CAPITULO 1 topografia

8/19/2019 CAPITULO 1 topografia

1/36


2/36

1,361,361,3$1,3$1,3

1,31,4-1,4-1,421,44

Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría

1-1

/+0)L 11.1 ELE(E)S E GE(E)R0/1.1.1 S0S)E(/ E RE//S RE)/GL/RESos líneas rectas ue se corten en !ngulo

recto constituen un sistema de e7es de coordenadasrectangulares8 conocido también como sistema deoordenadas artesianas9 nombre ue se le da en:onor al matem!tico #rancés escartes8 iniciador dela geometría analítica.En la intersecci&n de las rectas se tiene el origen de coordenadas. /l e7e *,* se le denomina e7e delas abscisas al e7e , e7e de las ordenadas.En la #igura 1,18 el punto ;+; ueda per#ectamente de#inido por la distancia medidasobre cada uno de los e7es desde el origen :asta la

proecci&n del punto ;+;9 así pues8 la distancia ;*;8medida desde el e7e de las ordenadas :asta el punto ;+;8 se llama abscisa del punto8 ladistancia;;8 medida desde el e7e de las abscisas :asta el punto ;+;8 se denomina ordenada del punto.En )opogra#ía8 el e7e de las ordenadas se asume como e7e orte,Sur8 el de las abscisascomoe7e Este,este9 de esta manera8 a la ordenada del punto ;+; se le denomina R)E del punto ala /bscisa8 ES)E del punto.+or las de#iniciones dadas8 las coordenadas de un punto se anotan de la siguiente manera<

+=p9Ep>en donde< p ? oordenada norte del punto +.Ep ? oordenada este del punto +.La #igura 1,2.a representa los cuadrantes utili@ados en trigonometría geometría analítica. &tese ue8 en este caso8 el sentido positi'o de rotaciones es el anti:orario8 ue el origenderotaciones coincide con el e7e A,A.


3/36

Figura 1-1. Sistema e C!!re"aas Re#ta"gu$ares. Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría

1-2Figura 1-% Cuara"tesLa #igura 1,2.b representa los cuadrantes utili@ados en topogra#ía. En este caso8 el sentido

positi'o de rotaciones es el :orario8 el origen de rotaciones coincide con la direcci&nnorte.Los cuadrantes topogr!#icos se denominan de la siguiente manera</R/)E (BRE S0GS0 orte C Este E D D00 Sur , Este SE , D000 Sur , este S , ,0% orte C este D ,1.1.2 S0S)E(/ E RE//S +L/RESLa posici&n de un punto ;+2; con respecto a un punto ;+1;8 también ueda de#inidamediante el !ngulo ϕ entre el e7e de re#erencia la alineaci&n de + 1+28 la distancia 8

segn seobser'a en la #igura 1,3.El !ngulo ϕ la distancia 8 constituen lasRE//S +L/RES del punto +2.En #orma an!loga a la e*presada para el sistema decoordenadas rectangulares8 las coordenadas de un punto seindican de la siguiente manera<Figura 1.& Sistema e #!!re"aas '!$ares +=ϕ p9 p>


1-322 12

1 2 2 1 D = = E − E > + = N − N > −La direcci&n de una alineaci&n cualuiera se puede de#inir por el !ngulo :ori@ontal8=medidoen sentido :orario>8 ue dic:a alineaci&n #orma con una alineaci&n de re#erencia. Si laalineaci&nde re#erencia es el e7e norte8 el !ngulo :ori@ontal se denomina /0() =ϕ>.En la #igura 1,4 se indican los /cimutes correspondientes a alineaciones ubicadas endi#erentes cuadrantes.Figura 1.( A#imutes e" i)ere"tes #uara"tesEl !ngulo agudo ue la direcci&n orte,Sur #orma con la alineaci&n dada se denominaR(B =α>.

En la #igura 1,5 se indican los rumbos de alineaciones en los cuatro cuadrantes.Figura 1.* Rum+!s e" $!s i)ere"tes #uara"tes1.1.3 REL/0ES GE(E)R0/S E)RE /(BS S0S)E(/Se acuerdo a la #igura 1,38 las relaciones geométricas e*istentes entre los puntos + 1=19E1> +2=29E2> uedan e*presadas mediante las siguientes ecuaciones<=1.1>


1-42 1


4/36

1 22 1

tan E E N N

α −−

=−=1.2>Δ N 1−2 = D1−2 Fcosϕ =1.3>Δ E 1−2 = D1−2 * senϕ =1.4>En donde<ϕ ? /cimut de la alineaci&n +1+2α ? Rumbo de la alineaci&n +1+2 i8Ei ? oordenadas Rectangulares del +i.Δ 8ΔE ? istancia en proecci&n sobre los e7es orte Estedesde el punto +i :asta el punto +iD1.

+1+2 ? istancia :ori@ontal entre ambos puntos. ota< En las ecuaciones 1.281.3 1.4 se puede utili@ar igualmente el rumbo 8 en sustituci&n del acimut ϕ. Ejemplo 1.1adas las coordenadas de los puntos 1 2 representados en la #igura E1.18 calcular ladistancia1,28 el rumbo α1,2 el acimut ϕ1,2 de la alineaci&n 1 , 2.Figura E-1.1Soluci&n(ediante la aplicaci&n de las ecuaciones 1.1 1.28 se tiene<E2,E1? 5-832$,13$841H ? ,$8-H2 m. 2,1?1-58565,1H28241? ,686$6 m.

&tese ue por ser las proecciones norte este negati'as8 el rumbo de la alineaci&n 1,2 pertenece al 000 cuadrante por lo tanto es rumbo S,.tanα1,2? ,$8-H2I,686$6 ? 18--4$$H


1-5

α1,2? arctg=18--4$$H>α1,2? S 45J-K14; El acimut ϕ segn la #igura E1,1 es<ϕ1,2 ? 1-JDα1,2?1-JD45J-K14;ϕ1,2?225J-K14;2 2

D1 2 $8-H2 686$2 1228$3m − = + =

D1-2=122!"3 m ota< Sal'o ue se indiue lo contrario8 los 'alores angulares se especi#icaran en J K ; =grados8 minutos8segundosenteros> las distancias :asta el mm8 a ue éstas son8 generalmente8 las precisiones de los instrumentostopogr!#icos. Ejemplo 1.2

adas las coordenadas del punto 1 =2-832591$58422>8 el acimut ϕ1,2 de la alineaci&n 1,2 ladistancia 1,28 calcular las coordenadas del punto 2.


