Calculo 3

CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - III

1

Prof. Luiz Elpdio M. Machado

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MINAS GERAIS UEMG FUNDAO EDUCACIONAL DE DIVINPOLIS FUNEDI INSTITUTO SUPERIOR DE ENSINO E PESQUISA INESP

APOSTILA DE CLCULO III FUNES DE VRIAS VARIVEIS

ENGENHARIA CIVIL

ENGENHARIA DE PRODUO

Prof. Luiz Elpdio de Melo Machado Verso: 2010/1

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PLANO DE ENSINOCURSO DISCIPLINA

ENGENHARIA DE PRODUON DE AULAS SEMANAIS

04CARGA HORRIA

Clculo Diferencial e Integral III ANO 2010 SEMESTRE 1 PERODO 3UNIDADE ACADMICA INESP

72EMENTA

Funes de vrias variveis, grficos, derivada direcional, plano tangente, gradiente, derivada de ordem superior, mximos e mnimos, e aplicaes. Curvas planas e no espao, vetor tangente. Curvas planas e no espao. Integrais duplas e triplas. Clculo de reas, Volumes, Momento de Inrcia. Integrais de linha e de superfcie.OBJETIVOS

No final do curso o aluno ser capaz de: - Representar Superfcies e Funes de Vrias Variveis - Aplicar o Vetor Gradiente - Integrar Funes de Vrias Variveis - Determinar o Volume e a rea de uma Regio usando Integrais Mltiplas - Aplicar Integrais Duplas no Clculo do Momento de Inrcia.CONTEDO PROGRAMTICO

I Funes de Vrias Variveis 1.1 Conceito 1.2 Limite 1.3 Continuidade 1.4 Derivadas Parciais 1.5 Derivada Direcional 1.6 Gradiente 1.7 Plano tangente 1.8 Derivada de Ordem Superior II Mximos e Mnimos 2.1 Valores Extremos da Funo de Duas Variveis 2.2 Mximo e Mnimo com Restrio III Integrais Mltiplas 3.1 Interpretao Geomtrica 3.2 Tcnicas de Integrao 3.3 Mudana de Variveis na Integral Dupla 3.4 Mudana de Variveis na Integral Tripla 3.5 Clculo de rea, Volume e Momento de Inrcia.MTODOS E RECURSOS DIDTICOS

Aula expositiva, seguida de debates, exerccios de sondagem e fixao; Proposio de situaes problemticas, mediante condies explicativas para as possveis solues, pesquisa em livros e na www. Quadro negro, giz, internet, e-mail. Atividades extra-classe: - Resoluo de listas de exerccios de fixao e aprofundamento. - Resoluo virtual de exerccios em editor de texto matemtico.AVALIAO

Sero distribudos 100 crditos no decorrer do semestre atravs de trabalhos e provas.



3


Sero distribudos 30 pontos at o final do 1 bimestre letivo, 35 pontos at o final do 3 ms letivo e 35 pontos at o final do semestre letivo. As recuperaes das avaliaes ocorrero ao longo do semestre.BIBLIOGRAFIA BSICA

MCCALLUMM, William G. Clculo de vrias variveis. So Paulo: Edgar Blucher, 1997. PINTO, Diomara. Clculo diferencial e integral de funes de vrias variveis. Rio de Janeiro: UFRJ, 1999. HAZZAN, Samuel. Calculo funes de vrias variveis. 2.ed. So Paulo: Atual, 1986.BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR

JUDICE, Edson Duro. Funes de varias variveis. Belo Horizonte: UFMG, 1978. LEITHOLD, Louis. Clculo com geometria analtica. 3.ed. So Paulo: Harbra, 1994. EDWARDS Jr, C.H. Clculo com geometria Analtica. 4.ed. Rio de Janeiro: PrenticeHall do Brasil, 1997. SIMMONS, G. F. Clculo com geometria analtica. 2.ed. So Paulo: Mac Graw-Hill, 1987. GOLDSTEIN, Larry J.; LAY, David C. e SCHNEIDER, David I.. Matemtica aplicada: economia, administrao e contabilidade. 8. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.



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FUNES DE VRIAS VARIVEIS1 IntroduoMuitas grandezas dependem de mais de uma varivel: a quantidade de alimento produzida depende de quantidade de chuva e da quantidade de fertilizante usada; a taxa de uma reao qumica depende da temperatura e da presso do ambiente em que se processa; a intensidade da atrao gravitacional entre dois corpos depende de suas massas e da distncia que os separa; a taxa de matria ejetada numa exploso vulcnica que cai num lugar depende da distncia ao vulco e do tempo decorrido desde a exploso. Cada exemplo envolve uma funo de duas ou mais variveis. Uma funo de duas variveis pode ser representada graficamente, numericamente por uma tabela de valores, ou algebricamente por uma frmula. Suponha que se queira obter um emprstimo para comprar um carro necessrio calcular quanto se deve pagar por ms; isto depender tanto da quantidade de dinheiro emprestada, do tempo de quitao do emprstimo quanto da taxa de juro. Estas quantidades podem variar separadamente: o valor do emprstimo pode variar e a taxa de juro e o tempo podem permanecer constantes, ou a taxa de juro pode mudar enquanto a quantia emprestada e o tempo permanecem constantes. Para calcular o pagamento mensal voc precisa conhecer estes valores. Se o pagamento mensal

$ P , a quantia emprestadade

$ E , o tempo de quitao t

e a taxa de juros

i % , ento exprimimos o valor de P em funo

E, t

e

i

escrevendo:

P = P( E , t , i ) .

exatamente semelhante notao para funo de uma varivel. A varivel

P

chama-se a varivel

dependente e as variveis

E, t

e

i se dizem independentes.

A funo para calcular o valor da prestao a ser paga trinta dias aps o contrato do emprstimo definida por

P( E , t , i ) =

Ei -t 1 - (1 + i )

onde

E

do em

R$ , i

em

% am

e

t

em meses.

ExemploEx.-1 Calcule o valor da prestao de um emprstimo de R$5.000,00, nas condies dadas:

t = 6,12,18, 24 meses

e

i = 2, 3, 4, 5% am , pela funo P( t , i ) = P6 2 3 892,63 922,99 953,81 985,09

5000 i -t 1 - (1 + i )

.

t12 472,80 502,31 532,76 564,13 18 333,51 363,54 394,97 427,73 24 264,36 295,24 327,93 362,35

i%

4 5

2 Funes de duas variveisApesar de que vamos lidar com funes de vrias variveis, a maioria das nossas definies e resultados sero enunciadas em termos de uma funo de duas variveis. A razo para adotar este tipo de procedimento, como veremos em breve, que existe uma interpretao geomtrica para este caso especial, o que serve como importante auxilio visual. Poderemos ento nos beneficiar da experincia adquirida pelo estudo de duas variveis para ajudar a entender os conceitos e resultados relacionados ao caso mais geral, que nada mais ser do que uma extenso do caso de duas dimenses.



5


Uma funo de duas variveis,

f

, consiste em

Um conjunto A de pares ordenados de nmeros reais

( x , y ) chamados de domnio da funo.fum nico numero real, denotado por

Uma regra que associa cada par ordenado no domnio de

z = f( x, y ) .As variveis x e y so chamadas de variveis independentes e a varivel z, que dependente dos valores de x e y, chamada de varivel dependente. Como no caso de uma funo real de uma varivel, o numero

z = f( x, y )

chamado de valor de f no ponto (x, y). E,

a menos que seja especificado, o domnio da funo f ser tomado como o maior conjunto possvel para o qual a regra que define

f

faz sentido.

1.1 Valor numricoExemplo:

Ex.-2

Seja

f

a funo definida por2

f

(

x, y

)

= x + xy + y

2

+ 2

. Calcule

f ( 0 , 0 ) , f ( 1 , 2 ) , f ( 2 ,1 ) .

f f f

( 0,0 ) ( 1, 2 ) ( 2 ,1 )

= 0 + 00 + 0 + 2 = 2 = 1 + 1 2 + 2 + 2 = 1 + 2 + 4 + 2 = 9 = 2 + 2 1 + 1 + 2 = 2 + 2 + 1 + 2 = 72 2

Exerccios:E-1. Seja

f

( x, y ) ( x, y )

= 2 x + 3 y - 4 . Calcule f = 2x - y = x+ y x- y2 2

( 0,0 ),

,

f

( 0 ,1 ),

,

f

( 1, 2 ),

e

f

( 2 , -1 )e

.

E-2.

Seja

g h

. Calcule

g

( 1, 2 )

g

( 2 ,1 )

g

( 1,1 )

g

( -1 , 1 )

g

( 2 , -1 )

.

E-3.

Seja

( x, y ) ( s,t )

. Calcule h(0,1), h(-1,1), h(2,1) e h(,-).

E-4.

Seja

g f

= 3s t + t s + 2 . Calcule g = xyex +y2 2

( 1, 2 )

,

g f

( 2 ,1 )

,

g f

( 0,4 )

e

g

( 4 ,9 )

.

E-5. E-6.

Seja Seja

( x, y )

. Calcule f

( 0,0 )

,

f

( 0 ,1 )

,

( 1,1 )e

e

( -1 , -1 ).

.

h( s , t ) = s ln t + t ln s . Calcule h g( r ,s,t )

( 1, e ),

,

h

( e ,1 )e

h

( e,e )

E-7.

Seja

= re

st

. Calcule

g

( 1,1,1 )

g

( 1, 0 ,1 )

g

( -1 , -1 , -1 )

.

Respostas



6


R-1 R-2 R-3 R-4

a) -4; b) -1; c) 4; d) -3 a) -2; b) 7; c) 1; d) 1; e) 7 a) -1; b) 0; c) 3; c) 0 a)

R-5 R-6 R-7

a)

0 ; b) 0 ; c) e 2 ; d) e 2 .

a) 1; b) 1; c) 2e. a)

4 + 3 2 ; b) 8 + 2 ; c) 2 ; d) 56 .

e ; b) 1 ; c) - e .

1.2 Domnio de funo de duas variveisExemploEx.-3 Determine o domnio de cada uma das seguintes funes a) No

f( x, y ) = x2 + y 2h2

Restrio operaes, portanto,

restrio

nas

D = ( x , y ) R x y2

{2

x- y 0 x y

}

D=Rb)

d)

h

( x, y )

= 1- x - y

2

2

Restrio

D = ( x , y ) R x 0 ou y 02

{

x +y 0

2

2

Restrio

}

1 - x - y 0 - x - y -1 (- 1)2 2 2

c)

g( x, y ) =

2 x- y

x + y 1

2

2

D = ( x , y ) R x + y 12 2 2

{

}

ExercciosDetermine o domnio da funo. E-8. E-9.

f f f

( x, y ) ( x, y )

= 2x + 3 y = 2x - y = 1 2x - y =x +y +z = x + yz3 2 2 2

E-13.

g f

( r,s ) ( x, y )

= rs =3 x+ y uv u-v

E-14.

E-10.

( x, y )

E-15. E-16. E-17.

h (u , v ) =

E-11.

g f

( x, y, z ) ( x, y,z )

h( x, y ) = ln( x + y - 5) h (u , v ) = 4 - u 2 - v 2 D = R3 D=

E-12.

R - 12

Respostas

R - 13 R - 14

R-8 R-9 R - 10 R - 11

D = R2 D = R2 D=

{( r , s ) R D = {( u , v ) RD = R2 D= D=

2

rs 0

2

} u v}x+ y >5

{( x , y ) R

2

y 2x

}

R - 15 R - 16 R - 17

{( x , y ) R2

2

}

D = R3

{( u , v ) R

u 2 + v2 4

}

2 Aplicao


CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - III 1 PARTEExemploEx.-4

7


A companhia Telcsom fabrica um sistema de caixas e som portteis que pode ser completamente montada ou na forma de kit. As equaes de demanda que relacionam os preos unitrios

px

e

p y , com quantidades semanais de

x e y das verses montadas ou kit do sistema de caixas de som, so dadas por

p = 300 x

1 1 x- y 4 8 R( x, y )?

e

1 3 p y = 240 - x - y 8 8

a)

Qual a funo receita total semanal

R R R Rb)

( x, y )

= xp + ypx y

( x, y )

1 1 1 3 = x 300 - x - y + y 240 - x - y 4 8 8 8 = 300 x =1 2 1 1 3 2 x - xy + 240 y - xy - y 4 8 8 8

( x, y )

( x, y )

1 2 3 2 1 x - y - xy + 300 x + 240 y 4 8 4 R( x, y )?

