MODELO MATEMTICO PARA RESOLUO DA EQUAO

DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO DA CAMADA LIMITE

TURBULENTA COM TRANSPIRAO

Caroline Satye Martins Nakama

Escola Politcnica da Universidade de So Paulo

caroline.satye@gmail.com

RESUMO

Este trabalho apresenta o modelo matemtico desenvolvido por pesquisadores da

Universidade de Stanford para obteno do perfil da camada limite turbulenta com

transpirao a partir de dados experimentais. Para definir as condies de contorno dos

experimentos conduzidos que resultassem em um modelo generalizado, o conceito de

camadas limites de equilbrio foi utilizado. O modelo de Stanford foca na regio mais interna

da camada limite e prope uma expresso para a funo de amortecimento para o

comprimento de mistura do modelo de Van Driest dependente do gradiente de presso do

escoamento e da velocidade de transpirao na superfcie.

Palavras-chave: Camada limite turbulenta, transpirao, modelagem matemtica,

quantidade de movimento.

ABSTRACT

This paper presents a mathematical model developed by researchers at Stanford University to

obtain a profile of transpired turbulent boundary layer from experimental data. In order to

define the boundary conditions of the conducted experiments that would result in a

generalized model, the concept of equilibrium boundary layers was used. The Stanford model

focuses on the innermost region of the boundary layer and proposes an expression for the

damping function for the van Driest model mixing length dependent on the pressure gradient

and the velocity of the transpired fluid on the surface.

Keywords: Turbulent boundary layer, transpiration, mathematical model, momentum.

1 INTRODUO

A camada limite turbulenta com

transpirao, ou seja, injeo ou suco de

fluido atravs de uma superfcie porosa,

uma variao do problema geral da camada

limite turbulenta de interesse na

engenharia. Uma aplicao clssica a

injeo de um fluido refrigerante para

proteo de superfcies em escoamentos de

fluidos quentes. A suco pode ser

utilizada para evitar ou induzir o

descolamento da camada limite em

problemas aerodinmicos.

Com o avano da computao digital

a partir da metade do sculo XX e as

tcnicas de diferenas finitas, passou a ser

possvel a resoluo matemtica das

equaes diferenciais parciais da camada

limite. Entretanto, o emprego de condies

de contorno adequadas e modelos que

representam bem o fenmeno fsico so

fundamentais para resultados realistas. Na

dcada de 70, pesquisadores da

Universidade de Stanford propuseram um

modelo para o clculo da camada limite

turbulenta com transpirao e gradiente de

presso desenvolvido a partir de dados

obtidos experimentalmente.

Segundo Kays and Moffat (1975),

para definir os experimentos que pudessem

gerar um modelo generalizado e fixar

algumas condies de contorno, utilizou-se

o conceito de uma famlia de camadas

limites turbulentas semelhantes, chamada

camadas limites de equilbrio. Todos os

experimentos conduzidos foram realizados

em um tnel de vento, sendo a superfcie

inferior uma placa porosa com medidores

para vazo de transpirao e a parte

superior uma superfcie de controle para

variar a velocidade do escoamento livre.

Ar foi o fluido empregado tanto no

escoamento principal quanto na injeo

com pequenas variaes de temperatura

para minimizar os efeitos da variao das

propriedades na camada limite.

2 DESENVOLVIMENTO

2.1 Camadas limites de equilbrio

De acordo com Kays and Moffat

(1975), em camadas limites laminares,

possvel obter perfis de velocidades

similares fixando o valor de uma razo de

condies de contorno apropriada. Dessa

forma, possvel reduzir a equao

diferencial parcial para uma equao

ordinria e resolve-la para todo um grupo

de escoamentos. Para camadas limites

turbulentas, a possibilidade de

classificao de um grupo de escoamentos

tambm seria interessante. Entretanto, essa

abordagem dificultada pela existncia de

duas regies distintas na camada limite

turbulenta: uma camada mais externa, que

compreende quase toda a espessura da

camada limite, e uma camada interna,

independente da externa.

Kays and Crawford (1980) afirmam

que possvel observar um grupo

semelhante na camada interna com as

coordenadas y+ e u

+, porm isso no faz

com que escoamentos sejam semelhantes

na camada externa. Os autores, ento,

apresentam a proposta de Clauser feita em

1954, chamando as camadas limites

turbulentas satisfatoriamente semelhantes

na regio mais externa da camada limite

turbulenta de camadas limites de

equilbrio. A camada limite de equilbrio

a aquela que o perfil de velocidade traado

em coordenadas de velocity defect

universal, seguindo

(

)

onde, independente de x,

( )

Na proposta de Clauser, h tambm

um fator de forma, G, que deve ser

constante, independente de x.

