FACULDADE IBS FGV - freewebs.com · Sum´ario 1 Func˜ao 6 1.1 Problemas . . . . . . . . . . . . ....
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FACULDADE IBS FGV NOTAS DE AULA - MATEM ´ ATICA PROFESSOR: TIAGO A. SCHIEBER 1
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FACULDADE IBSFGV
NOTAS DE AULA - MATEMATICA
PROFESSOR: TIAGO A. SCHIEBER
1
Sumario
1 Funcao 6
1.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Tipos de funcoes de nosso interesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Raiz de uma funcao real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Raiz de uma funcao polinomial de grau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.2 Raiz de uma funcao polinomial de grau maior que 1 . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Composicao de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Funcao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.1 A funcao Logarıtmo - a inversa da Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 O Plano Cartesiano 20
2.1 Grafico de uma funcao polinomial de grau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.1 A equacao da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Grafico de uma funcao polinomial de grau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2
2.3 Grafico de outros tipos de funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5 Estudo do sinal de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.1 Estudo do sinal de uma funcao polinomial de grau 1 . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.2 Estudo de sinal de uma funcao polinomial de grau 2 . . . . . . . . . . . . . 34
2.5.3 Estudo de sinal de outros tipos de funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.7 A funcao modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7.1 Inequacoes envolvendo funcoes modulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.8 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.9 Distancia entre dois pontos e ponto medio de um segmento . . . . . . . . . . . . . 44
2.9.1 Ponto medio de um segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3 Funcoes Trigonometricas 48
3.1 O surgimento de π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 Grafico das funcoes Seno e Cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Outras funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5 A equacao da reta - versao melhorada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4 Intersecao entre curvas 62
3
4.1 Equacao de Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2 Equacao de Oferta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Problemas: Oferta e Demanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4 O Equilıbrio de mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 Matrizes e Sistemas Lineares 71
5.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1.1 Operacao com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.1.2 Uma breve discussao sobre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1.3 Produto de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1.4 Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.1.5 Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.1.6 Problemas - Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.2 Sistemas Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.3 Solucao de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.1 Metodo das substituicoes sucessivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.2 O metodo da matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6 Limites 92
6.1 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4
6.2 Limites Infinitos e no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.3 Funcoes Contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7 A derivada de uma funcao 102
7.1 Alguns casos especiais - Funcao exponencial e logarıtma . . . . . . . . . . . . . . . 110
8 Aplicacoes de Derivadas 113
8.1 Funcoes Crescentes e Decrescentes. Maximos e Mınimos . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2 Problemas de Maximos e Mınimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9 Funcoes de Varias Variaveis 124
9.1 Domınio de uma funcao real de varias variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.2 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.3 Derivadas direcionais e o vetor gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.4 Problemas de maximos e mınimos envolvendo funcoes de varias variaveis . . . . . 130
9.5 Maximos e mınimos - versao mais aprofundada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
10 Integrais 135
5
Capıtulo 1
Funcao
O objetivo desse capıtulo e introduzir o conceito de funcao, bem como tratar de suas aplicacoes
no cotidiano de um administrador de empresas.
Definicao 1 Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, uma funcao f de A em B (f : A −→ B) e
uma aplicacao que pega elementos x ∈ A e leva em elementos y ∈ B. Entretanto, se x ∈ A entao
existe um unico y ∈ B tal que f(x) = b.
Na verdade, apesar da definicao acima parecer um pouco complicada, ela pode ser entendida como
uma operacao que pega um elemento de um conjunto A e o transforma em um elemento de um
conjunto B. E importante observar que uma transformacao desse tipo so e uma funcao de A em
B se ela leva um elemento de A em apenas um unico elemento de B.
Exemplo 1 Sejam A = {a, b, c, d} e B = {e, f, g}. Considere a seguinte aplicacao:
f(a) = e f(b) = g f(c) = f f(d) = g
e uma funcao de A em B (notacao: f : A −→ B). Entretanto, uma aplicacao
g(a) = e g(a) = g g(c) = f g(d) = g
nao e uma funcao de A em B (g : A −→ B pois, para o elemento {a} ∈ A existem dois possıveis
valores de g(a), o que contraria a unicidade enunciada na Definicao 1.
6
As Figuras 1.1 e 1.2 ilustram este exemplo.
a
b
c
d
e
f
g
A B
Figura 1.1: Funcao f : A −→ B do Exemplo 1. Observe que apenas uma seta parte de cadaelemento de A.
a
b
c
d
e
f
g
A B
Figura 1.2: Aplicacao g : A −→ B do Exemplo 1 que nao e uma funcao. Observe que duas setaspartem do elemento {a} de A.
Na pratica, podemos definir varios tipos de funcoes, por exemplo, o custo de producao de um
determinado produto e uma funcao da quantidade do mesmo; o capital investido por um tempo
determinado em um certo investimento e uma funcao da taxa de juros, etc.
Para continuar nossa discussao, devemos introduzir agora o conceito de domınio e imagem de uma
funcao.
Definicao 2 Seja f : A −→ B uma funcao qualquer, definimos o seu domınio como o conjunto:
Dom(f) = {x ∈ A | f(x) ∈ B}
7
e sua imagem como o conjunto:
Im(f) = {y ∈ B | para algum x ∈ A f(x) = y}
Exemplo 2 Considere a funcao f : N −→ N dada por:
f(x) = x + 1
essa funcao pega um numero natural qualquer e leva no seu sucessor (veja tabela abaixo).
Conjunto A = N Conjunto B = N
0 f(0) = 0 + 1 = 11 f(1) = 1 + 1 = 22 f(2) = 2 + 1 = 33 f(3) = 3 + 1 = 44 f(4) = 4 + 1 = 5
Vamos ver qual e o conjunto domınio e imagem dessa funcao.
Dom(f) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ....} = N
pois a funcao assim definida existe para qualquer numero natural. Ja a imagem da funcao f e o
conjunto
Im(f) = {1, 2, 3, 4, 5, ....} = N∗
e, dessa forma, podemos observar que a imagem e um subconjunto dos numeros naturais, ou seja,
Im(f) ⊂ B = N.
Como vimos no exemplo acima, a imagem de uma funcao f : A −→ B pode ser um subconjunto
de B, isto e, Im(f) ⊆ B. O domınio tambem pode ser um subconjunto de A. Por exemplo, se
definimos uma funcao f : R −→ R como sendo
f(x) =1
x
a funcao existe (fornece um valor real) para todo valor de x 6= 0. Observe que, se x = 0 a funcao
nao existe pois
f(0) =1
0=⇒ ABSURDO
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e, dessa maneira, seu domınio sera um subconjunto dos numeros reais, ou seja:
Dom(f) = {x ∈ R | x 6= 0}.
Questao 1 Encontre o domınio e a imagem das funcoes reais (f : R −→ R) abaixo:
(a) f(x) =1
x + 1.
(b) f(x) =x
x − 3
(c) f(x) = 2x
(d) f(x) =x2 + 2x + 1
x + 1
(e) f(x) = x
(f) f(x) = x2 + (47)x
Definicao 3 Uma funcao f : A −→ B e dita sobrejetiva se Im(f) = B, injetiva se Dom(f) = A
e para todo x1, x2 ∈ A tal que f(x1) = f(x2) entao x1 = x2. Finalmente, f e uma bijecao se ela e
injetiva e sobrejetiva.
Questao 2 De acordo com a definicao acima, exiba exemplos de funcoes reais (f : R −→ R) que
sao sobrejetivas, injetivas, bijecao e nenhuma dessas.
1.1 Problemas
Problema 1 O custo de producao de x unidades de um produto e uma funcao C que depende
das unidades produzidas. Dessa maneira, se C(x) = x2 e, cada produto e vendido por R$ 100, 00.
Encontre a funcao lucro (L(x)) e escreva seu domınio e sua imagem. Alem disso, verifique se a
afirmacao “quanto mais se vende mais se ganha”e verdadeira nesse caso.
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Problema 2 Em um investimento cuja taxa de juros e i, investe-se um capital C mensalmente,
i.e, todo mes coloca-se C no investimento. O montante investido M , se o capital e a taxa de juros
sao fornecidos, sera uma funcao do tempo de investimento, ou seja M = M(t). Encontre a funcao
M , seu domınio e sua imagem.
Problema 3 Jose faz um emprestimo bancario de x reais e decide quita-lo em parcelas fixas de C
reais sem entrada. Sabendo-se que a taxa de juros mensal desse investimento e i, o saldo devedor
D e uma funcao do tempo desse parcelamento, i.e, D = D(t). Encontre a funcao D e exiba seu
domınio e sua imagem. Como seria essa funcao se ele decide quitar essa dıvida com entrada?
Todos esses problemas sao de fundamental importancia em matematica financeira, ferramenta
muito util na vida diaria de um administrador de empresas. Portanto, pesquise sobre situacoes
reais dos Problemas 2 e 3.
1.2 Tipos de funcoes de nosso interesse
O objetivo dessa secao e definir as principais funcoes que serao estudadas no curso. Algumas,
entretanto, so serao mencionadas devido a sua complexidade inicial mas, posteriormente, serao
estudadas de maneira apropriada.
Definicao 4 Uma funcao real f : R −→ R e dita polinomial de grau n, onde n ∈ N se ela for do
tipo
f(x) = a0 + a1x + a2x2 + .... + anxn,
com ai ∈ R para todo i = 0, 1, 2, 3, ..., n e an 6= 0.
Como um primeiro exemplo de uma funcao polinomial temos que as funcoes f(x) = x2 + 2x − 1,
g(x) = 3x8 − 1 e h(x) = 4x6 − x4 + x sao funcoes polinomiais de grau 2, 8 e 6, respectivamente.
Estaremos, em um primeiro instante, mais interessados nas funcoes polinomiais de primeiro e
segundo graus.
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Definicao 5 Uma funcao real f : R −→ R e dita exponencial de base b se ela for do tipo
f(x) = a bx,
com a 6= 0 e b ∈ {R+ − {1}}, ou seja, b > 0 e b 6= 1.
Como um primeiro exemplo de funcao exponencial, as funcoes f(x) = 2x, g(x) = 4
(1
3
)x
sao
funcoes exponenciais de base 2 e 13, respectivamente.
As funcoes log e as trigonometricas tambem serao alvo de nosso estudo mas serao definidas em
um momento mais oportuno.
1.3 Raiz de uma funcao real
O objetivo dessa secao e definir o que e a raiz de uma funcao real e suas aplicacoes.
Definicao 6 Seja f : R −→ R uma funcao real, um numero real xr e uma raiz de f se
f(xr) = 0.
Exemplo 3 Encontre uma raiz da funcao f(x) = x2 − 3x + 2.
Solucao: Sem saber, a priori, como encontrar uma raiz dessa equacao podemos observar que os
pontos 1 e 2 sao raızes dessa funcao, pois
f(1) = 12 − 3 · 1 + 2 = 0.
f(2) = 22 − 3 · 2 + 2 = 0.
ou seja, para encontrar as raızes de uma funcao basta iguala-la a 0.
11
1.3.1 Raiz de uma funcao polinomial de grau 1
De acordo com a Definicao 4 uma funcao polinomial de grau 1 pode ser escrito como
f(x) = ax + b, a 6= 0.
Dessa maneira. para encontrar uma raiz dessa funcao basta iguala-la a 0 ou seja, devemos encon-
trar o valor de x para o qual f(x) = 0. Logo:
f(x) = 0ax + b = 0
ax = −b
x = − b
a
Exemplo 4 Encontre a raiz da funcao real f(x) = 3x − 1.
Solucao: como vimos, para encontrar a raiz de uma funcao basta iguala-la a zero, dessa maneira:
3x − 1 = 03x = 1
x =1
3.
Se o leitor nao acredita que a raiz e realmente igual a 1/3 basta verificar:
f
(1
3
)= 3
1
3− 1 = 0.
1.3.2 Raiz de uma funcao polinomial de grau maior que 1
Comecaremos com a raiz de uma funcao polinomial de grau 2
De acordo com a Definicao 4 uma funcao polinomial de grau 2 pode ser escrita como
f(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0. (1.1)
12
Uma observacao importante e que uma funcao polinomial de grau 1 possui apenas 1 raiz. Entre-
tanto, uma funcao polinomial de grau 2 possui 2 raızes1.
De acordo com a Equacao (1.1), temos que:
ax2 + bx + c = 0
e, dessa maneira, as raızes sao dadas por:
x1 =−b +
√∆
2ae x2 =
−b −√
∆
2a(1.2)
onde,
∆ = b2 − 4ac. (1.3)
E importante ressaltar que a demonstracao da validade da Equacao (1.2) nao e o objetivo desse
texto mas, para o leitor curioso seria importante verificar esse fato substituindo as expressoes de
(1.2) na Equacao (1.1).
Exemplo 5 Encontre as raızes da funcao polinomial de grau 2 abaixo:
f(x) = x2 − 1
Solucao: Raiz de f :
Nesse caso, podemos observar que a = 1, b = 0 e c = −1. Logo, de acordo com (1.3) temos que:
∆ = 02 − 4 · 1 · (−1) = 4
e, pela Equacao (1.2) obtemos as raızes:
x1 =−0 +
√4
2 · 1 = 1 e x2 =−0 −
√2
2 · 1 = −1
1Veremos que essas raızes podem ser iguais ou ate mesmo nao serem numeros reais mas, matematicamente
falando, a funcao continua possuindo duas raızes.
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Questao 3 Encontre as raızes reais (se existirem) das funcoes polinomiais de grau 2 abaixo:
g(x) = 3x2 − 2x + 1 h(x) = x2 + 2x + 1
Questao 4 Mostre que se f e uma funcao polinomial de grau dois e x1 e x2 sao duas raızes de f
entao f(x) pode ser escrita como:
f(x) = a(x − x1)(x − x2).
1.4 Problemas
Problema 4 No problema 1 encontramos a funcao lucro, L(x), de x unidades vendidas. Nesse
caso, encontre o numero de unidades vendidas tal que o lucro e 0.
Problema 5 Jose compra uma geladeira que custa a vista R$ 900, 00 mas decide parcelar em 2
vezes de R$460, 00 sem entrada. Qual a taxa de juros mensal cobrada pela loja?
Problema 6 Mostre que uma funcao exponencial de base qualquer nao possui raiz.
Problema 7 Em um investimento, cuja taxa de juros e i que se aplica um capital C, e uma
funcao M que depende do tempo dada por:
M(t) = C(1 + i)t
observe que essa e uma funcao exponencial de base 1 + i. Dessa maneira, se i = 1% a.m e o
capital e igual a R$100, 00 qual sera o montante apos 15 meses e 6 dias de investimento?
1.5 Composicao de Funcoes
Definicao 7 Dadas duas funcoes reais f : R −→ R e g : R −→ R definimos a composicao de f
com g por:
f ◦ g(x) = f(g(x)).
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Como um primeiro exemplo, considere as funcoes f(x) = x2 e g(x) =1
x. Dessa maneira, obtemos:
f ◦ g(x) = f(g(x))
= (g(x))2
=
(1
x
)2
=1
x2
Questao 5 Encontre f ◦ g(x) e g ◦ f(x) seu domınio e sua imagem para as funcoes f e g abaixo:
(a) f(x) = x + 1 e g(x) = 2x;
(b) f(x) = x2 + 2x + 1 e g(x) = 1;
(c) f(x) = x2 + 3x + 1 e g(x) =1
x+ 1;
(d) f(x) = x3 e g(x) = x7.
O estudo de funcoes compostas, apesar da aparente facilidade com que encontramos as composta
de duas funcoes tem um papel importante no proximo topico que abordaremos.
1.6 Funcao Inversa
Definicao 8 Dadas duas funcoes reais f e g, dizemos que g e a inversa de f (notacao: g = f−1)
se para todo x ∈ Dom(f) temos que g ◦ f(x) = x.
Exemplo 6 Seja f : R −→ R uma funcao dada por:
f(x) = x + 1
Se definimos uma funcao g(x) = x − 1 podemos observar que:
g ◦ f(x) = g(f(x))
= f(x) − 1
= (x + 1) − 1
= x
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Logo, g(x) = f−1(x).
Verifique que f = g−1, ou seja, f ◦ g(x) = x.
Conforme mostramos acima, para encontrar a funcao inversa de f , basta fazer f(g(x)) = x. Se
for possıvel encontrar a funcao g, entao, g e a inversa da f (g = f−1).
Questao 6 Encontre, se possıvel, f−1 para as funcoes reais abaixo:
(a) f(x) =1
x + 1;
(b) f(x) =x2
x − 1(sugestao: use divisao de polinomios);
(c) f(x) =√
x;
(d) f(x) = x2 + x + 1;
(e) f(x) = x.
1.6.1 A funcao Logarıtmo - a inversa da Exponencial
De acordo com a Definicao 5, uma funcao exponencial de base b > 0 e 6= 1 e uma funcao do tipo2:
f(x) = bx. (1.4)
Logo, se existir uma funcao inversa para exponencial, ela deve satisfazer a
f(g(x)) = x (1.5)
e, pelas Equacoes (1.4) e (1.5) obtemos:
bg(x) = x.
A pergunta agora e: como definir essa funcao inversa da exponencial? A resposta para essa
pergunta se encontra nao demorara a aparecer.
2Faremos a = 1 por questoes de simplicidade.
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Definicao 9 Seja b > 0 e 6= 1. Definimos a funcao logarıtmo de base b como sendo uma funcao
cujo domınio e R+ dada por:
g(x) = logbx.
A funcao assim definida possui a seguinte propriedade:
• se logbx = y, entao x = by.
De acordo com a definicao acima, e importante verificar algumas consequencias dessa funcao.
logb1 = 0
pois, se logb1 = y pela propriedade definida acima 1 = by e, dessa maneira, y = 0. Alem disso,
obtemos
logbb = 1
pois, se logbb = y pela propriedade definida acima b = by e, dessa maneira, y = 1.
Problema 8 Verifique as seguintes afirmacoes abaixo:
(a) logbax = x logba
(b) logb(c · d) = logbc + logbd
Proposicao 1.1 A funcao logarıtma na base b (g(x) = logbx) e a inversa da funcao exponencial
de base b (f(x) = bx). Alem disso, o contrario tambem e verdadeiro, ou seja, g(x) = f−1(x) e
f(x) = g−1(x).
Prova: Primeiramente, vamos mostrar que g = f−1. Como foi visto, basta mostrar que f(g(x)) =
x. Logo, pelas definicoes de f e g obtemos:
f(g(x)) = blogbx
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e, se tomarmos o logarıtmo na base b de ambos os lados da igualdade acima obtemos:
logbf(g(x)) = logbblogbx
= (logbx) · logbb
= (logbx) · 1
= (logbx)
onde, a segunda igualdade segue do ıtem (a) do Problema 8 e a terceira igualdade segue do fato
que logbb = 1.
Ora, se
logbf(g(x)) = logbx
temos que f(g(x)) = x e, dessa maneira, g = f−1.
Agora, vamos mostrar que f = g−1. Como foi visto, basta mostrar que g(f(x)) = x. Logo, pelas
definicoes de f e g obtemos:
g(f(x)) = logbbx = x logbb = x
onde, a segunda igualdade segue do ıtem (a) do Problema 8 e a terceira igualdade segue do fato
que logbb = 1.
Existem algumas funcoes logarıtmas e exponenciais especiais. A primeira delas envolve um numero
bastante importante em matematica que e o numero de Euler e. Esse numero e e um numero
irracional e e, aproximadamente, e ≈ 2, 7182... e, por questoes de simplicidade denotaremos as
funcoes exponenciais e logarıtmas de base e simplesmente por:
f(x) = ex g(x) = ln(x) ≡ logex.
Convenciona-se tambem que para se escrever uma funcao logarıtma na base 10 a base nao precisa
ser escrita explicitamente, ou seja:
log x = log10x.
Problema 9 Suponha que a populacao de um determinado municıpio cresca de acordo com a
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funcao:
P (t) = 2k t
onde, P (t) e a quantidade de pessoas em t anos e k e um numero positivo qualquer. Sabe-se que,
em 12 anos, a populacao sera de 10.000 habitantes. Em quanto tempo a populacao sera de 20.000
habitantes?
Problema 10 Sabe-se que log2(ab2) = 3 e que log3(a2b) = 7. Encontre os valores de a e b.
Problema 11 Uma ferramenta importante quando trabalhamos com funcoes logarıtmas e a mu-
danca de base. Sejam a, b e c numeros reais positivos tais que b 6= 1 e c 6= 1. Entao,
logba =logca
logcb.
Use esse fato para encontrar log 7 sabendo que ln(7) = 1, 94 e ln(10) = 2, 30.
Problema 12 Em um investimento cuja taxa de juros e i = 1% a.m um capital C e investido. Em
quanto tempo o dinheiro investido dobra? Generalize esse fato mostrando que em um investimento
qualquer o dinheiro dobra no tempo:
t =log(2)
log(1 + i).
