CAP. 5 - INTRODUÇÃO A PROGRAMAÇÃO LINEAR

CAP. 5 - INTRODUÇÃO A PROGRAMAÇÃO

LINEAR

1. GENERALIDADES

Sem dúvida nenhuma a Programação Linear é uma das técnicas da Pesquisa Operacional das mais

utilizadas em se tratando de problemas de otimização.

Os problemas de Programação Linear (PL) buscam a distribuição eficiente de recursos limitados

para atender um determinado objetivo, em geral, maximizar lucros ou minimizar custos. Em se

tratando de PL, esse objetivo é expresso através de uma função linear, denominada de "Função

Objetivo".

É necessário também que se defina quais as atividades que consomem recursos e em que

proporções os mesmos são consumidos. Essas informações são apresentadas em forma de

equações as inequações lineares, uma para cada recurso. Ao conjunto dessas equações e/ou

inequações, denomina-se "Restrições do Modelo".

Normalmente se tem inúmeras maneiras de distribuir os recursos escassos entre as diversas

atividades em estudo, bastando para com isso que essas distribuições estejam coerentes com as

restrições do modelo. No entanto, o que se busca, num problema PL é a função objetivo, isto é, a

maximização do lucro ou a minimização dos custos. A essa solução dá-se o nome de solução ótima.

Assim, a Programação linear se incube de achar a solução ótima de um problema, uma vez definida

o modelo linear, ou seja, a função objetivo e as restrições lineares.

2. PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR

Como foi dito anteriormente, está-se diante de um problema de PL quando os problemas práticos

que se pretende resolver pode ser escrito de forma de maximização (ou minimização) de uma função

objetivo linear, sujeita a um conjunto de restrições que podem ser expressos sob a forma de

inequações ou equações lineares.

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 2

Exemplos de problemas que podem ser resolvidos por programação linear: a) Um fabricante está iniciando a última semana de produção de quatro diferentes modelos de

consoles em madeira para aparelhos de televisão, designados respectivamente, I, II, III e IV. Cada

um deles deve ser montado e em seguida decorado. Os modelos necessitam, respectivamente de 4,

5, 3 e 5 horas para montagem e de 2, 1, 5, 3 e 3 horas para decoração. Os lucros sobre as vendas

dos modelos são respectivamente 7, 7, 6 e 9 reais. O fabricante dispõe de 30.000 horas para a

montagem destes produtos (750 montadores trabalhando 40 horas por semana) e de 20.000 horas

para decoração (500 decoradores trabalhando 40 horas por semana). Quanto de cada um dos

modelos deve ser produzido durante esta última semana a fim de maximizar o lucro? Admita que

todas as unidades possam ser vendidas.

b) Seja o caso de um investidor que, dispondo de $6000 esteja contemplando a possibilidade de

compra de dois seguintes tipos de ações:

? Tipo 1 - preço unitário de compra de $ 5,00 e rentabilidade anual esperada de 30%.

? Tipo 2 - preço unitário de compra de $ 3,00 e rentabilidade anual estimada em 35%.

Supondo que o investidor não deseje adquirir mais do que 1750 ações, e que seu corretor só possa

conseguir 1000 ações do tipo 1 e 1500 ações do tipo 2, que quantidades deve comprar de cada

tipo de ação, na hipótese de que seja seu objetivo maximizar o total de capital no fim de um ano?

c) Uma empresa esta analisando um conjunto de alternativas de projetos de investimentos

disponíveis e apresentados na tabela seguir.

Projeto Investimento no ano 1

Investimento no ano 2

Vida útil Economia anual nos próximos 3 anos

1 12 3 5 anos 9.29 2 54 7 5 anos 26.85 3 6 6 5 anos 9.88 4 6 2 5 anos 7.92 5 30 35 5 anos 35.33 6 6 6 5 anos 8.14 7 48 4 5 anos 22.78 8 36 3 5 anos 16.91 9 18 2 5 anos 11.04


O orçamento para investimento é de 50 para o primeiro ano e 20 para o segundo. Sabendo-se que

a TMA da empresa é de 10% a.a., qual a combinação ótima desses projetos.

3. OBTENDO FUNÇÃO OBJETIVO E AS RESTRIÇÕES Antes de discutir as técnicas possíveis para obtenção de resultados, através de um problema será

discutido como obter a função objetivo e as restrições.

Exemplo para discutir a obtenção da função objetivo e as restrições: Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido por

$27 e usa $10 de matéria prima. Cada soldado que é fabricado tem um custo adicional de $14

relativo a mão de obra. Um trem é vendido por $21 e gasta $9 de matéria prima. O custo de mão

de obra adicional para cada trem é de $10. A fabricação destes brinquedos requer dois tipos de

mão de obra: carpintaria e acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para acabamento e 1 de

carpintaria. Um trem necessita de 1 hora para acabamento e 1 hora de carpintaria. Cada semana,

Giapetto pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mas tem a disposição até 100 horas de

acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por trens é ilimitada, mas a venda de soldados é de no

máximo 40 por semana. Giapetto quer maximizar seu lucro diário (receitas-custos). Formular o

modelo matemático que poderá ser usado por Giapetto para maximizar seu lucro semanal.

Solução:

Sabendo que a matéria primanecessária é obtida sem problemas,

Giapetto tem como objetivomaximizar o lucro semanal (receitas -

custos).Vamos então formular

matematicamente a situação deGiapetto com o objetivo de maximizar

o lucro semanal.


Primeiro ponto importante:Variáveis de decisão

Em qualquer modelo de PL, as variáveisde decisão devem descrever

completamente as decisões a seremfeitas.

Caso de Giapetto: quantos soldados e trensdevem ser feitos na semana.

Variáveis de decisão

• X1 = número de soldados produzidoscada semana;

• X2 = número de trens produzidos a cadasemana.

Segundo ponto importante:Função objetivo

Em qualquer modelo de PL, o decisorquer maximizar ou minimizar alguma

função das variáveis de decisão.Caso de Giapetto: custos fixos (aluguel,

seguro) não depende dos valores de X1e X2, assim ele pode se concentrar em

maximizar a venda da semana.


