Cap tulo 25 Logaritmo e Exponencial -...

Capıtulo 25

Logaritmo e Exponencial

25.1 Introducao

No inıcio do seculo XVII, a ciencia na Europa deixava de ser especulativa e se baseava cada vez mais em experienciasconcretas. O progresso nos diversos campos do conhecimento exigia uma teoria digna de credito, e para isso medicoesmais acuradas e operacoes algebricas mais sofisticadas eram necessarias.

Uma das grandes dificuldades dessa epoca residia no fato de que todas as contas eram feitas manualmente. Somargrandes quantidades e principalmente multiplicar numeros gigantescos nao eram tarefas faceis. A multiplicacao dedois numeros de cinco algarismos, por exemplo, envolve 25 multiplicacoes e uma adicao!

Um dos metodos utilizados para efetuar grandes multiplicacoes era o uso de tabuas de funcoes trigonometricas,conhecidas desde os tempos de Ptolomeu (seculo II D.C.), operadas da maneira descrita abaixo.

Para multiplicar dois numeros a e b, primeiramente mudava-se a posicao relativa das vırgulas e os sinais ate queos numeros a e b ficassem entre 0 e 1, entao, procurava-se na tabua, angulos α e β tais que sen(α) = a e cos(β) = b.Aplicando-se a formula

sen(α+ β) + sen(α− β)

2= sen(α) cos(β)

obtinha-se, por meio da tabua trigonometrica, os valores de sen(α+ β) e de sen(α− β) e daı o produto desejado.Uma outra ideia seria a de fazer uma tabua de multiplicacoes, so que tal tabua para numeros naturais de 1 a

10.000.000, exigiria meio trilhao de multiplicacoes, o que para ser efetuado tomaria muito tempo. (Cerca de 600.000mil anos a base de 1/2 minuto por conta, sem dormir e sem comer, sem ir ao banheiro e sem namorar.)

Usando a ideia basica das tabuas trigonometricas de transformar multiplicacoes em somas, Napier construiu, em1614, a primeira tabua de logaritmos, que listava os logaritmos dos numeros maiores do que 1 numa enorme tabela.O sucesso do projeto de Napier foi de grande ajuda para pessoas como Johann Kepler, cujas analises de observacoesastronomicas exigiam calculos laboriosos.

Os logaritmos gozam da seguinte propriedade operatoria:

log(a b) = log a+ log b

o que possibilitava que grandes multiplicacoes fossem efetuadas com esforco mınimo e, ainda, removia muitas dasdificuldades do processo trigonometrico, possibilitando, por exemplo, a multiplicacao de tres ou mais fatores semmuito trabalho.

Essas tabelas deram origem as famosas reguas de calculo que eram usadas por engenheiros, fısicos e economistas ateo inıcio da decada de 70, quando a popularizacao dos computadores e das maquinas de calcular tornou completamenteobsoletas tanto as ditas reguas como as famigeradas tabelas (gracas ao bom e misericordioso Deus!).

Hoje em dia os logaritmos nao sao mais utilizados explicitamente para calculos corriqueiros e nao tem mais sentidoaprender ou ensinar o uso das tais tabuas. A funcao logaritmo, que estudaremos a seguir, continua, no entanto,mantendo sua importancia teorica no estudo das funcoes reais e das equacoes diferenciais.

25.2 Motivacao

Suponha que f seja uma funcao tal que f ′(x) = 1x para todo x > 0 e f(1) = 0. Vamos mostrar que f(xy) = f(x)+f(y).

Para isso, considere a funcao g definida por g(x) = f(xy). Entao,

g′(x) = f ′(xy)y =y

xy=

1

x

Consequentemente, como f e g tem a mesma derivada, diferem por uma constante, isto e,

g(x) = f(x) + C.

345

346 Cap. 25. Logaritmo e Exponencial

Como f(1) = 0, entao C = g(1) = f(y). Logo,

g(x) = f(xy) = f(x) + f(y).

Assim, a funcao que transforma produtos em somas (logaritmo), que desde o seculo XVII os matematicos procuravamdefinir, deve ser aquela cuja derivada seja igual a 1

x e tal que f(1) = 0. A funcao L(x), definida por L(x) =∫ x

11t dt,

satisfaz estas duas propriedades, portanto e razoavel definirmos a funcao ln(x ) (logaritmo natural ou neperiano de x )como

ln(x) =

∫ x

1

1

tdt

e, a partir daı, deduzir as suas propriedades. Isto e feito nas secoes a seguir.

25.3 Logaritmo natural

Definicao

Define-se o logaritmo natural de um numero positivo x como

ln(x) =

∫ x

1

1

tdt.

Geometricamente, isto significa que quando x > 1, o logaritmo natural de x e igual ao valor da area da regiao planalimitada pela curva y = 1

t , pelo eixo das abscissas e pelas retas t = 1 e t = x (veja a figura seguinte, a esquerda).

Quando 0 < x < 1, como∫ x

11t dt = −

∫ 1

x1t dt, temos que ln(x) = −A(x), onde A(x) e a area da regiao limitada

pelo grafico da curva y = 1t , pelo eixo das abscissas e pelas retas t = x e t = 1 (veja figura a direita).

1 x x 1

Consequencias da definicao de logaritmo

Pelo teorema fundamental do calculo temos, imediatamente, que

ln′(x) =1

x.

Alem disso, a funcao logaritmo natural e uma funcao crescente, pois ln′(x) = 1x > 0, para x > 0. Temos, tambem, que

ln′′(x) = − 1x2 < 0, para todo x > 0. Portanto, o grafico de ln(x) e concavo para baixo. Deixamos como exercıcio a

demonstracao de que limx→0+

ln(x) = −∞ e limx→∞

ln(x) = ∞. (Veja Exercıcio 4.)

Com estas informacoes e possıvel esbocar o grafico de y = ln(x).

–2

–1.5

–1

–0.5

0

0.5

1

1.5

x

Principais propriedades

Se a e b sao numeros reais positivos e r e um numero racional, entao:

1. ln(ab) = ln(a) + ln(b)

W.Bianchini, A.R.Santos 347

2. ln(br) = r ln(b)

3. ln(ab ) = ln(a)− ln(b)

Demonstracao

1. Observe que ln′(xb) =1

xb(xb)′ =

1

x= ln′(x). Portanto, ln(xb) = ln(x) + C.

