Cap´ıtulo 21 Introdução à Integral: Cálculo deÁreas e Integrais ...

Capıtulo 21

Introducao a Integral: Calculo de Areas eIntegrais Definidas

21.1 Introducao

Os dois conceitos principais do calculo sao desenvolvidos a partir de ideias geometricas relativas a curvas. A derivadaprovem da construcao das tangentes a uma dada curva. O assunto deste e dos proximos capıtulos, a integral, temorigem no calculo de area de uma regiao curva.

Como vimos no inıcio deste livro, o problema de calcular areas ja despertava, por suas aplicacoes praticas, grandeinteresse nos gregos da Antiguidade. Apesar de varias formulas para o calculo de areas de figuras planas seremconhecidas desde esta epoca, e ate mesmo problemas do calculo de areas de regioes limitadas por segmentos de retase algumas curvas, como a parabola, terem sido estudados e resolvidos, para casos particulares, ate o seculo XVII,quando foram estabelecidos os fundamentos do Calculo Diferencial e Integral como uma teoria matematica digna decredito, nao se conhecia nenhuma formula ou metodo geral que se pudesse aplicar para resolver o problema de calcularareas de regioes limitadas por curvas quaisquer.

Nos meados do seculo XVII, varios estudiosos europeus, entre eles Fermat e Pascal, passaram a usar nos seustrabalhos o metodo da exaustao, empregado por Arquimedes no calculo de areas de segmentos parabolicos (veja oprojeto Arquimedes e a Quadratura da Parabola). Mais tarde, Newton e Leibniz mostraram como este metodo estavarelacionado com o Calculo Diferencial. Este importante resultado e denominado teorema fundamental do calculo e eum dos resultados mais importantes de toda a matematica.

Como vimos, a derivada tem aplicacoes que transcendem a sua origem geometrica. Nos proximos capıtulos, veremosque o mesmo acontece com a integral.

A fim de tornar clara a discussao sobre areas, vamos introduzir na proxima secao uma notacao matematica padraousada para abreviar somas que envolvem um numero muito grande de parcelas.

21.2 A notacao de somatorio: uma abreviacao para somas

As somas dos n primeiros termos de uma uma progressao geometrica (PG) de razao r, bem como de uma progressaoaritmetica (PA) de razao d, podem ser escritas, respectivamente como:

Sn = a+ ar + ar2 + ar3 + . . .+ ar (n−1)

Tn = a+ (a+ d) + (a+ 2 d) + . . .+ (a+ (n− 1) d)

Existe uma notacao abreviada para escrever somas desse tipo, que alem de tornar mais facil escreve-las, facilitaenormemente varias manipulacoes algebricas. Considere, por exemplo, a soma Sn = a1 + a2 + a3 +.... + an. Podemosescreve-la usando a notacao abaixo:

Sn =

n∑i=1

ai

(Le-se: somatorio de ai para i variando de 1 ate n.) Essa notacao significa que devemos substituir todos os valoresinteiros de i, de 1 ate n, na expressao envolvendo i, no caso ai, que segue o sinal de somatorio Σ e entao adicionar osresultados.

Note que a formula depois do sinal de somatorio fornece o i-esimo termo da soma; para i = 1 temos o primeiro,para i = 2 o segundo e, assim por diante. Assim, as somas acima das progressoes geometrica e aritmetica podem serreescritas como

Sn =n∑

i=1

ar (i−1) e Tn =n−1∑i=0

(a+ id)

277

278 Cap. 21. Introducao a Integral: Calculo de Areas e Integrais Definidas

Uma soma infinita de termos pode ser representada assim

a1 + a2 + a3 + . . . =∞∑i=1

Logo, a soma dos termos de uma PG infinita de razao r e assim representada

a+ ar + ar2 + ar3 + . . .+ ar (n−1) + . . . =

∞∑i=1

ar (i−1)

Exemplo 1 Considere a soma Rn = 12 + 22 + 32 + . . . + n2. Usando a notacao de somatorio, podemos escrever

Rn =n∑

i=1

i2.

Exemplo 2 Considere a soma5∑

i=2

(i2 − 1). Escrevendo por extenso essa soma, obtemos:5∑

i=2

(i2 − 1) = 22 − 1 + 32 − 1 + 42 − 1 + 52 − 1 = 22 + 32 + 42 + 52 − 4 = 50.

Exercıcios

1. Converta cada uma das somas indicadas em notacao de somatorio:

(a) 12 + 22 + 32 + . . .+ n2 + (n+ 1)2

(b) 32 + 42 + . . .+ k2(c) k2 + (k + 1)2 + (k + 2)2 + . . .+ (n− 1)2

(d) 1− 1 + 1− 1 + 1− 1 + 1− . . .

2. Escreva por extenso cada uma das somas abaixo :

(a)

5∑i=3

(bi + 2 ci) (b)

n∑i=m

i7

3. Com a expressao 0, 99999 . . . queremos representar a soma 0, 9 + 0, 09 + 0, 009 + . . .. Escreva essa soma usandoa notacao de somatorio.

4. E verdade que:

(a)n∑

i=1

kai = k (n∑

i=1

ai)? Justifique sua resposta.

(b)n∑

i=1

(hi

n)2h

n=h3

n3

n∑i=1

i2? Justifique sua resposta.

21.3 O calculo de areas como limites

Em geral, a definicao formal de conceitos intuitivos pode apresentar grandes dificuldades. Por exemplo, tivemos grandesdificuldades ao tentarmos formalizar uma definicao para o conceito, geometricamente intuitivo, de reta tangente. Aformalizacao do conceito de area apresenta dificuldades semelhantes.

Em geometria elementar, sao deduzidas formulas para areas de muitas figuras planas, mas se pararmos parapensar um pouco, chegaremos a conclusao de que uma definicao, matematicamente aceitavel de area, raramente nose fornecida.

A area de uma regiao e definida, as vezes, como o numero de quadrados de lados de comprimento um que “cabem”numa dada regiao. Desse modo, obtivemos formulas para areas de figuras planas tais como quadrados, retangulos,triangulos, trapezios, etc. Basta, no entanto que a regiao seja um pouco mais complicada para que esta definicaose mostre inadequada. Como poderıamos calcular, por exemplo, o numero de quadrados de lado 1, ou 1

2 , ou14 , que

cabem em um cırculo unitario?

Neste capıtulo, tentaremos definir areas de regioes com fronteiras curvas. A maior parte do nosso trabalho seconcentrara num caso particular desse problema geral. Mais especificamente, tentaremos achar a area de uma regiaolimitada pelo grafico de uma funcao y = f(x), pelo eixo x e entre duas retas verticais x = a e x = b, como mostra afigura para a funcao y = x2.

W.Bianchini, A.R.Santos 279

0

2

4

6

8

0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3x

O conhecimento de um metodo de resolucao deste problema particular e suficiente para tratar regioes mais com-plicadas. O calculo da area de uma regiao cuja fronteira seja uma curva pode, com frequencia, ser reduzido a esteproblema mais simples.

No Cap. 3 vimos que solucoes aproximadas deste problema podem ser obtidas dividindo-se o intervalo [0, 1] emsubintervalos e calculando-se a soma das areas de retangulos inscritos ou circunscritos a figura, como e mostrado aseguir.

0

2

4

6

8

0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3x

0

2

4

6

8

0.20.40.60.8 1 1.21.41.61.8 2 2.22.42.62.8 3x

A medida em que aumentamos o numero de subdivisoes do intervalo e, consequentemente, o numero de retangulosconsiderados, a soma das areas desses retangulos se aproxima cada vez mais da area da regiao dada. Veja esta afirmacaoilustrada na figura seguinte a esquerda, onde consideramos retangulos inscritos. Observe, tambem, a figura a direita,considerando retangulos circunscritos. (Execute na versao eletronica as animacoes correspondentes.)

2.087962964

x

2.209490741

x

2.040000000

x

2.198347107

x

1.968750000

x

2.227040816

x

2.185000000

x

2.168724280

x

1.851851852

x

2.148437500

x

2.122448981

x

2.218934911

x

2.502057613

x

2.523437500

x

2.551020409

x

2.449704142

x

2.587962964

x

2.640000000

x

2.718750000

x

2.441326531

x

2.459490741

x

2.471074380

x

2.485000000

x

2.851851852

x

No primeiro caso, a estimativa obtida para a area da regiao e menor do que o seu valor exato; no segundo, maior.Assim, podemos afirmar que o valor exato da area esta entre os dois valores obtidos usando-se as aproximacoes acima.Desta maneira, o erro cometido e menor do que a diferenca entre estes dois valores.