Qual o domnio da funo

2 1 2 3 2 1 D = ( x , y ) R - x - y - xy + 300 x + 240 y 0; x 0; y 0 4 8 4

ExerccioE-18. A firma Country Workshop fabrica moblia domestica com ou sem acabamento. Estima-se que a demanda semanal de suas escrivaninhas nas verses com e sem acabamento de x e y unidades quando os preos unitrios correspondentes so

1 1 1 1 p x = 200 - x - y e p y = 160 - x - y 5 10 10 4

dlares, respectivamente.

a) b)

Qual a funo receita total semanal R(x, y)? Determine o domnio da funo R.


CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - III 1 PARTEE-19. E-20.

8


Para a funo total R(x, y) do exerccio anterior calcule R(100,60) e R(60,100). Interprete os resultados. Uma Companhia publica uma edio de luxo e uma edio padro para seu dicionrio de ingls. A gerncia da companhia estima que o nmero de dicionrios de luxo demandado de x exemplares/dia, e o nmero de dicionrios padro demandado de y exemplares/dia quando os preos unitrios so

p x = 20 - 0,005 x - 0,001 y e p y = 15 - 0,001x - 0,003 ya) b) E-21. E-22. Determine a funo receita total R(x, y). Determine o domnio da funo R.

reais, respectivamente.

Para a funo receita total R(x, y) do exerccio anterior calcule R(300, 200) e R(200,300) e interprete seus resultados. Um estudo sobre lucro com incndios criminosos foi conduzido por uma equipe de especialistas civis e detetives da policia indicados pelo prefeito de uma grande cidade. Descobriu-se o nmero de incndios suspeitos naquela cidade em 1992 era estreitamente relacionado concentrao de inquilinos nas moradias pblicas de cidade, bem como ao nvel de reinvestimento da rea em hipotecas convencionais pelos dez maiores bancos. De fato, nmero de incndios era muito bem aproximado pela frmula

N ( x, y ) =

100(1000 + 0,03x y ) (5 + 0,2 y ) 22

1 2

onde

(0 x 150; 5 y 35)

Onde x denota o nmero de pessoas/contagem de censo e y denota o nvel de reinvestimento na rea em centavos/reais depositado. Usando esta frmula, estime o nmero total de incndio suspeitos nos distritos da cidade onde a concentrao de inquilinos de moradias pblicas era de 100/contagem de censo e o nvel de reinvestimento era de 20 centavos/real depositado. E-23. Se um capital de

C

reais depositado numa conta que rende juros taxa de

i% aa

continuamente compostos,

ento o montante ao final

t

anos dado por

M = f ( C , i , t ) = Ce i t E

reais. Determine o montante ao final de 3 anos se

uma quantia de R$ 10.000,00 depositada numa conta que rende taxa de 10%/ano. E-24. A prestao mensal que amortiza em emprstimo de por reais em t anos, quando a taxa de juros de

i

ao ano, dada

P = f ( E ,i,t ) =

Ei-12 t i 12 1 - 1 + 12

a)

Qual a prestao mensal para uma hipoteca de R$100.000,00 que ser amortizada ao longo de 30 anos com uma taxa de 8%/ano? E com uma taxa de 10%/ano?

b)

Determine a prestao mensal para uma hipoteca de R$ 100.000,00 que ser amortizada ao longo de 20 anos com uma taxa de juros de 8% ano.

E-25.

Suponha que um indivduo contraia um emprstimo de cobrada de

E

reais num banco para comprar uma casa. Se a taxa de juros

i% aa

e o emprstimo deve ser amortizado em t anos, ento a reposio de principal ao final de

m

meses, ou seja, seja a amortizao denotada por

B

ser calculada por

B = f ( E ,i,t , m )

m i 1 + - 1 12 (0 m 12t) = E 12 t i 1 + - 1 12


CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - III 1 PARTE

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Suponha que os scios de uma empresa tomem emprestado de um banco a quantia de R$ 80.000,00 para ajud-los a financiar a compra de uma casa e o banco lhes cobra uma taxa de juros de 9%/ano. Se os scios concordaram em pagar o emprstimo em prestaes mensais iguais ao longo de 30 anos, quanto eles devero ao banco aps o 60 pagamento (5 anos)? E aps o 240 pagamento (20 anos)? E-26. Frmula de Wilson para tamanho de lotes. Em economia, a frmula de Wilson para tamanho de lotes afirma que a quantidade tima Q de bens que uma loja deve encomendar dada poro o

Q = f (C , N , h ) =

2CN h

onde C o custo de se fazer uma encomenda, N o nmero de produtos que a loja vende por semana, e h o custo semanal de armazenamento para cada produto. Determine o numero mais econmico de bicicletas de 10 velocidades que a loja pode encomendar se ela tem um custo de R$20,00 para fazer a encomenda, R$ 5 para guardar a bicicleta por uma semana, e espera vender 40 bicicletas por semana.

Respostas

R - 18

1 1 1 R( x , y ) = - x 2 - y 2 - xy + 200 x + 160 y ; 5 4 5 1 1 1 2 b) D = ( x , y ) R - x 2 - y 2 - xy + 200 x + 160 y 0, x 0, y 0 . 5 4 5 a)

R - 19

Ra) b) D

( 100 , 60 )

= R$25.500,00

e

R( 60 ,100 ) = R$23.580,00

R - 20

R( x , y ) = -0,005 x 2 - 0,003 y 2 - 0,002 xy + 20 x + 15 y ,

=

{( x , y ) R

2

- 0,005 x 2 - 0,003 y 2 - 0,002 xy + 20 x + 15 y 0, x 0, y 0e

}.

R - 21 R - 22 R - 23 R - 24 R - 25 R - 26

R( 300 , 200 ) = R$8.310,00

R( 200 , 300 ) = R$7.910,00

N ( 100 , 20 ) = 103,29 incndios Ma)

( 10.000 ; 0 ,1; 3 )

= R$13.498,59 = R$733,76e

A

( 10.000 ; 0 , 08 ; 3 )

A

(10.000 ; 0 ,1; 30 )

= R$877,19 , b) A R$50.814,62

(10.000 ; 0 , 08 ; 20 )

= R$836,44

Para 60 meses R $76.704,11 e para 240 meses

18

produtos.

3 Grficos de funes de duas variveisPara esboar uma funo de duas variveis, precisamos de um sistema de coordenadas tridimensional. Isto pode ser prontamente construdo acrescentando um terceiro eixo ao sistema de coordenados cartesianas ao plano de tal maneira que os trs eixos resultantes so mutuamente perpendiculares, interceptando-se em O. Observe que, por construo, os zeros das trs escalas numricas coincidem com a origem do sistema de coordenadas cartesianas tridimensional


CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - III 10 1 PARTE


z

y

xSistema de coordenadas cartesianas no espao tridimensional

Um ponto no espao tridimensional pode agora ser univocamente representado neste sistema de coordenadas por um a tripla ordenada de nmeros (x, y, z) e, reciprocamente, cada tripla ordenada de nmeros reais (x, y, z) representa um ponto no espao tridimensional. As figuras abaixo mostram um ponto qualquer no espao e o ponto (2, 3, 5).z

z5

z P(x, y, z)

P(2, 3, 5)

y

3y

y

x

2

xUm ponto no espao tridimensional

x

Ponto (2, 3, 5) no espao tridimensional

Agora, se f(x, y) uma funo de duas variveis x e y, o domnio de f um subconjunto do plano x-y. Seja z = f(x, y) de forma que exista um nico ponto (x, y, z)

(x, y, f(x, y)) associado a cada ponto (x, y) no domnio de f. A totalidade destes

pontos constitui o grfico da funo f , exceto para certos casos especficos, uma superfcie tridimensional. Quando interpretamos o grfico de uma funo f(x, y), pensamos frequentemente que o valor z = f(x, y) da funo no ponto (x, y) a altura do ponto (x, y, z) no grfico de f. Se f(x, y) > 0, ento o ponto (x, y, z) est f(x, y) unidades acima do plano x-y. Se f(x, y) < 0, ento o ponto (x, y, z) est |f(x, y)| unidades abaixo do plano xy. Em geral bastante difcil desenhar o grfico de uma funo de duas variveis. Certas tcnicas foram desenvolvidas, no entanto, para nos permitir gerar com um mnimo de esforo, usamos um computador. A figura abaixo mostra alguns grficos gerados por computador.


CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - III 11 1 PARTEz = x^2+y^2z = sin(2x)cos(y)


(4.08,-4.08,32.32)(3.20,-3.20,1.02)

(-3.20,3.20,-1.02)

(-4.08,4.08,-0.32)

Figura 1 -

f ( x , y ) = sen(2 x )sen( y )

Figura 2 -

f( x, y ) = x2 + y 2

ExerccioFaa a representao grfica das seguintes funes: E-27.

f( x, y ) = x2 - y 2 f( x, y ) = x3 y2x 22

E-32. E-33.

f ( x , y ) = x 2e y 2 f( x, y ) = e x2

+ y2

E-28. E-29. E-30. E-31.

f ( x , y ) = ln x + y + 12

(

)

E-34.

f ( x , y ) = e 2 (x

2

+ y 2 +1

)

f( x, y ) = x2 + y 2 f ( x , y ) = xe y 2

RespostaR - 27 R - 28


CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - III 12 1 PARTER - 29 R - 33


R - 30

R - 34 R - 31

R - 32


CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - III 13 1 PARTE4 Curva de nvel


Como mencionamos anteriormente, em geral difcil esboar o grfico de uma funo de duas variveis e, portanto, no iremos desenvolver um procedimento sistemtico para esbo-lo. Ao invs disto, vamos descrever um mtodo que usado para construir mapas topogrficos. Este mtodo realmente fcil de ser aplicado e fornece informaes suficientes para termos uma idia de como deve ser o grfico da funo. A figura 3 representa a distribuio da temperatura C e a figura 4 a precipitao pluvial em mm em ambas usando curva de nvel. Figura 3: acessado em0

http://climatempo.click21.com.br/espelho.php?pc= click21&pg=mapatempo acessado em 12/02/2008.

Figura 4: Precipitao observada (mm) 09/02/2008. Fontes de dados: CPTEC/INPD, INMET, FUNCEME/CE AESA/PB DHME/PI, EMPARN/RN, CMRH/SE, ITEP/PE, FUNCEME/CE,

SEMARH/DHN/SEMARH/BA,

CEMIG-SIMGE/MG, SEAG/ES, SIMPAR/PR, CIRAM/SC, IAC/SP. Acessado em

http://www.cptec.inpe.br/clima/monit/monitor_brasil.shtml acessado em 12/02/2008.

Suponha que f(x, y) uma funo de duas variveis x e y. Se c algum valor da funo f, ento a equao f(x, y) = c descreve uma curva situada no plano z = c chamada de trao do grfico de f no plano z = c. Se este trao for projetado no plano x-y, a curva resultante no plano x-y chamada de curva de nvel. Desenhando as curvas de nvel correspondentes a vrios valores de c, obtemos um mapa de contornos. Por construo, todo ponto em uma curva particular de nvel corresponde a um ponto na superfcie z = f(x, y) que est a uma certa distncia fixa do plano x-y. Assim, elevando ou rebaixando




imaginariamente as curvas de nvel que compe o mapa de contorno, possvel obter uma idia do formato genrico da superfcie representada pela funo f.

ExemploEx.-5 Esboce o mapa de contornos da funo

f ( x , y ) = xy .

Ex.-7

Esboce

o2

mapa

de

contornos

da

funo

fEx.-6 Esboce o mapa de contornos da funo

( x, y )

=x -y.

f( x, y ) = x2 + y 2 .ExercciosNos exerccios abaixo, esboce as curvas de nvel da funo correspondentes aos valores dados de z. E-35. E-36.

f f f f

( x, y )

= 2 x + 3 y ; z = -2, - 1, 0,1, 2 . = xy ; z = -4, - 2, 2, 4 . = 16 - x - y = 16 - x - y2 2 2 2

E-39.