Para x = 1, temos ln(b) = C. Assim, ln(ab) = ln(a) + ln(b).

2. Como

ln′(xr) =1

xrr x(r−1) =

r

x= (r ln(x))′ ,

segue que

ln(xr) = r ln(x) + C.

Mas, para x = 1, temos C = 0. Assim,

ln(br) = r ln(b).

3. A demonstracao da terceira propriedade e consequencia direta das duas primeiras, bastando para isso observarque ln(ab ) = ln(a b(−1)).

25.4 Exemplos de derivadas e integrais envolvendo logaritmos

A funcao logaritmo natural f(x) = ln(|x |) e definida para todo x = 0. Se x>0, entao |x | = x e tem-se f ′(x) = 1x . Se

x < 0, entao |x | = −x e, neste caso, f ′(x) = −x′

−x = 1x . Logo,

(ln(|x |))′ = 1

x

para todo x = 0.Quando se tem uma composta y = ln(|u |), onde u = u(x), isto e, y = ln(|u(x) |), entao, usando a regra da cadeia

tem-se

y′ = (ln(|u(x) |)′ = u′(x)

u(x),

desde que u = u(x) seja derivavel e diferente de zero. Assim∫u′(x)

u(x)dx = ln(|u(x) |) + C

ou, simplesmente, ∫1

udu = ln(|u |) + C, pois, du = u′(x) dx

.

Exemplo Calcule

∫1

2x− 3dx.

Solucao Se u = 2x− 3 ⇒ du = 2dx Assim,∫1

2x− 3dx =

1

2

∫1

udu =

1

2ln(|u |) + C =

1

2ln(| 2x− 3 |) + C .

Aqui, subentende-se que estamos calculando a integral para os valores de x para os quais a funcao f(x) = 12 x−3 esta

definida, isto e, para x = 32 . Assim,

∫1

2x− 3dx =

1

2ln(2x− 3) + C , se x >

3

2e∫

1

2x− 3dx =

1

2ln(3− 2x) + C , se x <

3

2.


25.5 Funcao exponencial

Definicao

Define-se a funcao exponencial y = exp(x) como sendo a inversa da funcao logaritmo, isto e,

y = exp(x) ⇔ x = ln(y)

Da definicao acima podemos concluir que o domınio da funcao exponencial e toda a reta real e a imagem e ointervalo aberto (0,+∞).

Alem disso, como a exponencial e a inversa do logaritmo, seu grafico e obtido pela reflexao do grafico do logaritmoem torno da reta y = x.

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

y

–3 –2 –1 1 2 3 4 5x


1. exp(x) exp(y) = exp(x+ y)

2. (expx)r = exp(rx), para todo numero racional r

3. exp(−x) = 1exp x

Demonstracao

1. Usando a primeira propriedade de logaritmo, tem-se

ln(exp(x) exp(y)) = ln(exp(x)) + ln(exp(y)) = x+ y

Assim, pela definicao de exponencial, obtemos

exp(x+ y) = exp(x)exp(y).

2. Pela segunda propriedade de logaritmo,

ln (expx)r = r ln(exp(x)) = rx

Logo, pela definicao de exponencial vem que

(expx)r = exp(rx).

3. A propriedade (3) decorre imediatamente de (1). Se y = −x, tem-se exp(x) exp(−x) = exp(0) = 1, o que implica

exp(−x) =1

expx.

25.6 Funcao exponencial em uma base qualquer

Definicao

Considere um numero real a > 0 e a = 1. Definimos a funcao exponencial de um numero real qualquer x na basea como sendo:

y = ax = exp (x ln(a))



Para a > 0 e b e c reais quaisquer, tem-se:

(a) ln(ab) = b ln(a)

(b) ab ac = a(b+c)

(c) (ab)c = abc

Demonstracao

A propriedade (a) decorre imediatamente da definicao da funcao exp(x ). A propriedade (b) tambem decorre imedi-

atamente da definicao de exp(x ) e de sua primeira propriedade

ab ac = exp(b ln(a)) exp(c ln(a)) = exp((b+ c) ln(a)) = a(b+c).

A propriedade (c) e uma extensao da propriedade (2) da funcao exp(x ) e decorre da definicao e da propriedade(a), acima. Assim,

(ab)c = exp(c ln(ab)) = exp(cb ln(a)) = abc .

O numero e

Note que a definicao de exponencial em uma base a qualquer se torna mais simples se escolhermos uma base a, talque ln(a) = 1.

Definimos o numero e como sendo o numero tal que ln(e) = 1. Evidentemente, como a funcao logaritmo e contınuae injetora, tal numero existe. Assim,

exp(ln(e)) = e ou exp(1) = e

eex = exp(x)

ou seja, a funcao definida anteriormente como y = exp (x ) e a funcao exponencial na base e.Exercıcio Mostre que o numero e pode ser obtido como

e = limh→0

(1 + h)(1h )

Sugestao:1

t= (ln(t))′ = lim

h→0

ln(t+ h)− ln(t)

h

Use propriedades de logaritmo para mostrar que

e1t = lim

h→0(1 +

1

th)(

1h )

25.7 Logaritmo em uma base qualquer

DefinicaoConsidere um numero real a > 0 e a = 1. Define-se a funcao logaritmo em uma base a como sendo a inversa da

funcao exponencial na base a, isto e,y = loga(x) ⇔ ay = x.

Observe que loge(x) = y ⇔ ey = x, e como eln(x) = x, tem-se

loge(x) = ln(x).


As propriedades de logaritmos em uma base a sao as mesmas do logaritmo natural e sao facilmente dedutıveis daspropriedades de exponencial em uma base qualquer a.


(a) loga(x y) = loga(x) + loga(y)

(b) loga(xy) = y loga(x)

(c) loga(xy ) = loga(x)− loga(y)

Mudanca de base

Se a > 0 e a = 1, o problema que temos e como obter loga(x) conhecendo-se o logaritmo natural ln(x ). Observeque x = aloga(x) = e(loga(x) ln(a)). Assim, ln(x) = loga(x) ln(a) e, portanto, tem-se a formula de mudanca da base epara a base a

loga(x) =ln(x)

ln(a).