Vamos provar que, a medida que aumenta o numero n de retangulos considerados nestes calculos, o erro diminui,e tanto a soma das areas dos retangulos inscritos quanto a soma das areas dos retangulos circunscritos se aproximamde um mesmo valor. Definiremos, entao, a area da regiao dada como sendo igual ao valor deste limite unico.

Vamos executar passo a passo o procedimento descrito acima para entender como o metodo funciona e obter umvalor aproximado para a area da regiao limitada pela funcao f(x) = x2, pelas retas x = 1 e x = 2 e pelo eixo x.

Primeiro dividimos o intervalo [1, 2] em n partes. Assim, temos que

{1= xo < x1 < x2 < ... < xi−1 < xi < ... < xn = 2} .

Em matematica, uma divisao deste tipo e chamada de particao do intervalo [1, 2]. No nosso caso, vamos consideraruma particao ou divisao do intervalo dado em n partes iguais. Deste modo, os comprimentos dos subintervalos daforma [xi−1, xi], para 1 ≤ i ≤ n, sao iguais e a particao do intervalo e dita regular. Usaremos o sımbolo ∆x paradenotar este comprimento, isto e,

∆x = x1 − x0 = x2 − x1 = x3 − x2 = . . . = xi − xi−1 = . . . = xn − xn−1 =2− 1

n=

1

n.


A soma das areas dos retangulos inscritos, chamada soma inferior, sera dada por:

SI = f(c0)∆x+ f(c1)∆x+ . . .+ f(cn−1)∆x =

n−1∑i=0

f(ci)∆x

onde f(ci) e o menor valor da funcao f em cada subintervalo [xi−1, xi]. No exemplo que estamos estudando, estevalor ocorre em xi, extremo inferior de cada subintervalo, portanto, a soma inferior sera dada por

SI = f(x0)∆x+ f(x1)∆x+ . . .+ f(xn−1)∆x =n−1∑i=0

f(xi)∆x

A soma das areas dos retangulos circunscritos, chamada soma superior, sera obtida calculando-se:

SS = f(w1)∆x+ . . .+ f(wn)∆x =n∑

i=1

f(wi)∆x

onde f(wi) e o maior valor da funcao f no intervalo [xi−1, xi]. No nosso exemplo, este valor extremo ocorre em xi,que e o extremo superior de cada um dos subintervalos considerados. Neste caso particular, portanto, a soma superiorsera dada por

SS = f(x1)∆x+ . . .+ f(xn)∆x =n∑

i=1

f(xi)∆x

Assim,SI ≤ area da figura ≤ SS

Para obtermos estimativas para a area da figura dada, nossa tarefa se reduz agora, a calcular os valores de SI eSS. Do modo como foi definida a particao, temos que:

x1 = 1 +1

n; x2 = x1 +

1

n= 1 +

2

n; x3 = 1 +

3

n; ...; xn = 1 +

n

n= 2 .

Lembrando que neste exemplo particular, f(x) = x2, o valor da soma inferior sera dado por:

SI :=n−1∑i=0

(1 +i

n)2

n

Veja o diagrama a seguir, onde foram construıdos retangulos inscritos para n = 3, 5, 8, 11, 14, e 17, sucessivamente.Lembre-se de que o valor de n define o numero de subintervalos e, consequentemente, de retangulos determinados pelaparticao.

Raciocinando da mesma maneira, para a soma superior obtemos a seguinte expressao

SS :=

n∑i=1

(1 +i

n)2

n

que fornece o valor da soma das areas de n retangulos circunscritos a figura.Nesse ponto, vamos usar o Maple para mostrar que a medida em que n cresce, a diferenca entre SS e SI tende

a zero e a soma das areas, quer dos retangulos inscritos, quer dos retangulos circunscritos, converge para o mesmolimite.

Para isso, primeiro definimos a funcao f e o valor de ∆x


> f:=x->x^2;

f := x→ x2

> Delta_x:=1/n;

Delta x :=1

n

A seguir, usamos o comando sum para calcular o valor de SI e de SS e o comando simplify para simplificar asexpressoes obtidas

> SI:=Sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i=0..n-1)=sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i> =0..n-1);

SI :=n−1∑i=0

(1 +i

n)2

n=

7

3− 3

2

1

n+

1

6

1

n2

> simplify(SI);

1

n3

n−1∑i=0

(n+ i)2 =1

6

14n2 − 9n+ 1

n2

> SS:=Sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i=1..n)=sum(f(1+i*Delta_x)*Delta_x,i=1> ..n);

SS :=

n∑i=1

(1 +i

n)2

n=n+ 1

n+

(n+ 1)2

n2− n+ 1

n2+

1

3

(n+ 1)3

n3− 1

2

(n+ 1)2

n3+

1

6

n+ 1

n3− 1

n

> simplify(SS);

1

n3

n∑i=1

(n+ i)2 =1

6

14n2 + 9n+ 1

n2

• Voce e capaz de provar que as formulas obtidas acima para SI e SS sao verdadeiras? (Veja o projeto O Maple e oprincıpio da inducao matematica.)

Calculando a diferenca SS − SI,

> Erro:=SS-SI;

Erro :=n+ 1

n+

(n+ 1)2

n2− n+ 1

n2+

1

3

(n+ 1)3

n3− 1

2

(n+ 1)2

n3+

1

6

n+ 1

n3+

1

2

1

n− 7

3− 1

6

1

n2

> simplify(Erro);

31

n

verificamos facilmente que esta expressao tende a zero, quando n→ ∞ e, consequentemente, SI e SS convergem para

o mesmo valor, neste caso 73 . (Examine as expressoes de SI e SS e comprove que realmente lim

n→∞SI = lim

n→∞SS =

7

3.)

No exemplo estudado, a funcao f e crescente e, geometricamente, podemos ver que o valor da diferenca SS − SIe dada por

( f(x1)− f(x0) + f(x2)− f(x1) + ... + f(xn−1) + f(xn)) ∆x = f(2)−f(1)n .

Esta ultima expressao torna facil verificar que, para funcoes crescentes (ou decrescentes!), quando n → ∞, o errocometido na aproximacao por somas superiores ou inferiores realmente tende a zero (Veja problema 1).

Podemos repetir o processo acima, considerando retangulos cuja altura seja o valor da funcao em qualquer pontodo subintervalo [xi−1, xi], por exemplo, o ponto medio de cada subintervalo. (Veja a figura abaixo.)


2.331018519 2.331632654

2.328125000 2.330000000

2.332304526

2.324074074

2.3326446282.332500000

2.332031250

A soma das areas dos retangulos assim construıdos converge para o mesmo limite anterior, como mostramos aseguir.

Considere a soma, SM, das areas dos retangulos cujas alturas sao o valor da funcao f , calculada no ponto mediode cada subintervalo [xi−1, xi], isto e, no ponto 1 + i∆ x

2 . Com a ajuda do Maple, obtemos

SM :=

n−1∑i=0

(1 +i

n+

1

2

1

n)2

n=

7

3− 1

12

1

n2

(Para provar a formula acima veja o projeto O Maple e o princıpio da inducao matematica.)

Calculando o limite desta expressao quando n→ ∞, temos

limn→∞

7

3− 1

12

1

n2=

7

3.

Destes calculos, podemos concluir que, a medida em que n aumenta, quaisquer das somas acima tende a um mesmonumero, que sera o valor da area da regiao considerada.

Note que a particao do intervalo [1, 2] considerada tem a propriedade de que a medida que n cresce o valor de∆x tende a zero. Esta propriedade e fundamental para que as somas SS, SI e SM convirjam para a area da regiao.Considere, por exemplo, a seguinte particao em 20 partes (n = 20) do intervalo [ 1, 2 ]:

> particao:=[seq(2-1/i,i=1..n)];

particao := [1,3

2,5

3,7

4,9

5,11

6,13

7,15

8,17

9,19

10,21

11,23

12,25

13,27

14,29

15,31

16,33

17,35

18,37

19,39

20, 2]

O diagrama ilustra o que pode acontecer para varias particoes deste tipo (n = 3, 5, 8 e 11, respectivamente):

1.367606481

1.558049983 1.658122331

1.106481481

4.3.2.1.

2.1.51..50

4.3.2.1.

2.1.51..50

4.3.2.1.

2.1.51..50

4.3.2.1.

2.1.51..50

Observe que, neste caso,mesmo considerando valores de n cada vez maiores, a soma das areas dos retangulosinscritos, jamais se aproximara da area da regiao em questao. Como mostra este exemplo, o importante nao e adivisao em partes iguais, mas o fato do comprimento de cada um dos subintervalos [xi, xi+1] tender a zero a medidaque se aumenta o numero de divisoes do intervalo.