5/36

#1-2=124$2%&15' D1-2=13!432 m

Soluci&n(ediante la aplicaci&n de las ecuaciones 1.3 1.48 se tiene<E1,2?138432Fsen=124J2-K15;>? ,$8-5 m1,2?138432Fcos=124J2-K15;>? 11483-$ m

omo E1,2

1,2

son las distancias en proecci&n desde 1 :asta 28 las coordenadas de 2ser!n<E2? E1 M E1,2 E2? 2-8325 , $8-5?13-824- m 2? 1M 1,2 2? 1$58422 D11483-$?2H8$2H moordenadas de 2 =2H8$2H913-824->1.1.4 L/ RE)/na recta ue pase por los puntos +1=19E1> +2=29E2>8 como la mostrada en la #igura 1,68se representa matem!ticamente mediante las ecuaciones 1.5 a 1.$.Figura 1-, Re'rese"ta#i" gr)i#a e u"a re#ta


1-(

N − N I E − E = cot ) α = m 2 1 2 1 =1.5>

para un punto genérico +=9E>8 perteneciente a la recta<=1.6>Las coordenadas del punto 0 de intersecci&n de la recta con el e7e norte son b -.Sustituendoestos 'alores en 6 se tendr! <=1.$>en donde< 8E ? oordenadas de un punto genérico sobre la recta.m ? cotg del !ngulo α =e#ine la direcci&n de la recta>. b ? rdenada del punto de intersecci&n de la recta con el e7e orte. =0ntersecto> Ejemplo 1.3

alcular la ecuaci&n general de la recta mostrada en la #igura E1,3 ue pasa por los puntos+1 +28 de coordenadas conocidas.Figura E1-&Soluci&n/plicando la ecuaci&n 1.68 se tiene< ,51$8135?=42-8316,51$8135I2-3842,158342> F =E,158342> ,51$8135?=, H681HI18-6>F=E,158342> ? ,58353ED1.5-H831F = > 1 1 N − N = m E − E N = mF E +

Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría1-"

Ejemplo 1.4< 0)ERSE0 E RE)/Salcular las coordenadas del punto de intersecci&n 0 de las dos rectas ue se muestran en la#iguraE1,4. Se conocen las coordenadas de los puntos 18283 4.Figura E1-(Soluci&nLas coordenadas del punto de intersecci&n de dos rectas se obtienen resol'iendo el sistema


6/36

constituido por las dos rectas.Sustituendo 'alores de las coordenadas en la ecuaci&n 1.68 se tiene< ,5- ? =45-,5-I2--,3-->F=E,3--> ? , 4ED1.25-8-- N/O =Ec. recta 1> ,15- ? =4--,15-I225,1$->F=E,15-> ? 48545E,6228$2$ NBO =Ec. recta 2>Restando< N/O,NBO ? ,4ED1.25-8-- ? 48545E,6228$2$-? ,8545ED1.$28$2$ E ? 21H814HReempla@ando el 'alor obtenido para E en N/O< ? ,4=21H814H>D1.25-8-- ? 3$384-4oordenadas de 0 0=3$384-4921H814H>


1-!

Ejemplo 1.5< RE)/S +ER+E0L/RESadas las coordenadas de los puntos +18 +2 +3 representados en la #igura E1,58 se pide

calcular las coordenadas del punto de intersecci&n ;B; de la recta perpendicular a + 1+2 ue pasa por +3.Figura E1-*Soluci&nLa ecuaci&n general de una recta ue pase por el punto +3 conocido8 ue sea perpendicular a larecta dada +1+28 est! de#inida por la siguiente e*presi&n<=1.>Las coordenadas del punto de intersecci&n B se obtienen igualando las e*presionesobtenidas por las ecuaciones 1.6 1..El 'alor de m de la recta +1+2 se obtiene de la ecuaci&n 1.5.m ? =2,1IE2,E1> ? 525I245m ? 1-5I4HLa ecuaci&n de +1+2 se obtiene de 1.6 ,116- ? =1-5I4H>F=E,6H-> ? 281426E,3185$143 N/OLa ecuaci&n de la recta +3B se obtiene de 1.8 ,131- ? , =4HI1-5>F=E,125-> ? ,-84666$ED1.H3833333 NBOigualando N/O NBO se tiene<281426E,3185$143?,-84666$ED1.H3833333 EB? 4$862Hsustituendo EB en N/O o en NBO< B? 1.4H$8$$H1 F= >3 3 E E

m

N − N = − − Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría

1-+

Ejemplo 1.( < RE)/S +/R/LEL/S


7/36

adas las coordenadas de los puntos 1 2 representados en la #igura E1,68 ue de#inen la recta/8 calcule la ecuaci&n de la recta B ue pasa por el punto 3 también conocido9 siendo estaltima paralela a la recta /.Figura E1-, Soluci&n

Si se anali@a la ecuaci&n general de una recta =ec. 1.6>8 puede obser'arse ue el término ;m; eselue de#ine la direcci&n de la recta9 por lo tanto8 la condici&n indispensable su#iciente paraue dos rectas sean paralelas es ue tengan el mismo 'alor de ;m;./plicando la ecuaci&n 1.58 calculamos el 'alor de m/ correspondiente a la recta //plicando la ecuaci&n 1.68 conociendo ue la pendiente m B de la recta B debe ser igual a m/ ue la recta B debe pasar por el punto 38 se tiene<Ecuaci&n de la recta B B ? ,-8-$EBD12-48333-8-$5$-8---46-8---

358--- 2658---2-8--- 1.2-8--- = −−=−−= , m$$58--- -8-$= 5328---> N − = − E −


1-1%

1.1.5 EL PRLLa ecuaci&n general de un círculo puede e*presarse por<

=1.H>En donde8 8E ? oordenadas rectangulares del punto +.a8b ? oordenadas rectangulares del centro delcírculo.Figura 1-/ E$ C0r#u$! r ? Radio del círculo.En el caso particular en ue a?-8 b?-8 tenemos ue el centro del círculo es el origen decoordenadas 8 la ecuaci&n 1.H ueda de la siguiente #orma<=1.1-> Ejemplo 1." < 0)ERSE0 E RE)/ Q PRL.+ara los datos de la #igura E1,$ 8 calcule las coordenadas de los puntos de intersecci&n de la

recta/B con el círculo de centro radio R?35-8--- m.Figura E1-/ Soluci&ne la ecuaci&n 1.6<= E − a>2 + = N − >2 = r 2 N 2 + E 2 = r 2 E 4.!+1%1( /

5.4+!!4% 4.!+11(% /


8/36

N 4.3"3%%% 5.42++(% 4.3"3%%% / −−−− =


1-11

N = 1"3+34E − 4.1343"3%! ? N/Ode la ecuaci&n 1.H< E − 5.%%%%%% /2 + N − 5.%%%%%% /2 = 35%%%2 ? NBOsustituendo N/O en NBO8 E − 5.%%%%%% /2 + [1"3+34E − 4.1343"3%! /− 5.%%%%%%]2 = 35%%%%24%25E 2 − 41.""54+"E + 1%!.314.2"1(%% = % => NOallando las raíces de la ecuaci&n NOE1?5.32585- ? 1?5.1286-2E2?5.-5286$ ? 2?4.6538H341.1.6 "LL E "RE/SEl !rea es una medida de super#icie ue representa el tamaTo de la misma.

