resolver comeando por outros cantos do quadrado?

Em seguida, o professor explora com a classe diferentes pontos de partida,que podem ser sugeridos pelos prprios alunos. De acordo com oprosseguimento da aula, diferentes problemas podem surgir. Quaisquadrados so pontos de partida que possibilitam realizar a tarefa? Por qu?Essas respostas se aplicam a quadrados 4x4 ou 6x6? Essas respostas seaplicam a quadrados de que tamanhos?

Ao final da atividade, espera-se chegar concluso de que, no caso doquadrado 5x5, possvel perpassar todos os quadrados comeandodaqueles que tm a soma de suas coordenadas par, e impossvelquando essa soma mpar. Nos cantos, por exemplo, as coordenadasso (1,1), (1,5), (5,1) e (5,5) e suas somas so, respectivamente, 2, 6, 6 e10, todos nmeros pares. Isso vale para todos os quadradoscompostos por um nmero mpar de quadrados (3x3, 7x7, 9x9, etc.),mas no vale para aqueles compostos por um nmero par. Nessecaso, todos os quadrados so pontos de partida que funcionam.

Quem est preso no labirinto? Por que devemos ajud-lo a sair? Qual ahistria por trs da impossibilidade de andar duas vezes pelo mesmoquadrado? No tenha medo de fantasiar a atividade e torn-la mais envolvente.

Estimule seus alunos a identificarem um padro. Aumente ou diminua o nmerode quadrados, pergunte se eles notam algo em comum entre as opes que sopossveis e as que no so possveis dados os nmeros de fileiras existentes.

O Labirintopor Rodrigo de Campos Rezende

Essa atividade, porm, pode tomar rumos diferentes dependendo dosalunos e das perguntas que surgirem durante as aulas. Alm disso, aatividade pode levar muito ou pouco tempo para se chegar a essaconcluso, e no h uma sequncia definida de passos que devem serpercorridos pelo professor; a ordenao que apresentada neste texto apenas uma sugesto.

Na imagem, os quadrados pretos tm coordenadas cuja soma resulta em um nmero par,portanto so pontos de partida que possibilitam a realizao da tarefa, enquanto os brancostm coordenadas cuja soma mpar, e so pontos de partida que no funcionam.

O SANDUCHE 53O CRCULO DA MATEMTICA DO BRASIL GUIA PARA AULAS II

O Sanduchepor Janana Rodrigues de Almeida

TEMA: Noes de frao

DESCRIO DA ATIVIDADE: Contexto de uma histria.

DESENVOLVIMENTO: Boa tarde pessoal, preciso da ajuda de vocs. Minhame est preparando uma festinha-surpresa para minha irm, mas tem umproblema...

Minha me disse que ela far apenas um sanduche e minha irm tem 3amigas...

Como posso fazer para que todos os convidados comam a mesmaquantidade?

*DICAS DAS CRIANAS...

FRASES DE MOTIVAO: Isso!... Boa ideia!...Acho que est ficandobom!...Muito bem!...timo!...

O Sanduche uma das formas de introduzir a ideia de frao semnecessariamente formalizar com nmeros. Quando aterrissada no mundoconcreto, a atividade bem intuitiva.

A histria essencial para envolver os alunos na atividade. Seja criativo.

Como a atividade do sanduche indicada para introduzir o conceitode frao, uma boa forma decomear perguntando aos alunosse existem nmeros entre o 1 e o 2.

s vezes, para maiorfamiliaridade, o sanduchepode ser uma pizza. Ouqualquer coisa que seusalunos escolherem.

sanduche

EXEMPLOS:

Mas... ser que todos vo comer a mesma quantidade?

*OPINIO DAS CRIANAS...

Como podemos fazer ento?

EXEMPLOS:

Ficou lindo!!! Vamos ver quanto cada um vai comer...

Ficou lindo!!!

Mas... no entendi uma coisa....o que significa ?