Chegamos, assim, a seguinte definicao:

DefinicaoConsidere a regiao limitada pelo grafico de uma funcao contınua e positiva y = f(x), pelas retas verticais x = a e

x = b e pelo eixo x. Considere uma particao do intervalo [a, b]

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b ,


tal que, para todo i, ∆xi → 0 quando n → ∞, onde ∆xi = xi − xi−1 e o comprimento de cada subintervalo daparticao. Entao, a area da regiao e dada por

limn→∞

n−1∑i=0

f(ci)∆x

onde ci e um ponto qualquer do subintervalo [xi−1, xi].

Vamos ilustrar esta definicao com outro exemplo. Considere a funcao g(x) = sen(x), para x no intervalo [0, π] .Queremos calcular a area hachurada mostrada na figura:

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

0.5 1 1.5 2 2.5 3x

Primeiro dividimos o intervalo [0, π] em n partes iguais. Neste caso, ∆x = πn . Considerando retangulos cujas

alturas sao iguais ao valor da funcao na extremidade xi−1 de cada subintervalo [xi−1, xi], obtemos as seguintesaproximacoes para a area, quando dividimos o intervalo [0, π] em 3, 4, 5, 6, 7 e 8 partes, respectivamente:

1.9337655981.8961188981.813799365

1.966316679 1.9742316031.954097234

Considerando retangulos cujas alturas sao o valor da funcao na extremidade xi de cada subintervalo [xi−1, xi],obtemos as aproximacoes mostradas na figura, a esquerda. Da mesma maneira, tomando retangulos cujas alturas saoo valor da funcao no ponto medio de cada subintervalo [xi, xi+1], obtemos as aproximacoes mostradas na figura adireita.

1.9742316031.9663166791.954097234

1.8961188981.813799365 1.933765598

2.012909086

2.052344307

2.016884178

2.094395102

2.023030320

2.033281478

As estimativas observadas nas figuras parecem indicar que a area procurada deve ser igual a 2. Vamos usar oMaple para calcular as somas que aparecem nos tres casos considerados e calcular o seu limite quando o numerode retangulos cresce sem limite (tende a infinito). Seja SN1 a soma das areas dos retangulos cujas alturas sao asextremidades inferiores dos subintervalos. Assim,

SN1 :=

π

(n−1∑i=0

sen(i π

n)

)n


Simplificando a soma acima obtem-se:

π

(n−1∑i=0

sen(i π

n)

)n

= −sen(

π

n)

n (cos(π

n)− 1)

Calculando o limite desta expressao, quando n→ ∞, tem-se que

limn→∞

n−1∑i=0

sin(i π

n)π

n= 2

Da mesma maneira, considerando-se retangulos cujas alturas sao o valor da funcao na extremidade xi1 de cadasubintervalo [xi−1, xi], obtem-se:

π

(n∑

i=1

sen(i π

n)

)n

= −π sen(

π

n)

n (cos(π

n)− 1)

e

limn→∞

π

(n∑

i=1

sin(i π

n)

)n

= 2

Considerando retangulos cujas alturas sao o valor da funcao no ponto medio de cada subintervalo [xi−1, xi], temostambem

π

n−1∑i=0

sen

(i+1

2)π

n

n= −

π sen(π

n)

n (cos(π

n)− 1)

e

limn→∞

π

n−1∑i=0

sen

(i+1

2)π

n

n= 2

O valor do limite sera o mesmo para qualquer soma do tipo∑i

f(ci)∆xi escolhida, onde ci ∈ [xi−1, xi]. Este

limite unico e, por definicao, a area da regiao R limitada pelo grafico de uma funcao f contınua e positiva, pelo eixox e pelas retas x = a e x = b.

21.4 A Integral Definida

21.4.1 Definicao

Vimos na secao anterior como calcular a area A de uma regiao limitada por uma funcao positiva, pelas retas x = a,x = b e pelo eixo x. O que fizemos foi dividir o intervalo fechado [a, b] em n partes iguais e aproximar o valor da area

por somas do tipo

n∑i=1

f(ci)∆x. Vimos que, a medida que n cresce, o valor da soma se aproxima do valor de A. Esta

definicao para areas de regioes motiva a extensao deste procedimento a outras funcoes que nao sejam necessariamentepositivas. Deste modo, vamos definir o que chamamos de integral de uma funcao f , onde f e uma funcao qualquerdefinida em um intervalo fechado [a, b]. Para isso, considere uma divisao do intervalo [a, b], em n partes

a = x0 < x1 < x2 < ... < xi−1 < ... < xn−1 < xn = b .

Esta divisao, como ja vimos, define uma particao do intervalo a, b], que chamaremos de P . Seja ∆xi = xi − xi−1,tal que, para todo i, ∆xi → 0 quando n → +∞. Formemos a soma


Sn =n∑

i=1

f(ci)∆xi,

onde ci e um ponto qualquer do subintervalo [xi−1, xi]. Esta soma e chamada soma de Riemann para f associada aparticao P . (O nome soma de Riemann foi dado em homenagem ao matematico alemao Bernhard Riemann (1826-1866), que, em seus trabalhos, estabeleceu o conceito de integral em bases matematicas rigorosas.)

Se existir o limite

I = limn→∞

Sn = limn→∞

n∑i=1

f(ci)∆xi = lim∆ xi→0

n∑i=1

f(ci)∆xi

para toda soma de Riemann associada a particao P de [a, b], dizemos que a funcao f e integravel em [a, b] e que a

integral definida de f , de a ate b, denotada por

∫ b

a

f(x) dx, e este limite, isto e,

I =

∫ b

a

f(x) dx = limn→∞

Sn = lim∆ xi→0

n∑i=1

f(ci)∆xi .

O maior dos numeros ∆xi e chamado norma da particao P e denotado por ||P ||. Usando esta notacao e a definicaorigorosa de limite, a igualdade acima significa que para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que se P e uma particao de[a, b] sendo ||P || < δ, entao ∣∣∣∣∣

(n∑

i=1

f(ci)∆xi

)− I

∣∣∣∣∣ < ε

para qualquer escolha dos numeros ci nos subintervalos [xi−1, xi].A notacao para integrais foi introduzida pelo matematico alemao G. W. Leibniz (1646-1716). O sımbolo

∫e

uma estilizacao da letra S da palavra Summa e e chamado sinal de integral. Os numeros a e b sao chamados,respectivamente, limite inferior e limite superior da integral. A funcao f e chamada de integrando, e o sımbolo dxindica que a funcao esta sendo integrada com respeito a variavel independente x, que neste contexto nao deve serconfundido com a diferencial de x. A variavel x na integral e o que chamamos de uma variavel muda. Ela pode sersubstituıda por qualquer outra letra sem afetar o valor da integral. Assim, se f e integravel em [a, b], podemos escrever∫ b

a

f(y) dy =

∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

f(z) dz . . . etc.

Na definicao de integral, temos que a < b, mas e conveniente tambem definirmos integral no caso em que b < a.Neste caso, definimos ∫ b

a

f(x) dx = −∫ a

b

f(x) dx,

desde que esta ultima integral exista.

Alem disso, se f(a) existe, entao

∫ a

a

f(x) dx = 0.

Na definicao de integral nao impomos restricoes sobre a funcao f , apenas sobre a particao do intervalo [a, b]. Istonos leva a questao de saber quais funcoes sao integraveis. O exemplo a seguir mostra que existem funcoes que nao osao.

Exemplo 1Considere a funcao f definida em [0, 1] por:

f(x) =

{0 , para x racional1 , para x irracional

.

Qualquer que seja a particao do intervalo [0, 1], os subintervalos associados a essa particao sempre conterao pontos

racionais e irracionais. Se considerarmos duas somas de Riemann, uma do tipon∑

x=1

f(ci)∆x, onde cada ci seja racional

e outra onde cada ci seja irracional, teremos, para a primeira delas, o valor zero; para a outra, o valor 1, o que mostraque o limite depende da soma particular considerada, portanto, f nao e integravel.

Exemplo 2


Considere a funcao f definida em [0, 1] por

f(x) =

1

x, se x = 0

1 , se x = 0

.

