Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 1

Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel

1.5.1 - Introducao 1.5.4 - Domınio e imagem1.5.2 - Curvas no plano 1.5.5 - Operacoes com funcoes vetoriais1.5.3 - Curvas no espaco

Veremos agora como se comportam funcoes de uma variavel real a valores do Rn, mais particularmente

funcoes de R no R2 e de R no R

3. Tais funcoes sao chamadas funcoes vetoriais, devido a analogia que se podefazer entre o R

n e o espaco de vetories em n dimensoes. As imagens de tais funcoes podem ser representadascomo curvas no plano e no espaco. O assunto tem importancia para as ciencias economicas e da administracao,principalmente no estudo de sistemas que dependem uns dos outros e que evoluem no tempo.

1.5.1 - Introducao

Muitas vezes, em ciencias economicas e da administracao, se estuda sistemas de dois ou mais fatores queevoluem no tempo e que podem ou nao ter algo em comum.

a) Mercado Financeiro

Para exemplificar um desses sistemas, consideremos novamente o caso dos ındices Dow Jones da Bolsa deValores de Nova Iorque e do Ibovespa da Bolsa de Valores de Sao Paulo (duas figuras a seguir), visto no Capıtulo1.1. Vimos naquele capıtulo que ambos os ındices podem ser arranjados em pares ordenados do tipo (X,Y ),onde X e o valor do ındice Dow Jones em determinado instante de tempo (medido aqui em dias) e Y e o valordo Ibovespa no mesmo instante de tempo.

Dia

Dow Jones

2 3 4 5 8 9 10 11 12 15 16 17 18 19 22 23 24 25 26 29 30

10.200

10.800

11.400

Dia

Ibovespa

2 3 4 5 8 9 10 11 12 15 16 17 18 19 22 23 24 25 26 29 30

4.500

4.900

5.300

Podemos considerar os vetores X e Y comofuncoes de um tempo discreto t, de modo que X =X(t) e Y = Y (t). O par ordenado (X,Y ) pode serconsiderado, entao, como uma funcao que leva umelemento do t ∈ R a um elemento (X(t), Y (t)) ∈ R

2.O conjunto desses pares ordenados e, entao, umafuncao vetorial F (t) = (X(t), Y (t)).Em geral, como e difıcil representar uma funcao deR em R

2, e comum representarmos o conjunto depares ordenados F (t) = (X(t), Y (t)) em um planocartesiano, como e feito com os dados do ındice DowJones e do Ibovespa ao lado.

Dow Jones

Ibovespa

10.20010.40010.60010.80011.00011.20011.400

45.000

47.000

49.000

51.000

53.000

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

Esse tipo de diagrama tem suas origens na fısica e costuma representar a trajetoria de uma partıcula noplano como funcao do tempo. Observe que ha um sentido na curva que e desenhada, que vem da ordem inerente

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 2

a variavel t.

b) Modelo predador-presa

Um outro exemplo, mais ligado a area da economia chamada Processos Dinamicos, trata da relacao entreduas especies, sendo uma predadora e a outra presa. Um exemplo seriam populacoes de raposas e de lebresem uma floresta; outro exemplo e a relacao de pescadores e peixes em uma determinada regiao. O graficoa seguir mostra o desenvolvimento no tempo de duas populacoes desse tipo, sendo a populacao da presa (x)representada em vermelho e a populacao dos predadores (y) representada em azul. Observe que um crescimentoinicial da populacao da presa leva a um aumento da populacao de predadroes que, quando sobe muito, faz comque a populacao da presa sofra uma queda. Isto acaba por levar as duas populacoes a um equilıbrio dinamico,em que cada uma sofre uma especie de oscilacao no tempo.

t

x, y

1 2 3 4 5 6 6 8 9

1

2

3

0 x

y

1 2

1

2

3

0

Ambas as populacoes sao funcoes do tempo (complexas demais para serem representadas algebricamente),de modo que podemos definir uma funcao vetorial F (t) = (x(t), y(t)), cuja imagem e representada na segundafigura acima. O comportamento quase circular do grafico x(t)× y(t) e tıpico de funcoes quase trigonometricas,como pode ser visto do grafico de ambas as funcoes no tempo. Observe que podemos estabelecer um sentidopara a curva que representa a imagem de F (t), baseada no sentido em que t aumenta.

1.5.2 - Curvas no plano

Veremos agora alguns exemplos das funcoes vetoriais F (t) = (x(t), y(t)), que sao funcoes de t ∈ R em(x, y) ∈ R

2, isto e, F : R → R2, o que e representado na primeira figura abaixo.

b

x

y

x(t)

y(t)

R

F (t)F

x

y

b

x(t1)

y(t1)

b

x(t0)

y(t0)

b

x(t2)

y(t2)

Conforme mudamos o valor de t, os valores F (t) = (x(t), y(t)) mudam, tambem, tracanco uma curva noplano, como ilustrado na segunda figura acima. Veremos, a seguir, alguns exemplos de diferentes curvas noplano resultantes das imagens de funcoes vetoriais.

Exemplo 1: faca o grafico da imagem da funcao F (t) = (1 + t, 1 − t).

Solucao: a seguir, fazemos uma tabela para t, x(t) = 1 + t e y(t) = 1 − t.Depois, fazemos o grafico na figura ao lado.

t x(t) = 1 + t y(t) = 1 − t−2 −1 3−1 0 20 1 11 2 02 3 −1

x

y

−10

1 2 3−1

1

2

3b

b

b

b

b

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 3

Exemplo 2: faca o grafico da imagem da funcao F (t) = (t2, 1 − t).

Solucao: a seguir, fazemos uma tabela para t, x(t) = t2 e y(t) = 1 − t.O grafico e feito ao lado.

t x(t) = t2 y(t) = 1 − t−2 4 3−1 1 20 0 11 1 02 4 −1

x

y

−10

1 2 3 4−1

1

2

3 b

b

b

b

b

Observe que o grafico da imagem de uma funcao F (t) nao esta necessariamente associado a uma funcao,como pode-se ver no exemplo 2. Nesse exemplo, a parabola que representa a imagem de F (t) nao e o graficode uma funcao y = y(x), pois associa duas imagens em y a um mesmo elemento do domınio em x.

Exemplo 3: faca o grafico da imagem da funcao F (t) = ( cos t, sen t).

Solucao: a seguir, fazemos uma tabela para t, x(t) = cos t e y(t) = sen t. Os graficos dos pontos da tabela e dafigura completa sao feitos ao lado da tabela e representam uma circunferencia de raio 1.

t x(t) = cos t y(t) = sen t0 1 0

π/4√

2/2 ≈ 0, 707√

2/2 ≈ 0, 707π/2 0 1

3π/4 −√

2/2 ≈ −0, 707√

2/2 ≈ 0, 707π −1 0

5π/4 −√

2/2 ≈ −0, 707 −√

2/2 ≈ −0, 7073π/2 0 −1

7π/4√

2/2 ≈ 0, 707 −√

2/2 ≈ −0, 707

x

y

−1 0 1

−1

1

b

b

b

b

b

b

b

b

x

y

−1 0 1

−1

1

b

b

b

b

b

b

b

b

Se tomarmos a funcao vetorial do exemplo 3, F (t) = ( cos t, sen t), escrevendo x(t) = cos t e y(t) = sen t,podemos verificar que x2 + y2 = cos 2t+ sen 2t = 1, que e a equacao algebrica de uma circunferencia de raio 1.A Leitura Complementar 1.5.1 trata das equacoes algebricas de diversas curvas no plano.