Receitas e custos: podem ser expressos emtermos das variáveis X1 e X2. Seria tolice

Giapetto produzir mais soldados que ele possavender, assim assumimos que todos

brinquedos produzidos podem ser vendidos.Assim:

Receita da semana = receita dos soldados +receita dos trens

Receita da semana = $/soldado * soldado/semana + $/trem * trem/semana

Receita por semana = 27*X1 + 21*X2

Também podemos escrever:

• Custos de M.P. = 10*X1 + 9*X2• Custos de M.O. = 14*X1 + 10*X2

Então Giapetto quer maximizar:

(27X1 + 21X2) - (10X1 + 9X2) - (14X1 + 10 X2) = 3X1 + 2X2

Assim o objetivo de Giapetto é escolher X1 e X2 para maximizar 3X1 + 2X2

Objetivo:maximizar Z = 3X1 + 2X2

oumax Z = 3X1 + 2X2

Variávelusualmente

utilizada


Terceiro ponto importante:restrições

Se X1 e X2 aumentam, a função objetivo deGiapetto será sempre maior. Mas infelizmente X1

e X2 são limitados pelas seguintes restrições:• 1 - cada semana, não mais que 100 horas de

acabamento;• 2 - cada semana, não mais de 80 horas de

carpintaria;• 3 - limitação de demanda, não mais de 40

soldados por semana.

M.P. ilimitada, portanto não hárestrições. Como, próximo

passo, é necessário expressar asrestrições 1, 2 e 3, em termo das

variáveis de decisão: X1 eX2.

Restrição 1:não mais de 100 h de acabamento

Total de h de acab./semana = horas de aca./sold. * sold. feitos/semana + horas de acab./trem * trens feitos/semana

Total de h de acab./semana = 2*X1 + 1*X2

Restrição 1 - 2X1 + X2 <= 100


Restrição 2:não mais de 80 h de carpintaria

Total de h de carp./semana = horas de carp./sold. * sold. feitos/semana + horas de carp./trem * trens feitos/semana

Total de h de carp./semana = 1*X1 + 1*X2

Restrição 2 - 1X1 + X2 <= 80

Restrição 3:venda máxima de soldados: 40

Restrição 3 - X1 <= 40

Restrições:Restrições:

• 1 - 2X1 + X2 <= 100• 2 - X1 + X2 <= 80• 3 - X1 <= 40

Restrições para oproblema de PL

de Giapetto

Usualmenterepresentam aquantidade de

recursosdisponíveis.

Coeficientes tecnológicos:

refletem a quantiausada para

diferentes produtos.


Quarto ponto importante:Restrições adicionais

Para completar a formulação do problema:• X1 >= 0• X2 >= 0

Resumindo

• max Z = 3X1 + 2X2 (1)sujeito a:

• 2X1 + X2 <= 100 (2)• X1 + X2 <= 80 (3)• X1<= 40 (4)• X1 >= 0 (5)• X2 >= 0 (6)

Significa queX1 e X2

precisam satisfazertodas as restrições P.L. - todos os

termos X são deexpoente 1 e asrestrições são

inequaçõeslineares

O problema de Giapettoé tipico de muitos outros,

onde precisa-semaximizar lucrossujeitos a recursos

limitados

4. SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA DE P.L. - MÉTODO GRÁFICO Um problema de P.L. só pode ser resolvido graficamente desde que o modelo, em estudo,

apresentar duas variáveis.


O fato de que a função objetivopara um PL precisar ser umafunção linear de variáveis tem

2 implicações:• 1 - A contribuição para a função objetivo

de cada variável de decisão é proporcinalao valor da variável de decisão;

• 2 - A contribuição para a função objetivopara cada variável é independente dosvalores de outras variáveis de decisão.

Definição: região de solução- para um problema de PL é

o conjunto de todos ospontos que satisfazem todasas restrições do problema.

Restrições:• 2X1 + X2 <= 100 (2), ok 2*40+20<=100• X1 + X2 <= 80 (3), ok 40+20<=80• X1<= 40 (4), ok 40<=40• X1 >= 0 (5), ok 40>=0• X2 >= 0 (6), ok 20>=0

Giapetto: X1 = 40 X2 = 20 região de solução


Giapetto: X1 = 15 X2 = 70 não é região de solução

Restrições:• 2X1 + X2 <= 100 (2), ok 2*15+70<=100• X1 + X2 <= 80 (3), não ok 15+70> 80• X1<= 40 (4), ok 15<=40• X1 >= 0 (5), ok 15>=0• X2 >= 0 (6), ok 70>=0

região de solução

Pontos que atendem e onde será procuradaa solução ótima

Solução ótima

Ponto da região de solução, que leva ao maiorvalor da função objetivo.

• A maioria dos problemas de PL, temsomente uma solução ótima;

• Alguns não tem solução ótima;• Alguns tem infinitas soluções.

Para o problema de Giapetto, solução ótima:X1=20 e X2 = 60

Z = 3*20 +2*60 = 180lucro = 180 - 100 = 80/semana


Solução gráfica para oproblema de 2 variáveis

Um PL com 2 variáveispode ser resolvido

graficamente. Nós semprenomeamos as variáveis X1

e X2 e os eixoscoordenados por X1 e X2.

Se nós queremos delimitar emum gráfico o conjunto depontos que satisfaça a:

2X1+3X2 <= 6 (1)

3X2 <= 6 - 2X1

X2<=1/3*(6 - 2X1) = 2 - 2/3X1 (2)

O conjunto de pontos que satisfaz (1) e (2) cai sobre a reta ou abaixo dela

X2

X11

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

X2 = 2 - 2/3X1

Região onde:2X1+3X2<=6

Região onde:2X1+3X2>=6


A solução gráfica para o problema de Giapetto é a seguinte:

Encontrando a região de soluçãodo problema de Giapetto:

• 2X1 + X2 <= 100 (2)• X1 + X2 <= 80 (3)• X1<= 40 (4)• X1 >= 0 (5)• X2 >= 0 (6)

Para um ponto (X1, X2)

pertencer a região desolução é precisosatisfazer todas

estas inequações.

