Carlos Javier Melchor Placencia Análise do Colapso de ... Nos exemplos apresentados mostrou-se a...

Carlos Javier Melchor Placencia

Análise do Colapso de Estruturas com Não Linearidade Física e Geométrica

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio.

Orientador: Prof. Raul Rosas e Silva Co-orientadora: Profª. Deane de Mesquita Roehl

Rio de Janeiro Julho de 2015

DBD

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 1313458/CA


Análise do Colapso de Estruturas com Não Linearidade Física e Geométrica

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de mestre pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.

Prof. Raul Rosas e Silva

Orientador Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio

Profª. Deane de Mesquita Roehl

Co-Orientadora Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio

Prof. Sebastião Artur Lopes de Andrade

Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio

Prof. Carlos Alberto de Almeida Departamento de Engenharia Mecânica - PUC-Rio

Prof. José Eugenio Leal

Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico – PUC-Rio

Rio de Janeiro, 15 de Julho de 2015

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Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total

ou parcial do trabalho sem autorização do autor, da

orientadora e da universidade.


Graduou-se em Engenharia Civil pela Universidad

Nacional de Ingeniería - UNI (Lima – Perú), em 2009.

Ingressou no curso de mestrado em Engenharia Civil, na

área de Estruturas, da PUC-Rio em 2013, desenvolvendo

investigações na linha de pesquisa de Modelos

computacionais para Instabilidade.

Ficha Catalográfica

Melchor Placencia, Carlos Javier

Análise do Colapso de Estruturas com Não-Linearidade Física e Geométrica / Carlos Javier Melchor Placencia; orientador: Raul Rosas e Silva; co-orientadora: Deane de Mesquita Roehl. - 2015.

v., 102 f.: il. ; 30 cm

Dissertação (mestrado) – Pontifícia Universidade

Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2015.

Inclui referências bibliográficas.

1. Engenharia Civil – Teses. 2. Elementos Finitos. 3.

Colapso. 4. Plasticidade. 5. Analise Não Linear. 6. Flambagem. 7. Instabilidade. 8. Cargas Críticas. 9. Problema de autovalor. I. Silva, Raul Rosas e. II. Roehl, Deane de Mesquita. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.

CDD: 624

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Agradecimentos

Ao meu orientador Raul Rosas e Silva pela amizade, orientação e conhecimentos

transmitidos.

À minha co-orientadora Deane Roehl pela motivação, ajuda e ensinamentos.

Aos meus pais, Javier e Elsa, pelo incentivo, amor e dedicação infinita.

Aos professores integrantes da banca examinadora.

As pessoas que de alguma maneira influíram na realização deste trabalho,

especialmente a Deysi Garcia, pela paciência e amizade, ao Nilthson Noreña e

Luis Fernando Paullo que souberam compartilhar e transmitir seus conhecimentos

para enriquecer este trabalho.

A todos os professores e funcionários do Departamento de Engenharia Civil.

A CAPES e FAPERJ, pelos auxílios financeiros concedidos.

DBD


Resumo

Placencia, Carlos Javier Melchor; Silva, Raul Rosas e; Roehl, Deane de

Mesquita. Análise do Colapso de Estruturas com Não Linearidade Física

e Geométrica. Rio de Janeiro, 2015. 102p. Dissertação de Mestrado -

Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio

de Janeiro.

Neste trabalho apresentam-se três tipos de técnicas de análise do colapso

estrutural através do método dos elementos finitos: análise linearizada da carga

crítica, análise incremental da carga crítica e análise não linear completa. Na

análise linearizada da carga crítica formulou-se um problema de autovalor

empregando matrizes de rigidez baseadas na configuração indeformada da

estrutura e materiais com comportamento linear elástico. No caso da análise

incremental da carga crítica, o problema de autovalor foi formulado empregando

matrizes de rigidez incrementais para levar em consideração os grandes

deslocamentos e propriedades não lineares do material. Finalmente, na análise não

linear completa a configuração deformada da estrutura e propriedades não lineares

do material são atualizadas durante todo o processo incremental-iterativo até

atingir a carga crítica. Desenvolveu-se uma implementação computacional para

estudar as três técnicas de análise em estruturas planas como vigas, colunas,

pórticos e arcos, empregando elementos isoparamétricos bidimensionais para

estado plano de tensões. A configuração deformada da estrutura, devido aos

grandes deslocamentos e rotações dos elementos, foi considerada através de uma

formulação Lagrangeana Total, enquanto o comportamento inelástico do material

foi modelado empregando um modelo elastoplástico de Von Mises (J2) com

encruamento isotrópico. Nos exemplos apresentados mostrou-se a influência da

não linearidade geométrica e física na estimativa de cargas críticas e no

comportamento pós-crítico, podendo ocorrer bifurcações ao longo da trajetória de

equilíbrio fundamental definida no espaço carga-deslocamentos.

Palavras – chave

Elementos finitos; colapso; plasticidade; análise não linear; flambagem;

instabilidade; cargas críticas; problema de autovalor.

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Abstract

Placencia, Carlos Javier Melchor; Silva, Raul Rosas e (Advisor); Roehl,

Deane de Mesquita (Co-Advisor). Collapse Analysis of Structures with

Geometric and Material Nonlinearity. Rio de Janeiro, 2015. 102p. MSc.

Dissertation – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade

Católica do Rio de Janeiro.

This work presents three kinds of techniques for collapse analysis using the

finite element method: linear buckling analysis, nonlinear buckling analysis and

full nonlinear analysis. The linear buckling analysis requires the definition of an

eigenvalue problem using a stiffness matrix formulation based on the initial

configuration of the structure and under the assumption of a linear elastic material

behavior. In the case of nonlinear buckling analysis, the eigenvalue problem was

formulated employing an incremental stiffness matrix in order to consider the

effects of large displacements and nonlinear material properties in the critical load

estimation. Finally, the full nonlinear analysis takes into account the deformed

configuration and the nonlinear material properties of the structure, updating both

of them through all the incremental-iterative process up to reaching the critical

load. A Finite Element computational program, using plane stress isoperimetric

bidimensional elements, was developed to study the three analysis techniques

applied to plane structures such as beams, columns, frames and arches. The

deformed configuration of the structure, due to large displacements and rotations,

was considered through the Total Lagrangian formulation, whereas the inelastic

material behavior was modeled using the Von Mises plasticity model with

isotropic hardening. The examples presented in this article show the influence of

geometric and material nonlinearity in the critical load estimation and the post-

critical behavior, being this the reason for the potential occurrence of bifurcation

points over the fundamental equilibrium path defined in the load-displacement

space.

Keywords

Finite elements; collapse; plasticity; nonlinear analysis; buckling; instability;

critical loads; eigenvalue problem.

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Sumário

1 Introdução 15

1.1. Justificativa do trabalho de pesquisa 15

1.2. Objetivos do trabalho e tipo de problemas a considerar 17

1.3. Organização dos capítulos restantes 18

2 Análise do Colapso de Estruturas através do Método dos Elementos Finitos 20

2.1. Análise Não-Linear Completa 20

2.1.1. Princípio dos Trabalhos Virtuais 20

2.1.2. Formulação Lagrangeana 21

2.1.3. Equações Constitutivas 23

2.1.4. Análise Incremental-Iterativa das Equações Não-Lineares 30

2.2. Análise incremental da Carga Crítica 34

2.3. Análise Linearizada da Carga Crítica 35

3 Implementação Computacional 36

3.1. Elemento Isoparamétrico Bidimensional 36

3.2. Considerações do Estado Plano de Tensões 37

3.3. Matrizes Utilizadas na Formulação Lagrangeana Total 38

3.3.1. Matriz de Rigidez Tangente 38

3.3.2. Vetor de Forças Internas 39

3.3.3. Matrizes de Transformação Deformação-Deslocamento 40

3.3.4. Matrizes empregadas na análise linearizada e incremental da carga crítica 41

3.4. Algoritmo de Integração Numérica das Relações Constitutivas 42

3.4.1. Algoritmo de integração “Plane Stress-Projected” 44

3.4.2. Matriz Tangente Elastoplástica Consistente 46

3.5. Exemplos de Validação 46

3.5.1. Exemplo de Validação 1: Viga em balanço empregando um modelo

elastoplástico do material 47

3.5.2. Exemplo de Validação 2: Viga em balanço com grandes deslocamentos e

material linear-elástico 48

3.5.3. Exemplo de Validação 3: Viga em balanço com grandes deslocamentos e

material elastoplástico 49

3.5.4. Exemplo de Validação 4: Cálculo da carga crítica do pórtico de Roorda 51

3.5.5. Exemplo de Validação 5: Pontos críticos de um arco abatido 52

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3.5.6. Exemplo de Validação 6: Pórtico de Lee 53

4 Exemplos Numéricos 55

4.1. Estimação de cargas críticas com Material Linear Elástico 55

4.1.1. Arco circular abatido 55

4.1.2. Arco circular elevado 59

4.1.3. Pórtico T 68

4.2. Estimação de cargas críticas com Material Elastoplástico 72

4.2.1. Arco circular abatido 72

4.2.2. Pórtico toggle 76

4.2.3. Pórtico T 80

5 Conclusões e Sugestões 84

5.1. Conclusões 84

5.2. Sugestões para trabalhos futuros 85

Referências Bibliográficas 87

Apêndice A 90

A.1 Malha e outros resultados do exemplo de validação 1 90






Apêndice B 98

B.1 Tensões de Von Mises do exemplo numérico 1 98






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Lista de Figuras

Figura 2.1 Descrição do movimento do sólido. 21

Figura 2.2 Superfície de escoamento de Von Mises. 27

Figura 2.3 Vetor de fluxo da Lei de Prandtl-Reuss (Souza Neto et al., 2008). 28

Figura 2.4 Encruamento Isotrópico. Teste uniaxial e Plano 𝜋 (Souza Neto et al., 2008). 29

Figura 3.1 Funções de Interpolação de elementos Bidimensionais (Bathe, 1996). 36

Figura 3.2 Estado plano de tensões (Souza Neto et al., 2008). 37

Figura 3.3 Propriedades e geometria da Viga em balanço do exemplo de validação 1. 47

Figura 3.4 Curva carga-deslocamento do exemplo de validação 1. 47

Figura 3.5 Viga em balanço com material linear-elástico do exemplo de validação 2. 48


Figura 3.7 Viga em balanço com material elastoplástico do exemplo de validação 3. 49


Figura 3.9 Curva carga-deslocamento do exemplo de validação 3 (ampliação). 50

Figura 3.10 Pórtico de Roorda. 51

Figura 3.11 Arco abatido do exemplo de validação 5. 52

Figura 3.12 Trajetórias de equilíbrio do arco abatido do exemplo de validação 5. 52