P( V , T ) =

nRT V

(suponha

nR = 2 )

( x, y )

E-37.

( x, y ) ( x, y )

;

z = 0,1, 2, 3, 4 .

1 1 P = , , 1, 2, 3 3 2

E-38.

;

z = -20, - 9, 0, 7, 12, 16 .RespostaR - 35

R - 36

R - 37


CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - III 15 1 PARTER - 39


R - 38

5 Derivadas parciais5.1 Taxa mdia de variao parcial determinada numericamenteA funo de duas variveis tem duas taxas de variao: uma quando quando

x

varia (com

y

mantido constante) e uma

y

varia (com

x

mantido constante).

ExemploEx.-8 Veja a tabela do valor da prestao de um emprstimo de R$5.000,00.

P6 2 3 892,63 922,99 953,81 985,09 12 472,80 502,31 532,76 564,13

t18 333,51 363,54 394,97 427,73 24 264,36 295,24 327,93 362,35

i%

4 5 a)

Calcule a taxa de variao do preo

P

na direo de

t

no ponto

( 12 , 4 ) .

DP ( 12 , 4 ) = Dt

P

( 18 , 4 )

-P

( 12 , 4 )

18 - 12

=

394,97 - 532,76 = -22,97 R$ ms 6


CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - III 16 1 PARTEb) Calcule a taxa de variao do preo


P

na direo de

i

no ponto

( 12 , 4 ) .

DP ( 12 , 4 ) = DtExerccioE-40.

P

( 12 , 5 )

-P

( 12 , 4 )

5-4

=

564,13 - 532,76 = 31,37 R$ i % 1

A tabela abaixo refere-se a distribuio de temperatura em uma placa fina retangular. No canto superior direito est a origem do plano

x- y. x (m)0 1 90 110 128 135 2 110 120 135 155 3 135 145 155 160 4 155 190 175 165 5 180 170 160 150

T (C 0 )0 1 85 100 125 120

y (m)

2 3 a) b) c) d) e) f)

Calcule a taxa de variao da temperatura Calcule a taxa de variao da temperatura Calcule a taxa de variao da temperatura Calcule a taxa de variao da temperatura Calcule a taxa de variao da temperatura Calcule a taxa de variao da temperatura

T T T T T T

( 2 ,1 ) . na direo de y no ponto ( 2 ,1 ) . na direo de x no ponto. ( 0 , 0 ) . na direo de y no ponto. ( 0 , 0 ) . na direo de x no ponto ( 4 , 3 ) . na direo de y no ponto. ( 5 , 1 ) .na direo de

x

no ponto

E-41.

O consumo de carne

C

(em quilos por semana por famlia) funo da renda familiar

R

(em milhares de reais por

ano) e do preo da carne (quilos/famlia/semana).

p

(em reais por quilo). A tabela abaixo representa a quantidade de carne comprada

p ( R$ / kg ) C (kg )4 8,00 2,65 4,14 5,11 5,35 5,79 8,50 2,59 4,05 5,00 5,29 5,77 9,00 2,51 3,94 4,97 5,19 5,60 9,50 2,43 3,88 4,84 5,07 5,53

R (R$1.000)

6 8 10 12

a) b) c) d) e) f)

Calcule a taxa de variao do consumo Calcule a taxa de variao do consumo Calcule a taxa de variao do consumo Calcule a taxa de variao do consumo Calcule a taxa de variao do consumo Calcule a taxa de variao do consumo

C C C C C C

na direo de na direo de na direo de na direo de na direo de na direo de

p R p R p R

( 9,00 , 6 ) . no ponto ( 9,00 , 6 ) . no ponto ( 8,00 , 10 ) . no ponto ( 9,50 , 4 ) . no ponto ( 8,50 , 12 ) . no ponto ( 8,50 , 8 ) .no ponto


CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - III 17 1 PARTERespostaR - 40 R - 41 a) 25 C0


m ; b) 15 C 0 m ; c) 5 C 0 m ; d) 15 C 0 m ; e) - 15 C 0 m ; f) - 10 C 0 m .

R$ kg ; b) 0,515 kg R$1.000 ; c) - 0,12 kg R$ kg ; d) 0,725 kg R$1.000 ; e) - 0,34 kg R$ kg ; f) 0,145 kg R$1.000

a) - 0,12 kg

5.2 Derivadas parciais determinadas algebricamentePara uma funo f(x) de uma varivel x, no existe ambigidade quando falamos de taxa de variao de f(x) com relao a x, pois x est compelida a se mover ao longo do eixo x. Esta situao se complica, entretanto, quando estudamos a taxa de variao de uma funo de duas ou mais variveis. Por exemplo, o domnio D de uma funo de duas variveis f(x, y) um subconjunto do plano, de forma que se P(a, b) algum ponto do domnio de f, ento existem infinitas direes ao longo das quais podemos aproximar do ponto P. Podemos ento perguntar qual a taxa de variao de f no ponto P ao longo de alguma destas direes. No lidaremos com este problema geral. Em vez disto, vamos nos restringir ao estudo da taxa de variao de funo f(x, y) em um ponto P(a, b) ao longo de duas direes privilegiadas; a saber, a direo paralela ao eixo x e a direo paralela ao eixo y. Seja y = b, onde b uma constante, de forma que f(x, b) uma funo da nica varivel x. Como a equao z = f(x, y) a equao de uma superfcie, a equao z = f(x, b) a equao de curva C na superfcie formada pela interseo da superfcie e do plano y = b. Como f(x, b) uma funo da nica varivel x, podemos calcular a derivada de f com relao a x no ponto x = a. Esta derivada, obtida mantendo a varivel y fixa e diferenciando a funo resultante f(x, y) com relao a x, chamada de derivada parcial de primeira ordem de f com relao a x no ponto (a, b). Analogamente, definimos s derivada parcial de primeira ordem de f com relao a y no ponto (a, b).

Exemplo

Ex.-9

Determine as derivadas parciais Resoluo

f f e x y

da funo

f ( x, y ) = x - xy + y

2

3

.

a) Qual a taxa de variao da funo f na direo x no ponto (1, 2)?

f ( x, y ) = 2 x - 1 y + 0 = 2 x - y x

no ponto

(1,2)

f (1,2) = 2 1 - 2 = 2 - 2 = 0 x

b) Qual a taxa de variao da funo f na direo y no ponto (1,2)?

f ( x, y ) = 0 - x 1 + 3 y 2 = - x + 3 y 2 y xy x +y2 2

no ponto

(1,2)

f (1,2) = -1 + 3 22 = -1 + 12 = 11 y

Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de cada uma das seguintes funes. Ex.-10

f

( x, y )

=

Derivada parcial em relao varivel

x y

Derivada parcial em relao varivel




Ex.-11

h

( u ,v )

=e

u -v

2

2

Ex.-12

g f f

( s ,t )

= s - st + t2

Ex.-13

( x, y )

) = ln (x + 2 y )2 2 2 yz

(

5

Ex.-14

( x, y,z )

= xyz - xe + x ln ( y )

ExerccioNos exerccios abaixo, determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada funo. E-42. E-43. E-44. E-45. f(x, y) = 2x + 3y + 5 f(x, y) = 2xy f(x, y) = 2x + 4y + 12

E-61.

f( x, y ) = x2 + f( x, y ) = f( x, y ) = f( x, y ) = f( x, y ) =

1 y3

2y f ( x, y ) = 2 x x f ( x, y ) = 1+ y f (u , v ) = f ( x, y ) =2

E-62.

x2 + y3 x+ y x2 + y2 x+ y x3 + y 2 x+ y x2 + y3 x- y

E-46.

E-63.

E-47.

u -v u+v x2 - y2 x2 + y22 3 -3

E-64.

E-48. E-49. E-50. E-51. E-52. E-53. E-54. E-55. E-56. E-57. E-58. E-59.

E-65.

f(s, t) = (s st + t ) g(s, t) = s t + st2

E-66.2

f( x , y ) = x 4 + e3 y f( x , y ) = x 4e3 y f( x, y ) = x2 + e3 y x4

f ( x, y ) = x 1 + y f ( x, y ) = e xy +1f(x,y) = xlny + ylnx g(u, v) = e lnvu

E-67.

E-68. E-69.2 2 2

f ( x , y ) = e 2 x -3 y f ( x , y ) = e 2 xy f( x, y ) = ex f( x, y ) = e x2

f(x, y, z) = xyz + xy + yz + zx g(u, v, w) =

E-70. E-71. E-72. E-73. E-74. E-75. E-76.

2uvw u + v 2 + w22

+ y2

h( r , s , t ) = e r s t f( x, y ) = x2 + y3 f( x, y ) = x2 y3 f( x, y ) = x2 y3

2

+ y3

f ( x , y ) = ln (1 + 2 x + 3 y ) f ( x , y ) = ln (1 + 2 xy ) f ( x , y ) = ln (2 x + 3 y ) f ( x , y ) = x ln ( y ) + y ln (x )

E-60.


CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - III 19 1 PARTEE-77. E-78. E-79.

Prof. Luiz Elpdio M. Machado f ( x , y ) = sen x 3 + cos y 4 f( x, y3 4

f ( x , y ) = ln ( y ) ln ( x ) f ( x , y ) = sen(3 x ) + cos(4 y ) f ( x , y ) = sen(3 x )cos(4 y )

E-80. E-81.

( ) ( ) ) = sen(x )cos ( y )= e ; (1,1)xy

Nos exerccios abaixo, determine as derivadas parciais de primeira ordem da funo no ponto dado. E-82.

f f

( x, y ) ( x, y )

= x y + xy ; (1, 2) = x y + y ; ( 2, 1) = x + y ; (3, 4)2 2 2

2

2

E-86.

f f f

( x, y ) ( x, y )

E-83.

E-87.

= e ln ( y ); (0, e )x

E-84.

g(x, y)

E-88.

( x, y,z )

= x yz ; (1,0,2 )2 3

E-85.

f

( x, y )

=

x ; (1, 2) y

Resposta

R - 42

f =2 x

e

f =3 ye

R - 52

f = ye xy +1 x

e

f = xe xy +1 ye

R - 43

f = 2y x f = 4x x

f = 2x y f =4 ye

R - 53

f y = ln y + x x f = e u luv ue

f x = + ln x y y

R - 44

e

R - 54

f e u = v v

R - 45

f 4y =- 3 x x f 1 = x 1 + y

f 2 = 2 y x f x =y (1 + y )2e

R - 55

R - 46

e

e

f f = yz + y 2 + 2 xz , = xz + 2 xy + z 2 x y 2 f = xy + 2 yz + x z f - u 2 vw + 2v 3 w + 2vw 3 = 2 u u 2 + v 2 + w2

R - 47

f 2v = u (u + v )2 f 4 xy = 2 2 x x +y2

f 2u =y (u + v )2e

R - 56

(

)

R - 48

(

)

2

f 4x 2 y =y x2 + y 2

R - 57

(

)

2

f f f = ste rst ; = rte rst ; = rse rst r s t f ( x, y ) = 2 x xou

R - 49

f = 3(- s + 2t ) s 2 - st + t 2 y

f = 3(2 s - t ) s 2 - st + t 2 s

(

)2

R - 58 e R - 59

2

f ( x, y ) = 3 y 2 y f ( x, y ) = 3 x 2 y 2 y2

(

)

f (x, y ) = 2 xy 3 x f ( x, y ) = 2 x 3 x y f ( x, y ) = 2 x x

ou

R - 50

f = 2 st + t -3 s f = 1+ y2 x

e

f = s 2 - 3st - 4 y f xy = y 1+ y2

R - 60

e

f (x, y ) = - 3x4 y y f (x, y ) = - 34 y y

R - 51

e

R - 61

e


CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - III 1 PARTE f (x, y ) = x + 2 xy - y x (x + y )2 f (x, y ) = 3xy + 2 y 2- x y (x + y )2 2 3 2 2 3

