Cap.1 - Algebra Vetorial

Escola Politcnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 Prof. Helder A. Pereira

LGEBRA VETORIAL

- TPICOS DAS AULAS -

1. Introduo.

2. Escalares e vetores.

3. Vetor unitrio.

4. Soma e subtrao de vetores.

5. Vetor posio e vetor distncia.

6. Multiplicao vetorial.

7. Componentes de um vetor.


Introduo

O eletromagnetismo pode ser considerado como o estudo da interao entre cargas eltricas em repouso e em movimento.

Os princpios do eletromagnetismo se aplicam em vrias disciplinas afins, tais como: microondas, antenas, mquinas eltricas, comunicaes por satlite, interferncia e compatibilidade eletromagntica, converso eletromecnica de energia e comunicaes pticas, por exemplo.


Escalares e vetores

Uma grandeza pode ser um escalar ou um vetor.

Um escalar uma grandeza que s tem magnitude.

Exemplo: tempo, massa, distncia, temperatura e populao.

Um vetor uma grandeza que tem magnitude e orientao. Exemplo: velocidade, fora, deslocamento e campo eltrico.

Uma outra categoria de grandezas fsicas denominada de tensores, dos quais os escalares e os vetores so casos particulares.


A teoria do eletromagnetismo essencialmente um estudo de campos particulares.

Um campo uma funo que especifica uma grandeza particular em qualquer ponto de uma regio.

Se a grandeza escalar, ou um vetor, o campo dito escalar, ou vetorial.


Vetor unitrio

Um vetor A tem magnitude e orientao.

Um vetor unitrio A, ao longo de A, definido como um vetor cuja magnitude a unidade e a orientao ao longo de A, isto

dessa forma, podemos escrever A como

o que especifica completamente A em termos de sua magnitude e sua orientao.

=

A

A A

AAA

=


Um vetor A, em coordenadas cartesianas, pode ser representado como

onde Ax, Ay e Az so denominadas de componentes de A, respectivamente nas direes x, y e z. x, y e z so, respectivamente, os vetores unitrios nas direes x, y e z.

( )zzyyxxzyx ou,, AAAAAA ++

Figura 1 Figura 2


A magnitude do vetor A dada por

e o vetor unitrio ao longo de A dado por

2z

2y

2x AAAA ++=

2z

2y

2x

zzyyxxA

AAA

AAA

++

++=


Soma e subtrao de vetores

Dois vetores A e B podem ser somados para resultar em um outro vetor C, isto

A soma de vetores feita componente a componente. Dessa forma, se A=(Ax, Ay, Az) e B=(Bx, By, Bz), temos que

+= BAC

( )zzyyxx ,, BABABAC +++=


A subtrao de vetores feita de modo similar

As trs propriedades bsicas da lgebra que so satisfeitas por quaisquer vetores dados A, B, e C, so as seguintes

Comutativa:

onde k um escalar.

( )zzyyxx ,, BABABABABAD =

+==

kAAk

ABBA

=

+=+


Associativa:

Distributiva:

onde k e l so escalares.

( )

=

+

+=

++

AklAlk

CBACBA

+=

+ BkAkBAk


Vetor posio e vetor distncia

Um ponto P, em um sistema de coordenadas cartesianas, pode ser representado por (x, y, z).

O vetor posio rP, ou raio vetor, de um ponto P, um vetor que comea na origem do sistema de coordenadas e termina no ponto P, ou seja,

O vetor distncia o deslocamento de um ponto a outro.

zyxP zyxOPOPr ++===


Se dois pontos, P e Q, so dados por (xP, yP, zP) e (xQ, yQ, zQ), o vetor distncia, ou vetor separao, o deslocamento de P a Q, ou seja,

( )PQPQPQPQPQ ,, zzyyxxrrr ==

Figura 3 Figura 4


Um campo vetorial dito constante, ou uniforme, se no depende das variveis de espao x, y, e z.

Por exemplo,

um vetor uniforme, visto que B o mesmo em qualquer ponto do espao, enquanto que o vetor

no uniforme, pois A varia ponto a ponto no espao.

zyx 1023 B +=

z

2y

2x2 zxyxyA +=


Exerccios

1. Dados os vetores A = x + 3 z e B = 5x + 2y - 6z, determine:

a) A magnitude de A + B.

b) O vetor 5A B.

c) A componente de A ao longo de y.

d) Um vetor unitrio paralelo a 3A + B.

2. Dados os pontos P (1, -3, 5), Q (2, 4, 6) e R (0, 3, 8), determine:

a) Os vetores posio de P e R.

b) O vetor distncia rQR.

c) A distncia entre os pontos Q e R.


Multiplicao vetorial

Quando dois vetores, A e B, so multiplicados entre si, o resultado pode ser um escalar ou um vetor, dependendo de como eles so multiplicados.

1. Produto ponto ou escalar:

definido, geometricamente, como o produto das magnitudes de A e B e do cosseno do ngulo entre eles, ou seja,

onde AB o menor ngulo entre os vetores A e B.

ABcos

= BABA


Se A=(Ax, Ay, Az) e B=(Bx, By, Bz), temos que

Dois vetores A e B, so ditos ortogonais, ou perpendiculares, um em relao ao outro, se A.B=0.

O produto escalar satisfaz as seguintes propriedades:

zzyyxx BABABABA ++=

= ABBA

2

=

+=

+

AAA

CABACBA

Comutativa

Distributiva


2. Produto cruzado ou vetorial:

uma quantidade vetorial cuja magnitude a rea do paralelogramo formado por A e B e cuja orientao dada pelo avano de um parafuso de rosca direita medida que Agira em direo a B.

Figura 5


Dessa forma,

onde AB o menor ngulo entre os vetores A e B e n um vetor unitrio normal ao plano que contm A e B.

A orientao de n tomada como a orientao do polegar da mo direita quando os dedos da mo direita giram de A atB.

nABsen BABA

=


Se A=(Ax, Ay, Az) e B=(Bx, By, Bz), ento

zyx

zyx

zyx

BBB

AAA

BA =


0=

AA

+=

+ CABACBA distributivo

= ABBA

CBACBA

No comutativo

No associativo

O produto vetorial tem as seguintes propriedades:


3. Produto escalar triplo:

Dados trs vetores A, B e C, definimos o produto escalar triplo como

Se A=(Ax, Ay, Az), B=(Bx, By, Bz) e C=(Cx, Cy, Cz), ento o produto escalar triplo pode ser entendido como o volume de um paraleleppedo tendo A, B e C como arestas.

=

=

BACACBCBA


Esse volume obtido da seguinte forma

zyx

zyx

zyx

CCCBBB

AAACBA =


4. Produto vetorial triplo:

Para os trs vetores A, B e C, definimos o produto vetorial triplo como

=

BACCABCBA


Componentes de um vetor

Dado um vetor A, definimos a componente escalar AB de A, ao longo do vetor B, como

A componente vetorial AB de A, ao longo de B, simplesmente a componente escalar AB multiplicada por um vetor unitrio ao longo de B, isto

BB AA =

BBBBB AAA

==


Exerccios

3. Se A = x + 3 z e B = 5x + 2y - 6z, determine AB.

4. Sejam E = 3y + 4z e F = 4x - 10y + 5z, determine:

a) A componente de E ao longo de F.

b) O vetor unitrio ortogonal a E e F, simultaneamente.

5. Se P1 (1, 2, -3) e P2 (-4, 0, 5), determine:

a) A distncia P1 P2.

b) A equao vetorial da linha P1 P2.

c) A menor distncia entre a linha P1 P2 e o ponto P3 (7, 1, 2).

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