Esse nmero 1, o que representa? E esse nmero 4?

*ARGUMENTOS DAS CRIANAS...

Ahhh... Ento:QUANTIDADE DE PEDAOS

TOTAL DE PEDAOS

Mas... e se eu comer 2 pedaos desse lanche, como ficaria?

*BRAINSTORM DAS CRIANAS... 2/4

Depois da consolidao das ideias apresentadas, podemos conduzir aconversa comparando os sanduches 2 e 3, se de fato os pedaos possuemo mesmo tamanho.


Chame os estudantes no quadro para dividir o sanduche. Compare os formatosdiferentes e faa perguntas escutando a opinio deles. Quantas formasdiferentes existem que possibilitam cortar um mesmo sanduche em quatropedados? Os pedaos com formato diferente possuem o mesmo tamanho?

3 PASSO Indagar como pode ser representada atravs dos nmerosaquela diviso que foi feita pelas prprias crianas.

Nesta etapa, o professor pode pedir aos alunos que desenhem novamenteo sanduche e pode sugerir que cada um escolha e pinte o pedao quegostaria de comer.

n Cada um j escolheu seu pedao?

n Em quantos pedaos o sanduche foi dividido?

n E quantos pedaos cada um ir comer?

Ento, se cada um vai comer 1 pedao dos 4 pedaos cortados dosanduche, como ns podemos representar esses pedaos em nmeros?

(Dar tempo e espao para o raciocnio das crianas)

4 PASSO Apresentar s crianas outras hipteses de frao atravsdaquele todo representado.

O professor deve continuar o dilogo com as crianas fazendo com queelas visualizem outras fraes.

nMas... e se eu comer 2 pedaos desse lanche, como ficaria?

n Se um colega faltar, como seriam os pedaos? Eles seriam do mesmo tamanho?

n E se minha me sentir fome e resolver comer do sanduche tambm,como poderiam dividir os pedaos para que todo mundo coma amesma quantidade de sanduche?

5 PASSO Finalizao da aula com a construo de outras hipteses de fraes com outras bases e figuras.

Esta etapa pode ser introdutria prxima situao-problema. Pode ser uma ponte para a atividade da diviso da panqueca (ou pizza).

Exemplo: E se, em vez de sanduche, ns tivssemos uma pizza? Emquantos pedaos poderiam dividi-la?

O Sanduchepor Priscila Belo, Carla Vital e Karolynne Barrozo

ASSUNTO: Nmeros, Quantidades e Operaes

TEMA: Noes de Frao

OBJETIVOS: 1) Compreender a organizao funcional dos nmeros de forma fracionria.

2) Representar as partes de um todo atravs da frao.

DESCRIO: Esta atividade ser introduzida por meio de uma situao-problema que deve ser apresentada atravs de uma pequena histria. Osalunos precisaro dividir um grande sanduche (a ser desenhado na lousa,ou distribudo em folhas de papel) entre quatro pessoas. Aps a tempestadede ideias das crianas em relao s diferentes formas que o sanduche podeser cortado, iniciam-se questionamentos quanto representao dessadiviso de pedaos atravs de nmeros, dando incio representaofracionria. importante dar tempo e liberdade para todos os alunosfazerem essa descoberta das fraes, para que assim possam prosseguir noraciocnio e adentrar outras etapas mais complicadas da temtica.

DESENVOLVIMENTO:

1 PASSO Apresentao do problema (Contar a histria).

Ol, crianas. Hoje eu cheguei com uma dvida que est martelando aminha cabea e gostaria de saber se vocs poderiam me ajudar...

No prximo sbado, a minha priminha vai convidar 3 coleguinhas dela parabrincar a tarde inteira na casa dela, s que a me dela disse que vai poderfazer apenas um sanduche. Ele vai ser bem grande, mas apenas um.Ento, no sabemos como ela vai distribuir esse lanche entre as suasamiguinhas.

