Cálculo I - Sacha.pdf

Clculo 1S. Friedli

Departamento de MatemticaInstituto de Cincias Exatas

Universidade Federal de Minas Gerais

Verso 1.0226 de fevereiro de 2015

Apostila em acesso livre em www.mat.ufmg.br/~sacha.

Clculo 1, Verso 1.02 (26 de fevereiro de 2015). Sugestes, crticas e correes: [email protected]

ii

Sumrio

1 Fundamentos 31.1 Nmeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Equaes do primeiro e segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Ordem e intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Inequaes e sinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 O plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Crculos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.1 Medir ngulos no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.2 Seno, cosseno e tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.3 Identidades trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Funes 212.1 Definio e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Limitao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Grfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1 Potncias inteiras: x p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.2 Paridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.3 Crescimento e decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.2.4 Funes Trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.5 Transformaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Montar funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4 Composio, contradomnio e imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.1 Bijeo, funo inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.2 Inversos das potncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4.3 Funes trigonomtricas inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Exponencial e Logaritmo 473.1 Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2 Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.3 A base e = 2, 718... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.4 Funes hiperblicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

iii

SUMRIO SUMRIO

4 Limites 614.1 Limites limx f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.1.2 A definio de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.1.3 Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.2 Limites laterais: limxa f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.3 Limites limxa f (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.4 Indeterminaes do tipo 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.4.1 O limite limx0 sen xx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.5 Limites laterais infinitos, assntotas verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.6 Mudar de varivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.7 O limite e = limx

1+ 1x

x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.8 O limite limx ax

x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.9 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5 Continuidade 915.1 O Teorema do valor intermedirio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.2 Limites e funes contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.3 Exerccios de reviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6 Derivada 976.1 Retas e grficos de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.2 Reta tangente e derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.2.1 Pontos de no-diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2.2 Derivabilidade e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.3 A derivada como funo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.3.1 Derivar as potncias inteiras: x p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.3.2 Derivar as funes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.3.3 Derivar exponenciais e logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.4 Regras de derivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.4.1 Derivar as potncias x; exponenciao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.4.2 Derivadas logartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.4.3 Derivar uma funo inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.5 O Teorema de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.6 Derivada e Variao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.7 Velocidade, acelerao, taxa de variao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.7.1 Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.8 Linearizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.9 Derivao implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.10 Convexidade, concavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.11 A Regra de Bernoulli-lHpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7 Extremos e problemas de otimizao 1337.1 Extremos globais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.2 Extremos locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.3 A procura de extremos em intervalos fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.4 Problemas de otimizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138


iv

SUMRIO SUMRIO

7.5 A Lei de Snell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8 Estudos de Funes 1458.1 Sobre o crescimento das funes no . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1458.2 Assntotas oblquas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1468.3 Estudos de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

9 Integral 1539.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539.2 A integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1579.3 O Teorema Fundamental do Clculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1599.4 reas de regies do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1629.5 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

9.5.1 Integrao por Substituio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1659.5.2 Integrao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1699.5.3 Integrao de funes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1719.5.4 Integrar potncias de funes trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . 1769.5.5 Substituies trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

10 Applicaes 18510.1 Comprimento de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18510.2 Slidos de revoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

10.2.1 Aproximao por cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18810.2.2 Aproximao por cascas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19110.2.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

10.3 reas de superfcies de revoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19510.4 Energia potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19610.5 Resolvendo equaes diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

11 Integrais imprprias 19711.1 Em intervalos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19711.2 As integrais

a

d xx p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

11.3 O critrio de comparao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20111.4 Integrais imprprias em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20311.5 Em intervalos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

A Solues dos Exerccios 207


v

SUMRIO SUMRIO


vi

Prefcio

Oriundo principalmente do estudo da mecnica e da astronomia, o Clculo, chamado tam-bm Clculo infinitesimal, nasceu no fim do sculo XVII, com os trabalhos de Newton 1 eLeibniz 2. Hoje em dia, ele usado em todas as reas da cincia, e fundamental nas reasda engenharia.

A presente apostila contm a ementa da matria Clculo I, como ensinada no Departamentode Matemtica da UFMG. Ela tem como objetivo fornecer ao aluno um conhecimento b-sico dos conceitos principais do Clculo que so: limites, derivadas e integral. Ela tambmprepara o aluno para as outras matrias que usam Clculo I nos cursos de cincias exatas(fsica e matemtica) e engenharia, tais como Clculo II e III, EDA, EDB, EDC...

A apostila comea com um captulo sobre fundamentos, fazendo uma reviso de vriosconceitos bsicos em princpio j conhecidos pelo aluno: equaes, inequaes, plano car-tesiano e trigonometria. A partir do Captulo 2, o conceito de funo introduzido. A noocentral de limite abordada no Captulo 4, e a de derivada no Captulo 6. O resto do texto sobre o objeto central desse curso: a noo de integral, o Teorema Fundamental do Clculo,e as suas aplicaes.

O texto contm bastante exerccios, cuja compreenso fundamental para a assimilaodos conceitos. As solues, s vezes detalhadas, se encontram num apndice.

Essa apostila est em fase de elaborao. Qualquer sugesto, crtica ou correo bemvinda: [email protected].

Agradeo s seguinte pessoas pelas suas contribuies: Euller Tergis Santos Borges, Fe-lipe de Lima Horta Radicchi, Fernanda de Castro Maia, Hugo Freitas Reis, Marina WerneckRagozo, Mariana Chamon Ladeira Amancio, Pedro Silveira Gomes de Paiva, Toufic Mah-med Pottier Lauar, Prof. Carlos Maria Carballo, Prof. Fbio Xavier Penna (UNIRIO), Prof.Francisco Dutenhefner, Prof. Hamilton Prado Bueno, Prof. Jorge Sabatucci, Profa. SylvieOliffson Kamphorst Silva, Profa. Viviane Ribeiro Tomaz da Silva, Prof. Viktor Bekkert.

Alguns vdeos, criados uma vez para atender a uma classe online, se encontram em

www.youtube.com/chachf

Esses vdeos contm uma boa parte do contedo da presente apostila, mas alguns so de

1Sir Isaac Newton (Woolsthorpe-by-Colsterworth, 4 de janeiro de 1643 Londres, 31 de maro de 1727).2Gottfried Wilhelm von Leibniz (Leipzig, 1 de julho de 1646 Hanver, 14 de novembro de 1716).

1

SUMRIO SUMRIO

qualidade baixa e precisam ser regravados....


2

Captulo 1

Fundamentos

A good course is a course with many stupid questions.

Wendelin Werner, medalhista Fields 2006

Quem faz uma pergunta boba fica com vergonha 5 segundos. Quem no per-gunta nada fica bobo para sempre...

Um faxineiro do ICEx, 2008

Clculo lida com funes de uma ou mais variveis reais. Portanto, ele necessita de umacompreenso boa das principais propriedades dos nmeros reais, e suas manipulaes naresoluo de problemas elementares.

Esse captulo contm lembretes sobre a aritmtica elementar dos nmeros reais, assimcomo a descrio de certos conjuntos do plano cartesiano, como retas e crculos. No pre-tendemos dar uma exposio completa sobre esses assuntos, mas apenas lembrar alguns fatose estabelecer notaes a respeito de coisas elementares conhecidas pelo leitor.

A matria desse captulo ser usada constantemente no restante da apostila: importanteo leitor verificar que ele consegue fazer todos os exerccios.

1.1 Nmeros reais

O conjunto dos nmeros reais, R, pode ser visto como o conjunto dos pontos da linha real,que sero em geral denotados por letras minsculas: x , y, s, t, u, etc. R munido de quatrooperaes aritmticas bsicas: adio (+), subtrao (), multiplicao ( ou ) e diviso(, ou simplesmente /).Lembremos a importncia de dois nmeros com papel relevante com respeito adio e

multiplicao. Primeiro, o elemento 0 (zero) tal que x + 0 = 0+ x = x , x 0 = 0 x = 0para todo x . Um real x diferente de zero ser s vezes chamado de no-nulo.

Por outro lado, o elemento 1 (um) tal que x 1 = 1 x = x para todo x R. impor-tante lembrar que a diviso por zero no definida. Portanto, smbolos do tipo x/0 ou 0/0

3

1.1. Nmeros reais CAPTULO 1. FUNDAMENTOS

no fazem sentido. No entanto, 0/x = 0 para todo x 6= 0.Os subconjuntos de R sero em geral denotados usando letras maisculas. Por exemplo,

A= {0, 1,2} o conjunto que contm os trs nmeros reais 0,1 e 2, e B = (0, 2) o intervaloaberto que contm todos os reais entre 0 e 2 (ver abaixo). O conjunto dos nmeros naturais 1

N:={1, 2,3, . . . } ,e o conjunto dos inteiros

Z:={. . . ,3,2,1,0, 1,2, 3, . . . } .As operaes entre conjuntos so: interseo (), unio (), diferena (\). O conjunto

vazio ser denotado por .

1.1.1 Equaes do primeiro e segundo grau

Considere a equao do primeiro grau:

1+ 4x = 7 . (1.1)Resolver essa equao significa achar o(s) valor(es) da varivel x para os quais a igualdadeem (1.1) verdadeira. Esse conjunto de valores ser denotado por S e chamado conjuntode solues. A resoluo bem conhecida: isolando x obtemos uma nica soluo x = 2.Portanto, o conjunto das solues de (1.1) S = {2}.Considere em seguida a equao do segundo grau:

x2 = 9 . (1.2)

Aqui, sabemos que existem duas solues, x = p9 = 3, logo S = {+3,3}.Agora, j que um nmero negativo no possui raiz quadrada, a equao

x2 = 4no possui nenhuma soluo real: S =. Finalmente,

x2 = 0

possui uma nica soluo: S = {0}.Um outro jeito de entender (1.2) de escrev-la x29 = 0 e de fatorar o polinmio x29,

obtendo um produto de dois fatores:

(x 3)(x + 3) = 0 .1Ao longo da apostila, o smbolo := ser usado para definir um objeto. Por exemplo, A:={x R : x2 > 1}

significa que A definido como o conjunto dos nmeros reais cujo quadrado maior que 1.


4

CAPTULO 1. FUNDAMENTOS 1.1. Nmeros reais

Para o produto de dois fatores (aqui, x 3 e x + 3) ser zero, necessrio que pelo menosum deles seja nulo. Se for o primeiro, x 3 = 0, ento x = 3. Se for o segundo, x + 3 = 0,logo x = 3. De modo geral, para x ser soluo de uma equao da forma

(x )(x ) = 0 , (1.3)pelo menos um dos fatores, (x ) ou (x ), deve ser igual a zero, o que implica x = ou x = . Portanto, o conjunto das solues de (1.3) dado por S = {,}.Olhemos agora para a equao do segundo grau da forma geral

ax2 + bx + c = 0 . (1.4)

Se a = 0, essa equao do primeiro grau,

bx + c = 0 ,

e a sua nica soluo dada por x = cb (supondo b 6= 0). Isto , S = { cb}. Por outro lado,se a 6= 0, ento dividindo (1.4) por a, e completando o quadrado obtemos:

0 = x2 + ba x +ca = (x +

b2a )

2 ( b2a )2 + ca .Portanto,

(x + b2a )2 = ( b2a )

2 ca = b24ac4a2 .Defina :=b2 4ac. Se < 0, no tem solues: S =. Se 0, podemos tomar a raizquadrada em ambos lados dessa ltima expresso, e obter

x + b2a = p

2a .