En los traba7os topogr!#icos comunes8 el !rea se e*presa en metros cuadrados =m2>8:ect!reas =:a> o Uil&metros cuadrados =Um2>8 dependiendo del tamaTo de la super#icie amedir. Laeui'alencia entre las unidades de super#icie mencionadas es81 :a ? 1-.--- m21 Um2 ? 1-- :aEl c!lculo del !rea de una super#icie se determina indirectamente8 midiendo !ngulos distancias reali@ando los c!lculos correspondientes.E*isten distintos métodos procedimientos para el c!lculo de las !reas. En el presentecapítulo estudiaremos el c!lculo de !reas de #iguras #undamentales8 el método del c!lculode !reas de polígonos por sus coordenadas8 los métodos para super#icies irregulares de los

trapecios =o de Be@out>8 el de Simpson el de Easa.2* 4%25 E 41.""5.4+" 41.""54+" 4* 4%25* 1%!.314.2"1%%

± 2 −=


1-12

1.1.6.1 "RE/ E V0GR/S ELE(E)/LESEn el c!lculo de !reas de super#icies de poca e*tensi&n8 en donde se puede reali@ar el le'antamiento mediante el empleo de cintas métricas8 la super#icie se puededescomponer en#iguras conocidas< como tri!ngulos8 rect!ngulos8 u otras #iguras elementales cuas !reas se

pueden calcular mediante la aplicaci&n de #&rmulas sencillas.En la tabla )1,1 se resumen las e*presiones m!s comunes para el c!lculo de #iguraselementales. Ejemplo 1.!En el diseTo de una urbani@aci&n es necesario construir la /'enida 4 la alle 12. La parcela /,18 representada en la #igura E1,8 originalmente colindaba por el norte con el e7e de la alle12


9/36

por el oeste con el e7e de la /'enida 4. Las dos 'ías a construir son perpendiculares entre si8 sedebe cumplir con los siguientes retiros<• m a partir del e7e de la /'enida 4.• 4 m a partir del e7e de la alle 12.

Se pide calcularF=3582-,48--->/1234 ? 4-18-1- m2/e segn tabla )1,12 2

e / %!5!m3(%

2tan r , =

°= − αα πFigura E1-


1-13

/# ? 4-18-1- , -85 ? 4--8152 m2 /# ?4--8152 m2El !rea a e*propiar /e* ser!/e* ? /- , /# /e*? $34853- , 4--8152 ? 33483$ m2 /e*?33483$ m21.1.6.2 "RE/ E +L0G +R SS RE//S

La e*presi&n general para el c!lculo del !rea de un polígono cerrado a partir de lascoordenadas de sus 'értices8 se puede deducir de la #igura 1,8 obser'ando ue el !rea del polígono /B es<Figura 1- Area e u" P!$0g!"!/rea/B?/rea 1,/rea 2/rea 1 ? /reaBKBKD/reaWW ,rea 1 = 0*E E C /*N -N C /E C E D /*N C -N D / N/O ,rea 2 ? ,rea ,, ,rea ,,DD


10/36

= > F = >21

CC C C ,rea = E + E N − N ′ ′= > F = , >

21C CDD C D C ,rea = E + E N ′ ′

[= > F = > = > F = >]211 C C C D C D ,rea = E + E N − N + E + E N − N

Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría1-14


1-15

= >F= >21

K ,,K , , ,rea = E + E N − N = >F= >21

,K ,DDK , D , D ,rea = E + E N − N ,rea 2 = 0* E E , /*N -N , /E ,E D /*N ,-N D / NBOrestando N/O,NBO ,rea ? XF E E C /*N -N C /E C E D /*N C -N D / -E E , /*N -N , /-E ,E D /*N ,-N D / NO

esarrollando NO agrupando términos2*,rea=N ,*E -E D /N E C -E , /N C E D-E /N DE ,-E C / =1.11>na regla pr!ctica para memori@ar la ecuaci&n 1.11 es obser'ar ue en ella se cumple ueel dole del 6rea de 7n polí)ono 8errado es 9)7al a la s7ma al)era98a del prod78to de 8ada

7na

de las 8oordenadas norte por la d9:eren89a entre la 8oordenada este anter9or ; la8oordenada

este s9)79ente. En #orma general la ecuaci&n 1.11 se puede escribir8

Σ=

=

+ − = −9 n

9

9 9 9 ,rea N E E 1

1 1 = >21 =1.12>


11/36

Donde<

ara 9 = 1 E 9 -1 = E n > ara 9 = n E 91 = E 1Si desarrollamos NO agrupamos términos en #orma di#erente ,rea= 0*N , E -E , N /N E C -E N C /N C E D-E C N D /N D E ,-E D N , / =1.13> en #orma general

Σ==+ + = −9 n

9

9 9 9 9 ,rea N E E N 1

1 1 = >21 =1.14>El c!lculo correspondiente a la ecuaci&n 1.12 puede organi@arse en #orma tabulada como seindica a continuaci&n<?e 8olo8an en :orma ordenada los pares de 8oordenadas de

8ada p7nto l7e)o en la pos989@n anter9or al pr9mer p7nto se

rep9te la 8oordenada este del Alt9mo ; desp7Bs del Alt9mo p7nto se rep9te la 8oordenada este del pr9mero. ?e 7nen

med9ante :le8as 8ada 7na de las 8oordenadas norte 8on los

estes anter9ores ; poster9ores. 9nalmente la s7ma

al)era98a del prod78to de 8ada 7no de los nortes por lad9:eren89a entre los estes 9nd98ados nos dar6 el dole del 6rea.


1-1(

En #orma an!loga la ecuaci&n 1.14?e 8olo8an en :orma ordenada los pares de 8oordenadas

de 8ada 7no de los p7ntos. Desp7Bs del Alt9mo p7nto serep9ten las 8oordenadas del pr9mero. ?e 8one8tanmed9ante líneas el norte de 8ada p7nto 8on el este 7e le

s9)7e ; en el otro sent9do se 8one8tan el este de 8ada

p7nto 8on el norte s9)79ente. L7e)o se m7lt9pl98a en 8r7Ftomando 8omo pos9t9vo el prod78to de nortes por estes ;

8omo ne)at9vo el prod78to de estes por nortes. 9nalmente el dole del 6rea del polí)ono

es la s7ma al)era98a de los prod78tos anter9ores.

/l aplicar las e*presiones anteriores8 el resultado puede dar 'alores positi'os o negati'os8dependiendo del sentido en ue se recorra el polígono8 pero l&gicamente se debe tomar

siempreen 'alor absoluto.E7emplo E1,Halcular el !rea del polígonorepresentado en la #igura E1,H.Soluci&n+ara aplicar la ecuaci&n 1.12ordenamos los datos en #orma tabulada


12/36

RE//S+) R)E ES)EE 1131/ 1--- 1---B 5- 1223 H6 142$ 1132 1454E 11$ 1131/ 1---/ ?1I2FN1.---=1.131,1.223>D5-=1.---,1.42$>DH6=1.223,1.454>D1.132=1.42$,1.131>D1.1$=1.454,1.--->OFigura E1-2


1-1"

/?1I2FN1.---=,H2>D5-=,42$>DH6=,231>D1.132=2H6>D1.1$=454>O/?1I2=,H2.---,362.H5-,22$.$66D335.-$2D53.H>? 1I2=1H1.2548--> m2/?H5.62$ m2/?H8562$ :a./plicando la ecuaci&n =1.13>RE//S+) R)E ES)E/ 1.--- 1.---B 5- 1.223 H6 1.42$ 1.132 1.454E 1.1$ 1.131/ 1.--- 1.---/?1I2FN=1.---F1.223,1.---F5->D=5-F1.42$,1.223FH6>D=H6F1.454,1.42$F1.132>D=1.132F1.131,1.454F1.1$>D=1.1$F1.---,1.131F1.--->O/?1I2F=3$3.---D$-.$-2,11.$2-,445.6-6D56.--->?1I2F=,1H1.254> m2)omando el 'alor absoluto/?H5.62$ m2/?H8562$ :a.1.1.6.3 "RE/ E S+ERV00ES 0RREGL/RESLa #igura 1,Hrepresenta el caso comn deuna super#icie de #ormairregular. En la pr!ctica8 parael c!lculo del !rea de dic:asuper#icie se recurre8 entreotros8 al método apro*imadode Los )rapecios al (étodode Simpson.Figura 1-2


1-1!