Figura 3.13 Pórtico de Lee do exemplo de validação 6. 53

Figura 3.14 Curva carga-deslocamento do pórtico de Lee no caso elástico. 54

Figura 3.15 Curva carga-deslocamento do pórtico de Lee no caso inelástico. 54

Figura 4.1 Arco circular abatido do exemplo 4.1.1. 56

Figura 4.2 Malha do arco abatido do exemplo 4.1.1. 56

Figura 4.3 Modo de colapso do exemplo 4.1.1 (análise linearizada da carga crítica). 56

Figura 4.4 Modo de colapso do exemplo 4.1.1, após o passo 26. 58

Figura 4.5 Trajetória de equilíbrio do exemplo 4.1.1. 58

Figura 4.6 Configuração deformada do exemplo 4.1.1 (análise não linear completa). 58

Figura 4.7 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.1.1. 59

Figura 4.8 Arco circular elevado do exemplo 4.1.2. 60

Figura 4.9 Malha do arco elevado do exemplo 4.1.2. 60

Figura 4.10 Modo assimétrico do exemplo 4.1.2 (análise linearizada da carga crítica). 61

Figura 4.11 Modo assimétrico do exemplo 4.1.2, após o passo 32. 62

Figura 4.12 Trajetória de equilíbrio assimétrica do exemplo 4.1.2. 63

Figura 4.13 Deformada assimétrica do exemplo 4.1.2 (análise não linear completa). 63

Figura 4.14 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.1.2 (assimétrico). 64


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Figura 4.16 Trajetória de equilíbrio simétrica do exemplo 4.1.2. 66

Figura 4.17 Deformada simétrica do exemplo 4.1.2 (análise não linear completa). 67

Figura 4.18 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.1.2 (simétrico). 67

Figura 4.19 Pórtico T do exemplo 4.1.3. 68

Figura 4.20 Malha do pórtico T do exemplo 4.1.3. 68






Figura 4.26 Malha do arco abatido do exemplo 4.2.1. 72







Figura 4.33 Pórtico toggle do exemplo 4.2.2. 76

Figura 4.34 Malha do pórtico toggle do exemplo 4.2.2. 76







Figura 4.41 Malha do pórtico T do exemplo 4.2.3. 80






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Lista de Tabelas Tabela 2.1 Modelo constitutivo elastoplástico geral. 25

Tabela 3.1 Algoritmo implícito preditor/corretor. PSP aplicado ao modelo de Von Mises

com encruamento isotrópico não linear. 43

Tabela 3.2 Cálculo da matriz tangente elastoplástica empregando o algoritmo PSP

aplicado ao modelo de Von Mises. 46

Tabela 3.3 Valores estimados da carga crítica do exemplo de validação 4. 51

Tabela 3.4 Resultados obtidos dos pontos críticos do exemplo de validação 5. 53

Tabela 4.1 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.1.1. 57

Tabela 4.2 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.1.1. 57

Tabela 4.3 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.1.1. 57

Tabela 4.4 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.1.2 (assimétrico). 61

Tabela 4.5 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.1.2 (assimétrico). 62

Tabela 4.6 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.1.2 (assimétrico). 62

Tabela 4.7 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.1.2 (simétrico). 65

Tabela 4.8 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.1.2 (simétrico). 65

Tabela 4.9 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.1.2 (simétrico). 65













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Lista de Símbolos

𝒫0𝑡+∆𝑡 Trabalho virtual externo na configuração do tempo 𝑡 + ∆𝑡

𝑉0𝑡+∆𝑡 Volume do sólido na configuração do tempo 𝑡 + ∆𝑡

𝜎𝑖𝑗0𝑡+∆𝑡 Componentes do tensor de tensão de Cauchy no tempo 𝑡 + ∆𝑡

𝛿 𝑒𝑖𝑗0

𝑡+∆𝑡0 Componentes do tensor de deformações infinitesimais dos deslocamentos

virtuais na configuração do tempo 𝑡 + ∆𝑡

𝑓𝑖𝐵

0𝑡+∆𝑡 Componentes das forças aplicadas externas por unidade de volume na

configuração do tempo 𝑡 + ∆𝑡

𝑓𝑖𝑆

0𝑡+∆𝑡 Componentes das forças aplicadas externas por unidade de superfície na


𝛿 𝑢𝑖0

0𝑡+∆𝑡 Componentes dos deslocamentos virtuais na configuração do tempo 𝑡 + ∆𝑡

𝑆0𝑡+∆𝑡 Superfície do sólido na configuração do tempo 𝑡 + ∆𝑡

𝑆𝑖𝑗 0𝑡+∆𝑡 Componentes do segundo tensor das tensões de Piolla-Kirchhoff na

configuração do tempo 𝑡 + ∆𝑡 em relação à configuração inicial

𝜖𝑖𝑗0𝑡+∆𝑡 Componentes do Tensor de deformação Green-Lagrange na configuração do

tempo 𝑡 + ∆𝑡

𝛿 𝜖𝑖𝑗0𝑡+∆𝑡 Variação das componentes do tensor de deformação Green-Lagrange na


𝜖𝑖𝑗0

00 Componentes dos incrementos do tensor de deformação Green-Lagrange

𝑒𝑖𝑗0

00 Componentes lineares nos incrementos dos deslocamentos no incremento do

tensor de deformação Green-Lagrange

휂𝑖𝑗0

00 Componentes não lineares nos incrementos dos deslocamentos no incremento

do tensor de deformação Green-Lagrange

𝑢𝑖 Componentes do vetor de incrementos dos deslocamentos

𝑢0𝑡

𝑘 Componentes do vetor de deslocamentos no tempo 𝑡

𝑥𝑖0

00 Coordenas do corpo em relação à configuração inicial

𝐶𝑖𝑗𝑟𝑠00 Tensor incremental de tensão-deformação no tempo 𝑡 em relação à configuração

inicial

𝛿 𝑒𝑖𝑗0

00 Variação das componentes lineares nos incrementos dos deslocamentos

𝛿 휂𝑖𝑗0 0

0 Variação das componentes não lineares nos incrementos dos deslocamentos

𝜺 Tensor de deformação total

𝜺𝑒 Tensor de deformação elástica

𝜺𝑝 Tensor de deformação plástica

𝑫𝑒 Tensor elástico infinitesimal

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휀𝑖𝑗 Componentes do tensor de deformação total

𝝈 Tensor de tensão de Cauchy

𝜎𝑖𝑗 Componentes do tensor de tensão de Cauchy

𝜓 Energia livre por unidade de massa de Helmholtz

𝑨 Conjunto genérico de forças termodinâmicas

𝜶 Conjunto genérico de variáveis do estado interno

Φ Função da superfície de escoamento

�� Multiplicador plástico

𝑵 Vetor de fluxo plástico

𝑯 Modulo de encruamento generalizado

Ψ Potencial de fluxo plástico

𝛿𝑖𝑗 Delta de Kronecker

𝐽2 Invariante da tensão desviadora

𝒔 Tensor de tensão desviadora de Cauchy ou Kirchhoff

𝜎𝑦 Tensão de escoamento uniaxial

휀𝑝 Deformação plástica acumulada ou equivalente

𝒖𝑡 Vetor de deslocamentos no tempo 𝑡

𝚮 Matriz das funções de forma ou interpolação

ℎ𝑘 Função de forma ou interpolação k

𝑼𝒕 Vetor dos deslocamentos nodais no tempo 𝑡

𝜉, 휂, 휁 Coordenadas isoparamétrica dentro de um elemento

𝑲𝑳 Primeira contribuição na matriz de rigidez tangente (matriz linear nos efeitos

cinemáticos)

𝑲𝑵𝑳 Segunda contribuição na matriz de rigidez tangente (matriz não linear nos efeitos

cinemáticos)

∆𝑼 Incremento no vetor dos deslocamentos nodais

𝛿∆𝑼 Variação no Incremento dos deslocamentos nodais

𝑷𝑡+∆𝑡 Vetor de forças externas no tempo 𝑡 + ∆𝑡

𝑭𝑡 Vetor de forças internas no tempo 𝑡

𝑲 Matriz de rigidez tangente total

𝑲𝑗𝑖 Matriz de rigidez tangente total na j-ésima iteração do i-ésimo incremento de

passo

∆𝑼𝑗𝑖 Incremento no vetor dos deslocamentos nodais na j-ésima iteração do i-ésimo

incremento de passo

𝑷𝑗𝑖 Vetor de forças externas na j-ésima iteração do i-ésimo incremento de passo

𝑭𝑗−1𝑖 Vetor de forças internas na j-ésima iteração do i-ésimo incremento de passo

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𝜆𝑗𝑖 Parâmetro do incremento de carga na j-ésima iteração do i-ésimo incremento de

passo

�� Vetor da carga de referência (constante)

∆��𝑗𝑖 Vetor dos deslocamentos nodais da solução tangencial na j-ésima iteração do i-

ésimo incremento de passo

∆��𝑗𝑖 Vetor dos deslocamentos nodais da solução iterativa na j-ésima iteração do i-

ésimo incremento de passo

∆𝑼𝑞𝑗𝑖 Componente q-ésima do incremento no vetor dos deslocamentos da j-ésima

iteração do i-ésimo incremento de passo

𝑙 Comprimento de arco prescrito na solução incremental

𝜈 Coeficiente de Poisson

𝐸 Módulo de Young

𝒆 Representação matricial das componentes do tensor 𝑒𝑖𝑗0

00

𝜼 Representação matricial das componentes do tensor 휂𝑖𝑗0

00

𝑪 Representação matricial das componentes do tensor 𝐶𝑖𝑗𝑟𝑠00

𝑩𝐿 Matriz de transformação deformação-deslocamento linear

𝑩𝑁𝐿 Matriz de transformação deformação-deslocamento não-linear

𝓢𝑡 , 𝑺𝑡 Representação matricial e vetorial das componentes do tensor 𝑆𝑖𝑗 0𝑡+∆𝑡

Ϝ𝑖𝑗 Componentes do tensor gradiente de deformação

∆𝛾 Incremento do multiplicador plástico

𝓔, 𝓔𝑒 , 𝓔𝑝 Representação matricial dos tensores 𝜺, 𝜺𝑒 y 𝜺𝑝, respectivamente

𝓸 Representação matricial do tensor 𝝈

𝓓𝑒 Representação matricial do tensor 𝑫𝑒

𝓓𝑒𝑝 Matriz tangente elastoplástica consistente

𝐻 Modulo de encruamento

∆𝑡 Intervalo de tempo

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1 Introdução

1.1. Justificativa do trabalho de pesquisa

Na atualidade, os engenheiros estruturais são conscientes de que

considerar eventos extremos no carregamento vai se tornar uma parte

necessária do projeto estrutural. Em particular, um entendimento do

comportamento estrutural durante o colapso parcial ou completo, permitirá

avaliar de maneira mais precisa a integridade total do projeto estrutural quando é

submetido a carregamentos extremos.