Agora, para x = e, tem-se,

loga(e) =ln(e)

ln(a)=

1

ln(a).

Assim,

ln(x) = loga(x) ln(a) =1

loga(e)loga(x),

e temos a formula de mudanca da base a para a base e.

25.8 Derivadas e Integrais

Derivada e Integral de exp(x) = ex

Pelo teorema da funcao inversa temos

(ex)′ =1

ln(y)= y = ex.

Assim, ∫ex dx = ex + C

Exemplo 1 Calcule a derivada de y = ex2

.

Solucao Se u = x2, pela regra da cadeia, sabemos que

dy

dx=

dy

du

du

dx= eu 2x = ex

2

2x

Exemplo 2 Calcule∫x ex

2

dx

Solucao Se u = x2 ⇒ dudx = 2 xdx . Assim,

∫x ex

2

dx =1

2

∫eu du =

1

2eu + C =

1

2ex

2

+ C.

Derivada e integral de ax

Da definicao de exponencial em uma base a qualquer e da regra da cadeia, temos

(ax)′ = (e(x ln(a)))′ = e(x ln(a))(x ln(a))′ = ax ln(a) ,

isto e,d(ax)

dx= ax ln(a) Logo,

∫ax dx =

ax

ln(a)+ C.

Derivada e Integral de xb


Considere a funcao y = f(x) = xb, definida para x > 0 e b um numero real nao nulo. Entao,

(xb)′ = (e(b ln(x)))′ = e(b ln(x))b

x= xb

b

x= b x(b−1).

Assim, finalmente, provamos a formula

d(xn)

dx= nx(n−1)

para qualquer numero real n, e consequentemente,∫xn dx =

x(n+1)

n+ 1+ C

para qualquer numero real n = −1.

Derivada de loga(x)

Da formula de mudanca de base temos

(loga(x))′ = (

ln(x)

ln(a))′ =

1

x ln(a)=

1

xloga(e)

25.9 Exercıcios

1. Calcule as derivadas das funcoes abaixo:

(a) y = ln(x2 + 1)

(b) y = sen(ln(x))

(c) y = xln(x)

(d) y = ln(√x3 + 2x)

(e) ln2 (sen(x))

(f) y = e(4 x+5)

(g) y = x e(x2+1)

(h) y = sen(x)

(i) y = ecos(x)

(j) y =√e√x

(k) y = (sen(e(−x)))2

(l) y = cos(esen(x))

(m) y = lnex + e(−x)

(n) y = 2(x2)

(o) y = πsen(x)

(p) y = 5π

(q) y = log10(3x+ 2)

(r) y = xx

(s) y = sen(x)cos(x)

2. Nos exercıcios abaixo, encontre dydx , por derivacao implıcita:

(a) x2 ey + ex = y(b) ex + ey = exy

(c) ex − ey = x y(d) x ey + y ex = x y

(e) xln(y) = yex

3. Calcule as integrais abaixo:

(a)

∫x2 e(x

3) dx

(b)

∫sen(x) ecos(x) dx

(c)

∫1 + e

√x

√x

dx

(d)

∫x e(2−x2) dx

(e)

∫ex

1 + exdx

(f)

∫1

x ln(x)dx

(g)

∫3

2 + 3√xdx

(h)

∫ln(x)

xdx

(i)

∫ 5

1

ln(x)

xdx

(j)

∫ −1

−2

ln |x |x

dx

(k)

∫x

2 + 3x2dx

(l)

∫[ln(x)]2

xdx

(m)

∫2x+ 1

x2 + xdx

(n)

∫cos(3x)

1 + sen(3x)dx

4. Prove que limx→∞

ln(x) = ∞ e limx→0+

ln(x) = −∞.

Sugestao: Considere x grande e n o maior inteiro, tal que, x > 2n. Aplique logaritmo nesta desigualdade.

5. Mostre que limx→∞

ln(x)

xn= 0, para todo inteiro positivo n.

Sugestao: ln(x) =∫ x

11t dt ≤

∫ x

11

t12dt = 2 (x

12 − 1)

6. Calcule o volume do solido de revolucao obtido girando-se a regiao limitada por y = ex + e−x, x = 0 e x = 2em torno do eixo x.

7. Mostre que e = limn→∞

(1 +1

n)n.


25.10 Problemas propostos

1. (a) Esboce o grafico da funcao f(x) = x2 e(−x).

(b) Esboce o grafico de f(x) = e(−x2

2 )

(c) Esboce o grafico de f(x) = ln(x)x .

(d) Qual dos dois e maior eπ ou πe? Sugestao: Utilize o grafico obtido no item anterior.

2. Determine os pontos do grafico de y = x2 + 4 ln(x), em que a tangente e paralela a reta y − 6x+ 3 = 0.

3. Determine a area da regiao limitada pelos graficos das equacoes dadas:

(a) xy =1 , y = 0, x = 1 e x = e.

(b) y = e−2 x, y = −e−x, x = 0 e x = 2.

4. Nos itens abaixo, calcule dydx .

(a) x ln(y)− y ln(x) = 1.

(b) y3 + x2 ln(y) = 5x+ 3

(c) x ey + 2x− ln(y + 1) = 3

(d) y = (2x+ 1)(23 ) (4x− 1)2 (3x+ 5)4

(e) y = (2 x−3)2√x+1 (7 x+2)3

5. Um numero primo e um inteiro positivo que admite como fatores apenas 1 e ele mesmo. Os primeiros primos sao2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, .... Denotamos por π(n) o numero de primos que sao menores ou iguais a n. Por exemplo,π(15) = 6 , pois existem 6 primos menores que 15.

(a) Calcule π(25) e π(100). Use o Crivo de Eratostenes.

Desde que Euclides provou que o conjunto dos numeros primos era infinito (voce conhece a demonstracaodesse fato?), os matematicos tentam achar uma formula algebrica simples que forneca todos os numeros primos.Embora essas tentativas, ate hoje, tenham sido malsucedidas, elas levaram, no decorrer dos seculos, a formulacaode varias conjecturas a respeito desses numeros. Em 1792, o matematico Gauss, quando tinha apenas 15 anos,formulou uma dessas conjecturas que foi provada cem anos depois por Hadamard e de la Vallee Poussin e ficouconhecida como Teorema do Numero Primo.