20

Prof. Luiz Elpdio M. Machado2 3 f (x, y ) = 2 xe x + y x

R - 62

e

R - 72

e

2 3 f ( x, y ) = 3 y 2 e x + y y

R - 63

f (x, y ) = x + 2 xy - y x (x + y )2 f (x, y ) = 3xy + y - x y (x + y )23 2 2

2

R - 73 e

f 2 ( x, y ) = x 1 + 2x + 3 y f 3 ( x, y ) = y 1 + 2x + 3 y f ( x, y ) = 2 y x 1 + 2 xy f ( x, y ) = 2 x y 1 + 2 xy f ( x, y ) = 2 x 2x + 3y f ( x, y ) = 3 y 2x + 3y f (x, y ) = ln( y ) + y x x f x (x, y ) = + ln(x ) y y f (x, y ) = ln( y ) x xou ou

ou

R - 742

R - 64

f (x, y ) = 2 x + 2 x y2- y x (x + y ) f (x, y ) = 2 xy + y - x y (x + y )22 2 3

2

e

R - 753

ou

R - 65

f (x, y ) = x - 2 xy - y x (x - y )2 f (x, y ) = 3xy - 2 y 2+ x y (x - y )2 3 2

e

R - 76

ou

R - 66

f ( x, y ) = 4 x 3 x

e

f (x, y ) = 3e3 y ye3y

R - 67

f ( x , y ) = 4 x 3e 3 y x

f (x, y ) = 3 x 4e 3 y ye

R - 77

R - 68

f (x, y ) = 2 x - 4e5 x x f (x, y ) = 3e4 y x3y

R - 78

f (x, y ) = -4sen(4 y ) xR - 79

f (x, y ) = 3 cos(3x ) ou x

R - 69

f (x, y ) = -3e 2 x - 3 y yR - 70

f ( x , y ) = 2e 2 x - 3 y x

e

f (x, y ) = -4sen(3x )sen(4 y ) xR - 80

f (x, y ) = 3 cos(3x )cos(4 y ) ou x

f (x, y ) = 2 ye 2 xy x

e

f (x, y ) = 2 xe 2 xy ye R - 81

( ) f (x, y ) = -4 y sen(y ) xf (x, y ) = 3x 2 cos x 3 x3 4 3 3

ou

R - 71

2 2 f (x, y ) = 2 ye x + y y

2 2 f (x, y ) = 2 xe x + y x

( ) ( ) f (x, y ) = -4 y sen(x )sen(y ) xf (x, y ) = 3x 2 cos x 3 cos y 4 x4

ou

R - 82

f (1, 2 ) = 8 ; f (1, 2 ) = 5 x y


CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - III 1 PARTER - 83

21

Prof. Luiz Elpdio M. Machado f ( 0 , e ) = 1 ; f ( 0 , e ) = 1 x y e f ( 1 , 0 , 2 ) = 0 ; f (1, 0 , 2 ) = 8 ; x y f ( 1, 0 , 2 ) = 0 . z

f ( 2 ,1 ) = 1 ; f ( 2 ,1 ) = 3 x y f ( 3 , 4 ) = 3 ; f ( 3 , 4 ) = 4 x 5 y 5 f ( 1, 2 ) = 1 ; f (1, 2 ) = - 1 x 2 y 4 f (1,1 ) = e ; f (1,1 ) = e x y

R - 87

R - 84

R - 88

R - 85

R - 86

6 A funo produo de cobb-douglasPara encontrar uma interpretao econmica das derivadas parciais de primeira ordem de uma funo de duas variveis, vamos considerar a funo

P

( M ,C )

= kM C

b

1-b

onde a e b so constantes positivas com 0 < b 0. p pA A

Um

segmento semelhante com

pA

fixado mostra que se A e B so bens substituveis, ento

q g = B > 0 . Assim, os bens A p pA A

e B so bens substituveis se

q q f g = A > 0e = B > 0. p p p pB B A A

Analogamente, A e B so bens complementares se

q q g f A = < 0e = B < 0. p p p pB B A A

Exemplo

Ex.-16

Suponha que a demanda diria de manteiga dada por

x = f ( p, q ) =

3q 1+ p2

e a demanda diria de margarina

dada por

y = g ( p, q ) =

2p 1+ p

( p > 0, q > 0). Onde p e q denotam os preos por libra (em dlares) de manteiga

e margarina, respectivamente, e x e y esto medidos em milhes de libras. Determine se estes dois bens so substituveis, complementares ou nenhum deles.

ExercciosE-89. A produtividade de um pas sul americano dada pela funo

P M

( M ,C )

= 20 M C

3 4

1 4

quando

unidades de mo-de-obra e

C

unidades de capital so usadas.

Qual a produtividade marginal de mo-de-obra e a produtividade marginal de capital quando as quantidades gastas em mo-de-obra e capital so de 256 unidades e 16 unidades, respectivamente?


CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - III 1 PARTE

23


O governo deveria encorajar investindo em capital em vez de um gasto maior em mo-de-obra a fim de aumentar a produo do pas? E-90. Uma regio retangular R, representa o distrito financeiro de uma cidade. O preo do terreno no distrito dado aproximadamente pela funo

1 p ( x, y ) = 200 - 10 x - - 15( y - 1) 2 2 Onde p(x, y) o preo do terreno no ponto (x, y) em dlares por p quadrado e x e y esto medidas em milhas. Calcule

2

p p (0,1) e (0,1) x yE interprete seus resultados. E-91. Uma pesquisa determinou que a equao de demanda aparelho de DVD dada por

q = 10000 - 10 p - eA A

0,5 p

B

A equao de demanda para discos virgens de DVD dada por

q = 50000 - 4000 p - 10 pB B A

onde

pA

e

pB

denotam os preos por unidade, respectivamente, e

qA

e

qB

denotam o nmero de aparelhos de

DVD e discos virgens de DVD demandados semanalmente. Determine se estes dois produtos so substituveis, complementares ou nenhum deles. E-92. O lucro mensal (em dlares) de uma Loja depende do nvel de estoque x (em milhares de dlares) e do espao disponvel y (em milhares de ps quadrados) para expor a mercadoria como descrito pela equao.

LCalcule

( x, y )

= -0,02 x - 15 y + xy + 39 x + 25 y - 20000

2

2

L L e x y

quando x = 4000 e y = 150. Interprete seus resultados. Repita com x = 5000 e y = 150.

Respostas

R - 89

Sim, porque,

f ( 256 ,16 ) = 7,5 M

significa que o investimento de uma unidade monetria em mo-de-obra gera

um aumento de 7,5 unidades de produo, e

f ( 256 ,16 ) = 40 C

significa que o investimento de uma unidade

monetria em capital gera um aumento de 40 unidades de produo, o investimento em capital gera maior resultado. R - 90

IncompletoqA

R - 91

pB

= -0,5e

0 ,5 p

B

qA

pB

0 e f xx ( a, b) > 0D (a, b) < 0implica que

implicam que implicam que

f ( x, y )

tem um mximo relativo no ponto no ponto

(a, b) .

f ( x , y ) tem um mnimo relativo

(a, b)

f ( x, y )

tem nem mximo nem mnimo relativo no ponto

( a, b) .

D ( a, b) = 0 implica que o teste no conclusivo.

f ( x, y ) = x 2 + y 2 . f ( x, y ) = x 2 - 4 x + y 2 + 6 y . f ( x, y ) = x 2 + y 3 .

Ex.-28 Ex.-29 Ex.-30

f ( x, y ) = x 2 - y 2 . f ( x, y ) = 4 y 3 + x 3 - 12 y 2 - 36 y + 3x 2 . f ( x, y ) = x 3 - 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 2

ExerccioNos exerccios abaixo, determine o(s) ponto(s) crtico(s) de cada funo. Em seguida, use o teste da segunda derivada para classificar a natureza de cada ponto, se possvel. Finalmente, determine os extremos relativos. E-149. E-150. E-151. E-152. E-153. E-154. E-155.

f ( x, y ) = 1 - 2 x 2 - 3 y 2 f ( x, y ) = x 2 - xy + y 2 + 1 f ( x, y ) = x 2 - y 2 - 2 x + 4 y + 1 f ( x, y ) = x 3 + y 2 - 2 xy + 7 x - 8 y + 4 f ( x, y ) = 2 y 3 - 3 y 2 - 12 y + 2 x 2 - 6 x + 2 f ( x, y ) = x 3 - 3 xy + y 3 - 2 f ( x, y ) = xy + g ( x, y ) = 4 2 + x y

E-157. E-158. E-159. E-160. E-161. E-162. E-163. E-164. E-165.

g ( x, y ) = x 2 - e y g ( x, y ) = e x2

2

- y2

g ( x, y ) = e xy g ( x, y ) = ln( x 2 + y 2 ) g ( x, y ) = ln(1 + x 2 + y 2 ) g ( x, y ) = ln(1 + x 2 y 2 ) g ( x, y ) = ln( x 2 y 2 ) g ( x, y ) = xy + ln x + 2 y 2 g ( x, y ) = e x2

E-156.

x + xy y2

+ y2

Resposta



36


R - 149 R - 150 R - 151

Ponto crtico Ponto crtico Ponto crtico

( 0 , 0 ) , mximo relativo

f( 0,0 ) = 1.

( 0 , 0 ) , mnimo relativo ( 1, 2 ) , ponto sela. ( 1, 5 ) , mnimo relativo

f( 0,0 ) = 1.

R - 152

Pontos crticos

f ( 1 , 5 ) = -13

e

1 11 - , , ponto sela. 3 3 e

R - 153

Pontos crticos

3 , 2 , mnimo relativo f 3 = -22,5 ,2 2 2

3 , -1 , ponto sela. 2

R - 154 R - 155 R - 156 R - 157 R - 158 R - 159 R - 160 R - 161 R - 162 R - 163 R - 164

Pontos crticos Ponto crtico Ponto crtico

( 1,1 ) , mnimo relativo

f ( 1 , 1 ) = -3 f ( 2 ,1 ) = 6 .

e

( 0 , 0 ) , ponto sela.

( 2 ,1 ) , mnimo relativo

( 0 , - 1 ) , ponto sela. Ponto crtico ( 0 , 0 ) , ponto sela. Ponto crtico ( 0 , 0 ) , ponto sela. Ponto crtico ( 0 , 0 ) , ponto sela.A funo no possui ponto crtico. Ponto crtico Ponto crtico

( 0 , 0 ) , mnimo relativo ( 0 , 0 ) , mnimo relativo

f( 0,0 ) = 1. f( 0,0 )

= 0.

A funo no possui ponto crtico. Ponto crtico

1 1 2 , - , ponto sela; Ponto crtico - 2 , , ponto sela. 2 2

R - 165

Ponto crtico

( 0 , 0 ) , mnimo relativo

f( 0,0 ) = 1.

14 AplicaesComo no caso do problema de otimizao prtica envolvendo uma funo de uma varivel, a soluo de um problema de otimizao envolvendo uma funo de vrias variveis pede que encontremos o extremo absoluto da funo. A determinao do extremo absoluto de uma funo de vrias variveis mais difcil que meramente encontrar os extremos relativos da funo. Entretanto, em muitas situaes, o extremo absoluto de uma uno coincide em verdade com o maior extremo relativo da funo que ocorre no interior do seu domnio. Vamos assumir aqui que os problemas considerados pertencem a esta categoria. Alm disto, a existncia do extremo absoluto (soluo) de um problema prtico freqentemente deduzida da natureza geomtrica ou fsica do problema.

ExemploEx.-31 A receita total semanal (em reais) de uma companhia obtida na produo e na venda dos sistemas de alto-falantes portteis

1 2 3 2 1 R( q1 , q2 ) = - q1 - q 2 - q1q 2 + 300q1 + 240q 2 4 8 4



37


Onde

q1

denota o nmero de unidades completamente montadas e

q2

denota o numero de kits produzidos e

vendidos por semana. O custo semanal devido produo destes sistemas alto-falantes de

C( q1 , q2 ) = 180q1 + 140q2 + 5.000dlares, onde

q1

e

q2

tm o mesmo significado que anteriormente. Determine quantas unidades montadas e quantos a Companhia deve produzir semanalmente para maximizar seu lucro e o lucro

C( x, y)

= 180 x + 140 y + 5000 kits

mximo. Ex.-32 Uma estao retransmissora de televiso atende as cidades plano cartesiano por

A, B

e

C , cujas posies so representadas em

um

A( 30 , 20 ) , B ( - 20 , 10 )

e

C ( 10 , - 10 ) .