Como vocs acham que podemos fazer para que todos comam a mesmaquantidade?

(Dar tempo para o raciocnio e convidar todas as crianas a participar)

2 PASSO Questionar os alunos se a partir de suas divises todos comeroa mesma quantidade.

A partir das divises feitas pelas crianas, inmeras hipteses poderosurgir de desenhos". Portanto, podemos questionar as crianas:

n Esses pedaos esto do mesmo tamanho?

nTodos os coleguinhas comero de igual forma?

E se voc colocar os pedaos do sanduche em uma reta dos nmeros? Quais outras formas voc consegue pensar para auxiliar seus alunos noentendimento desta atividade?

Visualmente uma fatia triangular aparenta ser maior e para as crianas mais fcil escolher esse tipo de fatia. Porm, o professor pode induzir acriana a perceber que, se repartir a fatia triangular, com esta ele poderformar uma fatia quadrada, concluindo que as fatias, mesmo que de formadiferentes, possuem a mesma dimenso.


O Sanduchepor Samanta Stein da Silva

Nessa atividade os alunos so conduzidos a perceber que 1/1 total sempre equivalente a 1/1 do mesmo total independente da maneira emque esse 1/1 for construdo.

APRESENTAO DA ATIVIDADE: A questo inicial deve ser apresentada scrianas atravs de uma histria, em que a criana seja levada a refletirsobre o que faria se fosse ela a vivenciar essa situao-problema.

QUESTO INICIAL (opes para introduzir o tema):

>Dois sanduches so divididos da seguinte forma: o primeiro cortado emfatias quadradas e o segundo, em fatias triangulares. Sabendo que estoucom muita fome e posso comer um pedao, qual pedao deveriaescolher? O quadrado ou o triangular?

>Convidei amigos para comer um lanche em minha casa. Minha mepreparou sanduches e cortou cada fatia em quatro pedaos, alguns empedaos de forma quadrada e outros em forma triangular. Temexatamente uma fatia para cada um comer. Se estou com muita fome,qual fatia devo escolher para comer?

Auxlio visual muito importante. Alm de desenhos, vocconsegue pensar em outras formas de auxiliar os estudantes aenxergar que os tamanhos so iguais?

n As crianas provavelmente escolhero a fatia triangular por seraparentemente (visualmente) maior. Devem ser questionadas sobre oporqu disso e serem incentivadas a provar que a fatia triangular maior,j que acham que a maior.

nUma forma possvel de provar enchendo a fatia quadrada dequadradinhos de mesmo tamanho e contando quantos quadradinhoscompem o quadrado. Mas logo as crianas percebero que ser difcilfazer o mesmo processo com a fatia triangular, pois tero dificuldades empreench-la com quadradinhos.

n As crianas devem continuar sendo questionadas sobre maneiras deprovar at que percebam que a fatia quadrada tem o mesmo tamanho dafatia triangular. Uma das maneiras de visualizar isso dividindo a fatiatriangular em duas partes iguais e formando a fatia quadrada a partirdessas partes.

nQuando as crianas conclurem que as fatias so iguais, elas podem serquestionadas sobre outras maneiras de cortar o sanduche em 4 partesiguais e se essas partes teriam o mesmo tamanho da fatia triangular e dafatia quadrada.

n Aps, outras situaes-problemas podem surgir, ainda com o mesmotema, por exemplo:

1. Repartindo os sanduches em partes iguais:

>Se minha me resolver oferecer sanduches j fatiados no total de 16pedaos para as mesmas 4 crianas, quantos sanduches cada criana ircomer, sabendo que cada criana deve comer o mesmo nmero de fatias?Sobraro fatias de sanduches?

Comentrio: Aqui, estimula-se que as crianas faam desenhos e conversementre si. A interveno ocorre no sentido de chamar a atenopara o fato: se 16 : 4 = 4, com resto zero, ento 4 x 4 = 16.

