8/8/2019 CaptuloIX

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Captulo IX

Foras distribudas Momentos de inrcia

9.3 Determinar por integrao direta os momentos de inrcia dafigura abaixo, em relao aos eixos x e y.

a estabelece-se inicialmente uma faixa elementar retangular conforme odesenho abaixo. Esta faixa ter uma dimenso infinitesimal, ou seja dx ou dy, e aoutra dimenso x ou y. Poder-se-ia tomar como elemento infinitesimal umquadrado elementar dxdy, mas teramos que fazer uma integrao dupla. Com oauxlio do retngulo podemos resolver o problema com uma integrao simples..

b verificao da equao das curvas:

- equao da reta y2 = m.x No ponto y2 = b temos x = a Ento b = m.a e m = b/a

Substituindo na equao teremos xa

by =

2

- equao da parbola y1 = k x2 No ponto y1 = b temos x = a Ento b = k a2 e k

= b/a2 . Substituindo na equao teremos2

21x

a

by =

c momento em relao ao eixo y:

y

x Momento de (-) momento

y2

y2

y

1

y1

x x

dx

144

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d Iy = x2.dA porque Iy = x2 . dA , por definio. Ento

d Iy = x2 . dA = x2 . y . dx = x2 (y2-y1).dx

dxxa

bdxx

a

bdxx

a

bx

a

bxdII

aaa

yy

===

0

4

20

32

20

2)(

baa

ba

a

bax

a

bx

a

bI

y

3

2

545

2

4

5

1

4

1

5454

==

= baIy

3

20

1=

d momento em relao ao eixo x:

Podemos utilizar o mesmo retngulo elementar do item anterior uma vez queconhecemos o valor de seu momento de inrcia em relao ao eixo x, que passa

por sua base, e que vale : dxydIx3

3

1=

Subtraindo os momentos de inrcia dos dois retngulos elementares da figura,entre o eixo x e a curva y2 e entre o eixo x e a curva y1 teremos:

dxydxydIy

3

133

1

3

1= Substituindo y1 e y2 em funo de x:

dxxa

bdxx

a

bdI

x

6

6

3

3

3

3

3

1

3

1= === dxx

a

bdxx

a

bdII

aa

xx

0

6

6

3

0

3

3

3

33

37

6

34

3

3

21

1

12

1

7343ab

a

a

ba

a

b

== 3

28

1abI

x=

Note que como usamos uma faixa elementar paralela ao eixo y fica mais fcilcalcular o momento de inrcia em relao a y, Iy, por integrao direta, uma vezque todos os pontos do retngulo elementar se encontram a mesma distncia xdo eixo y. Por outro lado em relao ao eixo x as distncias y so variveis, j queo retngulo elementar perpendicular ao eixo x. Assim mais fcil resolver oproblema utilizando o momento de inrcia do retngulo elementar com relao a

sua base (eixo x) usando a frmula conhecida

3

3bhI

x= onde, substituindo y=h e

b=dx teremos3

3dxydI

x= .

e - No entanto podemos calcular o valor de Ix empregando um retnguloelementar paralelo ao eixo x, e , neste caso, como todos os pontos do retnguloestaro a uma mesma distncia do eixo x, poderemos utilizar a frmula derivadada definio de momento de inrcia: dAyIx = 2

145

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Obtendo as equaes em funo de y teremos2

12

11 = b

ayx : e bay

x

2

2 =

Portanto dyb

ayydy

b

ayydyxxydAyI

x

===

2

2

2

2

12

12

121

22)(

b

ab

b

aby

b

ay

b

adyy

b

ady

b

ayI

b

b

bb

x4

7

2

4

2

72

74

2

1

2

7

4

2

10

3

0 2

1

2

5

=

==

3

3

3

28

78

47

2ab

ababI

x

== 3

28

1abI

x= resultado igual ao obtido anteriormente.

9.6 - Determinar o produto de inrcia do tringulo retngulo.

Observe que a determinao do produto de inrcia por integrao parte sempredo valor do produto de inrcia do retngulo elementar em relao aos seus eixosbaricentrais, o qual nulo devido simetria da figura. Note que em seguidatransferimos este valor para os eixos x e y e procedemos a integrao com estenovo valor.

a - Para o retngulo elementar:dPxy = dPxy + x y A, onde dPx'y'= 0 (devido simetria do retngulo)

y

x1

x2

dy b

y

x

a

146

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b determinao da equao da reta relao entre as variveis x e y

Do tringulo tiramos:

b

hxyh

b

h

x

yh .==

e

=

b

xhy 1

tambm: xxel = ,

==

b

xhyyel 1

2

1

2

1e dx

b

xhydxdA )1( ==

c determinao de Pxy:

+=

===

bb

elel dxb

x

b

xx

hdxb

x

hxdAyxdPxyPxy 0 2

322

0

2

2

.22.1.2

1

..