Determine o local onde a estao deve estar

localizada para que a soma das distncias a cada cidade seja mnima.

ExercciosE-166. Maximizando o Lucro. A receita total semanal (em dlares) de uma companhia obtida pela manufatura e venda de escrivaninhas, dada por

R ( x, y ) = -0,2 x 2 - 0,25 y 2 - 0,2 xy + 200 x + 160 y .

Onde x denota o nmero mensal de unidades com acabamento e y denota o nmero de unidades sem acabamento manufaturadas e vendidas por semana. O custo semanal atribudo manufatura destas escrivaninhas de

C ( x, y ) = 100 x + 70 y + 4000

dlares. Determine quantas unidades com e sem acabamento a companhia deve

manufaturar por semana, a fim de maximizar seu lucro. Qual o maior lucro que pode ser obtido? E-167. Preo Mximo. A regio retangular R mostrada na figura a seguir representa o distrito financeiro de uma cidade. O preo do terreno dentro do distrito aproximado pela funo

y R x

1 p ( x, y ) = 200 - 10 x - - 15( y - 1) 2 2

2

Onde p (x, y) o preo da terra no ponto (x, y) em dlares por ps quadrado e x e y so medidos em milhas. Em que ponto do distrito financeiro o preo do terreno mximo? E-168. Mximo Lucro. A C&G Imports importa duas marcas de vinho branco, uma da Alemanha e outra da Itlia. O vinho alemo custa $ 4/garrafa, e o vinho italiano pode ser obtido por $ 3/garrafa. Estima-se que se o vinho alemo for vendido no varejo a

px

dlares/garrafa e o vinho italiano for vendido a

py

dlares/garrafa,

ento

2000 - 150 p x + 100 p ysemanalmente possvel.

garrafas do vinho alemo

1000 + 80 p x - 120 p y

garrafas do vinho italiano sero

vendidas semanalmente. Determine o preo unitrio para cada marca que permitir C&G o maior lucro

E-169. Determinando a Localizao tima. Uma estao auxiliar de gerao de energia servir a trs comunidades, A, B e C, cujas localizaes relativas so A(5,2) B(-4,4) (-1,-3) de um plano cartesiano. Determine onde a estao dever ser posicionada para que a soma das distncias a cada uma das comunidades seja a menor possvel. E-170. Empacotamento. As normas postais especificam que um pacote enviado pelo servio especfico de remessa de pacotes deve ter a soma do comprimento com o permetro da seo transversal menor ou igual a 275 centmetros. Determine as dimenses de um pacote retangular com o maior volume possvel dentro dessas normas. Sugesto:



38


Sejam as dimenses da caixa x por y por z (veja a figura). Ento, 2x+2z+y=275, e o volume V = xyz. Mostre que

V = f ( x, z ) = 275 xz - 2 x 2 z - 2 xz 2

maximize

f ( x, y ) .

E-171. Minimizando Custos de Aquecimento e Refrigerao. Um prdio com o formato de uma caixa retangular dever ter um volume de 12.000 metros cbicos. Estima-se que os custos anuais de aquecimento e refrigerao sero de R$2/metro quadrado para o topo, R$4/metro quadrado para as paredes frontal e traseira, e R$3/metro quadrado para as paredes laterais. Determine as dimenses do prdio que resultaro num custo anual mnimo de aquecimento e refrigerao. Qual este custo mnimo?

RespostaR - 166

( x , y ) = ( 200 ;100 ) e L( 200 ,100 ) = R$ 10.500 ( x , y ) = 1 ,1 2 p y = 18,00$ p x = 18,67$e

R - 167

R - 168 R - 169 R - 170 R - 171

( x , y ) = ( 0 ,1 )x = 45,83 cm , y = 91,68 cm x = 30 m , y = 40 me e

z = 45,83 cm .( 30 , 40 ,10 )

z = 10 m ; C

= 7.200,00 R$ .



39


INTEGRAIS DUPLAS

fR

( x, y )

dA

Calculando uma Integral dupla em uma Regio Retangular

fb d a c

( x, y )

dxdy =

b a 2

d f ( x , y )dy dx c

ou

fd b c a

( x, y )

dxdy =

d c

b f ( x , y )dx dy a

Exemplo

Ex.-33

Calcule

(x + 2 xyR 2

+y

2

) dA2 1

e

R = [ 1, 2 ] [ 0 , 3 ]3 2 2

I=

(x + 2 xyR

+ y dA =

2

) (x + 2 xy0 2

+ y dydx =

)

2

1

3 3 2 xy y xy + dx + 3 3 0

3

I=

2

1

3 3 3 3 x 3 + 2 x (3) + (3) - x 0 + 2 x (0 ) + (0 ) dx = 3 3 3 3

(3x + 18x + 9 - 0)dx2 1

2 2 21x 2 = 21 (2 ) + 9 2 - 21 (1) + 9 (1) I = (21x + 9 )dx = + 9x 2 2 2 1 1 21 21 102 - 21 81 I = 42 + 18 - 9 = 51 = = 2 2 2 2 2

Ex.-34

Calcule

x - 2 dA 2 R y

e

R = [ 0 , 3 ] [ 1, 4 ]

Resp.

-

117 8 x y + dA x R y 2 x+3 y

Ex.-35

Calcule

e

R = [1, 2 ] [1, 3 ]

Ex.-36

Calcule

(e )dAR

e

R = [0 ,1 ] [ 0 , 4 ]

Resp.

e14 - e 2 - e12 + 1 6

(e ou

12

- 1 e2 - 1 6 = x + 2y

)(

)e

Ex.-37

Calcule

fR 3 0

( x, y )1

dA , onde f

( x, y )

R

o retngulo definido por

1 x 4

e

1 y 2.

Ex.-38

Calcule

(1 + 8xy)dydx1



40


3 0

2

(1 + 8 xy ) dydx =

1 2

3 0 3 0 2

2 (1 + 8 xy ) dy dx = 1 2

3

0

2 y y + 8x dx = 2 1 3 2

2

[y + 4 xy ] dx3 2 2 1 0 3 0

3 0

(1 + 8 xy ) dydx =

1 2

((2) + 4 x (2) - ((1) + 4 x (1) ))dx = (2 + 16 x - 1 - 4 x)dx = ((12 x + 1))dx0 3 3 2 x 2 2 + x = 6 x + x = 6 (3) + (3) - 6 (0 ) + (0 ) = 54 + 3 - 0 = 57 0 2 0

3 0 3 0

(1 + 8 xy ) dydx = 12

(

)

1 2

(1 + 8xy)dydx = 571

ExerccioDetermine o valor da integral E-172.

(x + y + 2)dA e R = [ 0 ,1 ] [1, 3 ]R

E-173.

(x + y + 2)dA e R = [ 0 , 2 ] [1, 5 ]R

E-174.

(xR R

2

+ y 3 - 6 dA

)

e

R = [ 0 , 1 ] [ 1, 3 ]

E-175.

( xy )dA e R = [ - 1, 0 ] [ 0 , 2 ] (xe )dA e R = [ - 1,1 ] [ 0 , 2 ]2y R

E-176.

E-177. E-178. E-179. E-180. E-181. E-182. E-183. E-184. E-185. E-186. E-187.

R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = xy

e

R :[ 0 , 2 ] [ 0 , 2 ]e e e e e e e

R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = xy 2 f ( x y ) dA , f ( x , y ) = xy 2 f ( x y ) dA , f ( x , y ) = xy 2 f ( x y ) dA , f ( x , y ) = x 2 y

R : [ - 1, 1 ] [ 0 , 2 ] R : [ 0 , 2 ] [ - 1 ,1 ] R : [ - 1, 0 ] [ - 1 ,1 ] R :[ - 2 , 0 ] [ 0 , 2 ] R :[ 0 , 2 ] [ - 2 , 0 ] R :[ - 2 , 0 ] [ - 2 , 0 ] R : [ 1, 3 ] [ 0 , 2 ]e e e

R

R

R

R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = x 2 y 2 f ( x y ) dA , f ( x , y ) = x 2 y 2 f ( x y ) dA , f ( x , y ) = x 2 y 2

R

R

R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = x 2 - y 2 f ( x y ) dA , f ( x , y ) = x 2 - y 2 f ( x y ) dA , f ( x , y ) = x 2 - y 2

R : [ 0 , 2 ] [ 1, 3 ] R : [ 1, 3 ] [ 1 , 3 ] R :[ 0 , 2 ] [ 2 , 4 ]

R

R



41


E-188.

R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = f ( x y ) dA , f ( x , y ) = f ( x y ) dA , f ( x , y )

x y 1 xy

e

R : [ 1, 3 ] [ 1 , 3 ] R : [ 1, 3 ] [ 1 , 3 ] R : [ 1, 3 ] [ 1 , 3 ] R : [ 1, 3 ] [ 1 , 3 ] R : [ 1, 3 ] [ 1 , 3 ]

E-189.

e

R

E-190.

R

x2 = y x y2 x2 y2 x y 1 xy x2 y x y2 x2 y2 x y

e

E-191.

R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = f ( x y ) dA , f ( x , y ) = f ( x y ) dA , f ( x , y ) = f ( x y ) dA , f ( x , y ) = f ( x y ) dA , f ( x , y ) = f ( x y ) dA , f ( x , y ) = f ( x y ) dA , f ( x , y ) = f ( x y ) dA , f ( x , y ) =

e

E-192.

e

R

E-193.

e

R

R : [ 1 , 2 ] [ 1 , 3 ] R : [ 1, 2 ] [ 1 , 3 ] R : [ 1, 2 ] [ 1 , 3 ] R : [ 1, 2 ] [ 1 , 3 ] R : [ 1, 2 ] [ 1 , 3 ]

E-194.

e

R

E-195.

e

R

E-196.

e

R

E-197.

e

R

E-198.

e

R

R : [ 1, 3 ] [ 1 , 2 ]

RespostaR - 172 R - 173

9 48



42


R - 174

(xR

2

+ y 3 - 6 dA

)

e

R = [ 0 , 1 ] [ 1, 3 ]

I=

(x3 1 1 0

2

+ y - 6 dxdy =

3

)

3

1

x3 3 + xy - 6 x dy 3 0

1

I=

3

1

13 3 + 1 y 3 - 6 1 - 0 + 0 y 3 - 6 0 dy = 3 3 y 17 y 3 17 y dy = 3 4 3 4 3

3 + y3 1

1

3

- 6 - 0 dy

I= I=

3

=1

(3)44

-

1

4 17 (3) (1) 17 (1) 81 51 1 17 - 4 - 3 = 4 - 3 - 4 + 3 3

80 34 34 60 - 34 26 = 20 = = 4 3 3 3 3 26 I= ou I = 8,67 3R - 175 R - 176 R - 177 R - 178 R - 179

-10

40

4 ou 1,33 3 1 ou - 0,33 3 16 3 f ( x y ) dA , f ( x , y ) = x 2 y 2e

R - 180

R - 181

I=

R - 182

R

R :[ 0 , 2 ] [ - 2 , 0 ]



43


I=

( )0 2 2 2 -2 0

x3 2 x y dxdy = y dy = 3 -2 0

2

0

(2 )3 2 (0 )3 2 y - 3 y dy 3 -2 0 3 0

8 2 I = y - 0 dy = -2 3

0

8 y 8 2 y dy = 3 3 -2 3 0

-2

8 3 = y 9

0

-2

8 8 64 3 3 (0 ) - (- 2 ) = 0 + 9 9 9 64 I= 9 I=R - 183

I= I=

64 9 208 9

R - 184 R - 185 R - 186 R - 187 R - 188 R - 189 R - 190

I = -12I =0 I = -32

I = 4 ln (3) I = ln 2 (3) I= I= I= I= 26 ln (3) 2 8 3 52 9 3 ln (3) 2

R - 191

R - 192

R - 193 R - 194 R - 195 R - 196 R - 197 R - 198

I=

14 9

ou

I = 1,56 .

