Capitulo 6 - CA1 - Flexão Simples - Armadura Transversal de Viga

8/18/2019 Capitulo 6 - CA1 - Flexão Simples - Armadura Transversal de Viga

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FLEXÃO SIMPLES – ARMADURA TRANSVERSAL DE VIGA

6.1 TENSÕES PRINCIPAIS

Sejam os elementos 1 e 2, próximos ao apoio de uma viga, dos quais se quer determinar as tensões principais(Figura 6.1). Nesta Figura, o elemento 1 situa-se sobre a linha neutra (máxima tensão tangencial) e o elemento 2

está situado próximo à fibra mais tracionada (máxima tensão normal de tração).

Figura 6.1: Tensões normais e tangenciais em peças fletidas.

Da Resistência dos Materiais é sabido que as tensões principais de tração I formam, no elemento 1, um ângulode 45° com a horizontal (plano diagonal de ruptura), sendo no elemento 2 este ângulo igual a 90° (plano verticalde ruptura), como mostrado na Figura 6.2.

Figura 6.2: Tensões principais nos elementos 1 e 2.

Figura 6.3: Fissura em viga de concreto armado.


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Ensaios de laboratório têm demonstrado uma boa aproximação com a teoria, já que em vigas de concreto armadoo aspecto das fissuras, na região próxima a apoio simples, é como indicado na Figura 6.3 (fissurasperpendiculares às tensões principais de tração, pois o concreto não resiste às mesmas).

Já foi visto, quando se estudou a armadura longitudinal de vigas (Capítulo 5), que próximo ao elemento 2, onde afissura é provocada somente pelo momento fletor (xy = 0), a armadura horizontal de tração é colocadaperpendicularmente à fissura, isto é na direção da tensão principal I do elemento 2 (Figura 6.4). No elemento 1,

onde a fissura é provocada pela força cortante (x = 0), a armadura deveria ser também colocadaperpendicularmente à fissura, na direção da tensão principal I do elemento 1 (Figura 6.4).

Figura 6.4: Armaduras nas direções das tensões principais de tração.

A ideia de se colocar armadura sempre na direção da tensão principal de tração (perpendicular à fissura) vigoroupor muitos anos como princípio básico do concreto armado. Mudanças ocorreram e as teorias atuais, tanto paramomento fletor como para força cortante, baseiam-se no principio de se "costurar" as fissuras, respeitandosempre o equilíbrio de forças e a compatibilidade das deformações. É por este motivo que as vigas de concretoarmado, em sua grande maioria, são, atualmente, detalhada só com armadura horizontal e vertical (Figura 6.5). As armaduras horizontais "costuram" as fissuras provocadas pelo momento fletor e as armaduras verticais

"costuram" as fissuras provocadas pela força cortante. Evidentemente esta é uma idéia simplista, já que asfissuras, na realidade, são provocadas por tensões de tração provenientes da combinação de momentos fletores eforças cortantes atuando conjuntamente.

Figura 6.5: Armadura de momento fletor e força cortante.

6.2 ANALOGIA DA TRELIÇA DE MORSH

O verdadeiro comportamento de peças fletidas (peças fissuradas) de concreto armado ainda não é totalmenteconhecido. Uma das teorias que procura explicar este comportamento é a Analogia da Treliça de Morsh, onde ésuposto que os momentos fletores e as forças cortantes devam ser resistidos por uma treliça interna à viga

formada por banzos, diagonais e montantes constituídos por barras de concreto comprimido e barras de açotracionado (Figura 6.6).

http://0.0.0.0/http://0.0.0.0/


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Figura 6.6: Analogia da treliça de Morsh – Estribos verticais.

Figura 6.7: Analogia da treliça de Morsh – Estribos inclinados.

6.2.1 MODELOS DE ABNT NBR 6118

Ensaios de laboratório têm demonstrado que o ângulo mostrado na Figura 6.6, que corresponde à inclinação dafissura mostrada na Figura 6.4, varia entre 30° e 45°. Dessa forma, a ABNT NBR 6118, itens 17.4.2.2 e 17.4.2.3houve por bem adotar dois modelos correspondentes à analogia da treliça de Morsh, ou sejam:

Modelo I, onde é admitido que as diagonais de compressão sejam inclinadas de = 45° em relação ao eixolongitudinal do elemento estrutural;

Modelo II, onde é admitido que as diagonais de compressão sejam inclinadas de em relação ao eixolongitudinal do elemento estrutural, com variável livremente entre 30° e 45°.

6.2.2 COLAPSO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO

Baseado no mecanismo da treliça pode ser observado que a ruína da viga pode ocorrer de varias maneiras, já quequalquer parte (banzo, diagonal ou montante) pode entrar em colapso.

Admitindo-se comportamento de viga sub ou superarmada (Figura 6.8), onde o momento fletor é responsável pelobinário das forças horizontais atuantes nos banzos superior e inferior da treliça, o colapso pode ocorrer por:

ruptura (esmagamento) do concreto comprimido que constitui o banzo superior (viga superarmada); ruptura (alongamento excessivo) da armadura tracionada do banzo inferior (viga subarmada).

Para evitar a ruptura (esmagamento) do concreto comprimido no banzo superior (ruptura de viga superarmadamostrada na Figura 6.8), duas providências podem ser tomadas:

colocação de armadura na região comprimida; aumento das dimensões da seção transversal da viga.

De modo análogo ao das vigas super e subarmadas, onde o momento fletor é o causador do colapso, pode a forçacortante também ser responsável pela ruína de uma viga de concreto armado (Figura 6.9). Isto pode acontecer


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por:

ruptura (esmagamento) da diagonal de concreto comprimido; ou ruptura (alongamento excessivo) da armadura tracionada dos montantes (estribos).

Figura 6.8: Colapso de viga devido ao momento fletor.

Figura 6.9: Colapso de viga devido a força cortante.

O esmagamento do concreto comprimido mostrado na Figura 6.9 só pode ser evitado com o aumento dasdimensões da seção transversal da viga. A verificação da necessidade de se aumentar ou não as dimensões deuma viga de concreto armado é feita pelos itens 17.4.2.2 e 17.4.2.3 da ABNT NBR 6118, os quais fixam valoreslimites para a força cortante atuante em seções transversais de viga.