Exemplo 4: faca o grafico da imagem da funcao F (t) = (2 e−0,2t cos t, 2 e−0,2t sen t).

Solucao: a seguir, fazemos uma tabela para t, x(t) = 2 e−0,2t cos t e y(t) = 2 e−0,2t sen t. O grafico dos pontos databela e a figura completa sao feitos ao lado da tabela e representam uma espiral decrescente.

t x(t) = 2 e−0,2t cos t y(t) = 2 e−0,2t sen t0 2 0π/4 1, 21 0, 60π/2 0 0, 733π/4 −0, 88 0, 44π −1, 07 0

5π/4 −0, 64 −0, 323π/2 0 −0, 397π/4 0, 47 −0, 24

x

y

−2 −1 01 2

−1

1

b

b

b

b

b

bb

b

Muitas outras figuras podem ser formadas por funcoes vetoriais. A Leitura Complementar 1.5.1 mostra asequacoes algebricas de algumas das figuras geometricas mais comuns e serve como uma revisao da geometriaanalıtica geralmente ensinada no ensino medio. A Leitura Complementar 1.5.2 faz um estudo mais aprofundadodas curvas que podem ser obtidas por meio das imagens de funcoes vetoriais.

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 4

1.5.3 - Curvas no espaco

Veremos agora exemplos de funcoes vetoriais F (t) = (x(t), y(t), z(t)), de t ∈ R em (x, y, z) ∈ R3, isto e,

F : R → R3, o que e representado na primeira figura abaixo. Conforme mudamos o valor de t, os valores

F (t) = (x(t), y(t), z(t)) tracam uma curva no espaco, como ilustrado na segunda figura abaixo.

R

F

x y

z

x(t)y(t)

z(t)

b F (t)

x y

z

bb

bb

bb

Veremos, a seguir, alguns exemplos de diferentes curvas no espaco resultantes das imagens de funcoesvetoriais.

Exemplo 1: faca o grafico da imagem da funcao F (t) = (−2t+ 2, 2t− 1, t+ 1).

Solucao: a tabela abaixo ajuda a escolher alguns pontos da imagem de F (t), que e uma reta no espaco (figura aolado da tabela).

t x(t) = −2t+ 2 y(t) = 2t− 1 z(t) = t+ 10 2 −1 11 0 1 22 −2 3 3

x y

z

1.02.0

-1.0

-2.0

-3.0

1.02.0

-1.0

-2.01.0

2.0

3.0

bb

bb

bb

Exemplo 2: faca o grafico da imagem da funcao F (t) = (2 − 4, 5t+ t2, 2 − 0, 25t2, 1, 5t− 0, 25t2).

Solucao: a tabela abaixo ajuda a escolher alguns pontos da imagem de F (t), que e uma parabola no espaco (figuraao lado da tabela).

t x(t) = 2 − 4, 5t+ t2 y(t) = 2 − 0, 25t2 z(t) = 5t− 0, 25t2

0 2 2 01 −1, 5 1, 75 1, 252 −3 1 23 −2, 5 −0, 25 2, 254 0 −2 2

x y

z

1.02.0

-1.0

-2.0

-3.0

-4.0

1.02.0

-1.0

-2.0

-3.01.0

2.0

3.0

bb

bb

bb

bb

bb

Os graficos representados nas figuras dos exemplos 1 e 2 sao, respectivamente, uma reta e uma parabola noespaco. O grafico do proximo exemplo e o de uma curva chamada helice.

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 5

Exemplo 3: faca o grafico da imagem da funcao F (t) = (2 cos (3t), 2 sen (3t), t).

Solucao:

t x(t) = 2 cos (3t) y(t) = 2 sen (3t) z(t) = t0 2 0 0π/6 0 2 0, 124π/3 −2 0 1, 047π/2 0 −2 1, 5712π/3 2 0 2, 0495π/6 0 2 2, 618π −2 0 3, 142

x y

z

1.02.0

-1.0

-2.0

-3.0

-4.0

1.02.0

-1.0

-2.0

-3.01.0

2.0

3.0

bb

bb

bb

bb

bb

bb

bb

De modo semelhante, muitas outras figuras podem ser obtidas por meio das imagens de funcoes vetoriais deR em R

3. Tambem podemos definir funcoes vetoriais F : R → Rn, porem nao e possıvel visualizar os graficos

das imagens de tais funcoes.Tambem e possıvel definir funcoes F (u, v) de dois parametros reais em R

n, ou seja, funcoes de R2 em R

n,ou mesmo funcoes de R

m em Rn. Para funcoes de R

2 em R3, os graficos de suas imagens serao superfıcies no

espaco (Leitura Complementar 1.5.3, a ser escrita em uma futura versao deste texto).

1.5.4 - Domınio e imagem

Uma funcao de uma variavel real no Rn nao precisa ser definida sobre todo o conjunto dos reais, mas

pode ser definida em um subconjunto D ⊂ R. Esse subconjunto e chamado domınio da funcao e o conjunto{F (t) | t ∈ D} e a imagem de F . Por exemplo, uma funcao F (t) = ( cos t, sen t) pode ser definida sobre odomınio R ou sobre D = [0, 2π]. A curva associada a sua imagem sera uma circunferencia de raio 1 para ambosos casos. O proximo exemplo trata de um caso de domınio limitado.

Exemplo 1: faca o grafico da imagem da funcao F (t) = (√t, ln t), t ∈ R

+∗

= {x ∈ R | x > 0}.Solucao: a seguir, fazemos uma tabela para t, x(t) =

√t e y(t) = ln t, usando duas casas decimais de precisao.

O grafico e feito ao lado.

t x(t) =√t y(t) = ln t

0, 5 0, 71 −0, 691 1 02 1, 41 0, 693 1, 73 1, 104 2 1, 385 2, 24 1, 616 2, 45 1, 79

x

y

01 2 3 4

−1

1

2

b

b

b

bbbb

Exemplo 2: faca o grafico da imagem da funcao F (t) = (√

4 − t2, t, t2).

Solucao: essa funcao so e definida para 4 − t2 ≥ 0 ⇔ 4 ≥ t2 ⇔ −2 ≥ t ≥ 2. Uma tabela (com duas casas decimaisde precisao) e um grafico sao feitos a seguir.

t x(t) =√

4 − t2 y(t) = t z(t) = t2

−2 0 −2 4−1 1, 73 −1 10 2 0 01 1, 73 1 12 0 2 4

x y

z

1.02.0

-1.0

-2.0

-3.0

1.02.0

-1.0

-2.0

-3.0 1.0

2.0

3.0

4.0

bb

bb

bb

bb

bb

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 6

1.5.5 - Operacoes com funcoes vetoriais

Como as imagens das funcoes vetoriais podem ser definidas como conjuntos de elementos do Rn, podemos

efetuar entre elas as mesmas operacoes definidas para um elemento do Rn. As operacoes vistas nos capıtulos

anteriores sao a soma, o produto por um escalar e o produto interno, sendo que na Leitura Complementar 1.3.3e visto tambem o produto vetorial. De modo semelhante, podemos fazer as definicoes a seguir.