(5) e (6) indicam o primeiro quadrante

X2

X120

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

(2)

(3)

(4)

A

B

C

D

E

F

G

H

Poligono DGFEH - região de solução

Encontrando a solução ótima

Após a identificação da região desolução, nós devemos procurar a

solução ótima, que será o ponto daregião que levar ao maior valor de

Z = 3X1+2X2


Para encontrar a solução ótima, nósprecisamos desenhar uma linha sobraa qual todos os pontos levem ao mesmo

valor de Z.Escolhe-se qualquer ponto da região de

solução:(20, 0) - Z = 3X1+2X2 = 60

Assim (20, 0) cai sobre a reta:Z = 3X1 + 2X2 = 60

X2 = 30 - 3/2X1

3X1 + 2X2 = 60tem coeficiente angular = -3/2

Assim todas as retas 3X1+2X2 =constante terão o mesmo coeficiente

angular.

Importante: uma vez desenhada a reta, podemos encontrar

todas as outras pelo movimento paralelo da retaque desenhamos.

X2

X120

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

(4)(2)

(3)

A

B

C

D

E

F

G

HX2 = 30 - 3/2 X1

Indica o ponto ótimo - G (20, 60)


Ponto ótimo:Z = 3*20 + 2*60 = 180

5. PROBLEMAS INTERESSANTES QUE PODEM SER FORMULADOS PARA SEREM RESOLVIDOS POR PROGRAMAÇÃO LINEAR

O que será visto a seguir é a formulação de vários problemas complicados da Programação Linear.

O passo mais importante na formulação de um modelo é a escolha apropriada das variáveis de

decisão. Se as variáveis de decisão forem selecionadas adequadamente, a função objetivo e as

restrições devem ser obtidas sem muita dificuldade. Problemas na determinação da função objetivo

e restrições normalmente são devido a uma escolha incorreta das variáveis de decisão.

5.1 Exemplo 1: Problema de orçamento de capital

Uma empresa de petróleo esta considerando 5 diferentes oportunidades de investimento. O fluxo de

caixa e valor presente (em milhões de reais) é dado na tabela a seguir.

A empresa tem no momento $ 40 milhões para investir; e estima-se que no primeiro ano estarão

disponíveis $ 20 milhões para investimento. A empresa pode comprar qualquer fração de cada

investimento. Neste caso, o fluxo de caixa e valor presente são ajustados de acordo com a

proporção do investimento realizado. Por exemplo, se a empresa comprar 1/5 do investimento 3,

então o pagamento necessário será de 1/5 ($5) = $1 nos tempos 0 e 1. O valor presente do

investimento 3 será de 1/5 (16) = $3.2 milhões. A empresa quer maximizar o valor presente que

pode ser obtido pelos investimentos realizados entre as opções 1 a 5. Formular o problema para


atingir este objetivo. Assumir que qualquer fundo não usado no instante 0 não poderá ser usado no

primeiro ano (instante 1).

Inv. 1 Inv. 2 Inv. 3 Inv. 4 Inv. 5 Desembolso instante 0

11 53 5 5 29

Desembolso instante 1

3 6 5 1 34

Valor presente 13 16 16 14 39

5.2 Exemplo 2: planejamento financeiro de curto prazo Uma empresa eletrônica que fabrica gravadores e rádios têm seus custos de mão de obra, matéria

prima e preço de venda de cada produto discriminados na tabela a seguir.

Gravador Rádio Preço de venda 100 90 Mão de obra 50 35 Custo matéria prima 30 40

Em primeiro de dezembro de 98, a empresa terá matéria prima que é suficiente para fabricar 100

gravadores e 100 rádios. Na mesma data, o balancete previsto da empresa é o mostrado a seguir, e

a razão entre ativo circulante e as suas obrigações (dívida com banco) será 2 (20000/10000).

Ativo circulante Obrigações Caixa 10000 Contas a receber 3000 Estoques 7000 Dívidas em bancos 10000

A empresa precisa determinar quantos gravadores e rádios deverão produzidos em Dezembro. A

demanda é alta o suficiente para garantir que todos os produtos fabricados serão vendidos. Todas

as vendas são feitas a crédito, pagamentos por produtos fabricados em Dezembro não serão

recebidos até primeiro de Fevereiro de 99. Durante Dezembro, a empresa irá receber $2000 e

precisará pagar $1000 devido ao empréstimo bancário e $1000 referente ao seu aluguel. Em

primeiro de janeiro de 99, a empresa receberá um carregamento de matéria prima no valor de

$2000, que será pago em Fevereiro de 99. A gerência decidiu que em primeiro de janeiro de 99


precisa ter pelo menos $4000 em caixa. Também o banco exige que a razão entre dinheiro

disponível e financiamento seja de pelo menos 2. Para maximizar o lucro da produção em

Dezembro, o que deveria empresa produzir durante este mês?

5.3 Exemplo 3: Modelos de financiamento multi período O exemplo a seguir ilustra como a programação linear pode ser usada para problemas de

gerenciamento de fluxo de caixa. A chave é determinar as relações de dinheiro nas mãos durante

diferentes períodos.

Uma empresa de investimentos precisa determinar a estratégia de investimento para os próximos 3

anos. Atualmente a empresa tem $100.000 disponível para investir. Os investimentos A, B, C, D e

E estão disponíveis. O fluxo de caixa associado com investir $1 em cada opção é dado na tabela a

seguir.

0 1 2 3 A -$1 $0.50 $1 $0 B $0 -$1 $0.50 $1 C -$1 $1.2 $0 $0 D -$1 $0 $0 $1.9 E $0 $0 -$1 $1.5

Por exemplo, 1$ investido na opção B requer um pagamento de $1 no ano 1 e retorna $0.50 no

ano 2 e $1 no ano 3. Para assegurar que o portifólio da empresa seja diversificado, a política da

empresa é a de aplicar até $ 75.000 em um único investimento. Adicionalmente aos investimentos

A-E, a empresa pode obter taxas de 8% ao ano mantendo o dinheiro não investido em fundos do

mercado. Ganhos dos investimentos podem ser imediatamente reinvestidos. Por exemplo, o dinheiro

recebido no ano 1 do investimento C pode ser imediatamente reinvestido na opção B. A empresa

tem como diretriz não emprestar dinheiro de fundos, assim o dinheiro disponível para investimento a

qualquer tempo é limitado ao disponível. Formular a programação linear que maximiza o dinheiro em

mãos no ano 3.


6. SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE P.L. - MÉTODO SIMPLEX Nas formulações anteriores, problemas com mais de 2 variáveis não poderiam ser solucionados com

o método gráfico. Desta forma é necessário o estudo de outro procedimento para a busca de

soluções.

Agora, será apresentado mais um procedimento geral para resolução de problemas de programação

linear, denominado "Método Simplex" e que foi desenvolvido em1947 por George B. Dantzig.

O método simplex é um método interativo (algoritmo) utilizado para achar, algebricamente, a

solução ótima de um problema de P.L..

6.1 Teoremas Básicos

Teorema 1 - O conjunto de todas as soluções compatíveis do modelo de programação linear é um

conjunto convexo cujos vértices (pontos extremos) correspondem a soluções básicas viáveis.

Teorema 2 - Se a função objetiva possui um máximo (mínimo) finito, então pelo menos uma solução

ótima é um ponto extremo do conjunto convexo do teorema1.

6.2 Procedimentos do Método Simplex

Supondo o seguinte problema para maximização:

Max z = 5X1 + 2X2

Sujeito a:

X1 ? 3

X2 ? 4

X1 + 2X2 ? 9

X1, X2 ? 0

A solução gráfica do problema é a seguinte:


Sabe-se que a solução ótima do modelo é uma solução compatível básica do sistema, ou seja, um

ponto extremo do polígono A,B,C,D,E.

O método simplex, para ser iniciado, necessita conhecer uma solução compatível básica (solução

inicial) do sistema, isto é, um dos pontos A,B,C,D,E do trapézio. Suponha-se que essa solução seja

o ponto A.

O método simplex verifica se a presente solução é ótima. Se for o processo está encerrado. Se não

for ótima, é porque um dos pontos adjacentes fornece um valor maior que o ponto A.

Neste caso, o método simplex faz então a mudança do ponto A para o ponto extremo adjacente

que mais aumente o valor da função objetivo. No caso o ponto B.

Agora, tudo que foi feito para o ponto extremo A é feito para o ponto extremo B. O processo

finaliza quando se obtém um ponto extremo onde todos os pontos extremos a ele adjacentes,

fornecem valores menores que a função objetivo.

Como fazer, algebricamente, a mudança de um ponto extremo para outro, a ele adjacente?

Achar, portanto, a próxima solução básica (ponto extremo adjacente) exige a escolha de uma

variável básica para deixar a base atual, tornando-se não básica, e a escolha de uma variável não

básica para entrar na base em sua substituição.

O método simplex compreenderá, portanto, os seguintes passos:

1. Achar uma solução compatível básica inicial.

2. Verificar se a solução atual é ótima. Se for, pare. Caso contrário siga para o passo III.

Pontos extremos

X2

X1

E(0, 4) D(1, 4)

C(3, 3)

A(0, 0)

B(3, 0) A B C D E

Z

ZB = 15

ZE = 8

ZD = 13

ZB = 15


3. Determinar a variável não-básica que deve entrar na base.

4. Determinar a variável básica que deve sair da base.

5. Achar a nova solução compatível básica, e voltar ao passo II

6.3 O Método Simplex

A seguir será mostrado passo a passo o método simplex.

Definição Geral de Programação Linear:

Maximizar ou Minimizar Z = C 1X 1 + C2 X2 + .... + Cn Xn

sujeito a:

a11X1 + a12X1 + ..........+ a1nXn (? ou = ou ? ) b1

a21X1 + a22X1 + ..........+ a2nXn (? ou = ou ? ) b2

a31X1 + a32X1 + ..........+ a3nXn (? ou = ou ? ) b3

am1X1 + am2X1 + ..........+ amnXn (? ou = ou ? ) bm

X1, X2, X3, Xn ? 0

O Método Simplex é aplicado diretamente quando:

1. todas as restrições são ? bi

2. todos os bi ? 0

3. se quer maximizar Z

Quando uma dessas condições não é atendida estamos em presença de um caso particular.

O Método Simplex será estudado, acompanhando a seguinte formulação:

Maximizar Z = 3x1 + 2x2 + 5x3

Sujeito a

x1+ 2x2 + x3 ? 430

3x1 + 2x3 ? 460


xl + 4x2 ? 420

x1, x2, x3 ? 0

Primeiro passo: Transformar o sistema de M desigualdades lineares restritivas em um sistema de M

equações lineares.

Para isso adiciona-se a cada uma das desigualdades uma variável não-negativa chamada “Variável

de Folga".

Obs: Tem-se tantas variáveis de folga quantos forem as restrições.

Representação das Folgas = xn+1 , xn+2 , ... , xn+m.

Assim temos:

x1+ 2x2 + x3 + x4 = 430

3x1 + 2x3 + x5 = 460

xl + 4x2 + x6 = 420

Segundo passo: Colocar as equações em forma de tabela

Z - 3x1 - 2x2 - 5x3 = 0

x1+ 2x2 + x3 + x4 = 430

3x1 +2x3 + x5 = 460

xl + 4x2 + x6 = 420

Terceiro passo: Determinar uma solução inicial viável.

Pode ser demonstrado que a solução ótima de um problema de programação linear é uma solução

básica. Una solução básica para um sistema de M equações e N incógnitas.

Possui M variáveis diferentes de O (zero) e (N - M) variáveis iguais a 0 (zero). As variáveis

diferentes de 0 (zero) são chamadas "Variáveis Básicas" e aquelas iguais a 0 (zero) são as "Variáveis

Não Básicas".

No Método Simplex escolhe-se como variáveis básicas aquelas em cuja coluna aparece um valor

igual a 1 e os demais iguais a 0 (zero).

Quarto passo: verificar se a solução é ótima.