A natureza do colapso de estruturas envolve grandes deslocamentos,

grandes rotações e respostas inelásticas do material como plasticidade, dano,

fraturamento, entre outros, nas regiões de tensão extrema. No estado limite

perto do colapso, grandes deformações são prováveis também. Para simular tal

comportamento de colapso é necessário empregar modelos computacionais que

considerem tanto a não linearidade geométrica quanto a não linearidade do

material.

As não linearidades geométricas ocorrem quando as forças requeridas

para causar deformação na estrutura são funções não lineares do deslocamento.

Estas não linearidades são essenciais na simulação do colapso porque capturam

os efeitos da flambagem, as grandes mudanças na forma da estrutura e as

mudanças nas forças internas que são necessárias para manter a estrutura em

equilíbrio estático.

Por outro lado, as não linearidades do material, considerando só efeitos

elastoplásticos, ocorrem quando as regiões de tensão extrema atingem a

superfície de escoamento do material, ocasionando uma perda de rigidez da

estrutura que frequentemente causa uma redução considerável na carga máxima

da mesma. O fenômeno de escoamento pode tornar um comportamento pós-

crítico estável em um instável, já que depois do escoamento um incremento na

deformação causa um decréscimo na carga.

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16

As técnicas de análise do colapso estrutural são um assunto importante no

processo de projeto em engenharia civil, mecânica, naval e aeronáutica. Para

estudar as instabilidades estruturais que levam ao colapso de estruturas

elásticas e inelásticas, costuma-se avaliar os pontos críticos, que podem ser

pontos limite ou de bifurcação, ao longo dos caminhos ou trajetórias de equilíbrio

definidas no espaço carga-deslocamentos. A avaliação exata destes pontos é

necessária para poder definir as condições críticas na funcionalidade da

estrutura.

No entanto, os usuários de programas comerciais de elementos finitos,

trabalham frequentemente na modelagem deste tipo de problemas de maneira

parcial. Usualmente, as cargas críticas dos caminhos de equilíbrio são

calculadas através de uma análise linearizada da carga crítica, a qual leva a

resultados errados em alguns casos.

A análise linearizada da carga crítica prediz a resistência teórica de

flambagem de uma estrutura ideal linear elástica. Na análise é assumido que a

configuração da estrutura não muda no processo de carregamento, ou seja, as

equações de equilíbrio são sempre referidas à configuração indeformada da

estrutura. As cargas críticas são calculadas nesta análise formulando um

problema de autovalores que torna singular a matriz de rigidez tangente da

estrutura.

A suposição de que uma estrutura se comporta elasticamente e

deslocamentos e rotações são desprezíveis até atingir o valor da carga crítica

nem sempre é verdadeira. Se alguma parte da estrutura desenvolve

deformações plásticas e mudanças relativamente grandes na geometria, a

análise linearizada da carga crítica levará a resultados errados, usualmente

maiores que o resultado exato. Neste tipo de casos a análise da instabilidade da

estrutura deve incluir a não linearidade geométrica e não linearidade do material.

Trabalhos desenvolvidos por Zhehua et al. (2002), Zhou et al. (2011); e

Novoselac et al. (2012); mostram os efeitos na estimação do valor das cargas

críticas quando as não-linearidades geométricas e físicas não são consideradas.

Pelos motivos expostos anteriormente, neste trabalho pretende-se incluir

os efeitos das não linearidades geométricas e físicas, na estimação das cargas

críticas presentes nas trajetórias de equilíbrio definidas pelas variáveis nodais e

o parâmetro de carga.

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17

1.2. Objetivos do trabalho e tipo de problemas a considerar

No método dos elementos finitos existem dois tipos de categorias para

analisar o problema de flambagem ou colapso de estruturas. A primeira emprega

um problema de autovalor, formulado a partir de uma linearização, e a outra uma

análise não linear completa. Na primeira categoria incluem-se dois tipos de

problemas de autovalores, uma baseada na análise linear que emprega matrizes

de rigidez iniciais; e outra baseada na análise não linear que emprega matrizes

de rigidez atualizadas que consideram até certo nível as não linearidades

geométricas e físicas da estrutura. No entanto, no caso da análise não linear

completa os efeitos não lineares geométricos e físicos são considerados em sua

totalidade durante toda a análise.

O principal objetivo deste trabalho é poder comparar de maneira

qualitativa, em base a resultados quantitativos, os três tipos de técnicas de

análise do colapso estrutural apresentados. Para avaliar os resultados das três

técnicas de colapso, desenvolveu-se um programa computacional em Matlab

baseado no método dos elementos finitos para o processamento dos dados e

pós-processamento dos resultados. No pré-processamento, geração de dados

(malhas), e visualização das tensões desenvolvidas nos elementos empregou-se

o programa GID.

Na implementação do programa considerou-se a formulação das equações

de equilíbrio na configuração deformada da estrutura e um comportamento

inelástico do material através do modelo elastoplástico de Von Mises (J2) com

encruamento isotrópico baseado na decomposição aditiva, já que na maioria dos

casos, o colapso das estruturas de engenharia civil envolvem grandes

deslocamentos, grandes rotações e relativamente pequenas deformações.

Nas últimas décadas muitos trabalhos na área da instabilidade de

estruturas elásticas e inelásticas foram desenvoltos por muitos autores. Na

maioria dos casos foram empregados elementos de pórtico na análise de

estruturas planas como vigas, colunas, pórticos e arcos. Neste trabalho

pretende-se estudar a instabilidade destas estruturas planas adotando uma

aproximação de meio contínuo considerando um estado plano de tensões, que

permitirá aproveitar as vantagens da formulação Lagrangeana Total neste tipo

de estruturas. Trabalhos feitos por Wood and Zienkiewicz (1976), e Guimarães

(2006), consideraram uma aproximação de meio continuo para avaliar cargas

críticas e comportamento pós-crítico em estruturas planas.

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18

Adotando as hipóteses descritas acima, pretende-se abordar os seguintes

problemas presentes numa análise computacional do colapso:

Incorporar as não linearidades geométricas através da formulação

lagrangeana Total.

Levar em consideração a plasticidade distribuída, que permite uma

propagação inelástica ao longo da seção e comprimento do

elemento, através da aproximação de contínuo e um modelo

elastoplástico de Von Mises (J2).

Considerar as deformações cisalhantes e distorções da seção

transversal, através da teoria do meio contínuo adotada.

Prevenir o efeito de ‘shear locking’ empregando elementos

isoparamétricos de ordem tal que não permitam a necessidade de

uma malha refinada.

Considerar as altas não linearidades da curvatura ao longo do

elemento pela formação de regiões plásticas, através da suficiente

discretização do domínio.

Capturar as respostas carga-deslocamento de estruturas instáveis

que apresentam uma alta não linearidade, onde a carga e/ou o

deslocamento decrescem no progresso da solução, mediante o uso

do método de controle por deslocamentos e comprimento de arco.

Outro objetivo do presente trabalho é dar continuidade aos trabalhos

desenvolvidos na área de instabilidade e dinâmica de estruturas no

departamento de engenharia civil da PUC-Rio. Trabalhos que abordaram

estudos quase estáticos de colapso ou instabilidade de estruturas planas foram

Gabbay (1977), Sousa (1984), Guimarães (1999, 2006) e Burgos (2005).

1.3. Organização dos capítulos restantes

Além da introdução, este trabalho conta com os seguintes capítulos:

Capítulo 2 – Aqui se apresentam todos os fundamentos teóricos

das técnicas de análise do colapso que são empregadas no método

dos elementos finitos. Descrevem-se a análise não linear completa,

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19

a análise incremental da carga crítica, e a análise linearizada da

carga crítica.

Capítulo 3 – Neste capítulo são apresentadas as características

próprias do estado plano de tensões que devem ser consideradas

na implementação computacional. São apresentadas as matrizes

que relacionam as deformações e deslocamentos, matrizes de

rigidez, vetor de forças internas, algoritmo de integração das

tensões, e exemplos de validação da implementação numérica.

Capítulo 4 – Neste capítulo são apresentados exemplos de colapso

ou flambagem de estruturas planas como vigas, colunas, pórticos e

arcos. Aqui são estimadas as cargas críticas mediante as três

técnicas de análise de colapso descritas.

Capítulo 5 – Aqui são apresentadas as conclusões e sugestões

para trabalhos futuros.

DBD


2 Análise do Colapso de Estruturas através do Método dos Elementos Finitos

Neste capítulo, através do método dos elementos finitos baseado em

deslocamentos, são apresentadas três técnicas de análise do colapso de

estruturas: Análise não linear completa, análise incremental da carga crítica e

análise linearizada da carga crítica. Os problemas de autovalor são formulados a

partir de uma linearização.

2.1. Análise Não-Linear Completa

Esta técnica de análise é denominada completa porque as equações de

equilíbrio são resolvidas até atingir a carga crítica de colapso. Além disso,

permite descrever o comportamento pós-crítico da estrutura. Através desta,

problemas com não linearidade geométrica e física podem ser abordados. A

seguir são apresentados as equações de equilíbrio da configuração deformada,

a cinemática da deformação, as equações constitutivas e os métodos de controle

que resolvem as equações linearizadas do equilíbrio.

2.1.1. Princípio dos Trabalhos Virtuais

O princípio dos trabalhos virtuais estabelece que o trabalho virtual interno e

o externo, na configuração deformada de um sólido em equilíbrio, devem ser

iguais. Empregando uma notação tensorial o princípio pode ser escrito como:

∫

(2.1)

Na equação anterior, a parcela à esquerda representa o trabalho virtual

interno das tensões reais através das deformações virtuais, e a direita

representa o trabalho virtual externo das forças reais de corpo e superfície

através dos deslocamentos virtuais, descritos na seguinte equação:

DBD


21

∫

∫

(2.2)

Um sólido pode experimentar grandes deslocamentos, grandes

deformações e respostas não lineares do material.

2.1.2. Formulação Lagrangeana

Na formulação Lagrangeana, a malha de elementos finitos é fixa ao

material e se desloca através do espaço com este. Esta formulação permite uma

descrição natural da deformação dos elementos estruturais.

A formulação Lagrangeana pode ser classificada em duas categorias: uma

formulação Lagrangeana Total e uma formulação Lagrangeana Atualizada. Na

formulação Lagrangeana Total, a configuração de referência é a configuração

indeformada ou inicial; na formulação Lagrangeana Atualizada, a configuração

de referência é a configuração prévia ou última calculada. A cinemática da

deformação e a descrição do movimento são descritas na Figura 2.1.

Figura 2.1 Descrição do movimento do sólido.

Mais detalhes das formulações Lagrangeanas Total e Atualizada podem

ser encontrados em Bathe (1996) e De Borst et al. (2012).

DBD


22

2.1.2.1. Formulação Lagrangeana Total

Embora esta formulação seja baseada na geometria inicial dos elementos,

as matrizes de rigidez incrementais são montadas para considerar as tensões

desenvolvidas previamente e mudanças na geometria.

A formulação Lagrangeana Total é frequentemente útil para abordar

problemas com plasticidade, grandes deslocamentos, grandes rotações, mas

considerando pequenas deformações desenvolvidas nos elementos, hipóteses

consideradas neste trabalho.