Podemos ir alem. Mostre que, se o capital aumenta em um tempo t uma proporcao α isto e,
passados t o montante e αC, entao o tempo necessario para isso acontecer e:
t =log(α)
log(1 + i)
Problema 13 Encontre o domınio e a raiz da funcao
f(x) = ln(x2 + x + 1).
19
Capıtulo 2
O Plano Cartesiano
Para identificar um ponto no plano (duas dimensoes) precisamos de uma origem e duas coorde-
nadas (por exemplo, ande para a direita e para frente). Dessa maneira, podemos chamar essas
duas coordenadas x (abscissa) e y (ordenada). O conjunto de dois numeros reais em uma determi-
nada ordem, forma um par ordenado1 (x, y). Assim, por exemplo, o ponto (2, 3) representa x = 2
e y = 3 (veja Figura 2.1.)
-1 -0.5 0.5 1Eixo x
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
Eixo y
Figura 2.1: O plano coordenado xy mostrando 3 pontos: (1, 0), (0.5, 1) e (−1,−2).
Maiores propriedades envolvendo esse plano serao vistas posteriormente pois agora, veremos
provavelmente a parte mais importante dessa disciplina: grafico de funcoes reais.
Definicao 10 Seja f : R −→ R uma funcao real. Defini-se o grafico de f como sendo o conjunto
1Essa plano e muitas vezes chamado de R2 por ser o produto cartesiano R × R
20
de pontos do plano xy tais que y = f(x). Mais especificamente:
Grafico de f = {(x, y) | y = f(x)}.
2.1 Grafico de uma funcao polinomial de grau 1
Como vimos na Definicao 4, uma funcao polinomial de grau 1 e uma funcao do tipo f(x) = ax+b.
Logo, seu grafico e o conjunto dado por
Grafico de f = {(x, y) | y = f(x)}.
ou seja, para cada x associamos y = f(x) = ax + b e, dessa maneira, o grafico de f e o conjunto
de pontos (x, ax + b) representados no plano xy.
Observacao: Em muitos livros e nos slides da FGV a funcao e muitas vezes escrita como y =
mx + b (troca-se o a por m) e, dessa maneira, adotaremos essa notacao.
Exemplo 7 Faca o grafico da funcao f(x) = 3x + 1.
Solucao: Observe que, nesse caso, m = 3 e b = 1. Tabelaremos o valor de y = f(x) para alguns
valores de x
x y=ax+b-1 3(-1)+1=-20 3(0)+1=11 3(1)+1=4
Os pontos encontrados acima, sao pontos do grafico de f e podem ser representados no plano
cartesiano (veja Figura 2.2)
Usando de muita boa vontade e paciencia, podemos representar uma quantidade grande de pontos
do grafico dessa funcao como, por exemplo, representa a Figura 2.3. Essa figura indica que o grafico
dessa funcao e uma reta, o que de fato e verdade para qualquer funcao polinomial de primeiro
grau. Dessa maneira, o grafico dessa funcao e representado na Figura 2.4.
21
-1 -0.5 0.5 1Eixo x
-2
-1
1
2
3
4
Eixo y
Figura 2.2: Mostra os pontos (−1,−2), (0, 1) e (1, 4) do grafico de y = 3x + 1.
-1 -0.5 0.5 1Eixo x
-2
-1
1
2
3
4
Eixo y
Figura 2.3: Mostra varios pontos do grafico de y = 3x + 1.
Como vimos no exemplo anterior, o grafico de uma funcao polinomial de primeiro grau e uma
reta. Dessa maneira, como por dois pontos passa uma unica reta, para representar o grafico dessa
funcao precisaremos apenas de encontrar 2 pontos desse grafico.
Exemplo 8 Faca o grafico de y = −x + 2.
Solucao: Como precisamos encontrar apenas dois pontos, existem dois, em particular, que sao
de suma importancia: a raiz da equacao (que, graficamente, e o ponto em que o grafico corta o
eixo x) e o valor de y para o qual x = 0 (que, graficamente, e o ponto em que o grafico corta o
eixo y).
22
-3 -2 -1 1 2 3Eixo x
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
Eixo y
Figura 2.4: Grafico de y = 3x + 1.
Encontramos a raiz fazendo y = 0. Logo:
−x + 2 = 0 =⇒ −x = −2 =⇒ x = 2.
e, dessa maneira, o ponto (−2, 0) e um ponto do grafico.
Agora, fazendo x = 0 obtemos
−0 + 2 = y =⇒ y = 2
e, dessa maneira, o ponto (0, 2) e um ponto do grafico.
Portanto, obtemos o grafico, ligando esses dois pontos (veja Figura 2.5).
-3 -2 -1 1 2 3Eixo x
-1
1
2
3
4
5
Eixo y
Figura 2.5: Grafico de y = −x + 2.
Problema 14 Faca o grafico das funcoes abaixo:
23
(a) y = 5x −√
3;
(b) y = x −√
3;
(c) y = x;
(d) y = 10x − 1;
(e) y = x − 4.
2.1.1 A equacao da reta
Como vimos, toda funcao do tipo y = mx + b tem o grafico representado por uma reta e, fizemos
isso, encontrando dois pontos que pertenciam ao grafico da funcao e tracamos uma reta passando
por eles. Agora faremos o contrario, ou seja, dados dois pontos e uma reta que passa por eles,
encontraremos qual a funcao cujo o grafico e essa reta. Essa funcao sera denominada equacao da
reta que passa por esses pontos. Comecaremos com um exemplo simples.
Exemplo 9 Encontre a equacao da reta que passa pelos pontos A = (1, 3) e B = (0,−1).
Solucao: Devemos encontrar uma equacao do tipo y = mx + b, cujo o grafico e uma reta, que
passa por esses pontos. Dessa maneira, se o ponto A pertence a essa reta, ele deve satisfazer a
equacao da mesma, ou seja:
3 = m · 1 + b =⇒ m + b = 3 (2.1)
onde, substituimos na equacao y = mx + b os valores de x e y referentes ao ponto A, ou seja,
x = 1 e y = 3.
Agora, como B = (0,−1) tambem e um ponto da reta temos
−1 = m · 0 + b =⇒ b = −1 (2.2)
logo, pelas Equacoes (2.1) e (2.2) obtemos:
m − 1 = 3 =⇒ m = 4
24
e, dessa maneira, a equacao da reta que passa pelos pontos A e B e dada por:
y = 4x − 1.
A Figura 2.6 ilustra esse fato.
-3 -2 -1 1 2 3Eixo x
-10
-5
5
10
Eixo y
Figura 2.6: Grafico de y = 4x − 1.
Problema 15 Encontre a equacao da reta que passa pelos pontos:
(a) A = (0, 1) e B = (6, 6);
(b) A = (3, 1) e B = (√
2,−3);
(c) A = (0, 0) e B = (1, 1);
(d) A = (0, 1) e B = (−1, 1);
(e) A = (1, 0) e B = (1, 4).
e faca seu grafico.
Observacao: Na equacao y = mx + b, os valores de m e b sao chamados, respectivamente,
de coeficiente angular e coeficiente linear. Esse fato sera compreendido posteriormente quando
tratarmos de funcoes trigonometricas.
25
2.2 Grafico de uma funcao polinomial de grau 2
Pela Definicao 4, uma funcao polinomial de grau 2 e uma funcao do tipo f(x) = ax2 + bx + c. O
objetivo dessa secao e construir o grafico de funcoes desse tipo. Comecaremos com um exemplo.
Exemplo 10 Faca o grafico da funcao f(x) = x2 − 1.
Solucao: Tabelaremos o valor de y = f(x) para alguns valores de x
x y = ax2 + bx + c−1 (−1)2 − 1 = 00 02 − 1 = −11 12 − 1 = 0
Os pontos encontrados acima, sao pontos do grafico de f e podem ser representados no plano
cartesiano (veja Figura 2.7).
-1 -0.5 0.5 1Eixo x
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
Eixo y
Figura 2.7: Pontos da tabela acima.
Com boa vontade e um belo programa de computador, podemos representar varios pontos do
grafico dessa funcao (veja Figura 2.8) e, dessa maneira, podemos visualizar esse grafico como
sendo uma parabola.
26
-3 -2 -1 1 2 3Eixo x
2
4
6
8
Eixo y
-3 -2 -1 1 2 3Eixo x
2
4
6
8
Eixo y
Figura 2.8: Pontos do grafico da funcao y = f(x) = x2 − 1 e grafico da funcao y = x2 − 1.
Na verdade, toda funcao polinomial de grau 2 tem um grafico que e uma parabola. Forneceremos,
agora, um metodo simples para plotar esse grafico.
Como o grafico e uma parabola precisaremos dos seguintes pontos: as raızes da equacao, o ponto
em que o grafico toca o eixo y (faz-se x = 0 e acha o valor de y) e o ponto de mınimo ou maximo
da funcao que, entenderemos o motivo em Matematica II, que e dado por:(− b
2a,−∆
4a
).
Exemplo 11 Faca o grafico de y = f(x) = −x2 + 1.
Solucao: Primeiramente encontraremos as raızes (veja Secao 1.3). Dessa maneira, fazendo y = 0:
−x2 + 1 = 0.
Observe que, nesse caso: a = −1, b = 0 e c = 1. Logo:
∆ = b2 − 4ac = 4
27
e as raızes sao:
x1 =−b +
√∆
2a= −1 x2 =
−b −√
∆
2a= 1
e, dessa maneira, os pontos serao (−1, 0) e (1, 0) (observe que, por definicao, a raiz de uma equacao
e o valor de x para o qual y = 0).
O outro ponto que precisaremos, como foi mencionado, e o valor de y para o qual x = 0. Logo:
y = −02 + 1 = 1
e, dessa maneira, o terceiro ponto que precisaremos e (0, 1)
Finalmente, o ultimo ponto necessario para fazer o grafico dessa funcao e:
(− b
2a,−∆
4a
)=
(− 0
2(−1),− 4
4(−1)
)= (0, 1).
Representando esses pontos no plano cartesiano, obtemos a Figura 2.9. Ligando esses pontos de
-1 -0.5 0.5 1Eixo x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Eixo y
Figura 2.9: Pontos do grafico da funcao y = f(x) = −x2 + 1.
tal maneira que forme uma parabola, obtemos uma parabola cuja concavidade e voltada para
baixo (veja Figura 2.10).
Para fazer o grafico de uma funcao polinomial de grau 2, y = ax2 + bx + c basta seguir o que foi
feito no exemplo anterior observando que, se a > 0 a concavidade e voltada para cima e, se a < 0
a concavidade e voltada para baixo.
28
-3 -2 -1 1 2 3Eixo x
-8
-6
-4
-2
Eixo y
Figura 2.10: Grafico da funcao y = f(x) = −x2 + 1.
Problema 16 Faca o grafico das funcoes polinomiais do segundo grau abaixo:
(a) y = x2 + x − 1;
(b) y = −3x2 + x − 1;
(c) y = −x2 + 4x − 1;
(d) y = x2 + x + 1;
(e) y = −x2 − x − 1.
2.3 Grafico de outros tipos de funcao
O grafico da funcao logbx tem sempre o mesmo formato independente da base b. Primeiramente,
observe que se x = 1 temos que logb1 = 0 pois, pela definicao de logarıtmo, b0 = 1. Isso implica
que 1 e raiz da funcao logbx (geometricamente, a raiz e o ponto em que o grafico da funcao corta
o eixo x).
Agora, vamos ver como essa funcao se comporta se x < 1. Dessa maneira, pela definicao de
logarıtmo:
logbx = y =⇒ x = by
29
e, dessa forma, se x < 1 necessariamente, y < 0 o que implica que logbx < 0. Da mesma forma,
se x > 1 observamos que logbx > 0. A figura 2.11 mostra o calculo de log(x) para varios valores
de x.
2 4 6 8 10
-2
-1
1
2
Figura 2.11: Figura mostrando alguns pontos do grafico da funcao f(x) = ln(x).
Logo, o grafico de uma funcao logarıtma de base b e sempre dado por:
2 4 6 8 10
-2
-1
1
2
Figura 2.12: Figura mostrando o grafico da funcao f(x) = ln(x).
Problema 17 Verifique que os graficos das funcoes f(x) = 3x, g(x) = 2−x, h(x) = x3, k(x) = x4
sao dados, respectivamente, por
30
-2 -1 1 2
2
4
6
8
-2 -1 1 2
1
2
3
4
-2 -1 1 2
-0.15
-0.1
-0.05
0.05
0.1
0.15
-2 -1 1 2
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2.4 Problemas
Problema 18 Sabe-se que uma industria produz, no maximo, 100 unidades de um certo produto.
Seja x a quantidade de produto produzida e C(x) o custo de producao de x produtos, sabe-se que o
custo de 10 unidades de produto e 700 reais e que o custo de 90 e 850 reais. Sabendo que o custo
depende linearmente da quantidade de produto produzida (o grafico de C(x) e uma reta), encontre
a funcao C(x) e faca seu grafico.
Problema 19 Um certo investimento, cuja taxa de juros e i, tem o montante dado por:
M(t) = C log2(1 + i)t
Se i = 1% e o capital investido e C = 100, faca o grafico da funcao montante.
Problema 20 Um investimento submetido a uma taxa de juros simples tem um montante, M(t)
dado por:
M(t) = C + Cit.
31
e, submetido a uma taxa de juros compostos e dado por:
M(t) = C(1 + i)t.
Se C e i sao constante (o que acontece na pratica, pois em todo investimento o capital e a taxa
de juros sao pre determinadas), esboce em um mesmo plano cartesiano a funcoes montante para
o juros simples e compostos.
Sugestao: observe que o montante e uma funcao do tempo (M=M(t)).
Problema 21 Uma funcao polinomial do segundo grau, possui um valor maximo de 10 e duas
raızes iguais a −1 e 2, respectivamente. Qual e essa funcao?
Problema 22 Uma fabrica de tenis produz uma quantidade x de produto a um custo C(x) = 30x.
Uma loja de calcados compra x unidades de produtos a R$40, 00 cada e revende a R$80, 00 cada.
Encontre a funcao lucro da loja e faca seu grafico.
Problema 23 O lucro de uma determinada empresa depende de sua quantidade de funcionarios,
x. Sabendo-se que o lucro e dado por:
L(x) = −x2 + 150x.
Se a empresa possui 100 funcionarios, quantos funcionarios deverao ser demitidos para que seu
lucro seja maximo? Qual o lucro nessa situacao?
2.5 Estudo do sinal de uma funcao
Seja f : R −→ R uma funcao real, estudar o sinal dessa funcao e encontrar para quais valores de
x, f(x) > 0, f(x) < 0 e f(x) = 0.
2.5.1 Estudo do sinal de uma funcao polinomial de grau 1
Como vimos, uma funcao polinomial de grau 1 e uma funcao do tipo y = f(x) = mx + b. Dessa
maneira, para fazermos o estudo do sinal dessa funcao devemos, simplesmente, encontrar os valores
32
de x para os quais y = f(x) > 0, y = f(x) < 0 e y = f(x) = 0. Logo, os valores de x para os
quais y e maior que 0 e dado por:
mx + b > 0 ⇒ mx > −b ⇒ x > − b
m.
Usando o mesmo raciocınio podemos encontrar os valores de x para os quais y < 0 e y = 0 e sao
dados, respectivamente por:
x < − b
me x = − b
m.
Exemplo 12 Estude o sinal das funcoes f(x) = 3x + 1 e g(x) = −x + 1.
Solucao: Graficamente, podemos estudar o sinal das funcoes f e g. A Figura 2.13 mostra que
f(x) > 0 se x > −13
e e menor ou igual a 0 se x ≤ −13.
-3 -2 -1 1 2 3Eixo x
-7.5
-5
-2.5
2.5
5
7.5
10
Eixo y
Figura 2.13: Grafico da funcao f(x) = 3x + 1. Observe que, em vermelho, mostra os valores de xpara os quais f e negativa e, em preto, os valores de x para os quais a funcao e positiva.
Ja a Figura 2.14 mostra que g(x) > 0 se x < 1 e e menor ou igual a 0 se x ≥ 1.
Observe que, na pratica, para estudar o sinal de uma funcao polinomial de primeiro grau, basta
encontrar a raiz e saber o sinal do coeficiente angular m. Se o sinal de m for positivo, a funcao sera
positiva para todos os valores maiores que a raiz e, negativa, caso contrario. Se m for negativo, a
funcao sera positiva para todos os valores menores que a raiz e, negativa, caso contrario.
33
-3 -2 -1 1 2 3Eixo x
-2
-1
1
2
3
4
Eixo y
Figura 2.14: Grafico da funcao f(x) = −x + 1. Observe que, em vermelho, mostra os valores dex para os quais f e negativa e, em preto, os valores de x para os quais a funcao e positiva.
m<0
-
+ m>0 +
-
(a) (b)
Figura 2.15: Esboco do estudo de sinal da funcao y = mx + b.
2.5.2 Estudo de sinal de uma funcao polinomial de grau 2
Para estudar o sinal de uma funcao polinomial de grau 2 utilizaremos quatro exemplos. Posteri-
ormente, mostraremos um jeito facil de resolver esse problema.
Primeiramente, considere a funcao f(x) = x2 − 1. E um exercıcio usual verifcar que 1 e −1 sao
raızes dessa equacao e que seu grafico e representado na Figura 2.16.
Dessa maneira, podemos observar que a funcao f assim definida e menor do que zero2 (f(x) < 0)
se −1 < x < 1 (ou se preferir x ∈ (−1, 1) e ainda podemos identificar por x ∈] − 1, 1[). Alem
2Parte vermelha do grafico.
34
-4 -2 2 4Eixo x
2.5
5
7.5
10
12.5
15
Eixo y
Figura 2.16: Grafico de y = x2 − 1. Observe que a parte em vermelho mostra os pontos do graficoem que y ≤ 0.
disso, a funcao f e maior do que zero3 (f(x) > 0) se x < −1 ou x > 1, em notacao de intervalos
abertos, esse resultado se escreve como x ∈ (−∞,−1) ∪ (1, +∞).
Agora, vamos considerar a funcao f(x) = −x2 + 1 cujas raızes sao 1 e −1 mas cujo grafico e
representado na Figura 2.17.
-4 -2 2 4Eixo x
-15
-12.5
-10
-7.5
-5
-2.5
Eixo y
Figura 2.17: Grafico de y = −x2 + 1. Observe que a parte em vermelho mostra os pontos dografico em que y ≥ 0.
Dessa maneira, podemos observar que a funcao f assim definida e menor do que zero4 (f(x) < 0)
se x < −1 ou x > 1, em notacao de intervalos abertos, esse resultado se escreve como x ∈(−∞,−1) ∪ (1, +∞). Alem disso, a funcao f e maior do que zero5 (f(x) > 0) se −1 < x < 1 (ou
3Parte preta do grafico4Parte vermelha do grafico.5Parte preta do grafico
35
se preferir x ∈ (−1, 1) e ainda podemos identificar por x ∈] − 1, 1[).
O leitor atento deve ter percebido que, para estudar uma funcao polinomial de grau 2 so precisamos
saber suas raızes e sua concavidade. Se a concavidade e voltada para cima, como e o caso da
primeira funcao, esta sera negativa no intervalo entre suas raızes e positiva caso contrario.
Agora, se a concavidade e voltada para baixo, como e o caso da segunda funcao, esta sera positiva
no intervalo entre suas raızes e negativa caso contrario (veja Figura 2.18).
-
+ +
a>0
+
- -
a<0
(a) (b)
Figura 2.18: Estudo de sinal de uma funcao polinomial de grau 2 (y = ax2 + bx + c) que possui 2raızes reais. Na letra (a) temos a > 0 que resulta em concavidade voltada para cima; na letra (b)temos a < 0 que resulta em concavidade voltada para baixo.
Se uma funcao polinomial nao possui raiz real entao o grafico de f nao toca o eixo x. Dessa
maneira, ou ela e toda positiva (a > 0) ou ela e toda negativa (a < 0) conforme ilustra a Figura
2.19.
2.5.3 Estudo de sinal de outros tipos de funcao
Para o caso de outros tipos de funcao, cada caso e um caso. Por exemplo, para a funcao f(x) =
x3 − 1, os valores de x para o qual ela e igual a 0 e claramente, x = 3√
1 = 1 e ela e maior que zero
se x > 1 e menor que zero se x < 1, conforme ilustra a Figura 2.20.
Dessa maneira, nao tem como generalizar as ideias de estudo de sinal de outros tipos de funcoes,
como foi feito para as polinomiais de primeiro e segundo graus.
36
++ +
a>0
-- -
a<0
(a) (b)
Figura 2.19: Estudo de sinal de uma funcao polinomial de grau 2 (y = ax2 + bx + c) que naopossui raızes reais. Na letra (a) temos a > 0 que resulta em concavidade voltada para cima; naletra (b) temos a < 0 que resulta em concavidade voltada para baixo.
-4 -2 2 4 6Eixo x
-4
-2
2
4
Eixo y
Figura 2.20: Grafico da funcao f(x) = x3 − 1.