Examinar os valores dos coeficientes das Variáveis não básicas na la linha (no exemplo, linha de Z) e

concluir:

a. Se todos os valores forem positivos a solução é ótima e única.

b. Se aparecerem valores positivos e alguns nulos a solução é ótima mas não única.

c. Se aparecer algum valor negativo a solução não é ótima. Deve-se, então executar o 5o passo.

Como pode se verificar na tabela a seguir, existem números negativos na primeira linha, assim a

solução não é ótima, e precisa-se continuar os passos do método.

Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac. Z 1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0 X4 0 1 2 1 1 0 0 430 430 1 X5 0 3 0 2 0 1 0 460 230 2 X6 0 1 4 0 0 0 1 420 ind. 3

Quinto passo: Determinar a variável que entra (xe )

A variável que entra deve satisfazer as seguintes condições:

- ser igual a 0 (zero) na solução atual (ou seja deve ser não básica)

- ter coeficiente menor ou igual a 0 (zero) na linha de Z (na la linha)

- possuir em sua coluna, pelo menos um coeficiente positivo. Escolher para entrar na base aquela

que apresentar, na linha de Z, o coeficiente negativo de maior valor absoluto. Marcar a coluna na

tabela.

Sexto passo: Determinar a variável que sai (xs).

Calcula-se o valor de bi/aie para cada linha da tabela e escolhe-se para sair a variável para a qual o

quociente tiver o menor valor não negativo.

Marcar na matriz a linha de xs. O quinto e sexto passos podem ser vistos nesta tabela:

Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac.

Z 1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0 X4 0 1 2 1 1 0 0 430 430 1

entra


X5 0 3 0 2 0 1 0 460 230 2 X6 0 1 4 0 0 0 1 420 ind. 3

Sétimo passo: Calcular a nova matriz de coeficientes, executando as operações convenientes nas

linhas da matriz.

Os coeficientes da nova matriz podem ser calculados da seguinte maneira:

10 - Dividir todos os elementos da linha marcada pelo pivô (esta linha não muda mais).

20 - Multiplicar a linha marcada pelo fator Fi= aie / ase

Subtrair a linha i da matriz, da linha marcada e multiplicada pelo fator Fi.

30 - Substituir na coluna base a variável que sai pela variável que entra.

O resultado destas operações na tabela anterior resulta em:

Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac.

Z 1 4.5 -2 0 0 2.5 0 1150 0 X4 0 -0.5 2 0 1 -0.5 0 200 100 1 X3 0 1.5 0 1 0 0.5 0 230 ind. 2 X6 0 1 4 0 0 0 1 420 105 3

Como na primeira linha da coluna de X2 aparece um número negativo, a solução ainda não é a

ótima.

Oitavo passo: Repetir todos os passos, do 40 ao 70, tantas vezes quanto forem necessárias, até que

a solução ótima seja encontrada. O resultado final da tabela anterior aparece na próxima iteração, e

como não existem mais números negativos na primeira linha a solução é ótima. O resultado é

mostrado a seguir.

Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac. Z 1 4 0 0 1 2 0 1350 0 X2 0 -0.25 1 0 0.5 -0.25 0 100 1 X3 0 1.5 0 1 0 0.5 0 230 2 X6 0 2 0 0 -2 1 1 20 3

O máximo Z é 1350, para X2 = 100, X3 = 230 e X6 = 20.

sai Pivô


6.4 EXEMPLO - Resolver o problema do GIAPETTO pelo simplex.

Resolvendo o problema deGiapetto pelo simplex


• 2X1 + X2 <= 100 (2)• X1 + X2 <= 80 (3)• X1<= 40 (4)• X1 >= 0 (5)• X2 >= 0 (6)

Primeiro passo importante:converter o problema de PL na

forma canônica• max Z = 3X1 + 2X2 (1)

sujeito a:• 2X1 + X2 + X3 = 100 (2)• X1 + X2 + X4 = 80 (3)• X1 + X5 = 40 (4)• X1, X2, X3, X4 e X5 >=0



• 2X1 + X2 + X3 = 100 (2)• X1 + X2 + X4 = 80 (3)• X1 + X5 = 40 (4)• X1, X2, X3, X4 e X5 >=0

Variáveis não básicas: X1 = X2 = 0Variáveis básicas: X3 = 100 X4 = 80 X5 = 40

O problema pode ser representado assim:

Z X1 X2 X3 X4 X5 b RazãoBase 1 -3 -2 0 0 0 0 (1)X3 0 2 1 1 0 0 100 (2)X4 0 1 1 0 1 0 80 (3)X5 0 1 0 0 0 1 40 (4)

Pivo

100/2=5080/1=8040/1=40

Indica que X1 entra nolugar de X5

Solução parcial: (0, 0, 100, 80, 40)

Próximo quadro - Base: X3, X4 e X1

Devem se colocadas na forma canônica

Pivo

Z X1 X2 X3 X4 X5 b RazãoBase 1 0 -2 0 0 3 120 (1)+3(4) (1)X3 0 0 1 1 0 -2 20 (2)-2(4) (2)X4 0 0 1 0 1 -1 40 (3)-(4) (3)X1 0 1 0 0 0 1 40 (4) (4)

Ainda não é a solução ótima

20/1=2040/1=40

40/0


Solução parcial: (40, 0, 20, 40, 0)




Ainda não é a solução ótima Pivo

-102040


Solução parcial: (40, 20, 0, 20, 0)



Z X1 X2 X3 X4 X5 b RazãoBase 1 0 0 2 0 -1 160 (1)+2(2) (1)X2 0 0 1 1 0 -2 20 (2) (2)X4 0 0 0 -1 1 1 20 (3)-(2) (3)X1 0 1 0 0 0 1 40 (4) (4)

solução é ótima

Z X1 X2 X3 X4 X5 b RazãoBase 1 0 0 1 1 0 180 (1)+(3) (1)X2 0 0 1 -1 2 0 60 (2)+2(3) (2)X5 0 0 0 -1 1 1 20 (3) (3)X1 0 1 0 1 -1 0 20 (4)-(3) (4)

Valor máximo possívelpara a função objetivo

Solução ótima: (20, 60, 0, 0, 20)

