Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias

8/15/2019 Cálculo I Aula 01 Integrais Áreas Distâncias

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Serviço Público FederalInstituto Federal de AlagoasCampus Palmeira dos Índios

Curso Engenharia Civil

Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I

Conteúdo: Introdução – Área e Distância

Prof. Me. Alberto H R Silva


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Introdução

Historicamente, foi da necessidade de calcularáreas de figuras planas cujos contornos não sãosegmentos de reta que brotou a noção de

integral.

Arquimedes (287 –212 a.C.) – O grandeprecursor do Cálculo Integral. Obra: AQuadratura da Parábola.


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Argumentação de Antifon: Por sucessivas

duplicações do número de lados de um polígonoregular inscrito num circulo, a diferença entre aárea do círculo e a dos polígonos seria “ao fim” exaurida.

Eudóxio (método da exaustão): Se de uma grandezasubtrai-se uma parte não menor que sua metade,do restante outra parte não menor que sua metade,

e assim por diante, numa determinada etapa doprocesso chega-se a uma grandeza menor quequalquer outra da mesma espécie fixada a priori .


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Arquimedes

Foi o primeiro matemático a demonstrar que aárea de um circulo de raio é igual a área de umtriângulo de altura e base igual aocomprimento da circunferência.


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Áreas


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Consideremos o problema de calculara área da região sob o gráfico dafunção

: [, ] → , em que

() ≥ 0.

Se () fosse constante e igual a em [,], a área procurada seria aárea de um retângulo e teríamos:

( − ) ∙

Não sendo () constante, dividimoso intervalo [,] em subintervalossuficientemente pequenos para queneles () possa ser consideradaconstante com uma boa aproximação.


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Somas Importantes

• Soma dos termos de uma P.A.: +

2

• Soma dos termos de uma P.G.: ( 1 −

)1 −

• Soma dos infinitos termos de uma P.G.:

1 −


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• Soma dos primeiros quadrados naturais:

( + 1)(2 + 1)6

• Soma dos primeiros cubos naturais:

( +1)2


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Área Aproximada

≅ ∆

=

≅ ∆

=


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Exemplo 1

Faça uma estimativa da área sob o gráfico de 250 − , 0 ≤ ≤ 50 , dividindo ointervalo [0,50] em subintervalos decomprimento 10.


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Exemplo 2

Obtenha uma estimativa da área sob o gráfico

da função , ∈ [10,50] dividindo ointervalo em

4 subintervalos de comprimento

10.

Obs.: O valor correto da área procurada é 321,9.


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Área

lim→∞ ∆

=

lim→∞ ∆

=


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Exemplo 3

Calcule a área do triângulo retângulo de base[0,1] determinado pelo eixo e pelas retas

e

1.


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Exemplo 4

Calcular a área da região compreendida peloeixo , pela reta definida pela equação 1 epelo trecho da parábola determinada pela

equação .


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Distâncias


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O Problema das Distâncias

Achar a distância percorrida por um objeto duranteum certo período de tempo sendo conhecida avelocidade do objeto em todos os instantes. Se avelocidade permanece constante, então o problema

da distância é de fácil solução através da fórmula:

â × Mas se a velocidade variar, não é tão fácil encontrara distância percorrida.


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Exemplo 5

Suponha que queiramos estimar a distânciapercorrida por um carro durante um intervalo de30s. A cada 5 segundos registramos a leitura do

velocímetro na seguinte tabela:

Durante os primeiros 5s a velocidade não variamuito, logo podemos estimar a distância percorridadurante esse tempo supondo a velocidadeconstante.

t (s) 0 5 10 15 20 25 30

v(pés/s) 25 31 35 43 47 46 41


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Se tomarmos a velocidade durante aqueleintervalo de tempo como a velocidade inicial

(25pés/s), então obteremos aproximadamente adistância durante os cinco primeiros segundos:

25é

× 5 125 pés

Analogamente, durante o segundo intervalo detempo:

31és × 5 155 é Por fim, teremos:25 × 5 + 31 × 5 + 35 × 5 + 43 × 5 + 47 × 5 + 46 × 5 1.135 é


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Podemos da mesma forma usar a velocidade nofim de cada intervalo em vez de no começo.

Dessa forma teríamos 1.215 pés.Se quisermos uma estimativa mais precisa,poderemos tomar as leituras a cada 2 segundos

ou até mesmo a cada segundo.


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Bibliografia

• IEZZI, G; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar, 1: conjuntos efunções. 8.ed. São Paulo: Atual, 2004.

• IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos deMatemática Elementar, 8. Limites, Derivadas, Noções de Integral. 6.ed. 4.reimp. SãoPaulo: Atual Editora, 2005.

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IEZZI, G; DOLCE, O; TEIXEIRA, J. C; MACHADO, N. J; GOULART, M. C; CASTRO, L. R. S;MACHADO, A. S; Matemática. 2º grau. 1ª série. 4.ed. revisada. São Paulo: Atual, 1976.

• LARSON, Ron. Cálculo Aplicado: Curso Rápido. São Paulo: Cengage Learning, ?year?.

• LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol.1. 3.ed. Tradução: Cyro deCarvalho Patarra. São Paulo: Editora HARBRA Ltda, 1994.

• LIMA, E. L; CARVALHO, P. C. P; WAGNER, E; MORGADO, A. C. A Matemática do Ensino

Médio, vol.1, 9.ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006.• STEWART, James. Cálculo I. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, ?year?.

• SWORKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica, 1. São Paulo: McGraw-Hill,?year?.

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