6.3 VALORES LIMITES PARA FORÇA CORTANTE – DIAGONAL DE COMPRESSÃO

6.3.1 EQUILÍBRIO DA DIAGONAL DE COMPRESSÃO DE TRELIÇA DE MORSH

Seja a Figura 6.10 onde a força cortante resistente de cálculo VRd2 é responsável pelo equilíbrio vertical das

forças atuantes no trecho de viga.

Figura 6.10: Equilíbrio vertical da resultante atuante na diagonal de compressão da treliça de Morsh.


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Na Figura 6.10,

- representa a inclinação da fissura em relação ao eixo horizontal da viga e corresponde à inclinação dastensões cw;

- corresponde à inclinação da armadura transversal (diagonal tracionada da treliça de Morsh) emrelação ao eixo horizontal da viga;

- corresponde a um dos ângulos do triângulo retângulo BCD (reto em B), equivalente a [( + ) - 90°];bw - largura da alma da viga;

d - altura útil da viga;z - representa o braço de alavanca correspondente à distância entre a resultante horizontal de

compressão atuante no banzo superior da treliça de Morsh e a resultante atuante na armadurahorizontal tracionada (banzo inferior da treliça), admitido como sendo igual 0,9 d;

cw - tensões normais atuantes na diagonal de compressão da treliça de Morsh (tensões perpendiculares àreta BC);

Rcw - corresponde à força atuante na diagonal de compressão da treliça de Morsh, resultante das tensõescw;

VRd235 - corresponde à força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas deconcreto.

Do triângulo ABD (Figura 6.10) tem-se:

sen

zBD ___

Do triângulo BCD (Figura 6.10) tem-se:

cosBDBC ___ ___

ou ainda:

zsen

cosBC ___

Tendo em vista que:

90-

tem-se:

90

90coscos

90sensen90coscoscos cossensencoscos

sen

cossensencos

sen

cos

cossengcot

sen

cos

gcotgcotsen

sen

cos

que levado para a expressão da reta BC, tem-se:

35 Notação da ABNT NBR 6118. O índice 2 que aparece em VRd2 é usado para indicar vigas, sendo o índice1, que aparecerá em VRd1, usado para lajes.


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gcotgcotsenzBC ___

Do equilíbrio das forças verticais mostradas na Figura 6.10, tem-se:

senRV cwRd2

ou ainda:

senbBCV w

___

cwRd2

senbgcotgcotsenzV wcw2Rd

2wcw2Rd sengcotgcotzbV

Tendo em vista que (Figura 6.10):

d9,0z

e tomando para cw um valor em torno de 70% da máxima tensão de compressão de cálculo do concreto 0,85 f cd,necessário pelas incertezas decorrentes da simplificação da analogia de Morsh, tem-se:

cdcw f 85,0

7,04,1

1

2w

cd2Rd sengcotgcotd9,0b

4,1

f 85,0V

ou ainda:

Equação 6.16.3.2 MODELOS DA ABNT NBR 6118

6.3.2.1 MODELO I

O Modelo I da ABNT NBR 6118 define como sendo igual a 45°. Desta forma a Equação 6.1 resulta:

45gcotgcot45sendbf 54,0V 2wcd2Rd 1gcot5,0dbf 54,0V wcd2Rd

1gcotdbf 27,0V wcd2Rd

Se o ângulo (inclinação das barras de cisalhamento) for tomado igual a 90°, VRd2 assumirá seu valor mínimo,correspondente a:

Equação 6.2

A ABNT NBR 6118, item 17.4.2.2-a, apresenta a Equação 6.2 corrigida do fator v2, função da resistênciacaracterística do concreto. Desta forma, a expressão de VRd2, para o Modelo I, resulta:


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Equação 6.3

6.3.2.2 MODELO II

O Modelo II da ABNT NBR 6118, que estabelece para uma variação entre 30° e 45°, usa, para a determinaçãode VRd2, a Equação 6.1 corrigida do fator v2. Segundo o item 17.4.2.3-a, VRd2 deve ser determinado pelaexpressão:

Equação 6.4

6.3.3 RESISTÊNCIA DE VIGAS – DIAGONAL DE COMPRESSÃO

A resistência de viga, numa determinada seção transversal, deve ser considerada satisfatória quando forverificada, a seguinte condição:

Equação 6.5onde:

VSd - força cortante solicitante de cálculo na seção; VRd2 - força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto, deacordo com os Modelos I e II descritos em 6.3.2.1 e 6.3.2.2, respectivamente.

Nas regiões dos apoios, os cálculos devem considerar as forças cortantes agentes nas respectivas faces (Figura6.11).

Figura 6.11: Verificação de força cortante.


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EXEMPLO 6.1

Verificar, para a seção transversal de viga abaixo indicada, qual a máxima força cortante solicitante de cálculo(VSd) que a mesma pode suportar, definida pela diagonal de compressão (V Rd2). Fazer a verificação para oModelo I e para o Modelo II admitindo = 30° e = 90°.

Considerar:

concreto: C25; d = h – 4 cm; estado limite último, combinações normais (c = 1,4).

Solução: Na determinação de VRd2, usar a Equação 6.3 para o Modelo I e a Equação 6.4 para o Modelo II. VSd édefinida pela Equação 6.5.

a) Dados – uniformização de unidades (kN e cm)

2ck cm/kN5,2MPa25f

4,1c

c

ck

cd

f f

2cd cm/kN79,1

4,1

5,2f

MPaemf 250

f 1 ck

ckv2

9,0250

251v2

cm20bw

cm36440d

b) Modelo I

dbf 27,0V wcd2v2Rd

kN18,313362079,19,027,0V 2Rd

kN313VV2RdSd

c) Modelo II

OK)9045(90

OK)4530(30

gcotgcotsendbf 54,0V 2wcd2v2Rd

30gcot90gcot30sen362079,19,054,0V 22Rd


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kN90,27073,10,05,0362079,19,054,0V 22Rd

kN271VV2RdSd

d) Observação

No Modelo I, a força cortante solicitante de cálculo VSd (313 kN) resultou 15% maior que acorrespondente no Modelo II (271 kN). Portanto, no que se refere à diagonal de compressão, o Modelo I

tem um melhor comportamento que o Modelo II.