Na formulação Lagrangeana Total, as equações de equilíbrio podem ser

expressas através do princípio dos trabalhos virtuais como:

∫

(2.3)

Aqui é o segundo tensor das tensões de Piolla-Kirchhoff, e

é

o tensor das deformações de Green-Lagrange. As integrações são feitas na

configuração indeformada inicial no tempo . Decompondo a deformação

total do tempo na deformação da configuração equilibrada do tempo e a

deformação incremental do tempo entre e , obtém-se:

(2.4)

Decompondo a deformação incremental

numa parte linear

e outra

não linear

nos incrementos dos deslocamentos:

(2.5)

Onde

, a parte linear da deformação incremental, pode ser descrito em

função dos incrementos dos deslocamentos como:

(

)

(

)

(2.6)

DBD


23

O segundo termo entre parêntesis da equação anterior leva em

consideração o efeito inicial dos deslocamentos. Por outro lado,

, a parte não

linear da deformação incremental, pode ser descrito em função dos incrementos

dos deslocamentos como:

*(

)(

)+

(2.7)

Linearizando o equilíbrio expressado na equação (2.3), e utilizando a

equação (2.5), obtém-se:

∫

∫

∫

(2.8)

Os termos resultantes da equação anterior são lineares nos incrementos

dos deslocamentos.

2.1.3. Equações Constitutivas

As equações constitutivas são utilizadas para representar de forma ideal o

comportamento elastoplástico de um material através de um modelo matemático.

Estas equações contêm todas as componentes básicas de um modelo

constitutivo elastoplástico:

A decomposição da deformação Elastoplástica;

A lei elástica;

Critério de escoamento, estabelecida com o uso da superfície de

escoamento;

A lei de fluxo plástico definindo a evolução do tensor das

deformações plásticas;

A lei encruamento, que caracteriza a evolução da tensão de

escoamento.

As equações constitutivas que definem o modelo constitutivo elastoplástico

de determinado material, estão resumidas na Tabela 2.1

A resolução das equações constitutivas permite avaliar as tensões e

operadores tangentes elastoplásticos que são empregadas na aproximação do

método dos elementos finitos. As tensões avaliadas são utilizadas no cálculo do

DBD


24

vetor de forças internas e na contribuição não linear da matriz de rigidez

tangente, e os operadores tangentes avaliados são utilizados no cálculo da

contribuição linear da matriz de rigidez tangente. Avaliar de forma precisa as

tensões e o operador tangente é importante na obtenção de soluções corretas e

matrizes verdadeiramente tangentes. Estas matrizes tangentes permitem na

análise incremental-iterativa utilizar o número mínimo de iterações para atingir a

convergência.

Na avaliação das tensões emprega-se a lei elástica, mostrada na Tabela

2.1, que depende da derivada da energia potencial livre com relação à parte

elástica do tensor de deformação . No presente trabalho foram considerados

materiais isotrópicos com comportamento linear elástico, sendo a contribuição

elástica da energia potencial livre:

( )

(2.9)

Resultando a seguinte lei elástica:

(2.10)

As relações constitutivas elastoplásticas mostradas na Tabela 2.1 podem

ser reduzidas no seguinte sistema de equações:

( ) ( ) ( ( ) ( ))

( ) ( ) ( ( ) ( ))

(2.11)

( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) (2.12)

( )

( )

(2.13)

Neste sistema de equações reduzidas, as únicas variáveis desconhecidas

são a deformação elástica , as variáveis internas de encruamento , e o

multiplicador plástico .

DBD


25

Tabela 2.1 Modelo constitutivo elastoplástico geral.

1. Decomposição aditiva do tensor de deformação:

ou

2. Função de energia potencial livre

( )

onde representa as variáveis internas de encruamento

3. Equação constitutiva para o tensor de tensões e forças

termodinâmicas de encruamento

4. Função de escoamento

( )

5. Lei de fluxo plástico e encruamento

( )

( )

onde é o vetor de fluxo

e é o modulo generalizado de encruamento

sendo o potencial de fluxo

6. Critério de carregamento/descarregamento

condições que definem quando ocorre a evolução de deformações

plásticas e variáveis internas

As equações constitutivas reduzidas apresentadas acima contêm

equações diferenciais ordinárias, cuja resolução de forma analítica não é sempre

possível devido à complexidade presente na maioria dos problemas de

engenharia. Por esta razão, a resolução destas equações precisa de um

algoritmo de integração numérica que será abordado no capítulo 3.

Nos modelos constitutivos abordados neste trabalho é perfeitamente valido

substituir o tensor de tensões e deformações por o segundo tensor das tensões

de Piolla-Kirchhoff e o tensor das deformações de Green-Lagrange,

respectivamente. Isto é valido porque na hipótese de grandes deslocamentos e

rotações, mas de pequenas deformações nos elementos, as componentes dos

tensores mencionados acima não se alteram com movimentos de corpo rígido.

DBD


26

Nesta seção são abordados os aspectos mais importantes da descrição

matemática do modelo constitutivo linear elástico e de Von Mises, empregados

numa análise não linear. Neste trabalho são discutidos aspectos da plasticidade

baseado na hipótese de pequenas deformações, embora grandes

deslocamentos e rotações ocorram. Esta hipótese permite uma decomposição

aditiva das deformações e aplicar a teoria clássica da plasticidade.

2.1.3.1. Modelo Linear Elástico

O modelo linear elástico adota a Lei de Hooke para definir a relação

tensão-deformação. Neste caso não é necessário empregar uma integração das

tensões porque as tensões e operador tangente podem ser diretamente

avaliados do estado de deformação atual.

A relação tensão-deformação empregada no modelo linear elástico é a

mesma da equação (2.10), e pode ser expressa de maneira tensorial como:

(2.14)

Onde são as componentes do tensor de elasticidade infinitesimal,

sendo estas expressas da seguinte forma:

( ) (2.15)

Onde e são as constante de Lamé e é a função delta de Kronecker.

2.1.3.2. Modelo Elastoplástico de Von Mises

Aqui são descritos a superfície ou critério de escoamento, a lei de fluxo ou

escoamento e a lei de encruamento do modelo elastoplástico de Von Mises.

Outros aspectos matemáticos e teóricos podem ser estudados em Souza Neto et

al. (2008).

DBD


27

2.1.3.2.1. Superfície de Escoamento

De acordo com o critério de Von Mises, o escoamento começa quando a

invariante do tensor desviador atinge um valor limite. Esta condição pode ser

representada como:

( ) (2.16)

Onde é função da variável interna de encruamento , que será definida

na Lei de encruamento. De forma alternativa, incluindo a tensão de escoamento

uniaxial, a superfície de escoamento de Von Mises pode ser definida através da

seguinte função:

( ) √ ( ( )) ( ) (2.17)

Das equações (2.16) e (2.17) pode-se notar que as componentes do tensor

da tensão hidrostática não são levadas em consideração no critério de Von

Mises, sendo o escoamento só influenciado pelo tensor da tensão desviadora.

Portanto, este critério é incompressível com as deformações plásticas.

A função da superfície de escoamento de Von Mises é uma função

isotrópica devido a sua definição em termos das invariantes do tensor de

tensões, permitindo assim uma representação da superfície de escoamento em

função das tensões principais como é apresentado na Figura 2.2.

Figura 2.2 Superfície de escoamento de Von Mises.

DBD


28

2.1.3.2.2. Lei de Fluxo

A lei de escoamento de Prandtl-Reuss é a lei de fluxo que considera a

função da superfície de escoamento de Von-Mises da equação (2.17) como o

potencial de fluxo. Neste caso o vetor de fluxo é calculado como:

[√ ( )] √

‖ ‖

(2.18)

Da equação anterior a lei de fluxo resulta na seguinte expressão:

√

‖ ‖

(2.19)

Devido à insensibilidade do critério de Von Mises com as pressões

hidrostáticas, o vetor de fluxo do escoamento resulta paralelo à direção

desviadora. Isto é mostrado na Figura 2.3.

Figura 2.3 Vetor de fluxo da Lei de Prandtl-Reuss (Souza Neto et al., 2008).

A lei do fluxo de Prandtl-Reuss é frequentemente empregada junto à

superfície de escoamento do critério de Von Mises, para criar desta maneira o

modelo elastoplástico referido como modelo associativo de Von Mises, ou

simplesmente o modelo de Von Mises.

DBD


29

2.1.3.2.3. Lei de Encruamento

Considerando encruamento isotrópico a superfície de escoamento cresce

ou decresce de forma uniforme em todas as direções. No caso específico do

modelo de Von Mises, um aumento ou diminuição no raio do cilindro ocorre. Este

fenômeno pode ser ilustrado na Figura 2.4 junto com um teste cíclico uniaxial.

Figura 2.4 Encruamento Isotrópico. Teste uniaxial e Plano (Souza Neto et al., 2008).

Na descrição constitutiva do encruamento isotrópico emprega-se apenas

uma variável escalar para determinar o tamanho da superfície de escoamento.

Esta variável do estado interno do encruamento é escolhida como uma medida

escalar de deformação. No caso do modelo de Von Mises emprega-se a

deformação plástica acumulada definida como:

∫ √

‖ ‖

(2.20)

A definição acima generaliza a deformação axial plástica acumulada de um

modelo unidimensional para um modelo que considera deformações multiaxiais.

Empregando a equação (2.19) e a taxa de variação da equação (2.20), encontra-

se que:

√

‖ ‖

(2.21)

DBD


30

O modelo de Von Mises com encruamento isotrópico é obtido permitindo

que a tensão de escoamento uniaxial seja função da deformação plástica

acumulada

( ) (2.22)

Esta função define a curva deformação-encruamento que pode ser obtida

através de um teste de tração uniaxial.

2.1.4. Análise Incremental-Iterativa das Equações Não-Lineares

No método dos elementos finitos baseado nos deslocamentos, podemos

aproximar o campo contínuo dos deslocamentos através de uma discretização

do domínio empregando funções de forma ou interpolação onde as variáveis

desconhecidas a calcular são os deslocamentos nodais dos elementos. As

funções de interpolação utilizadas numa análise não linear são as mesma

empregadas numa análise linear, apresentadas em Felippa (2004) e Cook et al.

(1989). Esta aproximação nos deslocamentos pode ser descrita como:

∑ ( )

(2.23)

Substituindo a equação anterior da aproximação dos deslocamentos na

equação linearizada do equilíbrio da equação (2.8), obtém-se em forma matricial:

( ) ( ) ( ) (2.24)

Da equação de acima é a matriz de rigidez tangente, e são os

vetores de forças externa e interna, e é o incremento dos deslocamentos

nodais. Sendo a equação (2.24) válida para qualquer incremento dos

deslocamentos virtuais nodais , obtém-se:

(2.25)

As equações algébricas resultantes da equação anterior, que surgiram da

linearização da equação de equilíbrio, precisam de um processo incremental-

DBD


31

iterativo para assegurar que as condições de equilíbrio sejam satisfeitas,

permitindo assim melhorar a qualidade das soluções.