A restrição 4 tem um folga de 20


• 2X1 + X2 + X3 = 100 (2)• X1 + X2 + X4 = 80 (3)• X1 + X5 = 40 (4)• X1, X2, X3, X4 e X5 >=0

Solução do problema deGiapetto pelo simplex

Solução ótima: (20, 60, 0, 0, 20) Z = 3*20 + 2*60 = 180

A restrição 4 tem um folga de 20

Resolver pelo Simplex a seguinte formulação:


Max Z = 5X1 +2X2

Sujeito a:

X1 ? 3

X2 ? 4

X1 + 2X2 ? 9

X1 ? 0

X2 ? 0

7. SOFTWARES COMPUTACIONAIS A utilização de programação linear é recomendada para problemas de maior porte, em que muitas

variáveis e restrições devem ser consideradas. Por isso, o desenvolvimento de algoritmos

computacionais eficientes e precisos têm sido a maior preocupação entre os pesquisadores.

Programas adequados existem, virtualmente, para cada sistema computacional comercial

desenvolvido nos últimos 20 anos.

Problemas de grande porte requerem sistemas computacionais potentes e, portanto, sistemas

paralelos têm sido utilizados nos últimos anos. Entretanto, problemas menores podem ser resolvidos

em um computador pessoal utilizando um dos softwares desenvolvidos para resolução de problemas

de programação linear, como por exemplo XPress-MP LINDO e MINOS.

Para problemas considerados médios, é recomendável a utilização de planilhas eletrônicas com

recursos para resolução de problemas. Exemplos destas planilhas são o "What's Best?" (LINDO

Systems) para Lotus 1-2-3, o Microsoft Excel e Borland Quattro e ainda o solver para microsoft

Excel. Todos eles são ferramentas poderosas, apesar de sua aparência simples. O Solver do Excel

será utilizado em alguns exemplos apresentados. Outro programa que também será visto é o

LINDO.

O instituto de pesquisa operacional e ciências administrativas (INFOR-MS) publica, eventualmente,

pesquisas sobre os softwares de programação matemática em seu periódico OR/MS Today. O

relatório de 1995 apresenta softwares que rodam em computadores pessoais e destaca softwares

capazes de atacar problemas maiores tanto quanto extensões de planilhas eletrônicas.


7.1 Uma introdução ao uso do LINDO

LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) foi desenvolvido por Linus Schrage (1986). Ele

é um programa de computador que pode ser usado para resolver problemas de programação linear,

inteira e quadrática. Para ilustrar seu uso, vamos usar o exemplo de Giapetto, discutido

anteriormente, e que foi sintetizado na seguinte formulação:

O programa executável tem o nome LINDO.EXE, apesar dele ser originalmente desenvolvido para

o ambiente DOS, pode-se executá-lo pelo WINDOWS. O LINDO assume que todas as variáveis

são não negativas, e as restrições adicionais não precisam ser fornecidas.

7.1.1 Comandos do LINDO

São os seguintes os comandos do LINDO:

MAX – entrada inicial para o problema de maximização;

MIN – entrada inicial para o problema de minimização;

END – finalização da formulação, deixando o LINDO pronto para aceitar outros comandos;

GO – resolve a formulação corrente e apresenta a solução;

LOOK – mostra seleção estabelecida da atual formulação;

ALTER – altera um elemento da formulação corrente;

EXT – soma uma ou mais restrições ao modelo;

DEL – retira uma ou mais restrições do modelo;

• max Z = 3X1 + 2X2 (1) sujeito a: • 2X1 + X2 <= 100 (2) • X1 + X2 <= 80 (3) • X1<= 40 (4) • X1 >= 0 (5) • X2 >= 0 (6)


DIVERT – saída para um arquivo, de tal forma que possa ser impresso;

RVRT – finaliza o comando DIVERT;

SAVE – salva uma formulação, de tal forma que possa ser recuperada para uso futuro;

RETRIEVE – recupera um arquivo anteriormente salvo;

EDIT – chama o editor do programa;

SOLU – mostra a solução da formulação (usar o comando GO antes do SOLU);

TABLEAU – mostra a tabela da formulação pelo simplex;

TAKE – habilita o LINDO a trabalhar com arquivos gerados por outros editores.

Uma lista completa dos comandos pode ser obtida através do comando COMMAND.

7.1.2 Usando o LINDO

O programa assume que todas as variáveis precisam ser não negativas. Assim, usando o programa

não é necessário digitar as variáveis de não negatividade. Para entrar com ? ou ? , basta digitar > ou

<. O problema de Giapetto no programa fica da maneira ilustrada na figura abaixo.

Depois de inserida a formulação no programa, pode-se usar qualquer dos comandos mostrados

anteriormente. Para problemas com muitas variáveis, a função objetivo ou as restrições podem se

estender por mais de uma linha. Se algum equivoco é cometido durante o processo de entrada da

formulação, o LINDO acusará o erro e instruções de correção.

Uma vez a formulação tenha sido programada, é sempre útil verificar se houve algum erro de

digitação. Para o programa mostrar a formulação, o comando LOOK, pode ser usado. Ele irá

perguntar qual a linha que se deseja verificar. Responda com um número de uma determinada linha,


por exemplo, 3; ou por uma faica de linhas, 1-3; ou todas (ALL). Lembre que o LINDO considera

a função objetivo como a linha 1.

Para alterar algum aspecto da formulação, usar o comando ALTER. O programa irá perguntar qual

o número da linha, nome da variável, e o novo coeficiente, nesta seqüência. Para trocar o lado

direito de uma restrição, digitar RHS quando o programa perguntar pela variável. Para trocar o sinal

da restrição (por exemplo ? para ? ), digitar DIR quando o programa perguntar pela variável.

Mudanças adicionais podem ser feitas usando EXT (para adicionar novas linhas), DEL (apagar

uma linha) e APPC (para somar uma variável a uma ou mais linhas).

Uma vez que o programa esta digitado, para salvar basta digitar SAVE e dar um nome para o

problema. Para recuperar o arquivo basta usar RETRIEVE.