Isto ,x = b

p

2a . (1.5)

Resumindo: quando a 6= 0, o conjunto das solues de (1.4) dado por

S =

se < 0(zero solues){b2a } se = 0(uma soluo){bp2a } se > 0(duas solues) .

Exerccio 1.1. Resolva as seguintes equaes.

1. 1 x = 12. x2 = 1

3. 1x = x + 1

4. (x + 1)(x 7) = 05. x = x

6. x = x2

7. 1 = 0

8. 6x3 1 = 3x(1+ 2x2)9. (x + 6)(x + 1) = 1

Exerccio 1.2. Mostre que se e forem dois nmeros positivos satisfazendo

2 22

+2

2= 2 ,

ento ou + = 2, ou = 2.Exerccio 1.3. Existe um tringulo retngulo de rea 7 e de permetro 12?


5


1.1.2 Ordem e intervalos

Existe em R uma relao de ordem: dois reais x , y podem ser comparados usando os se-guintes smbolos:

x = y: x igual a y, x 6= y: x diferente de y, x y: x maior ou igual a y, x > y: x estritamente maior que y, x y: x menor ou igual a y, x < y: x estritamente menor que y.

A ordem permite definir subconjuntos elementares de R. Por exemplo, os reais no-negativos R+ so definidos por

R+:={x R : x 0} ,(leia-se: o conjunto dos nmeros reais x R tais que x seja 0) e os reais positivos por

R+:={x R : x > 0} .Podem tambm ser definidos conjuntos particulares chamados intervalos. Comearemoscom os intervalos limitados. Se a < b so dois nmeros reais, o intervalo fechado definidocomo

[a, b]:={x R : a x b} .Leia-se: [a, b] definido como o conjunto dos nmeros reais x tais que x seja maior ouigual a a, e menor ou igual a b. O intervalo aberto definido como

(a, b):={x R : a < x < b} .Observe que (a, b) pode ser considerado como obtido a partir de [a, b] retirando as extre-midades: (a, b) = [a, b]\{a, b}. Definam-se tambm os intervalos semi-abertos (ou semi-fechados)

[a, b):={x R : a x < b} , (a, b]:={x R : a < x b} .Graficamente, representaremos esses intervalos da seguinte maneira:

Rap bp[a, b)

cp dp[c, d]

epfp

(e, f ]

Introduziremos tambm intervalos no-limitados: os semi-infinitos fechados

(, a]:={x R : x a} , [c,+):={x R : x c} ,e os semi-infinitos abertos

(, a):={x R : x < a} , (c,+):={x R : x > c} .Por exemplo,


6


Rpa(, a]

. . . pc(c,+)

. . .

Observe que + e no so nmeros reais propriamente ditos; + (respectiva-mente ) somente um smbolo usado para representar a idia (meio abstrata) de umnmero maior (respectivamente menor) do que qualquer real x .

Exerccio 1.4. Simplifique as expresses, usando as notaes introduzidas acima.

1. A= {x R : x2 4}2. B = {x : x 0} {x : x < 1}3. C = {x : x 1} {x : x < 0}4. D = {x : x 1} {x : x 1}

5. E = {x : x 2} [0,+)6. F = [1,2] (; 1]7. G = [0,1] [0, 12] [0, 13] [0, 14] . . .8. H = [0,1] [1,2] [2,3] [3,4] . . .

1.1.3 Inequaes e sinal

Considere a inequao do primeiro grau:

2 2x 1 . (1.6)Como antes, resolver essa inequao significa achar todos os valores de x para os quais aexpresso em (1.6) se torne verdadeira. Por exemplo, x = 0 soluo, pois o lado esquerdovale 220 = 2, que 1. Mas em geral uma inequao pode possuir mais de uma soluo,s vezes possui infinitas solues. O conjunto de todas as solues, tambm denotado por S,pode ser calculado da seguinte maneira. Primeiro, o conjunto S das solues no modificadoao adicionarmos (ou subtrairmos) expresses iguais em ambos lados de uma inequao. Assim,adicionando 2x em cada lado de (1.6), obtemos

2 1+ 2x .Podemos em seguida subtrair 1 em ambos lados:

1 2x .Agora, o conjunto S das solues no modificado ao multiplicarmos (ou dividirmos) amboslados de uma inequao por um nmero positivo. Assim, dividindo ambos lados da inequao1 2x por 2 obtemos 12 x , isto x 12 . Assim, qualquer real x menor ou igual a 12 tornaa desigualdade em (1.6) verdadeira. Logo, S = (, 12].Observe que (1.6) pode tambm ser resolvida subtraindo 2 em ambos lados,

2x 1 . (1.7)Passando2x para o lado direito e1 para o lado esquerdo obtemos 1 2x , o que equivalea

2x 1 . (1.8)Vemos que (1.8) obtida a partir de (1.7) trocando os sinais (i.. multiplicando ambos ladospor 1), e trocando o sentido da desigualdade.


7


Exemplo 1.1. Resolvamos agora uma inequao do segundo grau:

x2 3x + 2> 0 . (1.9)Primeiro, o polinmio do lado esquerdo da desigualdade em (1.9) pode ser fatorado: x2 3x + 2 = (x 1)(x 2). Assim, (1.9) equivalente a

(x 1)(x 2)> 0 . (1.10)Observe agora que para o produto de dois nmeros ser > 0, eles tm que ser ambos no-nulos e ter o mesmo sinal. Portanto, a resoluo de (1.10) passa pelo estudo do sinal dex 1 e x 2. Isso pode ser feito como em (1.6). Por um lado, x 1< 0 se x < 1, x 1 = 0se x = 1, e x 1 > 0 se x > 1. Por outro lado, x 2 < 0 se x < 2, x 2 = 0 se x = 2, ex 2> 0 se x > 2. Isso pode ser resumido nas duas primeiras linhas da seguinte tabela:

x 1x 2

(x 1)(x 2)

1 2 0 + + 0 ++ 0 0 +

A terceira linha foi obtida multiplicando os sinais de x 1 e x 2: (x 1)(x 2) > 0 sex < 1, (x 1)(x 2) = 0 se x = 1, (x 1)(x 2) < 0 se 1 < x < 2, (x 1)(x 2) = 0 sex = 2, e (x 1)(x 2) > 0 se x > 2. Assim, S = (, 1) (2,+) d todas as soluesde (1.9). Exerccio 1.5. Resolva as seguintes inequaes.

1. x > 4 52. 3x x + 13. 8x < 3 4x4. 10> 10 x5. x2 16. x2 > 1+ 2x

7. x > x

8. x x9. x x2

10. 2x2 + 10x 12< 011. x2(x + 7) 012. x3 2x2 x + 2> 0

13. x2 x(x + 3) 014. x x+3x115. 1x 1x+2 016. 1x +

22x < 1

17. 1x2+x 23x4

Exerccio 1.6. Quantos nmeros inteiros n existem tais que 3n 1 5n 2< 4?Exerccio 1.7. Quantos nmeros primos p existem tais que 0 2p 3 p + 8?

1.1.4 Valor absoluto

Informalmente, o valor absoluto de um nmero real x , denotado por |x |, representa o seuvalor equivalente positivo. Por exemplo, |5|= 5, | 3|= 3, e |0|= 0. Formalmente,


8


|x |:=

x se x > 00 se x = 0x se x < 0 .

(1.11)

Por exemplo, com essa definio, j que 3 < 0, temos | 3| = (3) = 3. Observe quepara qualquer nmero a 0,

|x | aa x a . (1.12)De fato, suponha primeiro que x 0. Entao |x | = x , e |x | a equivalente a x a. Poroutro lado, se x 0, ento |x | = x , e |x | a equivalente a x a, isto a a x .Juntando os dois casos, isso mostra que |x | a equivalente a a x a.Exerccio 1.8. Quais das expresses abaixo so verdadeiras (para qualquer x)? Justifique.p

x2 = x ,p

x2 = x ,

px2 = |x | .

O valor absoluto para definir a distncia entre dois nmeros reais:

xpyp

d(x , y):=|x y|

De fato, se x y , a distncia igual a y x = (x y) |x y|, e se x > y a distncia x y |x y|.Podemos tambm resolver inequaes que envolvem valores absolutos:

Exemplo 1.2. Resolvamos|x 2| 3 . (1.13)

Sabemos que pela definio do valor absoluto,

|x 2|=

x 2 se x 2 ,x + 2 se x < 2 ,

Logo, a resoluo de (1.13) passa pela resoluo de duas inequaes mais simples. A pri-meira

x 2 3 , isto x 5 ,e deve ser considerada somente para os x tais que x 2. Isso d um primeiro conjunto desolues: S1 = [5,+) (os reais que so ao mesmo tempo maiores ou iguais a 5 e maioresou iguais a 2). A segunda

x + 2 3 , isto x 1 ,e deve ser considerada somente para os x tais que x 2, o que d um segundo conjuntode solues S2 = (,1]. Assim, o conjunto de todas as solues de (1.13) dado por


9

1.2. O plano cartesiano CAPTULO 1. FUNDAMENTOS

S = S1 S2: S = (,1] [5,+).Um jeito mais geomtrico (mas equivalente) de resolver o problema de escrever (1.13)

como: d(x , 2) 3. Assim, podemos interpretar as solues de (1.13) como sendo os reaisx cuja distncia ao ponto 2 maior ou igual a 3, que so todos os reais a esquerda de 1ou a direita de 5: S = (,1] [5,+). Exerccio 1.9. Resolva as seguintes inequaes.

1. |x + 27| 02. |x 2|< 03. |2x + 3|> 0

4. 3< |3 x |5. 2x 3|x | 4 06. |x2 1| 1

7. x|x2| > 2.

Estudar o sinal de uma expresso que depende de uma varivel x significa determinaros valores de x para os quais a expresso positiva, negativa, ou nula.Exemplo 1.3. Estudemos o sinal da expresso x3+3x2. Como x3+3x2 = x2(x +3), o sinalda expresso inteira obtido a partir dos sinais das partes x2 e x + 3.

x2

x + 3

x2(x + 3)

3 0+ + 0 + 0 + + 0 + 0 +

Assim vemos que x3 + 3x2 > 0 (estritamente positiva) se x (3, 0) (0,), ela < 0(estritamente negativa) se x < 0, e = 0 (nula) se x {3,0}. Mais tarde resolveremos inequaes onde aparecem, e estudaremos o sinal de outras ex-

presses, como funes trigonomtricas, razes ou logaritmos.

