CALCULO INTEGRAL

FASE II

WILTON ADRIAN POVEDA GOMEZ

C.C. 91478732

TUTORA:

MIRYAM PATRICIA VILLEGAS

GRUPO:

100411_369

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y ADISTANCIA UNAD DUITAMA DEPTIEMBRE 29 DE 20

FASE II

La integral definida de f entre a y b es ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim𝑛→∞

∑ 𝑓(𝐶𝑖)∇𝑥 =𝑛𝑖=1

𝑏

𝑎

𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) para cualquier función en [𝑎, 𝑏] para la que ese limite

exista y sea el mismo para toda elección de los puntos de evaluación, 𝑐1, 𝑐2 , … . , 𝑐𝑛 En tal caso, se dirá que f es integrable en [𝑎, 𝑏]. Existen casos en el que el teorema fundamental del calculo NO se cumple para resolver integrales, tal es el caso de integrales que tienen integrando discontinuo en el intervalo propuesto. Sea f(x) una función continua en el intervalo semiabierto [𝑎, 𝑏), entonces:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =𝑏

𝑎

lim𝑡→𝑏−

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑡

𝑎

Si el limite existe y es finito, decimos que la integral impropia es convergente, donde el limite es el valor de la integral. Si el limite no existe, decimos que la integral impropia es divergente. Evaluar las siguientes integrales impropias:

1. ∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥∞

0

lim𝑏→∞

∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥 =𝑏

0

lim𝑏→∞

− 𝑒−𝑥 ∫ = lim𝑏→∞

−𝑒−𝑏 − (−𝑒−0) = lim𝑏→∞

−𝑒−𝑏 − (−1) = 1𝑏

0

Entonces:

lim𝑏→∞

−𝑒−𝑏 + 1 = 1 = 0 + 1 = 1

𝑅𝑇𝐴: ∫ 𝑒−𝑥𝑑𝑥 = 1∞

0

2. ∫1

√𝑥3

1

−∞𝑑𝑥

lim𝑡→−∞

∫1

𝑥1

3⁄ 𝑑𝑥

1

𝑡

lim𝑡→−∞

∫ 𝑥−1/3𝑑𝑥 = lim𝑡→−∞

1

𝑡

𝑥2

3⁄

23⁄

= lim𝑡→−∞

3𝑥2

3⁄

2

Reemplazamos:

lim𝑡→−∞

3

2(𝑡)

23⁄ −

3

2(𝑡)

23⁄

lim𝑡→−∞

3

2−

3

2√𝑡23

= lim𝑡→−∞

3

2− lim

𝑡→−∞

3

2√𝑡23

𝑅𝑇𝐴 =3

2− ∞ = ∞

3. ∫𝑥3

√1−𝑥2

4. ∫√𝑥

√𝑥+1𝑑𝑥

1

0

5. ∫𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

25+𝑐𝑜𝑠2 (𝑥)𝑑𝑥

𝜋2⁄

0

6. ∫𝑒4𝑥

√4−(𝑒4𝑥)2𝑑𝑥

Existen varios métodos para resolver integrales como integración por racionalización, integración por sustitución trigonométrica, integración por partes, integración por fracciones parciales. Resolver las siguientes integrales enunciando claramente la técnica o propiedad utilizada:

7. ∫𝑑𝑥

√𝑥(1+√𝑥)

8. ∫1

√𝑥2 −1𝑑𝑥

9. ∫ 𝑒𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥

10. ∫5𝑥−4

2𝑥2 +𝑥−1𝑑𝑥