No processo incremental-iterativo da resolução das equações (2.25),

adotou-se uma notação para a j-ésima iteração do i-ésimo incremento de passo

da maneira seguinte:

[ ]{

} { } {

} (2.26)

O vetor de forças externas { } pode ser decomposto da seguinte forma:

{ } {

} { } (2.27)

Ou de maneira equivalente:

{ } {

} { } (2.28)

Onde é o incremento do fator de carga da j-ésima iteração do i-ésimo

incremento de passo, e { } é o vetor da carga de referência. Com o incremento

dos deslocamentos nodais { } resolvido na j-ésima iteração, os

deslocamentos nodais totais { } podem ser obtidos por acumulação da

seguinte maneira:

{ } {

} { } (2.29)

Convenientemente denotou-se o vetor de forças desequilibradas { }

como a seguinte diferença:

{ } {

} { } (2.30)

Empregando a equação (2.28) e (2.30), a equação (2.26) pode ser rescrita

como:

[ ]{

} { } {

} (2.31)

DBD


32

Por conveniência, pode-se rescrever a equação anterior como duas

equações da seguinte maneira:

[ ]{

} { } (2.32)

[ ]{

} { } (2.33)

Resolvendo as equações acima pode-se obter o incremento dos

deslocamentos nodais da seguinte forma:

{ }

{ } {

} (2.34)

A seguir descrevem-se as equações de restrição dos métodos mais

empregados na resolução das equações não lineares. Estas equações permitem

determinar o valor do incremento do fator de carga . Dentro dos métodos a

mencionar descreve-se o método de controle de carga, controle de

deslocamento e controle por comprimento de arco.

2.1.4.1. Método de Controle de Carga

Na literatura, frequentemente denominado como o Método de Newton-

Raphson, sendo provavelmente o método iterativo mais antigo que ainda é

amplamente empregado. Neste método as cargas externas são acrescentadas

em uma quantidade constante apenas na primeira iteração do incremento de

passo. Nas iterações seguintes, as cargas externas são mantidas, ou seja, o

incremento de carga é zero dentro de um mesmo passo. A equação de restrição

do método pode ser expressa como:

{

(2.35)

Detalhes das vantagens e limitações do método são descritas por McGuire

et al. (2000) e Yang and Kuo (1994).

DBD


33

2.1.4.2. Método de Controle de Deslocamento

Neste método precisa-se escolher uma componente particular de

deslocamento, denotado como a q-ésima componente, para ser o parâmetro de

controle nas iterações. Denotando como o incremento do deslocamento da

q-ésima componente associada com a j-ésima iteração, a equação de restrição

poder ser expressa como:

{

(2.36)

Neste método, na primeira iteração do incremento de passo, é

acrescentada uma quantidade constante na componente de deslocamento

escolhida. Nas iterações restantes do passo, o incremento é zero. Esta equação

de restrição pode ser expressa em termos do incremento do fator de carga

como:

{

(2.37)

Claramente, as cargas externas não são mantidas constantes durante o

processo iterativo. Detalhes das vantagens e limitações do método são descritas

por McGuire et al. (2000) e Yang and Kuo (1994).

2.1.4.3. Método de Controle por Comprimento de Arco

Neste trabalho é abordado só o Método de controle por comprimento de

arco cilíndrico. A equação de restrição deste método pode ser expressa como:

(

) (

) (2.38)

Neste caso, requer-se que a norma Euclidiana do incremento total de

deslocamento no passo seja igual a , i.e., que a solução no final do incremento

fique na interseção entre a trajetória de equilíbrio e um cilindro de raio centrado

DBD


34

na configuração de equilíbrio do início do incremento. Esta equação de restrição

pode ser expressa em termos do incremento do fator de carga como:

{

√

{(

) (

)}

(2.39)

Onde os coeficientes da equação de segundo grau são:

(

)

(

) (

)

(2.40)

Detalhes das vantagens e limitações do método são descritas por Souza

Neto et al. (2008) e Paullo and Roehl (2012).

2.2. Análise incremental da Carga Crítica

A análise de autovalores pode ser utilizada junto com uma análise não

linear completa, formulando o problema de autovalor após cada incremento de

carga. Esta técnica, baseada nas matrizes de rigidez incrementais, é

considerada como uma análise não linear embora seja empregada uma análise

linearizada de autovalores em cada passo.

Considerando uma estrutura sujeita a um carregamento * + e um estado

de tensões e deslocamentos atuais * + e * +, respectivamente, o problema de

autovalor após um incremento de carga * + pode ser formulado da seguinte

maneira:

, ( ) ( )-* + * + (2.41)

Sendo a matriz de rigidez total no início do incremento e o

incremento da matriz de rigidez geométrica no incremento de carga * +. Nesta

equação, é assumida como uma função linear do incremento de carga * +

para causar a condição crítica. O incremento da rigidez geométrica

empregada na estimativa da carga crítica está baseado nos incrementos das

tensões e deslocamentos e , respectivamente, em relação ao início do

DBD


35

incremento. No entanto, os estados de tensão e deformação não são atualizados

durante a análise desta técnica de colapso. Segundo Dupuis et al. (1970), o

incremento da matriz de rigidez geométrica é:

( ) ( ) ( ) (2.42)

Sendo o incremento da matriz de rigidez das tensões iniciais e o

incremento da matriz de rigidez dos deslocamentos iniciais. Segundo

Waszczyszyn et al. (1994), o incremento da matriz de rigidez geométrica é:

( ) ( ) ( ) (2.43)

Sendo a mesma matriz da equação (2.42) e ( ) o

incremento da parte linear nos deslocamentos da matriz de rigidez dos

deslocamentos iniciais ( ). Se os termos do incremento desta matriz não

forem considerados na equação (2.43), obtém-se o incremento da matriz de

rigidez geométrica clássica:

( ) ( ) (2.44)

2.3. Análise Linearizada da Carga Crítica

Na análise linearizada da carga crítica é considerado todo o

comportamento da estrutura como linear antes do colapso. Através desta

consideração, o problema de autovalor da análise linearizada pode ser obtido

como um caso especial da análise incremental de carga crítica. Nesta análise os

valores das tensões iniciais * + e deslocamentos iniciais * + são considerados

nulos no início do incremento. Além disto, os efeitos dos deslocamentos iniciais

não são levados em consideração no incremento da matriz de rigidez geométrica

, sendo só considerados os efeitos do incremento da matriz de rigidez das

tensões iniciais . A equação do problema de autovalor para estimar a carga

crítica numa análise linearizada, conhecida na literatura como a equação da

carga de flambagem de Euler, é descrita como:

, ( ) ( )-* + * + (2.45)

DBD


3 Implementação Computacional

Neste trabalho considerou-se o estudo da instabilidade elástica e inelástica

de estruturas planas como vigas, colunas, pórticos e arcos. No estudo deste tipo

de estruturas adotou-se uma aproximação de meio continuo, considerando um

estado plano de tensões que será resolvido através do método dos elementos

finitos. Neste capítulo descreve-se as considerações particulares da formulação

do estado plano de tensões na implementação computacional das técnicas do

colapso descritas no capítulo anterior.

3.1. Elemento Isoparamétrico Bidimensional

Empregou-se um tipo de elementos isoparamétricos bidimensional de alta

ordem, amplamente utilizado no método dos elementos finitos, conhecido na

literatura como Q9. Este elemento, do tipo Lagrangeano, permite uma melhor

modelagem de problemas no regime plástico. As funções de forma do elemento

são mostradas na Figura 3.1.

Figura 3.1 Funções de Interpolação de elementos Bidimensionais (Bathe, 1996).

DBD


37

3.2. Considerações do Estado Plano de Tensões

As hipóteses do estado plano de tensões, mostrado na Figura 3.2, são

validas na análise de corpos com uma dimensão (espessura) muito menor em

comparação as demais, e sujeitos a carregamentos que geram tensões

predominantemente na direção perpendicular à espessura do corpo.

Figura 3.2 Estado plano de tensões (Souza Neto et al., 2008).

Sendo os índices 1 e 2 as direções associadas ao plano e o índice 3 à

direção normal, o estado plano de tensões pode ser definido através do seguinte

tensor de tensões:

[

] (3.1)

Os problemas de estado plano de tensões que envolvem elasticidade

linear de materiais isotrópicos são simplesmente abordados através da seguinte

relação entre as tensões não nulas e as deformações planas:

{

}

[

] {

}

(3.2)

No entanto, os problemas de estado plano de tensões que envolvem

plasticidade requerem uma abordagem especial no algoritmo de integração das

DBD


38

relações constitutivas para poder levar em consideração as restrições das

componentes nulas das tensões e deformações seguintes:

(3.3)

(3.4)

3.3. Matrizes Utilizadas na Formulação Lagrangeana Total

Nesta seção apresentam-se as matrizes e vetores empregados na

resolução do sistema de equação não lineares (2.25), que resultam da

discretização do meio continuo através da aproximação do método dos

elementos finitos. A avaliação precisa das matrizes e vetores na formulação

Lagrangeana Total permitirá considerar grandes deslocamentos e rotações nos

elementos sem causar deformações errôneas quando ocorrerem movimentos de

corpo rígido.

3.3.1. Matriz de Rigidez Tangente

Substituindo as aproximações do método dos elementos finitos da

equação (2.23), no primeiro termo da parte esquerda da equação linearizada do

equilíbrio (2.8), obtém-se em forma matricial a seguinte expressão:

∫

(3.5)

Da expressão acima define-se a primeira contribuição da matriz de rigidez

tangente denominada como matriz de rigidez linear na cinemática da

deformação, descrita da seguinte forma:

∫

(3.6)

Sendo a matriz de transformação deformação-deslocamento linear e

a matriz tangente consistente, definidas nas seções seguintes deste capítulo. Da

mesma forma que o caso anterior, o segundo termo da equação (2.8) pode ser

expresso em forma matricial como:

DBD


39

∫

(3.7)

Onde é definida como a segunda contribuição da matriz de rigidez

tangente, denominada também como matriz de rigidez não linear na cinemática

da deformação. Esta matriz é expressa como:

∫

(3.8)

Sendo a matriz de transformação deformação-deslocamento não-

linear, descrita nas seções seguintes, e a matriz do segundo tensor das

tensões de Piolla-Kirchhoff descrito como:

[

]

(3.9)

Finalmente, a matriz de rigidez tangente total empregada nos métodos

iterativo-incrementais é a soma das duas contribuições, descrita como:

(3.10)

3.3.2. Vetor de Forças Internas

Substituindo no segundo termo da parte direita da equação linearizada do

equilíbrio (2.8), as aproximações do método dos elementos finitos da equação

(2.23), obtém-se em forma matricial:

∫

(3.11)

Da expressão acima se define como o vetor de forças internas nodais,

que é descrito como:

∫

(3.12)

DBD


40

Sendo a matriz de transformação deformação-deslocamento linear, que

será definida nas próximas seções deste capítulo, e o vetor do segundo

tensor das tensões de Piolla-Kirchhoff descrito como:

{

} (3.13)

3.3.3. Matrizes de Transformação Deformação-Deslocamento

Como foi discutido nas seções anteriores a avalição das matrizes de

rigidez tangente e vetor de forças internas dependem do emprego das matrizes

de transformação deformação-deslocamento. Estas matrizes relacionam os

incrementos das deformações com os incrementos dos deslocamentos.