Exerccio 1.10. Estude o sinal das seguintes expresses

1. 5+ x

2. 5+ x2

3. (x 5)24. x2 5

5. x2+2x48

2x6. (x + 1)|2x 1 x2|

1.2 O plano cartesiano

O plano cartesiano, em geral denotado por R2, o conjunto dos pares P = (x , y) de reais,x e y , chamados respectivamente de abscissa (ou primeira coordenada) e ordenada (ousegunda coordenada).

P = (x , y)

px

y


10

CAPTULO 1. FUNDAMENTOS 1.2. O plano cartesiano

O conjunto dos pontos cuja primeira coordenada nula, isto , o conjunto dos pontos daforma P = (0, y), chamado de eixo y , ou eixo das ordenadas. O conjunto dos pontos cujasegunda coordenada nula, isto , o conjunto dos pontos da forma P = (x , 0), chamadode eixo x , ou eixo das abscissas. Os eixos x e y formam duas retas perpendiculares, edividem o plano em quatro quadrantes:

1o2o

3o 4o

Mais explicitamente, em termos das coordenadas,

1o = {(x , y) : x 0, y 0}, 2o = {(x , y) : x 0, y 0},

3o = {(x , y) : x 0, y 0}, 4o = {(x , y) : x 0, y 0}.

Se P = (x , y) e Q = (x , y ), a distncia Cartesiana entre P e Q calculada usando oTeorema de Pitgoras:

d(P,Q)|y

y |

|x x |

P

Qd(P,Q):=

p(x x )2 + (y y )2 .

Exerccio 1.11. Descreva os seguintes subconjuntos do plano em termos das suas coordenadascartesianas.

1. Semi-plano acima do eixo x,

2. semi-plano a esquerda do eixo y,

3. quadrado de lado 1 centrado na origem (com os lados paralelos aos eixos),

4. reta vertical passando pelo ponto (2,0),

5. reta horizontal passando pelo ponto (3,5),6. reta horizontal passando pelo ponto (13,5),7. faixa vertical contida entre o eixo y e a reta do item (4),

8. crculo de raio 1 centrado na origem.

9. disco (cheio) de raio 2 centrado em (1,2).


11


1.2.1 Retas

J vimos, no Exerccio 1.11, como expressar retas horizontais e verticais. Uma reta vertical o conjunto formado pelos pontos (x , y) cuja primeira coordenada x igual a um nmerofixo a R; a sua equao se escreve: x = a.

y

x

(a, 0)

equao da reta: x = a

Por outro lado, uma reta horizontal o conjunto formado pelos pontos (x , y) cuja segundacoordenada y igual a um nmero fixo b R; a sua equao se escreve: y = b.

y

x(0, b)

equao da reta: y = b

As retas horizontais e verticais so descritas por somente um parmetro (o a para umareta vertical, ou o b para uma reta horizontal). Para as outras retas do plano, que noficam necessariamente paralelas a um dos eixos, preciso usar dois parmetros, m e h,chamados respectivamente inclinao (ou coeficiente angular) e ordenada na origem,para especificar a dependncia entre x e y:

y = mx + h .

y

xordenada na origem: h

equao da reta: y = mx + hinclinao: m

O significado da inclinao m deve ser entendido da seguinte maneira: partindo de umponto qualquer da reta, ao andar horizontalmente uma distncia L para a direita, o deslo-camento vertical da reta de mL. Por exemplo, para uma reta de inclinao 12 (observe quetodo os tringulos da seguinte figura so semelhantes),

L

L/2

1

0.5

0.60.3


12

CAPTULO 1. FUNDAMENTOS 1.2. O plano cartesiano

Se a inclinao negativa, ento o deslocamento vertical para baixo.

Se P = (x1, y1) e Q = (x2, y2) so dois pontos de uma reta no vertical de inclinao m,ento

y2 y1x2 x1 = m . (1.14)

Essa relao pode ser usada tambm para calcular a inclinao de uma reta.Exemplo 1.4. Procuremos a equao da reta r que passa pelos pontos P = (1,3) e Q =(3,0):

y

x

P

Qp p p p p

Como r no vertical, a sua equao da forma y = mx + h. A inclinao pode sercalculada usando (1.14): m = 0(3)3(1) = 34 . (Pode tambm observar que para andar deP at Q, necessrio andar 4 passos para a direita, e 3 passos para baixo, logo m = 34 .)Portanto, a equao da forma y = 34 x + h. Falta achar h, que pode ser calculado usandoo fato de r passar pelo ponto P: 3 = 34 (1) + h (daria na mesma usando o ponto Q).Assim, h = 94 , e r descrita pela equao:

y = 34 x + 94 .Ao multiplicarmos ambos lados por 4 e rearranjando podemos a equao da reta da seguintemaneira:

3x + 4y 9 = 0 .Essa a forma genrica da reta. Em geral, qualquer reta pode ser descrita na forma gn-rica,

ax + b y + c = 0 ,

em que a, b, c so constantes. Se a = 0 e b 6= 0, a reta horizontal. Se a 6= 0 e b = 0, a reta vertical. Se a 6= 0 e b 6= 0, a reta oblqua.

Exerccio 1.12. Considere a reta r do Exemplo 1.4. Escolha alguns pares de pontos P e Q emr, e verifique a frmula (1.14). Ache os valores de x e y para que os pontos R = (x , 100) eT = (6, y) pertenam a r.

Exerccio 1.13. Determine a equao da reta que passa pelos pontos dados.

1. (0,0), (1, 1)

2. (2, 1), (100,1)3. (3,21.57), (3,3)

4. (1,2), (1,3)

5. (333, 227), (402,263)


13


Exerccio 1.14. Faa um esboo, no plano cartesiano, da reta descrita pela equao dada.

1. r1 : x = 4

2. r2 : y = 3/23. r3 : x + 2y = 0

4. r4 : y = 2x 3

Observe que retas paralelas tm a mesma inclinao.

Exerccio 1.15. D a equao da reta r , paralela a r, que passa pelo ponto P.

1. r : y = 5x + 2, P = (1,5). 2. r : 4x 3y + 6 = 0, P = (3,5).

Exerccio 1.16. Mostre que se r1 tem inclinao m1 6= 0, e r2 tem inclinao m2 = 1m1 , entor1 e r2 so perpendiculares.

Exerccio 1.17. Determine quais das seguintes retas so paralelas ou perpendiculares.

r1 : 2x + y 1 = 0 , r2 : x + 2y + 1 = 0 , r3 : y = 2x 3 , r4 : 3x + 6y 3 = 0 .Em seguida, esboce as retas e verifique.

1.2.2 Crculos

Considere o crculo 2 de centro C = (1, 2) e de raio R = 2:

y

xp p p p p p

C

Por definio (ver o Exerccio 1.11), definido pelo conjunto dos pontos P cuja distnciaeuclidiana a C igual a 2: d(P, C) = 2. Isso significa que as coordenadas (x , y) de P soligadas pela seguinte expresso:

p(x 1)2 + (y 2)2 = 2. Equivalentemente, descrito

pela seguinte equao:(x 1)2 + (y 2)2 = 4 .

Observe que, expandindo os fatores (x 1)2 e (y 2)2, essa ltima expresso pode serescrita na forma genrica:

x2 + y2 2x 4y + 1 = 0 .Em geral, um crculo de raio R> 0 centrado em C = (x0, y0) descrito pela equao

(x x0)2 + (y y0)2 = R2 . (1.15)Um problema clssico de achar o centro e o raio a partir da forma genrica.

2s vezes, o que chamamos aqui de crculo corresponde a circunferncia em outros textos de matemticaelementar.


14

CAPTULO 1. FUNDAMENTOS 1.3. Trigonometria

Exemplo 1.5. Considere o crculo descrito pela sua equao genrica

x2 + y2 + 6x 8y = 0 . (1.16)Para achar o seu centro e o seu raio, completemos os quadrados: x2 + 6x = (x + 3)2 9,y28y = (y4)216. Logo, (1.16) pode ser escrita como (x +3)29+(y4)216 = 0,isto :

(x + 3)2 + (y 4)2 = 25 52 .Portanto, centrado em C = (3, 4), de raio R = 5. Exemplo 1.6. Considere x2 + 2x + y2 + 2 = 0. Completando o quadrado e rearranjando,obtemos (x + 1)2 + y2 = 1. Como 1 no pode ser escrito como um quadrado, estaequao no representa um crculo (e na verdade, no existe nenhum par (x , y) que sejasoluo). Exerccio 1.18. Determine quais das equaes a seguir definem um crculo. Quando for o caso,calcule o centro e o raio.

1. x2 + (y + 1)2 = 9

2. x2 + y2 = 13. x2 + y2 = 6x

4. x2 + y2 + x + y +1 = 0

5. x2 + y2 + 2x + 1 = 0

6. x2 = y2 + 1

1.3 Trigonometria

A trigonometria estabelece relaes precisas entre os ngulos e os lados de um tringulo.Definiremos as trs funes (mesmo se a prpria noo de funo ser estudada no pr-ximo captulo) trigonomtricas elementares, sen (seno), cos (cosseno) e tan (tangente), edaremos as suas propriedades bsicas. Nos prximos captulos olharemos mais de perto aspropriedades analticas dessas funes.

1.3.1 Medir ngulos no plano

Para comear, importante escolher uma unidade (como metros para comprimentos, oulitros para volumes) para medir um ngulo determinado pela abertura entre duas retas.Descreveremos as duas unidades mais usadas, graus e radianos.

Os ngulos sero medidos a partir de uma reta horizontal, em sentido antihorrio. A aber-tura mnima, naturalmente, definida como valendo zero, qualquer que seja a unidade. Oque precisa ser definido o valor do ngulo total. Se o ngulo for medido em graus, essengulo total definido como valendo 360 graus:

0o

360o


15

1.3. Trigonometria CAPTULO 1. FUNDAMENTOS

Uma vez que o ngulo total foi fixado, a medio dos outros se faz proporcionalmente: ametade do ngulo total vale 180 graus, o ngulo reto mede 90 graus, etc. A vantagem dessaunidade que vrios ngulos bastante usados em geometria tomam valores inteiros: 30, 60,90, 180, 270, etc.

30o60o

90o120o

150o

180o

210o

240o270o

300o330o

360o

Observe que apesar da posio do ngulo total coincidir com o ngulo nulo, eles devem serconsiderados como distintos.

Fixar o ngulo total como sendo igual a 360 pode parecer arbitrrio, e um jeito mais naturalde definir o ngulo total de usar a noo de comprimento usual na reta. De fato, considereo crculo de raio 1 centrado na origem e, partindo do ponto (1,0) (que corresponde a umngulo de 0), ande ao longo do crculo no sentido antihorrio. Quando tiver percorridouma distncia igual ao raio do crculo, o ngulo correspondente definido como sendo de1 (um) radiano:

01

1

1 rad

Observe que o ngulo total corresponde circunferncia de um crculo de raio 1: 2pi.