Definicao 1 - Dadas duas funcoes F : D → Rn e G : D → R

n, onde D ⊂ R, a sua soma e definidacomo F (t) +G(t) para todo t ∈ D.

Definicao 2 - Dada uma funcao F : D → Rn, onde D ⊂ R, o seu produto por um escalar α ∈ R e

definido como αF (t) para todo t ∈ D.

Definicao 3 - Dadas duas funcoes F : D → Rn e G : D → R

n, onde D ⊂ R, o seu produto interno edefinido como 〈F (t), G(t)〉 para todo t ∈ D.

Exemplo 1: dadas F (t) = (2t,−1) e G(t) = (t2, 1 + t), calcule F (t) +G(t).

Solucao: F (t) +G(t) = (2t+ t2,−1 + 1 + t) = (2t+ t2, t).

Exemplo 2: dada F (t) = ( cos t,− sen t), calcule 2F (t).

Solucao: 2F (t) = (2 cos t,−2 sen t).

Exemplo 3: dadas F (t) = (1 − t, t2) e G(t) = ( sen t, et), calcule 2F (t) − 3G(t).

Solucao: 2F (t) − 3G(t) = 2(1 − t, t2) − 3( sen t, et) = (2 − 2t, 2t2) − (3 sen t, 3 et) = (2 − 2t− 3 sen t, 2t2 − 3 et).

Exemplo 4: dadas F (t) = (t,−1 + t) e G(t) = (t+ 1, 1 − t2), calcule 〈F (t), G(t)〉.Solucao: 〈F (t), G(t)〉 = t(t+ 1) + (−1 + t)(1 − t2) = t2 + t− 1 + t2 + t− t3 = −1 + 2t+ 2t2 − t3.

Observacao: o resultado do produto interno de duas funcoes vetoriais e uma funcao escalar f : R → R.

Terminamos por aqui este capıtulo. Veremos a seguir como implementar o calculo diferencial a funcoesvetoriais, estabelecendo o conceito de limites e derivadas de curvas no plano e no espaco.

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 7

Resumo

• Funcao vetorial. Uma funcao vetorial e uma funcao F : D → Rn, onde D ⊂ R e o domınio

da funcao. Ela tem esse nome porque associa a um numero real pertencente ao seu domınio a umelemento do R

n, que pode ser posto em analogia a um vetor.

• Curva no plano. Uma curva no plano pode ser definida em termos da imagem de uma funcaovetorial F (t) de D em R

2, onde D ⊂ R.

• Curva no espaco. Uma curva no espaco pode ser definida em termos da imagem de uma funcaovetorial F (t) de D em R

3, onde D ⊂ R.

• Soma de funcoes vetoriais. Dadas duas funcoes F : D → Rn e G : D → R

n, onde D ⊂ R, a suasoma e definida como F (t) +G(t) para todo t ∈ D.

• Produto de uma funcao vetorial por um escalar. Dada uma funcao F : D → Rn, onde D ⊂ R,

o seu produto por um escalar α ∈ R e definido como αF (t) para todo t ∈ D.

• Produto interno de funcoes vetoriais. Dadas duas funcoes F : D → Rn e G : D → R

n, ondeD ⊂ R, o seu produto interno e definido como 〈F (t), G(t)〉 para todo t ∈ D.

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Leitura Complementar 1.5.1 - Equacoes algebricasde curvas no plano

Esta leitura complementar trata do estudo das equacoes algebricas de algumas curvas no plano. Nosrestringiremos aquelas curvas chamadas conicas, que sao curvas planas que podem ser escritas sob a forma

ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0 .

Essas curvas incluem as parabolas, as elipses e as hiperboles, que descreveremos depois em maiores detalhes.Do ponto de vista geometrico, que e o que os gregos antigos adotavam, conicas sao figuras que podem ser

conseguidas atraves do corte em diversos planos de um cone em tres dimensoes (figuras a seguir). Essas figurassao a circunferencia, a elipse, a parabola e a hiperbole.

x y

z

Circunferencia

x y

z

Elipse

x y

z

Parabola

x y

z

Hiperbole

Uma circunferencia pode ser entendida como a interseccao do cone com um plano ortogonal ao eixo desimetria do cone; uma elipse e obtida pela interseccao do cone com um plano que tenha uma inclinacao menorque o das paredes do cone; uma parabola e a interseccao do cone com um plano que tenha a mesma inclinacaode suas paredes; uma hiperbole e a figura obtida (em dois ramos) da interseccao do cone com um plano quetenha uma inclinacao maior que a das paredes do cone.

Para que possamos entender melhor as formas quadraticas, revisaremos a seguir alguns conceitos impor-tantes sobre essas curvas.

a) Parabolas

Parabolas sao dadas por equacoes do tipo y = ax2 + bx+ c, onde a, b e c sao constantes e a 6= 0.

Exemplo 1: faca o grafico da parabola dada por y = x2 − x− 1.

Solucao:

x y−2 5−1 1

0 −11 −12 1 x

y

−2 −1 0 1 2 3

-1

1

2

3

4

5

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 9

Parabola vem do grego antigo παραβoλη, que significa comparacao ou igualdade. Essa palavravem da juncao de παρα (“junto”) e βoλη (“lance”). Portanto, lancar junto. A explicacao e que, nageometria, ela corresponde a um corte de um cone precisamente no mesmo angulo de inclinacao docone. Na lıngua portuguesa e em diversas outras, parabola tambem significa ilustrar algo por meio deum exemplo similar, ou comparavel, como nas parabolas dos evangelhos.

b) Circunferencias

A equacao de uma circunferencia de raio r centradaem um ponto (0, 0) e dada por

x2 + y2 = r2

(primeira figura ao lado).A equacao de uma circunferencia de raio r centrada

em um ponto (x0, y0) e dada por

(x− x0)2 + (y − y0)

2 = r2 ,

onde o raio da circunferencia e medido a partir doponto (x0, y0) (segunda figura ao lado).

x

y

0

r

x

y

0

by0

x0

r

Exemplo 1: faca o grafico da circunferenciadada por x2 + y2 = 1.

Solucao: esta e uma circunferencia de raio 1 cen-trada em (0, 0).

x

y

−1 0 1

−1

1

Exemplo 2: faca o grafico da circunferenciadada por (x− 1)2 + (y − 2)2 = 1.

Solucao: esta e uma circunferencia de raio 1 cen-trada em (1, 2).

x

y

0 1 2

1

2

3

b

Circunferencia vem do latim circumferentia, de circum (“em torno de”) e ferre (“carregar”, “levar”);portanto, significa “levar em volta”. O termo latino foi adaptado do grego πǫριϕǫρǫια, periferia, deπǫρι (“perı”) - a cerca de, em volta de - e de ϕǫρω (“fero”) - trazer, conduzir.

c) Elipses

A equacao de uma elipse de eixo horizontal a e eixovertical b centrada em um ponto (x0, y0) e dada por

(x− x0)2

a2+

(y − y0)2

b2= 1 .

x

y

0

by0

x0

a

b

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 10

Exemplo 1: faca o grafico da elipse dada porx2

9+y2

4= 1.

Solucao: esta e uma elipse centrada em (0, 0)com o eixo horizontal medindo 3 e o eixo verticalmedindo 2.

x

y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2

−1

1

2

Exemplo 2: faca o grafico da elipse dada por

(x+ 2)2

1/4+

(y + 1)2

4= 1.