+ara la aplicaci&n de ambos métodos debemos medir primero una base8 en nuestro caso


13/36

/B8 di'idiéndola luego en inter'alos iguales #inalmente medir las ordenadas abscisasdelcontorno de la super#icie a lo largo de la base.(Y) E LS )R/+E0SEl método de los trapecios8 conocido también como Frmu$a e 3e4!ut 8 asume ue el

contorno de la super#icie esta representado por segmentos rectos ue unen las ordenadasdescomponiendo la #igura en un nmero par o impar de trapecios intermedios dostri!ngulose*ternos.+ara el c!lculo del !rea de los trapecios=1.15>En donde8 ,t = ,rea de los trape89os.

H= ase de los trape89os. El valor de la ase es 9)7al para todos los 9ntervalos.

9 = Irdenada o alt7ra de los trape89os.El !rea total de la #igura ser! el !rea de los trapecios m!s el !rea de los tri!ngulose*tremos.En el caso de ue los tri!ngulos e*tremos tengan la misma base *8 al sumar las !reascorrespondientes8 el !rea total de la #igura ser!<

Σ= == Δ9 n

9

9 , H 1

=1.16>(Y) E S0(+SEste método8 ilustrado en la #igura 1,1-8 asume ue la línea ue une tres ordenadas

consecuti'as es un polinomio de segundo grado.El método de Simpsongeneralmente se conoce como laVR(L/ EL 1I3 5 se $imita s$! a$ #$#u$! e$ rea e u"a su'er)i#iei6iia e" u" "7mer! 'ar e i"ter6a$!sigua$es.na generali@aci&n del método deSimpson para el caso de un nmero impar de inter'alos o para el caso de inter'alos

+ + + ++= Δ 2 3 4 −11 .......2= >n


14/36

n

t , H Figura 1-18 M9t!! e Sim's!"

Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría1-1+

no iguales8 #ue desarrollada por Easa1 en 1.H.

La #&rmula de 1I3 de Simpson se reproduce a continuaci&n=1.1$>en donde8 , s= ,rea se)An la :@rm7la de ?9mpson. H= Jntervalo 8onstante entre as89sas.

9 = Irdenada 9 del pol9nom9o.

+ara el c!lculo del !rea total se debe agregar el !rea de los tri!ngulos e*tremos. Ejemplo 1.1%alcular el !rea de la #igura 1,H por el método de los trapecios.Soluci&nSustituendo 'alores en la ecuaci&n 1.15

,t=3"425% m2.El !rea de los tri!ngulos e*tremosEl !rea total ser!8/? 3H$86-5 m2.1 E/S/8 Said (.< =1H>. ,rea o: Jrre)7lar Ke)9on 9t n97al Jntervals. Zournal o# Sur'eing Engineering8%ol.114. J28 8 pp. 5-,5.238355 22 , 482F$8 485F381 m tr =+=

= + + 2Σ + 4Σ /3 , H ? 1 n 9mpares pares

Δ

+ + + + + + +

+= H82 1186 1282 1-8H H8$ 8 68325F $8 485 t ,


1-2%

Ejemplo 1.11alcular el !rea de la #igura 1,H por el método de Simpson.


15/36

Soluci&nSustituendo 'alores en la ecuaci&n 1.1$/s?3$4816$ m2.El !rea de los tri!ngulos e*tremos calculada en el e7emplo anterior /tr?238355 m2.

El !rea total ser!/? 3H$8522 m2. &tese ue e*iste una peueTa discrepancia en el resultado #inal. Esta discrepancia sedebe a las di#erentes consideraciones entre ambos métodos8 consider!ndose m!s preciso elmétodo de Simpson.En la pr!ctica8 en la aplicaci&n del método de Simpson8 cuando se tiene un nmero impar de inter'alos iguales8 se determina primero el !rea delimitada por un nmero par deinter'alosiguales aplicando dic:o método luego el !rea restante por el método de los trapecios.En auellos casos en ue no se pueda di'idir el !rea en inter'alos iguales se recomiendautili@ar la ecuaci&n 1.1 desarrollada por Easa1 para el caso de un nmero par de inter'alosnoiguales.Figura 1-11. Frmu$a ge"era$i4aa e Sim's!" seg7" Easa1

N7mer! 'ar e i"ter6a$!s "! igua$es.

["! 45 2* 11( 1%+ !! / 4* +2 122 +" (3 /]3

, 5 s = + + + + + + + + Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría1-21

e acuerdo con las indicaciones de la #igura 1,118 se tendr! <=1.1>en donde<

9 = NAmero par de 9ntervalos.9 = ,mpl9t7d del 9ntervalo 9.9 = Irdenada 9.

H9 = ,s89sa del p7nto 9.

E:em'$! 1.1%alcule el !rea de la #igura E1,12.Figura E1-1%Soluci&n+ara la aplicaci&n de la #&rmula generali@ada de Simpson para nmero par de inter'alos noiguales8 la ecuaci&n 1.1 se aplicar! a los inter'alos =b- C b5>8 luego se calcular! el !rea delostri!ngulos e*tremos =/1 /3> por ltimo8 el !rea del trapecio #inal =/2>.El !rea de los trapecios internos segn la ecuaci&n 1.182

2

22

s

(! (+(2%%m

(

"4 2* ( 1% /

1%* ( 4( 1% ( /


16/36

1%

2* 1% ( /

(

1% ( /4(

3%

1%% 2* 3% 15 /

15* 3%(3 15 3% /

15

2* 15 3% /

( 15 3% /

(3

1%

"2 2* 1% 2% /2%* 1%

5 2% 1% /

2%

2* 2% 1% /

( , 2% 1% /=

−++++ −+

−++++ −+

−+

+++ −=

/s?6H682-- m2el !rea del trapecio #inal8

( ) Σ−= =+


17/36

+++++ + +

−++++ −=n 2

9 par

9 %

9 2

9 1

9 1 9

9 1

9 9 1

2

9 9 1

9

9

9 9 1 9 1 1

s

2 /

/

2 /

(

, Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría

1-222

t 1% 4+%%%m

2

, (! 3% / =+=

el !rea de los tri!ngulos e*tremos8Vinalmente el !rea total ser!2

, : = , s + ,t + ,tr = ""42%%m 2 , : = ""42%%m

&tese ue en el c!lculo del !rea8 el inter'alo se apro*im& a un trapecio. na maor precisi&n se puede lograr aplicando la #&rmula basada en un polinomio cuadr!ticodesarrollada por Easa descrita en la re#erencia =1>.1.1.$ %L(E)odo proecto de ingeniería reuiere la modi#icaci&n del terreno original.En el proceso de construcci&n de una carretera8 es necesario mo'er grandes cantidades detierra. En la construcci&n de terraplenes8 por e7emplo8 es necesario calcular el 'olumen del


18/36

terraplén8 el 'olumen del material de corte o préstamo necesario para su construcci&n. Enelcaso de la construcci&n de cortes8 es necesario determinar el 'olumen a #in de estimar elcosto delacarreo del material a su destino #inal.