2.6 Problemas
Problema 24 Estude o sinal das seguintes funcoes:
(a) f(x) = x2 + x + 1;
(b) f(x) = −x2 + x − 1;
(c) f(x) = x2 + 10x;
(d) f(x) = −x2 + 7x;
37
(e) f(x) = x + 1;
(f) f(x) = −x + 2.
Problema 25 O custo de producao de x unidades de um determinado produto e dado por C(x) =
x e o lucro e dado por L(x) = x2 +1. Encontre o preco de venda de x unidades de produto (V (x)).
Para quantas unidades vendidas o lucro e maior ou igual a R$100, 00?
Problema 26 Jose possui p reais. Sabe-se que Maria possui o dobro de Jose mais 1 real e Manoel
possui o quadrado do que Maria tem menos 1 real. Os tres juntos decidem comprar uma bicicleta
no valor de R$570, 00. Qual o valor que Jose deve ter para que eles possam comprar a bicicleta?
Problema 27 O montante de um certo investimento e uma funcao que cresce exponencialmente
com o tempo e e dada por:
M(t) = Cet3+1
onde, C e o capital investido anteriormente e t e o tempo em meses. Em quanto tempo o capital
quadruplica? Se C = 1000, para quais valores de t o montante e menor ou igual a R$1.000.000, 00?
Problema 28 Resolva as inequacoes abaixo:
(a)x2 − 1
x − 2≥ 0;
(b)x2 + x + 1
x2 − 1≥ 2;
(c)x2 − 1
x − 2≤ 0;
(d)ln(x)
x2 − 4< 0;
(e)ln(x)
x2 − 4> 0;
(f) e−x2+x+5 > 10.
38
2.7 A funcao modular
Definicao 11 Uma funcao modular (ou simplesmente modulo) e uma funcao real f : R −→ R
definida por:
f(x) = |x| ≡{
x se x ≥ 0−x se x < 0
Observe que a funcao definida acima possui apenas imagem positiva. Por exemplo, f(1) = |1| = 1
pois, como x = 1 e positivo, a funcao retorna o proprio valor de x. Entretanto, observe que
f(−1) = | − 1| = −(−1) = 1 pois, como x = −1 e um numero negativo, a funcao retorna o valor
de −x, ou seja ela transforma o numero negativo em positivo6.
Agora, podemos nos perguntar como faremos o grafico de uma funcao desse tipo. A resposta e
muito simples: consideraremos a funcao definida acima f(x) = |x|. Como o modulo | · | transforma
o que esta em seu interior no numero positivo correspondente, basta fazer o grafico de y = x e
refletir a imagem negativa para a parte positiva (conforme ilustra a Figura 2.21). De acordo com
o que foi feito, podemos fazer o grafico de varias funcoes modulares.
Exemplo 13 Faca o grafico da funcao f(x) = |x2 − 1|.
Solucao: Como foi feito anteriormente, basta fazer o grafico de y = x2 − 1 e refletir a imagem
negativa para a parte positiva (veja Figura 2.22).
2.7.1 Inequacoes envolvendo funcoes modulares
Quando tratamos de inequacoes envolvendo funcoes modulares, devemos tomar o cuidado de
aplicar a definicao de modulo (Definicao 11). Vamos tratar desse assunto com um exemplo simples.
Exemplo 14 Encontre os valores de x para os quais |x2 − 1| >1
2.
6A funcao modular, ou simplesmente modulo, tambem e chamada de valor absoluto.
39
-2 -1 1 2Eixo x
-2
-1
1
2
Eixo y
-2 -1 1 2Eixo x
0.5
1
1.5
2
Eixo y
(a) (b)
-2 -1 1 2Eixo x
-2
-1
1
2
Eixo y
(c)
Figura 2.21: (a) Grafico da funcao y = x; (b) Grafico da funcao |x|; (c) Os graficos de (a) e (b)juntos: observe que o grafico de (b) e igual ao grafico de (a) para y positivo e e o simetrico comrelacao ao eixo x para imagem negativa (y < 0).
Solucao: Como disse, devemos ter cuidado com a Definicao 11 pois
|x2 − 1| =
{x2 − 1 se x2 − 1 ≥ 0
−(x2 − 1) se x2 − 1 < 0(2.3)
e, dessa maneira, existem duas possibilidades para |x2 − 1|. Vamos tratar cada possibilidade
separadamente.
1o caso: x2 − 1 ≥ 0
Nesse caso, de acordo com a Equacao (2.3) temos:
|x2 − 1| = x2 − 1
e, dessa maneira, temos que resolver a inequacao:
x2 − 1 >1
2⇒ x2 − 3
2> 0
40
-2 -1 1 2Eixo x
-1
1
2
3
Eixo y
-2 -1 1 2Eixo x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Eixo y
(a) (b)
-2 -1 1 2Eixo x
-1
1
2
3
Eixo y
(c)
Figura 2.22: (a) Grafico da funcao y = x2−1; (b) Grafico da funcao |x2−1|; (c) Os graficos de (a)e (b) juntos: observe que o grafico de (b) e igual ao grafico de (a) para y positivo e e o simetricocom relacao ao eixo x para imagem negativa (y negativo).
que possui raızes√
32
e −√
32
(verifique) e, como a concavidade e voltada para cima, obtemos o
seu estudo de sinal como sendo o representado na Figura 2.23.
Logo, os valores de x que nos interessa sao S1 = {x | x < −√
32
ou x >√
32}.
Agora, nao podemos nos esquecer da primeira hipotese, ou seja, x2 − 1 ≥ 0. Como as raızes
dessa equacao sao +1 e −1 obtemos seu estudo de sinal dado pela Figura 2.24. Observe que os
valores de x que estamos interessados sao os valores de x para o qual x2 − 1 ≥ 0 e, dessa maneira,
S2 = {x | x < −1 ou x > 1}.
Portanto, a solucao desse primeiro caso e dada por S1 ∩ S2 ou seja
{x | x < −√
3
2ou x >
√3
2}.
41
++
-$ %%%%%%3����
2$ %%%%%%
3����
2-
Figura 2.23: Estudo de sinal de x2 − 32.
++
-1 1
-
Figura 2.24: Estudo de sinal de x2 − 1.
2o caso: x2 − 1 < 0
Nesse caso, de acordo com a Equacao (2.3) temos:
|x2 − 1| = −(x2 − 1) = −x2 + 1
e, dessa maneira, temos que resolver a inequacao:
−x2 + 1 >1
2⇒ −x2 +
1
2> 0
que possui raızes 1√2
e 1√2
(verifique) e, como a concavidade e voltada para baixo, temos que os
valores que nos interessam sao os valores de x no conjunto S3 = {x | − 1√2
< x < 1√2}.
Agora, nao podemos nos esquecer da segunda hipotese, ou seja, x2 − 1 < 0. Como as raızes
dessa equacao sao +1 e −1 obtemos seu estudo de sinal dado pela Figura 2.24. Observe que os
42
valores de x que estamos interessados sao os valores de x para o qual x2 − 1 < 0 e, dessa maneira,
S4 = {x | − 1 < x < 1}.
Portanto, a solucao do segundo caso e dada por S3 ∩ S4 ou seja
{x | − 1√2
< x <1√2}.
Agora, fazendo a uniao do primeiro e do segundo casos, obtemos que os possıveis valores de x
para os quais |x2 − 1| > 12
sao dados por:
{x | − 1√2
< x <1√2
ou x < −√
3
2ou x >
√3
2}
Observacao: E importante observar que resolvi o exemplo acima sem fazer uma analise grafica
que faco em sala de aula. A abordagem em sala torna a solucao dessa inequacao bem mais facil.
Faca tudo que foi feito anteriormente de uma maneira mais grafica e menos teorica.
2.8 Problemas
Problema 29 Faca o grafico das funcoes abaixo:
(a) f(x) = |4x2 + 4x + 1|
(b) f(x) = |ln(x)|
(c) f(x) = |x3|
(d) f(x) = e|x|
(e) f(x) = | − x2 + 4x + 1|
Problema 30 O custo de producao de um certo produto e dado por C(x) = |2x + 400|. Para
quantas unidades vendidas teremos C(x) ≥ 500?
43
2.9 Distancia entre dois pontos e ponto medio de um seg-
mento
O objetivo dessa secao, apesar de nao estar relacionada com funcoes, e abordar algumas carac-
terısticas do plano cartesiano. Falaremos de assuntos relativamente simples como distancia entre
dois pontos e ponto medio de um segmento.
Sejam A = (x1, y1) e B = (x2, y2) vamos encontrar a distancia entre A e B. Para tanto, considere
a Figura 2.25. Observe que o triangulo ABC e retangulo, cujos catetos medem x2 − x1 e y2 − y1.
Dessa maneira, pelo Teorema de Pitagoras obtemos:
[dist(A, B)]2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)
2
logo:
dist(A, B) =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 (2.4)
Figura 2.25: Figura ilustrando a distancia entre os pontos A e B no plano cartesiano.
Exemplo 15 Encontre a distancia entre os pontos A = (1,−3) e B = (−4, 5).
Solucao: Pela Equacao (2.4):
dist(A, B) =√
(−4 − 1)2 + (5 − (−3))2 =√
(−5)2 + (8)2 =√
89.
44
Problema 31 Qual dos pontos abaixo e mais proximo do ponto (1,−5)? (Use distancia entre
pontos para resolver esse exercıcio).
A = (1, 78), B = (−3,−45), C = (1, 45).
2.9.1 Ponto medio de um segmento
Definicao 12 Dados dois pontos A e B, o ponto medio do segmento AB e definido como sendo
um ponto M tal que
dist(A, M) = dist(M, B)
e, alem disso, M e um ponto do segmento AB.
Agora, vamos ver como encontramos o ponto medio de um segmento AB qualquer. Dessa maneira,
sejam A = (x1, y1) e B = (x2, y2). Pela definicao acima, o ponto medio do segmento AB e o ponto
que divide este segmento em dois pedacos iguais (veja Figura 2.26).
Figura 2.26: Ponto medio do segmento AB.
Mostraremos que as coordenadas do ponto medio do segmento AB possui coordenadas xm = x1+x2
2
e ym = y1+y2
2ou seja, a abscissa do ponto medio e a media aritmetica entre as abscissas de A e B
e a ordenada do ponto medio e a media aritmetica das ordenadas de A e B.
45
Proposicao 2.1 Sejam A = (x1, y1) e B = (x2, y2) dois pontos quaisquer do plano xy. Entao, o
ponto medio do segmento AB possui coordenadas:
(x1 + x2
2,y1 + y2
2
)
Prova: Denotaremos por (xm, ym) as coordenadas do ponto medio do segmento AB. Como, por
definicao temos que dist(A, M) = dist(M, B), pela Equacao (2.4):
√(xm − x1)2 + (ym − y1)2 =
√(x2 − xm)2 + (y2 − ym)2
e, elevando ambos os lados da igualdade acima ao quadrado obtemos:
(xm − x1)2 + (ym − y1)
2 = (x2 − xm)2 + (y2 − ym)2
logo, desenvolvendo:
x2m − 2x1xm + x2
1 + y2m − 2y1ym + y2
1 = x2m − 2x2xm + x2
2 + y2m − 2y2ym + y2
2
−2x1xm + x21 − 2y1ym + y2
1 = −2x2xm + x22 − 2y2ym + y2
2 (2.5)
ora, como (xm, ym) e um ponto que pertence a reta que passa pelos pontos A e B temos que:
ym − y1
xm − x1
=y2 − y1
x2 − x1
. (2.6)
Com um pouco de trabalho, isolando ym na Equacao (2.6) e substituindo na Equacao (2.5) en-
contramos
xm =x1 + x2
2
e, dessa maneira, substituindo esse resultado na Equacao (2.6) encontramos
ym =y1 + y2
2.
Problema 32 Encontre as coordenadas do ponto medio do segmento AB onde A = (3, 5) e
B = (1, 7).
46
Solucao: Pela Proposicao 2.1 obtemos que
M =
(3 + 1
2,5 + 7
2
)= (2, 6).
Problema 33 Encontre a distancia do ponto medio do segmento que liga os pontos A = (5, 7) e
B = (3,−1) a origem (0, 0).
Problema 34 (Desafio) O baricentro de um triangulo ABC e, por definicao, o ponto de encon-
tro de suas medianas. Se A = (xa, ya), B = (xb, yb) e C = (xc, yc) mostre que a coordenada do
baricentro do triangulo ABC e dada por:
(xa + xb + xc
3,ya + yb + yc
3
)
Problema 35 Use o problema anterior para encontrar a coordenada do baricentro do triangulo
ABC, onde A = (1, 1), B = (1, 4) e C = (5, 4). Esse triangulo e retangulo?
47
Capıtulo 3
Funcoes Trigonometricas
O objetivo desse capıtulo e fazer uma breve revisao em funcoes trigonometricas.
Considere a circunferencia de raio 1 centrada na origem (0, 0) mostrada na Figura 3.1.
Figura 3.1: Circunferencia de raio 1 centrada na origem. Um angulo x e mostrado. Ele e oresultado da rotacao no sentido anti-horario do raio da circunferencia a partir do sentido positivode x. Essa figura e usualmente chamada de cırculo trigonometrico.
De acordo com a Figura 3.1, o cosseno de x (notacao: cos(x)) e definido como sendo a projecao
48
ortogonal do raio da circunferencia girado de um angulo x na direcao do eixo x e, de maneira
analoga, o seno de x (notacao: sen(x)) e definido como sendo a projecao ortogonal do raio da
circunferencia girado de um angulo x na direcao do eixo y. Logo, redesenhando o triangulo
mostrado na Figura 3.1 encontraremos a primeira relacao cos(x) e sen(x) (veja Figura 3.2):
cos2(x) + sen2(x) = 1. (3.1)
Figura 3.2: Triangulo retangulo que tem como hipotenusa o raio da circunferencia (1) e catetoscomo cos(x) e sen(x). Dessa maneira, pelo teorema de Pitagoras, obtemos o resultado da Equacao(3.1).
Outra observacao importante e que tanto o cosseno como o seno nunca ultrapassam 1, isto e,
cos(x) ≤ 1 e sen(x) ≤ 1.
Vamos analisar o cırculo trigonometrico de uma maneira mais numerica. Refazendo o grafico
mostrado na Figura 3.1 (colocando angulos) obtemos a Figura 3.3 e os seguintes resultados de
facil observacao:
Angulo x cos(x) sen(x)0o 1 090o 0 1180o -1 0270o 0 -1360o 1 0
49
Figura 3.3: Angulos no cırculo trigonometrico.
Existem outros angulos cujos valores de seno e cosseno sao importantes, sao eles:
Angulo x cos(x) sen(x)
30o 1
2
√3
2
45o
√2
2
√2
2
60o
√3
2
1
2
E facil observar no cırculo trigonometrico que cos(x + 90o) = −cos(x) e sen(x + 90o) = sen(x)
(VERIFIQUE). Dessa maneira, por exemplo, cos(120o) = cos(30o + 90o) = −cos(30o) = −√
3
2,
e sen(120o) = sen(30o + 90o) = sen(30o) =1
2. Na verdade existe uma relacao entre o seno e o
cosseno da soma de dois angulos quaisquer:
sen(a + b) = sen(a)cos(b) + sen(b)cos(a) (3.2)
cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sen(a)sen(b) (3.3)
50
Exemplo 16 Encontre o cos(75o) e sen(75o).
Solucao: Observe que 75o = 45o + 30o. Logo:
sen(75o) = sen(45o + 30o)
= sen(45o)cos(30o) + sen(30o)cos(45o)
=
√2
2·√
3
2+
1
2·√
2
2
=
√6 +
√2
4
onde, a segunda igualdade segue da Equacao (3.2).
Agora, vamos ao calculo de cos(75o). Pela Equacao (3.3):
cos(75o) = cos(45o + 30o)
= cos(45o)cos(30o) − sen(45o)sen(45o)
=
√2
2·√
3
2−
√2
2· 1
2
=
√6 −
√2
4.
3.1 O surgimento de π
Se pegamos uma circunferencia de qualquer diametro, D, e calculamos seu comprimento C o
quociente entre C e D sera sempre constante. Esse resultado intrigou filosofos e cientistas durante
centenas de anos e, ate hoje intriga boa parte das pessoas interessadas no assunto. A primeira
aproximacao dessa constante foi feita pelos gregos e eles acharam, atraves de experimentos, que
a razao entre C e D seria de aproximadamente 3. Atualmente, sabe-se que essa constante na
verdade e um numero conhecido por praticamente todas as pessoas alfabetizadas e e o numero π.
Nao tem muito tempo que foi provado que π e um numero irracional e seu valor aproximado1 e
1Algumas pessoas que nao tem mais o que fazer ja calcularam o valor de π com ate 4 bilhoes de casas decimais.
O leitor tem que concordar que isso e completamente inutil.
51
de 3, 141592. Logo, resumindo tudo que foi dito:
C
D= π.
Logo, como o diametro de uma circunferencia e o dobro do raio r temos que o comprimento de
uma circunferencia de raio r e dado por:
C = 2πr.
O objetivo agora e encontrar uma relacao entre angulos e o numero π. Para tanto, considere a
Figura 3.4. Essa figura, mostra que o comprimento de um arco de angulo θ na circunferencia e
dado por θr. Isso nos leva a concluir que se giramos esse angulo de 360o o comprimento dessa
circunferencia sera de 2πr o que nos leva a inferir que 360o sera equivalente2 a 2π radianos. Logo,
concluımos que:
180o = π radianos.
Figura 3.4: O comprimento do arco AB e dado por θr.
2Quando um angulo nao e expresso em graus, chamamos esse angulo de radiano.
52
Problema 36 Transforme para radianos o que estiver em graus e vice e versa os seguintes angulos
abaixo:
(a) 175o;
(b) 369o;
(c) 49o;
(d)π
5;
(e)3π
2;
(f)7π
5.
A Figura 3.5 mostra a relacao entre graus e radianos dos principais angulos no cırculo trigonometrico.
Figura 3.5: Equivalencia entre graus e radianos no cırculo trigonometrico.
53
Ate o momento, so demos a definicao do que vem a ser um angulo positivo. Entretanto, por
convencao, existe a nocao do que vem a ser um angulo negativo. Observe que a definicao de um
angulo no cırculo trigonometrico e girar o raio da circunferencia no sentido anti-horario. Dessa
maneira, se girarmos esse raio no sentido horario, teremos por convencao, um angulo negativo
(veja Figura 3.6).
Figura 3.6: Angulo negativo no cırculo trigonometrico.
Assim, por exemplo, o angulo −π/2 e equivalente ao angulo 3π/2 (verifique !!!).
3.2 Grafico das funcoes Seno e Cosseno
O objetivo dessa secao e fazer, de uma maneira nao rigorosa3, os graficos das funcoes seno e
cosseno. Comecaremos com o grafico da funcao seno.
Observe que sen(0) = 0 e, a medida que o angulo x cresce e se aproxima de π/2 a funcao sen(x)
tambem cresce e se aproxima do valor 1 = sen(π/2). Dessa maneira, o grafico da funcao sen(x)
no intervalo [0, π/2] pode ser desenhado como mostra a Figura 3.7.
3A maneira correta de ser fazer o grafico de funcoes desse tipo sera estudado em Matematica II.
54
Figura 3.7: Grafico da funcao sen(x) para x ∈ [0, π/2].
Agora, observe que sen(π/2) = 1 e, a medida que o angulo x cresce e se aproxima de π a funcao
sen(x) decresce e se aproxima do valor 0 = sen(π). Dessa maneira, o grafico da funcao sen(x) no
intervalo [0, π] pode ser desenhado como mostra a Figura 3.8.
Figura 3.8: Grafico da funcao sen(x) para x ∈ [0, π].
Agora, observe que sen(π) = 0 e, a medida que o angulo x cresce e se aproxima de 3π/2 a funcao
sen(x) decresce e se aproxima do valor −1 = sen(3π/2). Dessa maneira, o grafico da funcao
sen(x) no intervalo [0, 3π/2] pode ser desenhado como mostra a Figura 3.9.
Finalmente, observe que sen(3π/2) = −1 e, a medida que o angulo x cresce e se aproxima de 2π
a funcao sen(x) cresce e se aproxima do valor 0 = sen(2π). Dessa maneira, o grafico da funcao
sen(x) no intervalo [0, 2π] pode ser desenhado como mostra a Figura 3.10. Ora, como a funcao
seno e uma funcao periodica, temos que o formato do grafico se repete tanto para valores maiores
55
Figura 3.9: Grafico da funcao sen(x) para x ∈ [0, 3π/2].
que 2π quanto para valores menores que zero. Dessa maneira, podemos representar o grafico dessa
funcao como mostra a Figura 3.11
Figura 3.10: Grafico da funcao sen(x) para x ∈ [0, 2π].
O grafico da funcao cosseno e feito de maneira analoga (verifique) e pode ser representado como
mostra a Figura 3.12.
56
Figura 3.11: Grafico da funcao sen(x) para x ∈ [−4π, 4π].