Em geral, nessa apostila, os ngulos sero medidos em radianos. Se a medida de um nguloem graus g e em radianos r , a converso se faz da seguinte maneira: como o ngulototal mede 360 graus e 2pi radianos, temos 3602pi =

gr

. Portanto,

g =180pir , ou r =

pi

180g . (1.17)

Assim, verifica-se por exemplo que um ngulo de 90 graus corresponde a pi18090 =pi2 = 1.57...

radianos.

Exerccio 1.19. O ponteiro dos segundos de um relgio mede 20 centmetros. Qual distnciaa ponta desse ponteiro percorreu depois de uma hora e 15 minutos?

Exerccio 1.20. Estime a velocidade (em km/s) com a qual a lua gira em torno da terra,sabendo que a distncia mdia terra-lua fica de 384400km e que uma volta dura aproxima-damente um ms.


16


Um ngulo negativo ser interpretado como medido no sentido horrio:

+

1.3.2 Seno, cosseno e tangente

Para poder definir as ligaes entre os ngulos e os lados de um tringulo, necessrio fazerumas simplificaes. Trabalharemos com um tringulo retngulo, isto , que possui umngulo reto. Considere ento o seguinte tringulo ABC , retngulo em C:

c

B

a

CbA

Com respeito a , b chamado de cateto adjacente, a de cateto oposto, e c de hipotenusa.

Se dois lados forem conhecidos, o terceiro pode ser calculado usando o Teorema de Pit-goras, e o valor do ngulo determinado. Como qualquer tringulo semelhante a ABCtem os mesmos ngulos, determinado uma vez que um dos quocientes ac ,

bc , ou

ab for

conhecido. A ligao entre e esses quocientes chamada respectivamente seno, cossenoe tangente de , e denotada por

sen:=ac

, cos:=bc

, tan:=ab

.

(Aqui escreveremos a tangente tan, mas s vezes se encontra tambm a notao tg.)Observe que a seguinte relao sempre vale:

tan=sencos

(1.18)

Em alguns casos simples, sen, cos e tan podem ser calculados manualmente.

Exemplo 1.7. Considere = pi4 (= 45o). Para calcular sen pi4 , cos

pi4 e tan

pi4 , consideremos o

seguinte tringulo:

1

1

p2pi4

sen pi4 = 1p2 , cos pi4 = 1p2 , tan pi4 = 11 = 1 .

Exerccio 1.21. Montando em cada caso um tringulo apropriado, calcule (sem calculadora)sen pi3 , cos

pi3 , tan

pi3 , sen

pi6 , cos

pi6 , tan

pi6 .


17


Exerccio 1.22. Para determinar a altura H de uma torre, ficamos a uma distncia qualquerdela, e medimos o ngulo entre a horizontal e o topo da torre. Em seguida, andamos umadistncia d em direo base da torre, e medimos o ngulo entre a horizontal e o topo datorre. Expresse H como funo de , , d.

Faremos agora uma generalizao, que permitir enxergar melhor os trs nmeros sen,cos e tan, e que ser tambm til para consider-las como funes de uma varivel real,a partir do prximo captulo.

Para tanto, usaremos um tringulo cuja hipotenusa de tamanho c = 1. Isto , o pontoB do tringulo da figura acima posicionado no crculo de raio 1 centrado na origem,chamado crculo trigonomtrico. As funes trigonomtricas podem ento ser medidasefetivamente olhando para os comprimentos da seguinte figura:

sen

tan

cos

B

1

Observe como sen, cos e tan mudam medida que B se movimenta ao longo docrculo. Em particular, B pode dar uma volta completa no crculo, o que permite estenderas funes trigonomtricas a qualquer ngulo 3 0 2pi, e tambm para valores maioresou at negativos. Os sinais das funes trigonomtricas mudam dependendo do quadranteao qual B pertence:

1o :sen 0cos 0tan 0

2o :sen 0cos 0tan 03o :sen 0cos 0tan 0

4o :sen 0cos 0tan 0

Vrias propriedades podem ser obtidas a partir do crculo trigonomtrico. Por exemplo,observe que e tm o mesmo cosseno, mas que ao transformar em , o seno mudade sinal. Portanto,

cos() = cos , sen() = sen , tan() = tan . (1.19)3A tangente tem um problema nos mltiplos de pi2 (ver mais adiante).


18


Todas as identidades do seguinte exerccio podem ser obtidas de maneira parecida, olhandosimplesmente para o crculo trigonomtrico.

Exerccio 1.23. Prove as identidades:

cos(pi) = cos , sen(pi) = sen , tan(pi) = tan . (1.20)cos(pi+) = cos , sen(pi+) = sen , tan(pi+) = tan . (1.21)cos(pi2 ) = sen , sen(pi2 ) = cos , tan(pi2 ) = cotan . (1.22)

cos(pi2 +) = sen , sen(pi2 +) = cos , tan(pi2 +) = cotan . (1.23)A cotangente, definida por cotan:= 1tan , apareceu naturalmente.

Exerccio 1.24. Complete a seguinte tabela

graus 0 30 45 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360rad 0 pi6

pi4

pi3

pi2

2pi3

5pi6 pi

7pi6

4pi3

3pi2

5pi3

11pi6 2pi

sen 0 1p2

1 0 0cos 1 1p

20 1 1

tan 0 1 0 0

1.3.3 Identidades trigonomtricas

As identidades do Exerccio 1.23 deram algumas ligaes entre seno, cosseno e tangente. OTeorema de Pitgoras d tambm a relao

cos2+ sen2= 1 . (1.24)

Provaremos agora a identidade

sen(+ ) = sen cos + cos sen . (1.25)

Apesar desta valer para ngulos e quaisquer, suporemos que , (0, pi4 ), e usaremoso seguinte desenho:

O

A

B

C

DE

1

Observe que sen(+) = d(A, C) = d(A, B)+d(B, C). Usando o ponto E (projeo ortogonalde A no segmento OD) e olhando para o tringulo OEA, temos d(O, E) = cos e d(A, E) =


19


sen . Observe tambm que o ngulo BAE vale . Portanto, d(A, B) = d(A, E)/ cos =sen/ cos e d(B, E) = d(A, B) sen. Por outro lado, d(B, C) = d(O, B) sen, mas como

d(O, B) = d(O, E) d(B, E)= cos d(A, B) sen= cos sen

cossen= cos sen tan ,

temos

sen(+ ) =sencos

+ sencos sen tan

=sencos

+ sen cos sen sen2cos

= sen cos + sen cos ,

o que prova (1.25).

Exerccio 1.25. Prove as identidades (dica: todas podem se deduzir a partir de (1.25) e dealgumas identidades do Exerccio 1.23):

sen( ) = sen cos cos sen (1.26)cos(+ ) = cos cos sen sen (1.27)tan(+ ) =

tan+ tan1 tan tan (1.28)

cos( ) = cos cos + sen sen (1.29)tan( ) = tan tan

1+ tan tan. (1.30)

Exerccio 1.26. Prove as identidades:

sen(2) = 2 sen cos (1.31)

cos(2) = cos2 sen2= 2cos2 1 = 1 2 sen2 , (1.32)tan 2 =

sen1+ cos

, (1.33)

cos cos = 12(cos(+ ) + cos( )) . (1.34)Exerccio 1.27. Calcule a equao da reta r que passa pelo ponto (2,1), cujo ngulo com ahorizontal igual a 60o.

Exerccio 1.28. Resolva:

1. cos x = 0

2. sen x = 12

3. sen x = cos x

4. sen x = sen2 x

5. sen2 x + 32 sen x = 1

6. sen x 12

7. | cos x |< 1p2

8. (cos x + sen x)2 = 12

9. sen(2x) = sen x.


20

Captulo 2

Funes

O conceito de funo ser o principal assunto tratado neste curso. Neste captulo daremosalgumas definies elementares, e consideraremos algumas das funes mais usadas naprtica, que so as funes trigonomtricas e as potncias (exponenciais e logaritmos seroestudadas no prximo captulo). Tambm comearemos a falar de grfico de uma funodesde a Seo 2.2.

A noo de funo aparece quando uma grandeza depende de uma outra. Por exemplo:

Uma partcula evolui na reta. A trajetria uma funo que d a sua posio emfuno do tempo:

t 7 x(t) . O volume e a superfcie de uma esfera so duas funes que dependem ambas do raio:

r 7 43pir3 , r 7 4pir2 . Um gs est contido num recipiente hermeticamente fechado, de temperatura fixa

mas de volume varivel. A presso no recipiente funo do volume:

v 7 p(v) .

2.1 Definio e Exemplos

Como visto acima, uma funo f (de uma varivel real) um mecanismo que, a um nmeroreal x , chamado entrada (ou varivel), associa um nico nmero real construdo a partir dex , denotado f (x) e chamado sada (ou imagem). Essa associao costuma ser denotada:

x 7 f (x) .Neste curso, a entrada e a sada sero ambos nmeros reais. Veremos em breve que cadafuno precisa ser definida com um domnio.Exemplo 2.1. A funo multiplicao por dois x 7 2x (por exemplo 3 7 6, 13 7 26),a funo valor absoluto x 7 |x | (por exemplo 3 7 3, 13 7 13), a funo quadradox 7 x2 (por exemplo 3 7 9, 13 7 169), e a funo valor inteiro x 7 bxc, onde bxc omaior nmero inteiro menor ou igual a x (por exemplo 3 7 3, 1.5 7 1, 3.1415 7 4),so todas bem definidas para qualquer real x R.

21

2.1. Definio e Exemplos CAPTULO 2. FUNES

Exemplo 2.2. Para definir a funo inverso, x 7 1x , preciso evitar uma diviso por zero,isto , somente tomar uma entrada x R \ {0}. Assim, a funo f (x) = 1x bem definidauma vez que escrita da seguinte maneira:

f : R \ {0} Rx 7 1x .

Do mesmo jeito, para definir f (x) = xx21 , preciso excluir os valores em que o denominador zero:

f : R \ {1,+1} Rx 7 xx21 .

Os dois ltimos exemplos mostram que em geral, uma funo deve ser definida junto com

o seu domnio, que d os valores de x para os quais f (x) definida. O domnio ser emgeral denotado por D:

f : D Rx 7 f (x) .

O domnio ser importante para garantir que f (x) seja bem definida. Mas s vezes, pode-remos escolher um domnio particular somente por razes especficas, ou pelas exignciasde um problema.

Exemplo 2.3. As funes trigonomtricas encontradas no Captulo 1 podem ser conside-radas como funes no sentido acima. O seno, por exemplo, associa ao ngulo de umtringulo retngulo a razo do lado oposto sobre a hipotenusa: 7 sen. Aqui vemosque, pela origem geomtrica do problema, necessrio especificar os valores possveis de: para o tringulo ser bem definido, o ngulo precisa tomar valores entre 0 e pi2 (de fato, delicado falar de lado oposto para um ngulo nulo ou maior que pi2 ). Para indicar que afuno assim definida pega a sua entrada no intervalo (0, pi2 ), escreveremos

sen : (0, pi2 ) R 7 sen .