En la construcci&n de represas8 embalses8 canales8 etc.8 se reuiere el c!lculo del 'olumendeconstrucci&n de almacenamiento.En la construcci&n de edi#icaciones8 aparte del 'olumen de e*ca'aci&n para las#undaciones8es necesario determinar el 'olumen de concreto reuerido para el 'aciado de las estructuras8siendo estas generalmente #iguras geométricas conocidas.El 'olumen8 de#inido como la medida del espacio limitado por un cuerpo8 generalmente see*presa en m38 cm3 mm38 siendo el m3 la unidad de medida empleada en proectos deingeniería.%ista la importancia del c!lculo del 'olumen sus di#erentes aplicaciones en proectos deingeniería8 el presente capítulo lo dedicaremos al estudio de #&rmulas procedimientos para sudeterminaci&n.1.1.$.1 %L(E E S[L0S ELE(E)/LESEn la tabla )1,2 se resumen las e*presiones m!s comunes empleadas en elc!lculo del 'olumen de s&lidos elementales.2

tr 5* ! 3* ( / 2+%%%m

2

, = 1 + = Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría

1-23


1-241.1.$.2 %L(E E)RE SE0ES )R/S%ERS/LESGeneralmente8 el c!lculo de los 'olmenes se reali@a a partir de seccionestrans'ersales tomadas perpendicularmente a lo largo del e7e central.Las secciones trans'ersales pueden ser< corte en trinc:era8 corte en ladera8 en relleno oterraplén a media ladera. En la #igura 1,12 se representan gr!#icamente los di#erentestipos desecciones trans'ersales.Figura 1-1%. Ti'!s e se##i!"es tra"s6ersa$esLa distancia o separaci&n entre dos secciones consecuti'as depende de la topogra#ía de la@ona8 recomend!ndose secciones a cada 4- m en terrenos llanos a cada 2- m en terrenosdemontaTa. Se debe8 adem!s8 tra@ar secciones en los puntos característicos del alineamiento8talescomo los puntos donde comien@an terminan las cur'as :ori@ontales8 en auellos puntosdondeel terreno presente uiebres signi#icati'os.Los métodos m!s utili@ados para el c!lculo de los 'olmenes correspondientes almo'imiento


19/36

de tierra8 son el método de las !reas medias el método del prismoide8 los cuales sedescriben8 bre'emente8 a continuaci&n.1.1.$.2.1 (Y) E L/S "RE/S (E0/Si'ersos #actores tales como las irregularidades del terreno natural8 di#icultad en

determinar e*actamente la con#iguraci&n de las secciones trans'ersales a lo largo del e7e dela'ía8 las ine'itables di#erencias entre el proecto original las secciones terminadas8 etc.8 7usti#ican la utili@aci&n de la #&rmula apro*imada de las !reas medias. Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría1-25

Este método8 sin duda el m!s empleado en nuestro medio8 es el método e*igido por las ormas %ene@olanas2 para la determinaci&n de los 'olmenes de corte relleno en laconstrucci&n de carreteras.En este método8 el 'olumen entre dos secciones consecuti'as del mismo tipo8 bien sean encorte o en terraplén8 =Vigura 1,13>8 esta dado por<Figura 1-1&. ;!$ume" e"tre se##i!"es e$ mism! ti'!

, , /* d 2

1 = 1 + 2 =1.1H>En donde< = ol7men entre amas se889ones en m3

,1 ,2 = ,rea de las se889ones ?1 ; ?2 en m2

d = D9stan89a entre se889ones en m

En el caso de secciones de di#erente tipo8 se genera una línea de paso =Vigura 1,14>8 a lolargode la cual la cota del terreno coincide con la cota de la super#icie de subrasante o super#icieterminada del mo'imiento de tierra. En este caso particular8 entre ambas secciones se

generar!un 'olumen de corte un 'olumen de terraplén.2 N!rmas ;e"e4!$a"as Para La C!"stru##i" De Carreteras. (1985). (inisterio de )ransporte omunicaciones8aracas.

Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría1-2(

Figura 1-1(. ;!$ume" e"tre se##i!"es e i)ere"te ti'!+ara #ines pr!cticos se asume ue la línea de paso es perpendicular al e7e. El %L(EE R)E entre el !rea de corte ;/c; el !rea de la línea de paso ;/ -?-; el%L(E E)ERR/+LE entre el !rea de terraplén ;/r; el !rea de la línea de paso ;/-?-;8 se

calculanmediante las ecuaciones ue se indican a continuaci&n.8 ,8 ,% /d 8

2

= 1 + =1.2->r ,r ,% /d r

2

= 1 + =1.21>en donde


20/36

8r= ol7men de 8orte ; de terraplBn en m3

,8,r= ,reas de las se889ones en 8orte ; terraplBn en m2

,%= ,rea de la se889@n en la línea de paso ,%=%d8dr= D9stan89as de 8orte ; relleno en m2

+ara determinar dc dr8 representados esuem!ticamente en la #igura 1,148 por relaci&n de

tri!ngulos8 se tiene2

* d

, ,

d ,8 r

r

r +

= =1.23> Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría

1-2"

sustituendo =1.22> =1.23> en las ecuaciones =1.2-> =1.21>8 se tendr!n otras e*presiones para%c %r <2

* d

, , /

,8 r

2

8

8 +

= =1.24>2

* d , , /

,8 r

2

r

r +

= =1.25> Ejemplo 1.13

alcular el 'olumen entre las secciones trans'ersales representadas en la #igura E1,13.Soluci&n+ara la soluci&n de este problema8debemos obser'ar ue la secci&nS3 es una secci&n a media ladera8 por lo ue su punto de paso debeser proectado a las seccionesadacentes. e esta manera se


21/36

determina la correspondencia entrelas !reas de la secci&n a medialadera las !reas de las seccionesadacentes generadas por la proecci&n del punto de paso.

Las !reas correspondientes a cadauna de las secciones trans'ersales pueden ser calculadas por cualuiera de los métodosestudiados = #iguras elementales8+or coordenadas8 etc.>./ manera ilustrati'a8 calcularemos el !rea /R 1 de la secci&n S1 por el método de #iguraselementales por coordenadas.Figuras e$eme"ta$ese las mltiples #ormas en ue puede ser descompuesta /R1 para el c!lculo del !rea por #iguraselementales8 descompondremos /R1 en dos tri!ngulos dos trapecios8 tal como semuestra en lasiguiente #igura.La base la altura de cada una de las #ormas puede ser determinada gr!#icamente midiendodirectamente sobre la #igura a la escala correspondiente.Figura E1-1&

Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría1-2!