A matriz de transformação deformação-deslocamento linear é definida

como:

[

]

(3.14)

Onde as componentes são as componentes do tensor

gradiente de deformação, e

são as derivadas das funções de interpolação

em relação às coordenadas iniciais. A matriz poder ser dividida em duas

partes empregando a expressão do gradiente de deformação em função dos

deslocamentos:

(3.15)

Substituindo a equação acima, na expressão (3.14) da matriz , as duas

matrizes apresentadas a seguir:

DBD


41

[

]

(3.16)

[

]

(3.17)

As matrizes e são empregadas na formulação do incremento das

matrizes de rigidez geométricas das equações (2.42), (2.43) e (2.44). Outra

matriz empregada nestas equações é a matriz de transformação deformação-

deslocamento não linear , definida como:

[

]

(3.18)

3.3.4. Matrizes empregadas na análise linearizada e incremental da carga crítica

Segundo Dupuis et al. (1970) a matriz de rigidez tangente de uma

estrutura pode ser expressa como a soma de três matrizes:

(3.19)

Sendo a matriz de rigidez linear ou dos pequenos deslocamentos, a

matriz de rigidez dos deslocamentos iniciais, e a matriz de rigidez das

tensões iniciais. Empregando as matrizes de transformação (3.16), (3.17) e

(3.18), estas matrizes podem ser descritas como:

∫

(3.20)

DBD


42

∫

∫

∫

(3.21)

∫

(3.22)

Segundo Waszczyszyn et al. (1994), a matriz de rigidez pode ser

dividida em uma parte linear nos deslocamentos e outra quadrática nos

deslocamentos , descritos como:

∫

∫

(3.23)

∫

(3.24)

Na análise linearizada da carga crítica, a matriz de rigidez tangente da

equação (2.45), é simplesmente a matriz de rigidez linear (3.20) considerando o

comportamento do material linear-elástico:

∫

(3.25)

3.4. Algoritmo de Integração Numérica das Relações Constitutivas

As equações constitutivas reduzidas (2.11), (2.12), e (2.13); envolvem

equações diferencias ordinárias que precisam ser discretizadas para ser

resolvidas mediante um algoritmo numérico de integração. No presente trabalho

abordou-se o algoritmo preditor/corretor baseado no método implícito de Euler

para discretizar no tempo as equações diferenciais ordinárias. Outros métodos

de discretização podem ser estudados em Souza Neto et al. (2008).

A discretização das equações constitutivas reduzidas (2.11), (2.12) e (2.13)

num intervalo [ ] através do método implícito de Euler, estabelece o

seguinte sistema de equações algébricas:

(3.26)

DBD


43

(3.27)

(3.28)

Nas equações discretizadas de acima, adotou-se a notação:

(3.29)

No sistema de equações discretas, as únicas variáveis desconhecidas são

a deformação elástica , as variáveis internas de encruamento , e o

incremento do multiplicador plástico .

Tabela 3.1 Algoritmo implícito preditor/corretor. PSP aplicado ao modelo de Von Mises

com encruamento isotrópico não linear.

(i) Preditor elástico. Dado o incremento da deformação total , e as

variáveis internas e tensões no tempo , avalia-se o estado elástico:

(ii) Verificar a admissibilidade plástica:

(iii) Corretor Plástico. Resolver a equação não linear em função do

incremento do multiplicador plástico empregando o método de

Newton-Raphson:

Encontrado o valor de , atualiza-se o valor das variáveis:

√

(iv) SAIR

DBD


44

3.4.1. Algoritmo de integração “Plane Stress-Projected”

Na análise de problemas de estado plano de tensões que envolvem

plasticidade, algumas modificações no algoritmo preditor/corretor baseado no

método implícito de Euler, equações (3.26)-(3.29), são necessárias para levar

em consideração as equações (3.3) e (3.4). Neste trabalho empregou-se o

procedimento “Plane Stress-Projected” (PSP) aplicado ao modelo constitutivo de

Von Mises, resumido na Tabela 3.1. Para obter uma representação compacta do

procedimento anteriormente mencionado empregou-se a seguinte notação

matricial dos tensores da tensão, deformação total, plástica, e elástica:

[ ]

[ ]

[

]

[

]

(3.30)

Por conveniência no desenvolvimento do procedimento empregou-se uma

função modificada da superfície de escoamento, descrita como:

(3.31)

Onde é a matriz definida como:

[

] (3.32)

O algoritmo inicia-se com o cálculo do passo preditor elástico. Neste passo

empregam-se as seguintes expressões no intervalo [ ]:

(3.33)

(3.34)

(3.35)

DBD


45

Se as condições de admissibilidade não são satisfeitas procede-se ao

cálculo do passo corretor plástico. Neste passo deve-se resolver o seguinte

sistema de equações algébricas:

(3.36)

√

(3.37)

(3.38)

Substituindo a expressão (3.37) em (3.38), e reorganizando (3.36) e

empregando a inversa da lei elástica, obtém-se o seguinte sistema reduzido de

equações algébricas:

[ ] (3.39)

√

(3.40)

Finalmente, substituindo (3.39) em (3.40), reduz-se o sistema de equações

algébricas do passo corretor plástico numa só equação não linear, tendo como

única variável o incremento do multiplicador plástico :

(

√

)

(3.41)

Da equação acima, define-se as seguintes expressões:

(3.42)

[ ]

(3.43)

Para atualizar as variáveis: tensão, deformação elástica e deformação

plástica acumulada, deve-se resolver a equação escalar não linear (3.41) pelo

método de Newton-Raphson.

DBD


46

3.4.2. Matriz Tangente Elastoplástica Consistente

A matriz tangente elastoplástica consistente é definida como:

(3.44)

Onde é resultado do algoritmo preditor/corretor PSP. Na derivação da

expressão de , empregou-se a derivada de (3.36) e (3.41), a expressão

(3.42), e a lei elástica de (2.10). O resumo do cálculo da matriz tangente

elastoplástica é resumido na Tabela 3.2.

Tabela 3.2 Cálculo da matriz tangente elastoplástica empregando o algoritmo PSP

aplicado ao modelo de Von Mises.

(i) Determinado ,

e (resultados obtidos do algoritmo

mostrado na Tabela 3.1), calcula-se:

[ ]

(ii) Finalmente, calcula-se a matriz tangente elastoplástica:

3.5. Exemplos de Validação

Da literatura pesquisada, seis exemplos foram selecionados para validar a

implementação computacional em lidar com problemas que envolvem não

linearidade geométrica e/ou física. No primeiro exemplo testou-se a resposta

não linear de uma viga em balanço devido à não-linearidade do material. A

seguir, outra viga em balanço que sofre grandes deslocamentos é testada com

material elástico e inelástico. Os pórticos de Roorda e Lee também foram

testados para avaliar a análise linear da carga crítica e o método de controle por

comprimento de arco, respectivamente. Finalmente, um arco abatido foi testado

para validar o cálculo dos pontos críticos sobre a trajetória de equilíbrio.

DBD


47

3.5.1. Exemplo de Validação 1: Viga em balanço empregando um modelo elastoplástico do material

Neste exemplo uma viga em balanço de seção I, submetida a uma carga

concentrada no extremo, foi testada empregando uma malha composta por 150

elementos isoparamétricos Q9 com 9 pontos de integração. A malha é mostrada

na Figura A.1 do Apêndice A. Na análise da viga, consideraram-se as seguintes

hipóteses: pequenos deslocamentos, deformações cisalhantes e comportamento

elastoplástico do material.

Figura 3.3 Propriedades e geometria da Viga em balanço do exemplo de validação 1.

O objetivo deste exemplo é testar o algoritmo PSP aplicado ao modelo de

Von Mises (J2). Na avaliação dos resultados empregaram-se as propriedades

descritas na Figura 3.3. O diagrama carga-deslocamento, da carga concentrada

versus deslocamento vertical no extremo da viga, é apresentado na Figura 3.4.

Figura 3.4 Curva carga-deslocamento do exemplo de validação 1.

DBD


48

Os resultados obtidos na figura acima foram comparados com os

resultados analíticos apresentados por Yaw (2008), não apresentando diferenças

significativas entre os resultados. Outros resultados da análise são apresentados

no Apêndice A.

3.5.2. Exemplo de Validação 2: Viga em balanço com grandes deslocamentos e material linear-elástico

O objetivo deste exemplo é testar a formulação Lagrangeana Total em lidar

com grandes deslocamentos e rotações de uma estrutura. Para validar esta

formulação testou-se uma viga em balanço com propriedades descritas na

Figura 3.5. Na análise da viga empregou-se uma malha composta por 5

elementos Q9 com 9 pontos de integração, como é mostrada na Figura A.4 do

Apêndice A.

Figura 3.5 Viga em balanço com material linear-elástico do exemplo de validação 2.

Na análise da viga consideraram-se as seguintes hipóteses: grandes

deslocamentos, deformações cisalhantes desprezíveis, e comportamento linear-

elástico do material. O diagrama carga-deslocamento, da carga concentrada

versus deslocamento vertical no extremo da viga, é apresentado na Figura 3.6 e

comparado com os resultados analíticos descritos no livro de Gere and

Timoshenko (1991). Os resultados comparados não apresentam diferenças

significativas, validando a formulação. Outros resultados da análise são

apresentados no Apêndice A.

DBD


49


3.5.3. Exemplo de Validação 3: Viga em balanço com grandes deslocamentos e material elastoplástico

A viga em balanço do exemplo anterior é testada considerando um

comportamento elastoplástico do material. As propriedades elastoplásticas

consideradas na análise são mostradas na Figura 3.7. Neste exemplo,

consideraram-se grandes deslocamentos e deformações plásticas ao longo da

análise. Na análise empregou-se uma malha composta por 5 elementos Q9 com

9 pontos de integração, como é mostrada na Figura A.8 do Apêndice A.

Figura 3.7 Viga em balanço com material elastoplástico do exemplo de validação 3.

DBD


50

Neste exemplo validou-se a implementação em lidar com efeitos não

lineares geométricos e físicos ao mesmo tempo. O diagrama carga-

deslocamento, da carga concentrada versus deslocamento vertical no extremo

da viga, é mostrado na Figura 3.8 e ampliado na Figura 3.9. Estes resultados

são comparados com os resultados obtidos por Kondoh and Atluri (1987). Os

resultados comparados se mostram de acordo. Outros resultados da análise são

apresentados no Apêndice A.