Observando tabelas de numeros primos e tabelas de logaritmos, Gauss conjecturou que o numero de primosmenores ou iguais a n e aproximadamente igual a n

ln(n) , quando n e grande. Em outras palavras, ele achou que

a razao π(n) ln(n)n se aproximava de 1 a medida em que os valores de n cresciam.

(b) Confirme a validade deste resultado calculando a razao entre π(n) e nln(n) para n = 102, n = 103, n = 104,

n = 105, n = 106 e n = 107. Use os seguintes valores: π(1000) = 168, π(104) = 1229, π(105) = 9592 ,π(106) = 78498 e π(107) = 664579.

(c) Use o teorema do numero primo para estimar a quantidade de numeros primos menores ou iguais a umbilhao.

25.11 Um pouco de historia: O logaritmo deNapier

Considere um ponto P que se move ao longo de um segmento de reta AB de comprimento 107, enquanto um outroponto Q se move ao longo de uma semi-reta infinita. A velocidade de P e sempre igual a distancia de P a B (emoutras palavras, se P (t) e a posicao de P no tempo t, entao P ′(t) = 107 − P (t)) e Q se move com velocidade constanteQ′(t) = 107. A distancia percorrida por Q apos transcorrido um tempo t, e definida como o logaritmo neperiano dadistancia de P a B no mesmo tempo t. Consequentemente,

107 t = Log Neperiano(107 − P(t)) .

Essa foi a definicao de logaritmo dada por Napier (1550-1617) em seu trabalho de 1614, Mirifici LogarithmonumCanonis Description (Uma Descricao da Maravilhosa Lei dos Logaritmos). Note que este trabalho foi feito antes dainvencao do uso dos expoentes! O numero 107 foi escolhido porque a tabela de Napier (construıda com o proposito desimplificar calculos astronomicos) listava logaritmos de senos de angulos, para os quais a precisao de sete casas decimais

era suficiente. Com isso, Napier quis evitar o uso de fracoes. Podemos mostrar que Log Neperiano(x) = 107 ln(107

x ).Tente demonstrar este fato!


25.12 Para voce meditar: Onde esta o erro?

Problema 1

Um professor propos que seus alunos calculassem os valores de x e de y, solucoes reais do seguinte sistema de equacoesenvolvendo logaritmos:

log10(x y) = 3

log10(xy ) = 1

Um aluno apresentou a seguinte solucao:

Aplicando as propriedades dos logaritmos as duas equacoes anteriores, obtemos as seguintes equacoes equivalentesas duas dadas:

log10(x) + log10(y) = 3

log10(x)− log10(y) = 1

o que implica que 2 log10(x) = 4. Assim, log10(x) = 2. Aplicando a definicao de logaritmos a esta igualdade, tem-seque x = 100. Sustituindo o valor encontrado para x na equacao log10(x) + log10(y) = 3, obtem-se 2 + log10(y) = 3.

Novamente aplicando as propriedades dos logaritmos, podemos concluir, sem dificuldade, que y = 10.

Portanto, os valores de x e de y que satisfazem o problema proposto sao, respectivamente, 100 e 10.

Um segundo aluno resolveu o mesmo problema da seguinte maneira:

Aplicando a definicao de logaritmo as duas equacoes propostas, tem-se,

x y = 1000 ex

y= 10

Da segunda equacao obtemos x = 10 y. Substituindo este valor na primeira equacao, temos 10 y2 = 1000, portanto,y = 10 e y = −10. Como x = 10 y, temos tambem que x = 100 e x = −100.

As solucoes do problema proposto sao, portanto x = 100, y = 10 e x = −100, y = −10.

Se verificarmos as solucoes apresentadas, constatamos que, de fato, os pares {x = 100, y = 10} e {x = −100, y = −10}sao realmente solucoes do problema apresentado.

• Qual foi o erro cometido pelo primeiro aluno?

Problema 2

Pediram que um estudante de engenharia calculasse a derivada de ln(sen(x)), no ponto x = 5π3 . Ele, como um bom

aluno, aplicou a regra da cadeia e obteve D(ln(sen(x))) = cos(x)sen(x) . Substituiu, entao, x por 5π

3 e calculou o resultado

com o seu computador Pentium III, com 128 Mb de memoria ram, HD de 6.4 Gb, placa de vıdeo com 8 Mb de memoriae, com a ajuda do Maple VR5, obteve o seguinte resultado

> f:=x->cos(x)/sin(x);

f := x→ cos(x)

sin(x)

> f(5*Pi/3);

−1

3

√3

• A resposta acima esta correta?


25.13 Projetos

25.13.1 Juros simples e compostos

Um capital inicial Co empregado a uma taxa de juros de r por cento ao ano, transforma-se, ao final de um ano, emum capital C1 dado por

C1 = C0 + rC 0 = C0(1 + r) .

Ao final de outro ano obtem-se:

C2 = C1 + rC 1 = C1(1 + r) = C0(1 + r)2

Dessa forma, a formula geral para n anos sera dada por:

Cn = C0(1 + r)n

Investidores inteligentes, como nos, aplicam o seu capital exigindo que os juros sejam capitalizados, isto e, in-corporados ao capital ao fim de um perıodo de tempo predeterminado e entao novamente aplicada a taxa de jurocontratada.

A formula deduzida acima so serve para um numero inteiro de anos, de modo que nao nos fornece o capitalresultante ao final de um mes, por exemplo. O capital empregado a mesma taxa r de juros devera render, ao final deum mes, rC0

12 , de modo que decorrido um mes o capital C0 se transforma em C1 = C0(1 +r12 ). Assim, reinvestindo o

capital resultande a cada mes, ao final de um ano obteremos um capital C12 = C0(1 +r12 )

12, maior que aquele obtidoatraves dos juros simples, calculado anteriormente.