Figura 3.12: Grafico da funcao cos(x) para x ∈ [−4π, 4π].
3.3 Outras funcoes trigonometricas
O objetivo dessa secao e definir outros tipos de funcoes trigonometricas: tangente, cotangente,
secante e cossecante4
Definicao 13 Definimos as funcoes tangente (tg(x)), cotangente (cotg(x)), secante (sec(x)) e
cossecante (cosec(x)) como se segue:
tg(x) =sen(x)
cos(x)(3.4)
cotg(x) =cos(x)
sen(x)=
1
tg(x)(3.5)
4As funcoes secante e cossecante nao sao objetos de estudo do credenciamento FGV e estao aqui apenas como
conhecimento geral.
57
sec(x) =1
cos(x)(3.6)
cosec(x) =1
sen(x)(3.7)
Exemplo 17 Encontre sen(π/6), cos(π/6), tg(π/6), cotg(π/6), sec(π/6) e cosec(π/6).
Solucao: Primeiramente, observe que
π
6=
180o
6= 30o
e, dessa maneira:
sen(π/6) =1
2e cos(π/6) =
√3
2
logo:
tg(π/6) =sen(π/6)
cos(π/6)=
12√3
2
=1√3
cotg(π/6) =1
tg(π/6)=
11√3
=√
3
sec(π/6) =1
cos(π/6)=
1√
32
=2√3
cosec(π/6) =1
sen(π/6)=
112
= 2
3.4 Problemas
Problema 37 Para quais valores de x temos que sen(x) = cos(x) se x pertence ao intervalo
[−π, π]?
Problema 38 Para quais valores de x temos que sen(x) = cos(x) se x pertence ao intervalo
[−3π, 9π]?
Problema 39 Faca um esboco do grafico das funcoes f(x) = 3sen(x) e g(x) =1
2cos(x).
58
Problema 40 Faca um estudo de sinal das funcoes seno e cosseno no intervalo [0, 2π].
Problema 41 Encontre todas as raızes das funcoes abaixo:
f(x) = sen(7x) g(x) = cos(x
3
)
Problema 42 Encontre o domınio das funcoes abaixo:
f(x) = tg(x) g(x) = cotg(x
2
)
Problema 43 Sejam f(x) = sen(x) e g(x) = |x| faca o grafico das funcoes f ◦ g(x) e g ◦ f(x).
Problema 44 Dados cos(π/7) = 0, 9009, sen(π/7) = 0, 4339, cos(23π/7) = −0, 6235 e sen(23π/7) =
−0, 7818. Encontre:
tg
(24π
7
).
Sugestao: use as Equacoes (3.2) e (3.3)
3.5 A equacao da reta - versao melhorada
O objetivo dessa secao e deixar um pouco mais facil o conceito introduzido na Secao 2.1.1. Para
tanto, considere o triangulo retangulo mostrado na Figura 3.13.
Nesse triangulo, temos que:
sen(θ) =cateto oposto
hipotenusae cos(θ) =
cateto adjacente
hipotenusa
Dessa maneira, pela Definicao 13
tg(θ) =cateto oposto
cateto adjacente(3.8)
Agora, voltamos ao problema de se encontrar a equacao da reta que passa pelos pontos (x0, y0)
e (x1, y1). Observe, que encontrar a equacao da reta nada mais e do que encontrar sob quais
condicoes um ponto (x, y) pertence a reta.
59
Figura 3.13: Triangulo retangulo cujo um dos angulos internos e θ.
Ao olhar uma reta representada no plano xy podemos observar que existe uma constante em toda
reta: o angulo que esta faz com o eixo x. Dado qualquer ponto que pertence a reta, podemos
tracar uma paralela ao eixo x e, o angulo que a reta faz com essa paralela continua sendo θ.
Ora, como θ e uma constante em toda reta, a tangente desse angulo tambem sera dessa maneira,
observando a Figura 3.14 obtemos:
m ≡ tg(θ) =y1 − y0
x1 − x0.
Logo, se um ponto (x, y) pertence a reta, a constante m tem que ser a mesma, ou seja,
m = tg(θ) =y − y0
x − x0
Logo, igualando os dois valores de m encontrados anteriormente:
y − y0
x − x0
=y1 − y0
x1 − x0
portanto:
y − y0 =
(y1 − y0
x1 − x0
)(x − x0) ou y − y0 = m(x − x0) (3.9)
Observacao: O valor de m, por estar relacionado com o angulo em que a reta faz com o eixo x
e chamado de coeficiente angular da reta.
60
Figura 3.14: Reta passando pelos pontos (x0, y0) e (x1, y1).
Exemplo 18 Encontre a equacao da reta que passa pelos pontos (1, 1) e (3, 4)
Solucao: Pela Equacao (3.9) basta encontrar o valor do coeficiente angular. Dessa maneira:
m =4 − 1
3 − 1=
3
2.
Logo, a equacao da reta e dada por:
y − 1 =3
2(x − 1) =⇒ y =
3
2· x − 1
2.
61
Capıtulo 4
Intersecao entre curvas
Sejam f e g duas funcoes reais quaisquer. Dadas essas funcoes, podemos nos perguntar quando
elas sao iguais, ou seja, para quais valores de x temos que f(x) = g(x). Comecaremos com um
exemplo simples.
Exemplo 19 Sejam f(x) = x e g(x) = x2 para qual(is) valores de x temos que f(x) = g(x)?
Solucao: Para encontrarmos os valores em que f(x) = g(x) devemos resolver a igualdade:
x = x2
logo, temos que x2 − x = 0 e resolvendo essa igualdade obtemos x = 0 e x = 1. Dessa maneira, as
funcoes f e g sao iguais para x = 0 e x = 1. Observe que f(0) = g(0) = 0 e f(1) = g(1) = 1.
O leitor deve estar se perguntando qual o fato geometrico associado ao exemplo acima. Para tanto,
sejam f e g duas funcoes reais quaisquer. Como vimos no Capıtulo 2, os graficos das funcoes f e
g sao, respectivamente, dados pelos conjuntos:
{(x, y) | y = f(x)} e {(x, y) | y = g(x)}
Evidentemente, os pontos de intersecao entre os graficos de f e g sao os pontos no conjunto
{(x, y) | y = f(x)} ∩ {(x, y) | y = g(x)}.
62
Dessa maneira, se o ponto (x, y) e um ponto de intersecao entre os graficos ele tem que ser da
forma (x, f(x)) e (x, g(x)). Logo, podemos observar que a condicao para que um ponto pertenca
a intersecao desses graficos e que:
f(x) = g(x).
No caso do exemplo anterior, podemos observar graficamente, que os pontos de intersecao das
curvas f(x) = x e g(x) = x2 sao os pontos (0, 0) e (1, 1) conforme ilustra a Figura 4.1.
Figura 4.1: Grafico das funcoes f(x) = x e g(x) = x2 em um mesmo plano.
Problema 45 Uma quantidade x de um produto A custa CA(x) = log(x) e de um produto B e
dado por CB(x) = 2log( x100
+ 1). Para quais valores de x, o custo de A e igual ao de B?
Problema 46 Faca o grafico das funcoes abaixo e encontre (se houver) o ponto de intersecao dos
mesmos:
(a) f(x) = x3 − 1 e g(x) = 3;
(b) f(x) = ex−1 e g(x) = e3x−5;
(c) f(x) = ln(x) e g(x) = ln(x2 + x − 1);
(d) f(x) = x2 − 1 e g(x) = 4x − 3;
(e) f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x).
63
4.1 Equacao de Demanda
Consideraremos as circunstancias relativas a um fabricante, nas quais as unicas variaveis sao o
preco e a quantidade de mercadoria demandada. Seja p o preco de uma unidade de mercadoria,
e seja q o numero de unidades demandadas.
Refletindo sobre o assunto, parece razoavel que a quantidade de mercadoria demandada no mer-
cado pelos consumidores ira depender do preco da mesma. Quando o preco baixa, os consumidores
em geral procuram mais a mercadoria. Caso o preco suba, o oposto ira ocorrer: os consumidores
procurarao menos.
Uma equacao dando a relacao entre a quantidade, dada por q, e o preco, dado por p, e chamada
equacao de demanda1.
A equacao de demanda mais simples que iremos estudar e a linear:
p = aq + p0 (4.1)
onde, p0 e um numero real positivo qualquer e a < 0, significando que a funcao preco (p) e
decrescente confirmando a afirmacao que se p cresce entao q diminui.
O grafico da Equacao (4.1) e chamado curva de demanda.
Exemplo 20 Uma companhia de turismo tomou conhecimento de que quando o preco de uma
visita a pontos turısticos e R$6, a media do numero de passagens vendidas por viagem e 30, e
quando o preco passa a R$10, a media do numero de passagens vendidas por viagem e cai para
18. Supondo linear a equacao de demanda, encontre-a e trace um esboco da curva de demanda.
Solucao: Seja q o numero de passagens demandadas e p a quantia de dinheiro correspondente a
cada passagem. Queremos encontrar uma equacao da forma:
1Chega-se a essa equacao atraves da aplicacao de metodos estatısticos e economicos.
64
p = aq + p0, a < 0. (4.2)
Determinacao de a:
Como q = 30 quando p = 6 e, q = 18 quando p = 10, os pontos (30, 6) e (18, 10) pertencem
ao segmento de reta que e o grafico da equacao de demanda. Dessa maneira, pela Equacao ver
inclinacao da reta:
a =10 − 6
18 − 30=
4
−12= − 4
12= −1
3
Agora, substituindo o valor de a na Equacao 4.2 obtemos:
p = −q
3+ p0
O que falta e encontrar o valor de p0.
Determinacao de p0:
Como o ponto (30, 6) pertence a equacao de demanda, substituindo q = 30 e p = 6 na equacao
acima, obtemos:
6 = −30
3+ p0 ⇐⇒ p0 = 6 + 10 = 16
Finalmente, determinamos a equacao da demanda:
p = −q
3+ 16
A curva de demanda esta representada na Figura 4.2.
65
x
p
16
48
Figura 4.2: Curva de demanda para a equacao de demanda dada por p = −q
3+ 16.
4.2 Equacao de Oferta
Suponha agora que q seja o numero de unidades de uma certa mercadoria a ser ofertada por um
produtor e, como acima, p e o preco de uma unidade da mercadoria. Vamos supor que estas sejam
as duas unicas variaveis. Numa situacao economica normal, q e p sao nao negativos e de se esperar
que se o preco da mercadoria aumenta, o produtor aumentara a oferta de sua mercadoria, i.e, se
p aumenta entao q aumenta e, se q aumenta entao p aumenta. Uma equacao envolvendo a oferta
q e o preco p e chamada de equacao de oferta.
A equacao de oferta que iremos trabalhar, inicialmente, e uma equacao do tipo
p = aq + p0, a > 0.
Observacao: Observe que a > 0 significa que a funcao p e crescente, i.e, se q aumenta p tambem
aumenta, como foi observado anteriormente.
O grafico dessa equacao e chamado de curva de oferta.
Exemplo 21 A nao ser que o preco de uma determinada estante supere R$250, nenhuma estante
66
estara disponıvel no mercado. Contudo, quando o preco e R$350, 200 estantes estarao disponıveis
no mercado. Ache a equacao de oferta, supondo-a linear, e trace um esboco da curva de oferta.
Solucao: Seja q o numero de estantes fornecidas e p o preco por estante. Como quando p = 250
temos que q = 0, e quando p = 350 temos que q = 200, os pontos (0, 250) e (200, 350) estao na
curva de oferta. Usando o mesmo metodo usado no Exemplo 20 encontramos:
p =q
2+ 250.
A curva de oferta esta ilustrada na Figura 4.3.
Figura 4.3: Curva de oferta do Exemplo 21. A equacao de oferta e dada por p = x2
+ 250
OBSERVACAO: OBSERVE QUE O COEFICIENTE ANGULAR DA EQUACAO
DE OFERTA E SEMPRE POSITIVO, INDICANDO QUE A FUNCAO PRECO E
CRESCENTE, ENQUANTO QUE O COEFICIENTE ANGULAR DA EQUACAO
DE DEMANDA E NEGATIVO, INDICANDO QUE A FUNCAO PRECO E DE-
CRESCENTE.
67
4.3 Problemas: Oferta e Demanda
Problema 47 Faca o grafico, no primeiro quadrante, de cada uma das equacoes abaixo e diga se
este segmento e uma curva de demanda, oferta, ou nenhuma das duas.
(a)2q − 3p + 6 = 0 (b)5p + 4q − 10 = 0 (c)4p + q = 7
(d)3q − 4p + 24 = 0 (e)5p + 3q + 12 = 0 (f)3p = 2
(g)4p − 5 = 0 (h) − 3p + 4q = 0 (i)6p + 2q + 3 = 0
Problema 48 Uma companhia vende 20000 unidades de uma mercadoria quando o preco unitario
e R$14, e a companhia determinou que pode vender 2000 a mais com uma reducao no preco de
R$2 no preco unitario. Ache a equacao de demanda, supondo-a linear, e trace um esboco da curva
de demanda.
Problema 49 Uma companhia que vende equipamentos de escritorio consegue vender 1000 ar-
quivos quando o preco e R$600. Alem disso, sabe-se que a cada reducao de R$30 no preco a
companhia pode vender mais 150 arquivos. Supondo linear a equacao de demanda, encontre-a e
faca um esboco da curva de demanda.
Problema 50 Quando o preco e R$80, ha 10000 lampadas de um certo tipo disponıveis no mer-
cado. Para cada R$10 de aumento no preco, 8000 lampadas a mais estao disponıveis no mercado.
Supondo linear a equacao de oferta, encontre-a e faca um esboco da curva de oferta.
Problema 51 Um produtor oferta 500 unidades de uma mercadoria quando o preco unitario e
R$20. Para cada aumento de R$1 no preco, 60 unidades a mais sao ofertadas. Supondo linear a
equacao de oferta, encontre-a e faca um esboco da curva de oferta.
4.4 O Equilıbrio de mercado
Chamaremos a totalidade das empresas que produzem a mesma mercadoria de uma industria. O
mercado para uma certa mercadoria consta da industria e dos consumidores da mercadoria (que
68
podem incluir empresas, governo e consumidores individuais). A equacao de oferta do mercado e
determinada a partir das equacoes de oferta das companhias integrantes da industria, e a equacao
de demanda do mercado e determinada atraves das equacoes de demanda de todos os consumidores.
Mostraremos agora como determinar o preco de equilıbrio e a quantidade de equilıbrio de um
mercado.
O equilıbrio de mercado ocorre quando a quantidade de mercadoria demandada, a um dado
preco, e igual a quantidade de mercadoria oferecida aquele preco. Isto e, o equilıbrio de mercado
ocorre quando tudo que e oferecido para a venda de um determinado preco e comprado. Matem-
aticamente falando, o ponto de equilıbrio e o ponto onde a curva de demanda intercepta a curva
de oferta. Logo, o ponto de equilıbrio e o par (qe, pe), onde qe e chamado quantidade de equilıbrio
e pe de preco de equilıbrio.
Exemplo 22 Suponha que a equacao de oferta e demanda sao, respectivamente,
p =1
2q + 250
p = −1
2q + 300.
Esboce, no mesmo grafico, a curva de oferta e demanda e encontre o ponto de equilıbrio.
Solucao: Seja (qe, pe) o ponto de equilıbrio. Como esse ponto pertence a curva de oferta, temos
que
pe =1
2qe + 250. (4.3)
Ora, ele tambem pertence a curva de demanda, dessa maneira,
pe = −1
2qe + 300. (4.4)
Pelas Equacoes (4.3) e (4.3) temos que:
1
2qe + 250 = −1
2qe + 300 ⇔ 1
2qe +
1
2qe = 300 − 250 ⇔ qe = 50.
69
Portanto, encontramos a quantidade de equilıbrio qe = 50. Para encontrarmos o preco de
equilıbrio, basta substituir o valor dessa quantidade na Equacao (4.3) ou (4.4) (Verifiquem que da
o mesmo resultado!!!). Dessa maneira, substituindo qe = 50 na Equacao (4.3):
pe =1
2· 50 + 250 = 275
Deixo como exercıcio para voces esbocarem a curva de oferta e demanda.
4.5 Problemas
Problema 52 Em cada uma das equacoes de oferta abaixo, trace a curva de oferta e determine
o preco mais baixo pelo qual a mercadoria seria ofertada.
(a)q2 − 4p + 12 = 0 (b)p2 + 8p − 6q − 20 = 0 (c)2q2 + 12q − 3p + 24 = 0
Problema 53 Em cada uma das letras abaixo, estao representadas equacoes de demanda e oferta.
Ache a demanda se o produto fosse gratis, determine o ponto de equilıbrio e trace esbocos das
curvas de demanda e oferta no mesmo conjunto de eixos mostrando o ponto de equilıbrio.
(a)q + 2p − 15 = 0 ; q − 3p + 3 = 0 (b)q2 + p − 9 = 0 ; q − p + 3 = 0
(c)3q2 + p − 10 = 0 ; q2 + 2q − p + 4 = 0 (d)3q2 − 6q + p − 8 = 0 ; q2 − p + 4 = 0
70
Capıtulo 5
Matrizes e Sistemas Lineares
O objetivo deste capıtulo e introduzir o conceito de matrizes e sistemas lineares. Particularmente,
“o problema mais importante em Matematica e resolver um sistema de equacoes lineares. Mais
de 75% de todos os problemas matematicos encontrados em aplicacoes cientıficas e industriais
envolvem a resolucao de um sistema linear em alguma etapa. Usando metodos da Matematica
moderna, muitas vezes e possıvel reduzir um problema sofisticado em um unico sistema de equacoes
lineares1”.
Comecaremos esse capıtulo com matrizes, uma ferramenta matematica muito importante na
solucao de um sistema linear.
5.1 Matrizes
Uma matriz A, m × n, e definida como sendo uma tabela de numeros reais contendo m-linhas
e n-colunas. A representacao de cada elemento dessa matriz e feita como se segue: o elemento
da linha i e coluna j e denotado por aij (pode-se encontrar essa notacao muitas vezes por [A]ij).
Assim, por exemplo, a matriz
A =
2 35 −10 1
1Steve J. Leon - Algebra Linear com Aplicacoes. Editora LTC. Rio de Janeiro. 1999. Pagina 1.
71
e uma matriz 3 × 2 (3 linhas e 2 colunas) e temos:
a11 = 2 a12 = 3 a21 = 5 a22 = −1 a31 = 0 a32 = 1
Exemplo 23 Seja A uma matriz 3 × 3 dada por aij = i − 2j. Escreva a matriz A.
Solucao: Primeiramente, observe que a matriz A possui 3 linhas e 3 colunas. Dessa maneira, ela
pode ser representada por:
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
Nosso objetivo, e encontrar todos os elementos dessa matriz. Ora, como aij = i− 2j temos que o
elemento da primeira linha e primeira coluna e dado por:
a11 = 1 − 2 × 1 = −1
Repetindo esse processo para os demais elementos dessa matriz obtemos:
a12 = 1 − 2 × 2 = −3 a13 = 1 − 2 × 3 = −5
a21 = 2 − 2 × 1 = 0 a22 = 2 − 2 × 2 = −2 a23 = 2 − 2 × 3 = −4
a31 = 3 − 2 × 1 = 1 a32 = 3 − 2 × 2 = −1 a33 = 3 − 2 × 3 = −3
Utilizando esses resultados obtemos que a matriz A e dada por:
A =
−1 −3 −50 −2 −41 −1 −3
Definicao 14 Uma matriz A e dita quadrada se o numero de linhas e igual ao numero de colunas.
De acordo com a definicao acima uma matriz A e quadrada se ela e do tipo n×n. Assim, a matriz
do exemplo acima e uma matriz quadrada de ordem 3 (matriz 3 × 3). O estudo de uma matriz
quadrada e de fundamental importancia em sistemas lineares e sera posteriormente, o principal
foco de nosso estudo.
72
Problema 54 Seja A uma matriz 4 × 4 dada por aij = ij. Escreva essa matriz e encontre seu
traco. Observacao: o traco de uma matriz e definido como sendo a soma dos elementos
de sua diagonal principal e, para quem nao se lembra do segundo grau, a diagonal
principal de uma matriz quadrada sao os elementos cuja linha e igual a sua coluna.
No exemplo acima, os elementos da diagonal principal sao os elementos em vermelho
abaixo:
− 1 −3 −50 −2 −41 −1 −3
5.1.1 Operacao com Matrizes
O objetivo dessa secao e mostrar alguns resultados bastante obvios com respeito a algumas
operacoes com matrizes. Dessa maneira, sejam A e B matrizes m × n quaisquer e α ∈ R.
Definimos:
[αA]ij = α · aij .
[A + B]ij = aij + bij .