Solucao: esta e uma elipse centrada em (−2,−1)com eixo horizontal 1

2e eixo vertical 2.

x

y

−3 −2 −1 0

−3

−2

−1

1

b

Elipse vem do grego ǫλλǫιψη, “elipsi”, que significa “falta” ou carencia. Vem do fato da elipse sera interseccao do cone com um plano com um angulo de inclinacao menor que o das paredes do cone,uma falta de inclinacao em relacao a este.

d) Hiperboles

Como hiperboles nao sao tao conhecidas quanto as outras conicas, passaremos mais tempo estudandoessas curvas. E possıvel descrever hiperboles centradas em (0, 0) por meio de duas equacoes, dependendo daorientacao dos focos:

x2

a2− y2

b2= 1 , −x

2

a2+y2

b2= 1 .

Veremos a seguir um procedimento de como fazer o grafico de uma hiperbole.

No caso de equacoes do tipox2

a2− y2

b2= 1, seguimos os seguintes passos: primeiro, desenhamos um retangulo

onde as extremidades horizontais encontram-se em x = −a e x = a e as extremidades verticais em y = −b ey = b.

x

y

−b

b

0−a ax

y

−b

b

0−a ax

y

−b

b

0−a a

Depois, desenhamos duas retas: uma que passa pelos pontos (−a, b) e (0, 0) e outra que passa pelos pontos(a, b) e (0, 0). Tendo essas retas, desenhamos hiperboles que vao se aproximando das retas conforme o moduloda variavel x aumenta. Essas retas sao chamadas assıntotas das hiperboles.

Um procedimento semelhante pode ser usado no caso das equacoes do tipo −x2

a2+y2

b2= 1. As figuras

seguintes ilustram os passos para o desenho da hiperbole.

x

y

−b

b

0−a ax

y

−b

b

0−a ax

y

−b

b

0−a a

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 11

Exemplo 1: faca o grafico da hiperbole dada

porx2

1− y2

4= 1.

Solucao:

x

y

−3 −2 −1 1 2 3

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

0

Exemplo 2: faca o grafico da hiperbole dada

por −x2

1+y2

4= 1.

Solucao:

x

y

−3 −2 −1 1 2 3

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

0

A generalizacao para equacoes que descrevem hiperboles centradas em um ponto arbitrario (x0, y0) e feitade modo semelhante ao das elipses:

(x− x0)2

a2− (y − y0)

2

b2= 1 ou − (x− x0)

2

a2+

(y − y0)2

b2= 1 .

Exemplo 3: faca o grafico da hiperbole dada

por(x− 3)2

9− (y − 2)2

4= 1.

Solucao:

x

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−2

−1

1

2

3

4

5

6

0

Exemplo 4: faca o grafico da hiperbole dada

por −(x+ 3)2

9+

(y − 4)2

4= 1.

Solucao:

x

y

−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

Hiperbole vem do grego υπǫρβoλη (ipervolı), que significa “excesso” ou “exagero”. A palavra υπǫρ(iper) significa “alem” e e um prefixo utilizado em diversas palavras da nossa e de varias outras lınguas;βoλη (volı) significa “disparo” ou “alcance”. Vem do fato da hiperbole ser a interseccao entre o cone eum plano com um angulo de inclinacao maior que o das paredes do cone, isto e, um angulo que vaialem do das paredes do cone.

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 12

Leitura Complementar 1.5.2 - Curvas no plano efuncoes vetoriais

No texto principal, vimos que o grafico da imagem de uma funcao vetorial F (t) = (x(t), y(t)) e uma curvano plano. Veremos nesta leitura complementar diversos exemplos de tais curvas e estudaremos como elas serelacionam as respectivas funcoes vetoriais. Nao levaremos em conta aqui o sentido dado a uma curva pelarelacao de ordem da variavel livre da funcao (a variavel t de F (t)).

a) Retas

Uma reta no plano corresponde a imagem de funcoes vetoriais onde as duas componentes sao funcoes deprimeiro grau do parametro, o que significa que elas sao da forma F (t) = (x(t), y(t)), tais que

x(t) = x0 + x1t , y = y0 + y1t ,

onde x0, x1, y0 e y1 sao constantes. A seguir, mostraremos exemplos dos graficos produzidos por algumasequacoes parametricas de retas.

Exemplo 1: faca o grafico da imagem de F (t) = (t, t).

Solucao: para fazer o grafico de uma reta necessitamos somente de

dois pontos. Para isto, escolhemos valores para o parametro t ecalculamos os valores correspondentes das coordenadas x e y daimagem da funcao F (t):

F (0) = (0, 0) e F (1) = (1, 1) .

O grafico e feito ao lado.

x

y

−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2

b

b

Exemplo 2: faca o grafico da imagem deF (t) = (t, 1 + t).

Solucao: F (0) = (0, 1) e F (1) = 1, 2).

x

y

−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2

3

b

b

Exemplo 3: faca o grafico da imagem de

F (t) =

(

t,1

2t

)

.

Solucao: F (0) = (0, 0) e F (1) =

(

1,1

2

)

.

x

y

−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2

b

b

Exemplo 4: faca o grafico da imagem de F (t) = (t,−t).Solucao: F (0) = (0, 0) e F (1) = (1,−1).

x

y

−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2

b

b

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 13

b) Parabolas

Parabolas sao as imagens de funcoes vetoriais do tipo F (t) = (x(t), y(t)), tais que

x(t) = x0 + x1t+ x2t2 e y(t) = y0 + y1t+ y2t

2 ,

onde x0, x1, x2, y0, y1 e y2 sao constantes. Esta forma corresponde a parabolas mais gerais que as vistas naLeitura Complementar 1.5.1, pois agora elas nao precisam mais ser simetricas com relacao ao eixo x ou ao eixoy, como sera mostrado em alguns exemplos.

Exemplo 1: faca o grafico da imagem deF (t) = (t, t2).

Solucao: para desenharmos a parabola, sera ne-cessario calcular um numero maior de pontos, da-dos pela tabela abaixo:

t x y−2 −2 4−1 −1 1

0 0 01 1 12 2 4

x

y

−2 −1 0 1 2

1

2

3

4

5

b

b

b

b

b

Exemplo 2: faca o grafico da imagem deF (t) = (t, 1 + t2).

Solucao:

t x y−2 −2 5−1 −1 2

0 0 11 1 22 2 5

x

y

−2 −1 0 1 2

1

2

3

4

5

6

b

b

b

b

b

Exemplo 3: faca o grafico da imagem deF (t) = (−2 + t, t2).

Solucao:

t x y−2 −4 4−1 −3 1

0 −2 01 −1 12 0 4

x

y

−4 −3 −2 −1 0 1

1

2

3

4

5

6

b

b

b

b

b

Exemplo 4: faca o grafico da imagem deF (t) = (2 + t, 1 + t2).

Solucao:

t x y−2 0 5−1 1 2

0 2 11 3 22 4 5

x

y

1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

b

b

b

b

b

De modo geral, qualquer parabola cujo eixo de simetria e paralelo ao eixo y pode ser representada pelaimagem de uma funcao do tipo F (t) = (x(t), y(t)), onde x(t) = x0 +x1t e y(t) = y0 +y2t

2. A seguir, mostramosexemplos de parabolas cujo eixo de simetria e paralelo ao eixo x. Estas podem ser descritas pelas imagens defuncoes do tipo F (t) = (x(t), y(t)), onde x(t) = x0 + x2t

2 e y(t) = y0 + y1t.

