Sistemas com Realimentação 103

Francisco A. Lotufo

5– Sistemas com Realimentação 5.1– Introdução: Sistemas de Controle de Malha Aberta:

Sistema de Controle de Malha Fechada:

Análise: Dados: - O sistema; - O sinal de comando (ou o conjunto de sinais de comando); Obter: - Respostas; Verificar: - Se o desempenho do sistema é satisfatório (se a resposta possui a característica desejada).

Sistemas com Realimentação 104

Francisco A. Lotufo

Em princípio, qualquer grandeza física pode ser controlada; pode ter seu valor intencionalmente alterado.

Obviamente, há limitações práticas. Uma delas é a restrição de energia que dispomos para

afetar os fenômenos; por exemplo, a maioria das variáveis climatológicas podem ser medidas, mas não controladas, por causa da ordem de grandeza de energia envolvida. Controle Manual: é aquele em que se tem um operador presente ao processo criador de uma variável física e que opera um aparelho qualquer (uma válvula, uma alavanca, uma chave – “elemento de controle”). Que por sua vez produz alterações naquela variável.

Controle Automático: é aquele em que quando uma parte ou a totalidade das informações do operador é realizada por um equipamento, freqüentemente, mas não necessariamente eletrônico. Conceito de Realimentação: realimentação é a propriedade do sistema de malha fechada que permite a saída (ou alguma variável controlada do sistema) ser comparada com a entrada do sistema. Este é o conceito de realimentação. Sistemas de Controle por Realimentação:

É uma combinação de elementos com a finalidade de manter uma ou mais variáveis do sistema iguais a uma ou mais correspondentes variáveis externas, combinação essa que respeita uma regra essencial:

“A ação do sistema é determinada pelo menos em parte, pelas próprias variáveis do sistema”.

Variável objeto de controle: é a variável de saída.

Variações Externas: servem de guia para o controle. São as entradas. Características da Retroação: 1) Precisão Aumentada: Capacidade de reproduzir fielmente a entrada.

2) Sensibilidade reduzida da razão saída/entrada às variações das características do sistema.

3) Efeitos Reduzidos das Não-Linearidades e das Distorções.

4) Largura da banda passante (largura de faixa) aumentada: Largura de faixa de um sistema é a

faixa de freqüência na qual o sistema responderá convenientemente.

5) Tendência para oscilação ou instabilidade.

Sistemas com Realimentação 105

Francisco A. Lotufo

5.2– Um Estudo de Caso de Realimentação: 5.2.1- Introdução:

O objetivo é mostrar algumas conseqüências importantes da realimentação, que são: • A redução da sensibilidade a variações na planta; • A rejeição de perturbações; • A melhora da resposta transitória.

É oportuno mencionar que estes “não” são os únicos efeitos da realimentação. Há outros

igualmente importantes, como por exemplo, a estabilização de sistemas instáveis, que será considerado no próximo capítulo.

Considere um Motor de Corrente Contínua, controlado pela armadura, como um exemplo simples de sistema de controle de velocidade.

Desprezando o atrito viscoso e levando em conta a existência de um torque de carga )(tTL , que pode ser encarado como uma perturbação sobre o sistema, tem-se:

Laa

T

a

VT TvR

K

R

KKJ +=+

•ωω

Onde VT KK e são, respectivamente, as constantes de torque e de força eletromotriz induzida.