Apesar das definicoes anteriores parecerem muito abstratas elas sao relativamente simples. Por
exemplo, se
A =
[1 3−2 4
]
entao:
2A = 2 ·[
1 3−2 4
]=
[2 × 1 2 × 3
2 × (−2) 2 × 4
]=
[2 6−4 8
]
Alem disso, se
B =
[0 21 9
]
temos que
A + B =
[1 3−2 4
]+
[0 21 9
]=
[1 + 0 3 + 2−2 + 1 4 + 9
]=
[1 5−1 13
]
73
5.1.2 Uma breve discussao sobre vetores
O objetivo dessa secao e definir uma ferramenta matematica importante no estudo de matrizes,
em particular, no produto de duas matrizes. Dessa maneira, definimos de maneira abstrata um
vetor n-dimensional como se segue:
Definicao 15 Um vetor n-dimensional, ~V , e definido como uma ordenacao de n numeros reais
x1, x2, ..., xn:
~V = (x1, x2, ...., xn).
Assim, por exemplo, ~V = (1, 3) e um vetor bi-dimensional e ~W = (1, 4, 5,−1) e um vetor quadri(4)-
dimensional.
Definiremos agora uma operacao entre vetores que sera muito util posteriormente.
Definicao 16 Sejam ~V = (x1, x2, ..., xn) e ~W = (x1, x2, ..., xn) vetores n-dimensionais, definimos
seu produto escalar,~V · ~W , por:
~V · ~W = (x1, x2, ..., xn) · (x1, x2, ..., xn) = x1x1 + x2x2 + ... + xnxn.
Assim por exemplo, dados os vetores ~V = (1, 3, 4, 2) e ~W = (−1, 0, 2, 7) o produto escalar de ~V e
~W e dado por:
~V · ~W = (1, 3, 4, 2) · (−1, 0, 2, 7) = 1 × (−1) + 3 × 0 + 4 × 2 + 2 × 7 = −1 + 0 + 8 + 14 = 21.
Assim, o leitor pode perceber que dados dois vetores quaisquer, fazer seu produto escalar e uma
tarefa relativamente facil. Agora, vamos ver o que isso tem a ver com matrizes.
5.1.3 Produto de Matrizes
Ao observar uma matriz m × n podemos fazer uma analogia com cada linha dessa matriz com
um vetor n-dimensional e, cada coluna, com um vetor m-dimensional. Por exemplo, considere a
74
matriz
A =
1 3 0 1−3 2 6 80 1 0 1
Observe que ao olhar para a primeira linha da matriz A, podemos considerar essa linha como
sendo um vetor 4-dimensional dado por:
~Al1 = (1, 3, 0, 1)
Analogamente, podemos associar os vetores linha dessa matriz. Assim, os vetores linha 2 e linha
3 podem ser dados, respectivamente, por:
~Al2 = (−3, 2, 6, 8) e ~Al3 = (0, 1, 0, 1).
Da mesma maneira que temos vetores linha em uma matriz, podemos ter vetores coluna. Por
exemplo, o vetor que representa a coluna 1 da matriz A e dado por:
~Ac1 = (1,−3, 0)
e, os vetores coluna 2, 3 e 4 podem ser dados, respectivamente, por:
~Ac2 = (3, 2, 1) e ~Ac3 = (0, 6, 0) e ~Ac4 = (1, 8, 1)
Compreendendo bem o conceito apresentado acima, estamos preparados para definir o produto
entre duas matrizes.
Definicao 17 Sejam A uma matriz m×n e B uma matriz n×p definimos o produto das matrizes
A e B pela matriz m × p:
[A · B]ij = ~Ali · ~Bcj.
A definicao acima significa que o elemento da linha i e coluna j da matriz produto A · B e
simplesmente vetor linha i da matriz A produto escalar com o vetor coluna j da matriz B.
Observacao: Na definicao acima, uma condicao e extremamente importante para se ter o produto
de duas matrizes: O NUMERO DE COLUNAS DA PRIMEIRA TEM QUE SER IGUAL AO
75
NUMERO DE LINHAS DA SEGUNDA. Para o leitor mais atencioso isso fica claro pela propria
definicao do produto escalar. Alem disso, observe que se A e m×n e B e n×p entao o resultado
do produto e uma matriz m× p.
Exemplo 24 Sejam
A =
2 1−4 03 5
e B =
[0 1 1 3−1 2 3 4
]
Encontre a matriz que representa o produto A · B.
Solucao: Observe que A e uma matriz 3 × 2 e B e uma matriz 2 × 4. Logo, podemos fazer o
produto de A com B pois o numero de colunas de A e igual ao numero de linhas de B. Dessa
maneira, a matriz produto sera uma matriz 3 × 4 representada como se segue:
A · B =
c11 c12 c13 c14
c21 c22 c23 c24
c31 c32 c33 c34
Pela Definicao 17 o elemento da linha 1 e coluna 1 da matriz A · B e dado por:
c11 = ~Al1 · ~Bc1 = (2, 1) · (0,−1) = 2 × 0 + 1 × (−1) = −1.
Da mesma maneira, podemos encontrar os outros elementos da matriz A · B:
c12 = ~Al1 · ~Bc2 = (2, 1) · (1, 2) = 2 × 1 + 1 × 2 = 4.
c13 = ~Al1 · ~Bc3 = (2, 1) · (1, 3) = 2 × 1 + 1 × 3 = 5.
c14 = ~Al1 · ~Bc4 = (2, 1) · (3, 4) = 2 × 3 + 1 × 4 = 10.
Dessa maneira, encontramos a primeira linha da matriz A · B:
A · B =
−1 4 5 10c21 c22 c23 c24
c31 c32 c33 c34
Vamos encontrar a segunda linha da matriz A · B:
c21 = ~Al2 · ~Bc1 = (−4, 0) · (0,−1) = −4 × 0 + 0 × (−1) = 0.
76
c22 = ~Al2 · ~Bc2 = (−4, 0) · (1, 2) = −4 × 1 + 0 × 2 = −4.
c23 = ~Al2 · ~Bc3 = (−4, 0) · (1, 3) = −4 × 1 + 0 × 3 = −4.
c24 = ~Al2 · ~Bc4 = (−4, 0) · (3, 4) = −4 × 3 + 0 × 4 = −12.
Logo, obtemos:
A · B =
−1 4 5 100 −4 −4 −12
c31 c32 c33 c34
Vamos encontrar a terceira linha da matriz A · B:
c31 = ~Al3 · ~Bc1 = (3, 5) · (0,−1) = 3 × 0 + 5 × (−1) = −5.
c32 = ~Al3 · ~Bc1 = (3, 5) · (1, 2) = 3 × 1 + 5 × 2 = 13.
c33 = ~Al3 · ~Bc1 = (3, 5) · (1, 3) = 3 × 1 + 5 × 3 = 18.
c34 = ~Al3 · ~Bc1 = (3, 5) · (3, 4) = 3 × 3 + 5 × 4 = 29.
Finalmente, encontramos a matriz produto A · B:
A · B =
−1 4 5 100 −4 −4 −12−5 13 18 29
(5.1)
Existe uma maneira, muitas vezes mais rapida, de encontrar um elemento da matriz produto por
exemplo se quisermos encontrar o elemento da linha 2 e coluna 3 basta fazer o produto da linha
2 da matriz A com a coluna 3 da matriz B:
A · B =
2 1−4 03 5
·
[0 1 1 3−1 2 3 4
]
que gera o elemento −4 × 1 + 0 × 3 = −4 (confirme esse resultado na Equacao (5.1)).
O leitor deve ficar atento ao fato de que o produto de duas matrizes nao e comutativo, ou seja:
A · B 6= B · A.
No caso do exemplo acima, observe que o produto B · A nao e nem definido.
77
5.1.4 Matriz Inversa
A partir dessa secao estaremos interessados apenas em matrizes quadradas, ou seja, matrizes que
possuem o mesmo numero de linhas e colunas (n × n).
Primeiramente, temos que definir uma matriz de extrema importancia: a famosa matriz identi-
dade.
Definicao 18 Seja I uma matriz n×n. I sera chamada de matriz identidade se ela for da forma:
aij =
{1 se i = j0 caso contrario
Na verdade, a matriz identidade e uma matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal
sao iguais a 1 e todos os outros sao 0. A notacao usual para a matriz identidade e I.
Exemplo 25 Escreva a matriz identidade no caso 2 × 2 e no caso 3 × 3.
Solucao: Vamos escreve-la no caso 2 × 2:
I =
[1 00 1
]
e, no caso 3 × 3:
I =
1 0 00 1 00 0 1
Agora, estamos preparados para definir o que e uma matriz inversa.
Definicao 19 Seja A uma matriz n × n. Se existir uma matriz B tal que:
A · B = B · A = I
entao A possui inversa (e inversıvel). Nesse caso, B e a inversa de A cuja notacao e B = A−1.
78
Exemplo 26 Encontre, se existir, A−1 e B−1 dados:
A =
[1 20 3
]e B =
[1 22 4
]
Solucao: Primeiramente, vamos encontrar a matriz inversa de A. Para tal trabalho, devemos
lembrar que se existe uma matriz inversa de A (A−1) entao devemos encontrar uma matriz
A−1 =
[a bc d
]
tal que:
A · A−1 = I,
ou seja, [1 20 3
]·[
a bc d
]=
[1 00 1
]
o que resulta em: [a + 2c b + 2d
3c 3d
]=
[1 00 1
]
Logo:
a + 2c = 1b + 2d = 0
3c = 03d = 1
e, dessa maneira, encontramos a = 1, b = −2
3, c = 0 e d =
1
3. Portanto, a matriz inversa de A e
dada por:
A−1 =
[1 −2
3
0 13
]
Agora, vamos tentar encontrar a matriz inversa de B. Analogamente ao que foi feito para a matriz
A, devemos encontrar uma matriz B−1 da forma:
B−1 =
[a bc d
]
tal que:
B · B−1 = I.
Logo: [1 22 4
]·[
a bc d
]=
[1 00 1
]
79
e, efetuando o produto acima obtemos:
[a + 2c b + 2d2a + 4c 2b + 4d
]=
[1 00 1
]
e, dessa maneira:
a + 2c = 1b + 2d = 02a + 4c = 02b + 4d = 1
Podemos verificar que e impossıvel encontrar um unico valor para a, b, c e d acima. Logo, a matriz
B NAO POSSUI INVERSA.
O exemplo acima e de suma importancia no nosso estudo, ja que deixa claro que nao sao todas
matrizes quadradas que possuem inversa.
5.1.5 Determinante
O objetivo dessa secao e definir o determinante de uma matriz quadrada e suas propriedades. O
determinante so e definido para matrizes quadradas.
Definicao 20 Seja A uma matriz 2 × 2:
A =
[a11 a12
a21 a22
]
Definimos o determinante de A como sendo o produto dos elementos da diagonal principal sub-
traido do produto dos elementos da diagonal secundaria, ou seja:
det(A) ≡ a11a22 − a12a21.
Exemplo 27 Encontre o determinante da matriz:
[1 2−3 4
]
80
Solucao: Primeiramente, vamos localizar os elementos das diagonais principal e secundaria. Em
vermelho temos os elementos da diagonal principal e, em azul, os elementos da diagonal secundaria:
[1 2−3 4
]
logo, o determinante dessa matriz e dado por:
1 × 4 − 2 × (−3) = 10.
Para generalizar o conceito de determinante para uma matriz n × n qualquer, precisaremos de
uma definicao simples mas bastante importante para atingir nosso objetivo.
Definicao 21 Seja A uma matriz n×n qualquer, definimos a matriz Aij como a matriz (n−1)×(n − 1) formada a partir de A eliminando sua linha i e coluna j.
Exemplo 28 Encontre A11, A22 e A13 para matriz A, 3 × 3, dada por:
A =
1 2 −40 4 53 2 7
Solucao: Primeiramente, vamos encontrar A11. Observe que, pela Definicao 21 essa matriz e
encontrada a partir de A eliminando a linha 1 e coluna 1 da matriz, ou seja, temos que eliminar
os elementos em vermelho abaixo:
1 2 −40 4 53 2 7
e, o que sobra e a matriz 2 × 2:
A11 =
[4 52 7
]
De maneira analoga, observe que para encontrar A22 tenho que eliminar os elementos da linha 2
e coluna 2 da matriz A ou seja:
1 2 −40 4 53 2 7
81
e, dessa maneira, a matriz A22, 2 × 2, e dada por:
A22 =
[1 −43 7
]
Agora, caro leitor, deixo como exercıcio encontrar A13.
Apos essa facil definicao, estamos preparados para definir o determinante de uma matriz n × n.
Esse determinante e definido recursivamente e, a ideia e tentar reduzir o caso n× n para um caso
facil de se resolver que e o 2 × 2.
Definicao 22 Seja A uma matriz n× n, definimos seu determinante da seguinte maneira: seja l
uma linha qualquer da matriz, entao:
det(A) = (−1)l+1al1det(Al1) + (−1)l+2al2det(Al2) + · · · + (−1)l+nalndet(Aln),
que, em notacao de somatorio e dado por:
det(A) =
n∑
j=1
(−1)l+jaljdet(Alj).
Apesar da definicao anterior ser um pouco complicada, na pratica ela e de facil utilizacao conforme
veremos no proximo exemplo.
Observacao: E bastante comum encontrarmos a notacao de determinante de uma matriz de duas
maneiras distintas. Por exemplo, se
A =
[2 1−1 3
]
ou o determinante dessa matriz e escrito como
det
([2 1−1 3
])
ou simplesmente, trocamos [·] por | · | ou seja:
det
([2 1−1 3
])≡
∣∣∣∣2 1−1 3
∣∣∣∣ .
82
Exemplo 29 Encontre o determinante da matriz
1 2 −70 3 04 2 1
Solucao: Primeiro, fixe uma linha qualquer da matriz para voce comecar a calcular o determi-
nante, por exemplo, a linha 1:
1 2 −70 3 04 2 1
O determinante dessa matriz, pela Definicao 22 e dado por
(−1)1+1 · 1 · det
([3 02 1
])+ (−1)1+2 · 2 · det
([0 04 1
])+ (−1)1+3 · (−7) · det
([0 34 2
])
Vamos entender cada termo acima: o primeiro termo dessa soma e o primeiro elemento da linha
escolhida (no nosso caso ele e o elemento da linha 1 e coluna 1) vezes (−1)1+1 (pois e linha 1 e
coluna 1) vezes o determinante da matriz formada pela original eliminando sua linha 1 e coluna
1; o segundo termo dessa soma e o segundo elemento da linha escolhida (no nosso caso ele e o
elemento da linha 1 e coluna 2) vezes (−1)1+2 (pois e linha 1 e coluna 2) vezes o determinante
da matriz formada pela original eliminando sua linha 1 e coluna 2; finalmente, o ultimo termo da
soma e o terceiro elemento da linha escolhida (no nosso caso ele e o elemento da linha 1 e coluna
3) vezes (−1)1+3 (pois e linha 1 e coluna 3) vezes o determinante da matriz formada pela original
eliminando sua linha 1 e coluna 3.
Efetuando os calculos acima obtemos que o determinante e igual a 3 + 0 + 84 = 87.
Agora, caro leitor, devemos ser espertos pois como podemos escolher uma linha qualquer, a maneira
mais facil e escolhendo a linha com maior numero de zeros. Assim, podemos escolher a segunda
linha:
1 2 −70 3 04 2 1
Logo, o determinante da matriz e dado por:
(−1)2+1 · 0 · det
([2 −72 1
])+ (−1)2+2 · 3 · det
([1 −74 1
])+ (−1)2+3 · (0) · det
([1 24 2
])
83
que efetuando os calculos resulta em 0 + 87 + 0 = 87. (VERIFIQUE).
O objetivo agora e enunciar algumas propriedades do determinante.
Proposicao 5.1 Sejam A e B matrizes n × n e α um numero real qualquer:
det(A · B) = det(A) · det(B) (5.2)
det(α · A) = αn · det(A). (5.3)
Exemplo 30 Sejam A e B matrizes tais que det(A) = 2 e det(B) = 4 entao det(A · B) =
det(A) · det(B) = 2 × 4 = 8.
Exemplo 31 Seja A uma matriz 4 × 4 tal que det(A) = 3. Encontre det(5A).
Solucao: Pela Equacao (5.3) o determinante de 5A e igual a 5 elevado a ordem da matriz
multiplicado pelo determinante de A. Logo, como a ordem da matriz e 4 (pois ela e 4 × 4)
obtemos:
det(5A) = 54 · det(A) = 54 · 3.
Proposicao 5.2 Seja A uma matriz n×n qualquer. A matriz A possui inversa se, e somente se,
seu determinante for diferente de zero, ou seja:
det(A) 6= 0 ⇐⇒ Existe A−1.
Alem disso,
det(A−1) =1
det(A).
84
Prova: Se A possui inversa entao existe uma matriz A−1 tal que:
A · A−1 = I
logo, tomando o determinante de ambos os lados da igualdade acima, obtemos:
det(A · A−1) = det(I) ⇒ det(A) · det(A−1) = 1
logo, se A possui inversa seu determinante nao pode ser zero pois, caso contrario, encontrarıamos
o absurdo de que 0 = 1. Da mesma maneira, na ultima igualdade acima obtemos:
det(A−1) =1
det(A).
5.1.6 Problemas - Matrizes
Problema 55 Encontre, quando for bem definido, A + B, A − 2B, det(A), det(B), A−1, B−1
para as matrizes A e B abaixo:
(a)
A =
1 −2 03 1 21 4 −1
e B =
0 4 3−1 2 07 6 9
(b)
A =
1 −23 11 4
e B =
[0 4 3−1 2 0
]
(c)
A =
1 3−1 23 30 2
e B =
[1 2 −1
√2
−√
3 2 1 0
]
(d)
A =
[1 20 −1
]e B =
[1 2 3−1 −3 2
]
85
Problema 56 Sejam A e B matrizes 5 × 5 quaisquer tais que det(A) = 2 e det(B) = −√
5.
Encontre det(3 · A · B−1).
Problema 57 Comente a seguinte afirmacao: “se A e B sao duas matrizes quaisquer, entao:
det(A · B) = det(A) · det(B).”
Problema 58 Encontre o determinante da matriz 5 × 5 abaixo:
1 3 4 7 3−2 1 3 2 −10 0 2 0 00 1 0 0 0−4 −7 −8 4 2
Problema 59 (Importante) Seja A uma matriz m × n qualquer. Definimos sua transposta
como sendo a matriz A′ (ou At), n × m, dada por:
[A′]ij = aji,
ou seja, trocamos as linhas e as colunas da matriz A. Por exemplo, seja
A =
[1 35 4
]
observe que, pela definicao de matriz transposta, temos que
[A′]11 = a11 = 1 [A′]12 = a21 = 5 [A′]21 = a12 = 3 [A′]22 = a22 = 4
logo, a matriz transposta de A e dada por:
At ≡ A′ =
[1 53 4
]
Encontre as transpostas das matrizes A e B para todos os casos do Problema 55.
Problema 60 (Importante tambem) Uma matriz A e simetrica se A = A′. Por exemplo, a
matriz
A =
1 2 72 3 57 5 −1
e simetrica (verifiquem). Procure outros exemplos de matrizes simetricas e comente a seguinte
afirmacao:
“Se A e uma matriz simetrica, entao A = A′ = A−1.”
86
5.2 Sistemas Lineares
Agora, estamos preparados para definir um sistema linear. Como foi dito no primeiro paragrafo
deste capıtulo, a maioria dos problemas de matematica podem, de alguma maneira, ser resolvidos
utilizando sistema linear. Comecaremos essa secao com uma definicao que serve como base para
toda teoria.
Definicao 23 Uma equacao linear com n-variaveis (ou incognitas), denotadas por x1, x2, ..., xn
e uma equacao do tipo:
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b, (5.4)
onde, a1, a2, ..., an sao numeros reais quaisquer.
Como um primeiro exemplo, a equacao 2x − y + z = 2 e uma equacao linear com 3 variaveis (x,
y e z).
Observacao: Na verdade, a notacao com as variaveis x1, x2, ... e boa se tivermos um numero
muito grande de incognitas o que ocasiona muitas letras diferentes. Particularmente, como au-
tor dessas notas de aula, prefiro a ultima notacao pois ordena melhor as variaveis que estamos
trabalhando. Na maioria dos livros, encontraremos x, y, z, etc.
Definicao 24 Um conjunto (x1, x2, · · · , xn) e solucao da equacao linear dada pela igualdade (5.4)
se esse conjunto satisfaz a condicao imposta pela igualdade, ou seja,
a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b
Apesar da definicao parecer um pouco complicada ela e, na verdade, muito facil. Por exemplo,
uma possıvel solucao para a equacao linear 2x − y + z = 2 e x = 0, y = 0 e z = 2 como podemos
verificar:
2 × 0 − 0 + 2 = 2.
enquanto que x = 1, y = 1 e z = 0 nao e solucao para essa equacao linear:
2 × 1 − 1 + 0 = 1 6= 2.
87
Posteriormente, veremos que a equacao linear acima possui infinitas solucoes. Para o leitor mais
curioso, a equacao linear 2x − y + z = 2 forma um plano no espaco.