■

6.4 VALORES LIMITES PARA FORÇA CORTANTE – DIAGONAL DE TRAÇÃO

6.4.1 EQUILÍBRIO DA DIAGONAL DE TRAÇÃO DE TRELIÇA DE MORSH

Seja a Figura 6.12 onde a força cortante resistente de cálculo VRd2 é responsável pelo equilíbrio vertical dasforças atuantes no trecho de viga.

Figura 6.12: Equilíbrio vertical da resultante atuante na armadura transversal (diagonal tracionada da treliça de Morsh).

Na Figura 6.12,

- representa a inclinação da fissura em relação ao eixo horizontal da viga; - corresponde à inclinação da armadura transversal (diagonal tracionada da treliça de Morsh) em

relação ao eixo horizontal da viga;d - altura útil da viga;z - representa o braço de alavanca correspondente à distância entre a resultante horizontal de

compressão atuante no banzo superior da treliça de Morsh e a resultante atuante na armadurahorizontal tracionada (banzo inferior da treliça), admitido como sendo igual 0,9 d;

s - corresponde ao espaçamento da armadura transversal, medido paralelamente ao eixo horizontal daviga;

n - representa o número da barras, componentes da armadura transversal, que corta o plano AC co trechoda viga;

Asw - corresponde à área da seção transversal de uma barra que constitui a armadura transversal daviga;

sw - tensões normais atuantes na armadura transversal (diagonal tracionada da treliça de Morsh);Rsw - corresponde à força atuante na armadura transversal (diagonal tracionada da treliça de Morsh),

resultante das tensões sw;


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VRd336 - corresponde à força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal; Vsw - corresponde a componente vertical da força Rsw; e Vc - corresponde à parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao da treliça de

Morsh.

Do triângulo ABC (Figura 6.12) tem-se:

gcotgcotz AB ___

O número de barras que corta o plano AC (projeção horizontal AB) é dado por:

gcotgcots

z

s

gcotgcotz

s

ABn

Do equilíbrio vertical de forças atuantes no trecho de viga da Figura 6.12, tem-se:

0VsenRV csw3Rd

ou ainda:

csw3Rd VsenRV

Equação 6.6 Ainda da Figura 6.12, tem-se:

sen AnsenRV swswswsw

sen Agcotgcots

z

V swswsw

sen Agcotgcots

d9,0V swswsw

( ) Equação 6.7 A ABNT NBR 6118, itens 17.4.2.2.b e 17.4.2.3.b, apresenta a Equação 6.7 com f ywd no lugar de sw, onde f ywd é atensão na armadura transversal, limitada ao valor f yd no caso de estribo e a 70% desse valor no caso de barra

dobrada, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435 MPa. Desta forma a Equação 6.7resulta:

( )

Equação 6.8

36 Notação da ABNT NBR 6118.


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6.4.2 ARMADURA COMPONENTE DAS DIAGONAIS TRACIO NADAS DA TRELIÇA DE

MORSH As armaduras que compõem as diagonais tracionadas da treliça de Morsh podem ser constituídos por:

estribos; barras dobradas.

Os estribos, de modo geral, são fechados e na grande maioria dos casos são posicionados verticalmente ( = 90°),como mostrado na Figura 6.13. Os valores de Asw, a serem usados na Equação 6.8, dependem do número deramos que compõe o estribo.

Figura 6.13: Estribos de viga.

As barras dobradas, de modo geral, são posicionadas nas vigas como continuidade das barras horizontais,formando ângulo de 45° com a horizontal (Figura 6.14).

Figura 6.14: Barras dobradas de viga.

6.4.3 MODELOS DA ABNT NBR 6118

6.4.3.1 MODELO I

O Modelo I da ABNT NBR 6118 define como sendo igual a 45°. Desta forma a Equação 6.8 resulta:


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sen45gcotgcotf d9,0

s

AV ywd

swsw

(

)

Equação 6.9

O item 17.4.2.2-b da ABNT NBR 6118 apresenta, o cálculo da armadura transversal de viga, para o Modelo I,separado por tipo de solicitação.

6.4.3.1.1 FLEXÃO SIMPLES OU FLEXO-TRAÇÃO COM A LINHA NEUTRA CORTANDO ASEÇÃO

No caso de flexão simples ou flexo-tração, com a linha neutra cortando a seção, os valores de VRd3 (Equação 6.6), Vc e Vsw (Equação 6.9) são dados por:

√

( )

Equação 6.10

6.4.3.1.2 FLEXO-COMPRESSÃO

No caso de flexo-compressão, os valores de VRd3 (Equação 6.6), Vc e Vsw (Equação 6.9) são dados por:


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√

( )

Equação 6.11

Na Equação 6.11,

M0 - valor do momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção (tracionada por

MSd,Max), provocada pelas forças normais de diversas origens concomitantes com V Sd, sendo essatensão calculada com valor de f igual a 1,0; e

MSd,max - valor do máximo momento fletor de cálculo que atua na seção considerada.

6.4.3.1.3 ELEMENTOS ESTRUTURAIS TRACIONADOS COM A LINHA NEUTRA FORA DASEÇÃO

No caso de elementos estruturais tracionados com a linha neutra fora da seção, os valores de VRd3 (Equação 6.6), Vc e Vsw (Equação 6.9) são dados por:

( )

Equação 6.12


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6.4.3.2 MODELO II

O Modelo II da ABNT NBR 6118, estabelece para uma variação entre 30° e 45°, aplicados diretamente naEquação 6.8.

O item 17.4.2.3-b da ABNT NBR 6118 apresenta, o cálculo da armadura transversal de viga, para o Modelo II,separado por tipo de solicitação.

6.4.3.2.1 FLEXÃO SIMPLES OU FLEXO-TRAÇÃO COM A LINHA NEUTRA CORTANDO ASEÇÃO

No caso de flexão simples ou flexo-tração, com a linha neutra cortando a seção, os valores de VRd3 (Equação 6.6), Vc e Vsw (Equação 6.8) são dados por:

√ ( )

Equação 6.13

6.4.3.2.2 FLEXO-COMPRESSÃO


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No caso de flexo-compressão, os valores de VRd3 (Equação 6.6), Vc e Vsw (Equação 6.8) são dados por:

√

( )

Equação 6.14

Na Equação 6.14,

M0 - valor do momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção (tracionada porMSd,Max), provocada pelas forças normais de diversas origens concomitantes com V Sd, sendo essatensão calculada com valor de f igual a 1,0;

MSd,max - valor do máximo momento fletor de cálculo que atua na seção considerada.