Definindo T

a

VVT

a

K

RK

KK

KK

JR === 10

1τ

A equação acima pode ser reescrita como

)( 10 La TKvK +=+•

ωωτ Usando a transformada de Laplace, temos:

[ ])()(1

)( 10 sTKsV

s

Ks La +

+=Ω

τ

Que pode ser representado por:

Sistemas com Realimentação 106

Francisco A. Lotufo

Considere um tacogerador de ganho unitário (isto é, fornece 1 V de tensão de saída para uma velocidade de rotação de 1 rad/s) sendo utilizado como sensor de velocidade angular. Com isso, podemos construir um sistema de controle de velocidade em malha fechada:

O controlador acima talvez seja o mais simples dentre todos, sendo chamado de proporcional, pois a variável de controle )(sVa é proporcional ao erro )(sE . Fisicamente ele pode

ser representado por um amplificador de ganho K . O objetivo do sistema de controle é fazer com que a velocidade do motor )(sΩ acompanhe a

velocidade de referência )(srΩ . Ou, em outras palavras, fazer com que o erro seja nulo ou suficientemente pequeno. 1º CASO: Modelo exato e sem Torque de Carga ( 0=LT ) • Malha Aberta Neste caso,

)()( sKsV ra Ω= e )(1

)( 0 sKs

Ks rΩ

+=Ω

τ

Se for escolhido o ganho de controlador K tal que 0

1

KK = , resulta em )(

1

1)( s

ss rΩ

+=Ω

τ.

Assim, se a velocidade de referência for um degrau de amplitude A, o Teorema do Valor Final fornece o valor da velocidade do motor em regime estacionário:

As

A

sssst

sst=

+=Ω==∞

→→∞→ 1

1lim)(lim)(lim)(

00 τωω

Portanto, o erro estacionário é nulo:

0)()( =−∞=∞ Ae ω ,

o que significa que, em regime permanente, a velocidade do motor é igual à velocidade de referência.

Sistemas com Realimentação 107

Francisco A. Lotufo

• Malha Fechada Neste caso, a função de transferência de malha fechada é

0

0

1)(

)(

KKs

KK

s

s

r ++=

ΩΩ

τ

Se considerarmos novamente a velocidade de referência como sendo um degrau de amplitude A, o Teorema do Valor Final fornece:

AKK

KK

s

A

KKs

KKs

s0

0

0

0

0 11lim)(

+=

++=∞

→ τω

Com isso, o erro estacionário será:

AKK

Ae01

1)()(

+=∞−=∞ ω

e, portanto,

01

1)(

KKA

e

+=∞

Se escolhermos o ganho do controlador K tal que: 10 >>>KK , então

1)( <<∞

A

e

o que significa que, em regime estacionário, o erro de acompanhamento da velocidade de referência é muito menor que esta. Ou seja,

A≅∞)(ω . Neste ponto, parece não haver vantagem alguma do sistema em malha fechada com relação àquele em malha aberta. Pelo contrário, se antes o acompanhamento do sinal de referência era exato, agora passou a não sê-lo mais! Em outras palavras, se o modelo do sistema a controlar fosse conhecido exatamente (isto “nunca” ocorre na prática!) e se o sistema não estivesse sujeito a perturbações externas, o controle poderia ser feito em malha aberta. 2º CASO: Incerteza em K0 e sem Torque de Carga ( 0=LT ) Suponhamos que o parâmetro 0K não seja conhecido exatamente, mas se apresente afetado por

uma incerteza 0K∆ , de maneira que seu valor real seja 00 KK ∆+ .

• Malha Aberta

Neste caso, temos: )(1

1)(

0

00 sKs

KKs rΩ

+∆+=Ω

τ

Sistemas com Realimentação 108

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e, portanto, para o mesmo degrau de referência de amplitude A, em regime estacionário o Teorema do Valor Final estabelece

AK

K

∆+=∞0

01)(ω

Logo o erro estacionário é: AK

KAe

0

0)()(∆−=∞−=∞ ω

e, portanto,

0

0)(

K

K

A

e ∆=∞,

o que significa que a incerteza em 0K se reflete totalmente sobre o erro estacionário. Assim, por

exemplo, um erro de 10% em 0K produz em erro de 10% em )(∞ω .

