CENTRO UNIVERSITRIO CESMAC

INTEGRAIS DE FUNES RACIONAIS POR FRAES PARCIAIS

Macei AL2015CENTRO UNIVERSITRIO CESMAC

ADEILSON LUIZALLAN KRHYSTYANGABRIEL CORREIALILIANE VASCONCELOS MARCEL FABIANO AMARALYANNA DE ALBUQUERQUE

RELATRIO SOBRE INTEGRAIS DE FUNES RACIONAIS POR FRAES PARCIAIS

Trabalho apresentado como requisito parcial obteno da terceira nota referente matria de Clculo II no curso de graduao em Engenharia de Produo, 2 perodo, do Centro Universitrio Cesmac.Professor: Alessando Omena

Macei, AL2015SUMRIO

INTRODUO4INTEGRAIS DE FUNES RACIONAIS POR FRAES PARCIAIS5Caso 1 Fatores Lineares Distintos6Caso 2 Fatores Lineares Repetidos7Caso 3 Fatores Distintos do Segundo Grau8Caso 4 Fatores Repetidos do Segundo Grau10CONCLUSO12

INTRODUO

Um Teorema da lgebra diz que qualquer funo racional, no importa quanto seja complicada, pode ser reescrita como uma soma de fraes simples, ou seja, que qualquer funo, racional , onde f(x) e g(x) so polinmios, com grau de f(x) menor que o grau de g(x), pode ser escrito como a soma de funes racionais (fraes parciais) tendo as seguintes formas: ou sendo R =1, 2, 3, , nOnde, para os fatores lineares, o numerador em cada caso uma constante: e, para os fatores quadrticos, uma funo linear Assim sendo, abordaremos a tcnica das fraes parciais, procedimento sistemtico utilizado, objetivando processos mais simples de integrao. A decomposio em fraes parciais permite integrar qualquer funo racional dada. Para integrar funes racionais, assim como qualquer outro tipo de funo, deve-se ter o cuidado de escolher o mtodo mais conveniente de forma a simplificar os clculos e minimizar as chances de erro. O processo de integrao deve ser escolhido com base no caso em que a funo racional se encaixar. A decomposio de uma funo racional em fraes parciais um mtodo algbrico que pode ser usado como ferramenta para transformar funes racionais em funes cujas integrais so conhecidas. Consiste em reescrever uma funo racional em uma soma de fraes. dx Integral resolvida pelo mtodo das fraes parciais.

INTEGRAIS DE FUNES RACIONAIS POR FRAES PARCIAIS

Algumas integrais, cujo integrando consiste numa frao racional, ou seja, uma funo do tipo:

ondep(x) eq(x) so polinmios reais comq 0, so facilmente integrveis por substituio ou por partes, ou mesmo diretamente. Mas isso nem sempre ocorre e o integrando pode no ser facilmente calculada ou mesmo impossvel por estes mtodos. Neste caso, podemos decompor a frao que define o integrando em fraes parciais.O mtodo consiste em reescrever a frao do integrando numa soma de outras fraes mais simples, de modo que a integrao seja necessariamente mais simples. A decomposio feita a partir de fatorao do polinmioq(x) que aparece no denominador, associando a cada fator linear ou quadrtico irredutvel uma ou mais fraes parciais.Um polinmio emx uma funo da forma:

Onde os coeficientes so constantes,a0 0 en um inteiro positivo que tambm pode ser nulo. Sendo assim, se dois polinmios do mesmo grau so iguais, qualquer que seja o valor atribudo varivel nos dois polinmios so iguais.Todo polinmio de coeficientes reais pode ser expresso, pelo menos teoricamente, como um produto de fatores lineares reais, da formaax+be fatores de segundo grau, irredutveis, da formaax2+bx + c.Uma funo:

ondef(x) eg(x) so polinmios, chamada de frao racional. Se o grau def(x) for menor que o grau deg(x),F(x) uma frao racional prpria; caso contrrio,F(x) denominada imprpria.Uma frao racional imprpria pode ser expressa como a soma de um polinmio e de uma frao racional prpria. Assim:

Toda frao racional prpria pode ser expressa, pelo menos teoricamente, como uma soma de fraes mais simples: fraes parciais, cujos denominadores so da forma: e , onden um inteiro positivo. Podemos ter quatro casos distintos, dependendo de como os denominadores se apresentam. Vejamos cada caso individualmente:

Caso 1 Fatores Lineares Distintos

A cada fator linear da formaax+bque aparece uma vez no denominador de uma frao racional prpria, corresponde a uma frao parcial da forma:

ondeA uma constante a determinar.