A equacao C = C0(1 + r)n fornece, portanto, o capital C resultante de um investimento inicial de C0 reais, empre-gado a juros de r% em cada perıodo de tempo contratado, transcorridos n desses perıodos. Portanto, C e um valora ser atingido no futuro e C0 e o valor presente.

1. Usando essa equacao, calcule o capital resultante de um investimento aplicado a uma taxa nominal de 12% aoano, capitalizada de 4 em 4 meses, ao final de 5 anos.

2. Nas mesmas condicoes do item anterior, calcule qual a quantia que deve ser empregada hoje para que ao finalde 5 anos seja obtido um capital igual a dez vezes o capital inicial.

3. Calcule o capital resultante, ao final de 5 anos, de um investimento contratado a uma taxa nominal de 10%, aser capitalizada de 4 em 4 meses, se no primeiro mes do contrato aplica-se um capital inicial de R$ 1.000,00 e acada 12 meses decorridos acrescenta-se mais R$ 1.000,00 a este investimento.

4. Suponha que, por trinta anos, ao final de cada mes, voce deposite R$ 500,00 a uma taxa de juro nominal de 12%ao ano, capitalizada mensalmente. Use o computador e a equacao anterior, para calcular a quantia que vocetera poupado ao final dos 30 anos (360 meses).

5. Qual o valor justo (o valor presente) de uma das 12 prestacoes iguais de um financiamento de R$ 1.000,00 obtidoa uma taxa nominal de 12% ao ano, capitalizado mensalmente?

Qual deve ser a prestacao mensal cobrada por um financiamento de 4 anos, de um automovel no valor de R$12.000,00, se a taxa de juros contratada for de 12% ao ano?

6. O valor das prestacoes de qualquer financiamento e composto por duas parcelas. Uma dessas parcelas correspondeaos juros devidos e a outra a amortizacao do debito. Em cada uma das tres primeiras prestacoes do financiamentodescrito no item anterior, calcule a parcela correspondente ao valor de juros pagos e a parcela que correspondeao valor do debito amortizado.

7. Uma loja de variedades anunciou nos jornais de 23/08/98, o console de videogame Sega Saturn por R$ 399,00a vista ou em 12 prestacoes de R$ 49,99. Qual a taxa de juros mensal cobrada nesse financiamento? (Voce,certamente ficara feliz em saber que a taxa publicada no anuncio era correta !) Tendo em vista os juros mediosconseguidos nos investimentos, voce acha essa taxa razoavel?


Juros compostos e o numero e

Um investidor mais exigente desejara que os juros sejam capitalizados a cada instante. Este tipo de transacao em queos juros sao capitalizados continuamente e o que se chama de juros compostos.

Se tomarmos uma fracao 1n do ano, empregando-se o capital com juros capitalizados, ao final de um ano teremos

um capital total de C0 = (1 + rn )

n . Para, a partir dessa formula, obter uma outra que nos forneca o capital resultantede um investimento empregado a juros compostos e necessario tomar sucessivamente fracoes cada vez menores do ano.

Assim, dizemos que o capital resultante de uma aplicacao feita a juros compostos sera dado por

limn→∞

C0 (1 +r

n)n

O numero e e em geral definido como

e = limn→∞

(1 +1

n)n

Levando-se em conta a definicao acima, temos que um capital empregado a uma taxa de r por cento ao ano, ajuros compostos a cada instante, sera transformado, depois de t anos em

limn→∞

C0 (1 +rt

n)n = C0 e

rt

• Usando a definicao acima, calcule uma aproximacao para o numero e com 6 casas decimais.

25.13.2 O metodo do carbono 14

Um dos metodos mais apurados para datar achados arqueologicos e o metodo do carbono 14 (14C), descoberto em1949. O metodo e bem simples. A atmosfera terrestre e continuamente bombardeada por raios cosmicos. Estes raioscosmicos produzem neutrons que combinados com nitrogenio, produzem 14C. O 14C e incorporado pelo dioxido decarbono e se encontra na atmosfera para ser absorvido pelas plantas. A quantidade de atomos de 14C presente nostecidos de animais provem da ingestao de vegetais. Em qualquer tecido vivo, a quantidade de ingestao de 14C eigual a quantidade de 14C desintegrado (o 14C e uma molecula instavel, que se desintegra espontaneamente numataxa proporcional ao numero de moleculas presentes na amostra). Quando um organismo morre, cessa de ingerir 14C,portanto, sua concentracao nos tecidos diminui devido a desintegracao.

Em fısica, e uma suposicao fundamental que a taxa de bombardeamento da atmosfera terrestre por raios cosmicostem sido sempre constante. Isto implica que se a taxa de desintegracao de 14C numa amostra de madeira viva, porexemplo, fosse medida ha 10.000 anos atras, o resultado teria que ser igual a taxa de desintegracao, em uma amostraequivalente, medida hoje. Essa suposicao nos permite determinar a idade de uma amostra de carvao natural.

Seja N (t) a quantidade de 14C presente numa amostra no instante t e N0 a quantidade de 14C presente no instantet = 0, quando a amostra foi formada, isto e, imediatamente antes de ser queimada. Se k e a constante de desintegracaoradiativa de 14C, temos que

N(t) = N0 e−kt .

A taxa atual R(t) de desintegracao de 14C, que e proporcional a quantidade de 14C presente na amostra, e dadapor R(t) = KN(t) = KN0 e

−kt e a taxa original e R(0) = KN0. Assim,

R(t)

R0= e−kt ⇒ t =

ln( R0

R(t) )

k.

A constante k pode ser determinada conhecendo-se a meia-vida do 14C, isto e, o tempo que uma amostra leva paraficar reduzida a metade de sua quantidade inicial.

(a) Calcule k sabendo que a ”meia-vida”do 14C e de 5.568 anos.

Se medirmos a taxa atual R(t) e observarmos que R0 e igual a taxa de desintegracao de 14C numa quantidadeequivalente de madeira viva, podemos calcular a idade aproximada t do carvao. Os dois problemas abaixo saoilustracoes reais desse metodo.

(b) O carvao das famosas cavernas Lascaux, na Franca, produziu uma media de 0,97 desintegracoes por minuto, porgrama de material. Uma quantidade de madeira viva equivalente produziu 6,68 desintegracoes por minuto porgrama. Estime a idade do carvao e, entao, a provavel data das famosas pinturas da caverna.