6.4.3.2.3 ELEMENTOS ESTRUTURAIS TRACIONADOS COM A LINHA NEUTRA FORA DASEÇÃO

No caso de elementos estruturais tracionados com a linha neutra fora da seção, os valores de VRd3 (Equação 6.6), Vc e Vsw (Equação 6.8) são dados por:

( )

Equação 6.15


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6.4.4 RESISTÊNCIA DE VIGAS – DIAGONAL TRACIONADA

A resistência de viga, numa determinada seção transversal, deve ser considerada satisfatória quando forverificada, a seguinte condição:

Equação 6.16onde:

VSd - força cortante solicitante de cálculo na seção; e VRd3 - força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal, de acordo com os

Modelos I e II descritos em 6.3.2.1 e 6.3.2.2, respectivamente.

EXEMPLO 6.2

Verificar, para a seção transversal de viga abaixo indicada, qual a máxima força cortante solicitante de cálculo(VSd) que a mesma pode suportar, definida pela diagonal tracionada (V Rd3). Fazer a verificação para o Modelo I epara o Modelo II admitindo = 30° e = 90°.

Considerar:

aço: CA-50; concreto: C25; d = h – 4 cm; estribos verticais de dois ramos, espaçados de 10 cm, constituídos por barras de 6,3 mm; flexão simples; estado limite último, combinações normais (c = 1,4, s = 1,15).

Solução: Na determinação de VRd3, usar a Equação 6.10 para o Modelo I e a Equação 6.13 para o Modelo II. VSd édefinida pela Equação 6.16.


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2ck cm/kN5,2MPa25f

4,1c

MPaemf f 21,0

f ckc

3 2ck

ctd

23 2

ctd cm/kN128,0MPa28,14,1

2521,0f

MPa500f yk

15,1s

MPa435

f

minf s

yk

ywd

2ywd cm/kN5,43MPa435

MPa435

MPa43515,1

500

minf

22

ssw cm623,04

63,02 A2 A

cm10s

cm20bw

cm36440d

b) Modelo I

90 (estribos verticais)

dbf 6,0V wctd0c

kN553620128,06,0V 0c

cossenf d9,0

s

AV ywd

swsw

kN8890cos90sen5,43369,010

623,0Vsw

swcRd3 VVV

kN1438855VRd3

kN143VV 3RdSd

c) Modelo II

OK)9045(90

OK)4530(30

kN553620128,06,0V 0c

kN271V 2Rd (ver Exemplo 6.1, item c)

sengcotgcotf d9,0

s

AV

ywd

sw

sw


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kN15290sen30gcot90gcot5,43369,010

623,0Vsw

0c

0c2Rd

Sd2Rd0c1c V

VV

VVVV

kN5555271

V27155V

Sd

1c

kN55927,3

V271V Sd1c

(Vc1 função de VSd necessário processo interativo)

c.1) VSd =VRd3 = Vsw = 152 kN (1ª tentativa, desconsiderado o valor de Vc)

OKkN55kN30927,3

152271V 1c

kN30VV 1cc

swc3Rd VVV

kN152kN18215230V 3Rd

c.2) VSd = VRd3 = 182 kN (2ª tentativa)

OKkN55kN23927,3

182271V 1c

kN23VV 1cc

swc3Rd VVV

kN182kN17515223V 3Rd


OKkN55kN24927,3

175271V 1c

kN24VV 1cc

swc3Rd VVV

kN175kN17615224V 3Rd


OKkN55kN24927,3

176271V 1c

kN24VV 1cc

swc3Rd VVV

OKkN17615224V 3Rd


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kN176VV3RdSd

d) Observação

No Modelo I, a força cortante solicitante de cálculo VSd (143 kN) resultou 19% menor que acorrespondente no Modelo II (176 kN). Portanto, no que se refere à diagonal tracionada, flexão simples, oModelo II tem um melhor comportamento que o Modelo I.

■

6.5 ARMADURA MÍNIMA

Segundo o item 17.4.1.1 da ABNT NBR 6118, as vigas de concreto armado devem conter armadura transversalmínima constituída por estribos, com taxa geométrica:

√ {

Equação 6.17

onde:

sw - taxa geométrica de armadura transversal; Asw - área da seção transversal dos estribos;s - espaçamento dos estribos, medido segundo o eixo longitudinal da viga; - inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal da viga;bw - largura média da alma, medida ao longo da altura útil da seção,f ywk - resistência característica ao escoamento do aço da armadura transversal; ef ct,m - resistência média à tração do concreto.

EXEMPLO 6.3

Determinar a taxa geométrica mínima para a armadura transversal da viga de seção transversal abaixoindicada.

Considerar:

aço: CA-60; e concreto: C25.


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Solução: Usar a Equação 6.17 para a determinação de sw.


2ck cm/kN5,2MPa25f

MPaemf f 3,0f ck3 2

ckm,ct

23 2m,ct cm/kN256,0MPa56,2253,0f

MPa600f yk

MPa500

f minf yk

ywk

2ywk cm/kN50MPa500

MPa500

MPa600minf

b) Taxa geométrica

ywk

m,ctsw

f

f 2,0

%10,050

256,02,0sw

■

6.6 FLEXÃO SIMPLES - VIGAS COM ESTRIBOS VERTICAIS – MODELO I

ABNT NBR 6118, item 17.4.1.1.3:

“ A armadura transversal (Asw ) pode ser constituída por estribos (fechados na região de apoio das diagonais,

envolvendo a armadura longitudinal) ou pela composição de estribos e barras dobradas; entretanto, quando forem

utilizadas barras dobradas, estas não devem suportar mais do que 60% do esforço total resistido pela armadura .”

O detalhamento de vigas de concreto armado com estribos verticais, permitido pelo item 17.4.1.1.3 da ABNT NBR 6118, tem sido o mais usado pela engenharia de estruturas (Figura 6.15).

Figura 6.15: Vigas com estribos verticais.