/plicando directamente las #&rmulas conocidas tenemos<( ) !13%2

, 5(( "!+ 12 2 = + =

( ) !!(!2 , "!+ (!+ 12 3 = + =21+1

2

, (3( * (!+ 4 = =

/R1? /1 D/2 D/3 D/4 ? 2-5842 m2 P!r #!!re"aas+ara el c!lculo del !rea de un polígono por coordenadas8 es necesario determinar lascoordenadasde los puntos de intersecci&n de los taludes con el terreno =c:a#lanes>.Las coordenadas del punto b de la #igura anterior pueden ser calculadas :allando la

intersecci&nde la recta 1,2 con la recta a,b8 aplicando las ecuaciones 1.58 1.6 1.$8 en donde corresponde ala cota =\> E corresponde a la distancia al e7e =d>.alculando la ecuaci&n de la recta a C b tenemos8

O − O 1 = m1 d − d 1 / O − 4(13 = m1 d − 21(4 / d d / O O /


22/36

m2

2

1 −−

= %%% 21(4 /

m 4211 4(13 / 1 +−= ∴m1 = −%1!(

O + %1!(d − 4211 = % N/O =ecuaci&n de la reta 1,2>e igual #orma8 calculando la ecuaci&n de a C b tenemos9

O − 5% = m2 d − 12 / m2 = 1 =pendiente del talud> O − d − (2 = % NBO =ecuaci&n de la recta a, b>0gualando N/O con NBO tenemos O = 4523

d = -1("" 1353

2

, 4"!* 5(( 1 = = Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría

1-2+

En #orma an!loga8 interceptando la recta 2C3 con cCd tendremos las coordenadas del puntod. O d = 5%%% Dd = 12%%

Luego8 aplicando el procedimiento parael c!lculo de !reas e*plicado en el punto1.1.6.2. sobre la secci&n S1 tenemos8+) \ da 5-8-- ,128--

c 5-8-- 128--d 1836 438642 -8-- 42811

b ,168$$ 45823a 5-8-- ,128-- , = 2%542 m2

C$#u$! e ;!$7me"esVolumen entre las secciones S1 y S2. ,K ,K ,K /

2K 1 ?1−? 2 = 1 + 2 + 33

?1 ? 2 2%534 13"3+ (32( / * 2% 4.%5++%m

2K = 1 + + = −

;!$ume" e"tre $as se##i!"es S% 5 S&.Siendo S3 a media ladera8 se genera un p7nto de paso transversal el cual de#ine el !reacorrespondiente a corte relleno en S3.Se obser'a ue entre S2 S3 e*iste un paso de relleno a corte8 por consiguiente8 se generaun punto de paso en sentido longitudinal


23/36

;!$ume" e Re$$e"!<3

2

C1 K2

2

K2

K2 C1 * 2% +1511m

(!!! 13"3+

13"3+2* d 1

, ,

,

2 1 =

+=

+− =

K3 K4 3

K3 K4 * 2% "(+!%m

2

* d (32( 13"22

, ,

=

+=

+− =

Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría1-3%

K ?2-?3= K2-C1 K3-K4 = 1.(!4+1 m3 =%olumen de relleno entre S2 S3>;!$ume" e C!rte<3

2

C1 K2

2

C1

C1 K2 * 2% 23%%1m


24/36

(!!! 13"3+

(!!!

2

* d 1 , ,

,

2

1 =

+=

+− =

C ?2-?3 = C1-K2 = 23%%1 m3 =%olumen de corte entre S2 S3>;!$ume" e"tre $as se##i!"es S& 5 S(.;!$ume" e Re$$e"!<3

2

K4 C3

2

K4

K4 C3 * 2% 2("2m

13"2 5("4

13"22

* d 1 , ,

,

2

1 =

+=

+− =


25/36

K?3-?4 = K4-C3 = 2("2 m3 =%olumen de relleno entre S3 S4>;!$ume" e C!rte<3

2

C3 K4

2

C3

C3 K4 * 2% 45(+2m

5("4 13"25("4

2

* d 1

, , ,

2

1 =

+=

+− =C1 C2 3

C1 C2 * 2% 2.1"+1%m

2* d (!!! 14+%3

2

, ,

=

+=

+− =

C ?3-?4 = C3-K4 C1-C2 ? 2.(3(%2 m3 =%olumen de corte entre S3 S4>VOLUMEN TOTL !E "ELLENO

K = K?1-?2 K?2-?3 K?3-?4 = 5.1"153 m3

VOLUMEN TOTL !E #O"TE

C = C ?2-?3 C ?3-?4 = 2.!((%3 m3 Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría1-31


26/36

rdenando los datos en #orma tabulada8 se tendr! <"LL EL %L(E

AREA (m2) VOLUMEN (m3)SECCION DISTANCIA AR AC VR VCS1 205,34 ----20,00 4.059,90 ----

S2 137,39+3,2 ----20,00 1.!4,91 230,01S3 13,72 !,!!20,00 2,72 2.3,02S4 ---- 149,03+5,74Σ 5.171,53 2.!,03

1.1.$.2.2 (Y) EL +R0S(0EEl método de las !reas medias tiene la 'enta7a de ser un método #!cil de entender de implementar8 pero tiene la des'enta7a de ue sus resultados no son e*actos a ue asumeueel !rea trans'ersal 'aria linealmente con la longitud.En algunos casos particulares se reuiere el c!lculo del 'olumen con una maor precisi&n8

por lo ue se recurre al método del prismoide.n prismoide es un s&lido cuos lados e*tremos son paralelos sus super#icies lateralesson planas o alabeadas.n e7emplo comn de prismoide utili@ado en el mo'imiento de tierra se muestra en la#igura1,15.Figura 1-1*. Prism!ie e se##i!"es tra"s6ersa$es.


1-32

/ continuaci&n se reproduce la #&rmula del prismoide triangular. +ara una descripci&ndetallada de la deri'aci&n de la #&rmula se puede consultar /ndue@a38arciente4.* ( ,1 ,2 4,m )(

= d + + =1.26>en donde8 ,1 ,2= ,rea de ?1 ; ?2 en m2

,m= ,rea de la se889@n transversal en el p7nto med9o entre ?1 ; ?2 en m2

d= D9stan89a entre ?1 ; ?2 en m

&tese ue la #ormula 1.1H del 'olumen por el método de las !reas medias puedeconsiderarse un caso particular de la 1.26.En e#ecto8 en la #&rmula del prismoide si las generatrices son paralelas a un plano director8

el/RE/ (E0/ =/m> es igual a la (E0/ =(a> de las !reas e*tremas =/1 /2>9 en#&rmulas< ,m = Ma 8 siendo21 2 Ma , ,+= =1.2$>


27/36

Sustituendo =1.2$> en =1.26>8 desarrollando8 se tendr!<( , , 4,m)( Ma d = 1 + 2 +

+= + +2

, , 4 , ,

(

Ma d 1 21 2

( ) 3,1 3,2(

Ma = d +

( ) ,1 ,22

Ma = d +la cual8 como puede obser'arse es la #&rmula 1.1H.La utili@aci&n de la 1.1H en lugar de la 1.26 introduce8 en el c!lculo del 'olumen8 un error E8 dado por<3 /ndue@a +. =1HH4>. El D9sePo GeomBtr98o de Carreteras. (érida8 %ene@uela. ni'ersidad de los /ndes. pp 52H,534.4 arciente Z. =1H->. Carreteras Est7d9o ; ro;e8to.=2daEd.>. aracas8 %ene@uela. Ediciones %ega pp..151,153.