Vamos, finalmente, definir um sistema linear.
Definicao 25 Um sistema linear com p equacoes e n incognitas e um conjunto de p-equacoes
lineares com n-incognitas, ou seja:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
··
ap1x1 + ap2x2 + · · ·+ apnxn = bp
Como um primeiro exemplo de um sistema linear temos:
x + y + 2z = 2x − y − z = −12x + 2y + z = 0
que e um sistema linear com 3 equacoes e 3 incognitas.
Definicao 26 Dado um sistema linear
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
··
ap1x1 + ap2x2 + · · ·+ apnxn = bp
dizemos que um conjunto de valores x1, x2,...,xn e solucao do sistema linear se, e somente se,
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
··
ap1x1 + ap2x2 + · · ·+ apnxn = bp
Agora, vamos exemplificar a definicao acima.
Exemplo 32 Considere o sistema linear:{
x + y = 2x + 2y = 3
88
Observe que os valores de x = 1 e y = 1 satisfazem as duas equacoes do sistema linear, ou seja, a
primeira equacao desse sistema diz que:
x + y = 2
logo, fazendo x = 1 e y = 1 temos que 1 + 1 = 2. Alem disso, a segunda equacao desse sistema
diz que x + 2y = 3 e, novamente, fazendo x = 1 e y = 1 nessa equacao obtemos 1 + 2 × 1 = 3.
Dessa maneira, observe que x = 1 e y = 1 satisfaz ambas equacoes desse sistema linear.
A palavra “ambas”, escrita no paragrafo anterior, e de fato muito importante: considere os valores
x = 2 e y = 0. Podemos facilmente verificar que esses valores satisfazem a primeira equacao desse
sistema linear mas, nao satisfazem a segunda (VERIFIQUEM). Dessa maneira, x = 2 e y = 0
nao e uma solucao do sistema linear.
5.3 Solucao de um sistema linear
O objetivo agora, e mostrar como encontrar a solucao de um sistema linear. Comecaremos com o
mais simples, entretanto, o mais trabalhoso.
5.3.1 Metodo das substituicoes sucessivas
O metodo consiste em isolar uma variavel de uma equacao do sistema linear e substituir na
segunda, e assim sucessivamente. Para tanto, considere o sistema linear
x + y = 3 eq. 1x − y = −1 eq. 2
Olhando para a eq. 1 podemos isolar a variavel x, ou seja:
x = 3 − y
e substituir esse resultado na eq. 2:
3 − y − y = −1 =⇒ y = 2.
89
como x = 3 − y obtemos x = 1.
Devemos observar que esse metodo funciona sempre. Entretanto, observe que no caso de um
sistema linear com duas equacoes e duas incognitas e relativamente um bom metodo mas, se
temos um sistema com 4 equacoes e 4 incognitas o trabalho sera bastante arduo. O proximo
passo e apresentar outros metodos, tambem trabalhosos mas nem tanto assim.
5.3.2 O metodo da matriz inversa
Antes de fornecermos o processo deste metodo, precisamos introduzir a notacao de um sistema
linear na forma matricial. Dessa maneira, considere o sistema:{
x + y = 2x − y = 0
Observe que esse sistema pode ser escrito como:[
1 11 −1
]·[
xy
]=
[20
](5.5)
VERIFIQUEM !!!
Alem disso, o determinante da matriz [1 11 −1
]
e igual a −2 e, portanto, diferente de zero. Dessa maneira, temos que essa matriz possui uma
inversa. Encontrando essa matriz inversa, obtemos:[
1/2 1/21/2 −1/2
]
Logo, multiplicando ambos os lados da Equacao (5.5) pela matriz acima, obtemos[
1/2 1/21/2 −1/2
]·[
1 11 −1
]·[
xy
]=
[1/2 1/21/2 −1/2
]·[
20
]
o que implica: [1 00 1
]·[
xy
]=
[11
]
Portanto: [xy
]=
[11
]
90
ou seja, x = 1 e y = 1.
De maneira geral, considere um sistema linear com n equacoes e n incognitas:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
··
an1x1 + ap2x2 + · · ·+ annxn = bn
Podemos escrever esse sistema na forma matricial como sendo uma matriz A (matriz dos coefi-
cientes das variaveis em cada equacao) vezes uma matriz coluna X (formada pelas variaveis) igual
a uma matriz coluna B (matriz formada pelos termos independentes):
A · X = B,
A =
a11 a12 · · · a1n
· · · · · ·· · · · · ·· · · · · ·
an1 an2 · · · ann
, X =
x1
x2
··
xn
e B =
b1
b2
··bn
Dessa maneira, se A possui inversa2 temos que:
A−1 · A · X = A−1 · B =⇒ I · X = A−1 · B
e, dessa forma, a solucao do sistema linear e dada por:
X = A−1 · B (5.6)
OBSERVACAO: ESSE METODO E BASTANTE EFICIENTE MAS SO FUNCIONA
SE det(A) 6= 0.
NAO CONSEGUI DIGITAR TUDO MAS UMA DICA E OLHAR NOS SLIDES DA FGV A
PARTE DE SISTEMA LINEAR (PRINCIPALMENTE, REGRA DE KRAMER E CLASSIFICACAO
DE UM SISTEMA QUANTO AO NUMERO DE SOLUCOES OK?
2Observe que isso somente acontece se seu determinante for diferente de zero.
91
Capıtulo 6
Limites
Considere a funcao real f dada por:
f(x) =x2 − 1
x − 1. (6.1)
Observe que o domınio dessa funcao e o conjunto Dom f = {x ∈ R | x 6= 1}. Dessa maneira,
a funcao existe para todo numero real exceto para x = 1. Alem disso, se pensarmos no grafico
dessa funcao podemos nos perguntar o que acontece na transicao de valores menores do que 1
para valores maiores do que 1 pois, em princıpio, a funcao existe e e bem definida para quaisquer
x < 1 e x > 1.
Temos um outro problema: se x = 1 encontramos uma indeterminacao pois f(1) sera igual a
f(1) =12 − 1
1 − 1=
0
0,
ou seja, nao sabemos nada a respeito desse resultado apenas que e um absurdo matematico.
Vamos de alguma maneira entender o comportamento dessa funcao na proximidade1 de x = 1.
Primeiramente, vamos analisar valores proximos mas menores do que 1. Faca o seguinte exercıcio:
calcule f(0.8), f(0.9), f(0.95), f(0.99), f(0.999), f(0.9999), f(0.999999), e assim por diante. Ou
seja, aproxime o valor de x no argumento da funcao f para 1. Voces concordam que esses valores se
aproximam cada vez mais de 2? Isso significa que, se olharmos essa funcao para valores menores,
mas proximos de 1, o valor da funcao f fica cada vez mais proximo de 2. Agora, caro leitor, cabe a
1Proximidade significa para valores proximos.
92
seguinte pergunta: sera que se olharmos essa funcao na proximidade de x = 1 para valores maiores
do que 1 a funcao tambem se aproximara de 2? Para entender esse fato calcule f(1.2), f(1.1),
f(1.00001), e f(1.0000000001). Voces percebem que quanto mais o valor de x no argumento da
funcao se aproxima de 1 o valor da mesma se aproxima para 2?
Ora, talvez agora voces se convencam que se x e proximo de 1 a funcao f(x) e aproximadamente
igual a 2 e, isso acontece para valores maiores e menores do que 1. Quando isso acontece, dizemos
que o limite da funcao f quando x tende a 1 e igual a 2 e a notacao para esse resultado e:
limx→1
f(x) = 2.
Esse resultado pode nao ser muito obvio e, acredito, muitos de voces se convenceram com o uso
de uma calculadora. Entretanto, podemos usar um pequeno algebrismo para eliminar toda a
indeterminacao da funcao. Observe que:
f(x) =x2 − 1
x − 1=
(x + 1) · (x − 1)
x − 1= x + 1
logo, sem muito esforco mental, podemos perceber que se x se aproxima de 1 (independentemente
de ser por valores maiores ou menores do que 1) a funcao se aproxima de 1 + 1 = 2.
Considere agora a funcao g definida como se segue:
g(x) =
{2 se x > 0−1 se x < 0
(6.2)
Vamos analisar o comportamento da funcao na proximidade de x = 0. Observe que se x < 0
a funcao assume valor constante igual a −1 e, dessa maneira, para valores de x proximos de 0
mas negativos, a funcao sera sempre igual a −1. Entretanto, observe que se x > 0 a funcao
assume valor constante e igual a 2. Dessa maneira, e impossıvel determinar de maneira unica
o comportamento dessa funcao na proximidade de x = 0 pois nessa vizinhanca2 a funcao pode
assumir valores distintos. Nesse caso, dizemos que o limite da funcao g quando x tende a 0 nao
existe pois ele nao e unicamente determinado.
limx→0
g(x) NAO EXISTE.
2Vizinhanca significa em um intervalo pequeno em torno de 0
93
Figura 6.1: Grafico da funcao g definida pela Equacao (6.2).
Os dois exemplos acima nos motiva a fazer a seguinte definicao:
Definicao 27 (Limites Laterais) Seja f(x) uma funcao real e a, L1 e L2 numeros reais quais-
quer. Dizemos que
limx→a−
f(x) = L1 (6.3)
se a funcao f se aproxima de L1 quando x se aproxima de a para valores menores do que a e
limx→a+
f(x) = L2 (6.4)
se a funcao f se aproxima de L2 para valores maiores do que a.
Os limites em (6.3) e (6.4) sao denominados, respectivamente, de limite lateral a esquerda e a
direita de f .
Voltando a funcao f dada pela Equacao (6.1) podemos observar que:
limx→1−
f(x) = 2 e limx→1+
f(x) = 2
e, dessa maneira, a funcao f tem um comportamento bem definido em uma vizinhanca de x = 1.
Logo, faz sentido escrever:
limx→1
f(x) = 2.
Entretanto, para a funcao g definida acima obtemos:
limx→0−
g(x) = −1 e limx→0+
g(x) = 2.
94
e, portanto nao existira um comportamento bem definido da funcao em torno de x = 0, nao
fazendo sentido a notacao:
limx→0
g(x).
Esse resultado nos permite definir formalmente o conceito de limite.
Definicao 28 (Limite) Seja f uma funcao real e a e L numeros reais quaisquer, se
limx→a−
f(x) = limx→a+
f(x) = L
Entao, dizemos que:
limx→a
f(x) = L
Problema 61 Em cada um dos casos abaixo, calcule os limites laterais das funcoes quando x se
aproxima de a.
(a) f(x) =x + 2
ex, para a = 1
(b) f(x) = 2x2 − x + 1, para a = 3
(c) f(x) =
{−x se x < 1x se x > 1
, para a = 2 e a = 1
Problema 62 Diga se os limites abaixo existem (e se existirem forneca o valor) ou nao. Lembrem-
se que o limite so existe se os limites laterais forem iguais.
(a) limx→0
|x|x
(b) limx→1
|x + 1| − |x − 1|x
(c) limx→2
x2 + 1
3x3 − 3(d) lim
x→0
x2
x3 + x + 1
Problema 63 Um problema numerico interessante e o limite:
limx→0
sen(x)
x
Observe que se x = 0 temos que sen(x) = 0 e, dessa maneira, temos uma indeterminacao.
Verifique, tendo uma calculadora em maos, que esse limite existe e e igual a 1.
Resolvendo esses problemas o leitor sera capaz, facilmente, de entender os proximos resultados
que serao apresentados.
95
6.1 Propriedades dos Limites
Proposicao 6.1 Sejam f e g duas funcoes tais que:
limx→a
f(x) = L1 e limx→a
g(x) = L2
tal que L2 6= 0 (essa condicao e de extrema importancia para esse resultado). Entao:
limx→a
f(x)
g(x)=
limx→a f(x)
limx→a g(x)=
L1
L2
Se f(x) = c e uma constante entao:
limx→a
f(x) = c,
ou seja, limite de uma constante e a propria constante.
Os resultados dessa proposicao sao de facil exemplificacao. Por exemplo, seja f(x) = x + 10 e
g(x) = 2x + 3 vamos analisar o limite:
limx→5
f(x)
g(x)= lim
x→5
x + 10
2x + 3
ora, como e claro que
limx→5
f(x) = limx→5
x + 10 = 5 + 10 = 15
e
limx→5
g(x) = limx→5
2x + 3 = 2 × 5 + 3 = 13
temos que
limx→5
f(x)
g(x)=
limx→a f(x)
limx→a g(x)=
15
13
Agora, seja f(x) = 1033 temos que:
limx→3
1033 = 1033.
pois a funcao e uma constante.
Problema 64 Seja f(x) = 2x + 1 e h um numero real qualquer.
96
(a) Encontre uma funcao g(h) dada por:
g(h) =f(x + h) − f(x)
h
(b) Qual o valor do limite:
limh→0
g(h)?
(c) Faca o grafico da funcao f e interprete graficamente o resultado encontrado na letra (b).
Sugestao: no software Mathematica para fazer o grafico da funcao f dada acima
digite:
P lot[2x + 1, {x,−1, 1}] e aperte SHIFT+ENTER
Esse comando diz que voce vai fazer o grafico da funcao 2x + 1 no intervalo de
x ∈ [0, 1]
6.2 Limites Infinitos e no Infinito
Considere a funcao f(x) = 1/x. Podemos nos perguntar o que acontece com essa funcao quando x
fica cada vez maior. Com o uso de uma calculadora, calcule f(10), f(100), f(1000) e f(1000000).
Voce percebe que quanto maior o valor de x o valor da funcao se aproxima de zero? Quando isso
acontece dizemos que o limite de 1/x quando x tende a ∞ e igual a zero. Esse resultado nos
motiva a fazer a seguinte definicao:
Definicao 29 (Limites no infinito) Sejam f uma funcao real, L1 e L2 numeros reais quaisquer.
Dizemos que:
limx→∞
f(x) = L1
significa que quanto maior o valor de x mais a funcao se aproxima de L1 e,
limx→−∞
f(x) = L2
significa que quanto menor o valor de x mais a funcao se aproxima de L1
97
Exemplo 33 Encontre os seguintes limites:
limx→∞
e−x limx→−∞
x2
x3 + x
Solucao: Observe que
e−x =1
ex.
Dessa maneira, a medida que x cresce, 1/ex decresce e tende a zero. Dessa maneira:
limx→∞
e−x = 0
Ja o segundo limite a ser determinado possui uma indeterminacao:
limx→−∞
x2
x3 + x=
∞−∞
ora, mas observe quex2
x3 + x=
x2
x2(x + 1x)
=1
x +1
x
Agora, caro leitor, toda a indeterminacao que havia no inıcio desapareceu. O termo em vermelho
na igualdade acima claramente tende a zero quando x tende a menos infinito e, dessa maneira,
x + 1/x tendera a menos infinito. Logo, o limite
limx→−∞
x2
x3 + x= lim
x→−∞
1
x + 1x
= 0.
Questao 7 Encontre, se for possıvel, os seguintes limites:
(a)
limx→∞
e−2x
(b)
limx→−∞
ex
98
(c)
limx→∞
x
x2 + 1
(d)
limx→−∞
x
x2 + 1
(e)
limx→∞
sen(x)
x
(f)
limx→∞
cos(e−x)
x
Definicao 30 [Limites Infinitos] Seja f uma funcao real e a um numero real qualquer. Dizemos
que:
limx→a
f(x) = ∞
se, quanto mais o valor de x no argumento da funcao se aproxima de a o valor da mesma fica
cada vez maior. Analogamente, dizemos que
limx→a
f(x) = −∞
se, quanto mais o valor de x no argumento da funcao se aproxima de a o valor da mesma fica
cada vez menor.
Observacao: Muitos autores nao consideram a existencia do limite infinito. Dessa
maneira, tambem nao considerarei a existencia desse limite. Logo, caros alunos,
encarem a notacao:
limx→a
f(x) = ∞
como apenas uma tendencia da funcao, ou seja, quando x tende a a f tende a infinito.
99
Problema 65 Encontre os limites abaixo:
(a) limx→0+
1
x(b) lim
x→0−
1
x
(c) limx→0
1
x(d) lim
x→0+
1
|x|(e) lim
x→0−
1
|x| (f) limx→0
1
|x|(g) lim
x→∞ex (h) lim
x→∞
ex
x4
(i) limx→∞
x2 + x + 1
x3 − 2(j) lim
x→∞
x3 − 2
x2 + x + 1
(k) limx→−∞
ex (l) limx→−∞
ex
x4
6.3 Funcoes Contınuas
Definicao 31 Uma funcao real f e contınua em um ponto “a” se
limx→a
f(x) = f(a).
Se isso nao ocorrer, essa funcao e chamada de descontınua no ponto “a”.
De modo a entender essa definicao, considere a funcao f(x) = 2x + 1. Essa funcao e claramente
contınua no ponto 3 pois
limx→3
f(x) = 2 · 3 + 1 = 7 = f(3).
Entretanto, considere a funcao
g(x) =
{1 se x ≥ 1−1 se x < 1
(6.5)
Observe que, nesse caso, g(1) = 1 mas, evidentemente, essa funcao nao e contınua no ponto 1 de
acordo com a definicao 31 pois
limx→1−
g(x) = −1 e limx→1+
g(x) = +1,
nao fazendo sentido
limx→1
g(x)
100
e, dessa maneira:
limx→1
g(x) 6= g(1) = 1
Graficamente, o grafico de uma funcao contınua nao possui saltos e o grafico de uma funcao
descontınua possui (veja a Figura 6.2)
Figura 6.2: A esquerda, o grafico de f(x) = 2x + 1 (contınua) e, a direita o grafico da funcao gdefinida pela Equacao (6.5).
Problema 66 Considere a funcao f definida pela Equacao (6.1). Mostre que essa funcao e
descontınua. Entretanto, se definirmos uma funcao g como sendo:
g(x) =
{f(x) se x 6= 12 se x = 1
Essa funcao sera contınua. Por que? Faca o grafico dessas duas funcoes.
Problema 67 Considere a funcao definida para x 6= 0 por:
f(x) =
[1
x
],
onde[
1x
]significa o maior inteiro menor do que 1/x. Por exemplo:
f(2) =
[1
2
]= 0
pois 0 e o maior inteiro menor do que 1/2. Faca o grafico dessa funcao e calcule, se existir:
limx→0
f(x).
Essa funcao e contınua no zero? Se nao for, podemos criar alguma outra funcao a partir dessa
que seja?
101
Capıtulo 7
A derivada de uma funcao
Considere uma funcao contınua qualquer e um ponto P no grafico dessa funcao conforme ilustra
um grafico hipotetico mostrado na Figura 7.1. Agora, caro leitor, voce poderia me dizer qual a
inclinacao da reta tangente a esse grafico no ponto P da figura? Esse problema, apesar de ser
facilmente elaborado nao e tao trivial pois, dado um ponto, existem infinitas retas que passam
por ele.
Figura 7.1: Grafico de uma funcao qualquer. O problema de se encontrar a inclinacao da retatangente a esse grafico no ponto P .
Na verdade, encontrar a inclinacao da reta tangente a uma funcao em um ponto P e o que
chamamos derivada da funcao nesse ponto.
102
Para encontrar uma maneira de achar a inclinacao da reta tangente ao ponto P do grafico da
figura acima, vamos olhar mais perto do ponto P (veja Figura 7.2).
Figura 7.2: Reta secante que passa pelos pontos (x0, f(x0)) e (x0 + h, f(x0 + h)).
Como nao sabemos calcular a inclinacao de uma reta dado apenas um unico ponto, vamos conside-
rar dois pontos pertencentes ao grafico dessa funcao: (x0, f(x0)) e (x0 + h, f(x0 + h)) para algum
numero real h. Voces concordam que se h e pequeno a inclinacao da reta tangente ao grafico no
ponto P = (x0, y0) e aproximadamente igual a
f(x0 + h) − f(x0)
h?
Observacao: Para aqueles que ainda nao entenderam, a formula acima nada mais e do que
∆y/∆x (inclinacao da reta).
Dessa maneira, se o limite
limh→0
f(x0 + h) − f(x0)
h
existir, ele sera a inclinacao da reta tangente ao grafico de f (ou simplesmente derivada de f) no
ponto (x0, f(x0)).
Isso nos motiva a fazer a seguinte definicao:
Definicao 32 (Derivada) Seja f : R → R uma funcao real. Se o limite
limh→0
f(x + h) − f(x)
h
103
existir, ele sera denominado derivada de f com relacao a x (pois x e a variavel dessa funcao) e
sera denotado por:df
dx(x) = f ′(x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h.
Assim, por exemplo, a funcao dada no Problema 64 possui derivada igual a 2
Agora, vamos usar a definicao acima para encontrar a derivada de outros tipos de funcoes.
Exemplo 34 Usando a Definicao 32 encontre a derivada da funcao f(x) = 3x2 + 2x + 1.
Solucao: A derivada dessa funcao e dada pelo limite:
df
dx(x) = f ′(x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h.