Por outro lado, a adoção do Modelo I, que exige menos da diagonal comprimida da treliça de Morsh (ver Exemplo


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6.1 e Exemplo 6.2), também se tem mostrado bastante útil no detalhamento de vigas de concreto armado. Destaforma, levando em consideração apenas as equações Equação 6.3, Equação 6.5, Equação 6.10, Equação 6.16 eEquação 6.17, para flexão simples, tem-se:

{

√

( )

√ {

Equação 6.18

EXEMPLO 6.4

Verificar, para a seção transversal de viga abaixo indicada, qual a máxima força cortante solicitante de cálculo(VSd) que a mesma pode suportar.

Considerar:

aço: CA-50; concreto: C25; d = h – 4 cm; estribos verticais de dois ramos, espaçados de 10 cm, barras de 6,3 mm; flexão simples, Modelo I; e estado limite último, combinações normais (c = 1,4, s = 1,15).


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6-164

Solução: Na determinação de VSd, usar a Equação 6.18.


2ck cm/kN5,2MPa25f

4,1c

MPaemf 250

f 1

ck

ck

v2

9,0250

251v2

c

ck

cd

f f

2cd cm/kN79,1

4,1

5,2f

MPaemf f 3,0f ck3 2

ckm,ct

23 2m,ct cm/kN256,0MPa56,2253,0f

MPaemf f 21,0

f ckc

3 2ck

ctd

23 2


2521,0f

MPa500f yk

15,1s

MPa500

f minf yk

ywk

2ywk cm/kN50MPa500

MPa500

MPa500minf

MPa435

f

minf s

yk

ywd


MPa435

MPa43515,1

500

minf

22

ssw cm623,0463,02 A2 A

cm10s


23/45

6-165

cm20bw

cm36440d

ywk

m,ctsw

f

f 2,0

%10,050

256,02,0sw

sb

A

w

sw

sw

OK%10,0%31,01020

623,0sw

b) VRd2

dbf 27,0V wcd2v2Rd

kN313362079,19,027,0V 2Rd

c) VRd3

dbf 6,0V wctd0c

kN553620128,06,0V 0c

ywdsw

sw f d9,0s

AV

kN885,43369,010

623,0Vsw

swcRd3 VVV

kN1438855VRd3

d) VSd

3Rd

2Rd

SdV

VV

kN143VkN143

kN313V SdSd

■

6.7 FLEXÃO SIMPLES - VIGAS COM ESTRIBOS VERTICAIS – MODELO II

A adoção do Modelo II para vigas com estribos verticais pode ser uma solução interessante quando se quer exigirmais da diagonal comprimida da treliça de Morsh (ver Exemplo 6.1 e Exemplo 6.2), e menos da armadura. Destaforma, levando em consideração apenas as equações estabelecidas em Equação 6.4, Equação 6.5, Equação 6.13, Equação 6.16 e Equação 6.17, para flexão simples, tem-se:

{

Equação 6.19


24/45

6-166

√ ( )

√ {

EXEMPLO 6.5

Verificar, para a seção transversal de viga abaixo indicada, qual a máxima força cortante solicitante de cálculo(VSd) que a mesma pode suportar.

Considerar:

aço: CA-50; concreto: C25; d = h – 4 cm; estribos verticais de dois ramos, espaçados de 10 cm, constituídos por barras de 6,3 mm; flexão simples, Modelo II, = 30°; e estado limite último, combinações normais (c = 1,4, s = 1,15).


25/45

6-167

Solução: Na determinação de VSd, usar a Equação 6.19


2ck cm/kN5,2MPa25f

4,1c

MPaemf 250

f 1

ck

ck

v2

9,0250

251v2

c

ck

cd

f f

2cd cm/kN79,1

4,1

5,2f

MPaemf f 3,0f ck3 2

ckm,ct

23 2m,ct cm/kN256,0MPa56,2253,0f

MPaemf f 21,0

f ckc

3 2ck

ctd

23 2


2521,0f

MPa500f yk

15,1s

MPa500

f minf yk

ywk

2ywk cm/kN50MPa500

MPa500

MPa500minf

MPa435

f

minf s

yk

ywd


MPa435

MPa43515,1

500

minf

22

ssw cm623,0463,02 A2 A

cm10s


26/45

6-168

cm20bw

cm36440d

ywk

m,ctsw

f

f 2,0

%10,050

256,02,0sw

sb

A

w

sw

sw

OK%10,0%31,01020

623,0sw

30

b) VRd2

cossendbf 54,0V wcd2v2Rd

kN27130cos30sen362079,19,054,0V 2Rd

c) VRd3

dbf 6,0V wctd0c

kN553620128,06,0V 0c

cotf d9,0

s

AV ywd

swsw

kN15230cot5,43369,010

623,0Vsw

0c

0c2Rd

Sd2Rd0c1c V

VVVVVV

kN5555271

V27155V

Sd

1c

kN55927,3

V271V Sd1c

(Vc1 função de VSd necessário processo interativo)

c.1) VSd =VRd3 = 200 kN (1ª tentativa, valor arbitrado)

OKkN55kN18

927,3

200271V 1c

kN18VV 1cc

swc3Rd VVV

kN200kN17015218V 3Rd


OKkN55kN26927,3

170271V 1c

kN26VV 1cc

swc3Rd VVV

kN170kN17815226V 3Rd


27/45

6-169


OKkN55kN24927,3

178271V 1c

kN24VV 1cc

swc3Rd VVV

kN178kN17615224V 3Rd


OKkN55kN24927,3

176271V 1c

kN24VV 1cc

swc3Rd VVV

OKkN17615224V 3Rd

kN176VV3RdSd

d) VSd

3Rd

2Rd

SdV

VV

kN176VkN176

kN271V

SdSd

e) Comparações de Modelos (valores do Modelo I retirados do Exemplo 6.4)

Modelo I II

90° 90°

45° 30°

Vc 55 kN 24 kN

Vsw 88 kN 152 kN

VRd2 313 kN 271 kN

VRd3 143 kN 176 kN

Como pode ser observado pela tabela, o Modelo I apresenta melhores condições para o concreto (V Rd2), ao passoque o Modelo II é melhor para armadura (VRd3). Em outras palavras isto quer dizer que o Modelo II necessitamenos armadura que o Modelo I.

■

6.8 CONDIÇÕES PARA USO DE ESTRIBOS EM VIGAS

Segundo o item 18.3.3.2 da ABNT NBR 6118, os estribos destinados a vigas de concreto armado devem satisfazeràs seguintes exigências (Figura 6.16):


28/45

6-170

Equação 6.20

onde:

t - diâmetro da barra que constitui o estribo;s - espaçamento dos estribos, medido segundo o eixo longitudinal da viga;bw - largura da alma da viga;d - altura útil da viga; VSd - força cortante solicitante de cálculo na seção; e VRd2 - força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto.