1-33

pr9smo9de (1 2 )(1 2 )12

E = Ma − = d − − =1.2>

ue permite calcular el 'olumen del prismoide a partir del 'olumen de las !reas medias8 dedonde< Ma E pr9sm = − =1.2H>En la ecuaci&n 1.28 bi :i son los 'alores correspondientes a la base altura del !rea /i delas secciones e*tremas supuestas triangulares. Ejemplo 1.14La #igura E1,14 representa un muro de concreto de secci&n 'ariable.Se desea calcular<a., %olumen de concreto por el método de las !reas medias. b., %olumen de concreto por el método del prismoide.Figura E1-1(

Soluci&na., %olumen por la #ormula de las !reas medias./rea de las secciones e*tremas./1?:1Fb1,1I2=b1,b2>=:1,:2>?1-F6,1I2F=6,2>=1-,$>? 548--- m2


1-34

/2?:3Fb3,1I2=b3,b4>=:3,:4>? 6F5,1I2F=5,2>=6,4>? 2$8--- m2%olumen


28/36

%?1I2F=548--D2$8-->F258--?1-1285-- m3 %?1-1285-- m3 b., %olumen por la #&rmula del +rismoide+ara aplicar la #&rmula del +rismoide se reuiere calcular el !rea de la secci&n media /m./m no es el promedio de las !reas8 pero sus dimensiones ser!n el promedio de lasdimensiones

de las secciones e*tremas.:m1? =1-D6>I2?8-- m bm1?=6D5>I2?585- m:m2? = $D4>I2?585- m bm2?=2D2>I2?28-- m/m?:m1 bm1,1I2F=bm1,b bm2>=:m1,:m2>/m?8--F585-,1I2F=585-,28-->=8--,585->?3H8625 m2. /m? 3H8625 m2%olumen%?25I6 F=548---D2$8---D4F3H8625>?HH$8H1$ m3% ? HH$8H1$ m3 &tese ue el 'olumen calculado por la #&rmula de las !reas medias es maor ue elcalculado por la #&rmula del prismoide.Esta di#erencia puede o no ser signi#icati'a8 dependiendo del 'alor del material con el ueseesta traba7ando.Es importante resaltar ue ambos métodos :an sido desarrollados suponiendo ue lassecciones trans'ersales son paralelas9 sin embargo8 en alineamientos de carreteras8#errocarriles8canales e incluso en el caso de construcci&n de represas8 'igas obras ci'iles en general8losalineamientos presentan tramos cur'os8 siendo ue las secciones son perpendiculares ale7e8éstas no son paralelas entre sí. Esta situaci&n origina el llamado error de cur'atura ue8 parae#ectos pr!cticos8 en construcciones 'iales se puede despreciar8 pero en algunas situaciones particulares amerita el c!lculo de la correcci&n por cur'atura descrita por di#erentesautores586.5 /ndue@a. p. it. 8 pp. 534,53H6 arciente. p. it. 8 pp. 154,15$

Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría1-35

1.2 ELE(E)S E )R0G(E)RP/La trigonometría es una de las ramas de las matem!ticas utili@ada en topogra#ía pararelacionar lados !ngulos de un tri!ngulo. +or consiguiente8 por ser la trigonometría#undamental para el entendimiento aplicaci&n de la topogra#ía8 se considera necesarioincluir un

bre'e resumen de los conceptos trigonométricos #undamentales.1.2.1. "GLSn !ngulo es la abertura o cantidad de rotaci&n ue sobre un plano marcan dos semirectas con un origen comn llamado 'értice.)opogr!#icamente8 los !ngulos se miden sobre el plano :ori@ontal sobre el plano 'ertical.Los !ngulos ue se miden sobre el plano :ori@ontal se llaman !ngulos :ori@ontales losue semiden sobre el plano 'ertical se llaman !ngulos 'erticales.


29/36

En topogra#ía8 se admite ue un !ngulo medido sobre un plano :ori@ontal es positi'ocuandogira en sentido :orario.Los !ngulos :ori@ontales se clasi#ican en R(BS =α>8 /0()ES =ϕ> Q /GLSE

EVLEA0 =Δ >8 =#igura 1,16>.Los conceptos de rumbo acimut #ueron de#inidos en la secci&n 1.1.2.Figura 1-1,. Ti'!s e "gu$!s .θθθθ


1-3"

1J ? 6-K1K ? 6-;1J ? 36--;el !ngulo α^?1-J2-K36; se lee<

1- grados8 2- minutos8 36 segundos.Figura 1-1. Sistema se=agesima$ 1.2.2.2. S0S)E(/ SEA/E0(/LEste sistema deri'a del sistema se*agesimal8 siendo su nica di#erencia ue losminutos segundos se e*presan como décimas de grados.El !ngulo 1-^2-W36_8 en este sistema es< 1-^834333333Este sistema es de uso #recuente a ue la maoría de las m!uinas calculadoras reuierenen


30/36

sus operaciones ue los !ngulos sean con'ertidos al sistema se*adecimal.1.2.2.3 S0S)E(/ E)ES0(/LEn el sistema centesimal8 la circun#erencia est! di'idida en 4-- partes iguales ogrados centesimales =g>9 cada grado centesimal se di'ide en 1-- partes o minutoscentesimales =c>

cada minuto en 1-- partes o segundos centesimales =cc

>.Siendo un minuto la centésima parte del grado un segundo la centésima parte del minuto8el!ngulo α se puede escribir directamente en las dos #ormas ue se indican<α? 25g845331g ? 1--c1c ? 1--cc1g ? 1----ccel !ngulo α?25g45c33cc se lee<25 grados8 45 minutos8 33 segundos.Figura1-12. Sistema Ce"tesima$


1-3!