Calculando uma Integral Dupla numa Regio Qualquer do PlanoA resoluo pode se dar em duas ordens de integrao.

Varivel no eixo x



44


f ( x, y )dA = f ( x, y )dydxR a g1 ( x )

b g2 ( x)

Exemplo

Ex.-39

Calcule

f ( x, y)dA ,R

dado que

f( x, y ) = x 2 + y 2

e

R

a regio limitada pelos grficos de

g1 ( x ) = x

e

g 2 ( x ) = 2 x , para 0 x 2 .

Ex.-40

Calcule

f ( x, y)dA , dado queR

f ( x , y ) = xe y

e

R

a regio limitada pelos grficos de

y( x ) = x 2

e

y( x ) = x .

Resp.

I=

3-e 2

ou

I = 0,14

Ex.-41

Determine o valor da integral Resp:

(xy + 3)dA , onde R a regio limitada porR

y( x ) = x 3

e

y( x ) = 4x .

I = 56 .

Exerccios

E-199.

(xR

2

+ 4 y - 2 dA ,

)

onde

R

est limitada pelas funes

f

(x)

= x +1

2

e

f

(x)

= x -1

e pelas retas

x =1

e

x = 3.



45


E-200.

(2 x - 3 y + 5) dAR

, onde

R

est limitada pelas funes

f

(x)

= -x - 2

e

f

(x)

= 2 x + 1 e pelas retas x = -1

e E-201.

x = 2.R

E-202.

E-203.

E-204.

E-205.

E-206.

E-207.

E-208.

E-209.

E-210.

E-211.

E-212.

E-213.

E-214.

f f f f f f f f f f f f f fR R R R R R R R R R R R R

( x, y )

dA , f

( x, y )

= x+ y

e

R : y = x 2 e y = 3x .e

( x, y )

dA , f ( x , y ) = - x + y dA , f ( x , y ) = x - ye

R : y = x 2 e y = 3x

( x, y )

R : y = x 2 e y = 3xe

( x, y )

dA , f ( x , y ) = - x - y dA , f ( x , y ) = 2 x + y dA , f ( x , y ) = x + 2 y

R : y = x 2 e y = 3x R : y = x 2 e y = 3x R : y = x 2 e y = 3xe

( x, y )

e

( x, y )

e

( x, y )

dA , f ( x , y ) = 2 x + 2 y dA , f ( x , y ) = -2 x + y dA , f ( x , y ) = x - 2 y

R : y = x 2 e y = 3x R : y = x 2 e y = 3x R : y = x 2 e y = 3x R : y = x 2 e y = 3x R : y = x 2 e y = 3x

( x, y )

e

( x, y )

e

( x, y )

dA , f ( x , y ) = -2 x - y dA , f ( x , y ) = - x - 2 y dA , f ( x , y ) = x + ye

e

( x, y )

e

( x, y )

R : y = x3 e y = 9x R: f =x e f3 3

(xy)

dA , f ( x , y ) = - x + ye

e

(x )

(x )

= 9x .

(xy)

dA , f ( x , y ) = x - y

R: fe e e e e

(x )

=x e f

(x )

= 9x .

E-215. E-216. E-217. E-218. E-219.

R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = - x - y f ( x y ) dA , f ( x , y ) = 2 x + y f ( x y ) dA , f ( x , y ) = x + 2 y

R : y = x3 e y = 9x R : y = x3 e y = 9x R : y = x3 e y = 9x R : y = x4 e y = x R : y = x4 e y = x

R

R

R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = 2 x + 2 y f ( x y ) dA , f ( x , y ) = -2 x + y

R



46


E-220. E-221. E-222. E-223. E-224. E-225. E-226. E-227.

R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = x - 2 y

e

R : y = x4 e y = xe e e

R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = -2 x - y f ( x y ) dA , f ( x , y ) = - x - 2 y f ( x y ) dA , f ( x , y ) = - x - 2 y f ( x y ) dA , f ( x , y ) = 2 x + y f ( x y ) dA , f ( x , y ) = x + ye e

R : y = x4 e y = x R : y = x4 e y = 2x R : y = x4 e y = 2x3

R

R

R

R : y = x4 e y = 2x3

R

R : y = x4 e y = 2x3e

R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = 2 x + y f ( x y ) dA , f ( x , y ) = x + y,e e

R : y = x4 e y = 4x2 .

R

R : y = x4 e y = 4x2

E-228.

(2 x - 3 y + 1) dAR

R : f( x ) = x3 e f( x ) = 9x

Resposta

R - 199

I= I=

2378 15 189 2

ou

I = 158,53 .

R - 200 R - 201 R - 202 R - 203

ou

I = 94,5 .

I =-

189 20

ou

I = -9,45 .

R - 204 R - 205



47


R - 206 R - 207 R - 208 R - 209 R - 210 R - 211

R - 212

fR

( x, y )

dA , f ( x , y ) = x + y

e

R : y = x3 e y = 9x

f

1( x ) 3 3

= f

2( x )

x = 9x x - 9x = 0 x x -9 = 0 x = 0 e x -9 = 0 x=3 x = -32

(

2

)

(x + y )d = (x + y )d + (x + y )d I = (x + y )d I = (x + y )dydx y dx = x (x ) + (x ) - x (9 x ) + (9 x ) dx I = xy + 2 2 2 I=R A R1 A R2 A 1 R1 A 0 x3

1

-3 0

9x

2

x

3

0

3 2

3

2

1

-3

9x

-3

2 4 x6 2 81x x + I = - 9x 1 2 2 -3

0

dx =

2 x6 4 99 x +x 2 -3 2 0

5 3 7 dx = x + x - 99 x 27 5 23 -3

0

x 7 x 5 33 x 3 I = + 14 1 5 2

7 5 3 7 5 3 = (0) + (0 ) - 33 (0 ) - (- 3) + (- 3) - 33 (- 3) 14 14 5 2 5 2 -3

0

- 2187 - 243 891 2187 243 891 10.935 + 3.402 - 31.185 I = 0- + + + = = 1 5 2 14 5 2 70 14 - 16.848 8.424 I = =1 70 35



48


I =2

I2

(x + y )d = (x + y )dydxR2 A 3 9x3

0

x

I =2

3

0

2 xy + y dx = 2 3 x

9x

3

0

2 (9 x )2 - x x 3 + x 3 x (9 x ) + 2 2

( ) ( ) dx dx

I =2

3

0

6 2 81x 2 4 x 9x + dx = -x 2 2 3

3

0

2 x6 4 99 x -x + 2 2

7 5 3 7 5 3 - x - x + 99 x = - x - x + 33 x I = 27 2 5 23 5 2 0 14

0

3

I =2

(3)714

-

(3)55

+

2187 243 14 5 2187 243 I =2 14 5 8.424 I = 2 35 I =2

3 7 (0)5 - 33 (0)3 33 (3) (0 ) - + 14 2 5 2 891 + -0 2 891 - 10.935 - 3.402 + 31.185 16848 + = = 2 70 70

I =I +I1 2

I =I =0

8.424 8.424 + 35 35

R - 213

fR

(xy)

dA , f ( x , y ) = - x + y

e

R: f

(x )

=x e f

3

(x )

= 9x .


CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - III = f

49


f

1( x ) 3 3

2( x )

x = 9x x - 9x = 0 x x -9 = 0 x = 0 e x -9 = 0 x=3 x = -32

(

2

)

(- x + y )d = (- x + y )d + (- x + y )d I = (- x + y )d I = (- x + y )dydx y dx = - x (x ) + (x ) - - x (9 x ) + (9 x ) I = - xy + 2 2 2I=R A R1 A R2 A 1 R1 A 0 x3

1

-3 0

9x

2

x

3

0

3 2

3

2

1

-3

9x

-3

dx 0

2 4 x6 2 81x I = - x + + 9x 1 2 2 -3

0

dx =

2 x6 4 63 x -x 2 -3 2 0

5 3 7 dx = x - x - 63 x 27 5 23 -3

x 7 x 5 21x 3 I = 14 1 5 2

7 5 3 7 5 3 = (0) - (0 ) - 21 (0 ) - (- 3) - (- 3) - 21 (- 3) 14 14 5 2 5 2 -3

0

10.935 - 3.402 + - 2187 - 243 2187 243 I = 0- + = + = 1 5 2 14 5 2 70 14 I =1

70

=-

35



50


I =2

I2

(- x + y )d = (- x + y )dydxR2 A 3 9x3

0

x

I =2

3

0

2 - xy + y dx = 2 3 x

9x

3

0

2 (9 x )2 - - x x 3 + x 3 - x (9 x ) + 2 2

( ) ( ) dx dx

I =2

3

0

2 6 - 9 x 2 + 81x + x 4 - x dx = 2 2 3

3

0

2 x6 4 63 x +x + 2 2

7 5 3 7 5 3 - x + x + 63 x = - x + x + 21x I = 27 2 5 23 5 2 0 14

0

3

3 7 (0)5 - 21 (0 )3 21 (3) (0 ) I + - + 2 14 5 2 5 2 14 2187 243 I =+ + -0 2 14 5 2 2187 243 - 10.935 + 3.402 + I =+ + = = 2 14 5 2 70 70

(3)7 =-

(3)5 +

I =2

35

I =I +I1 2

I =I =0

35

+

35

R - 214

f3 3

f

R

(xy)

dA , f2( x )

( x, y )

= x + 2y

e

R : y = x e y = 9x

3

1( x )

= f

x = 9x x - 9x = 0 x x -9 = 0 x = 0 e x -9 = 0 x=3 x = -32

(

2

)



51


(x + 2 y )d = (x + 2 y )d + (x + 2 y )d I = (x + 2 y )d I = (x + 2 y )dydx 2y I = xy + 2 dx = (xy + y ) dxI=R A R1 A R2 1 R1 A 0 x3

A

1

-3 0

9x

2

x

3

0

2

x

3

1

-3 0

I =1

x x 3 + x 3 2 - x (9 x ) + (9 x )2 -3 0 4 6 2 2

( )( ) (0

9x

-3

9x

)dx 4 2

x 7 x 5 90 x 3 I = x + x - 9 x - 81x dx = x + x - 90 x dx = + 7 1 5 3 -3 -3 0 6

(

) (

)

-3

0

x7 x5 3 I = + - 30 x 7 1 5 -3 (- 3)7 (- 3)5 3 I = - 30 (0 ) - + - 30 (- 3) 7 1 7 5 5 10.935 + 1.701 - 28.350 - 2187 - 243 2187 243 I = 0- + + 810 = + - 810 = 1 5 7 5 35 7 - 15.714 15.714 I = =1 35 353

(0)7

(0 )5 +



52


I =2

I2

(x + 2 y )d = (x + 2 y )dydxR2 A 3 9x3

0

x

I =2

3

0 3

2 xy + 2 y dx = 2 3 x

9x

(xy + y )3 2 0 6 3

9x x3

dx

I =2

I2

= (9 x 0 3 0

3 3 2 2 x (9 x ) + (9 x ) - x x + x dx 2

+ 81x - x

2

4

( )( ) - x )dx = (90 x 0 3 3

2

- x - x dx3

6

4

)

x 7 x 5 90 x 3 I = + 7 2 5 3 I2

7 5 = - x - x + 30 x 3 5 0 7 0

(3)7 =2

I I2

I2

(0 )7 (0 )5 3 + 30 (3) - + 30 (0 ) 7 5 7 5 2187 243 =+ 810 - 0 7 5 2187 243 - 10.935 - 1.701 + 28.350 15.714 =+ 810 = = 7 5 35 35 15.714 = 35

(3)5 -

I =I +I1 2

I =I =0R - 215 R - 216 R - 217 R - 218

15714 15714 + 35 35

R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = 2 x + 2 y 5 9

e

R : y = x4 e y = x

I=R - 219 R - 220 R - 221 R - 222

R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = x + y

e

R : y = x4 e y = 2x3



53


x = 2x4 3

4

3

x - 2x = 0 x (x - 2) = 0 x = 0 ou x = 2 I=3

3

2 0

2x4

3

x

(x + y )dydx =

2

0

I=

2

0

3 3 2x x 2x + 2

( ) ( )

2 xy + y dy 2 4 x

2x

2

4 2 x x4 + x dx = 2

( ) ( )

2

0

4 4x 6 5 x8 2x + dx -x + 2 2 2

I=

2

0

8 5 7 6 9 4 2 x + 4 x 6 - x 5 - x dx = 2 x + 2 x - x - x 2 5 7 6 18 5 7 6 9 5

0 7

(2) - (2) - 2 (0) + 2 (0 ) - (0)6 - (0)9 2 (2 ) 2 (2 ) I= + 5 7 6 18 5 7 6 18 64 256 64 512 64 256 32 256 4 032 + 11520 - 3 360 - 8 960 I= + -0= + = 5 7 6 18 5 7 3 9 315 3 232 I= ou I = 10,26 315R - 223 R - 224 R - 225 R - 226

R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = 2 x + y 2048 45ou

e

R : y = x4 e y = 4x2 .