Temos que limx→0+

f(x) = ∞. Entao, no primeiro subintervalo [0, x1], de qualquer particao P de [0, 1], podemos

achar um numero ci, tal que f(ci)∆xi supera qualquer numero dado M . Assim, para qualquer particao P podemosencontrar uma soma de Riemann arbitrariamente grande. Logo, qualquer que seja o numero real I, existem somasde Riemann Rp associadas a qualquer particao P do intervalo [0, 1], tais que |Rp − I | e arbitrariamente grande. Istoimplica que f nao e integravel. Por argumentos analogos, podemos mostrar que qualquer funcao que se torne ilimitadaem qualquer ponto de um intervalo [a, b] nao e integravel. Assim:

Se f e integravel em [a, b], entao e limitada em [a, b], isto e, existe um numero real M tal que | f(x) | ≤M , paratodo x em [a, b].

Observacoes

1. Repare que | f(x) | ≤M significa, geometricamente, que o grafico de f esta entre as duas retas horizontais y =Me y = −M . Em particular, se f tem uma descontinuidade infinita em algum ponto do intervalo [a, b], entao fnao e limitada e, portanto, nao e integravel, como foi mostrado no Exemplo 2.

2. Um conjunto bastante amplo de funcoes que sao integraveis e o conjunto das funcoes contınuas, isto e, se f euma funcao contınua em [a, b], entao f e integravel em [a, b].

3. Se f e descontınua em [a, b], entao∫ b

af(x) dx pode existir, ou nao. Se f tem somente um numero finito de

descontinuidades no intervalo [a, b] e todas elas sao descontinuidades de salto, entao f e dita contınua por partese e integravel em [a, b]. (Veja Problema 5.)

4. Repare ainda, que se f e integravel em [a, b], entao o limite das somas de Riemann existe qualquer que seja aescolha dos pontos ci em cada subintervalo [xi−1, xi]. Este fato permite que particularizemos a escolha dos ci,se isto for conveniente. Por exemplo, podemos escolher ci sempre como o extremo direito, ou como o extremoesquerdo, ou como o ponto medio de cada subintervalo, ou como o numero onde ocorre o maximo ou o mınimoda funcao em cada intervalo [xi−1, xi]. Alem disso, como o limite independe da particao considerada (desde quesua norma seja suficientemente pequena), a definicao de integral pode ser simplificada pela utilizacao de somasde Riemann associadas a particoes regulares, isto e, constituıdas de subintervalos de mesmo comprimento. Nestecaso,

||P || = ∆x =b− a

n

e quando n→ ∞, ∆x→ 0. A integral de f e dada por

I =

∫ b

a

f(x) dx = limn→∞

n∑i=1

f(ci)∆x = lim||P ||→0

n∑i=1

f(ci)∆x .

Em particular, como toda funcao contınua em [a, b] e integravel em [a, b], esta observacao se aplica a funcoescontınuas.

21.4.2 Interpretacao geometrica da integral definida

Como aplicacao imediata da definicao de integral, quando f e uma funcao contınua, positiva, definida em [a, b], a∫ b

af(x) dx nos fornece o valor da area da regiao limitada pelo grafico de f , pelas retas x = a, x = b e pelo eixo x. Se a

funcao f for uma funcao contınua que assume valores positivos e negativos no intervalo [a, b], entao o valor da integralsera a diferenca entre o valor da area da regiao que esta acima do eixo x e o valor da area da regiao que esta abaixo doeixo x. Este fato torna-se claro observando-se a figura a seguir e lembrando que, por definicao, a integral e o limite desomas de Riemann. As parcelas f(ci)∆x que correspondem aos retangulos que estao abaixo do eixo x sao negativas,e seus valores absolutos fornecem o valor das areas de cada um destes retangulos.


–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

–3 –2 –1 1 2 3x

21.4.3 Propriedades da integral definida

A partir da definicao de integrais como limite de somas de Riemann podemos demonstrar algumas de suas propriedadesfundamentais.

Propriedade 1Se f e uma funcao constante definida por f(x) = k, para todo x em [a, b], entao f e integravel e∫ b

a

k dx = k (b− a) .

Demonstracao Seja P uma particao de [a, b]. Entao, para toda soma de Riemann de f ,

n∑i=1

f(ci)∆xi =

n∑i=1

k∆xi = k (

n∑n=1

∆xi) = k (b− a) ,

pois a soma dos comprimentos de todos os subintervalos da particao e o comprimento do intervalo [a,b], independentedo valor de n. Consequentemente,

lim∆ xi→0

n∑i=1

f(ci)∆xi = k (b− a) ,

isto e, ∫ b

a

k dx = k (b− a) .

Esta igualdade esta de acordo com a discussao de area feita anteriormente, pois se k > 0, entao o grafico de f euma reta horizontal k unidades acima do eixo dos x, e a regiao limitada por esta reta, pelo eixo x e pelas retas x =a e x = b e um retangulo de lados k e (b − a). Logo, sua area e dada por k (b− a). No caso especial em que k = 1,

temos que∫ b

a1 dx = b− a, que e igual ao comprimento do intervalo [a, b].

Propriedade 2Se f e integravel em [a, b] e k e um numero real arbitrario, entao kf e integravel em [a, b] e∫ b

a

k f(x) dx = k

∫ b

a

f(x) dx .

Demonstracao Se k = 0, o resultado se verifica trivialmente. Suponhamos, entao, que k = 0. Como f e integravel,

temos que existe um numero I tal que I =∫ b

af(x) dx.

Seja P uma particao de [a, b]. Entao, toda soma de Riemann para a funcao k f tem a forman∑

i=1

k f(ci)∆xi, onde

para cada i, ci esta no subintervalo [xi−1, xi]. Seja ε > 0 dado. Devemos mostrar que existe um δ > 0 tal que, se

||P || < δ, entao | (∑

i k f(ci)∆xi)− k I | < ε, para todo ci em [xi−1, xi].

Se observarmos que ∣∣∣∣∣(∑

i

k f(ci)∆xi

)− k I

∣∣∣∣∣ = | k |

∣∣∣∣∣(∑

i

f(ci

)∆xi)− I

∣∣∣∣∣ ,


a conclusao se verifica imediatamente, pois, como f e integravel, tem-se que, qualquer que seja ε1 >0, existe um δ >

0 tal que, se ||P || < δ, entao | (∑i

f(ci)∆xi)− I | < ε1.

Assim, basta escolhermos ε1 = ε|k| para obter o resultado desejado.

Costuma-se enunciar a conclusao desta propriedade dizendo-se que constantes “podem ser retiradas do sinal deintegral”.

Propriedade 3Se f e g sao integraveis em [a, b], entao f + g e integravel em [a, b] e∫ b

a

(f(x) + g(x)) dx =

∫ b

a

f(x) dx+

∫ b

a

g(x) dx .

Demonstracao Por hipotese, existem numeros reais I1 e I2, tais que∫ b

af(x) dx = I1 e

∫ b

ag(x) dx = I2.

Seja P uma particao de [a, b] e seja Rp uma soma de Riemann arbitraria para f + g associada a particao P , isto e,

Rp =n∑

i=1

(f(ci) + g(ci))∆xi = (n∑

i=1

f(ci)∆xi) + (n∑

i=1

g(ci)∆xi) ,

onde ci esta em [xi−1, xi] para cada i.Seja ε > 0. Devemos mostrar que existe um δ > 0 tal que, se ||P || < δ, entao |Rp − (I1 + I2)| < ε .Por hipotese (f e g integraveis), sabemos que qualquer que seja ε1> 0, existem δ1 e δ2 positivos tais que, se ||P ||

< δ1 e ||P || < δ2, entao ∣∣∣∣∣(∑

i

f(ci)∆xi

)− I1

∣∣∣∣∣ < ε1 e

∣∣∣∣∣(∑

i

g(ci)∆xi

)− I2

∣∣∣∣∣ < ε1 ,

Seja ε1 = ε2 e seja δ o menor dos numeros δ1 e δ2. Assim, se ||P || < δ, as duas desigualdades acima se verificam, e

daı, como

|Rp − (I1 + I2)| =

∣∣∣∣∣(∑

i

f(ci)∆xi

)− I1 +

(∑i

g(ci)∆xi

)− I2

∣∣∣∣∣≤

∣∣∣∣∣(∑

i

f(ci)∆xi

)− I1

∣∣∣∣∣+∣∣∣∣∣(∑

i

g(ci)∆xi

)− I2

∣∣∣∣∣tem-se |Rp − (I1 + I2)| < ε

2 + ε2 = ε, que e o resultado que querıamos demonstrar.