1.2.2.4 S0S)E(/ //LP)0En este sistema la unidad de medida es elradian8 el cual se de#ine como el !ngulo alcentro ue #orma un arco l cua longitud esigual al radio.Siendo la longitud de la circun#erencia 2πr8 por la de#inici&n dada8 en una circun#erenciacaben =2π>l o 2π=radianes> siendo π unnmero constante ue 'ale π?381415H2654....e la #igura 1,2-8 cuando

l=r =Q ρ=1rad.+or relaci&n entre lados radioα


31/36

enteros.=56I6->D25K? 25K8H333332., +asamos los minutos a grados di'idiendo entre 6- los sumamos a los grados.=258H33333I6->D32?32J8432222


1-3+

El !ngulo α en el sistema se*adecimal ser!<α?32J8432222+ara con'ertir α al sistema centesimal8 relacionamos las dos primeras igualdades de la ecuaci&n 1.318J36-4--36- 4--J α αα α= ⇒ ) =

)

α en centesimal ser!832J 8432222 36 .-3536-J4-- ) )

)

α ) = ⇒α =+ara con'ertir α al sistema analítico relacionamos la primera tercera igualdades de laecuaci&n 1.318

, , rad ,

J -8566-4H

36-236- 2J = ⇒ = α ⇒α =παπα αα/?-8566-4H rad EUEMLI 1.1( on'ertir al sistema centesimal al se*agesimal un !ngulo α?-843654 rad.Soluci&nLa con'ersi&n del sistema analítico al sistema se*agesimal se e#ecta relacionando el primer tercer término de la ecuaci&n 1.31<J 2$J 8$113332J 36-36- 2


32/36

J = ⇒ = α ⇒α =παπα α ,

,

&tese ue α est! e*presado en el sistema se*adecimal. El procedimiento para con'ertirloalsistema se*agesimal es como sigue<1., Se trans#orma la parte decimal del !ngulo a minutos8 multiplicando por 6-.-8$11333F6-?42K86$HH$6

Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría1-4%

2., Se trans#orma la parte decimal de los minutos a segundos multiplicando por 6-.-86$HH$6F6-?4-;8$H56 ? 41;luego α en se*agesimal ser!8α?2$J42K41;

Nota< En el presente teHto salvo 7e se 9nd97e lo 8ontrar9o las dB89mas de se)7ndos se redondearan al entero

mas 8er8ano.

La con'ersi&n de α al sistema centesimal se e#ecta relacionando el segundo tercer término dela ecuaci&n 1.2H.3- 8$11333 3- 8$11324--4-- 28 , ) ) ) )

) ,

= ⇒ = α ⇒α = ⇒α =παπα αluego α en centesimal ser!8α ) = 3- ) $1813881.2.3 REL/0ES )R0G(Y)R0/S V/(E)/LES1.2.3.1 )R0"GL RE)"GLEn la tabla )1,3 se resumen las relaciones trigonométricas #undamentales deltri!ngulo rect!ngulo =#igura 1,21>

Figura 1-%1. Tri"gu$! re#t"gu$! Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría1-41


1-42

1.2.3.2 )R0"GL BL0Figura 1-%%. Tri"gu$! !+$i#u!LEQ EL SEsenα senβ senγ


33/36

a = = 8 =1.32>LEQ EL SEa 2 = 2 + 82 − 28 cosα =1.33>2 = a 2 + 82 − 2a8 cosβ =1.34>82 = a2 + 2 − 2a cosγ =1.35>

EUEMLI 1.1" on los datos de la #igura E1,1$ calcular la altura del edi#icio representado<Vigura E1,1$


1-43

Soluci&n?:1D:2tanα?:1I3- ? :1?3-tan2-J? :1?1-8H1H mtanβ?:2I3- ? :2?3-tan $J ? :2? 3864 mla altura del edi#icio8 ser!<?:1D:2?1486-3 m ?1486-3 m EUEMLI 1.1!

El alineamiento /B representa el e7e de un puente en construcci&n. El punto / :a sidomateriali@ado en el terreno por medio de una cabilla. Se sabe ue el punto B debe estar ubicadoe*actamente a 358-- m del punto /9 pero8 debido a ue un obst!culo impide medir directamenteesta distancia8 se :a escogido un punto au*iliar a 48325 m de / se :a medido el !nguloα?H5J2$K32;.alcular el !ngulo γ reuerido para ubicar B a partir de .Figura E1-1Soluci&nLa soluci&n del problema e*ige calcular primero el lado B para luego poder calcular el

!ngulo γ. Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría

1-44

+or la le del coseno<B2?/2D/B2,2/F/BFosαB2?483252D358---2,2F48325F358---Fos=H5J2$K32;>B2?328112 m2 ? B?6283-$ m+or la le del seno<BIsenα?/BIsenγ ? senγ?=/BIB>senαsenγ?=358---I6283-$>Fsen=H5J2$K32;>?-855H1$γ?arcsen=-855H1$>?33J8HHH5H3 ? γ?33J5HK5H;

$ro%lemas $ro&uestos1.1 adas las coordenadas de los puntos 182 3 de la #igura +.1.18 calcule las distancias8rumbos acimutes de las alineaciones 1,2 2,3 el !ngulo Δ2 en el 'értice 2.

9)7ra .1.112 3Δ21 1.2--8-- 5.3--8--2 1.--8-- 5.H--8--3 1.--8-- 6.$--8--


34/36

+to. R)E ES)ERE//S

R)EES)E


1-45

1.2. on los datos de la #igura +.1.2 calcule<• oordenadas de los puntos 28 3 5.• oordenadas del punto / ubicado en la intersecci&n de la perpendicular de la recta 2,/con la alineaci&n 1,4.• oordenadas de un punto B ubicado en la intersecci&n de la recta 2,B =paralela a 3,4>con la alineaci&n 1,4.

9)7ra .1.2

1.'. on los datos de la #igura +.1.3 calcule las coordenadas del punto de intersecci&n 0 delacur'a 1 con la recta /B.

9)7ra .1.33H5866

S 2^-4K-5; E

R?25-8--

1235 46S 3^3-K21; E1,6 ? 46282

0 1.24815E 5.H5823 1.5-H816E 6.23$83$

1.5-1861E 6.6$384H

1.1468HE 6.525852

1.31385-E 6.51-86-

112 34/B

α5

1.3H48E 5.44486H ?5538$142^2K4;

1,2

E 6.$4586 1.113841


35/36

?62824 2,3

α?3$^51K1$; Leonardo Casanova M. Elementos de Geometría1-4(

1.. on los datos de la #igura +.1.4 calcule8 el !rea del polígono /8B888E por el métodode Gauss por #iguras elementales.

9)7ra .1.4

1.5. alcule el !rea del polígono /8B81818288 de la #igura +.1.4.1.. alcule el !rea de la #igura +.1.6 . tilice la #&rmula de los trapecios la #&rmula del1I3de Simpson.

9)7ra .1.(

/BE

12 1R?-/ 4.65-84 2.54484B 4.$4-846 2.535835 4.11812 2.63$8H$ 4.$2581 2.$-68-HE 4.6268$1 2.6$2846+to. R)E ES)ERE//S

R)EES)E


1-4"

1.*. alcular los 'olmenes entre las secciones trans'ersales representadas en la #igura+.1.$.

9)7ra .1."

1.8. on'ertir a los sistemas indicados los !ngulos dados en la siguiente tabla.SEA/GES0(/L SEA/E0(/L E)ES0(/L //L0)025J32W21$_1-2J83$51--G 25 $22.-5- rad1.9. +or una obstrucci&n en la 'isual8 es imposible medir directamente la distancia /,B8 lo

ue :i@o necesario ubicar un punto medir las distancia /, ,B el !ngulo en =#igura +.1.H>.alcule la distancia B,/.1.1+. alcule8 con los datos de la #igura +.1.1-8 la distancia /,B.1- 12 12 1--1-$121--,12


36/36

1--,12H38441

CAPITULO 1 topografia

Documents

Transcript of CAPITULO 1 topografia