2. Repartindo os sanduches com sobra:

>Se as crianas se reunissem para almoar, ao invs de virem s tarde parabrincar, naturalmente minha me prepararia mais sanduches. Neste caso,haveria 18 fatias para serem divididas entre as 4 crianas. Quantas fatias desanduche cada criana ir comer? Sobraro fatias de sanduche?

Comentrio: 18 : 4 = 4, com resto 2, ento 4 x 4 = 16 e 16 + 2 = 18.


O Sanduchepor Priscilla Perez

apresentado um problema inicial: h um sanduche para ser divididoentre a criana e mais trs amigos. Primeiramente, pergunta-se a eles deque forma eles dividiriam este sanduche para que a diviso seja justa.

A partir disso, pode-se sugerir a frao correspondente: 1/1.

Depois, as crianas podem ser questionadas sobre a possibilidade de dividirpor 6 amigos o mesmo sanduche. Depois de encontrarem uma formapossvel podem chegar ao 1/6. Logo aps, pode-se sugerir que o sanducheseja dividido por 9 pessoas.

Mas a pergunta principal que se pode fazer a elas : existe um nmeromenor entre fraes?

Assim, as crianas podem notar que 1/9 menor que 1/6, pois, segundo suaconcepo: O pedao que foi dividido para 9 pessoas menor do que oque foi dividido para 6.

O professor deve instigar a turma colocando o nmero (1/2) mais prximoao nmero (0) do que ao nmero (1), perguntando se a colocao estcorreta. Mas pode ocorrer o contrrio, colocando-se o nmero (1/2) maisperto do nmero (1). Como a ideia obtida a de metade, eles podemevoluir para colocar o nmero no meio do segmento de reta.

Como podemos tornar essa atividade mais interessante? Como envolver osalunos para que o problema do que vai de 0 a 1 os instigue?

Lembre-se de envolver o aluno: alm de perguntar onde posicionar osnmeros, chame-o ao quadro, pea que ele posicione. Faa vrias retas econvide a todos para posicionar as fraes. Conversem sobre as diferenas daposio das fraes escolhidas por cada um deles.

NMEROS ENTRE NMEROS 61O CRCULO DA MATEMTICA DO BRASIL GUIA PARA AULAS 2

A percepo numrica uma capacidade inata do ser humano. Ela permiteque, at mesmo para aqueles que no tiveram nenhum contato com osnmeros indo-arbicos, se perceba, por exemplo, a falta ou a adio deobjetos a um determinado conjunto. Mas essa percepo limitada e, paravencer essa barreira, ao longo da histria, a humanidade teve que aprendera contar. A partir dessa necessidade, surgiram os nmeros naturais, osinteiros, os racionais, os irracionais, os reais, os complexos!

Quando as crianas vo escola e comeam a aprender sobre os conjuntosnumricos, existe uma questo que merece ateno: os nmeros racionais.Um dos assuntos mais desafiadores o estudo das fraes. Muitas vezes,por parecer de complexo entendimento, elas criam um bloqueio e passama evitar a matemtica. O problema nmeros entre nmeros vem paradesmistificar essa complexidade.

A partir da atividade proposta, as crianas podem evoluir para operaescom fraes, tais como adio, subtrao, multiplicao, diviso,comparao entre fraes e at mesmo a transform-los em nmerosdecimais, entre outros. Contudo, essas evolues dependero das crianase das indagaes e descobertas que elas prprias fizerem.

importante ter em mente, como professor, que todas as respostas dadasdevem ser aproveitadas, mesmo se estiverem equivocadas. As respostaserradas podem ser aproveitadas ao longo da aula, para fazer com que ascrianas entendam onde ocorreu o erro. Pode acontecer tambm de umaideia que parea no ter aplicao se demonstrar til e ser explorada peloprofessor. s vezes, os alunos constroem a sua prpria notao e, ao invsde atrapalhar, essa notao ajuda a entender os conceitos.