Observacoes

1. Vale um resultado analogo para diferencas, isto e, se f e g sao integraveis em [a,b], tem-se∫ b

a

(f(x)− g(x)) dx =

∫ b

a

f(x) dx−∫ b

a

g(x) dx

2. A Propriedade 3 pode ser estendida a uma soma finita de funcoes. Especificamente, se f1, f2, . . . , fn sao in-tegraveis em [a, b], sua soma g = f1 + f2 + . . .+ fn tambem o e e∫ b

a

g(x) dx =

∫ b

a

f1(x) dx+

∫ b

a

f2(x) dx+ ...+

∫ b

a

fn(x) dx .

3. Se f e g sao funcoes integraveis em [a, b] e se k1 e k2 sao reais arbitrarios, pelas Propriedades 2 e 3 temos que∫ b

a

(k1 f(x) + k2 g(x)) dx = k1

∫ b

a

f(x) dx+ k2

∫ b

a

g(x) dx .

Alem disso, se k1, k2,..., kn sao reais arbitrarios e se f1, f2, . . . , fn sao funcoes integraveis em [a, b], o resultadoanalogo vale para a funcao g = k1 f1 + k2 f2 + . . .+ kn fn.


Como ja vimos, se f e contınua e positiva em [a, b], entao∫ b

af(x) dx e a area sob o grafico de f limitada pelas

retas x = a e x = b. De modo analogo, se a < c < b, entao as integrais∫ c

af(x) dx e

∫ b

cf(x) dx sao as areas sob o

grafico de f de a ate c e de c ate b, respectivamente. Segue, imediatamente, que∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx .

A proxima propriedade mostra que esta igualdade tambem e verdadeira sob hipoteses mais gerais.

Propriedade 4Se a < c < b e f e integravel tanto em [a, c], como em [c, b], entao f e integravel em [a, b] e∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx .

Demonstracao Por hipotese, existem numeros reais I1 e I2 tais que∫ c

af(x) dx = I1 e

∫ b

cf(x) dx = I2.

Sejam P1 uma particao de [a, c], P2 uma particao de [c, b] e P uma particao de [a, b]. Denotaremos por RP1 , RP2

e RP as somas de Riemann arbitrarias associadas a P1, P2 e P , respectivamente. Devemos mostrar que dado um ε >0, existe um δ >0 tal que, se ||P || < δ, entao |RP − (I1 + I2)| < ε.

As hipoteses sobre f implicam que, dado ε1 = ε4 , existem numeros positivos δ1 e δ2 tais que, se ||P1|| < δ1 e ||P2||

< δ2, entao

|RP1 − I1| <ε

4e |RP2 − I2| <

ε

4.

Seja δ o menor dos numeros δ1 e δ2. Entao ambas as desigualdades acima sao verdadeiras, desde que tenhamos||P || < δ. Alem disso, como f e integravel tanto em [a, c] como em [c, b], e limitada em ambos os intervalos e, assim,existe um numero M , tal que | f(x) | ≤M para todo x em [a, b].

Suponhamos agora que alem da exigencia anterior feita sobre δ, tenhamos tambem que δ < ε4M .

Seja P uma particao de [a, b], tal que ||P || < δ, como escolhido acima. Se as subdivisoes que determinam P saoa = x0, x1, x2,..., xn = b, entao existe um unico intervalo semi-aberto da forma (xk−1, xk] que contem c.

Se RP =

n∑i=1

f(wi)∆xi, podemos escrever

RP =

(k−1∑i=1

f(wi)∆xi

)+ f(wk)∆xk +

(n∑

i=k+1

f(wi)∆xi

).

Seja P1 a particao de [a, c] determinada por {a, x1, x2, . . . xk−1, c} e P2 a particao de [c, b] determinada por{c, xk, . . . , xn−1, b}. Consideremos agora as somas de Riemann

RP1=

(k−1∑i=1

f(wi)∆xi

)+ f(c) (c− xk−1) e RP2

= f(c) (c− xk) +

(n∑

i=k+1

f(wi)∆xi

).

Entao, como ||P || < δ, temos

(*) |RP − (RP1 +RP2) | = |f(wk)− f(c)| ∆xk ≤ |f(wk)|+ |f(c)| ∆xk ≤ (M+M) ε4M = ε

2e

(**) |RP1 +RP2 − (I1 − I2)| ≤ |RP1 − I1| − |RP2−I2 | < ε2 .

Como

|RP − (I1 + I2)| = |RP − (RP1 +RP2) + (RP1 +RP2)− (I1 + I2)|≤ |RP − (RP1 +RP2)|+ |RP1 +RP2 − (I1 + I2)|

Se ||P || < δ, as desigualdades (*) e (**) implicam que

|RP − (I1 + I2)| < ε2 + ε

2 = ε

para toda soma de Riemann RP , o que completa a demonstracao.


Esta propriedade pode ser generalizada para o caso em que c nao esta necessariamente entre a e b. (Veja Problema8 ).

Propriedade 5Se f e integravel em [a, b] e f(x) ≥ 0 para todo x em [a, b], entao

0 ≤∫ b

a

f(x) dx

Demonstracao Seja I =∫ b

af(x) dx e suponhamos por absurdo que I < 0.

Seja P uma particao de [a, b] e seja RP =n∑

i=1

f(ci)∆xi, uma soma de Riemann qualquer, associada a P . Como,

por hipotese, f(ci) ≥ 0, para todo ci no intervalo [xi−1, xi], temos que RP ≥ 0.Seja ε = − I

2 > 0, entao, como f e integravel em [a, b], desde que ||P || seja suficientemente pequena, temos que

|RP − I | < ε = − I2 . Daı, RP < I − I

2 = I2 < 0, o que e uma contradicao. Portanto, a suposicao I < 0 e falsa, e temos

que I ≥ 0.

Uma consequencia imediata desta propriedade e expressa na propriedade a seguir, cuja demonstracao e deixada acargo do leitor. (Veja Problema 9.)

Propriedade 6Se f e g sao integraveis em [a, b] e g(x) ≤ f(x) para todo x em [a, b], entao∫ b

a

g(x) dx ≤∫ b

a

f(x) dx .

21.5 Valor medio de uma funcao e o teorema do valor medio para inte-grais definidas

A media aritmetica de n numeros a1, a2, ... , an e definida por:

am =(a1 + a2 + . . .+ an)

n=

1

n

n∑i=1

ai

Agora, pense no seguinte problema:Suponha que voce tenha uma barra de ferro de comprimento L e conhece a temperatura T (x), que varia em cada

ponto x da barra. Como calcular a temperatura media Tm da barra?A dificuldade, neste caso, e que existem infinitos pontos na barra a serem considerados. A ideia e estabelecer um

sistema de coordenadas na barra, de tal modo que as suas extremidades coincidam com os pontos 0 e L deste sistemae aproximar a temperatura media pela media das temperaturas de n pontos da barra, a saber,

0 = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = L

tomados como referencia, isto e,

Tm ≈ 1

n

n∑i=1

T (xi)

Claramente, a medida que aumentamos o numero n de pontos considerados neste calculo, o valor do lado direitoda expressao anterior se aproximara cada vez mais da temperatura media Tm da barra.

Observe, agora, que a soma anterior e muito parecida com a soma de Riemann para a funcao T (x). Para transformaresta expressao na soma de Riemann para a funcao T , basta multiplicar e dividir, a soma obtida por ∆x = L

n . Assim,temos

1

n

1

∆x

(n∑

i=1

T (xi)

)∆x =

1

n

n

L

(n∑

i=1

T (xi)

)∆x =

1

L

n∑i=1

T (xi)∆x

Agora sim! O ultimo somatorio e a soma de Riemann para a funcao T no intervalo [0, L]. Assim,

Tm =1

Llimn→∞

n∑i=1

T (xi)∆x =1

L

∫ L

0

T (x) dx


De um modo geral, define-se o valor medio de uma funcao y = f(x), contınua em um intervalo [a, b], como

fm =1

b− a

∫ b

a

f(x) dx

ou ∫ b

a

f(x) dx = fm (b− a) .

Se f(x) ≥ 0 em [a, b], esta ultima igualdade significa, geometricamente, que a area sob o grafico de f , desde a ateb, e igual a area de um retangulo de altura fm e base b-a.

ExemploSe a temperatura de uma barra de comprimento 3 cm e dada por T (x) = x, em cada ponto x da barra, calcule a

sua temperatura media.

Solucao:

Tm =1

3

∫ 3

0

x dx =3

2

No grafico a seguir a area hachurada tem o mesmo valor da area do retangulo escuro.

Tm

0

1

2

3

4

1 2 3x

Note que o valor Tm e atingido em algum ponto c de [a, b]. Neste exemplo, precisamente em c = 32 . O teorema do

valor medio para integrais definidas, que veremos a seguir, garante que, se f e contınua, isto e sempre verdade.