Figura 6.16: Estribos de viga de concreto armado.

Embora a ABNT NBR 6118 não faça referência ao espaçamento mínimo entre estribos, é recomendável que estevalor não seja inferior a 10 cm. Em casos extremos este valor pode ser reduzido para até 7 cm, porém torna-senecessário que sejam verificadas as condições totais de concretagem que envolvem todas as armaduras(longitudinais e transversais). Desta forma a Equação 6.20 resulta:

Equação 6.21

No caso de vigas de pouca altura útil (d 35 cm), o produto 0,3 d poderá resultar inferior a 10 cm. Neste caso oespaçamento mínimo de 10 cm deverá ser ignorado, mantendo-se o espaçamento igual ou inferior a 0,3 d.

EXEMPLO 6.6

Determinar o espaçamento dos estribos para o trecho II da viga abaixo indicada.

cm20

d3,0mins67,0

V

V

cm30

d6,0mins67,0

V

V

10

bmm5

2Rd

Sd

2Rd

Sd

wt

cm20

d3,0minscm1067,0

V

V

cm30

d6,0minscm1067,0

V

V

10

bmm5

2Rd

Sd

2Rd

Sd

wt


29/45

6-171

Considerar:

aço: CA-60; concreto: C20; d = h – 5 cm; estribos verticais de dois ramos, constituídos por barras de 6,3 mm; flexão simples, Modelo I; e

estado limite último, combinações normais (c = 1,4, s = 1,15).

Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 6.18 e Equação 6.21. Observar que averificação de VRd2 deve ser feita para a maior força cortante solicitante de cálculo V Sd atuante na viga (210 kN).

O cálculo da armadura deve ser feito para VSd igual a 140 kN que corresponde a maior força cortante de cálculoatuante no trecho II.


2ck cm/kN0,2MPa20f

4,1c

MPaemf 250

f 1

ck

ck

v2

92,0250

201v2

c

ckcd

f f

2cd cm/kN43,1

4,1

0,2f

MPaemf f 3,0f ck3 2

ckm,ct

23 2m,ct cm/kN221,0MPa21,2203,0f

MPaemf f 21,0

f ckc

3 2ck

ctd


30/45

6-172

23 2


2021,0f

MPa600f yk

15,1s

MPa500

f minf yk

ywk

2ywk cm/kN50MPa500

MPa500

MPa600minf

MPa435

f

minf s

yk

ywd


MPa435

MPa52215,1

600

minf

10

bmm5 wt

10

200mm5 t

mm20mm5t

OKmm3,6t

22

ssw cm623,04

63,02 A2 A

cm20bw

cm45550d

ywk

m,ctsw

f

f 2,0

%09,050

221,02,0sw

dbf 27,0V wcd2v2Rd

kN320452043,192,027,0V 2Rd

dbf 6,0V wctdc

kN604520111,06,0Vc

b) Verificação de VRd2

2RdSd VV

kN210VSd (máxima força cortante de cálculo atuante na viga – face do pilar)

kN320V 2Rd

OKVV

kN320

2Rd

kN210

Sd

c) Verificação de VRd3

3RdSd VV


31/45

6-173

kN140VSd

(máxima força cortante de cálculo no trecho II)

kN60Vc

ywdsw

sw f d9,0s

AV

s

57,09715,43459,0

s

623,0Vsw

swcRd3 VVV

s

57,097160VRd3

s

57,097160140

cm13scm72,13s

d) Verificação de s

cm20

d3,0minscm1067,0

V

V

cm30

d6,0minscm1067,0

V

V

2Rd

Sd

2Rd

Sd

kN140VSd

kN320V 2Rd

cm13s

44,0320

140

V

V

2Rd

Sd

cm27cm30

cm27456,0minscm1067,0

V

V

2Rd

Sd

OKcm27cm13cm10

e) Verificação de sw

%09,0sw

sb

A

w

swsw

OK%09,0%24,01320

623,0sw

■

6.9 CARGAS PRÓXIMAS AOS APOIOS

A existência de cargas próximas aos apoios pode influenciar na determinação da armadura de cisalhamento emvigas de concreto armado. Da Figura 6.17 pode ser observado que:

as cargas uniformemente distribuídas, à esquerda do plano , não interferem no nó B (onde existe Vsw),

são direcionadas diretamente ao apoio (nó) A e, no equilíbrio vertical de forças, influenciam nadeterminação da força VRd2 (reação de apoio), relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto; e

as cargas uniformemente distribuídas, compreendidas entre os planos e , interferem no nó B e, no


32/45

6-174

equilíbrio vertical de forças, influenciam na determinação da força V sw, resistida pela armaduratransversal Asw.

Figura 6.17: Cargas próximas aos apoios.

Da Figura 6.17 pose-se concluir que:

as cargas uniformemente distribuídas, à esquerda do plano , não interferem na determinação de Asw; as cargas uniformemente distribuídas, à direita do plano , interferem na verificação de VRd2.

Figura 6.18: Diagramas V Sd para cálculo da armadura de cisalhamento.

ABNT NBR 6118, item 17.4.1.2.1:

“ Para o cálculo da armadura transversal, no caso de apoio direto (se a carga e a reação forem aplicadas em faces

opostas do elemento estrutural, comprimindo-a), valem as seguintes prescrições:

a)

a força cortante oriunda de carga distribuída pode ser considerada, no trecho entre o apoio e a seção

situada à distância d/2 da face do apoio, constante e igual à desta seção;b)

a força cortante devida a uma carga concentrada aplicada a uma distância a 2d do eixo teórico do apoio pode, neste trecho de comprimento a, ser reduzida multiplicando-a por a/(2d).


33/45

6-175

As reduções indicadas nesta seção não se aplicam à verificação da resistência à compressão diagonal do concreto.

No caso de apoios indiretos , essas reduções também não são permitidas.“

A Figura 6.18 mostra os diagramas de força cortante para o cálculo da armadura transversal de vigas de concretoarmado, segundo o item 17.4.1.2.1 da ABNT NBR 6118.