Dessa maneira, para encontrarmos a derivada da funcao f precisaremos primeiramente encontrar
f(x + h). Ora, como f(x) = 3x2 + 2x + 1 temos que
f(x + h) = 3(x + h)2 + 2(x + h) + 1 = 3x2 + 3h2 + 6xh + 2x + 2h + 1.
Logo:
f(x + h) − f(x) = 3x2 + 3h2 + 6xh + 2x + 2h + 1 − (3x2 + 2x + 1) = 3h2 + 6xh + 2h.
Dessa maneira, obtemos:df
dx(x) = f ′(x) = lim
h→0
3h2 + 6xh + 2h
h
que, a princıpio, chegamos a uma indeterminacao (0/0) quando h tende a 0. Para evitar esse
contratempo, vamos colocar h em evidencia no numerador e no denomidador do lado direito da
igualdade acima, ou seja:
limh→0
3h2 + 6xh + 2h
h= lim
h→0
h(3h + 6x + 2)
h= lim
h→03h + 6x + 2 = 6x + 2.
Logo, a derivada da funcao f(x) = 3x2 + 2x + 1 e igual a f ′(x) = 6x + 2.
Assim, por exemplo, se quisermos encontrar a inclinacao da reta tangente ao grafico de f no ponto
x = 2 basta fazer f ′(2) = 6 · 2 + 2 = 14. (Veja Figura 7.3).
104
Figura 7.3: Grafico da funcao f(x) = 3x2 + 2x + 1.
Existe uma poderosa proposicao que fala que a derivada da soma e a soma das derivadas. Para
mostrar esse fato, sejam f e g duas funcoes reais quaisquer tais que as derivadas f ′(x) e g′(x)
existam. Seja j(x) = f(x) + g(x) mostraremos que
j′(x) = f ′(x) + g′(x) (7.1)
Pela Definicao 32
j′(x) = limh→0
j(x + h) − j(x)
h
= limh→0
f(x + h) + g(x + h) − f(x) − g(x)
h
= limh→0
f(x + h) − f(x)
h+ lim
h→0
g(x + h) − g(x)
h= f ′(x) + g′(x)
Esse resultado nos permite encontrar uma formula para calcular a derivada de qualquer funcao
polinomial. Primeiramente, vamos observar que a derivada de uma funcao constante e sempre
igual a 0 ou seja, mostraremos a seguinte proposicao:
Proposicao 7.1 Seja c um numero real qualquer e f(x) = c uma funcao constante, entao:
f ′(x) = 0
105
Prova: Pela Definicao 32, f(x + h) = c pois f e uma funcao constante. Logo:
f(x + h) − f(x) = c − c = 0.
Problema 68 Seja f(x) = xn, onde n e um numero real diferente de zero. Mostre que:
f ′(x) = nxn−1.
Alem disso, generalize esse fato usando a Equacao (7.1) para mostrar que a derivada da funcao:
f(x) = x4 + 2x3 +1
x+ 1
e igual a:
f ′(x) = 4x3 + 6x2 − 1
x2
A proposicao abaixo, cuja prova e muito complexa no momento, exibe a derivada das principais
funcoes em nosso estudo.
Proposicao 7.2 (Principais Derivadas) Sejam f(x) = ex, g(x) = ln(x), h(x) = sen(x) e
k(x) = cos(x), entao:
f ′(x) = ex, g′(x) =1
xh′(x) = cos(x) e k′(x) = −sen(x).
Problema 69 Encontre a derivada das seguintes funcoes:
(a) f(x) = x2 + 4x3 − ln(x) (b) f(x) =1√x
+ x1/3 − ex + 67
(c) f(x) = (x + 1)2 + 3x3 +3√
x2 (d) f(x) = sen(x) − cos(x) + 4x
(e) f(x) = x + 1 − ln(x) (f) f(x) = 3x2 +4
x5− ex − 2
Problema 70 Encontre a equacao da reta tangente ao grafico de cada uma das funcoes do
problema anterior no ponto de abscissa x = 1. Sugestao: Lembre-se que a equacao da reta e
dada pela equacao y − y0 = m(x − x0). Ora, como m e a inclinacao da reta, a inclinacao da reta
tangente sera nesse caso f ′(1), x0 = 1 e y0 = f(x0).
106
O resultado que apresentarei agora e uma regra de derivacao conhecido como regra do produto.
Esta regra sera bastante util e importante no estudo de derivadas. Basicamente, a regra fala que
a derivada do produto de duas funcoes e a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira
vezes a derivada da segunda, ou seja:
Proposicao 7.3 Sejam f e g funcoes diferenciaveis, entao:
d
dx(f(x) · g(x)) =
d
dx(f(x)) · g(x) + f(x) · d
dx(g(x)) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).
Observacao: em muitos livros de calculo a regra do produto e colocada da seguinte maneira:
(u · v)′ = u′v + uv′. (7.2)
Exemplo 35 Encontre a derivada da funcao f(x) = x2 · sen(x).
Solucao: observe que a funcao f acima e o produto de duas funcoes que sabemos derivar: x2 e
sen(x). Dessa maneira, pela regra do produto, a derivada dessa funcao e a derivada do primeiro
(x2, cuja derivada e 2x) vezes a segunda (sen(x)) mais a primeira (x2) vezes a derivada da segunda
(sen(x), cuja derivada e o cos(x)). Dessa maneira:
f ′(x) = 2x · sen(x) + x2 · cos(x).
Problema 71 Encontre a derivada das funcoes abaixo:
(a) f(x) = x · ex + ex · sen(x) +cos(x)
x(b) f(x) = x2 + x +
sen(x)
x
(c) f(x) =cos(x)
x3(d) f(x) = sen2(x) usando a regra do produto
(e) f(x) = (1 + x)3 usando a regra do produto (f) f(x) = x · sen2(x)
(g) f(x) = x2 · ln(x) (h) f(x) = ex · ln(x)
(i) f(x) = (x3 + 1) · (x4 + x + 2) (j) f(x) = ln(x) · (x + 1) · (x5 − 2)
Problema 72 As variaveis x e y estao relacionadas implicitamente por:
x · y = x2 − x · y.
Encontre dy/dx.
107
O proximo resultado e talvez o mais importante desse conteudo. Dessa maneira, e imprescindıvel
que voce se dedique ao maximo em entender e aplicar a proxima regra de derivacao.
Proposicao 7.4 (Regra da Cadeia) Sejam f e g duas funcoes reais diferenciaveis, entao:
d
dxf ◦ g(x) = f ′(g(x)) · g′(x).
Observacao: A regra da cadeia pode tambem ser escrita da seguinte maneira: se y = f(x) e
u = h(x) entao y depende de u e, dessa maneira:
dy
dx=
dy
du· du
dx. (7.3)
Provavelmente, o uso da regra escrita dessa forma e de melhor aplicacao pratica.
Vamos ver uma facil aplicacao da regra da cadeia em 2 exemplos.
Exemplo 36 Encontre a derivada da funcao h(x) = e2x.
Solucao: Agora, caro leitor, se voce esta pensando que a derivada dessa funcao e a propria
exponencial (ou seja h′(x) = e2x) lamento informar que o senhor esta completamente enganado.
Pense que essa funcao que voce esta querendo derivar e diferente de ex cuja derivada e conhecida.
Alem disso, lembre-se que a derivada nada mais e do que a inclinacao da reta tangente ao grafico
da funcao. Dessa maneira, encontrar a inclinacao da reta tangente ao grafico de e2x deve ser
diferente da inclinacao da reta tangente ao grafico de ex.
Agora, defina f(x) = ex e g(x) = 2x. Claramente,
h(x) = f(g(x)) = eg(x) = e2x
logo, como f ′(x) = ex e g′(x) = 2, temos, pela regra da cadeia:
h′(x) = f ′(g(x)) · g′(x) = eg(x) · 2 = e2x · 2.
O que foi feito acima foi uma aplicacao direta da Proposicao 7.4. Vamos ver como o mesmo
resultado pode ser obtido utilizando a Equacao (7.3).
108
Seja y = e2x. Queremos encontrardy
dx. Como nao sabemos diferenciar essa funcao, seja u = 2x.
Dessa maneira, podemos escrever y como sendo:
y = eu =⇒ dy
du= eu
Agora, pela Equacao (7.3)dy
dx=
dy
du· du
dx= eu · 2 = e2x · 2.
Exemplo 37 Encontre a derivada de y = (2x + 1)5.
Solucao: Novamente observe que, para essa funcao, nao temos uma derivada direta. Mas, seja
u = 2x + 1, claramente:
y = u5 =⇒ dy
du= 5u4
e, comodu
dx= 2, obtemos pela regra da cadeia:
dy
dx=
dy
du· du
dx= 5u4 · 2 = 10(2x + 1)4.
Problema 73 (A regra do quociente) Seja h(x) =f(x)
g(x). Use a regra do produto e a regra da
cadeia para mostrar que:
h′(x) =f ′(x) · g(x) − f(x) · g′(x)
(g(x))2.
Use esse fato para encontrar a derivada de y = tg(x).
Problema 74 Encontre a inclinacao da reta tangente ao grafico das funcoes abaixo no ponto
109
x = 1.
(a) y = ex2
(b) y = sen(x) · ex3
(c) y = sen(2x) + cos2(7x) (d) y = sen2(2x) + cos2(3x + 1)
(e) y =sen(x)
x(use a regra do produto) (f) y = ln(x2 + x + 1)
(f) y = 5√
x + 3 (g) y = x√
x4 + 2
(h) y = cotg(x) (use a regra do produto) (i) y = ln(x) + 3x2 + 2x +e3x
x
Problema 75 Sabe-se que as variaveis x e y estao relacionadas de acordo com a equacao:
y · ln(x) = 2x + 1
Entao, podemos dizer que dydx
e dxdy
sao iguais a...
7.1 Alguns casos especiais - Funcao exponencial e logarıtma
O objetivo dessa secao e chamar atencao para dois casos importantes: a derivada da funcao
exponencial de base qualquer f(x) = bx e da funcao logarıtma de base qualquer f(x) = logbx.
Proposicao 7.5 Seja f(x) = bx para b > 0 e b 6= 1 entao:
f ′(x) = bx · lnb.
Prova: Seja y = bx. Para derivarmos essa funcao, vamos tomar o logarıtmo de ambos os lados
da igualdade anterior, assim:
lny = lnbx ⇐⇒ lny = xln(b)
Agora, diferenciando ambos os lados da igualdade acima e, usando a regra da cadeia, obtemos:
1
y· y′ = ln(b)
e, dessa maneira:
y′ = yln(b) = bxln(b)
110
Exemplo 38 Encontre a derivada de y = 3x.
Solucao: Pela proposicao anterior:
y′ = 3xln3.
Proposicao 7.6 Seja f(x) = logbx para b > 0 e b 6= 1 entao:
f ′(x) =1
xln(b).
Prova: Primeiramente, observe que
f(x) = logbx =lnx
lnb
e, como lnb e uma constante na funcao acima, obtemos:
f ′(x) =1
x· 1
lnb
Exemplo 39 Encontre a derivada da funcao f(x) = log2x.
Solucao: Pela proposicao acima:
f ′(x) =1
xln2.
Problema 76 Encontre a funcao derivada das seguintes funcoes:
(a) y = 4x + 3−x (b) y = 22x+1
(c) y = (x + 1)x (d) y = (3x + 2)7x
(e) y = (x2 + x + 1)x (f) y = (x2 + x + 1)x3
(g) y = (lnx)x (h) y = [ln(x + 1)]x
(i) y = log2(x + 1) (j) y = log7(3x + 2)
111
Com isso, terminamos esse capıtulo. E importante que voce saiba muito bem esses resultados pois
eles serao uteis nos proximos capıtulos.
112
Capıtulo 8
Aplicacoes de Derivadas
Agora, caro leitor, acredito que o curso ficara mais interessante pois esse capıtulo tem como
objetivo mostrar algumas aplicacoes de derivada. Dessa maneira, comecaremos a justificar o
esforco que despendemos para aprender a calcular derivadas.
8.1 Funcoes Crescentes e Decrescentes. Maximos e Mınimos
O objetivo dessa secao e entender como a derivada pode ser usada para ajudar a esbocar graficoS
de funcoes. A arte de esbocar graficos e uma das habilidades que o Calculo pode fornecer para
seus estudos de Economia, Biologia ou Psicologia. Comecaremos com uma definicao simples.
Definicao 33 Uma funcao real f e dita crescente se para todo x2 > x1 temos f(x2) > f(x1). Ela
sera decrescente se para todo x2 > x1 temos f(x2) < f(x1).
Em termos praticos, uma funcao e crescente se quanto maior o x maior o valor de y e, decrescente,
caso contrario (veja Figura 8.1).
Agora observe que, como a derivada e a inclinacao da reta tangente, se uma funcao e crescente, a
derivada e positiva e, se e decrescente sua derivada e negativa. Isto e geometricamente evidente
se lembrarmos que uma reta aponta para cima, a direita, se seu coeficiente angular for positivo;
e, para baixo, a direita se seu coeficiente angular for negativo.
113
Figura 8.1: (a) Funcao crescente e (b) Funcao decrescente.
E claro que uma curva lisa so pode se transformar de crescente para decrescente passando por um
ponto em que o coeficiente angular da reta tangente e zero. Analogamente, ela so pode mudar de
decrescente para crescente passando por uma depressao onde o coeficiente angular da reta tangente
e zero. Nesses pontos temos um valor maximo ou mınimo (relativos) da funcao. Esses pontos sao
chamados de pontos crıticos da funcao f e, como a inclinacao da reta tangente e a derivada da
funcao no ponto dado temos que podemos encontrar os pontos crıticos fazendo
f ′(x) = 0.
Observacao: E importante salientar que um valor crıtico nem sempre e um ponto de maximo ou
mınimo da funcao (veja Figura 8.2).
Como o leitor deve estar se perguntando, como identificar um ponto de maximo ou mınimo de
uma funcao? O proximo resultado fornece uma condicao necessaria e suficiente para que um ponto
crıtico (valor de x para o qual f ′(x) = 0) seja um ponto de maximo ou mınimo de uma funcao.
Proposicao 8.1 (Teste da Derivada Segunda) Seja f uma funcao duas vezes diferenciavel,
ou seja, uma funcao cuja derivada segunda exista. Um ponto crıtico, x0, dessa funcao sera um
ponto de maximo se f ′′(x0) < 0 e de mınimo se f ′′(x0) > 0. Se nenhuma dessas alternativas
ocorrer, x0 nao e nem maximo nem mınimo da funcao.
114
Figura 8.2: Grafico mostrando regioes onde a derivada e positiva (funcao crescente), negativa(funcao decrescente) ou zero (que pode ou nao ser um ponto de maximo ou mınimo): em particular,nesse grafico temos apenas um ponto de maximo. Observe que o ponto central apesar de ser umponto crıtico da funcao nao e um ponto de maximo ou mınimo.
Prova: Fornecerei uma prova bastante geometrica. Observe que se f ′′(x0) e negativa, entao a
derivada em uma vizinhanca do ponto x0 e decrescente1. Ora, como x0 e um ponto crıtico da
funcao temos que f ′(x0) = 0 e, como f ′(x) e decrescente em uma vizinhanca de x0 se x1 < x0
f ′(x1) < f ′(x0) = 0.
e, se x2 > x0
f ′(x2) > f ′(x0) = 0.
o que faz com que a funcao possua concavidade voltada para baixo o que implica no ponto x0 ser
um ponto de maximo (veja Figura 8.3).
Agora, observe que se f ′′(x0) e positiva, entao a derivada em uma vizinhanca do ponto x0 e
crescente2. Ora, como x0 e um ponto crıtico da funcao temos que f ′(x0) = 0 e, como f ′(x) e
1LEMBRE-SE QUE SE A DERIVADA DE UMA FUNCAO E NEGATIVA, A PROPRIA FUNCAO E DE-
CRESCENTE. DESSA MANEIRA, SE A DERIVADA DA DERIVADA E POSITIVA, ENTAO A DERIVADA E
UMA FUNCAO DECRESCENTE.2LEMBRE-SE QUE SE A DERIVADA DE UMA FUNCAO E POSITIVA, A PROPRIA FUNCAO E CRES-
CENTE. DESSA MANEIRA, SE A DERIVADA DA DERIVADA E POSITIVA, ENTAO A DERIVADA E UMA
FUNCAO CRESCENTE.
115
Figura 8.3: Grafico mostrando um ponto de maximo.
crescente em uma vizinhanca de x0 se x1 < x0
f ′(x1) > f ′(x0) = 0.
e, se x2 > x0
f ′(x2) < f ′(x0) = 0.
o que faz com que a funcao possua concavidade voltada para cima o que implica no ponto x0 ser
um ponto de mınimo (veja Figura 8.4).
Exemplo 40 Faca o grafico da funcao y = f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 12.
Solucao: Ao se fazer o grafico de uma funcao, devemos seguir os seguintes passos que, ao final
do problema, farao bastante sentido.
1. Encontrar o domınio da funcao;
2. Encontrar o comportamento da funcao proximos aos pontos extremos de seu domınio;
116
Figura 8.4: Grafico mostrando um ponto de mınimo.
3. Encontrar os pontos crıticos;
4. Classificar os pontos crıticos (maximo, mınimo, nem um dos dois);
5. Estudar o sinal da derivada (lembre-se que se a derivada e positiva a funcao e crescente e,
se e negativa ela e decrescente);
6. Estudar o sinal da derivada segunda da funcao (lembre-se que se a derivada segunda e
positiva a funcao possui concavidade para cima e, se e negativa a concavidade e para baixo).
Item 1: observe que o domınio e real R.
Item 2: Verifique que
limx→∞
f(x) = ∞ e limx→∞
f(x) = −∞.
Item 3: Para encontrar os pontos crıticos, devemos fazer f ′(x) = 0, logo:
f ′(x) = 6x2 − 6x − 12
dessa maneira, os pontos crıticos sao dados por:
6x2 − 6x − 12 = 0 ⇒ x = −1 ou x = 2.
117
Item 4: para classificar os pontos crıticos devemos usar a Proposicao 8.1, ou seja, devemos verificar
o sinal da derivada segunda nos pontos crıticos. Dessa maneira:
f ′′(x) = 12x − 6
e, como f ′′(−1) = −12 − 6 = −18 < 0 obtemos que x = −1 e um ponto de maximo e, como
f ′′(2) = 24 − 6 = 18 > 0 temos que x = 2 e um ponto de mınimo.
Item 5: Fazendo o estudo do sinal da derivada f ′(x) = 6x2 − 6x − 12 obtemos que f ′(x) > 0 se
x < −1 ou x > 2 o que faz com que a funcao seja crescente nesse intervalo. Alem disso, f ′(x) < 0
se −1 < x < 2 o que faz com que a funcao seja decrescente nesse intervalo.
Item 6: Fazendo o estudo do sinal da derivada segunda f ′′(x) = 12x−6 obtemos que f ′′(x) > 0 se
x > 1/2 o que faz com que a funcao seja concava para cima nesse intervalo. Alem disso, f ′′(x) < 0
se x < 1/2 o que faz com que a funcao seja concava para baixo nesse intervalo.
Resumindo, temos o esquema mostrado na Figura 8.5. Utilizando esse esquema e os resultados
obtidos nos ıtens 1 e 2 obtemos o grafico mostrado na Figura
Figura 8.5: Figura mostrando o esquema encontrado no Exemplo 40. FC - significa funcao cres-cente, FD - significa funcao decrescente, CC - significa concavidade para cima e CB - concavidadepara baixo.
118
Figura 8.6: Grafico da funcao f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 12.
Problema 77 Esboce o grafico das funcoes abaixo:
(a) y = x2 − 2x (b) y = 2 + x − x2
(c) y = x2 − 6x + 9 (d) y = x2 − 4x + 5
(e) y = x3 − x (f) y = x4 − 2x2 + 1
(g) y = 3x4 + 4x3 (h) y = 3x5 − 20x3
(i) y = x +1
x(j) y =
x
(x − 1)2
(k) y = x√
3 − x (l) y = 5x2/3 − x5/3
Problema 78 (So para Engenharia) Esboce o grafico de uma funcao f(x) definida para x > 0
e tendo as propriedades:
f(1) = 0 e f ′(x) =1
x.
Que funcao e essa?
Problema 79 Construa uma formula de uma funcao f(x) com um maximo em x = −2 e um
mınimo em x = 1.
119
8.2 Problemas de Maximos e Mınimos
Problema 80 Seja f(x) = 3x3. Mostre que essa funcao nao possui ponto de mınimo.
Problema 81 Considere uma funcao polinomial de grau dois f(x) = ax2 + bx + c. Mostre que
essa funcao possui apenas um ponto crıtico e que a coordenada x desse ponto e igual a −b/(2a) e
sua coordenada y = −∆/(4a). Alem disso, mostre que se a > 0 o ponto e de mınimo e se a < 0
esse ponto e de maximo.