21.5.1 O teorema do valor medio para integrais definidas

TeoremaSe f e contınua em um intervalo fechado [a, b], entao existe um numero c no intervalo aberto (a, b), tal que∫ b

a

f(x) dx = f(c)(b− a)

Observacoes Se f(x) ≥ 0 em [a, b], o teorema admite uma interpretacao geometrica interessante. Neste caso,

como ja vimos, S =∫ b

af(x) dx e a area limitada pelo grafico de f , o eixo x e as retas x = a e x = b. O teorema

garante a existencia de um numero c, abscissa de um ponto P do grafico de f , tal que a area da regiao retangularlimitada pela reta horizontal que passa por P , pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, dada pela expressao, f(c) (b− a),e igual a S. Veja as figuras.

3.6

3.7

3.8

3.9

4

4.1

4.2

4.3

4.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 z

O numero c nao e necessariamente unico. Por exemplo, se f e uma funcao constante, todos os numeros c dointervalo [a, b] satisfazem a conclusao do teorema. O teorema garante a existencia de pelo menos um numero c em[a, b] com a propriedade enunciada.Demonstracao Sejam m = f(d) o mınimo de f em [a, b] e M = f(e) o maximo de f em [a, b]. Pela Propriedade 6,∫ b

a

mdx ≤∫ b

a

f(x) dx e

∫ b

a

f(x) dx ≤∫ b

a

M dx,


isto e,

m ≤ 1

b− a

∫ b

a

f(x) dx e1

b− a

∫ b

a

f(x) dx ≤M .

Como f e contınua e y = 1b−a

∫ b

af(x) dx e um numero entre m e M , pelo teorema do valor intermediario existe um

numero c entre a e b, tal que,

f(c) =1

b− a

∫ b

a

f(x) dx

ExemploSeja v(t) a velocidade de um objeto em cada instante t num intervalo de tempo [a, b]. Entao, a velocidade media

do objeto e dada por

vm =1

b− a

∫ b

a

v(t) dt

O teorema do valor medio para integrais definidas nos diz que a velocidade media vm e atingida pelo objeto em alguminstante c de [a, b], isto e, vm = v(c).

O teorema do valor medio para integrais definidas pode ser usado na demonstracao de varios outros teoremarelevantes. Um dos mais importantes e o teorema fundamental do calculo, que sera visto no proximo capıtulo.

21.6 Atividades de laboratorio

Usando um computador e o Maple, faca as atividades propostas no arquivo labint.mws da versao eletronica destetexto.

21.7 Exercıcios

1. (a) Mostre a identidade

n∑i=1

i =n(n+ 1)

2

Sugestao: Some as equacoes

n∑i=1

i = 1 + 2 + . . .+ n e

n∑i=1

i = n+ (n− 1) + (n− 2) + . . .+ 1.

(b) Escreva as n equacoes que se obtem substituindo os valores de k = 1, 2, 3, . . . , n na identidade (k+1)3−k3 =3 k2 + 3 k + 1. Adicione essas equacoes e use sua soma para deduzir, da identidade dada em (a), a formula

n∑i=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6.

2. Para cada uma das funcoes abaixo

(a) Calcule aproximadamente a area da figura limitada pela curva y = f(x), as retas x = a, x = b e o eixo x,utilizando os comandos leftbox e rightbox do Maple.

(b) Calcule aproximadamente o valor destas areas com os comandos leftsum e rightsum.

(c) monte uma tabela com os valores obtidos para varias particoes do intervalo.

(d) Use o comando limit para calcular exatamente o valor da area.

(e) Compare os resultados obtidos.i. f(x) =

√x para x ∈ [0, 1] ii. f(x) = sen(x) para x ∈ [0, 2π]

iii. f(x) =√4− x2 para x ∈ [−2, 2].

3. Use a definicao para calcular cada uma das integrais abaixo. Use primeiro o seu raciocınio e a interpretacaogeometrica da integral; depois, se ainda for necessario use os comandos leftsum e rightsum do Maple paraajuda-lo nos calculos.

(a)∫ 5

−23 dx

(b)∫ 4

−12x dx

(c)∫ 2

−2x3 dx

(d)∫ π

2

−π2sen(x) dx

(e)∫ 2π

0cos(x) dx

(f)∫ π

0cos(x) dx

(g)∫ 2

04x2 + 1 dx


4. Interprete geometricamente e calcule a integral∫ 2

−2

√4− x2 dx.

5. O grafico da equacao x2

a2 + y2

b2 = 1 para 0 < b < a e uma elipse. Esboce este grafico e use o valor da integral∫ a

−a

√a2 − x2 dx para achar a area limitada por uma elipse.

6. Sabendo-se que o valor medio de y = f(x) no intervalo [0, 7] e igual a 4, qual o valor de∫ 7

0f(t) dt?

7. Ache o valor medio de f(x) =√1− x2 no intervalo [0, 1].

21.8 Problemas

1. Mostre que se f e uma funcao contınua e monotona em um intervalo [a, b], o erro na aproximacao da∫ b

af(x) dx

pela soma de Riemann inferior ou superior com n subintervalos e limitado por

| f(b)− f(a) | (b− a)

n

2. Para cada integral dada abaixo, seja∫ b

af(x) dx = L. Levando-se em conta a definicao de integral, dada neste

capıtulo, a igualdade acima significa que para todo ε > 0, existe um inteiro positivo N tal que∣∣∣∣∣(

n∑k=1

f(ck)∆xk

)− L

∣∣∣∣∣ < ε ,

para todo n > N. Seja ∆xk = b−an e ε = 0, 01. Considere ck como sendo a extremidade direita do k -esimo subin-

tervalo da particao do intervalo [a, b] considerada. Ache o menor valor de n para o qual | (∑n

k=1 f(ck)∆xk)− L | <ε, para n > N.

(a)

∫ 3

1

x2 + 1 dx (b)

∫ π6

0

cos(x) dx (c)

∫ 1,75

0,5

sen(x2) dx

3. (a) Mostre que∫ π

2

0sen2 x dx =

∫ π2

0cos2 x dx.

Sugestao: Mostre que as duas areas em questao sao congruentes usando uma reflexao em torno da retax = π

4 .

(b) Mostre que∫ π

2

01− sen2 x dx = π

2 −∫ π

2

0sen2 x dx.

Sugestao: Use a interpretacao geometrica das duas integrais e use uma reflexao em torno da reta y = 12

para mostrar que as duas areas em questao sao iguais.

(c) Use as partes (a) e (b) para mostrar que∫ π

2

0sen2 x dx =

∫ π2

0cos2 x dx = π

4 .

(d) Calcule∫ π

0sen2 x dx e

∫ 2π

0cos2 x dx.

4. Obtenha uma formula para∫ x

0| t | dt, valida para

(a) x ≥ 0 (b) x ≤ 0

(c) qualquer que seja x, positivo, negativo ou nulo.

(d) Esboce um grafico que represente geometricamente esta questao.

5. Considere a funcao sn(t) (sinal de t ) definida por sn(t) =

{−1 , se t < 00 , se t = 01 , se 0 < t

.

E claro que a funcao sn(t) nao e contınua em zero, mas∫ b

asn(t) dt pode ser definida da mesma maneira que

para funcoes contınuas. Por exemplo,∫ 1

0sn(t) dt, e a area limitada pelo grafico da funcao, pelo eixo x e pelas

retas t = 0 e t = 1 (um quadrado de lado 1). Assim,∫ 1

0sn(t) dt = 1. Da mesma maneira,

∫ 0

−1sn(t) dt = −1;∫ 3

0sn(t) dt = 3;

∫ 3

−3sn(t) dt = 0 e, assim por diante. Obtenha uma formula valida para

∫ x

0sn(t) dt quando

(a) x ≥ 0 (b) x ≤ 0

(c) qualquer que seja x, positivo, negativo ou nulo.

6. Explique por que

(a)∫ 1

−1x273 dx = 0 (b) 0 <

∫ 3

11t dt <

1412


7. (a) De exemplo de uma funcao contınua no intervalo (0, 1) tal que∫ 1

0f(x) dx nao exista.

(b) De exemplo de uma funcao que nao seja contınua em [0, 1], tal que exista∫ 1

0f(x) dx .

8. Mostre que se f e integravel em um intervalo fechado e se a, b e c sao tres numeros quaisquer deste intervalo,

entao∫ b

af(x) dx =

∫ c

af(x) dx+

∫ b

cf(x) dx.

9. (a) Se f(x) ≤M para todo x em [a, b], prove que∫ b

af(x) dx ≤M (b− a). Ilustre o resultado graficamente.