No entanto vimos que, usando o crculo trigonomtrico, o seno de qualquer ngulo (mesmonegativo) pode ser definido, o que permite estender ele reta real inteira:

sen : R R 7 sen .

A funo cosseno se define de maneira anloga. Mas, com a tangente, uma restrio necessria. De fato, tan = sencos e, a diviso por zero sendo proibida, a tangente no definida para ngulos R tais que cos= 0. Logo (veja o Exerccio 1.28),

tan : R \ {pi2 kpi, k Z} R 7 tan .


22

CAPTULO 2. FUNES 2.1. Definio e Exemplos

Exemplo 2.4. A funo raiz. Seja a R, e considere a equaoz2 = a . (2.1)

Sabemos (ver Seo 1.1.1) que se a < 0, essa equao no possui solues, se a = 0 elapossui a nica soluo z = 0, e se a > 0, ela possui duas solues: z = +

pa e z = pa.

Nesses dois ltimos casos, quando a 0, definiremos a funo raiz de a como sendo asoluo positiva de (2.1), isto , +

pa. Quando a < 0, a funo raiz de a no definida.

Assim, a funo raiz x 7 f (x) = px bem definida somente quando x 0, o que seescreve da seguinte maneira:

f : R+ Rx 7 px .

Por exemplo, para achar o domnio da funo

p1 x , necessrio que 1 x 0, isto ,

que x 1. Logo,f : (, 1] R

x 7 p1 x .Exerccio 2.1. Determine os domnios das seguintes funes:

1. 1x2+3x40

2. xx

3. |x 1|4. x+1x2+1

5. 11 1xx

6.p

x 17.p

x2 18. 1

1px1

9. 8x1x2

10. 8xp1x2

11.p

2x 1 x212.

p2xx2p

2xx2

13. 1cos x

14.p

sen x

15.p

x px16.

p1p1+ x2

2.1.1 Limitao

Vimos que a funo f (x) = 1x bem definida quando x 6= 0, mas observemos agora o queacontece com f (x) para os valores de x perto de 0. Por exemplo, para os valores de xpositivos x = 0.1, x = 0.01, ...

10.1 = 10 ,

10.01 = 100 ,

10.001 = 1000 , . . . ,

10.0000001 = 10000000 . . . .

Assim, vemos que a medida que x > 0 se aproxima de zero, 1x atinge valores positivos ar-bitrariamente grandes. O mesmo fenmeno acontece para os valores de x < 0: 1x atingevalores negativos arbitrariamente grandes. Diz-se que a funo no-limitada.

Uma funo f com domnio D dita limitada superiormente se existir um nmero finitoM+ tal que

f (x) M+ x D .Por outro lado, f dita limitada inferiormente se existir um nmero finito M tal que

f (x) M x D .


23

2.2. Grfico CAPTULO 2. FUNES

Se f for limitada inferiormente e superiormente, ento ela limitada.

Exemplo 2.5. A funo seno limitada. De fato, pela definio (olhe para o crculo trigo-nomtrico), 1 sen x 1. Aqui podemos tomar M+ = 1, M = 1. Exemplo 2.6. Como visto acima, a funo 1x no limitada, nem inferiormente nem su-periormente. Por outro lado, 1x2 no limitada superiormente, pois pode tomar valoresarbitrariamente grandes a medida que x se aproxima de zero. No entanto, como 1x2 0,ela limitada inferiormente (podemos escolher M = 0, ou M = 3, ou qualquer outronmero negativo).Do mesmo jeito, a funo f (x) = xx21 (Exemplo 2.2) no-limitada, pois toma valores

arbitrariamente grandes (negativos ou positivos) quando x se aproxima de +1 ou 1. Exemplo 2.7. Considere f (x) = x

2

x2+1 . Observe que f sempre no-negativa, e que o nu-merador menor do que o denominador para qualquer x: x2 x2 + 1. Logo,

0 f (x) = x2x2 + 1

x2 + 1x2 + 1

= 1 ,

o que prova que f limitada (por exemplo com M = 0, M+ = 1). Exerccio 2.2. Determine quais das funes abaixo so limitadas.

1. x2

2. tan x

3. 1x2+1

4. 1p1x

5. x1x3x2+x16. x + sen x

2.2 Grfico

Um dos nossos objetivos de entender, pelo menos de maneira qualitativa, a dependnciade uma funo f (x) em relao sua varivel x . Uma jeito de proceder representar a fun-o no plano cartesiano, via o seu grfico. O grfico permite extrair a informao essencialcontida na funo, de maneira intuitiva, pois geomtrica.

Seja f uma funo com domnio D. Esboar o grfico de f consiste em traar todos ospontos do plano cartesiano da forma (x , f (x)), onde x D. Por exemplo, se f tem umdomnio D = [a, b],

pa pbpx

(x , f (x))

Ao x percorrer o seu domnio [a, b], o ponto (x , f (x)) traa o grfico de f .Exemplo 2.8. Retas no-verticais so grficos de um tipo particular. Por exemplo, se f (x) =x2+1 considerada com o domnio D = [0,2), o seu grfico um pedao da reta de inclinao12 com ordenada na origem igual a 1:


24

CAPTULO 2. FUNES 2.2. Grfico

y

xp px0 21

Observe que uma reta vertical no define o grfico de uma funo. Exemplo 2.9. Faamos o esboo da funo f (x) = |x |, com domnio D = [1, 2]. Lembreque pela definio de valor absoluto em (1.11), |x | = x se x 0, e |x | = x se x < 0.Portanto, o grfico de f : 1) entre 1 e 0, a reta de inclinao 1 passando pela origem,2) entre 0 e 2, a reta de inclinao 1 passando pela origem:

x

f (x)

1 2px

Os dois grficos acima eram compostos essencialmente de retas. Vejamos agora um exem-

plo um pouco diferente.

Exemplo 2.10. Considere f (x) = x2 com D = [2,2]. Como esboar o grfico? Por exem-plo, os pontos (0, f (0)) = (0,0), (1, f (1)) = (1, 1), e (12 , f (12)) = (12 , 14) pertecem aogrfico. Traando o grfico completo:

x

f (x)

2 2px

A curva obtida, chamada parbola, ser usada inmeras vezes nesse curso. Observao 2.1. Um dos objetivos desse curso de poder entender as principais proprie-dades de uma funo pelo estudo do seu grfico. A noo de derivada (ver Captulo 6) serde importncia central nesse desenvolvimento.No entanto, o grfico da funo x2 acima foi feito com um computador. Primeiro, o com-

putador escolhe pontos entre 2 e +2, digamos 2 < x1 < < xn < 2, e calcula as posi-es (x j, f (x j)). Em seguida, ele traa a linha poligonal formada pelos segmentos ligando(x j, f (x j)) a (x j+1, f (x j+1)). Esse procedimento chamado interpolao. Por exemplo, es-colhendo n = 3, 5 ou 9 pontos no intervalo [2,2]:


25


Quando o nmero de pontos escolhidos grande e |x j+1x j| pequeno, a linha poligonal duma idia do que deve ser o verdadeiro esboo (o grfico do Exemplo 2.10 foi feito com n =50, e j no d mais para perceber que a curva na verdade uma linha poligonal). O mesmomtodo permite (em princpio, tomando s vezes um certo cuidado) usar o computadorpara esboar o grfico de qualquer funo f : D 7 R. Todos os grficos dessa apostilaforam feitos com esse mtodo de interpolao. Enfatizemos que as ferramentas matemticasdesenvolvidas mais longe no curso permitiro extrair informaes a respeito do grfico deuma funo dada, sem usar o computador. Isso ser o objetivo do estudo de funes. L, ocomputador poder ser usado somente como meio de verificao. Um problema inverso de procurar uma funo cujo esboo tenha caractersticas especfi-

cas.

Exemplo 2.11. Procuremos agora a funo cujo grfico a metade superior do crculo deraio R = 4 centrado na origem:

x4 4Lembre (Seo 1.2.2) que o crculo completo de raio 4 centrado na origem, , formado

pelos pontos (x , y) tais que x2 + y2 = 16. A funo procurada ser obtida isolando y nessaltima relao. Para y2 = 16 x2 ter solues (aqui, y a incgnita), preciso imporque 16 x2 0, o que implica 4 x 4. Assim, o domnio da funo procurada D = [4,4] (como podia se adivinhar olhando para a figura acima). Assim, quando x D,a equao acima possui duas solues y = +

p16 x2 e y = p16 x2. Para selecionar o

semi-crculo superior, escolhamos a soluo positiva. Portanto, a funo cujo grfico dadopelo semi-crculo acima :

f : [4, 4] Rx 7p16 x2 .

Exemplo 2.12. Como a funo valor absoluto, funes podem ser definidas por trechos.Por exemplo, com D = [1, 1), o grfico da funo

f (x) =

x se 1 x < 0 ,p1 x2 se 0 x < 1 ,


26


formado pela reta de inclinao m = 1 que passa pela origem entre x = 1 e x = 0, epela parte do semi-crculo de raio 1 centrado na origem entre x = 0 e x = 1:

xp1 1Observe que essa funo possui uma descontinuidade em x = 0: ao variar x entre pequenosvalores x < 0 e pequenos valores x > 0, f (x) pula de valores perto de zero para valoresperto de 1. Exerccio 2.3. D uma funo (e o seu domnio) cujo grfico seja:

1. a reta horizontal que passa pelo ponto (21,1)2. a parte inferior do crculo de raio 9 centrado em (5,4)3. a parte do crculo de raio 5 centrado na origem que fica estritamente acima da reta de

equao y = 3

4. a parte do crculo de raio 5 centrado na origem contida no quarto quadrante

Exerccio 2.4. Esboce os grficos das seguintes funes (todas com D = R):

1. f (x) = 1 se x 1, f (x) = x2 caso contrrio,2. g(x) = |x 1|,3. h(x) = bxc,4. i(x) = x bxc,5. j(x) = ||x | 1|.

Exerccio 2.5. Determine quais curvas abaixo so (ou no so) grficos de funes. Quandofor um grfico, d a funo associada.

p112 2 1 0 1 2

2.2.1 Potncias inteiras: x p

J esboamos o grfico da funo f (x) = x2 no Exemplo 2.10. Vejamos agora o caso maisgeral de uma potncia f (x) = x p, onde p Z (excluiremos o caso p = 0, que correspondea f (x) = 1).


27


Potncias positivas

Para potncias positivas inteiras, p > 0, temos x p = x x x (p vezes), logo o domnio dex p sempre D = R. Quando p positiva e par, isto , p {2,4, 6, . . . }, ento x p 0 paratodo x , e os grficos so da forma:

x

x pp = 2 :p = 4 :p = 6 :

Observe que todos os grficos passam pela origem e pelos pontos (1,1) e (1, 1), e que asfunes correspondentes no so limitadas superiormente: tomam valores arbitrariamentegrandes longe da origem (no entanto, todas so limitadas inferiormente por M = 0). Ve-mos tambm que quanto maior o p, mais rpido x p cresce quando x cresce.