Para verificar o resultado do problema, basta digitar GO. Para obter uma impressão é preciso criar

um arquivo e imprimir este arquivo. Isto é realizado com o comando DIVERT.

Para resolver o problema, basta usar GO. Apenas a solução ótima é mostrada na tela, mas a

solução inteira pode ser vista no arquivo de saída para impressão. Em seguida o programa pergunta

se é desejo fazer uma análise de sensibilidade. Digitar NO ou YES. Para sair do programa é

necessário digitar QUIT.

Qualquer problema no uso do programa, o comando HELP fornece algumas informações.

Finalmente, o LINDO não aceita parênteses e virgulas. Assim 400(X1+X2) precisa ser digitado

como 400X1+400X2.

7.1.3 O editor do LINDO

Em versões mais novas do LINDO usando o comando EDIT, um editor para corrigir e verificar a

formulação inteira é uma ferramenta bastante interessante. Neste editor as teclas tem as seguintes

funções:

Home – manda o cursor para o inicio da formulação;

End – manda o cursor para o fim da formulação;

PgUp – movimenta uma página a frente;

PgDn– movimenta uma página a trás;

Setas – movimenta o cursor de uma posição;

Esc – sai do editor;


Del – apaga caracter;

Backspace – apaga o caracter a esquerda do cursor;

Enter – muda o texto a direita para a próxima linha;

Crtl – seta direita – manda o cursor para o fim da próxima palavra;

Crtl – seta esquerda – manda o cursor para o fim da palavra anterior;

Crtl-S – move o cursor para o início da linha;

Crtl-E – move o cursor para o fim da linha;

7.2 UTILIZANDO O SOLVER DO EXCEL

Como foi dito anteriormente, a aplicação de programação linear não é mais limitada pela

necessidade de um software especialista. Planilhas eletrônicas geralmente possuem ferramentas que

podem ser utilizados para atacar problemas de programação linear de tamanho considerável. Talvez

as duas planilhas mais utilizadas sejam o Excel, que contém um opcional conhecido como solver, e o

Lotus 1-2-3, que possui o módulo What's best?. Ambos os sistemas são muito simples de serem

utilizados e, embora sejam um pouco mais lentos que os softwares especialistas, podem resolver

problemas de tamanho razoável. Existem, é claro, alguns perigos na sua facilidade de uso, assim

como existem armadilhas que devem ser evitadas quando modelos de programação linear são

construídos e rodados, as quais podem ser encobertas neste software amigável. Entretanto, a

disponibilidade deste software é algo passível de ser elogiada.

A discussão apresentada a seguir é baseada no Microsoft Excel v7. Versões mais recentes ou mais

antigas deste software poderão apresentar pequenas diferenças na estrutura, mas as idéias básicas

são as mesmas.

7.2.1 Formulação para o Solver

Na base de qualquer modelo de programação linear existe um conjunto de restrições às quais uma

função objetivo a ser otimizada está submetida. O exemplo simples de Giapetto foi formulado

anteriormente, neste capítulo, através das equações algébricas representadas a seguir:

Max Z = 3X1+ 2X2

Sujeita a:

2X1 + X2 ? 100

X1 + X2 ? 80

Função objetivo

Restrição quanto a tempo de acabamento

Restrição quanto a tempo de carpintaria


X1 ? 40 Restrição de venda máxima de soldados

Estas equações podem ser representadas de maneira diferente, através da utilização de matrizes.

Esta representação está exposta a seguir:

X1 = número de soldados

X2 = número de trens

maximizar 3 2 Sujeito as restrições limite 2 1 ? 100 1 1 ? 80 1 0 ? 40 Lucro bruto Solução 0 0 0

Com exceção da última linha, denominada solução, as demais restrições expostas nas matrizes já

eram conhecidas. A linha de solução representa os valores atribuídos a X1 e X2 antes de qualquer

otimização. No estado atual, ambos X1 e X2 são definidos como zero, o que resulta em um lucro

bruto de zero unidades.

O primeiro estágio de uso Solver é escrever esta matriz na planilha, como apresentado na Figura 1.

Como em qualquer planilha, é muito importante observar que algumas células contêm valores

constantes, mas outras contêm fórmulas as quais assumem os valores que são exibidos nas mesmas.

Neste exemplo, as células D4, D5, D6 e E8 contêm fórmulas. As demais contêm textos, que são

utilizados para deixar o exemplo mais claro, ou contêm valores.


Figura 1 - formulação básica do problema.

Uma rápida explicação da Figura 1 é dada abaixo:

1. Neste exemplo, as colunas B e C possuem os valores dos coeficientes das expressões utilizadas

na formulação algébrica e na tabela anteriormente.

2. A linha 2 contém os valores dos coeficientes da função objetivo (2 e 1).

3. As linhas 4 a 6 apresentam os valores dos coeficientes das restrições descritas anteriormente.

4. A linha 8 contém os valores dados inicialmente para X1 e X2 antes de qualquer otimização.

5. A coluna D possui suas linhas com valor zero, porém suas células representam a utilização das

três restrições. Assim, a célula D4 contém a fórmula:

= $B$8*$B4 + $C$8*$C4

Observe que as referências às células B10 e C10 são ambas absolutas. Assim, esta fórmula

estendida da célula D4 a à D6 é dada por:

D4 = $B$8*$B4 + $C$8*$C4

D5 = $B$8*$B5 + $C$8*$C5

D6 = $B$8*$B6 + $C$8*$C6

A coluna E foi utilizada para que os limites máximos e mínimos das restrições fossem observados, a

qual é freqüentemente conhecida como right-hand-sides (abreviada como RHS por muitas pessoas).


Assim, existe um limite de 100 horas para acabamento, de 80 horas para carpintaria e venda

máxima de 40 soldados. A coluna D, como mencionado anteriormente, é usada para armazenar a

utilização atual dos recursos. Assim, a célula D4 representa a quantidade da restrição horas de

acabamento que foi utilizada e seu valor é zero, uma vez que as células B8 e C8 contêm valor zero

antes de qualquer otimização.