(b) Se m ≤ f(x) para todo x em [a, b], prove que m (b− a) ≤∫ b

af(x) dx. Ilustre o resultado graficamente.

(c) Mostre que se f e g sao integraveis em [a, b] e g(x) ≤ f(x) para todo x em [a, b], entao∫ b

ag(x) dx ≤

∫ b

af(x) dx.

(d) Seja f integravel em [a, b]. Mostre que∣∣∣ ∫ b

af(x) dx

∣∣∣ ≤ ∫ b

a|f(x)| dx

10. Seja f(x) = 1 + x4. Ache o valor medio de f no intervalo de 0 ate 0,001, com dez casas decimais exatas.Sugestao: A resposta deve ser dada rapidamente. Se voce nao consegue perceber como isto pode ser feito, calculea resposta usando forca bruta. O numero obtido sugere como os calculos poderiam ter sido evitados.

11. Se f(x ) = k para todo x em [a, b], prove que todo numero c em [a, b] satisfaz a conclusao do teorema do valormedio para integrais definidas. Interprete este resultado geometricamente.

12. Se f(x) = x e 0 < a < b, determine (sem integrar) um numero c em (a,b) tal que∫ b

af(x) dx = f(c) (b− a).

21.9 Um pouco de historia

Parece que o primeiro a calcular a area exata de uma figuralimitada por curvas foi Hipocrates de Chios, o mais famosomatematico grego do seculo V A.C.. Ele calculou a area da figuraem forma de lua crescente (ou minguante), na figura ao lado. Estafigura, construıda por dois cırculos (o cırculo centrado em (0, 0)e raio unitario e o cırculo centrado em (0,−1) e passando pelospontos (1, 0) e (−1, 0)) recebeu o nome de lunula de Hipocrates,em homenagem aquele que descobriu que a sua area e igual a areado quadrado cujo lado e o raio do cırculo.

–2

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

1

x

O problema da quadratura de um cırculo, isto e, de achar um quadrado de area equivalente a de um cırculo de raiodado, e um dos problemas classicos da Geometria a que muitos matematicos dedicaram atencao, desde a Antiguidade.Hipocrates “quadrou a lunula”, embora fosse incapaz de resolver o problema da quadratura do cırculo.

Os geometras, desde o tempo de Euclides, entendem que resolver um problema e construir a sua solucao utilizandosomente uma regua nao graduada e um compasso. Hoje, sabemos que o problema da quadratura do cırculo e impossıvelde resolver utilizando-se apenas regua e compasso.

A primeira vista parece que o problema de calcular areas e um assunto de interesse apenas para geometras, semaplicacoes na vida pratica fora da Matematica. Isto nao e verdade. No transcorrer dos proximos capıtulos, veremosque muitos conceitos importantes de Fısica, tais como trabalho, energia e o problema de engenharia de achar a forcatotal que age sobre uma barragem em virtude da pressao de agua no reservatorio, por exemplo, dependem das mesmasideias utilizadas neste capıtulo para o calculo de areas.

21.10 Projetos

21.10.1 Somas de Riemann aleatorias

Uma soma de Riemann de uma funcao f definida em um intervalo [a, b] tem a forma geral

S = f(c1) (x2 − x1) + f(c2) (x3 − x2) + . . .+ f(cn−1) (xn − xn−1) ,

onde a = x1 < x2 < .... < xn = b e uma particao do intervalo [a, b] e cada ci e tal que xi−1 ≤ ci ≤ xi.O objetivo deste projeto e calcular somas de Riemann para a funcao f(x) = x3 + 3x2 + 2x − 5, definidas por

meio de uma particao do intervalo [0, 1] em 15 partes, geradas aleatoriamente. Para obter numeros aleatorios, vamosutilizar o comando rand() do Maple. Cada vez que este comando e executado, um numero entre 1 e 1012 e escolhidoao acaso. Assim, a linha de comando abaixo gera uma sequencia de 31 = 2.15 + 1 numeros aleatorios, entre 1 e 1012.Execute-o varias vezes!


> numeros:=[seq(rand(),k=1..31)]; k:=’k’:

numeros := [97396414947, 780422731613, 987785640265, 674198272844,

134050365811, 754869582636, 140810856859, 347877704841, 433599229456,

898724880795, 485531802023, 255050614524, 952922474293, 642065329619,

154912668026, 856069438450, 681407641506, 962917791070, 874166946435,

905950292905, 549552888716, 84125842236, 67060541266, 621757734462,

223575905687, 273574099511, 410424381304, 659501247275, 887974857856,

234450269247, 606386273485]

Como queremos pontos pertencentes ao intervalo [0, 1], vamos converter os pontos gerados pelo comando acimapara este intervalo, por uma mudanca de escala:

> pts:=map(x->evalf(x/10^12),numeros);

pts := [.09739641495, .7804227316, .9877856403, .6741982728, .1340503658,

.7548695826, .1408108569, .3478777048, .4335992295, .8987248808,

.4855318020, .2550506145, .9529224743, .6420653296, .1549126680,

.8560694385, .6814076415, .9629177911, .8741669464, .9059502929,

.5495528887, .08412584224, .06706054127, .6217577345, .2235759057,

.2735740995, .4104243813, .6595012473, .8879748579, .2344502692,

.6063862735]

Para formar os pontos da particao, precisamos colocar esta ultima sequencia em ordem crescente. Isto e feitoutilizando-se o comando sort:

> part:=sort(pts);

part := [.06706054127, .08412584224, .09739641495, .1340503658, .1408108569,

.1549126680, .2235759057, .2344502692, .2550506145, .2735740995,

.3478777048, .4104243813, .4335992295, .4855318020, .5495528887,

.6063862735, .6217577345, .6420653296, .6595012473, .6741982728,

.6814076415, .7548695826, .7804227316, .8560694385, .8741669464,

.8879748579, .8987248808, .9059502929, .9529224743, .9629177911,

.9877856403]

Podemos agora, calcular a soma de Riemann associada a esta particao do intervalo [0, 1], como se segue.

> f:=x->x^3+3*x^2+2*x-5;

f := x→ x3 + 3x2 + 2x− 5

> S:=sum(f(part[2*j])*(part[2*j+1]-part[2*j-1]),j=1..15);

S := −2.403062293

1. Repita este processo mais cinco vezes e guarde os resultados. Calcule a media das suas 6 tentativas e descrevacomo este processo forma uma soma de Riemann geral e como por meio dele se chega a uma aproximacao dovalor da integral da funcao no intervalo [0, 1]. Ilustre geometricamente.

2. Explique como e possıvel melhorar a precisao do resultado e aplique as suas conclusoes para melhorar o resultadoobtido acima.

3. Ache por este processo uma aproximacao para a integral da funcao f(x) = x3 + x+ 2 no intervalo [0, 1].

21.10.2 Somas de Riemann e funcoes monotonas

O objetivo deste projeto e calcular integrais de funcoes monotonas por meio de somas de Riemann com um erromaximo prefixado.

1. Considere a funcao f(x) = x3 + x+ 2.

(a) Mostre que f e monotona no intervalo [0, 2].


(b) Use os comandos leftbox e rightbox do pacote student para ilustrar como podemos aproximar a integralda funcao dada no intervalo [0, 2] por meio da soma das areas de retangulos inscritos ou circunscritos naregiao delimitada pela funcao, pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 2.

(c) Determine o menor valor de n (numeros de retangulos) que garanta uma estimativa para a integral dafuncao com erro maximo de 0,1.(Veja Problemas 1 e 2.)

(d) Use o comando sum para obter uma estimativa a maior e uma estimativa a menor para a area da regiaolimitada por y = f(x), y = 0, x = 0 e x = 2.

(e) Use o comando sum para obter estas mesmas estimativas como funcao do numero n de retangulos usados.

(f) Use o comando limit(...,n=infinity) e a expressao que voce encontrou no item anterior para obter o valorexato da area da regiao.

2. Considere a funcao g(x) = cos(x2 ).

(a) Mostre que g e monotona em [0, 1].

(b) Obtenha uma expressao geral para uma subestimativa para a area limitada pela curva y = g(x), pelo eixox e pelas retas x = 0 e x = 1.

(c) Calcule o erro maximo que se comete ao aproximar a area da regiao descrita acima pela soma das areas de10 retangulos inscritos na regiao.

(d) Obtenha o valor exato desta area.

(e) Use as conclusoes obtidas nos itens anteriores e a funcao f(x) =√1− x2, definida em [a, b] = [0, 1] , para

obter aproximacoes de π4 com erro menor que 1

10 .