Quando a potncia p positiva e mpar, isto , p {1,3, 5, . . . }, ento h uma mudanade sinal: x p 0 para x 0, x p 0 para x 0. Os grficos so da forma:

x

x pp = 1 :p = 3 :p = 5 :

Observe que nenhuma dessas funes limitada em R\{0}, nem inferiormente nem supe-riormente.

Potncias negativas

A potncia negativa p = 1 j foi encontrada no Exemplo 2.2. Se p < 0, escreveremosp = q com q > 0. Assim, x p = 1xq , que no definida em x = 0:

f : R \ {0} Rx 7 1xq

Quando a potncia q par, isto , q {2, 4,6, . . . }, ento 1xq 0 para todo x 6= 0, e osgrficos so da forma:


28


x

1xq

q = 2 :q = 4 :q = 6 :

Observe que para cada uma dessas funes, ao x se aproximar de 0, f (x) cresce e toma va-lores arbitrariamente grandes: no-limitada. Diremos (mais tarde) que h uma assntotavertical em x = 0. Tambm, quando x toma valores grandes, f (x) decresce e toma valoresarbitrariamente pertos de zero. Diremos (mais tarde) que a funo tende a zero no infinito,e que a reta horizontal y = 0 assntota horizontal.

Quando a potncia mpar, a mesma mudana de sinal acontece, e os grficos tm pro-priedades parecidas:

x

1xq

q = 1 :q = 3 :q = 5 :

2.2.2 Paridade

Observemos algumas simetrias nos grficos das funes x p da seo anterior. Primeiro, paraos valores de p pares, o grfico de x p simtrico com respeito ao eixo y , o que segue do se-guinte fato: (x)p = x p. Por outro lado, para os valores de p mpares, o grfico de x p simtrico com respeito origem (por uma rotao de 180o), o que segue do fato seguinte:(x)p = x p.Esses fatos levam a introduzir duas noes gerais. Por um lado, diremos que

f par se f (x) = f (x) , x do seu domnio.Por outro lado,

f impar se f (x) = f (x) , x do seu domnio.


29


Exemplo 2.13. A funo f (x) = x2

1x4 par. De fato, como as potncias envolvidas so pares,(x)2 = x2, (x)4 = x4, assim:

f (x) = (x)21 (x)4 =

x2

1 x4 = f (x) .

Exemplo 2.14. Considere g(x) = x

2

sen(x) . Vimos que o seno uma funo mpar: sen(x) = sen x . Como consequncia, a funo g mpar, j que

g(x) = (x)2sen(x) =

x2

sen x = x2

sen x= g(x) .

Mas uma funo, em geral, no precisa ser par ou mpar. Para mostrar que uma funo f

no par, basta achar um ponto x em que f (x) 6= f (x). Do mesmo jeito, para mostrarque f no mpar, basta achar um ponto em que f (x) 6= f (x).Exemplo 2.15. Mostremos que f (x) = x + 1 no par. De fato, olhando para o pontox = 1, temos f (1) = 0, e f (1) = 2. Logo, f (1) 6= f (1). Mas como f (1) 6= f (1), ftambm no mpar.

Exerccio 2.6. Determine quais das funes f abaixo so pares ou mpares (justificando a suaresposta). Quando no for nem par nem mpar, d um contra-exemplo.

1. xx3x5

2.p

1 x23. x2 sen x

4. sen(cos x)

5. sen(sen x)

6. sen2 x cos x7. sen x + cos x

8.p

x2 |x |

2.2.3 Crescimento e decrescimento

O que mais nos interessar, no estudo de uma funo f dada, ser distinguir as regies emque ela cresce/decresce:

Definio 2.1. Seja I um intervalo. Uma funo f

crescente em I se f (x) f (x ) para todo x , x I , x < x . estritamente crescente em I se f (x)< f (x ) para todo x , x I , x < x . decrescente em I se f (x) f (x ) para todo x , x I , x < x . estritamente decrescente em I se f (x)> f (x ) para todo x , x I , x < x .

Por exemplo, o grfico de uma funo estritamente crescente:


30


x

f (x)

x

f (x )

Pela definio acima, uma funo constante ao mesmo tempo crescente e decrescente.

Estudar a variao de uma funo f ser entendido como procurar os intervalos em que fcresce ou decresce.

Exerccio 2.7. Estude a variao das funes abaixo.

1. x

2. |x |3. x2

4. x3

5. 1x

6. 1x2

7. x x28. ||x | 1|

Mais tarde introduziremos uma ferramenta fundamental (a derivada) para o estudo davariao.

2.2.4 Funes Trigonomtricas

Comeemos com o grfico de sen x , para x [0, 2pi]:

senx

1x x

sen x

senx

px

1

1

ppi p2pi

Se o seno for considerado na reta real toda, obtemos:

x

sen x4pip 2pip 2pip 4pip

Observemos que esse grfico simtrico em torno da origem (por uma rotao de pi), oque reflete o fato do seno ser uma funo mpar. Vemos tambm que sen peridica, deperodo 2pi:

sen(x + 2pi) = sen x , x R .


31


Geometricamente: o grfico completo (para x R) obtido usando translaes do grficoda figura anterior (hachurado, feito para x [0, 2pi]). Essa propriedade pode ser provadaanaliticamente, usando (1.21): sen(x + 2pi) = sen(pi+ (x +pi)) = sen(x +pi) = sen x .Consideraes anlogas se aplicam ao cosseno:

cos x

1x x

cos x

cosx px

1

1

ppi p2pi

Quando considerado na reta real, o cosseno par, e tambm tem perodo 2pi:

x

cos x

4pip 2pip 2pip 4pip

O esboo da funo tangente um pouco mais delicado. Como foi visto no incio do cap-tulo, tan x = sen xcos x bem definida somente se x diferente de

pi2 kpi. Isso implica a presena

de assntotas verticais no grfico:

tanx1

x x

tan x

tanx

px ppi p2pi

Quando considerado na reta real,

tan x

xxxxppi p2pi


32


Observemos que o perodo da tangente pi (e no 2pi!), como foi visto em (1.21):

tan(x +pi) = tan x , x R .

2.2.5 Transformaes

O grfico de uma funo f permite obter os grficos de outras funes, via transformaeselementares. Para simplificar, nesta seo consideraremos somente funes cujo domnio a reta toda.

Exemplo 2.16. Considere o grfico da funo f (x) = x2, a parbola do Exemplo 2.10. Qual a funo g cujo grfico o grfico de f transladado de 3 unidades para a direita?

x2

3xp

x

+3

Vemos que o valor tomado por g em x = x + 3 deve ser o mesmo que o valor tomado porf em x: g( x) = f (x). Como x = x 3, g( x) = f ( x 3). Logo, a funo procurada g(x) = (x 3)2. De modo geral, suponha f (x) definida para todo x , e a 6= 0 um nmero fixo. Defina a

funo g porg(x):= f (x a) .

Ento o grfico de g obtido transladando horizontalmente o grfico de f de a unidades.Apesar do sinal , a translao para a direita se a > 0, e para a esquerda se a < 0.Por outro lado, se b R,

h(x):= f (x) + b

uma funo cujo grfico o grfico de f transladado verticalmente de b unidades. A trans-lao para cima se b > 0, para baixo se b < 0.Exemplo 2.17. Esbocemos o grfico da funo f (x) = x2 + 2x . Completando o quadrado,f (x) = (x+1)21. Portanto, o grfico de f obtido a partir da parbola x2 pela composiode uma translao horizontal de uma unidade para a esquerda, e em seguida uma translaovertical de uma unidade para baixo:

x2

x2 + 2x

p

(1,1)

claro que o grfico de g(x):= f (x) obtido fazendo a reflexo do grfico em relao aoeixo x , e que o grfico de h(x):= f (x) obtido fazendo a reflexo do grfico em relaoao eixo y . Portanto, se f par, h e f tm o mesmo grfico.


33


Exerccio 2.8. Considere uma funo f definida na reta toda, e a reta vertical r : x = a. Da funo g cujo grfico obtido pelo grfico de f por reflexo em relao reta r. Faa amesma coisa com uma reta horizontal.

Finalmente, estudemos o que acontece com g(x):=| f (x)|. Sabemos que o grfico de g omesmo que o de f em todos os pontos x onde f (x) 0. Por outro lado, quando f (x)< 0,ento g(x) = f (x), isto , o grfico de g em x o de f refletido em relao ao eixo x . Emoutras palavras: o grfico de | f | obtido refletindo todas as partes do grfico de f negativas,tornando-as positivas.

Exemplo 2.18. Como x21 a parbola transladada de uma unidade para baixo, o grficode |x2 1| dado por:

|x2 1|

x2 1

Exerccio 2.9. Interprete todas as identidades trigonomtricas do Exerccio 1.23 como tran-formaes dos grficos de sen, cos e tan.

Exerccio 2.10. Esboce os grficos das seguintes funes:

1. f (x) = 1 | sen x |2. g(x) = x + 1 x2

3. h(x) = ||x | 1|4. i(x) = 2 sen x

5. j(x) = 12 sen x

6. k(x) = 2xx2(x1)2

Exerccio 2.11. Uma partcula de massa m lanada da origem com uma velocidade ~v =vh

vv

.

A resoluo da segunda equao de Newton mostra que a sua trajetria dada pela funo

x 7 y(x) = 12

g x

vh

2+

vv

vh

x ,

onde g o campo de gravitao. Descreva essa trajetria. Em particular, calcule 1) a qualdistncia a partcula vai cair no cho, e compare essa distncia quando g a constante degravitao na superfcie da terra (g = 9.81m/s2), ou na superfcie da lua (g = 1.63m/s2, seisvezes menor do que na terra), 2) as coordenadas (x, y) do ponto mais alto da trajetria.

Um grfico permite (em princpio) resolver uma inequao graficamente.

Exemplo 2.19. Considere a inequao do Exemplo 1.2 (ltimo captulo),

|x 2|> 3 .Com f (x) = |x 2| e g(x) = 3, o conjunto das solues da inequao, S, pode ser inter-pretado como o conjunto dos pontos onde o grfico de f fica estritamente acima do grficode g: f (x) > g(x). Como o grfico de g uma reta horizontal e o de f o grfico de |x |transladado de duas unidades para a direita,


34

CAPTULO 2. FUNES 2.3. Montar funes

x

yf

g

p1 p2 p5

vemos que todos os pontos em (,1) (5,) satisfazem a essa condio, que o quetinha sido encontrado anteriormente. Exerccio 2.12. Resolva graficamente:

1. 1 |x 1| |x | 2. 1 |x 1|> |x | 3. |x2 1|< 1

2.3 Montar funes

Ser sempre necessrio, no estudo de certos problemas, montar uma funo que satisfaa aalgumas condies.

Exerccio 2.13. Uma esfera pintada com uma tinta cujo custo de R$10,00 por metroquadrado. Expresse o custo total da tinta necessria em funo do raio (medido em metros) daesfera, T (r). Em seguida, a esfera enchida de concreto, a R$30, 00 o metro cbico. Expresseo custo total de concreto necessrio em funo da superfcie (medida em metros quadrados) daesfera, C(s).