Exemplo 5: faca o grafico da imagem deF (t) = (t2, t).

Solucao: escolhendo os valores t = −2, t = −1,t = 0, t = 1 e t = 2, temos

t x y−2 4 −2−1 1 −1

0 0 01 1 12 4 2

x

y

0 1 2 3 4

−2

−1

1

2

b

b

b

b

b

Exemplo 6: faca o grafico da imagem deF (t) = (−1 + 2t2, 1 + t).

Solucao:

t x y−2 7 −1−1 1 0

0 −1 11 1 22 7 3

x

y

−1 0 1 2 3 4 5 6 7

−2

−1

1

2

3

b

b

b

b

b

Para os casos mais gerais, dados pelas imagens de funcoes F (t) = (x(t), y(t)), onde x(t) = x0 + x1t+ x2t2 e

y(t) = y0 + y1t+ y2t2, os eixos de simetria das parabolas nao sao mais necessariamente paralelos ao eixo x ou

ao eixo y, como mostrado nos exemplos a seguir.

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 14

Exemplo 7: faca o grafico da imagem de F (t) = (1 + t+ t2, 2 + t− t2).

Solucao:

t x y−2 3 −4−1 1 0

0 1 21 3 22 7 0

x

y

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

b

b

b b

b

Exemplo 8: faca o grafico da imagem de F (t) = (−3 − t+ 3t2,−3 + t+ t2).

Solucao:

t x y−2 11 −1−1 1 −3

0 −3 −31 −1 −12 7 3

x

y

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 140

−3

−2

−1

1

2

3

4

b

bb

b

b

c) Circunferencias

A representacao de circunferencias esta associada as funcoes trigonometricas. Uma circunferencia no planopode ser descrita como o grafico da imagem de uma funcao vetorial F (t) = (x(t), y(t)), onde

x(t) = x0 + r cos t e y(t) = y0 + r sen t ,

sendo x0, x1 e r constantes. Esta forma corresponde a equacao de uma circunferencia de raio r centradano ponto (x0, y0). Uma circunferencia de raio r centrada em (0, 0) e a imagem de uma funcao mais simples:F (t) = (x(t), y(t)), onde x(t) = r cos t e y(t) = r sen t. No caso geral de uma circunferencia de raio r centradaem (x0, y0), outra possibilidade e a imagem de F (t) = (x(t), y(t)), onde x(t) = x0 + r sen t e y(t) = y0 + r cos t.

A seguir, serao mostrados alguns exemplos de circunferencias descritas por meio de funcoes vetoriais.

Exemplo 1: faca o grafico da imagem de F (t) = ( cos t, sen t).

Solucao: para desenharmos a circunferencia, podemos escolher alguns valores para o parametro t de modo a montara tabela abaixo e depois usamos esses valores para fazer o grafico da curva.

t x y0 1 0π/4 1

√

2≈ 0, 707 1

√

2≈ 0, 707

π/2 0 13π/4 − 1

√

2≈ −0, 707 1

√

2≈ 0, 707

π −1 05π/4 − 1

√

2≈ −0, 707 − 1

√

2≈ −0, 707

3π/2 0 −17π/4 1

√

2≈ 0, 707 − 1

√

2≈ −0, 707

2π 1 0

x

y

−1 0 1

−1

1

b

b

b

b

b

b

b

b

Como no caso das equacoes algebricas de circunferencias, e mais facil desenharmos a curva lendo os para-

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 15

metros (centro e raio) diretamente das funcoes vetoriais das quais elas sao as imagens. Isto e feito nos exemplosa seguir.

Exemplo 2: faca o grafico da imagem deF (t) = (2 cos t, 2 sen t)

Solucao: esta e uma circunferencia de raio 2 cen-trada em (0, 0).

x

y

−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2

Exemplo 3: faca o grafico da imagem deF (t) = (1 + cos t, 2 + sen t)

Solucao: esta e uma circunferencia de raio 1 cen-trada em (1, 2).

x

y

0 1 2

1

2

3

b

d) Elipses

Uma elipse no plano pode ser escrita como uma generalizacao da imagem de uma circunferencia e e dadacomo a imagem de funcoes do tipo F (t) = (x(t), y(t)), onde

x(t) = x0 + a cos t e y(t) = y0 + b sen t ,

sendo x0, x1, a e b constantes. Esta forma corresponde a equacao de uma elipse de semi-eixos a e b centradano ponto (x0, y0). Uma elipse centrada em (0, 0) e a imagem de uma funcao F (t) = (acos t, b sen t). Uma formamais geral de representacao de elipse, onde os semi-eixos nao sao paralelos aos eixos x ou y, pode ser dadacomo a imagem de F (t) = (x(t), y(t)), onde

x(t) = x0 + a cos t+ b sen t e y(t) = y0 + c cos t+ d sen t ,

sendo x0, y0, a, b, c e d constantes.A seguir, serao mostrados alguns exemplos de elipses descritas pelas imagens de funcoes vetoriais.

Exemplo 1: faca o grafico da imagem de F (t) = (2 cos t, sen t).

Solucao: para desenharmos a elipse, podemos escolher alguns valores para o parametro t de modo a montar atabela abaixo e depois usamos esses valores para fazer o grafico da curva.

t x y0 2 0π/4 2

√

2≈ 1, 414 1

√

2≈ 0, 707

π/2 0 13π/4 − 2

√

2≈ −1, 414 1

√

2≈ 0, 707

π −2 05π/4 − 2

√

2≈ −1, 414 − 1

√

2≈ −0, 707

3π/2 0 −17π/4 2

√

2≈ 1, 414 − 1

√

2≈ −0, 707

2π 2 0

x

y

−2 −1 0 1 2

−1

1

b

b

b

b

b

b

b

b

Podemos tambem desenhar as elipses lendo os dados diretamente das funcoes vetoriais das quais elas saoas imagens, como nos exemplos seguintes.

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 16

Exemplo 2: faca o grafico da imagem deF (t) = ( cos t, 2 sen t).

Solucao:

x

y

−1 0 1

−2

−1

1

2

Exemplo 3: faca o grafico da imagem deF (t) = (2 + 2 cos t, 1 + sen t).

Solucao:

x

y

0 1 2 3 4

1

2

b

Os proximos dois exemplos ilustram o caso mais geral, em que os semi-eixos nao precisam ser paralelosaos eixos coordenados. Nesse caso, nao podemos ler a forma da elipse direto das equacoes parametricas. Paradesenhar as curvas, calculamos alguns dos pontos dessas usando as funcoes vetoriais das quais sao imagens.

Exemplo 4: faca o grafico da imagem de F (t) = ( cos t+ sen t, cos t).

Solucao: atribuindo alguns valores para t, montamos uma tabela e depois tracamos o grafico.

t x y0 1 1π/6 ≈ 1, 366 ≈ 0, 866π/3 ≈ 1, 366 0, 5π/2 1 02π/3 ≈ 0, 366 −0, 55π/6 ≈ −0, 366 ≈ −0, 866π −1 −1

7π/6 ≈ −1, 366 ≈ −0, 8664π/3 ≈ −1, 366 −0, 53π/2 −1 05π/3 ≈ −0, 366 0, 511π/6 ≈ 0, 123 ≈ 0, 866

2π 1 1

x

y

−2 −1 0 1 2

−1

1 bb

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

x

y

−2 −1 0 1 2

−1

1

Exemplo 5: faca o grafico da imagem de F (t) = (1 + cos t, cos t− sen t).