Figura 3.9 Curva carga-deslocamento do exemplo de validação 3 (ampliação).

DBD


51

3.5.4. Exemplo de Validação 4: Cálculo da carga crítica do pórtico de Roorda

O pórtico de Roorda é um dos exemplos mais testados no cálculo de carga

crítica. Através deste exemplo validou-se o problema de autovalor formulado na

análise linearizada da carga crítica. Na avaliação dos resultados empregaram-se

as propriedades mostradas na Figura 3.10.

Figura 3.10 Pórtico de Roorda.

Na análise empregou-se uma malha composta por 21 elementos Q9 com 9

pontos de integração, como é mostrada na Figura A.12 do Apêndice A. O

resultado da carga crítica foi comparado com o resultado analítico obtido por

Koiter (1962) na Tabela 3.3. A configuração deformada do modo de flambagem

do pórtico esta apresentada na Figura A.13 do Apêndice A.

Tabela 3.3 Valores estimados da carga crítica do exemplo de validação 4.

Carga crítica analítica Carga crítica obtida

Dos valores obtidos na tabela anterior pode-se observar que os valores só

diferem em 0.57%, validando assim a formulação do problema de autovalor.

DBD


52

3.5.5. Exemplo de Validação 5: Pontos críticos de um arco abatido

Neste exemplo foram avaliados os pontos críticos sobre a trajetória de

equilíbrio de um arco abatido. As propriedades e geometria do arco são

mostradas na Figura 3.11. Na avaliação do ponto de bifurcação empregou-se

uma imperfeição inicial na geometria, proporcional ao primeiro modo da

flambagem linear.

Figura 3.11 Arco abatido do exemplo de validação 5.

Na análise empregou-se uma malha composta por 40 elementos Q9 com 9

pontos de integração, como é mostrada na Figura A.14 do Apêndice A. As

trajetórias de equilíbrio fundamental e secundária, definidas pela carga e

deslocamento vertical no centro do arco, são mostradas na Figura 3.12. Os

resultados foram comparados com os obtidos por Wood and Zienkiewicz (1977).

Figura 3.12 Trajetórias de equilíbrio do arco abatido do exemplo de validação 5.

DBD


53

Os pontos críticos (bifurcação e limite) são apresentados na Tabela 3.4

para uma melhor comparação. Os resultados obtidos mostraram ser

satisfatórios. A configuração deformada do arco no caso simétrico e

antissimétrico é mostrada na Figura A.15 e Figura A.16, respectivamente, do

Apêndice A.

Tabela 3.4 Resultados obtidos dos pontos críticos do exemplo de validação 5.

Pontos Críticos Wood and Zienkiewicz (1977) Implementação

Ponto de Bifurcação

Ponto Limite

3.5.6. Exemplo de Validação 6: Pórtico de Lee

Neste exemplo testou-se o pórtico de Lee para validar o método de

controle por comprimento de arco. As propriedades e geometria do pórtico são

mostradas na Figura 3.13. Na análise do pórtico considerou-se um

comportamento linear-elástico e inelástico. Malhas compostas por 41 e 84

elementos Q9 com 9 pontos foram empregadas no caso linear-elástico e

inelástico, respectivamente. Na Figura A.17 e Figura A.18 do Apêndice A, são

mostradas as malhas empregadas na análise.

Figura 3.13 Pórtico de Lee do exemplo de validação 6.

DBD


54

Os diagramas carga-deslocamento são mostrados na Figura 3.14 e na

Figura 3.15 para o caso elástico e plástico, respectivamente, e comparados com

os resultados obtidos por Da Silva and Silva (2012). Os resultados comparados

mostraram estar de acordo. As configurações deformadas do pórtico são

mostradas na Figura A.19 e na Figura A.20 do Apêndice A.

Figura 3.14 Curva carga-deslocamento do pórtico de Lee no caso elástico.

Figura 3.15 Curva carga-deslocamento do pórtico de Lee no caso inelástico.

DBD


4 Exemplos Numéricos

Nos exemplos a serem apresentados, mostram-se os efeitos da

consideração das não linearidades geométrica e física na estimativa de cargas

críticas. Para um melhor estudo da influência dos efeitos não lineares, estudou-

se primeiro estruturas que incluem só não-linearidade geométrica e um

comportamento linear-elástico do material. A seguir foram estudadas estruturas

que incluem além da não linearidade geométrica a não linearidade física,

considerando um comportamento elastoplástico do material. Na estimativa de

cargas críticas empregaram-se as três técnicas de análise estudadas: Análise

linearizada da carga crítica, Análise incremental da carga crítica e Análise não

linear completa. Na técnica de análise incremental da carga crítica empregaram-

se as matrizes de rigidez geométrica formuladas nos métodos da seção 2.2.

Para um melhor estudo e comparação das matrizes formuladas, os métodos de

Dupuis et al. (1970), Waszczyszyn et al. (1994) e o método clássico atualizado

foram denominados como método I, método II e método III, respectivamente.

Antes de empregar as técnicas de análise estudadas, foi feito um estudo de

convergência de malha nos problemas a serem abordados.

4.1. Estimação de cargas críticas com Material Linear Elástico

Nesta seção são estudados três exemplos encontrados na literatura: um

arco circular abatido, um arco circular elevado e um pórtico T.

4.1.1. Arco circular abatido

Um arco circular abatido com extremos fixos é carregado em sua parte

central com uma força concentrada, como é mostrado na Figura 4.1. A geometria

e propriedades do arco, empregadas na análise, são mostradas na mesma

figura. Utiliza-se uma malha composta por 20 elementos isoparamétricos Q9, na

direção circunferencial, com nove 9 pontos de integração. A malha empregada

no arco é mostrada na Figura 4.2.

DBD


56

A precisão da solução numérica, na obtenção da trajetória de equilíbrio,

pode ser verificada com o auxílio dos resultados obtidos por Yaw (2008). Neste

problema será estimada a carga crítica associada ao ponto limite da trajetória de

equilíbrio.

Figura 4.1 Arco circular abatido do exemplo 4.1.1.

Figura 4.2 Malha do arco abatido do exemplo 4.1.1.

Empregando a técnica da análise linearizada da carga crítica obtém-se um

valor numérico de 78.3kN na estimativa da carga. A configuração deformada

relacionada ao primeiro modo de colapso, obtida através desta técnica, é

mostrada na Figura 4.3. A configuração obtida é assimétrica.

Figura 4.3 Modo de colapso do exemplo 4.1.1 (análise linearizada da carga crítica).

Na análise incremental da carga crítica aplicou-se uma carga de 26kN em

26 passos, sendo estimado o valor da carga crítica após cada passo. Os

resultados obtidos após os passos 10, 15, 20, 23 e 26; são resumidos na Tabela

4.1, Tabela 4.2 e Tabela 4.3, respectivamente. Na avaliação dos resultados

empregou-se um incremento de carga de 1kN.

DBD


57

Tabela 4.1 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.1.1.

[ ) ))]{ } { }

N° do passo

(kN)

(kN)

Carga crítica

(kN)

10 9 1 24.40 33.4

15 14 1 17.52 31.5

20 19 1 10.48 29.5

23 22 1 6.12 28.1

26 25 1 1.31 26.3

Tabela 4.2 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.1.1.

[ ) ))]{ } { }

N° do passo

(kN)

(kN)

Carga crítica

(kN)

10 9 1 21.30 30.3

15 14 1 13.80 27.8

20 19 1 7.10 26.1

23 22 1 3.58 25.6

26 25 1 0.54 25.5

Tabela 4.3 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.1.1.

A partir dos resultados da análise incremental da carga crítica, observou-se

que nos métodos I e II todos os modos de colapso obtidos após os passos são

simétricos. Entretanto, no caso do método III os modos de colapso obtidos após

os passos 10, 15 e 20 são assimétricos como no caso prévio da análise

linearizada da carga crítica, enquanto os modos de colapso obtidos após os

passos 23 e 26 são simétricos como os modos obtidos nos métodos I e II. Os

valores estimados das cargas críticas nos métodos I, II e III, após o passo 26,

foram de 26.3kN, 25.5kN e 29.1kN, respectivamente. Os modos de colapso

obtidos, após o passo 26, são muito parecidos nos três métodos. Na Figura 4.4 é

mostrada a configuração deformada do primeiro modo de colapso obtido após

este passo, empregando o método III da análise incremental da carga crítica.

[ ))]{ } { }

N° do passo

(kN)

(kN)

Carga crítica

(kN)

10 9 1 58.20 67.2

15 14 1 46.31 60.3

20 19 1 32.89 51.9

23 22 1 20.97 43.0

26 25 1 4.08 29.1

DBD


58

Figura 4.4 Modo de colapso do exemplo 4.1.1, após o passo 26.

Finalmente, empregou-se a análise não linear completa para estimar o

valor da carga crítica. Através desta técnica obteve-se um valor numérico de

26.1kN para a carga crítica e a trajetória de equilíbrio mostrada na Figura 4.5. A

configuração deformada do arco abatido na carga crítica é mostrada na Figura

4.6.

Figura 4.5 Trajetória de equilíbrio do exemplo 4.1.1.

Os valores obtidos nas três técnicas apresentam diferenças na estimativa

do valor da carga crítica. As diferenças também estão presentes nos três

métodos abordados na análise incremental da carga crítica. Na Figura 4.7 são

mostrados os valores obtidos para a carga crítica.

Figura 4.6 Configuração deformada do exemplo 4.1.1 (análise não linear completa).

DBD


59

Figura 4.7 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.1.1.

Da Figura 4.7 pode-se observar que os valores obtidos na análise

incremental da carga crítica, convergem para um valor próximo do valor obtido

na análise não linear completa. Neste exemplo, os métodos I e II apresentam

uma convergência melhor e mais rápida que a do método III. Pode-se observar

também que os valores obtidos na análise incremental da carga crítica e análise

não linear completa diferem significativamente do valor obtido na análise

linearizada da carga crítica. Esta diferença entre os valores obtidos pode ser

devido à mudança da geometria e distribuição das tensões. As tensões

equivalentes de Von Mises, para o caso linear e não linear, são mostradas na

Figura B.1 e Figura B.2 do Apêndice B, respectivamente.

4.1.2. Arco circular elevado

Um arco circular elevado com extremos fixos é carregado em sua parte

central com uma força concentrada, como é mostrado na Figura 4.8. A geometria

e propriedades do arco, empregadas na análise, são mostradas na mesma

figura. Utiliza-se uma malha composta por 80 elementos isoparamétricos Q9, na

direção circunferencial, com nove 9 pontos de integração. A malha empregada

neste exemplo é mostrada na Figura 4.9.

DBD


60

A precisão da solução numérica, na obtenção da trajetória de equilíbrio,

pode ser verificada com o auxílio dos resultados obtidos por Battini (2002). Neste

problema serão estimadas as cargas críticas associadas ao ponto de bifurcação

e ponto limite da trajetória de equilíbrio.