22

0

2

4322

.24

1

834hbPxy

b

x

b

xxhPxy

b

=

+=

Este valor corresponde ao produto de inrcia em relao aos eixos x e y. devemosagora utilizar o teorema dos eixos paralelos para obter o produto de inrcia emrelao aos eixos que passam pelo centride do tringulo:

d - yxP em relao ao baricentro do tringulo:

Coordenadas do baricentro

bx31= hy

31=

Pelo teorema dos eixos paralelos

AyxyxPPxy ..+=

147

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222222

18

1

24

1.

2

1.

3

1.

3

1

24

1hbhbhbhbhbyxP =

=

hbyxP 2

72

1=

Note que como o centride est acima e a direita dos eixos x e y as distncias x e

y so tomadas com o sinal positivo.e - Suponhamos agora o tringulo em outra posio:

para o retngulo elementar temos : dAyxdPxy elel ..= , xxel = e yyel2

1=

do tringulo: xb

hy

b

h

x

y== equao da reta que passa pela origem

Clculo de Pxy , produto de inrcia do tringulo em relao a xy:

dxxb

hxdPxy

2

.2

1.

= e

=== 4..21

..2

14

2

2

0

3

2

2 b

b

hdxxb

hPxydPxy

b

Clculo de em relao aos eixos que passam pelo centride da rea:

As coordenadas do baricentro so:

bx3

2= e

3

hy =

AyxyxPPxy ..+=

222222

9

1

8

1

2

..

3.

3

2.

8

1hbhb

hbhbhbyxP =

= 22

72

1hbyxP =

Comparando os valores para os produtos de Inrcia baricentrais do tringulo nasduas posies, observamos que os dois valores so diferentes. Como o tringulono foi rebatido em relao eixos x e y, os valores obtidos no tm nenhumarelao entre si. No entanto, caso a figura fosse rebatida em relao ao eixo x ouy como nas figuras abaixo, obteramos o mesmo valor, porm com sinais trocadosa cada rebatimento. Verifique.

148

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9.17 Determine o momento polar de inrcia e o raio polarde girao do trapzio em relao ao ponto p2.

a iniciamos estabelecendo uma faixa elementar conveniente, conforme ilustradona figura:

b estabelecemos em seguida as relaes entre as variveis, a partirda semelhana entre os tringulos:

c clculo da rea do trapzio:

A a

x

x y

a dy

a/2

y

v (2 a )/a =(2 a v)/xdv

a Logo 2x = 2 a - v e x = a v/2x

a/2

a/2 a/2

149

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7/12

[ ] 22

2

0

2

0

0 0 0 4

3

422

1.

2

1

2

1a

aa

vvadvvaxdvdAA

a

aa a a

==

=

=== Ento

2

4

32 aA = 2

4

3aA = = rea do trapzio

d determinao de Ix :4

0

4

3

0

32

0

22

8

1

3

1

8

1

32

1

2

11

2

1av

vadvvavdvvvdAvI

aaa

x

=

=

=

==

4

24

5

2

1aI

x= Logo 4

12

5aI

x=

d determinao de Iy:

Lembrando da frmula do momento fletor do retngulo elementar em relao aoeixo que passa por sua base:

( ) =

=

=

== 4

4

0

43

0

3

26

22

2

1

4

1

3

2

2

1

3

2

3

1

2

1a

avadvvaIdvxdI

aa

yy

4

16

15

6

2a

= Ento 4

16

5aI

x=

A integral dvvaa3

0 2

1

uma integral de funo racional obtida pela frmula

( )( )

( )c

n

bxadxbxa

b

nn

++

+=+

+

1

1

onde2

1=b

importante observar que o aluno deve saber manusear as tabelas de integraisimediatas, de funes trigonomtricas, de momentos de inrcia de seespadronizadas, de centrides de reas, enfim, de todos os elementos de clculoindispensveis a resoluo de problemas de Engenharia. Na prtica daEngenharia a soluo de problemas passa pela obteno de dados de tabelas e

raramente necessrio montar as equaes partindo de figuras elementares comdimenses infinitesimais. No entanto o aluno no deve ficar apavorado quandotiver que resolver uma integral e deve estar preparado para abrir um livro eprocurar os elementos necessrios nas tabelas existentes.

e determinao do momento polar para P2:

150

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Jp2 = Ix + Iy =4

16

5

12

5a

+ Logo Jp2 =

4

48

35a

f determinao do momento polar para o ponto P1:

Jp2 = Jp2 + a2 . A - teorema dos eixos paralelos. Assim : =+=224

123

4835 aaaJp

4.2

3

48

35a

+= Logo 41

48

107aJp =

g determinao do raio de girao relativo a P2:

2

2

4

22

2

2

22 72

35

2

3

48

35

. a

a

a

A

JpkAkJp

pp

====Logo 72

35

2ak

p =

9.18 determinar o momento polar de inrcia e os momentos deinrcia em relao ao ponto O e aos eixos x e y.