Exerccio 2.14. Considere um ponto P = (a, b) na reta 2y + x = 2. Expresse d(a) (res-pectivamente d(b)), a distncia de P ao ponto Q = (1,2) em funo de a (respectivamenteb).

Exerccio 2.15. Um polgono regular (isto , com todos os seus lados iguais) com n lados inscrito em um disco de raio r. Calcule o seu permetro e a sua rea em funo de n e r.

Exerccio 2.16. Um recipiente cnico criado girando o grfico da funo |x | em torno do eixoy. O objetivo usar esse recipiente para criar um medidor de volumes (digamos, em metroscbicos). Explique como que a marcao do eixo y deve ser feita: 1m3, 2m3, ... Faa um esboodesse medidor.

Exerccio 2.17. Uma corda de tamanho L cortada em dois pedaos. Com o primeiro pedao,faz-se um quadrado, e com o segundo, um crculo. D a rea total (quadrado + crculo) emfuno do tamanho do primeiro pedao. D o domnio dessa funo.

Exerccio 2.18. Um tringulo ABC issceles em A, com |AB| = |AC | = 1. D a rea dotringulo em funo do ngulo entre AB e AC. Em seguida, esboce essa funo no seu domnio,e ache o ngulo para o qual a rea mxima.

Exerccio 2.19. Considere a reta r : y = x + 1, e os pontos P = (1, 0), Q = (t, 0), t > 1.Seja Rt a regio delimitada pela reta r, pelo eixo x, e pelas retas verticais passando por P e Q.Esboce Rt , e expresse a sua rea A(t) em funo de t.


35

2.4. Composio, contradomnio e imagem CAPTULO 2. FUNES

Exerccio 2.20. Considere uma pirmide de altura H, cuja base um quadrado de ladoL (H e L so constantes). Considere em seguida a pirmide truncada obtida cortando horizontalmente, na altura de um ponto P na aresta lateral, como na ilustrao.

S

B

P

Expresse o volume e a rea da superfcie de em funo da distncia x = |PB|.

2.4 Composio, contradomnio e imagem

Suponha que se queira obter o valor de sen(pi2) com uma calculadora. Como uma calcula-dora possui em geral as duas funes ()2 e sen(), calculemos primeiro o quadrado de pi, eem seguida tomemos o seno do resultado:

pi= 3.1415...()27 pi2 = 9, 8696... sen()7 sen(pi2) = 0.4303...

O que foi feito foi compor duas funes.

Sejam f e g duas funes reais. Definemos a composio de f com g como a nova funof g definida por

( f g)(x):= f (g(x)) .Isto significa que para calcular x 7 ( f g)(x)), calculamos primeiro g(x),

x 7 g(x) ,e em seguida aplicamos f :

x 7 g(x) 7 f (g(x)) .Exerccio 2.21. Sejam f (x) = x2, g(x) = 1x+1 , h(x) = x + 1. Calcule

( f g)(0) , (g f )(0) , ( f g)(1) , (g f )(1) , f (g(h(1))) , h( f (g(3))) .Como foi observado no exerccio anterior, f g em geral diferente de g f .s vezes ser necessrio considerar uma funo complicada como sendo uma composta de

funes mais elementares:

Exemplo 2.20. A funo x 7 p1+ x2 pode ser vista como a compostax 7 1+ x2 7p1+ x2 ,


36

CAPTULO 2. FUNES 2.4. Composio, contradomnio e imagem

que significa quep

1+ x2 = f (g(x)), com g(x) = 1+ x2 e f (x) =p

x . Observe que podiatambm escrever

x 7 x2 7 1+ x2 7p1+ x2 ,que d a decomposio

p1+ x2 = f (g(h(x))), onde h(x) = x2, g(x) = x + 1, f (x) =p

x . Exerccio 2.22. Para cada funo f a seguir, d uma decomposio de f como composio defunes mais simples.

1. sen(2x)

2. 1sen x

3. sen( 1x ) 4.q

1tan(x)

Exerccio 2.23. Considere

f (x):=

x + 3 se x 0 ,x2 se x < 0 ,

g(x):=

2x + 1 se x 3 ,x se x < 3 .

Calcule f g e g f .Lembramos que uma funo sempre definida junto com o seu domnio:

f : D Rx 7 f (x) .

Em f : D R, o R foi colocado para indicar que qualquer que seja x , f (x) sempreum nmero real. Em outras palavas: a imagem de qualquer x D por f um nmero real.Vejamos em alguns exemplos que esse conjunto R pode ser mudado por um conjunto querepresente melhor a funo.

Exemplo 2.21. Considere

f : R Rx 7 x2 .

Como x2 0 qualquer que seja x R, vemos que a imagem de qualquer x R por f positiva. Logo, podemos rescrever a funo da seguinte maneira:

f : R [0,)x 7 x2 .

Quando uma funo for escrita na forma

f : D Cx 7 f (x) ,

para indicar que qualquer x em D tem a sua imagem em C , diremos que um contradomniofoi escolhido para f . Em geral, no existe uma escolha nica para o contradomnio.


37


Exemplo 2.22. Como, x 7 sen x uma funo limitada, podemos escreversen : R [10,+10] (2.2)

x 7 sen x .Mas podemos tambm escolher um contradomnio menor:

sen : R [1,+1] (2.3)x 7 sen x .

Acontece que [1,+1] o menor contradomnio possvel (ver abaixo). Seja f : D C . Para cada x D, lembremos que f (x) C chamado de imagem de x , e

o conjunto imagem de f definido como

Im( f ):={ f (x) : x D} .Por definio, Im( f ) C um contradomnio, e tambm o menor possvel. Para caday Im( f ), existe pelo menos um x D tal que f (x) = y; cada x com essa propriedade chamado de preimagem de y . Cada ponto x D possui uma nica imagem em C; umy C pode possuir uma preimagem, mais de uma preimagem, ou nenhuma preimagem.Exemplo 2.23. Considere a funo seno na reta. Ao x percorrer a reta real, sen x atingetodos os pontos do intervalo [1, 1]. Logo, Im(sen) = [1,1]. Qualquer y [1,1] possuiinfinitas preimagens, por exemplo, todos os pontos de {kpi, k Z} so preimagens de y = 0.O ponto y = 2, por sua vez, no possui nenhuma preimagem (no existe x R tal quesen x = 2). Exerccio 2.24. Calcule o conjunto imagem das seguintes funes:

1. 2x + 1, D = R2. 2x + 1, D = [1, 1]3. x p (p mpar)

4. x p (p par)

5. 1x , D = R \ {0}6. 1x , D = (0,)

7. x2 + 1, D = R

8. 1 x2, D = R9. x2 + 2x, D = (, 0)

10. tan x,

11. sen x, D = [pi2 , pi2 ]12. cos x, D = (pi2 , pi2 )

13. 13 sen x, D = R

14. sen(pi4 sen x), D = R

15. 1x2+1 , D = R

16.

x + 1 se x 012(x 1) se x < 0

Faa a mesma coisa com as funes do Exerccio (2.4).

Exerccio 2.25. Se f (x) = 2xx2+25 , calcule Im( f ). Para cada y Im( f ), determine se y possuiuma nica preimagem ou mais.

2.4.1 Bijeo, funo inversa

Diremos que uma funo f : D C bijetiva (ou simplesmente: f uma bijeo) se1. Im( f ) = C (isto , se f atinge cada ponto do seu contradomnio), e se


38


2. qualquer y C possui uma nica preimagem, i.e. existe um nico x D tal quef (x) = y . (2.4)

Quando uma funo bijetiva, possivel definir a sua funo inversa, f 1 : C D, ondepara todo y C , f 1(y) definido como a nica soluo x de (2.4). A funo inversa temas seguintes propriedades:

x D, ( f 1 f )(x) = x , e y C , ( f f 1)(y) = y .

Exemplo 2.24. Considere a funo do Exemplo 2.8: f (x) = x2 + 1 com D = [0, 2). EntoIm( f ) = [1,2), e f : [0,2) [1,2) uma bijeo:

y

x

2

1

p px

f (x)

0 2

y

xp

2

1

pf 1(y)

y

0 2

Como y = x2 + 1, a funo inversa obtm-se isolando x: x = 2(y 1). Logo, f 1 : [1,2)[0, 2), f 1(y) = 2(y 1). Para esboar o grfico da funo inversa no plano cartesiano, mais natural renomear a varivel usada para representar f 1, da seguinte maneira:

f 1 : [1, 2) [0,2)x 7 2(x 1) .

Podemos agora esbocar f 1:

x

2

1pp px

f 1(x)

0 2

importante observar que o grfico da funo inversa obtm-se a partir do grfico de f poruma simetria atravs da diagonal do primeiro quadrante:

2

1pp

0 2


39


Vimos no ltimo exemplo que o grfico de f 1 obtido a partir do grfico de f por umasimetria atravs da diagonal do primeiro quadrante. Isso vale em geral. De fato, se umponto (x , y = f (x)) pertence ao grfico de f , ento (y, x = f 1(y)) pertence ao grfico def 1.Exemplo 2.25. Considere f (x) = 1 x2.

1)

p xx

2)

p x

1) Com D = [1,1], temos Im( f ) = [0, 1]. Mas como 1 (x)2 = 1 x2, cada ponto docontradomnio (diferente de zero) possui exatamente duas preimagens, logo f : [1,1][0, 1] no bijetiva. 2) Mas, ao restringir o domnio, D = [0, 1], ento f : [0, 1] [0,1], fse torna bijetiva. O seu inverso se acha resolvendo y = 1 x2: x =p1 y . Assim, a suafuno inversa dada por f 1 : [0, 1] [0, 1], f 1(y) =p1 y . Exerccio 2.26. Mostre que a funo

f : (1,0) (0, 1)x 7p1 x2

bijetiva, e calcule f 1. Esboce o grfico de f 1.

Exerccio 2.27. Considere f : (1,) R, f (x) = 1x+1 . A partir do grfico de f , d o seuconjunto imagem, e mostre que f : (1,) Im( f ) uma bijeo. Em seguida, d a suafuno inversa.

Exerccio 2.28. Seja f : R R uma bijeo mpar. Mostre que a sua funo inversa f 1 :R R mpar tambm.

Exerccio 2.29. Para cada um dos contradomnios C a seguir, d um exemplo explcito debijeo f : (0, 1) C.

1. (0, b), onde b > 0.

2. (a, b), onde a < b.

3. (0,)4. (,)

5. (0, 1)

Exerccio 2.30. Sejam f (x) e g(x), x R, definidas porf (x):=bxc+ (x bxc)2 , g(x):=bxc+x bxc .

Mostre que g = f 1.


40


2.4.2 Inversos das potncias

Vimos que se p par, ento a funo f (x) = x p par, e Im( f ) = [0,) ou (0,) (de-pendendo de p ser > 0 ou < 0). Logo, para serem invertidas, o domnio delas precisa serrestringido. Escolheremos (para p par)

f : [0,) [0,)x 7 x p .