3. Nem todas as funcoes sao monotonas, entretanto, as ideias estudadas aqui podem ser estendidas a funcoes quenao sao monotonas. Descreva como e possıvel estender as ideias estudadas neste capıtulo a funcoes contınuas

mais gerais a fim de garantir que as aproximacoes de∫ b

af(x) dx, obtidas por meio de somas de Riemann, tenham

uma precisao fixada.

4. As somas de Riemann obtidas considerando-se o ponto medio de cada subintervalo de uma particao P do intervalo[a, b] tambem fornecem uma aproximacao para a area da regiao delimitada por uma funcao f , positiva, definidaem [a, b], pelo eixo x e pelas retas x = a e x= b. Para funcoes monotonas, a aproximacao obtida utilizando-se oponto medio de cada subintervalo pode conduzir a subestimativas ou a superestimativas.

(a) De exemplos de funcoes para as quais a aproximacao obtida considerando-se o ponto medio de cada subin-tervalo fornece uma subestimativa para a area de uma regiao delimitada pela funcao dada, pelo eixo x epor duas retas verticais.

(b) De exemplos de funcoes para as quais a aproximacao obtida considerando-se o ponto medio de cada subin-tervalo fornece uma superestimativa para a area da regiao descrita acima.

5. Podemos obter aproximacoes para regioes do tipo descrito nos itens anteriores considerando o extremo inferiore o extremo superior de cada subintervalo considerado em uma particao do intervalo [a, b]. A media aritmeticadas aproximacoes assim obtidas e conhecida como regra do trapezio para o calculo destas areas.

(a) Explique o porque deste nome e estabeleca um criterio geometrico que permita afirmar quando a regra dotrapezio fornece uma subestimativa para a area da regiao e quando esta regra fornece uma superestimativa.

21.10.3 O Maple e o princıpio da inducao matematica

O princıpio da inducao e uma das mais importantes (e uteis) tecnicas de demonstracao em matematica. Este princıpio,em geral, e usado quando precisamos demonstrar que uma determinada formula vale para todos os numeros naturais.Por exemplo, podemos observar que 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9, 1 + 3 + 5 + 7 = 16. A partir destes dados, poderıamosconjecturar que a soma dos primeiros n numeros ımpares e igual a n2, isto e, 1 + 3 + ...+ ( 2n− 1) = n2. O princıpioda inducao matematica afirma que uma formula, P(n), e verdadeira para todo numero natural n se

1. P (1) e verdadeira.

2. Considerando P (k) verdadeira, conseguirmos mostrar que P (k + 1) e verdadeira.


Estas duas condicoes garantem que P (n) e verdadeira para todo n. De fato, se P (1) e verdade, entao (usando(2) no caso particular em que k =1), segue que P (2) e verdade. Agora, como P (2) e verdade (usando (2) no casoparticular em que k =2), segue que P (3) e verdade, assim por diante.

Desta maneira, fica claro que qualquer que seja o numero n, ele sera alcancado por um numero suficiente de passos,como descrito acima.

Para ilustrar o raciocınio que se esconde por tras do princıpio da inducao, imagine uma linha infinita de pessoasnumeradas da seguinte maneira P (1), P (2), P (3),... Um segredo e contado a primeira pessoa da fila (P (1) conhece osegredo) e cada pessoa tem a instrucao de contar qualquer segredo para a pessoa que a segue na fila, aquela com onumero seguinte ao seu proprio (se P (k) conhece o segredo, P (k+ 1) conhece o segredo). Entao, esta claro que cadapessoa da fila acabara conhecendo o segredo!

Para provar a conjectura feita acima, isto e,n∑

i=1

(2 i− 1) = n2, precisamos, portanto,

1. Provar que esta formula vale para n = 1. (O que e obvio, pois 1 = 1.)

2. Supondo que esta formula valha para n = k, mostrar que ela e verdadeira para n = k + 1.

O objetivo deste projeto e mostrar como usar o Maple para obter formulas do tipo anterior e ainda verificar avalidade de P (1) e fazer as contas necessarias para estabelecer que a validade de P (k) implica na validade de P (k+1).

Vamos realizar esta tarefa com a ajuda do Maple. O comando sum e a sua forma inerte Sum podem ser usadospara obter as formulas a serem provadas. Assim,

> Sum(2*i-1,i=1..n)=sum(2*i-1,i=1..n);n∑

i=1

(2 i− 1) = (n+ 1)2 − 2n− 1

> simplify(%);

n∑i=1

(2 i− 1) = n2

Agora, podemos construir a funcao que a cada n associa esta soma:

> P:=n->Sum(2*i-1,i=1..n)=sum(2*i-1,i=1..n);

P := n→n∑

i=1

(2 i− 1) =

n∑i=1

(2 i− 1)

Deste modo, podemos calcular o valor de P (n), qualquer que seja o numero natural n, simplesmente calculando ovalor da funcao P , neste ponto:

> P(3);

3∑i=1

(2 i− 1) = 9

> P(7);

7∑i=1

(2 i− 1) = 49

Assim, fica claro que P (1) e verdade pois,

> P(1);

1∑i=1

(2 i− 1) = 1

> value(%);

1 = 1

Suponhamos agora que P (k) seja verdade para algum inteiro positivo k. Vamos considerar, portanto, que

> P(k);

k∑i=1

(2 i− 1) = (k + 1)2 − 2 k − 1


> simplify(P(k));

k∑i=1

(2 i− 1) = k2

seja verdadeira. Precisamos provar que P (k + 1) e verdadeira. Para isto, vamos somar (2k+1) (o proximo numeroımpar) a ambos os lados desta equacao, o que nao altera a igualdade. Assim, temos:

> lhs(P(k))+(2*k+1)= rhs(P(k))+(2*k+1);

(k∑

i=1

(2 i− 1)) + 2 k + 1 = (k + 1)2

E obvio que o lado esquerdo da equacao acima e a soma 1 + 3 + 5 + . . .+ (2 k − 1) + (2 k + 1) =k+1∑i=1

(2 i− 1).

Assim, mostramos que a validade da formula para n = k, isto e,k∑

i=1

(2 i− 1) = k2 implica na validade da formula

para n = k+1, isto e,k+1∑i=1

(2 i− 1) = (k + 1)2 e, portanto, a formula e valida para todo inteiro positivo.

Num exemplo mais complicado, poderıamos usar o Maple para mostrar que o lado direito da ultima equacaoobtida e igual a P (k+1) e assim estabelecer que a validade de P (k) (se a formula e valida para os primeiros k numerosımpares) implica na validade de P (k+ 1) (a formula sera valida para os primeiros k+ 1 numeros ımpares). Para isto,basta calcular

> P(k+1);

k+1∑i=1

(2 i− 1) = (k + 2)2 − 2 k − 3

simplificar a expressao resultante e comparar com o resultado obtido anteriormente.

> simplify(%);

k+1∑i=1

(2 i− 1) = k2 + 2 k + 1

> factor(%);

k+1∑i=1

(2 i− 1) = (k + 1)2

1. Use o Maple e obtenha formulas, validas para os primeiros n inteiros positivos, para as somas indicadas abaixoe verifique, usando inducao matematica, que estas formulas sao validas para todos os inteiros positivos:

(a)∑

i3 (b)∑

i4 (c)∑

1i (i+1) (d)

∑1

i (i+1) (i+2)

2. Vamos usar inducao para “provar” que 1+ 2 + 3 + ...+ n = n2+n+12 .

Seja P (n) = n2+n+12 . Supondo valida esta afirmacao para n = k, vamos mostrar que a mesma e valida para n

= k+1.

Assim, temos: 1 + 2 + 3 ...+ k = k2+k+12 .

Somando k+ 1 a ambos os membros desta igualdade, vem que:

1 + 2 + 3 + ...k+ (k+ 1) =k2 + k + 1

2+ (k + 1) =

k2 + k + 1

2+

2 k + 2

2=k2 + 3 k + 3

2

=[k2 + 2 k + 1] + (k + 1) + 1

2=

(k + 1)2 + (k + 1) + 1

2

e, portanto, P (k + 1) e verdade. Assim, como a validade de P (k) implica na validade de P (k + 1), temos queP (n) e verdadeira para todos os numeros naturais.

• Evidentemente, como a soma dos n primeiros numeros naturais nao e dada por n2+n+12 (qual a formula

verdadeira?), existe uma falha na demonstracao acima. Que falha e esta?

Cap´ıtulo 21 Introdução à Integral: Cálculo deÁreas e Integrais ...

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