(

)

Para casos com gradiente de presso

e transpirao, necessrio analisar

tambm os parmetros de transpirao, Bm,

e de gradiente de presso, . O parmetro de transpirao a razo entre o fluxo de

quantidade de movimento transpirado e a

tenso de cisalhamento na parede, dado por

O parmetro de presso a razo entre as

foras de presso e a tenso de

cisalhamento na parede

(

)

Provou-se experimentalmente que, se

Bm ou for mantido constante, G ser constante, o que tambm vlido para (Bm

+ ) constante. Para manter constante, preciso que a velocidade do escoamento

livre varie de acordo com

e para Bm constante, a velocidade do fluido

transpirado na parede deve seguir

2.2 Modelo de Stanford

Para a modelagem do problema

estudado, apresentado por Kays and

Moffat (1975) e ilustrado pela Figura 1,

devem-se considerar propriedades do

fluido constante e baixa velocidade de

escoamento, assim as equaes de

quantidade de movimento e de energia se

tornam independentes, camada limite

bidimensional, escoamento em estado

estacionrio, superfcie aerodinamicamente

lisa e velocidade de injeo ou suco

uniforme para uma dada proporo da rea

da placa relativamente grande quando

comparada espessura da regio interna da

camada limite.

Figura 1. Representao grfica da camada limite

turbulenta com transpirao. (Kays e Moffat, 1975)

A equao de quantidade de

movimento da camada limite pode ser

expressa por

(

)

Se o valor de for conhecido em todos os pontos, a equao acima pode ser

resolvida para qualquer condio de

contorno. Este termo pode ser definido

atravs do conceito de difusividade

turbilhonar de quantidade de movimento.

Na parte mais interna da camada

limite, a teoria de comprimento de mistura

do Prandtl pode ser utilizada para

determinar essa difusividade turbilhonar.

|

|

A parte mais interna da camada

limite pode ser dividida em duas partes:

uma imediatamente adjacente parede,

onde as foras viscosas so predominantes

e M tende a zero, chamada de subcamada viscosa, e uma regio mais afastada, onde

o transporte turbulento responsvel por

quase toda transferncia de quantidade de

movimento, mas as escala e intensidade de

turbulncia ainda so dependentes da

proximidade da parede. Nessa parte mais

afastada, o comprimento de mistura

proporcional distncia da parede.

Onde k, determinado experimentalmente,

0,41, inclusive para casos com transpirao

e gradiente de presso. Para a modelagem

da regio logo aps a parede, uma funo

de amortecimento pose ser utilizada para

representar toda a regio interna da camada

limite turbulenta. Essa abordagem foi

primeiro proposta por Van Driest em 1956

e pode ser observada na Figura 2.

(

)

Onde A+ a espessura efetiva da

subcamada viscosa e y+ a distncia

adimensional da superfcie, dada por

Figura 2. Perfil da camada limite turbulenta em

coordenadas de parede adimensionais. (Kays e

Crawford, 1980)

Segundo Kays e Moffat (1975), a

espessura efetiva da subcamada viscosa,

apesar de representar uma pequena frao

de toda camada limite, o parmetro mais

importante no clculo da camada limite

turbulenta, pois a regio onde ocorre a

maior mudana de velocidade do fluido.

Os pesquisadores da Universidade de

Stanford determinaram experimentalmente

uma expresso para A+ considerando

transpirao e gradiente de presso. Neste

caso, A+ depende do parmetro de

gradiente de presso adimensional, p+, e do

parmetro de transpirao adimensional,

v0+, como pode ser observado na Figura 3.

[ (

)]

Onde , e . Se , e . Se

, .

Figura 3. Variao de A+ em funo de p+ e v0

+. (Kays

e Moffat, 1975)

Kays and Crawford (1980)

apresentam uma possvel explicao

terica para a expresso obtida, partindo da

hiptese que a subcamada viscosa se ajusta

para que um nmero de Reynolds de

turbulncia seja sempre o mesmo em seu

limite externo. Este nmero de Reynolds

definido como

Pela definio de y+ e considerando

que logo depois do limite externo da

subcamada l igual a ky e aproximadamente igual a t, tem-se

Ret, ento, pode ser reescrito como

A partir de dados experimentais,

descobriu-se que quando y+ igual a 3A

+,

Ret 31, independente de v0+ e de p

+.