Solucao:

t x y0 2 2

π/6 ≈ 1, 866 ≈ 1, 232π/3 1, 5 ≈ 0, 134π/2 1 −1

2π/3 0, 5 ≈ −1, 8665π/6 ≈ 0, 134 ≈ −2, 232

π 0 −27π/6 ≈ 0, 134 ≈ −1, 2324π/3 0, 5 ≈ −0, 1343π/2 1 15π/3 1, 5 ≈ 1, 866

11π/6 ≈ 1, 866 ≈ 2, 2322π 2 2

x

y

0 1 2

−2

−1

1

2 b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

bb

x

y

0 1 2

−2

−1

1

2

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 17

Existem dois casos particulares em que a curva obtida e uma circunferencia (lembre que uma circunferenciae um caso particular de elipse). Eles sao dados por

F (t) = (x0 + a cos t+ b sen t, y0 + b cos t− a sen t) ou F (t) = x0 + a cos t+ b sen t, y0 − b cos t+ a sen t) ,

onde a e b sao constantes. Ambas as funcoes determinam uma circunferencia de raio√a2 + b2 centrada em

(x0, y0).

Exemplo 6: faca o grafico da imagem de F (t) = (1 + cos t+ 2 sen t,−1 + 2 cos t− sen t).

Solucao: esta e uma circunferencia de raio r =√

12 + 22 =√

1 + 4 =√

5 centrada em (1,−1).

t x y0 2 1

π/6 ≈ 2, 866 ≈ 0, 232π/3 ≈ 3, 232 ≈ −0, 866π/2 3 −2

2π/3 ≈ 2, 232 ≈ −2, 8665π/6 ≈ 1, 134 ≈ −3, 232

π 0 −37π/6 ≈ −0, 866 ≈ −2, 2324π/3 ≈ −1, 232 ≈ −1, 1343π/2 −1 05π/3 ≈ −0, 232 ≈ 0, 866

11π/6 ≈ 0, 866 ≈ 1, 2322π 2 1

x

y

0−1 1 2 3

−3

−2

−1

1 b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

bb

x

y

0−1 1 2 3

−3

−2

−1

1

b

e) Hiperboles

As funcoes vetoriais cujas imagens sao hiperboles no plano podem ser escritas de uma forma semelhante asque geram elipses. No entanto, utilizamos agora o seno hiperbolico ( senh t) e o cosseno hiperbolico ( cosh t),definidos como

cosh t =1

2( et + e−t) e senh t =

1

2( et − e−t) .

O seno e o cosseno hiperbolicos tem a seguinte propriedade: cosh 2t− senh 2t = 1.Essas duas funcoes tem suas origens e nomes ligados a parametrizacao da hiperbole. Em termos dessas

duas funcoes, hiperboles podem ser vistas como as imagens de F (t) = (x(t), y(t)), onde

x(t) = x0 + a cosh t e y(t) = y0 + b senh t ,

onde x0, x1, a e b sao constantes. A imagem dessa funcao corresponde a equacao de metade de uma hiperbolecentrada no ponto (x0, y0) cujo eixo de simetria e paralelo ao eixo y. Para descrever a outra metade, precisamosde outra equacao.

Hiperboles centradas em x0, y0 cujos eixos de simetria sao paralelos ao eixo x sao dadas por

F (t) = (x0 + a senh t, y0 + b cosh t) e F (t) = (−a senh t, y0 − b cosh t) .

Hiperboles mais gerais, onde os semi-eixos nao sao paralelos aos eixos x ou y sao imagens de funcoes

F (t) = (x0 +acosh t+ b senht, y0 + ccosh t+dsenht) e F (t) = (x0 −acosh t− b senht, y0− ccosh t−dsenh t) ,

onde x0, y0, a, b, c e d sao constantes.A seguir, serao mostrados alguns exemplos de hiperboles descritas como imagens de funcoes vetoriais.

Exemplo 1: faca o grafico da hiperbole dada por F (t) = ( cosh t, senh t) e F (t) = (− cosh t,− senh t).

Solucao: para desenharmos a hiperbole, podemos escolher alguns valores para o parametro t de modo a montar astabelas abaixo e depois usamos esses valores para fazer o grafico da curva.

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 18

t x y−2 ≈ 3, 762 ≈ −3, 627−1, 5 ≈ 2, 352 ≈ −2, 129−1 ≈ 1, 543 ≈ −1, 175−0, 5 ≈ 1, 128 ≈ −0, 521

0 1 00, 5 ≈ 1, 128 ≈ 0, 5211 ≈ 1, 543 ≈ 1, 175

1, 5 ≈ 2, 352 ≈ 2, 1292 ≈ 3, 762 ≈ 3, 762

t x y−2 ≈ −3, 762 ≈ 3, 627−1, 5 ≈ −2, 352 ≈ 2, 129−1 ≈ −1, 543 ≈ 1, 175−0, 5 ≈ −1, 128 ≈ 0, 521

0 −1 00, 5 ≈ −1, 128 ≈ −0, 5211 ≈ −1, 543 ≈ −1, 175

1, 5 ≈ −2, 352 ≈ −2, 1292 ≈ −3, 762 ≈ −3, 762

x

y

−4 −3 −2 −10

1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

Podemos tambem desenhar as hiperboles lendo os dados diretamente das funcoes vetoriais e utilizando atecnica aprendida na Leitura Complementar 1.5.1 de desenhar as assıntotas. Isto e mostrado nos exemplos aseguir.

Exemplo 2: faca o grafico das imagens deF (t) = ( cosh t, 2 senh t) eF (t) = (− cosh t,−2 senh t).

Solucao: vamos utilizar a tecnica de desenhar asassıntotas para depois esbocar a hiperbole.

x

y

−3 −2 −1 1 2 3

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

0

Exemplo 3: faca o grafico das imagens deF (t) = ( senh t, 2 cosh t) eF (t) = (− senh t,−2 cosh t).

Solucao:

x

y

−3 −2 −1 1 2 3

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

0

Exemplo 4: faca o grafico das imagens de F (t) = (3+3cosh t, 2+2senh t) e F (t) = (3−3cosh t, 2−2senh t).

Solucao: o centro da hiperbole e o ponto (3, 2).

x

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−2

−1

1

2

3

4

5

6

0

O proximo exemplo ilustra o caso mais geral, em que os semi-eixos nao precisam ser paralelos aos eixos

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 19

coordenados. Nesse caso, nao podemos ler a forma da hiperbole diretamente das funcoes vetoriais. Paradesenhar as curvas, calculamos alguns dos pontos desta usando essas funcoes.

Exemplo 5: faca o grafico das imagens de F (t) = (cosh t+ senht, senht) e F (t) = (−cosht− senht,−senht).