I=R - 227

I = 45,51 . = x+ ye

R

f ( x y ) dA , f 2048 45ou

( x, y )

R : y = x4 e y = 4x2 .

I=R - 228

I = 45,51 .


CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - III = f

54


f

1( x ) 3 3

2( x )

x = 9x x - 9x = 0 x x -9 = 0 x = 0 e x -9 = 0 x=3 x = -32

(

2

)

Varivel no eixo y

R

f ( x, y )dA =

d h2 ( y )

f ( x, y )dxdy a regio limitada por

c h1 ( y )

Exemplo Ex.-42 Determine o valor da integral

(2 x - y + 3)dAR

onde

R

x - 2y + 3 = 0 ,

x - y +5 = 0, y =1Resp.:

e

y = 5.

I=

92 3

ou

I = 30,67 .onde

Ex.-43

Calcule o valor de

(x + 2 y - 1)dAR

R

a regio limitada por

x+ y -3= 0

2

e

x - 2y = 0.

Resp.:

I =-

544 15

ou

I = -36,27 .

Ex.-44

Determine o valor da integral

(x + yR

2

+ 1 dA

)

onde

R

a regio limitada pelas curvas

x( y ) = y 2 + 1

e

x( y ) =Resp.

y

, e pelas retas

y =1

e

y = 4.

I=

138.473 420

ou

I = 329,70 .



55


Ex.-45

Determine o valor da integral pelas retas Resp.

(xy )dA onde R2 R

a regio limitada pelas curvas

x( y ) = y 2 + 1

e

x( y ) =

1 y

,e

y =1

e

y = 3.ou

I=

21.827 105

I = 207,88 .

Exerccios

E-229. Determine o valor da integral

(x + y + 1)dAR

onde

R


x + y - 5 = 0 , x + 2y - 4 = 0 ,

y =1

e

y = 3. I= 80 3ou

Resp.:

I = 26,67 . a regio limitada por

E-230. Resolva a integral

(x + 2)dA onde RR

x- y =0

3

e

x - y - 6y = 0 .

2

Resp.:

I=

18.448 105R

ou

I = 175,70 .onde

E-231. Resolva a integral

( y + 2)dAou

R


x - y + 2y = 0

3

2

e

x - 2y + 4y = 0 .

2

Resp.:

I=

56 15

I = 3,73 . = x+ ye

E-232.

fR

( x, y )

dA , f

( x, y )

R : y = x 2 e y = 3x .



56


E-233.

E-234.

E-235.

E-236.

E-237.

E-238.

E-239.

E-240.

E-241.

E-242.

f f f f f f f f f fR R R R R R R R R R

( x, y )

dA , f

( x, y )

= x+ y

e

R : y = x 2 e y = 3x .e

( x, y )

dA , f ( x , y ) = - x + y dA , f ( x , y ) = x - ye

R : y = x 2 e y = 3x

( x, y )

R : y = x 2 e y = 3xe

( x, y )

dA , f ( x , y ) = - x - y dA , f ( x , y ) = 2 x + y dA , f ( x , y ) = x + 2 y

R : y = x 2 e y = 3x R : y = x 2 e y = 3x R : y = x 2 e y = 3xe

( x, y )

e

( x, y )

e

( x, y )

dA , f ( x , y ) = 2 x + 2 y dA , f ( x , y ) = -2 x + y dA , f ( x , y ) = x - 2 y

R : y = x 2 e y = 3x R : y = x 2 e y = 3x R : y = x 2 e y = 3x R : y = x 2 e y = 3x

( x, y )

e

( x, y )

e

( x, y )

dA , f ( x , y ) = -2 x - y

e



57


E-243.

E-244.

E-245.

E-246.

f f ffR R R R

( x, y )

dA , f ( x , y ) = - x - 2 y dA , f ( x , y ) = x + ye

e

R : y = x 2 e y = 3x

( x, y )

R : y = x3 e y = 9x R: f =x e f3 3

(xy)

dA , f ( x , y ) = - x + ye

e

(x )

(x )

= 9x .

(xy)

dA , f ( x , y ) = x - y

R: fe e e e e

(x )

=x e f

(x )

= 9x .

E-247. E-248. E-249. E-250. E-251. E-252. E-253. E-254. E-255. E-256. E-257. E-258. E-259.

R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = - x - y f ( x y ) dA , f ( x , y ) = 2 x + y f ( x y ) dA , f ( x , y ) = x + 2 y

R : y = x3 e y = 9x R : y = x3 e y = 9x R : y = x3 e y = 9x R : y = x4 e y = x R : y = x4 e y = x

R

R

R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = 2 x + 2 y f ( x y ) dA , f ( x , y ) = -2 x + y f ( x y ) dA , f ( x , y ) = x - 2 ye

R

R

R : y = x4 e y = xe e e

R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = -2 x - y f ( x y ) dA , f ( x , y ) = - x - 2 y f ( x y ) dA , f ( x , y ) = - x - 2 y f ( x y ) dA , f ( x , y ) = 2 x + y f ( x y ) dA , f ( x , y ) = x + ye e

R : y = x4 e y = x R : y = x4 e y = 2x R : y = x4 e y = 2x3

R

R

R

R : y = x4 e y = 2x3

R

R : y = x4 e y = 2x3e

R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = 2 x + y f ( x y ) dA , f ( x , y ) = x + y,e e

R : y = x4 e y = 4x2 .

R

R : y = x4 e y = 4x2

E-260.

(2 x - 3 y + 1) dAR

R : f( x ) = x3 e f( x ) = 9x

Resposta

R - 229

I= I=

2378 15 189 2

ou

I = 158,53 .

R - 230 R - 231 R - 232

ou

I = 94,5 .



58


R - 233

I =-

189 20

ou

I = -9,45 .

R - 234 R - 235 R - 236 R - 237 R - 238 R - 239 R - 240 R - 241

R - 242

fR

( x, y )

dA , f ( x , y ) = x + y

e

R : y = x3 e y = 9x



59


I=

(x + y )d = (x + y )d + R A R1 A

(x + y )d

R2

A

I =0R - 243

f

R

(xy)

dA , f ( x , y ) = - x + y

e

R: f

(x )

=x e f

3

(x )

= 9x .

I=

(- x + y )d = (- x + y )d + R A R1 A

(- x + y )d

R2

A

I =0

R - 244

fR

(xy)

dA , f

( x, y )

= x + 2y

e

R : y = x e y = 9x

3


CLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - IIII =0R - 245 R - 246 R - 247 R - 248

60


R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = 2 x + 2 y 5 9

e

R : y = x4 e y = x

I=R - 249 R - 250 R - 251 R - 252

R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = x + y 3 232 ou I = 10,26 315

e

R : y = x4 e y = 2x3

I=R - 253 R - 254 R - 255 R - 256

R

f ( x y ) dA , f ( x , y ) = 2 x + y 2048 45ou

e

R : y = x4 e y = 4x2 .

I=R - 257

I = 45,51 . = x+ ye

R

f ( x y ) dA , f 2048 45ou

( x, y )

R : y = x4 e y = 4x2 .

I=R - 258

I = 45,51 .

R - 259 R - 260



61


INTEGRAIS DUPLAS APLICAES1 Momento de inrcia de uma figura planaChama-se momento de inrcia desta massa

I

de um ponto material

M

de massa

m

em relao a um ponto2

O

ao produto

m

pelo quadrado da distncia

d

do ponto

M

ao ponto

O . Veja a equao I = mdO

.

O momento de inrcia da regio

R , em relao origem do sistema de coordenadas, I = =yy

(xR

2

+ y dA .

2

)

As integrais

Ixx

=ex

R

y dA.

2

e

I

R

x dA

2

chamam-se, respectivamente, momentos de inrcia da regio

R

em relao aos eixos

O

Oy

2 Coordenadas do centro de gravidade de uma figura planaSe densidade superficial de uma regio varivel e pode modelada pela funo

d

( x, y )

. Ento, as expresses

M =x

ydR

(x, y )

dA

e

M =y

xdR

(x, y )

dA

so denominadas momentos estticos da figura plana

R

em relao aos eixos

Ox

e

Oy

. A massa da regio

R

calculada por

m=

dR

(x, y )

dA

As coordenadas do centro de gravidade da regio

R

so determinadas por:

x =C

My

m

e

y =C

Mx

m

, ou xC

xd = dR R

( x, y )

dAe

yC

( x, y )

dA

yd = dR R

(x, y )

dA.

(x, y )

dA

Nos exemplos e exerccios abaixo vamos considerar a densidade superficial igual a um, ou seja,

d

(x, y )

= 1.

ExemplosDetermine o momento de inrcia em relao os eixos e o centro de gravidade de cada figura:

Ex.-46

-2 x2

e

-3 y 3



62


a = -2 b=2Figura 1

f = -3 f =3s i

1 Clculo do momento de inrcia em relao ao eixo

x

Ixx

=

y dA2 R

Ixx

= =xx xx

2 -2 2 -2

y3 dx = y dydx = -3 -2 3 -33 2

3

2

2

(3)3 (- 3)3 - 3 3 -2 2 2 -2

dx =

27 - 27 - dx -2 3 3 2

I I

(9 - (- 9))dx = (9 + 9)dx = 18dx = 18x2 -2 -2

= 18 (2 ) - (18 (- 2 )) = 36 - (- 36 )

= 36 + 36 = 72 y


Iyy

= =yy

R 2 -2 2

x dA3

2

I Iyy

= (3 x -2

x dydx =2 2

2

-3

(x y )2 2 -2 2 -2

3 -3

dx =

(x2 -2

2

(3) - x (- 3) dx =2

(

)) (3x - (- 3x ))dx2 2 2 -2 3

+ 3 x dx =

) 6 x dx = 6 x32

3 2

= 2 x-2

3

2 -2

= 2 (2 ) - 2 (- 2 ) = 2 8 - (2 (- 8))3

(

)

Iyy

= 16 - (- 16 ) = 16 + 16 = 32

3 Clculo do centro de massa 3.1 Clculo da massa

m= m=

dR

( x, y )

dA

d3

(x, y )

=1

R

dA =

2 -2

dydx =

-3

2

-2

( y ) 3 3 dx = ((3) - ((- 3)))dx = (3 + 3)dx = 6dx = 6 x 2 2 2 2 2 -2 -2 -2

m = 6 (2 ) - (6 (- 2 )) = 12 - (- 12 ) = 12 + 12 = 24 m = 243. 2 Clculo do momento de massa em relao ao eixo

x



63


M =x

ydR

( x, y )

dA

d3

(x, y )

=13 2

M =x

R

ydA =

2 -2

y2 dx = ydydx = -3 -2 2 -3

(3)2 (- 3)2 - 2 2 -2 2

dx =

2 - 2 dx2 -2

9

9

2 9 9 - dx = 0dx = 0 x 2 -2 2 -2 M =0

M =x

2

3. 3 Clculo do momento de massa em relao ao eixo

y

M =y

xdR

(x, y )

dA

d3

( x, y )