(c) Nas escavacoes em 1950 em Nippon, uma cidade da Babilonia, o carvao de um telhado de madeira produziu umamedia de 4,09 desintegracoes por minuto por grama. A madeira viva numa amostra equivalente produziu 6,68desintegracoes. Supondo que o carvao foi formado durante o reinado de Hamurabi, faca uma estimativa da epocaem que ele reinou na Babilonia.


25.13.3 Com Kepler e o Maple rumo as estrelas (ou modelando um problema real)

No processo perpetuo de entender, explicar e prever resultados de fenomenos que ocorrem na natureza, o homem elevado a construcao de modelos empıricos, onde leis matematicas sao obtidas pela analise de tabelas constituıdas pordados experimentais. Nesse processo, o emprego de graficos em escalas semilogarıtmicas e logarıtmicas desempenhaum papel de primordial importancia, como e ilustrado no exemplo abaixo.

O ProblemaEm 1601, com a inesperada morte de Tycho Brahe, o astronomo alemao e escritor de ficcao cientıfica Johann

Kepler se tornou diretor do Observatorio de Praga. Kepler, antes disso, fora assistente de Brahe e ajudara a coletardados referentes a 13 anos de observacoes relativas aos movimentos do planeta Marte. Em 1609, Kepler formulou suasprimeiras duas leis:

1. Cada planeta se move sobre uma elipse com o Sol em um dos focos.

2. Para cada planeta, a reta que liga o Sol ao planeta varre areas iguais em tempos iguais.

Kepler levou mais uma decada verificando essas duas leis e formulando a terceira lei, que relaciona perıodos orbitaiscom distancias medias do Sol. Como todas as suas leis, essa tambem foi baseada em dados experimentais observados.Publicada em 1619, foi dedicada a James I, rei da Inglaterra.• Usando os dados experimentais (listados abaixo), deduza a terceira lei de Kepler.

Planeta T = Perıodo (dias) R=Distancia Media do Sol (km ×106)

Mercurio 88 57,9Venus 225 108,2Terra 365 149,6Marte 687 227,9Jupiter 4329 778,3Saturno 10753 1427Urano 30660 2870Netuno 60150 4497Plutao 90670 5907

No esforco de encontrar uma lei matematica que descreva, apropriadamente, a relacao existente entre T e R, istoe, encontrar T como funcao de R, a primeira tentativa a ser feita e tracar um grafico unindo os pontos da tabela dada,como e feito a seguir:

> plot([[57.9,88],[108.2,225],[149.6,365],[227.9,687],[778.3,4329],[142> 7,10753],[2870,30660],[4497,60150],[5907,90670]],labels=[‘R‘,‘T‘]);

0

20000

40000

60000

80000

T

1000 2000 3000 4000 5000 6000R

Nossa tarefa agora e tentar descobrir se este e o grafico de uma funcao exponencial do tipo T = C eR ou de umafuncao potencia do tipo T = C Rn. No primeiro caso, aplicando-se logaritmo a ambos os membros da equacao obtemos

> log(T)=log(C*exp(R));

ln(T ) = ln(C eR)

> expand(%);

ln(T ) = ln(C) +R

Chamando t = ln(T ) e de A o numero ln(C), obtemos da expressao acima

> subs({ln(T)=t,ln(C)=A},%);t = A+R


Assim, podemos concluir que a funcao procurada e do tipo exponencial, se for uma linha reta o grafico em escalasemilogarıtmica, onde o eixo das ordenadas e graduado em valores logarıtmicos, isto e, no eixo vertical sao marcadosos valores de t = ln(T ), obtido com os dados fornecidos.

Usando o Maple com os dados do exemplo acima, obtemos:> with(plots):logplot([[57.9,88],[108.2,225],[149.6,365],[227.9,687],[7> 78.3,4329],[1427,10753],[2870,30660],[4497,60150],[5907,90670]],labels> =[‘R‘,‘ln(T)‘]);

.1e3

.1e4

.1e5

1e+05

ln(T)

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000R

Deste grafico, concluımos, imediatamente, que a funcao que relaciona o perıodo orbital com a distancia ao Solnao pode ser do tipo exponencial. Tentemos agora usar o mesmo raciocınio para descobrir se a funcao que queremosdeterminar e do tipo T = C Rn.

> log(T)=log(C*R^n);

ln(T ) = ln(C Rn)

> expand(%);

ln(T ) = ln(C) + n ln(R)

Chamando de t = ln(T ), r = ln(R) e de c o numero ln(C) obtemos da expressao acima:

> subs({ln(T)=t,ln(C)=c,ln(R)=r},%);t = c+ n r

Assim, se a funcao que procuramos for do tipo potencia, sua representacao num grafico tracado usando-se escalalogarıtmica sera uma linha reta. Neste grafico, onde tanto o eixo das ordenadas como o eixo das abscissas e graduadoem valores logarıtmicos, isto e, no eixo das ordenadas sao marcados os valores de t = ln(T ) e no eixo das abscissas osvalores de r = ln(R).

Usando-se o Maple com os dados do exemplo anterior, obtemos:> loglogplot([[57.9,88],[108.2,225],[149.6,365],[227.9,687],[778.3,4329> ],[1427,10753],[2870,30660],[4497,60150],[5907,90670]],labels=[‘r‘,‘t‘> ]);

.1e3

.1e4

.1e5

1e+05

t

.1e3 .1e4r

Este grafico nos mostra que a funcao que procuramos e do tipo T = C Rn. Resta-nos agora determinar C e n.Como a equacao desta reta e dada por t = c+ n r, sabemos que n e a declividade da reta e c o seu coeficiente linear.Como, c = ln(C), temos que C = ec. Com a ajuda do Maple, podemos calcular n e C, como e feito a seguir.

> n:=evalf(slope([log(108.2),log(225)],[log(149.6),log(365)]));

n := 1.49327560

> c:=solve(log(225)=c+n*log(108.2),c);

c := −1.578374683

> C:=evalf(exp(c));

C := .2063101452


Logo, a funcao que procuramos sera T = 0, 2R( 32 ).