Solucao: primeiro, montamos as tabelas abaixo e depois usamos esses valores para fazer o grafico da curva.t x y−2 ≈ 0, 135 ≈ −3, 627−1, 5 ≈ 0, 223 ≈ −2, 129−1 ≈ 0, 368 ≈ −1, 175−0, 5 ≈ 0, 606 ≈ −0, 521

0 1 00, 5 ≈ 1, 649 ≈ 0, 5211 ≈ 2, 718 ≈ 1, 175

1, 5 ≈ 4, 482 ≈ 2, 1292 ≈ 7, 389 ≈ 3, 762

t x y−2 ≈ −0, 135 ≈ 3, 627−1, 5 ≈ −0, 223 ≈ 2, 129−1 ≈ −0, 368 ≈ 1, 175−0, 5 ≈ −0, 606 ≈ 0, 521

0 −1 00, 5 ≈ −1, 649 ≈ −0, 5211 ≈ −2, 718 ≈ −1, 175

1, 5 ≈ −4, 482 ≈ −2, 1292 ≈ −7, 389 ≈ −3, 762

x

y

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −10

1 2 3 4 5 6 7 8

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

b

b

b

b

b

b

b

b

f) Curvas finitas

Todas as curvas estudadas ate agora sao infinitas. Isto e porque estmos tomando os parametros t decada curva como indo de −∞ a ∞. No entanto, podemos gerar curvas finitas tomando valores finitos para oparametro t. A seguir, veremos alguns exemplos da parametrizacao de curvas finitas.

Exemplo 1: faca o grafico da imagem deF (t) = (t, t), onde 0 ≤ t ≤ 2.

Solucao:

x

y

−2 −1 0 1 2

−2

−1

1

2

b

b

Exemplo 2: faca o grafico da imagem deF (t) = (−2 + t, t2), onde t ≥ −3.

Solucao:

x

y

−4 −3 −2 −1 0 1

1

2

3

4

5

6

b

b

b

b

Observacao: a curva descrita no exemplo 2 nao e finita, pois ela vai do ponto (−3, 1) ate o infinito.

Temos que salientar que as curvas descritas acima nao sao retas nem parabolas. Podemos chamar a curva doexemplo 1 de semi-reta ou segmento de reta e a curva d exemplo 2 de semi-parabola ou segmento de parabola.

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 20

.

Exemplo 3: faca o grafico da imagem deF (t) = (1 + cos t, 2 + sen t), onde 0 ≤ t ≤ π

2.

Solucao: esta e uma semicircunferencia de raio 1centrada em (1, 2).

x

y

0 1 2

1

2

3

b

Exemplo 4: faca o grafico da imagem deF (t) = ( cos t, 2 sen t), onde π

4≤ t5π

4.

Solucao:

x

y

−1 0 1

−2

−1

1

2

No caso de curvas finitas baseadas em hiperboles, podemos escolher curvas que sao imagens de uma ou duasfuncoes vetoriais, como nos exemplos a seguir.

Exemplo 5: faca o grafico das imagens deF (t) = ( cosh t, 2 senh t) eF (t) = (−cosht,−2senht), onde −2 ≤ t ≤ 1.

Solucao:

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

0

Exemplo 6: faca o grafico da imagem deF (t) = ( senh t, 2 cosh t), onde 0 ≤ t < 2.

Solucao:

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

0

bc

Note que no exemplo 6 o intervalo do parametro t e aberto em t = 2, o que e representado no grafico poruma bola aberta.

g) Outras curvas

O uso de funcoes vetoriais torna possıvel escrever outras curvas cujas formas algebricas sao muito compli-cadas. Veremos agora algumas dessas curvas em termos de exemplos. Um tipo de curva que pode ser obtidocomo sendo a imagem de uma funcao do tipo F (t) = (at cos t, bt sen t) e a espiral, como mostram os doisproximos exemplos.

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 21

Exemplo 1: desenhe a imagem deF (t) = (t cos t, sen t).

Solucao: associando valores ao parametro t, che-gamos a figura abaixo.

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

Exemplo 2: desenhe a imagem deF (t) = (t cos t, sen t), t ≥ 0.

Solucao:

x

y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

Embora a figura do exemplo 1 acima nao seja muito conhecida, se tomarmos somente t ≥ 0 obtemos umaespiral, como a figura do exemplo 2.

Outra figura interessante e a cicloide, que e o caminho seguido por um ponto que se encontra na borda deuma circunferencia quando esta rola por um plano, como a trajetoria de um prego preso a roda de um carro.Tal funcao pode ser descrita pela imagem de funcoes vetoriais do tipo F (t) = (at− a sen t, a− a cos t), onde ae uma constante que representa o raio da roda que esta sendo girada (figura abaixo).

b

b

b

b

Desenhamos a seguir mais uma curva, que e a imagem de um funcao envolvendo potencias de funcoestriginometricas.

Exemplo 3: desenhe a curva dada pelas equacoes parametricas F (t) = ( cos 3t, sen 3t).

Solucao:

x

y

−1 0 1

−1

1

Varias outras curvas podem ser expressas como imagens de funcoes vetoriais, mas nao serao vistas aqui.

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 22

Exercıcios - Capıtulo 1.5

Nıvel 1

Curvas no plano

Exemplo 1: faca o grafico da imagem da funcao F (t) = (2 cos t, sen t).

Solucao: a seguir, fazemos uma tabela para t, x(t) = 2 cos t e y(t) = sen t. O grafico da imagem dessa funcao efeito ao lado da tabela e corresponde a uma elipse de semieixo horizontal 2 e semieixo vertical 1.

t x(t) = 2 cos t y(t) = sen t0 2 0

π/4√

2 ≈ 1, 414√

2/2 ≈ 0, 707π/2 0 1

3π/4 −√

2 ≈ −1, 414√

2/2 ≈ 0, 707π −2 0

5π/4 −√

2 ≈ −1, 414 −√

2/2 ≈ −0, 7073π/2 0 −1

7π/4√

2 ≈ 1, 414 −√

2/2 ≈ −0, 707

x

y

−2 −1 01 2

−1

1

b

b

b

b

b

b

b

b

E1) Faca os graficos das imagens das seguintes funcoes:

a) F (t) = (2 + t, 1 − t). b) F (t) = (t, 1 − t2). c) F (t) = (t2, 1 − t). d) F (t) = (1 + t2, 1 − t2).

e) F (t) = (2 cos t, 2 sen t). f) F (t) = (2 sen t, 2 cos t). g) F (t) = ( cos t, 2 sen t).

h) F (t) = (2 + cos t, 1 + 2 sen t).

Curvas no espaco

Exemplo 2: faca o grafico da imagem da funcao F (t) = (0, 5t cos (3t), 0, 5t sen (3t), t).

Solucao:

t x(t) = 0, 5t cos (3t) y(t) = 0, 5t sen (3t) z(t) = t0 0 0 0π/6 0 0, 262 0, 524π/3 −0, 524 0 1, 047π/2 0 −0, 785 1, 5712π/3 1, 047 0 2, 0495π/6 0 1, 309 2, 618π −1, 571 0 3, 142

x y

z

1.02.0

-1.0

-2.0

-3.0

-4.0

1.02.0

-1.0

-2.0

-3.01.0

2.0

3.0

bb

bb

bb

bbbb

bb

bb

E2) Faca os graficos das imagens das seguintes funcoes:

a) F (t) = (1 + 0, 5t, 1, 5t, 1 + t). b) F (t) = (2, t, t2).

c) F (t) = (3 − 3t+ 2t2,−2 − 3, 5t + 2, 5t2, 1 + 2, 5t − 0, 5t2). d) F (t) = ( cos t, sen t, 2).

e) F (t) = ( cos t, sen t, cos t− sen t). f) F (t) = (t, 2 sen (3t), 2 cos (3t)).