A aula tem por base uma indagao inicial, que nortear os pensamentos ea partir dela que sero construdos os raciocnios. Esses raciocnios podemevoluir para vrios outros. A pergunta que deve sempre estar no ar:Existem nmeros entre nmeros?. importante que se abra espao paraque as crianas chutem, ou seja, que respondam tudo o que acharem servlido (mesmo que no seja); e deve ser assim durante toda a atividade.

No incio, os alunos podem no compreender muito bem o que se esperadeles, por isso, para ajudar na visualizao, pode-se partir para o uso doquadro. A notao matemtica pode ser introduzida a partir da retanumrica. Para instigar as crianas, o desenho de uma linha com pontoinicial (0) e ponto seguinte (1) pode ser colocado no quadro.

Depois de mexer com fraes de uma maneira concreta, via atividade dosanduche, o prximo passo consiste em formalizar a intuio adquirida.Este o objetivo desta atividade.

Nmeros entre nmerospor Jessica de Abreu, Victor Tanaka, Gabriel Cogo e Ludmylla Boechat

0 11/2

0 1

0 11/2

0 11/4 1/2

Por conseguinte, quais nmeros podem existir alm do (0), do (1) e do (1/2)?

Para tentar explicar que (1/6) < (1/4) < (1/2) < (1), pode-se utilizar comoexemplos: po, bolo, pizza, chocolate. Essa forma um esforo de explicar aatividade de modo mais concreto, aproximando-a do dia a dia das crianas.

Surgiro ideias e as noes de nmeros entre nmeros comearo aaparecer entre as crianas. Vrias podem surgir. Ou nenhuma. Estejapreparado para respostas como no sei, no tenho ideia, no entendo oque voc quis dizer. Mas respostas como essas so vlidas.

Uma das ideias que podem aparecer a noo de metade econsequentemente a do nmero (1/2). Mas onde coloc-lo?

Assim, vo surgindo outros nmeros, que devem ser distribudos ao longodo segmento de reta.

CORTANDO A PIZZA 63O CRCULO DA MATEMTICA DO BRASIL GUIA PARA AULAS II

Cortando a Pizzapor Dyego Soares de Arajo, Gustavo de Paula, Andressa Lima e Bruno Macedo Alves

Ressalvas para o professor 1) O professor parte da ideia de que, nos momentos-chave, ele precisa passar a luz no

fim do tnel. As ideias no podem ser passadas por completo. As crianas precisam seperguntar para tentar entender como chegar a solues que faam sentido.

2) Ao posicionar na reta nmeros que esto entre (0) e (1), as crianas precisam entendera noo de onde esses nmeros vm, o que eles representam e onde devem sercolocados. Ento, ao posicionar (1/2), (1/4), (1/6), (1/8), o professor no pode passar aresposta e sim sugerir uma ordem aleatria e destoante, para perguntar s crianas seelas acreditam que as sugestes esto de acordo ou no com a realidade.

3) O nmero inicial proposto pelas crianas vai depender das ideias destas. Qualquerfrao pode surgir. Ou nenhuma frao.

4) possvel comear com nmeros simples como (0) e (1) e, a partir deles, colocar nareta numrica nmeros que os alunos consideram mais complicados. Mas nonecessariamente precisam ser o (0) e o (1).

Esta uma atividade aberta a diversas possibilidades. No existem somente fraes entredois nmeros naturais. O conjunto de nmeros entre nmeros infinito.

A atividade da pizza continua o trabalho com fraes e serve como uma dasmaneiras de introduzir a ideia de que os nmeros entre nmeros so infinitos.

Se os alunos no esto entendendo a pergunta, conte outra histria,pergunte de uma maneira diferente.

O problema dos cortes na pizza um problema simples, com um apelogeomtrico bastante intuitivo, mas que apresenta uma srie de possveisdesdobramentos bastante interessantes.

Caderno2 DIG

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