Existe um modelo teorico, baseado em leis fısicas do movimento, para descrever os movimentos planetarios. Essemodelo usa equacoes diferenciais ordinarias e esta fora do alcance desse curso. De acordo com esse modelo teorico,

o valor de T (perıodo orbital) para cada planeta e dado por T = 2π R32√

γ M, onde γ = 6,67 . 10−11 m3

kg s2 e a constante de

gravitacao universal e M = 1, 993× 1030 kg, a massa do sol.Como o valor de 2π√

γ M= 0, 1999 em dias por (km106)

23 , temos que T = 0, 1999R

32 .

• Os valores teoricos concordam com os valores empıricos que calculamos no item anterior?

Efeito Estufa: Prevendo o fim do mundo

A queima de combustıveis fosseis adiciona dioxido de carbono a atmosfera que circunda a Terra. Esse dioxido decarbono pode ser parcialmente removido por reacoes biologicas, no entanto, a concentracao de dioxido de carbono estaaumentando gradualmente. Esse aumento conduz a uma elevacao na temperatura media da Terra. A tabela abaixomostra o aumento da temperatura sobre aquela registrada em 1860.

Ano 1880 1896 1900 11910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980Aumento 0,01 0,02 0,03 0,04 0,06 0,08 0,1 0,13 0,18 0,24 0,32

Se a temperatura media da Terra aumentar cerca de 70 C em relacao ao valor medio registrado em 1860, istopodera causar um dramatico efeito sobre as calotas polares, sobre a temperatura do verao, do inverno, etc. Se as capaspolares derreterem, havera um volumoso aumento na quantidade de agua dos oceanos e muita terra sera submersa. AGra-Bretanha, por exemplo, desaparecera, exceto o topo das montanhas mais altas.• Usando os dados fornecidos e o metodo descrito na secao anterior, modele este fenomeno e use o seu modelo paraprever quando a temperatura media da Terra sera 70 C superior a media registrada em 1860, se as mesmas condicoesforem mantidas.

25.13.4 Escalas logarıtmicas

A escala Ritcher

A tabela abaixo fornece a intensidade dos ultimos terremotos acontecidos neste planeta e as suas respectivas intensi-dades medidas de acordo com a escala Ritcher.

Localizacao Chile Alasca Peru Ira Mexico Armenia S. FranciscoData 1960 1964 1970 1990 1985 1989 1989

Intensidade 8.4 8.5 7.7 7.3 8.1 6.9 7.1

A escala Ritcher, chamada assim em homenagem ao sismologo americano, Charles F. Ritcher, baseia a medida damagnitude de um terremoto numa escala logarıtmica de base 10. A intensidade M de um terremoto, medida nessaescala, e um numero que varia de zero ate 8,9, para o maior terremoto conhecido. Empiricamente, estima-se o valor de

M pela formula M =2 log10(

EE0

)

3 , onde E e a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E0 = 7× 10−3 kw/h.

1. Calcule aproximadamente quantas vezes a intensidade do terremoto que atingiu a Cidade do Mexico em 1985foi maior que a intensidade do terremoto que atingiu a Cidade de Sao Franscisco em 1989. Conclua, entao, qualo significado fısico da variacao de um ponto nessa escala de medida.

2. Quanta energia e liberada num terremoto de grandeza 6?

3. Uma cidade com 300.000 habitantes utiliza cerca de 3× 105 kw/h de energia eletrica por dia. Se a energia deum terremoto pudesse ser de alguma forma transformada em energia eletrica, quantos dias de fornecimento deenergia eletrica para essa cidade seriam produzidos pelo terremoto do item anterior?

O PH de solucoes

Em quımica, o PH de solucoes e uma medida da sua acidez ou alcalinidade. Um valor de PH igual a 7 indica que asolucao e neutra (nem acida, nem alcalina). Um PH abaixo de 7 indica acidez; acima de 7, alcalinidade. A medida doPH obedece tambem a uma escala logarıtmica onde a variacao de uma unidade de PH representa um aumento de 10vezes na acidez ou alcalinidade da substancia.


1. Qual a base dos logaritmos usados na elaboracao da escala de PH?

2. A maioria dos alimentos que consumimos tendem a ser mais acidos que basicos (alcalinos). Observando a tabelaabaixo, calcule, aproximadamente, quantas vezes o suco de limao e mais acido do que o leite.

Substancia Suco de Suco de Agua da Leite Leite delimao tomate torneira magnesia

PH 2,1 4,1 5,8 6,6 10

3. Faca uma pesquisa para descobrir o PH do suco de laranja e o PH do suco de acerola e determinar quantas vezeso suco de acerola e mais acido que o suco de laranja.

4. Descubra outros problemas onde as funcoes logarıtmicas e exponenciais sao utilizadas.

25.13.5 Funcoes hiperbolicas

A equacao x y = 1 pode ser obtida a partir da equacao da hiperbole x2 − y2 = 2 por meio de uma rotacao, no sentidonegativo, de um angulo α = π

4 , isto e, a primeira equacao pode ser obtida da ultima, fazendo-se a seguinte mudancade coordenadas x = X cos(α)− Y sen(α) e y = X sen(α) + Y cos(α).

1. Ache as equacoes parametricas da hiperbole XY = 1 tomando como parametro ψ = ln(X).

2. Use as equacoes deduzidas acima e a mudanca de coordenadas indicada para obter uma parametrizacao para ahiperbole x2 − y2 = 2.

Essa parametrizacao, que fornece as coordenadas de um ponto que se desloca sobre a hiperbole x2 − y2 = 2, motivoua definicao das chamadas funcoes hiperbolicas. O seno e o cosseno hiperbolicos sao definidos, respectivamente, por

senh(x) =ex − e−x

2e cosh(x) =

ex + e−x

2Essas funcoes satisfazem muitas identidades que sao semelhantes as identidades satisfeitas pelas funcoes trigonometricas.

No entanto, elas nao sao periodicas.Prove que:

1. cosh(0) = 1 e senh(0) = 0.

2. cosh(−x) = cosh(x)e senh(−x) = −senh(x).