Exemplo 1:Achar a integral:

a) Primeiramente, fatoramos o denominador:

Fazemos:

Temos ento que: ou b) Agora, vamos determinar as constantes. Para isso, dispomos de dois mtodos:Mtodo Geral:Observando em (3) os coeficientes das potncias semelhantes dexem ambos os membros da igualdade, podemos montar um sistema de equaes:

Resolvendo o sistema, obtemos:A1= 1/4 eA2= 1/4.Mtodo Abreviado:Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das fraes parciais, que aparecem no segundo membro. Os valores paraxque anulam os denominadores dessas fraes sox= 2 ex= 2. Assim, substitumos estes valores em (2), obtendo:

Vejam que so os mesmos valores encontrados no mtodo geral.c) Agora, vamos reescrever a integral como:

Caso 2 Fatores Lineares Repetidos

A cada fator linear da formaax + bque aparecenvezes no denominador de uma frao racional prpria, corresponde a uma soma denfraes parciais da forma:

ondeA1,A2, ...,Anso constantes a determinar.Exemplo 2:Achar a integral:

a) Primeiramente,fatoramoso denominador:

Vejam que o fator que se repete o (x 1), pois (x 1)2= (x 1)(x 1). Como aparece duas vezes, fazemos:

Temos ento que: ou b) Agora, vamos determinar as constantes. Para isso, dispomos de dois mtodos:Mtodo Geral:Observando em (3) os coeficientes das potncias semelhantes dexem ambos os membros da igualdade, podemos montar um sistema de equaes:

Resolvendo o sistema, obtemos:A1= 1/2 ,A2= 1/2 eA3= 4.Mtodo Abreviado:Na igualdade (1), vamos observar os denominadores das fraes parciais, que aparecem no segundo membro. Os valores paraxque anulam os denominadores dessas fraes sox= 1 ex= 1. Assim, substitumos estes valores em (2), obtendo:

Ainda falta determinar a constanteA2. Para isso, atribumos qualquer valor paraxe substitumos os valores j determinados paraA1eA2. Vamos suporx= 0:

Vejam que so os mesmos valores encontrados no mtodo geral.c) Agora, vamos reescrever a integral como:

Caso 3 Fatores Distintos do Segundo Grau

A cada fator do segundo grau irredutvel da formaax2+bx + cque aparece uma vez no denominador de uma frao raciona prpria, corresponde a uma frao parcial da forma:

ondeAeBso constantes a determinar.Exemplo 3:Achar a integral:

a) Primeiramente, fatoramos o denominador:

Fazemos:

Temos ento que: ou b) Agora, vamos determinar as constantes. Observando em (3) os coeficientes das potncias semelhantes dexem ambos os membros da igualdade, podemos montar um sistema de equaes:

Resolvendo o sistema, obtemos:A1= 1,A2= 0 eA3= 1.c) Agora, vamos reescrever a integral como:

Completando quadrado, para o denominador do integrando, temos que:

Assim:

Fazemos integrao por substituio. Seja:

Ento:

A integral:

Desta forma, temos que:

Caso 4 Fatores Repetidos do Segundo Grau

A cada fator do segundo grau irredutvel da formaax2+bx + cque aparecenvezes no denominador de uma frao racional prpria, corresponde a uma soma denfraes parciais da forma:

ondeA1,A2, ...,AneB1,B2, ...,Bnso constantes a determinar.

Exemplo 4:Achar a integral:

a) Primeiramente, fatoramos o denominador. Vejam que o fator que se repete o (x2+ 2x+ 3). Como aparece duas vezes, fazemos:

Temos ento que: ou b) Agora, vamos determinar as constantes. Observando em (3) os coeficientes das potncias semelhantes dexem ambos os membros da igualdade, podemos montar um sistema de equaes:

Resolvendo o sistema, obtemos:A1= 0,A2= 1,A3= 1 eA4= 1.c) Agora, vamos reescrever a integral como:

Para a primeira integral, completamos quadrado e para resolver as duas integrais, aplicamos o mtodo de integrao por substituio, encontrando:

CONCLUSO

(Resolver integrais de funes racionais por fraes parciais diferenciando a aplicao de fatores)12