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 23

Operacoes com funcoes vetoriais

Exemplo 3: dadas F (t) = (1 + t, 2 − t) e G(t) = (t2, 1 − 2t), calcule F (t) −G(t) e 〈F (t), G(t)〉.Solucao: F (t)−G(t) = (1 + t, 2− t)− (t2, 1− 2t) = (1 + t− t2, 1 + t) e 〈F (t), G(t)〉 = t2 + t3 + 2− 4t− t+ 4t2 == t3 + 5t2 − 5t+ 2.

E3) Dadas as funcoes F (t) = (t, t− 1, 2), G(t) = (1 + t, t2,−t) e H(t) = (0,−1, t), calcule:

a) F (t) +G(t). b) 3G(t). c) 2F (t) +G(t) −H(t). d) 〈F (t),H(t)〉.

Nıvel 2

E1) (Leitura Complementar 1.5.2) Faca os graficos das imagens das seguintes funcoes vetoriais:

a) F (t) = (3 e−0,1t cos t, 3 e−0,1t sen t). b) F (t) = ( cosh t, senh t). c) F (t) = ( senh t, cosh t).

E2) Determine uma funcao vetorial cuja imagem seja uma reta que passe pelos pontos (1,−1, 2) e (2, 0, 4).

E3) Determine uma funcao vetorial cuja imagem seja uma parabola que passe pelos pontos (0, 1, 1), (1, 0, 2) e(0, 1, 3).

E4) Uma reta pode ser representada pelas chamadas equacoes simetricas t =x− 2

3=y + 1

2=z + 3

4. Escreva

essa mesma reta como a imagem de uma funcao F (t).

E5) Calcule a interseccao entre as retas dadas pelas imagens das funcoes F (t) = (3 − t, t+ 1) eG(t) = (−1 + 3t, 2t− 2).

E6) Calcule α tal que as retas dadas pelas imagens das funcoes F (t) = (2 + t, 1− t) e G(t) = (1− αt, 3 + t) secruzem.

E7) Calcule α tal que as retas dadas pelas imagens das funcoes F (t) = (3 − t,−2 + t,−2 − t) eG(t) = (−8 − 2t, α− 3t,−1 − t) sejam ortogonais.

E8) (Leitura Complementar 1.5.2) Mostre que cosh 2t− senh 2t = 1.

Nıvel 3

E1) Determine uma funcao vetorial cuja imagem seja uma elipse que passe pelos pontos (2,−1, 0), (0,−1, 3) e(−2,−1, 0).

E2) Determine uma funcao vetorial cuja imagem seja uma elipse que passe pelos pontos (−1, 2, 1), (1, 0, 1) e(1,−2,−1).

E3) Determine F (t) tal que sua imagem seja uma reta que passe pelo ponto (x0, y0, z0) e que seja paralela aovetor que representa o ponto V = (x1, y1, z1).

E4) Uma reta pode ser representada pelas chamadas equacoes simetricas t =x− x0

x1

=y − y0

y1

=z − z0z1

.

Mostre que esta forma equivale a imagem da funcao F (t) = (x0 + x1t, y0 + y1t, z0 + z1t).

E5) Dadas as retas expressas como as imagens das funcoes F (t) = (3 − t,−2 + t,−2 − t) eG(t) = (−8 − 2t,−11 − 3t,−1 − t), calcule o ponto em que elas se cruzam e o angulo entre as duas.

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 24

Respostas

Nıvel 1

E1) a) x

y

0 1 2 3 4

−1

1

b) x

y

0−1 1 2

−3

−2

−1

1

c) x

y

0 1 2 3 4

−1

1

d) x

y

0 1 2 3 4 5

−3

−2

−1

1

e) x

y

−2 −1 0 1 2

−1

−2

1

2

f) x

y

−2 −1 0 1 2

−1

−2

1

2

g) x

y

−1 0 1

−1

−2

1

2

h) x

y

0 1 2 3 4

−1

1

2

3

E2) a)

x y

z

1.02.0

3.0

1.02.0

3.0

1.0

2.0

3.0b)

x y

z

1.02.0

3.04.0

-1.0

1.02.0

3.04.0

-1.0

1.0

2.0

3.0

4.0

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 25

.

c)

xy

z

1.02.0

3.04.0

5.0

-1.0

-2.0

-3.0

-4.0

1.02.0

3.04.0

-1.0

-2.0

-3.0

-4.0

1.0

2.0

3.0

4.0

d)

x y

z

1.0

-1.0

-2.0

1.0

-1.0

-2.01.0

2.0

e)

x y

z

1.0

-1.0

-2.0

1.0

-1.0

-2.01.0

-1.0

-2.0

f)

x

y

z

1.02.0

3.04.0

5.06.0

-1.0

1.02.0

-1.0

-2.0

-3.0 1.0

2.0

-1.0

-2.0

-3.0

E3) a) F (t) +G(t) = (2t+ 1, t2 + t− 1,−t+ 2). b) 3G(t) = (3 + 3t, 3t2,−3t).

c) 2F (t) +G(t) −H(t) = (3t+ 1, t2 + 2t− 1,−2t+ 1). d) 〈F (t), H(t)〉 = t+ 1.

Nıvel 2

E1) a) x

y

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

b) x

y

1 2 3

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

0

c) x

y

−4 −3 −2 −1 1 2 3

1

2

3

4

0

E2) Existem, na verdade, infinitas solucoes possıveis. Uma delas e F (t) = (t, t− 2, 2t), que e tal que F (1) = (1,−1, 2) eF (2) = (2, 0, 4).

E3) Existem infinitas solucoes possıveis. Uma delas e F (t) = (1 − t2, t2, 2 + t), que e tal que F (−1) = (0, 1, 1), F (0) =(1, 0, 2) e F (1) = (0, 1, 3).

E4) Se chamarmos t =x− 2

3=y + 1

2=z + 3

4, teremos F (t) = (2 + 3t,−1 + 2t,−3 + 4t).

E5) (2, 2). E6) α = 0. E7) α = −11.

E8) cosh 2t− senh 2t =1

4

(

et + e−t)2 − 1

4

(

et − e−t)2

=1

4

(

e2t + 2 e0 + e−2t)

− 1

4

(

e2t − 2 e0 + e−2t)

=1

4(2 + 2) = 1 .

Nıvel 3

E1) Existem infinitas solucoes possıveis. Uma delas e F (t) = (2 cos t,−1, 3 sen t), que e tal que F (0) = (2,−1, 0),F (π/2) = (0,−1, 3) e F (π) = (−2,−1, 0).

Calculo 2 - Capıtulo 1.5 - Funcoes vetoriais de uma variavel - versao 02/2009 26

E2) Existem infinitas solucoes possıveis. Uma delas e F (t) = ( sen t − cos t, 2 cos t, cos t + sen t), que e tal queF (0) = (−1, 2, 1), F (π/2) = (1, 0, 1) e F (π) = (1,−2,−1).

E3) F (t) = (x0 + x1t, y0 + y1t, z0 + z1t).

E4) Se chamarmos t =x− x0

x1

=y − y0y1

=z − z0z1

, teremos F (t) = (x0 + x1t, y0 + y1t, z0 + z1t).

E5) Elas se cruzam no ponto (5, 6, 3) e tem um angulo de θ = arccos16√278

≈ 16o.