Finalmente, uma célula da planilha deve ser utilizada para armazenar o resultado da otimização

(neste caso, o valor do lucro semanal obtido); nesta planilha, este valor está contido na célula E8.

7.2.2 Janela de Parâmetros do Solver

Utilizando os botões do mouse ou o teclado, devemos selecionar o Solver a partir do menu de

ferramentas do Microsoft Excel. A Figura 2 apresenta a janela que irá aparecer na tela. Esta janela

de parâmetros do Solver é utilizada quando o usuário fornece ao Solver as informações necessárias

para que o mesmo busque a solução otimizada.

Figura 2 - Janela de parâmetros do Solver.

Para chegarmos à solução ótima do exemplo, o Solver precisa das seguintes informações:

1. Onde o valor da função objetivo será armazenado? Este valor representa o resultado da

otimização dado pela combinação de valores de X1 e X2 determinada. Neste caso, o resultado

será armazenada na célula E8. Isto significa que a célula E8 deve conter a fórmula apropriada

para a otimização, a qual, neste caso, é dada por: = $B$2*$B$8 + $C$2*$C$8. Observe que

as células de referência são absolutas - o que é recomendável, porém não é necessário.


2. Quais são as restrições e que forma as mesmas possuem? Para fornecer estas informações para

o Solver, clique no botão adicionar da subjanela de restrições da janela dos parâmetros do

Solver. Uma caixa de diálogo, como a apresentada na Figura 3, irá aparecer. Neste caso, a

caixa de diálogo corresponde à primeira restrição, a restrição das horas de acabamento, a qual

possui seus coeficientes nas células B4 e C4 e sua expressão está contida na célula D4. Assim, a

célula $D$4 deve ser digitada na caixa referência de célula, uma vez que a mesma contém a

expressão da restrição. Esta restrição é do tipo menor ou igual a, assim devemos selecionar este

símbolo da caixa central da janela. Finalmente, o valor máximo para esta restrição encontra-se

na célula $E$4 e esta célula deve ser indicada na caixa à esquerda da janela. Aperte o botão

OK e a caixa de diálogo irá fechar-se retornando à janela de parâmetros do Solver. Cada uma

das restrições deve ser descrita do mesmo modo como a anterior.

Figura 3 - janela para entrada das restrições.

3. Quais células irão conter os valores de X1 e X2, os quais serão modificados até que se otimize

a função objetivo, e qual tipo de otimização deve-se procurar? Esta informação deve ser

fornecida pelo usuário através da janela de parâmetros do Solver. As células cujos valores serão

variados são a B8 e a C8 e, como mostra a Figura 4, devem ser descritas como células de

referência na caixa células variáveis. Como se busca a maximização destas variáveis, a opção

Máx deve ser selecionada.


Figura 4 - entrada das células que irão variar para que a solução ótima seja encontrada (células variáveis).

Antes de executar a otimização, é interessante informar ao Solver que todas as restrições são

expressões lineares, assim como a função objetivo. Estas informações devem ser fornecidas, pois

estamos tratando de um problema de programação linear. Para entrar com esta informação, clique o

botão opções da janela dos parâmetros do Solver. Uma nova janela irá aparecer onde a opção

presume modelo linear deve ser selecionada. Isto irá aumentar a velocidade da otimização e,

também, fará com que os relatórios fornecidos sejam adaptados para o formato de problemas de

programação linear (veja a seguir).

Para executar a otimização, retorne à janela de parâmetros do Solver e aperte o botão resolver. A

Figura 5 apresenta o resultado da otimização.

Figura 5 - solução do problema

É importante observar que muitas outras informações, além do valor ótimo das variáveis estudadas,

podem ser obtidas a partir da solução fornecida para um problema de programação linear. Um bom

pacote computacional como o Solver fornece relatórios que ajudam o usuário a entender muito mais

sobre a solução apresentada. O Solver fornece três relatórios padrão e permite que sua solução seja

exportada para outro pacote se uma análise mais detalhada for necessária.


7.2.3 O Relatório de Resultados do Solver

O relatório resume os resultados da pasta de trabalho e também fornece algumas informações a

mais. Estas informações extras podem ser calculadas pelo usuário, mas é importante guardá-las em

algum lugar. O relatório da otimização para o problema apresentado é mostrado na Figura 6 e

possui três partes, como descrito abaixo:

? 1.Célula de destino (Máximo): apresenta o máximo lucro obtido pelo Solver. Se este fosse um

problema de minimização, esta seção iria conter o valor mínimo.

? Células ajustáveis: mostram as variáveis de entrada, seus valores após a solução ótima e seus

valores iniciais (zero, neste caso).

Restrições: indicam a utilização de cada um dos recursos ao final da otimização. A coluna de status

classifica as restrições como obrigatória (restrição com utilização máxima) ou não-obrigatória, estas

últimas são as que apresentam algum recurso que não foi utilizado - indicado pelo valor diferente de

zero na coluna diferencial (slacks - folgas).

Os outros dois relatórios fornecem mais informações sobre a sensibilidade da solução ótima,

informações que podem ser importantes por várias razões. Primeiro, porque são raros os casos de

programação matemática em ciências administrativas nos quais todos os coeficientes ou valores do

modelo são conhecidos com precisão. Geralmente, alguns coeficientes são conhecidos e vários

serão aproximações, estimativas ou até mesmo hipóteses. O que fazer, se os valores tomados forem

errados? Qual será o efeito destes erros na solução? Assim, uma solução alternativa não tão ótima

pode ser, algumas vezes, melhor que uma solução ótima que se toma sensível aos valores atribuídos

aos coeficientes. A segunda razão que torna importante a análise de sensibilidade está relacionada à

idéia de que o mundo é dinâmico e, por isso, as coisas estão mudando constantemente. Por

exemplo, pode ser verdade que esta semana a matéria-prima tenha um certo custo, porém, se o

período observado for um mês, este custo pode ser diferente. Assim, é importante conhecer quais

são os efeitos que as mudanças nos coeficientes podem gerar na solução ótima.


Figura 7 - relatório de resposta para o problema

CAP. 5 - INTRODUÇÃO A PROGRAMAÇÃO LINEAR

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