Vemos que com essa restrio, f se torna bijetiva: para cada y [0,) existe um nicox [0,) tal que x p = y . Esse x costuma ser denotado por x = y1/p:

f 1 : [0,) [0,)y 7 y1/p .

No caso p = 2, y1/2 =py a funo raiz quadrada.p

x

x

x1/pp = 2 :p = 4 :p = 6 :

Se p > 0 for mpar, Im( f ) = R e no preciso restringir o seu domnio:

f : R Rx 7 x p

bijetiva, e o seu inverso tem o seguinte grfico:

x

x1/pp = 3 :p = 5 :

Exerccio 2.31. Complete essa discusso, incluindo os valores negativos de p.


1. x >p

x + 2 2. (x 1)2 p1 x 3. px2 x + 6 = (x +1)


41


2.4.3 Funes trigonomtricas inversas

Vimos que para a funo sen : R [1,1], um y [1, 1] possui infinitas preimagens, logono bijeo. Portanto, para inverter a funo seno, necessrio restringir o seu domnio.A restringiremos ao intervalo [pi2 , pi2 ]:

x

sen x

pi2pi2

1

1

x

y

De fato, com essa restrio,

sen : [pi2 , pi2 ] [1, 1]x 7 sen x

uma bijeo, pois cada y [1,1] atingido e possui uma nica preimagem. A funoinversa chamada arcseno, e denotada

arcsen : [1, 1] [pi2 , pi2 ]y 7 arcsen y .

Pela sua definio, ela satisfaz:

y [1,1] : sen(arcsen y) = y , e x [pi2 , pi2 ] : arcsen(sen x) = x . (2.5)O grfico de arcsen pode ser obtido por uma reflexo do grfico de sen pela diagonal do

primeiro quadrante:

x

arcsen x

1

pi2

1

pi2

Observao 2.2. (J fizemos esse comentrio no Exemplo 2.24.) Como arcsen definidacomo a funo inversa de x 7 sen x (no intervalo [pi2 , pi2 ]), o mais correto escrev-lay 7 arcsen y . Mas para esboar o seu grfico, faz mais sentido usar a notao habitual, emque o eixo das abscissas chamado de x. Por isso, esse ltimo grfico representa o grficoda funo arcsen, mas chamando a sua varivel x (em vez de y): x 7 arcsen x . Faremos amesma modificao nos prximos grficos. Exerccio 2.33. Seja y (0, pi2 ) tal que y = arcsen 35 . Calcule sen y, cos y, e tan y.


42


O cosseno pode ser invertido tambm, uma vez que o seu domnio bem escolhido:

cos : [0,pi] [1, 1]x 7 cos x

x

cos x

pi

1

1

x

y

A funo inversa chamada arcosseno, e denotada

arcos : [1, 1] [0,pi]y 7 arcos y .

Ela possui as propriedades:

y [1,1] : cos(arcos y) = y , e x [0,pi] : arcos(cos x) = x . (2.6)O grfico de arcos pode ser obtido por uma reflexo pela diagonal do primeiro quadrante:

x

arcos x

11

pi

Para inverter a tangente, faremos a restrio

tan : (pi2 , pi2 ) Rx 7 tan x ,

obtendo assim uma bijeo.

x

tan x

x

y


43


A funo inversa chamada de arctangente:

arctan : R (pi2 , pi2 )y 7 arctan y .

Como antes,

x (pi2 , pi2 ) : arctan(tan x) = x , e y R : tan(arctan y) = y . (2.7)O seu grfico possui duas assntotas horizontais: quando x positivo e grande, o grficode arctan x se aproxima da reta de equao y = pi2 , e quando x negativo e grande, ele seaproxima da reta de equao y = pi2 :

x

arctan x

Observemos tambm que arctan uma funo mpar, limitada por pi2 .

Observao 2.3. importante notar que as trs funes trigonomtricas inversas, arcsenarcos e arctan, foram definidas a partir de uma escolha de uma restrio para cada uma dasfunes sen, cos e tan. Essa escolha pode parecer arbitrria, mas a mais comum usada noslivros de matemtica. Continuaremos usando as funes inversas assim definidas, at o fimdo curso. Exerccio 2.34. Determine os domnios das seguintes funes.

1. arcos x arcsen x2. arcos(2x)

3. tan(arcsen x)

4. arcos(2x21+x2 )

Exerccio 2.35. Uma tela de cinema de 5 metros de altura est pregada numa parede, 3 metrosacima do cho. a) Se P um ponto no cho a distncia x da parede, calcule o ngulo sob oqual P v a tela, em funo de x. b) Mesma coisa se P a 2 metros do cho. (Obs: no Exerccio7.15 calcularemos onde colocar o ponto P de modo tal que o ngulo seja mximo.)


1. 3 arcsen x = pi2

2. arctan(x 1) = pi33. 2 sen(arcsen x) = 13

4. arctan(tan(x2)) = pi9

As funes trigonomtricas inversas tm idendidades associadas. Somente consideraremosalgumas:


44


Exemplo 2.26. Provemos, por exemplo, a identidade

cos(arcsen x) =p

1 x2 , x [1,1] . (2.8)Primeiro, como sen2+ cos2= 1, temos, usando (2.6),

cos2(arcsen x) = 1 sen2(arcsen x) = 1 x2 .Mas como pi2 arcsen x pi2 , vale cos(arcsen x) [0, 1]; logo, tomando a raiz quadradad a idendidade desejada. Um outro jeito de entender a identidade de escrev-la comocos(arcsen x) = cos, onde = arcsen x . Logo, sen = x , o que pode ser representadonum tringulo:

x1

Nesse tringulo vemos que cos=p

1x21 =

p1 x2.

Exerccio 2.37. Simplifique:

1. cos(2 arcos x)

2. cos(2 arcsin x)

3. sen(2 arcos x)

4. cos(2 arctan x)

5. sen(2 arctan x)

6. tan(2arcsen x)

Exerccio 2.38. Mostre que para todo x [1, 1],arcsen x + arcos x = pi2 .


45



46

Captulo 3

Exponencial e Logaritmo

O objetivo nesse captulo definir e descrever as principais propriedades de uma das funesmais importantes da matemtica, a exponencial de base a,

x

y ax

expa : R (0,)x 7 ax

e da sua funo inversa, o logaritmo na base a,

x

y

loga x

loga : (0,) Rx 7 loga x

Os exemplos de uso dessas duas funes em cincias so inmeros. Vejamos dois exemplosonde elas aparecem nos axiomas de uma teoria:

Exemplo 3.1. Em fsica estatstica, estudam-se sistemas em equilbrio termodinmico. Su-ponha que um sistema pode estar, no equilbrio, em um dos N microestados x1, . . . , xN deenergias respectivas E1, . . . , EN . Se a temperatura T , a probabilidade do sistema estarno estado i dada por

pi =e

EikB T

Z,

onde ex a funo exponencial na base e = 2.718... (ver Seo 3.3), kB a constante deBoltzmann e Z a funo de partio.

47

3.1. Exponencial CAPTULO 3. EXPONENCIAL E LOGARITMO

Exemplo 3.2. Em Teoria da Informao, estudam-se sequncias infinitas de smbolos alea-trios. Com um alfabeto binrio A= {0, 1},

01101001000011011011001001101010011001000000111010101100110....

Com um alfabeto A= {0,1, 2, . . . , 8, 9},43895612031468275092781059463897360142581974603522706194583...

Se cada algarismo ai de um alfabeto A = {a1, a2, . . . , ak} aparece com uma probabilidadepi, onde

kj=1 p j = 1, ento a Entropia de Shannon de uma sequncia aleatria com essa

propriedade definida por

S = k

j=1

p j log2 p j ,

onde o logaritmo na base 2 (mas pode ser tomado numa base qualquer). S d um limitepara a maior taxa de compactao para essa sequncia. Uma construo completa das funes expa x , loga x , para todo x R, como se encontra

nos livros de anlise, requer um conhecimento detalhado das propriedades dos nmerosreais. Aqui daremos uma construo que, apesar de no ser completamente rigorosa, tema vantagem de ser intuitiva (espera-se) e permitir usar essas funes j desde o prximocaptulo.

3.1 Exponencial

Seja a > 0 um nmero positivo, fixo, chamado base. Definamos primeiro, para todo nmeronatural n N,

expa(n):=an = a a a (n vezes) .

(Em particular, a1 = a.) Assim obtemos uma funo

expa : N (0,)n 7 an ,

que satisfaz s seguintes propriedades: para todo m, n N,aman = am+n , (3.1)(am)n = amn . (3.2)

Se b > 0 for uma outra base,(a b)n = an bn . (3.3)

O nosso objetivo de estender essa funo reta real toda:

expa : R (0,)x 7 ax .

Faremos essa extenso passo a passo, com o seguinte objetivo em mente: que as relaes(3.1)-(3.3) sejam sempre satisfeitas, tambm para variveis reais.


48

CAPTULO 3. EXPONENCIAL E LOGARITMO 3.1. Exponencial

Por exemplo, como definir a0? Para (3.1) ser satisfeita com m = 0, n = 1,

a = a1 = a1+0 = a1 a0 = a a0 .Da, simplificando por a na ltima expresso, vemos que preciso definir

a0:=1 .

Podemos em seguida definir a exponencial dos inteiros negativos, an. Usando de novo(3.1) com m = n, temos

anan = ann = a0 = 1 .Logo, vemos que an precisa ser definida como:

an:= 1an

.

O mesmo raciocnio pode ser aplicado em geral: se ax j foi definido para x > 0, ento onico jeito de definir ax como:

ax := 1ax .Estamos por enquanto com uma funo

expa : Z (0,)n 7 an .

Faamos um primeiro esboo, isto , representemos alguns pontos de coordenadas (n, an),n Z, no plano cartesiano (nessa figura, a = 2):

Z

an

ax

1

p4 p3 p2 p1 p0 p1 p2J podemos observar que para valores de n positivos grandes (aqui a = 2),

21 = 2 22 = 4 , 23 = 8 24 = 16 , 25 = 32 , 26 = 64 , ...

Como cada elemento dessa sequncia o dobro do anterior, ela diverge exponencialmenterpido. Por outro lado, para valores de n negativos grandes, a sequncia converge exponen-cialmente rpido para zero:

21 = 0.5 , 22 = 0.25 , 23 = 0.125 , 24 = 0.0625 , 25 = 0.03125 ...

Agora que ax foi definida para os valores de x inteiros, vejamos como definir ax para ossemi-inteiros x {. . . ,52 ,32 ,12 , 12 , 32 , 52 , . . . }. Por exemplo, se x = 12 , j que (a 12 )2 = a por

Clculo 1, Verso 1.02 (26 de fevereiro de 2015). Sugestes, crticas e corre

Cálculo I - Sacha.pdf

Documents

Transcript of Cálculo I - Sacha.pdf