=12

M =y

R

xdA =

2 -2

xdydx =

-3

-2

(xy ) 3 3 dx = (x (3) - (x (- 3)))dx = (3x - (- 3x ))dx 2 2 -2 -2 2 2

x M = (3 x + 3 x )dx = 6 xdx = 6 y 2 -2 -2 M =0y

2

2

= 3x-2

2

2 -2

= 3 (2 ) - 3 (- 2 ) = 3 4 - (3 4 ) = 12 - 122 2

(

)

3. 4 Localizao do centro de massa

x =C

My

m Mx

= =

0 =0 24 0 = 0, 24

y =C

m

C = ( 0,0 )Ex.-47

0 x4

e

0 y6

a=0 b=4Figura 2

f =0 f =6s i


x



64


Ixx

=

R 4 0 4

y dA6 4

2

Ixx

= =xx xx

y dydx = 2 0 4 0 0

0

y3 dx = 3 0

6

4

0

(6 )3 (0 )3 - 3 dx = 3

4 0

216 0 - dx 3 3

I I

4 (72 - 0)dx = 72dx = 72 x 0 = 72 (4) - (72 (0)) = 288 - (0) = 288

= 288 y


Iyy

=

R 4 0

x dA6 4 6 0 4 4

2

Iyy

=

x dydx = (x y ) dx = (x (6) - (x (0)))dx = (6 x2 2 2 2 0 0 0 0 3 4 0

2

- (0 ) dx =

)

4

0

x 6 x dx = 6 32

3 4

=0

Iyy

= 2 x = 128yy

= 2 (4 ) - 2 (0) = 2 64 - (2 0 ) = 128 - 0 = 1283 3

(

)

I


m= m=

dR

( x, y )

dA

d6

( x, y )

=14 ( y ) 6 dx = ((6) - ((0)))dx = (6 - 0)dx = 6dx = 6 x 0 0 4 4 4 0 0 0

R

dA =

4 0

dydx =

0

4

0

m = 6 (4 ) - (6 (0 )) = 24 - 0 = 24 m = 243. 2 Clculo do momento de massa em relao ao eixo

x

M =x

ydR

(x, y )

dA

d6

(x, y )

=14

M =x

R 4 0

ydA =

4 0

ydydx =4

0

0

y2 dx = 2 0

6

4

0

(6 )2 (0 )2 - 2 dx = 2

4

0

36 0 2 - 2 dx

M =x x

4 (18 - 0)dx = 18dx = 18 x 0 = 18 (4) - 18 (0) = 72 - 0 = 72 0

M = 723. 3 Clculo do momento de massa em relao ao eixo

y



65


M =y

xdR

(x, y )

dA

d6

(x, y )

=14

M =y

R

xdA =

4 0

xdydx =4 0

0

0

(xy ) 6 dx = (x (6) - (x (0)))dx = (6 x - (0))dx 04 4 0 0 2

x M = 6 xdx = 6 y 2 0 M = 48y

4

2 4

= 3x0

2

= 3 (4 ) - 3 (0 ) = 3 16 - (3 0 ) = 48 - 0 = 482

(

)


x =C

My

m Mx

= =

48 =2 24 72 = 3, 24

y =C

m

C = ( 2,3 )Ex.-48

2 x5

e

1 y 7

Figura 3 1 Clculo do momento de inrcia em relao ao eixo

x

Ixx

=

R 5 2

y dA7

2

Ixx

= =xx xx

5

y dydx =

2

1

5

2

y3 dx = 3 1

7

5

2

(7 )3 (1)3 - 3 dx = 3

5

2

343 1 3 - 3 dx

I I

343 1 - dx = 3 2 3 = 342

5

2

5 342 dx = 114dx = 114 x 2 = 114 (5) - (114 (2 )) = 570 - 228 = 342 2 3

5


y



66


Iyy

=

R 5 2

x dA7 5 7 5 5

2

Iyy

=

x dydx = (x y ) dx = (x (7) - (x (1)))dx = (7 x2 2 2 2 1 2 1 2 2 3 5 2 3

2

- x dx =

2

)

5

2

x 6 x dx = 6 32

3 5

Iyy

= 2 x = 234yy

= 2 (5) - 2 (2 ) = 2 125 - (2 8) = 250 - 16 = 2343

(

)

2

I


m= m=

dR

(x, y )

dA

d7

( x, y )

=1

R

dA =

5 2

dydx =

1

5

2

( y ) 17 dx = ((7 ) - ((1)))dx = (7 - 1)dx = 6dx = 6 x 5 25 5 5 2 2 2

m = 6 (5) - (6 (2 )) = 30 - 12 = 18 m = 183. 2 Clculo do momento de massa em relao ao eixo

x

M =x

ydR R

( x, y )

dA5 7

d

(x, y )

=15

M =x

ydA = ydydx = 2 1

2

y2 dx = 2 15

7

5

2

(7 )2 (1)2 - 2 dx = 2

5

2

49 1 2 - 2 dx =

2 - 2 dx5 2

49

1

M =x x

5

2

48 dx = 2

5

2

24dx = 24 x 2 = 24 (5) - 24 (2 ) = 120 - 28 = 72

M = 723. 3 Clculo do momento de massa em relao ao eixo

y

M =y

xdR

(x, y )

dA

d7

( x, y )

=15

M =y

R

xdA =

5 2

xdydx =5

1

2

(xy )17 dx = (x (7 ) - (x (1)))dx = (7 x - (x ))dx5 5 2 2 2 5

x M = (7 x - x )dx = 6 xdx = 6 y 2 2 2 M = 63y

5

= 3x2

2 5 2

= 3 (5) - 3 (2 ) = 3 25 - (3 4 ) = 75 - 12 = 632 2

(

)


x =C

My

m

=

63 7 = 18 2



67


y =C

Mx

m

=

72 = 4, 18

7 C = ,4 2 x +y 42 2

Ex.-49

e

y0

a = -2Extremos dos intervalos de integrao

f =- 4-xi

2

b=2

f = 4- xs

2

Figura 4 I) Clculo do momento de inrcia em relao ao eixo

x

Ixx

=

R 2 -2

y dA 4 - x2 2 dx = 3 -2

2

Ixx

=

2

4- x

2

0

y3 2 y dydx = -2 3 0

2

4- x

1 2 2

(

)

1 2

3 - (0 ) dx = 3 3

4 - x2 3 -2 2

(

)

3 2

0 - dx 3

Ixx

4 - x2 = 3 -2 1 = 3

(

)

3 2

1 - 0 dx = 3

(2

4 - x2 -2

)

3 2

dx = 1 3

(2

4 - x2 4 - x 2 -2 -x 4-xI 2

)(

) dx1 2

Ixx

(2

4 - x2 4 - x2 -2

)( )

)

1 2

dx = 1 3

(

4 4 - x2 -2 2

(

)

1 2

(

1 2 2

) dxI

Ixx

= =xx

1 3 4 3

(

I

6444 2 444 7 8 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 4 1 2 4 4 - x 2 dx x 4 - x 2 dx = 4 - x 2 dx x 4 - x 2 dx 3 -2 3 -2 3 -2 -2 1 I - I 1 3 2

)

64 744 41 8

(

)

(

)



68


I =1

2

-2

I =1

(2)2

2 2 -1 x x 2 x 4 - x dx = 2 -x + sen = 2 2 2 -2 2 2

2

2

x 4 - x + 2 sen 2 -22 -1

2

-1 (2 ) -1 (- 2 ) (- 2 ) 2 2 4 - (2 ) + 2 sen 4 - (- 2 ) + 2 sen - 2 2 2 -1

I = 1 4 - 4 + 2 sen (1) - - 1 4 - 4 + sen1

(

-1

(- 1)) =

0 + 2

I = p - (- p ) = p + p = 2p1 1

p p - - 0 + 2 2 2

I = 2p

Obs.:

2

2 2 -1 t t a a - t dt = a -t + sen + C 2 2 a 2 2

2

2 2 I = x 4- x 2 -2 I =2

(

)

1 2

dx = x 2 x 2 - 2 2 8

(

)

(2) (2 (2 )2 - 4)8

-1 (2 ) -1 (- 2 ) (- 2 ) 2 2 2 4 - (2 ) + 2 sen - 8 2 (- 2 ) - 4 4 - (- 2 ) + 2 sen 2 2

-1 x 2 2 -1 x 2 x 2 -x + sen = 2 x - 4 4 - x + 2sen 8 2 -2 8 2 -2 2 2

4

2

(

)

2

(

)

I =2

-1 -1 1 1 (2 4 - 4 ) 4 - 4 + 2 sen (1) - - (2 4 - 4 ) 4 - 4 + 2 sen (- 1) 4 4

1 p 1 p (8 - 4 ) 0 + 2 - - (8 - 4 ) 0 + 2 - = 0 + p - (- 0 - p ) = p + p = 2p 4 2 4 2 2 I = 2p I =2

Obs.:

t

2

2 2 t a - t dt = 2t - a 8 2 2

(

)

-1 t a a -t + sen + C 8 a 2 2

4

Ixx

Ixx

4 1 4 1 8p 2p 6p I - I = 2p - 2p = I = = = 2p 1 2 xx 3 3 3 3 3 3 3 = 2p = y

II) Clculo do momento de inrcia em relao ao eixo



69


Iyy

=

R 2 -2 2

x dA4- x2

2

Iyy

Iyy

Iyy

= x x = (2 x 8=0 -2

x dydx =2 4 - x dx

2

(x y )2 2 -2 4 2

4- x 0

2

dx =

2

2 2 2 x 4 - x - x (0 ) dx = -2 2

(

)

x 2 4 - x 2 - 0 dx -2 2

2

2

-2

2

)

-1 x 2 2 -1 x 2 x 16 2 -x + sen = 2 x - 4 4 - x + sen 8 8 2 -2 8 2 -2 2 2

(

)

2

Iyy

2 2 -1 x x = 2 x - 4 4 - x + 2 sen = 8 2 -2

(

)

Iyy

= =yy

(2) (2 (2)2 - 4)8

-1 (2 ) -1 (- 2 ) (- 2 ) 2 2 2 4 - (2) + 2 sen - 8 2 (- 2 ) - 4 4 - (- 2 ) + 2 sen 2 2

(

)

I Iyy

-1 -1 1 1 (8 - 4 ) 4 - 4 + 2 sen (1) - - (8 - 4 ) 4 - 4 + 2 sen (- 1) 4 4

Iyy

1 p 1 p 4 0 + 2 - - 4 0 + 2 - = 0 + p - (- 0 - p ) = p + p = 2p 4 4 2 2 = 2p =

Obs.:

t

2

2 2 t a - t dt = 2t - a 8 2 2

(

)

-1 t a a -t + sen + C 8 a 2 2

4

III) Clculo da massa

m=

dR

( x, y )

dA

d4- x2

(x, y )

=1

m=

R

dA =

2 -2 2

dydx =

0

2

2

-2

( y ) 0 4- x2

2

dx =2

2 4 - x -2 2 2

- ((0 )) dx = 2

4 - x 2 - 0 dx = -2 2 -1 2

2

4 - x dx

2

-2

m=

2

-2

x 4 - x dx = 22 -1

-1 x 2 x 2 -x + sen = 2 2 -2 2 2

x 4 - x + 2 sen 2 -2

x m= 2

(2 ) 4 - (2)2 + 2sen -1 (2) - (- 2) 4 - (- 2 )2 + 2sen -1 (- 2) x 4 - x + 2 sen = 2 2 -2 2 2 2 -1

m = 1 4 - 4 + 2 sen (1) - - 1 4 - 4 + 2 sen m = 0 + p - (- 0 - p ) = p + p = 2p m = 2p

(

-1

(- 1)) =

p 0 + 2 2

p - - 0 + 2 - 2

Obs.:

2 2 -1 t t a a - t dt = a -t + sen + C 2 2 a 2 2

2



70


IV) Clculo do momento de massa em relao ao eixo

x

M =x

ydR R

(x, y )

dA

d

(x, y )

=14- x2

M =x

ydA = 2 -2

y ydydx = 2 0 -2 04- x2

2

2

2 2 4-x 2 2 - (0 ) dx = 2 2 -2

dx =

Calculo 3

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Transcript of Calculo 3