• Malha Fechada Neste caso, temos:

)(1

)(

)(

)(

00

00

KKKs

KKK

s

s

r ∆+++∆+=

ΩΩ

τ

e, portanto, em regime estacionário para o degrau de referência rΩ de amplitude A,

AKKK

KKK

∆++∆+=∞

)(1

)()(

00

00ω

Se denotarmos por )(0 ∞ω o valor estacionário da velocidade angular no caso de não haver erro em

0K (isto é, 00 =∆K ), então:

AKK

KK

+=∞

0

00 1

)(ω .

Seja )(∞∆ω o desvio causado na velocidade estacionária pelo erro 0K∆ : )()()( 0 ∞−∞=∞∆ ωωω .

Ou seja, AKK

KK

KKK

KKK

+−

∆++∆+=∞∆

0

0

00

00

1)(1

)()(ω .

Se definirmos: )(1 0

0

0 KfKK

KK =+

, então podemos escrever

[ ]AKfKKf )()()( 000 −∆+=∞∆ω .

Sistemas com Realimentação 109

Francisco A. Lotufo

Supondo que 0K∆ seja suficientemente pequeno, podemos aproximar linearmente )( 00 KKf ∆+ :

00'

000 ).()()( KKfKfKKf ∆+≅∆+

que, substituída na expressão anterior, fornece

[ ]AKKf 00' ).()( ∆≅∞∆ω .

Ou seja, AKKK

K

∆

+=∞∆ 02

0)1()(ω . O 2º membro desta igualdade pode ser reescrito como

0

0

00

0

1

1

1)(

K

K

KKKK

AKK ∆++

≅∞∆ω

e, notando que: 0

00 1

)(KK

AKK

+=∞ω , resulta

0

0

00 1

1

)(

)(

K

K

KK

∆+

≅∞∞∆

ωω

.

O fator )1/(1 0KK+ , que relaciona variações 00 / KK∆ com variações )(/)( 0 ∞∞∆ ωω é chamado de

sensibilidade. Se escolhermos o ganho do controlador K de maneira que 10 >>KK , então

0

0

0 )(

)(

K

K∆<<∞∞∆

ωω

o que significa que o erro em 0K se apresenta acentuadamente reduzido sobre a velocidade

estacionária. Obs.: Deve-se lembrar que, como visto anteriormente, se 10 >>KK , então A≅∞)(0ω . Para

ilustrar, suponhamos, por exemplo, que 1,0/ 00 =∆ KK (ou seja, 10%) e 1990 >>=KK . Neste

caso, 001,0)(/)( 0 ≅∞∞∆ ωω (ou seja, 0,1%). Ainda neste caso, AA ≅=∞ )100/99()(0ω e,

portanto, 001,0/)( ≅∞∆ Aω (ou seja, 0,1%). Em outras palavras, se o ganho K do controlador for

suficientemente elevado e a incerteza no ganho for de 10%, a incerteza na velocidade de rotação do motor em malha fechada será de apenas 0,1%. • Conclusão Se o ganho do controlador é suficientemente alto, a variação da velocidade estacionária decorrente de variações em 0K é pequena. Em outras palavras, o erro estacionário na variável controlada em

malha fechada é significativamente menos sensível a variações em 0K do que em malha aberta. Por essa razão, não é necessário o conhecimento preciso dos valores dos parâmetros do sistema para se obter boa precisão no controle. Está é uma das razões históricas do uso da realimentação que permanece válida até os dias atuais.

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Francisco A. Lotufo

3º CASO: Perturbação na Carga (Sem incerteza em K0) Até aqui não consideramos a presença do torque de carga LT em nossa análise. Vejamos agora qual é seu efeito sobre a velocidade estacionária. • Malha Aberta Neste caso,

[ ])()(1

)( 10 sTKsK

s

Ks Lr +Ω

+=Ω

τ

Considerando o mesmo ganho escolhido em malha aberta no 1º caso, isto é,

0

1

KK =

e considerando degraus em Lr T e Ω de amplitudes A e T, respectivamente, ou seja,

sTsT

sAs

L

r

/)(

/)(

==Ω

resulta em regime estacionário:

TKKA 10)( +=∞ω

Portanto, o erro estacionário é dado por

TKKAe 10)()( −=∞−=∞ ω ,

sendo, pois, proporcional ao torque da carga T. É importante notar que 10 e KK são fixos para um

dado motor e, por isso, o projetista não tem meios de reduzir o erro estacionário. • Malha Fechada Neste caso,

)(

11

1)(

11

1)( 10

0

0

0

sTK

s

KKs

K

s

s

KKs

KK

s Lr

++

++Ω

++

+=Ω

τ

τ

τ

τ ,

ou seja,

)(1

)(1

)(0

10

0

0 sTKKs

KKs

KKs

KKs Lr ++

+Ω++

=Ωττ

Sistemas com Realimentação 111

Francisco A. Lotufo

Considerando os mesmos degraus em Lr T e Ω :

sTsT

sAs

L

r

/)(

/)(

==Ω

em regime estacionário tem-se:

TKK

KKA

KK

KK

0

10

0

0

11)(

++

+=∞ω

e, portanto, o erro estacionário é dado por

TKK

KKA

KKAe

0

10

0 11

1)()(

+−

+=∞−=∞ ω .

Se o ganho K do controlador for escolhido de maneira que

10 >>KK e 100 KKKK >>

então o erro estacionário resulta pequeno. • Conclusão Em malha fechada o erro estacionário é menos sensível a perturbações externas do que em malha aberta, desde que o ganho do controlador seja suficientemente grande. 4º CASO: Resposta Transitória • Malha Aberta Neste caso, como vimos,

[ ])()(1

)( 10 sTKsK

s

Ks Lr +Ω

+=Ω

τ

Assim, a dinâmica de malha aberta é de 1ª ordem com constante de tempo

VT

a

KK

JR=τ ,

que não depende do ganho K do controlador e, portanto, não pode ser alterada por diferentes escolhas do valor deste ganho. Em outras palavras, é impossível, por exemplo, conseguir-se uma resposta mais rápida do sistema através do ajuste do ganho do controlador.

Sistemas com Realimentação 112

Francisco A. Lotufo

• Malha Fechada Em malha fechada,

)(1

)(1

)(0

10

0

0 sTKKs

KKs

KKs

KKs Lr ++

+Ω++

=Ωττ

Neste caso, a dinâmica também é de 1ª ordem. No entanto, a constante de tempo é

0

'

1 KK+= ττ

e, portanto, a resposta do sistema se torna mais rápida à medida que o ganho K do controlador aumenta. Obs.: Em geral, é preciso ter cuidado com o uso de valores elevados de K, pois estes podem provocar a instabilidade do sistema em malha fechada1. RESUMO A Tabela a seguir resume o estudo dos efeitos da realimentação sobre o sistema de controle de velocidade analisado.

CasoCasoCasoCaso RegimeRegimeRegimeRegime Malha AbertaMalha AbertaMalha AbertaMalha Aberta Malha FechadaMalha FechadaMalha FechadaMalha Fechada

Modelo Exato Estacionário 0)( =∞e 01

1)(

KKA

e

+=∞

Incerteza em 0K Estacionário 0

0)(

K

K

A

e ∆=∞

0

0

01

1)(

K

K

KKA

∆+

≅∞∆ω

Perturbação de Torque

Estacionário TKKe 10)( −=∞ TKK

KKA

KKe

0

10

0 11

1)(

+−

+=∞

Transitório τ 0

'

1 KK+= ττ

Por fim, para concluir, é oportuno mencionar que as propriedades discutidas acima para um exemplo particular podem ser generalizadas para sistemas com dinâmicas mais complexas e sinais de perturbação e de referência também mais gerais que o sinal degrau.

1 Esta observação só ficará evidente quando, mais adiante (nos próximos capítulos), estudarmos estabilidade.