3. A partir das igualdades obtidas no item anterior, o que se pode afirmar a respeito das funcoes senh(x) e cosh(x)?

4. (cosh2)(x)− (senh2)(x) = 1.

5. Esboce os graficos das funcoes senh(x) e cosh(x).

6. Por analogia com as funcoes trigonometricas, defina tanh(x) e esboce o seu grafico.

25.13.6 As Funcoes logaritmo e exponencial complexas

Os numeros complexos surgiram na matematica a fim de tornar possıvel a solucao de equacoes do 20 grau do tipox2 + 1 = 0, que nao possuem raızes reais. Definindo-se i2 = −1, essa equacao passa a ter raızes +i e −i.

(a) Ache as raızes de x2 − 2x+ 5 = 0.

O teorema fundamental da algebra, demonstrado inicialmente por Euler e D’Alembert e posteriormente, em suaforma final, por Gauss, garante que dado qualquer polinomio

P(z) = a0 + a1 z + . . .+ an zn

existem numeros complexos r1, r2, . . . , rn, tais que,

P(z) = a0 (z − r1) (z − r2) . . . (z − rn .

Isto implica que os numeros complexos r1, r2, . . . , rn sao raızes da equacao algebrica P(z) = 0 .Assim, os numeros complexos, que foram introduzidos na matematica para resolver o problema de achar as raızes

de uma equacao do 20 grau, resolveram o problema de extracao de raızes de um polinomio de grau qualquer.


(b) Ache as raızes de x3 − 3x2 + 7x− 6 = 0.

(c) O que se pode afirmar em relacao ao numero de raızes reais de uma equacao de grau ımpar?

A necessidade do uso dos numeros complexos se evidencia em varios ramos da matematica tais como: algebra,analise, equacoes diferenciais, topologia e em aplicacoes da fısica-matematica.

O objetivo desse projeto e estender o domınio de definicao das funcoes exponencial e logaritmo aos numeroscomplexos, permitindo, entre outras consequencias, o calculo de logaritmos de numeros negativos.

Sabemos que todo numero complexo e expresso na forma z = a+ b i, onde a e b sao reais (a e chamado partereal do complexo z e b, parte imaginaria). Note que qualquer numero real pode ser interpretado como um numerocomplexo com b = 0. Nesse sentido, o conjunto dos numeros reais esta contido no conjunto dos numeros complexos.

O modulo de um numero complexo z e definido por | z | =√a2 + b2 e o seu conjugado, z*, por a− b i.

(d) Mostre que o modulo de um numero complexo z e igual ao modulo do seu conjugado.

Dados dois numeros complexos z = a+ b i e w = c+ d i, definimos a adicao entre eles como o numero complexoz + w = a+ c+ (b+ d) i e a multiplicacao como o complexo z w = ac − bd + (ad + bc) i.

(e) Prove que a multiplicacao entre complexos e comutativa, associativa e distributiva em relacao a adicao e que onumero complexo 1 e o seu elemento neutro.

(f) Dado um numero complexo z = 0, prove que seu inverso multiplicativo, z−1, e dado por z−1 = z∗| z |2 .

(g) Qual o inverso de um numero complexo de modulo 1 ?

Podemos interpretar geometricamente um numero complexo z = a+ b i como o vetor (a, b) de origem em (0, 0) eextremidade final no ponto (a, b) do plano cartesiano.

(h) De uma possıvel interpretacao geometrica para | z | , z* , |z − w|, z + w .

(i) O que significa, geometricamente, a desigualdade |z + w| ≤ |z|+ |w|?

(j) Como se pode descrever geometricamente o conjunto de todos os numeros complexos z, tais que | z | = 1?

No Cap. 12, definimos a funcao E como E(t) = (cos(t), sen(t)). No contexto dos numeros complexos, esta definicaoe equivalente a E(t) = cos(t) + i sen(t).

(l) Mostre que se z = 0 e um numero complexo, entao z = | z | E(t), onde t e o arco que vai de (1, 0) ate a intersecaode S1 com a semi-reta 0z. Esta forma e chamada de forma polar do numero complexo z.

(m) Use as identidades trigonometricas cos(s+ t) = cos(s) cos(t)− sen(s) sen(t) esen(s+ t) = cos(s) cos(t) + sen(s) sen(t) para provar que E(s)E(t) = E(s+ t), quaisquer que sejam os numerosreais s e t.

(n) Se w = 0 e z = 0, com z = | z | E(t) e w = |w|E(s), temos que zw = | z| |w|E(s)E(t) = | z| |w| E(s+ t). Use essa identidade para dar uma possıvel interpretacao geometrica para o produto dedois numeros complexos.

A identidade E(s+ t) = E(s)E(t) mostra que a funcao E(t) satisfaz a propriedade fundamental da funcao expo-nencial, o que levou Euler as seguintes definicoes para a funcao exponencial com domınio no conjunto dos numeroscomplexos: ei t = E(t), isto e, ei t = cos(t) + i sen(t) e ez = e(a+b i) = (ea)(cos(b) + i sen(b)).

Dessa definicao resulta imediatamente que todo numero complexo w = 0 e da forma w = ez, para algum z.

(o) Mostre que se o numero complexo w e dado na sua forma polar w = |w | ei θ, entao z = ln(|w|) + i θ. Este e ounico valor possıvel para z?

Esta propriedade serviu de base para estender a nocao de logaritmo aos numeros negativos e complexos. Eulerdefiniu o logaritmo de um numero complexo w = 0, como o numero z, tal que ez = w.

Temos entao que log(w) = log(|w |) + (2 k π + θ) i, para qualquer inteiro k, o que mostra que o logaritmo de umnumero complexo tem uma infinidade de valores.

(p) Calcule log(−1)

(r) Se x > 0, calcule log(−x). Existe algum valor de k para o qual log(−x) seja um numero real?

(s) Se x > 0, para que valores de k, log(x) e real?

Se interpretarmos a expressao log(w) como o conjunto de todos os numeros complexos z, tais que ez = w, entao,nesse contexto, continua valida a propriedade

log(wu) = log(w) + log(u).


25.14 Atividades de laboratorio

Faca as atividades propostas no arquivo lablog.mws da versao eletronica deste texto.

Cap tulo 25 Logaritmo e Exponencial -...

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