( )(

)

(

)

Testando a equao acima para

diferentes valores de v0+ e p

+, os autores

encontraram valores para A+ prximos a

valores fornecidos pelo modelo

desenvolvido. Alm disso, considerando

que a equao integrada de quantidade de

movimento para uma regio da camada

limite prxima parede pode ser

representada por

fica evidente, qualitativamente, a

influncia da transpirao e do gradiente

de presso na espessura efetiva da

subcamada viscosa.

O modelo apresentado foi

desenvolvido para condies de equilbrio.

Em casos onde h mudanas bruscas de v0+

ou p+, a subcamada no modificada

instantaneamente e, portanto, A+ no

assumo imediatamente um novo valor de

equilbrio. Nestes casos, possvel utilizar

uma equao para calcular o A+ efetivo

local em funo do A+ calculado para o

equilbrio atravs do modelo de Stanford.

Onde C uma constante emprica igual a

4000 e x+ dado por

De acordo com Kays e Moffat

(1975), o modelo foi testado para predio

de alguns exemplos de camada limite. Os

resultados obtidos para o caso de um

escoamento com pequena desacelerao e

injeo de fluido, por exemplo,

apresentaram excelente concordncia com

os dados experimentais, como possvel

observar na Figura 4.

Figura 4. Comparao entre os valores medidos e

calculados de fator de atrito para escoamento com

leve desacelerao e injeo. (Kays e Moffat, 1975)

3 CONSIDERAES FINAIS

Partindo do conceito de camadas

limites de equilbrio, possvel determinar

as condies de contorno para os

experimentos conduzidos e,

consequentemente, os escoamentos para os

quais o modelo vlido.

O trabalho desenvolvido pelos

pesquisadores da Universidade de Stanford

foi uma importante contribuio para o

estudo da camada limite turbulenta com

transpirao na dcada de 70, tanto por

todo o conjunto de dados experimentais

levantados, como pelo modelo proposto.

Atualmente, os estudos relacionados a este

tema so mais voltados para aplicaes

prticas, sendo tambm mais especficos.

Alguns trabalhos avaliam a influncia da

camada limite turbulenta no processo de

transferncia de calor e massa, sendo o

trabalho aqui apresentado uma referncia

para estudo e anlise inicial.

NOMENCLATURA

A+ Comprimento caracterstico

adimensional da funo de

amortecimento

Bm Parmetro de transpirao

cf Coeficiente de atrito

D Funo de amortecimento para o

modelo de comprimento de mistura

G Fator de forma de Clauser

k Constante do comprimento de

mistura

l Comprimento de mistura

lt Escala de comprimento da

turbulncia

m Expoente que descreve a variao da

velocidade do escoamento livre com

desacelerao

P Presso

p+ Presso adimensional em

coordenadas de parede

Ret Nmero de Reynolds de turbulncia

u Velocidade, em m/s

u Flutuao de u, em m/s

Mdia temporal da velocidade

u+ Velocidade adimensional em

coordenadas de parede

U Velocidade do escoamento livre, em

m/s

U Velocidade de atrito, dada por

v0 Velocidade do fluido transpirado na

parede

v0+ Velocidade adimensional do fluido

transpirado na parede em

coordenadas de parede

v Flutuao de v

Mdia temporal da velocidade

x Distncia na direo do escoamento,

em m

y Distncia normal em relao

parede, em m

y+ Distncia da parede adimensional

em coordenadas de parede

Parmetro de gradiente de presso

1 Espessura de deslocamento do escoamento principal, dada por

(

)

3 Espessura de Clauser

M Difusividade turbilhonar para quantidade de movimento

Densidade, kg/m3

Tenso de cisalhamento, em N/m2

0 Tenso de cisalhamento na superfcie, em N/m

2

t Tenso de cisalhamento turbulenta

Viscosidade cinemtica, em m2/s

REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

KAYS, W.M. AND CRAWFORD, M.E.

Convective Heat and Mass Transfer. McGraw-

Hill, 1980.

KAYS, W.M. AND MOFFAT, R.J. The

Behavior of Transpired Turbulent Boundary

Layers. Report No HMT-20. Stanford

University, 1975.