EXEMPLO 6.7Determinar a armadura de cisalhamento os trechos I, II e III da viga abaixo indicada.

Considerar:

aço: CA-60; concreto: C20; estribos verticais de dois ramos; flexão simples, Modelo I; estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15).

Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 6.18 e Equação 6.20, bem como das reduçõesde carga apresentadas na Figura 6.18.

a) Diagramas de força cortante

carga uniformemente distribuída:

kN28,1615

42724,1V Aeixo,Sd,

kN16,1462

30,0724,128,161V

2

Aface,Sd,

pil


34/45

6-176

kN92,1152

60,0

2

30,0724,128,161V

2

d

2

Ad/2,Sd,

pil

kN32,405

12724,1VV B,face,SdBeixo,Sd,

carga concentrada:

kN32,405

11444,1VV A,face,Sd Aeixo,Sd,

kN28,1615

41444,1VV B,face,SdBeixo,Sd,

kN40,134602

10028,161V

d2

a

B,d2/a,Sd

b) Dados – uniformização de unidades (kN e cm)


35/45

6-177

2

ck cm/kN0,2MPa20f

4,1c

MPaemf 250

f 1

ck

ck

v2

92,0250

201v2

c

ck

cd

f f

2cd cm/kN43,1

4,1

0,2f

MPaemf f 3,0f ck3 2

ckm,ct

23 2

m,ct cm/kN221,0MPa21,2203,0f

MPaemf f 21,0

f ck

c

3 2ck

ctd

23 2


2021,0f

MPa600f yk

15,1s

MPa500

f minf yk

ywk

2ywk cm/kN50MPa500

MPa500

MPa600minf

MPa435

f

minf s

yk

ywd


MPa435

MPa52215,1

600

minf

10

bmm5

w

t

10150mm5 t

mm15mm5t

cm15bw

cm60d

ywk

m,ctsw

f

f 2,0

%09,050

221,02,0sw

%09,0sb

Aw

swsw


36/45

6-178

m

cm35,1

cm

cm0135,015

100

09,0

s

A 22

b

sw

w

dbf 27,0V wcd2v2Rd

kN320601543,192,027,0V 2Rd

dbf 6,0V wctdc

kN606015111,06,0Vc


2RdSd VV

conc, A,face,Sddist, A,face,Sd A,face,Sd VVV

kN48,18632,4016,146V A,face,Sd

conc,B,face,Sddist,B,face,SdB,face,Sd VVV

kN60,20128,16132,40V B,face,Sd

kN60,201V max,face,Sd (valor absoluto)

kN320V 2Rd

OKVV

kN320

2Rd

kN60,201

max,face,Sd

d) Trecho I

3RdSd VV

kN24,15632,4092,115VV max,SdSd

kN60Vc

ywdsw

sw f d9,0s

AV

s

A23495,43609,0

s

AV

swswsw

swcRd3 VVV

s A234960V swRd3


37/45

6-179

s

A234960156,24 sw

OKm

cm35,1

m

cm10,4

cm

cm0410,0

s

A 222sw

t(mm)

Asw (cm2)

s(cm)

Asw/s(cm2/m)

5 0,393 9 4,376,3 0,623 15 4,15

8 1,005 24 4,19

cm20

d3,0minscm1067,0

V

V

cm30

d6,0minscm1067,0

V

V

2Rd

Sd

2Rd

Sd

kN320V 2Rd

cm30

cm36606,0minscm1049,0

320

24,156

V

V

2Rd

Sd 2

2

cm10,4cm100

cm623,0cms

cm30scm10

Será adotado para o trecho I, estribos de 6,3 mm, dois ramos, espaçados de 15 cm (4,15 cm2/m). A adoçãode barras de 5 mm implicaria em espaçamento inferior a 10 cm, o que, deve ser evitado. A adoção debarras de 8 mm implicaria em um excesso de armadura para o trecho II.

e) Trecho II

3RdSd VV

kN032,4032,40VV max,SdSd

kN60Vc

mínimaarmaduraVV

kN60

c

kN0

Sd

m

cm35,1

s

A 2

sw

cm20

d3,0minscm1067,0

V

V

cm30

d6,0minscm1067,0

V

V

2Rd

Sd

2Rd

Sd

t(mm)

Asw (cm2)

s(cm)

Asw/s(cm2/m)


38/45

6-180

5 0,393 29 1,36

6,3 0,623 30 2,08

8 1,005 30 3,35

kN320V2Rd

cm30

cm36606,0minscm1000,0

320

0

V

V

2Rd

Sd 2

2

cm35,1cm100

cm623,0cms

cm30scm10

Será adotado para o trecho II, estribos de 6,3 mm, dois ramos, espaçados de 30 cm (2,08 cm 2/m) que é omáximo permitido por Norma. A adoção de barras de 6,3 mm é devida a manutenção de um mesmo tipode estribo em todo o vão da viga.

f) Trecho III

3RdSd VV

kN72,17440,13432,40VVmax,SdSd

kN60Vc

ywdsw

sw f d9,0s

AV

s

A23495,43609,0

s

AV swswsw

swcRd3 VVV

s

A234960V swRd3

s

A234960174,72 sw

OKm

cm35,1

m

cm88,4

cm

cm0488,0

s

A 222sw

cm20

d3,0minscm1067,0

V

V

cm30

d6,0minscm1067,0

V

V

2Rd

Sd

2Rd

Sd

t(mm)

Asw (cm2)

s(cm)

Asw/s(cm2/m)

5 0,393 8 4,91


39/45

6-181

6,3 0,623 12 5,19

8 1,005 20 5,03

kN320V2Rd

cm30

cm36606,0minscm1055,0

320

72,174

V

V

2Rd

Sd 2

2

cm88,4cm100

cm623,0cms

cm30scm10

Será adotado para o trecho III, estribos de 6,3 mm, dois ramos, espaçados de 12 cm (5,19 cm2/m). Aadoção de barras de 6,3 mm é devida à manutenção de um mesmo tipo de estribo em todo o vão da viga.

g) Posicionamento dos estribos

■

6.10 DECALAGEM DO DIAGRAMA DE FORÇA NO BANZO TRACIONADO

Seja a viga da Figura 6.19 submetida a um carregamento qualquer onde, internamente, está representada atreliça de Morsh.

Figura 6.19: Viga com representação da treliça de Morsh.