9.49 - Determinar o produto de inrcia da rea abaixo:

151

8/8/2019 CaptuloIX

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A relao entre as variveis dada pela equao

=

2

2

..4a

x

a

xhy

Do retngulo elementar: xxel = ,2

yyel = e dxydA .=

+=

=

==

aaa

dxa

x

a

x

a

xhdx

a

x

a

xxhdxyyxdPxyPxy

0 4

5

3

4

2

32

0

2

2

22

028..16

2

1.

2

1.

a

a

x

a

x

a

xhPxy

04

6

3

5

2

42

65

2

48 += 22

15

2haPxy =

Note que o problema poderia ser resolvido sabendo que se trata da equao deuma parbola (ver elementos na fig. 5.8, pg. 295).

haA .3

2=

2

ax = hy

5

2=

22

15

2.

3

2

5

2

20.. hahah

aAyxyxPPxy =

+=+=

ou seja partimos do valor do produto de inrcia para os eixos que passam pelocentride da rea, que nulo, j que a figura simtrica em relao a estes eixos,

e aplicamos o teorema dos eixos paralelos. O resultado obtido o mesmo.

9.65 - Usando o perfil cantoneira de 40x80x0,6 cm, determinar: a)osmomentos de inrcia obtidos girando os eixos de = -30.; b) os momentosbaricentrais mximo e mnimo (principais).

152

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a ao invs de calcularmos os valores a partir dos retngulos podemos procurarem manuais os valores tabelados. Todos os perfis comerciais produzidos pelas

siderrgicas tm suas caractersticas de inrcia tabeladas e fornecidas aosclientes. Da tabela de caractersticas dos perfis (pg. 1340-manual do engenheiroGlobo) obtemos:

mmb 40= 289,6 cmA = 45,44 cmIx =

mmc 80= mmx 16,90 = 48,7 cmIy =

mmd 6= mmy 2,290 =

b - determinao de Pxy:

Este valor normalmente no fornecido nas tabelas e deve ser calculado.Osvalores de x0 e y0 so medidos a partir das arestas externas do perfil.

AyxPxy .. 00= (descontar metade da espessura do perfil)

ento: ( ) ( )[ ] 412,1189,632,29316,9 cmcmmmmmPxy =+=

c - rotao de = -30

2sen.2cos22

PxyIyIxIyIx

Iyx

+

=

15,262

8,75,44

2 =

+

=

+IyIx

35,1828,75,44

2 =

=

IyIx

ento: ( ) ( )60sen12,1160cos35,1815,26 = yxI

( )866,012,115,035,1815,26 +=xI 495,44 cmxI =

( )866,012,115,035,1815,26 +=yI 434,7 cmyI =

40mm 40 mm

y0= 29,2

x 300 x

80mm

x,

9,16 y,

y y

6mm

153

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d - clculo dos momentos principais de inrcia:

2

2

minmax,22

PxyIyIxIyIx

I +

+=

22

minmax,12,1135,1815,26 +=I

45,2115,26minmax,

=I 4max 60,47 cmI = 4

min70,4 cmI =

Deve-se observar que qualquer que seja o ngulo de rotao dos eixosconjugados perpendiculares, a soma dos momentos de inrcia nas duas direes constante.

Assim: yIxIIyIxII +=+=+ minmax

e - determinao do ngulo m dos eixos para os momentos principais de inrcia:

4,312 =m 7,15=m

Observar que tanto os momentos principais de inrcia como a tangente de m sodados na tabela da pg. 1340. As diferenas pequenas de valores devem-se aaproximaes nos clculos.

f - crculo de Mohr:

154

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60,47max =I 70,4min =I 0minmax, =P

5,44=xI 8,7=yI 12,11, =yxP

55,44=xI 34,7=yI calcularP yx =,

Notar que como o eixo y est orientado para baixo no desenho da cantoneira oeixo dos Pxy foi igualmente orientado para baixo e o valor negativo de P xy = - 11,12

cm4

foi marcado para cima, isto , no sentido contrrio do eixo P xy . No entanto ongulo formado pelo eixo X com o eixo principal de inrcia ( que corresponde aoIMax ) foi marcado no sentido horrio, j que resultou negativo no clculo. O valordo ngulo 2 = -600 , que corresponde a rotao de 300 no sentido horrio(negativo) para a cantoneira, foi marcado a partir do eixo X e resulta no eixo X noCrculo de Mohr.

155

44,5 cm4

7,8cm4

X

-11,12cm4

Imin = 4,70 -31,40

-600 IMax = 47,60I

X,

P

7,34cm4 44,55cm4