Problema 82 Sejam x e y dois numeros reais positivos cuja soma e igual a 12, ou seja, x+y = 12.
Qual o maior valor de x · y2?
Problema 83 Ache dois numeros positivos tais que sua soma seja 30 e seu produto xy4 seja
maximo.
Problema 84 Ache dois numeros positivos x e y tais que sua soma seja 56 e o produto x3y5 seja
maximo.
Problema 85 Ache o numero positivo tal que a soma de seu cubo com 48 vezes o inverso de seu
quadrado seja mınima.
Problema 86 A soma de tres numeros positivos e 15. O dobro do primeiro mais tres vezes o
segundo mais quatro vezes o terceiro e 45. Escolha esses numeros de modo que o produto dos tres
seja maximo.
Problema 87 Gabriel, que cria gado de corte, tem um rebanho de 200 animais em seus currais,
cada um deles pesando 270 Kg. O custo diario de manutencao de um animal e R$ 8, 00. Os
animais estao ganhando peso a uma taxa de 3, 6 Kg/dia. O preco de mercado e hoje R$ 28, 00
por kilo, mas esta caindo 10 centavos por dia. Quantos dias deve o fazendeiro esperar a fim de
vender seus animais com lucro maximo?
120
Problema 88 Se l e um numero real positivo, considere uma corda de comprimento 4l. Deseja-se
fazer uma figura retangular com essa corda. Mostre que a figura geometrica formada de maior
area e um quadrado.
Problema 89 Considere a figura abaixo:
Deseja-se cercar um muro com uma cerca de comprimento 20m. Qual deve ser as dimensoes
retangulares do terreno para o qual a area cercada seja maxima?
Problema 90 O custo de producao de x unidades de produto e dado pela funcao C(x) = x · lnx+
10. Faca o grafico da funcao custo e encontre o valor de x para o qual o custo e mınimo. Alem
disso, faca o grafico da funcao custo marginal e mostre que ela nao possui ponto de maximo.
Problema 91 Um grupo de x pessoas deseja fretar um aviao com 120 lugares para uma viagem
de Belo Horizonte para Bambuı. A companhia de turismo cobra de cada passageiro R$900, 00 mais
R$10, 00 por cada lugar vago. Assim, por exemplo, se 100 pessoas vao viajar cada uma paga 900
mais 10 × 20 (devido a 20 lugares vagos). Encontre a receita da companhia de turismo. Quantos
passageiros devem viajar para que a receita da companhia seja maxima?
121
Problema 92 Um negociante de carros estrangeiros sabe que o custo de importacao e de venda
de x carros por ano e C(x) = 56000 + 3500x − 0, 01x2 dolares. Sua experiencia diz que ele pode
vender x = 40000 − 10p carros a p dolares cada carro.
(a) Quantos carros ele deve importar para obter o lucro maximo?
(b) Qual deve ser o preco de venda de cada carro?
(c) Qual e seu lucro maximo?
Problema 93 Se a demanda x de um certo bem e uma funcao linear decrescente do preco p,
mostre que a receita marginal e tambem linear e decrescente.
Problema 94 Uma fabricante de lavadoras compra 3000 motores eletricos por ano para instalar
em suas maquinas. Ele gasta R$100, 00 para fazer uma encomenda; o custo de armazenamento
de um motor e de R$2, 40 por ano. Quantos motores deve ele pedir por vez e quantas vezes?
Problema 95 (Difıcil) O gerente de propaganda de uma loja descobre que colocando um anuncio
em qualquer dia do jornal vespertino ele pode aumentar suas vendas diarias de utensılios domesticos
a R$3000, 00 no dia seguinte a publicacao do anuncio. A seguir, as vendas caem R$50, 00 por dia
ate um nıvel de R$2000, 00 ou ate a publicacao de outro anuncio, o que ocorrer primeiro. Sabendo
que cada publicacao custa R$400, 00 qual deve ser a frequencia da publicacao da propaganda para
maximizar o lucro?
Problema 96 Um lado de um retangulo esta crescendo a uma taxa de 17 cm/min e o outro
esta decrescendo a uma taxa de 5 cm/min. Num certo instante, o comprimento desses dois lados
sao 10 cm e 7 cm, respectivamente. A area do retangulo esta crescendo ou decrescendo naquele
instante? Com que velocidade?
Problema 97 Uma pagina impressa dever ter A centımetros quadrados de materia impressa,
sendo exigido que tenha margens laterais de largura a centımetros e margens no topo e na base
122
de largura b centımetros. Ache o comprimento das linhas impressas se a pagina e planejada para
usar o menor papel. Faca o mesmo se A = 623, 7 cm2, a = 1cm e b = 2cm.
123
Capıtulo 9
Funcoes de Varias Variaveis
O objetivo desse capıtulo e fazer uma breve discussao sobre funcoes de varias variaveis. Na
verdade, este capıtulo pretende fornecer a ferramenta matematica necessaria para que voce, caro
leitor, se saia bem na prova nacional da FGV. Dessa maneira, o rigor matematico apresentado
aqui esta longe de ser o ideal1.
Definicao 34 Uma funcao real de n variaveis, f : Rn → R e uma funcao que transforma um
ponto no espaco Rn em um numero real, ou seja:
(x1, x2, · · · , xn) 7→ f(x1, x2, · · · , xn).
Apesar da definicao ser um tanto complicada, considere a funcao real de 2 variaveis dada por:
f(x, y) = x − 2y.
Basicamente, essa funcao transforma pontos do plano xy em numeros reais dada pela relacao:
x−2y. Por exemplo, ela transforma o ponto (1, 3) no numero real 1−2 · 3 = −5 e o ponto (5,−1)
no numero real 5 − 2 · (−1) = 7 (veja Figura 9.1).
Problema 98 Encontre f(1, 3,−7) para as funcoes reais de tres variaveis abaixo:
(a) f(x, y, z) = x2y − zx + 2;
1Uma excelente referencia bibliografica e o livro do SIMMONS - Calculo Com Geometria Analıtica - Vol.2
124
Figura 9.1: Essa figura mostra como a funcao f(x, y) = x−2y transforma os pontos (1, 3) e (5,−1)pertencentes ao plano xy (ou espaco R
2) em um numero real.
(b) f(x, y, z) = ln(xy) − xyez;
(c) f(x, y, z) =x + 1
y + z;
(d) f(x, y, z) = xz − y;
(e) f(x, y, z) = x + y + z;
(f) f(x, y, z) = 2x · sen(x) + cos(2πy);
(g) f(x, y, z) = zxy − 5.
9.1 Domınio de uma funcao real de varias variaveis
Para se encontrar o domınio de uma funcao real de varias variaveis, fazemos o mesmo do que para
uma funcao real de uma variavel. Por exemplo, seja
f(x, y) =1
y − x,
125
entao, seu domınio e o conjunto dos pontos no plano xy tais que y − x 6= 0, ou seja:
Dom f = {(x, y) | y 6= x}.
Geometricamente, um ponto no plano xy pertence ao domınio de f se ele nao pertence a reta
y = x.
Problema 99 Encontre o domınio das funcoes reais abaixo:
(a) f(x, y) =1
x2 + y2;
(b) f(x, y) =√
1 − x2 + y2;
(c) f(x, y, z) = x +z
y;
(d) f(x, y, z, w) = z + w + e−xy;
(e) f(x, y) =1
x.
9.2 Derivadas Parciais
Suponha que y = f(x) seja uma funcao de apenas uma variavel. Sabemos que sua derivada,
definida pordy
dx= lim
h−→0
f(x + h) − f(x)
h
pode ser interpretada como a taxa de variacao de y com relacao a x. No caso de uma funcao z =
f(x, y) de duas variaveis independentes, necessitaremos de instrumental matematico semelhante
para trabalhar com a taxa com que z muda quando ambos x e y variam. A ideia chave e fazer com
que apenas uma variavel por vez varie, enquanto a outra e mantida invariavel. Para funcoes de
mais de duas variaveis, o procedimento e fazer com que uma delas varie enquanto todas as outras
sao mantidas invariaveis. Especificamente, derivamos com relacao a apenas uma variavel por vez,
encarando todas as outras como constantes; tal procedimento nos da uma derivada para cada uma
das variaveis independentes. Essas derivadas individuais sao as pecas com as quais construiremos
o instrumental mais complicado, que sera necessario mais tarde.
126
Voltando a nossa funcao de duas variaveis f(x, y), se fixamos y e consideramos x como variavel.
A taxa de variacao de f com relacao a x e definida por:
∂f
∂x(x, y) = lim
h−→0
f(x + h, y) − f(x, y)
h.
Assim, por exemplo, se f(x, y) = xy2 temos:
∂f
∂x(x, y) = lim
h−→0
f(x + h, y) − f(x, y)
h
= limh−→0
(x + h)y2 − xy2
h
= limh−→0
hy2
h= y2
onde, a segunda igualdade acima segue do fato de que, se f(x, y) = xy2 entao f(x+h, y) = (x+h)y2.
Analogamente, se x for mantido fixo e y variar, entao a derivada parcial de f com relacao a y e
definida por:∂f
∂y(x, y) = lim
h−→0
f(x, y + h) − f(x, y)
h.
Assim, para a funcao definida acima, temos:
∂f
∂y(x, y) = lim
h−→0
f(x, y + h) − f(x, y)
h
= limh−→0
x(y + h)2 − xy2
h
= limh−→0
2xyh + xh2
h= 2xy
O exemplo acima nos indica uma maneira bastante facil de calcular derivadas parciais. Para
se derivar uma funcao com relacao a x consideraremos todas as outras variaveis constantes e
derivamos normalmente. E isso vale para todas as outras variaveis tambem.
Exemplo 41 Seja f(x, y, z) = 3xy3 + yz + ln(x) − z, encontre:
∂f
∂x,
∂f
∂ye
∂f
∂z
127
Solucao: Primeiramente, vamos encontrar ∂f∂x
. Para fazer isso, consideraremos a funcao acima
apenas como uma funcao de x e todas as outras variaveis sao constantes. Dessa maneira:
∂f
∂x= 3y3 + 0 +
1
x− 0 = 3y3 +
1
x.
Agora, na derivada parcial da funcao com relacao a y, consideraremos f como uma funcao de y e
todas as outras variaveis consideraremos constantes. Dessa maneira:
∂f
∂y= 9xy2 + z + 0 − 0 = 9xy2 + z.
Finalmente:∂f
∂z= 0 + y + 0 − 1 = y − 1.
Problema 100 Calcule∂f
∂x,
∂f
∂y,
∂2f
∂x2,
∂2f
∂y2,
∂2f
∂y∂xe
∂2f
∂x∂ypara as funcoes reais de duas variaveis
abaixo:
(a) f(x, y) = 2x + 3y (b) f(x, y) = 5x2y
(c) f(x, y) =2y2
3x + 1(d) f(x, y) = y · cosx
(e) f(x, y) = x2sen(y) (f) f(x, y) = cos(3x − y)
(g) f(x, y) = xy · exy (h) f(x, y) = exsen(y)
(i) f(x, y) = ey ln(x2) (j) f(x, y) = ln(3x + y2)
Observacao:∂2f
∂y∂x=
∂
y
(∂f
∂x
),
ou seja, primeiro derivamos parcialmente com relacao a x e, esse resultado, derivamos com relacao
a y.
Problema 101 Calcule as derivadas parciais com relacao a x, y e z para todas as funcoes abaixo.
128
(a) f(x, y, z) = x2y5z7 (b) f(x, y, z) = x · ln y
z
(c) f(x, y, z) = ex2+y2+z4
(d) f(x, y, z) = exyz
CONSIDERACOES FINAIS: alguns livros gostam da notacao:
fx =∂f
∂x.
Assim:
fxx =∂2f
∂x2, fxy =
∂2f
∂y∂x.
9.3 Derivadas direcionais e o vetor gradiente
O leitor deve estar se perguntando como definir uma derivada de uma funcao real de varias
variaveis. Dessa maneira, o objetivo dessa secao e definir justamente isso.
Definicao 35 (Definicao de Gradiente) Seja f : Rn → R uma funcao de n variaveis. Defini-
mos o gradiente de f , ou simplesmente grad f , como sendo o vetor:
grad f(x1, x2, · · · , xn) =
(∂f
∂x1
,∂f
∂x2
, · · · , ∂f
∂xn
)
Observacao: Alguns livros usam a notacao ∇ f para denotar o gradiente de f .
Exemplo 42 Seja f(x, y, z) = x2 + xy + xyz2, encontre o vetor gradiente de f no ponto (1, 3, 0).
Solucao: observe que, pela definicao de gradiente, devemos encontrar todas as derivadas parciais
da funcao f . Dessa maneira:
∂f
∂x= 2x + y + yz2;
∂f
∂y= x + xz2;
∂f
∂y= 2xyz.
Logo, o vetor gradiente e o vetor:
grad f(x, y, z) = (2x + y + yz2, x + xz2, 2xyz)
129
e, dessa maneira, como foi pedido o vetor gradiente no ponto (1, 3, 0) devemos fazer, no gradiente,
x = 1, y = 3 e z = 0. Logo:
grad f(1, 3, 0) = (5, 1, 0).
Problema 102 Encontre o vetor gradiente de todas as funcoes dos Problemas 100 e 101.
O gradiente possui uma interpretacao interessante: ele e um vetor que aponta para o sentido de
maior crescimento da funcao. Assim, considere que a temperatura em uma sala varia de acordo
com a posicao na mesma e e dada por:
T (x, y, z) = 2x + 3xy + z3.
Uma mosca se encontra, inicialmente, na posicao (1, 2, 5) e deseja se esfriar. Para qual direcao ela
deve voar?
Como foi dito, o vetor gradiente aponta no sentido de maior crescimento da funcao. Dessa maneira,
se encontrarmos o vetor gradiente no ponto onde a mosca se encontra saberemos em qual direcao
a temperatura cresce mais rapidamente e, evidentemente, a mosca devera se mover no sentido
oposto a esse vetor. Logo, observe que:
∇T (x, y, z) = (2 + 3y, 3x, 3z2)
e, no ponto onde a mosca se encontra:
∇T (1, 2, 5) = (8, 3, 75)
Portanto, a mosca devera voar no sentido contrario ao vetor (8, 3, 75).
9.4 Problemas de maximos e mınimos envolvendo funcoes
de varias variaveis
Esse secao e provavelmente a mais importante da parte de funcoes de varias variaveis e, se o leitor
estudou bastante a Secao 8.2 nao tera dificuldade. Comecaremos com um problema simples.
130
Exemplo 43 Sejam x, y e z tres numeros positivos tais que x + y + 2z = 12. Para qual valor de
x, y e z o produto x · y · z e maximo?
Solucao: Devemos encontrar valores de x, y e z que maximizem a funcao
P (x, y, z) = xyz. (9.1)
Ora, apesar de parecer, essa funcao nao depende das tres variaveis, pois existe uma relacao entre
x, y e z que foi fornecida no problema:
x + y + 2z = 12. (9.2)
Isolando qualquer uma das variaveis, por exemplo, a variavel x = 12 − y − 2z obtemos, na
Equacao (9.1):
P (y, z) = (12 − y − 2z)yz = 12yz − y2z − 2yz2
Com uma certa analogia com a Secao 8.2, para encontrar maximos e mınimos de funcao, devemos
encontrar os pontos crıticos da funcao P (y, z) e, como o gradiente de alguma maneira e o analogo
da derivada para funcoes de varias variaveis, os pontos crıticos sao dados por:
∇ P (y, z) = (12z − 2yz − 2z2, 12y − y2 − 4yz) = (0, 0)
ou seja: {12z − 2yz − 2z2 = 012y − y2 − 4yz = 0
Colocando z em evidencia na primeira equacao do sistema linear acima, obtemos
z(12 − 2y − 2z) = 0 =⇒ z = 012 − 2y − 2z = 0
observe que z = 0 nao e uma solucao de interesse no nosso problema pois, se z = 0 a funcao
produto que queremos maximizar sera igual a 0. Dessa maneira:
12 − 2y − 2z = 0 (9.3)
Agora, colocando y em evidencia na segunda equacao do sistema linear acima, obtemos
y(12 − y − 4z) = 0 =⇒ y = 012 − y − 4z = 0
131
observe que y = 0 nao e uma solucao de interesse no nosso problema pois, se y = 0 a funcao
produto que queremos maximizar sera igual a 0. Dessa maneira:
12 − y − 4z = 0 (9.4)
Logo, pelas Equacoes (9.3) e (9.4) obtemos:
{12 − 2y − 2z = 012 − y − 4z = 0
e, resolvendo esse sistema linear obtemos: z = 2, y = 4 e, para encontrar o valor de x, substituimos
esses valores na Equacao (9.2) e, dessa maneira, x = 4.
Problema 103 Se a soma de tres numeros x, y e z e 12, quais devem ser esses numeros para
que o produto de x, y2 e z3 seja maximo?
Problema 104 Mostre que uma caixa retangular com tampa e volume dado tera a menor area
de superfıcie se for cubica.
Problema 105 Mostre que uma caixa retangular com tampa e area de superfıcie dada tera o
maximo volume se for cubica.
Problema 106 (Importante) As faces laterais de uma caixa retangular aberta custam o dobro,
por metro quadrado, da base. Determine as dimensoes relativas da maior caixa que pode ser feita
com dado custo.
Problema 107 Sendo α, β e γ os angulos internos de um triangulo. Calcule o valor maximo de
senα + senβ + senγ.
132
9.5 Maximos e mınimos - versao mais aprofundada
Existe um poderoso teorema que estabelece algumas propriedades para que uma funcao de duas
variaveis possua ponto de maximo ou mınimo. A prova do mesmo nao e objetivo dessas notas de
aula.
Teorema 9.1 Seja f(x, y) uma funcao real de duas variaveis, dizemos que o ponto crıtico
(x0, y0) e:
• Ponto de mınimo local se:∂2f
x2> 0 e D > 0
• Ponto de maximo local se:∂2f
x2< 0 e D > 0
• Ponto de sela (nem maximo nem mınimo) se D < 0,
onde:
D =∂2f
∂x2· ∂2f
∂y2−
[∂2f
∂y∂x
]2
.
Basicamente, os dois primeiros ıtens acima sao analogos aos resultados obtidos com as condicoes
de maximo e mınimo para funcoes de uma variavel.
Exemplo 44 Encontre os pontos crıticos da funcao f(x, y) = xy e classifique-os como maximo,
mınimo ou nenhum dos dois.
Solucao: primeiramente, devemos encontrar os pontos crıticos dessa funcao. Dessa maneira, o
gradiente dessa funcao e dado por:
∇f(x, y) = (y, x)
133
logo, os pontos crıticos sao encontrados fazendo o gradiente dessa funcao igual ao vetor (0, 0).
Dessa maneira: {y = 0x = 0
Portanto, o unico ponto crıtico dessa funcao e claramente o ponto (0, 0). Agora, devemos classifica-
lo. Como∂f
∂x= y → ∂2f
∂x2= 0
e,∂f
∂y= x → ∂2f
∂y2= 0
Alem disso, observe que:∂2f
∂y∂x= 1
o que implica que:
D = 0 − 1 = −1 → PONTO DE SELA.
Se quiser saber mais sobre o assunto procure o livro do SIMMONS - VOL.2.
MAIS UMA VEZ GOSTARIA DE SALIENTAR QUE ESSA SECAO NAO E MUITO IMPOR-
TANTE PARA SUA FORMACAO COMO ADMINISTRADOR!!!
COLOCAREI MAIS EXERCICIOS EM UM MOMENTO MAIS OPORTUNO - RELAXE E
NAO PENSE MUITO NESSA PARTE.
134
Capıtulo 10
Integrais
Chegamos a reta final do nosso curso: entramos no calculo integral. Nao se assuste pois os
conceitos colocados aqui sao extremamente simples mas demandam de um bom tempo de estudo
e dedicacao.
Comecaremos com um problema simples: suponha que f(x) = x. Voce saberia dizer qual e a
funcao cuja derivada e igual a f(x)?
Sem muito esforco podemos observar que a funcao F (x) =x2
2e uma funcao cuja derivada F ′(x) =
x = f(x). Entretanto, a funcaox2
2+ 5 tambem e uma funcao cuja derivada e igual a f(x). Ora,
podemos ir alem, toda funcao do tipo:
x2
2+ C, onde C e uma constante qualquer
e uma funcao cuja derivada e igual a x.
O processo de encontrarmos qual a funcao cuja derivada e igual a propria funcao e o que chamare-
mos de integral e denotaremos por: ∫f(x) dx
Observacao: no sımbolo acima le-se a integral de f com relacao a variavel x mas que, na
pratica, significa qual e a funcao cuja derivada e igual a f(x).
135
No exemplo dado anteriormente, observamos que
∫x dx =
x2
2+ C
E bem facil generalizar esse resultado para uma funcao do tipo f(x) = xn e obtemos que:
∫xn dx =
xn+1
n + 1se n 6= −1
ln(x) se n = −1
CANSEI - TERMINO NO FIM DE SEMANA
136