Seja agora um trecho isolado da viga onde somente forças horizontais, definidas por momentos fletores, sãoconsideradas (Figura 6.20). Conforme mostrado na Figura 6.19, os banzos superiores e inferiores da treliça sãoadmitidos paralelos. Desta forma, pode-se, também, admitir-se, na Figura 6.20, a igualdade dos braços dealavanca z, distância entre as forças Rcd e Rsd. Existindo no trecho x da Figura 6.20 variação dos momentosfletores (MRd2 > MRd1), sendo z constante e MRd dado pelo produto Rsd z, conclui-se que a força atuante naarmadura tracionada Rsd não é constante neste trecho (Rsd2 > Rsd1 da mesma forma que MRd2 > MRd1).

Seja agora o mesmo trecho x isolado da treliça da Figura 6.19, onde está mostrado as forças internas de traçãoRsd atuantes no banzo inferior da treliça de Morsh. Por se tratar de um trecho de treliça, obrigatoriamentedeve-se ter na Figura 6.21 forças Rsd iguais entre dois nós consecutivos (nós A e B que definem o trecho x). Istovale dizer que a força atuante na armadura tracionada (armadura horizontal inferior) é constante no trecho x.

Do exposto, fica caracterizado uma discrepância quanto ao comportamento da força Rsd, pois para o mesmo trechox ora ela é variável (Figura 6.20) ora ela é constante (Figura 6.21). Isto se explica pela completa independência


40/45

6-182

existente na determinação da armadura horizontal (armadura de momento fletor) com a determinação daarmadura vertical (armadura de força cortante). Determina-se a armadura horizontal sem se levar em conta aforça cortante, ao mesmo tempo em que se determina a armadura vertical sem se levar em conta o momentofletor. Um critério de cálculo (momento fletor) considera a viga como um todo, o outro (força cortante) admite ocomportamento de uma treliça interna.

Figura 6.20: Forças horizontais em um trecho de viga.

Figura 6.21: Forças horizontais no banzo inferior da treliça.

Figura 6.22: Diagrama Rsd deslocado.


41/45

6-183

Para levar em conta a discrepância existente no comportamento da armadura horizontal tracionada, e agora jápodemos considerá-la tanto na face inferior da viga (momento positivo) com na face superior (momento negativo),deve o dimensionamento desta armadura ser feito para o maior valor absoluto da força Rsd atuante no trecho x(ponto B da Figura 6.20 e da Figura 6.21). Isto vale dizer que o diagrama de forças R sd deve ser deslocado nadireção da menor destas forças (na direção de Rsd1 da Figura 6.20, ou de B para A) de tal modo que no trecho x aforça horizontal tracionada fique constante com seu maior valor absoluto. A Figura 6.22 mostra um exemplo dediagrama de forças Rsd deslocado.

ABNT NBR 6118, item 17.4.2.2-c – Modelo de cálculo I:

“Quando a armadura longitudinal de tração for determinada através do equilíbrio de esforços na seção normal ao

eixo do elemento estrutural, os efeitos provocados pela fissuração obliqua podem ser substituídos no cálculo pela

decalagem do diagrama de força no banzo tracionado, dada pela expressão:

gcotgcot1

VV2

Vda

cmax,Sd

max,Sd

onde:

a 0,5 d, no caso geral;

a 0,2 d, para estribos inclinados a 45°.

Essa decalagem pode ser substituída, aproximadamente, pela correspondente decalagem de momentos fletores.

A decalagem do digrama de força no banzo tracionado pode ser também obtida simplesmente aumentando a força

de tração, em cada seção, pela expressão:

2

1gcotgcotV

z

MR Sd

Sdcor ,Sd ”

ABNT NBR 6118, item 17.4.2.3-c – Modelo de cálculo II:

“Se forem mantidas as condições estabelecidas 17.4.2.2-c, o deslocamento do diagrama de momentos fletores,

aplicando o processo descrito nessa seção, deve ser:

gcotgcotd5,0a

onde:

a 0,5 d, no caso geral;

a 0,2 d, para estribos inclinados a 45°.

Permanece válida para o modelo II a alternativa dada em 17.4.2.2-c.”

As seguintes observações devem ser feitas a respeito dos itens 17.4.2.2-c e 17.4.2.3-c da ABNT NBR 6118:

Contrariando toda a bibliografia nacional e internacional, a ABNT NBR 6118 não estabelece um limitesuperior para valores de a. Esta limitação deveria ser:

a d

Para valores negativos de a, este deveria ser considerado como:a = d

Desta forma, os valores de a deveriam ser calculados como se segue: Modelo I


42/45

6-184

para VSd,max


43/45

6-185

concreto: C20; estribos verticais de dois ramos; preso próprio desprezível; flexão simples, Modelo I; e estado limite último, combinações normais, edificação tipo 2 (g = 1,4, q = 1,4, c = 1,4 e s = 1,15).

Solução: A solução do problema consiste na aplicação da Equação 6.3 para a verificação de VRd2 e na Equação

6.23 para a determinação de a.

a) Diagramas MSd e VSd

b) Dados – uniformização de unidades (kN e cm)

2ck cm/kN0,2MPa20f

4,1c

MPaemf 250

f 1 ck

ckv2

92,0250

20

1v2


44/45

6-186

c

ck

cd

f f

2cd cm/kN43,1

4,1

0,2f

MPaemf f 21,0

f ckc

3 2ck

ctd

23 2


2021,0f

cm18bw

cm50d

dbf 27,0V wcd2v2Rd

kN320501843,192,027,0V 2Rd

dbf 6,0V wctdc

kN605018111,06,0Vc


2RdSd VV

kN224V max,face,Sd (valor absoluto)

kN320V2Rd

OKVV

kN320

2Rd

kN224

max,face,Sd

d) Valor de a para o trecho I

dd5,0

VVV

2da

cmax,Sd

max,Sd

kN56V max,Sd (valor absoluto)

kN60Vc

daVV

kN60

c

kN56

max,Sd

cm50a

e) Valor de a para o trecho II

kN224V max,Sd (valor absoluto)

kN60Vc

cm34

60224

224

2

50a

cm50d

cm25505,0d5,0a

cm34a

f) Diagrama deslocado


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Capitulo 6 - CA1 - Flexão Simples - Armadura Transversal de Viga

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