Figura 4.8 Arco circular elevado do exemplo 4.1.2.

Figura 4.9 Malha do arco elevado do exemplo 4.1.2.

Neste exemplo, primeiro será estimada a carga crítica relacionada ao

ponto de bifurcação associada à configuração deformada assimétrica. A seguir

será estimada a carga crítica relacionada ao ponto limite associada à

configuração deformada simétrica.

DBD


61

4.1.2.1. Estimativa da carga crítica associada ao ponto de bifurcação


valor numérico de 357.1lbf (1588.5N) na estimação da carga. A configuração

deformada relacionada ao primeiro modo de colapso, obtida através desta

técnica, é mostrada na Figura 4.10. A configuração obtida é assimétrica.

Figura 4.10 Modo assimétrico do exemplo 4.1.2 (análise linearizada da carga crítica).

Na análise incremental da carga crítica aplicou-se uma carga de 320lbf

(1423.4N) em 32 passos, sendo estimado o valor da carga crítica após cada

passo. Os resultados obtidos após os passos 10, 15, 20, 27 e 32; são resumidos

na Tabela 4.4, Tabela 4.5 e Tabela 4.6, respectivamente. Na avaliação dos

resultados empregou-se um incremento de carga de 10lbf (44.5N).

Tabela 4.4 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.1.2 (assimétrico).

[ ) ))]{ } { }

N° do passo

(lbf)

(lbf)

Carga crítica

(lbf)

10 90 10 1.22 102.2

15 140 10 1.16 151.6

20 190 10 1.11 201.1

27 260 10 1.04 270.4

32 310 10 1.01 320.1

DBD


62

Tabela 4.5 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.1.2 (assimétrico).

[ ) ))]{ } { }

N° do passo

(lbf)

(lbf)

Carga crítica

(lbf)

10 90 10 0.0164 90.2

15 140 10 0.0076 140.1

20 190 10 0.0038 190.0

27 260 10 0.0012 260.0

32 310 10 0.0002 310.0

Tabela 4.6 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.1.2 (assimétrico).

[ ))]{ } { }

N° do passo

(lbf)

(lbf)

Carga crítica

(lbf)

10 90 10 25.36 343.6

15 140 10 19.72 337.2

20 190 10 14.20 332.0

27 260 10 6.75 327.5

32 310 10 1.72 327.2


que nos três métodos todos os modos de colapso obtidos após os passos são

assimétricos como no caso prévio da análise linearizada da carga crítica. Os


foram de 320.1lbf (1423.9N), 310lbf (1378.9N) e 327.2lbf (1455.5N),

respectivamente. Os modos de colapso obtidos, após o passo 32, são muito

parecidos nos três métodos. Na Figura 4.11 é mostrada a configuração

deformada do primeiro modo de colapso obtido após este passo, empregando o

método III da análise incremental da carga crítica.

Figura 4.11 Modo assimétrico do exemplo 4.1.2, após o passo 32.

DBD


63


valor da carga crítica. Na avaliação desta carga crítica empregou-se uma

imperfeição inicial na geometria, proporcional ao primeiro modo obtido da análise

linearizada da carga crítica. Através desta técnica obteve-se um valor numérico

de 320.8lbf (1427.0N) para a carga crítica e a trajetória de equilíbrio mostrada na

Figura 4.12. Também foi estimado um valor numérico de 414.0lbf (1841.6N) para

a carga crítica relacionada ao ponto limite da trajetória de equilíbrio secundária.

A configuração deformada assimétrica do arco elevado nesta carga crítica é

mostrada na Figura 4.13.

Figura 4.12 Trajetória de equilíbrio assimétrica do exemplo 4.1.2.





Figura 4.13 Deformada assimétrica do exemplo 4.1.2 (análise não linear completa).

DBD


64

Figura 4.14 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.1.2 (assimétrico).




uma convergência mais lenta que a do método III. Pode-se observar também

que os valores obtidos na análise incremental da carga crítica e análise não

linear completa não diferem significativamente do valor obtido na análise

linearizada da carga crítica. Esta diferença não significativa entre os valores

obtidos pode ser devido à mudança não significativa da geometria e distribuição

das tensões. As tensões equivalentes de Von Mises, para o caso linear e não

linear, são mostradas na Figura B.3 e Figura B.4 do Apêndice B,

respectivamente.

4.1.2.2. Estimativa da carga crítica associada ao ponto limite

Neste exemplo a carga crítica estimada, relacionada ao ponto limite, está

associada à trajetória de equilíbrio fundamental. Na estimação desta carga só

foram empegadas as técnicas de análise incremental da carga crítica e análise

não linear completa.

DBD


65

Na análise incremental da carga crítica aplicou-se uma carga de 950lbf




resultados empregou-se um incremento de carga de 10lbf (44.5N).

Tabela 4.7 Cargas críticas obtidas do método I no exemplo 4.1.2 (simétrico).

[ ) ))]{ } { }

N° do passo

(lbf)

(lbf)

Carga crítica

(lbf)

60 590 10 0.14 591.4

70 690 10 0.17 691.7

80 790 10 0.19 791.9

90 890 10 0.08 890.8

95 940 10 0.01 940.1

Tabela 4.8 Cargas críticas obtidas do método II no exemplo 4.1.2 (simétrico).

[ ) ))]{ } { }

N° do passo

(lbf)

(lbf)

Carga crítica

(lbf)

60 590 10 0.00198 590.0

70 690 10 0.00124 690.0

80 790 10 0.00070 790.0

90 890 10 0.00026 890.0

95 940 10 0.00006 940.0

Tabela 4.9 Cargas críticas obtidas do método III no exemplo 4.1.2 (simétrico).

[ ))]{ } { }

N° do passo

(lbf)

(lbf)

Carga crítica

(lbf)

60 590 10 128.03 1870.3

70 690 10 98.83 1678.3

80 790 10 70.98 1499.8

90 890 10 40.60 1296.0

95 940 10 9.08 1030.8


que nos métodos II e III todos os modos de colapso obtidos após os passos são

simétricos, enquanto no caso do método I todos os modos de colapso obtidos

após os passos são assimétricos. Os valores estimados das cargas críticas nos

métodos I, II e III, após o passo 95, foram de 940.1lbf (4181.8N), 940.0lbf

DBD


66

(4181.3N) e 1030.8lbf (4585.2N), respectivamente. Os modos de colapso

obtidos, após o passo 95, são muito parecidos nos métodos II e III. Na Figura

4.15 é mostrada a configuração deformada do primeiro modo de colapso obtido

após este passo, empregando o método III da análise incremental da carga

crítica.




957.2lbf (4257.8N) para a carga crítica e a trajetória de equilíbrio mostrada na

Figura 4.16. A configuração deformada simétrica do arco elevado na carga

crítica é mostrada na Figura 4.17.

Figura 4.16 Trajetória de equilíbrio simétrica do exemplo 4.1.2.

DBD


67

Figura 4.17 Deformada simétrica do exemplo 4.1.2 (análise não linear completa).

Os valores obtidos nas duas técnicas apresentam diferenças na estimativa




Figura 4.18 Valores obtidos para a carga crítica no exemplo 4.1.2 (simétrico).




valores muito semelhantes, com uma convergência melhor e mais rápida que a

do método III.

DBD


68

4.1.3. Pórtico T

Um pórtico T é carregado com uma força concentrada, como é mostrado

na Figura 4.19. A geometria e propriedades do pórtico, empregadas na análise,

são mostradas na mesma figura. Utiliza-se uma malha composta por 31

elementos isoparamétricos Q9, discretizados na direção do comprimento dos

elementos, com nove 9 pontos de integração. A malha empregada no pórtico é

mostrada na Figura 4.20. A precisão da solução numérica, na obtenção da

trajetória de equilíbrio, pode ser verificada com o auxílio dos resultados obtidos

por Yaw (2008). Neste problema serão estimadas a cargas críticas associadas

ao ponto limite da trajetória de equilíbrio.

Figura 4.19 Pórtico T do exemplo 4.1.3.

Figura 4.20 Malha do pórtico T do exemplo 4.1.3.


valor numérico de 3044.3kip (13541.7kN) na estimativa da carga. A configuração

deformada relacionada ao primeiro modo de colapso, obtida através desta

técnica, é mostrada na Figura 4.21.

Na análise incremental da carga crítica aplicou-se uma carga de 1250kip

(5560.3kN) em 50 passos, sendo estimado o valor da carga crítica após cada

passo do incremento.

DBD


69


Os resultados obtidos após os passos 20, 35, 42, 47 e 50; são resumidos


resultados empregou-se um incremento de carga de 25kip (111.2kN).


[ ) ))]{ } { }

N° do passo

(kip)

(kip)

Carga crítica

(kip)

20 475 25 10.69 742.2

35 850 25 6.31 1007.7

42 1025 25 4.17 1129.2

47 1150 25 2.41 1210.3

50 1225 25 1.14 1253.4


[ ) ))]{ } { }

N° do passo

(kip)

(kip)

Carga crítica

(kip)

20 475 25 3.38 559.5

35 850 25 0.87 871.9

42 1025 25 0.37 1034.4

47 1150 25 0.14 1153.4

50 1225 25 0.03 1225.6


[ ))]{ } { }

N° do passo

(kip)

(kip)

Carga crítica

(kip)

20 475 25 101.73 3018.3

35 850 25 68.16 2554.0

42 1025 25 41.16 2054.0

47 1150 25 19.03 1625.8

50 1225 25 4.66 1341.4

DBD


70


que os valores estimados das cargas críticas nos métodos I, II e III, após o passo

50, foram de 1253.4kip (5575.4kN), 1225.6kip (5451.7kN) e 1341.4kip

(5966.8kN), respectivamente. Os modos de colapso obtidos, após o passo 50,

são muito parecidos nos três métodos. Na Figura 4.22 é mostrada a

configuração deformada do primeiro modo de colapso obtido após este passo,

empregando o método III da análise incremental da carga crítica.





1256kip (5587kN) para a carga crítica e a trajetória de equilíbrio mostrada na

Figura 4.23. A configuração deformada do pórtico T na carga crítica é mostrada

na Figura 4.24.

DBD


71










uma convergência mais rápida que a do método III. Pode-se observar também

que os valores obtidos na análise incremental da carga crítica e análise não

linear completa diferem significativamente do valor obtido na análise linearizada

da carga crítica. Esta diferença entre os valores obtidos pode ser devido à

DBD


72

mudança da geometria e distribuição das tensões. As tensões equivalentes de

Von Mises, para o caso linear e não linear, são mostradas na Figura B.5 e Figura

B.6 do Apêndice B, respectivamente.

4.2. Estimação de cargas críticas com Material Elastoplástico

Nesta seção serão estudados dois exemplos da seção anterior, o arco

abatido e pórtico T, e outro exemplo encontrado na literatura denominado como

pórtico toggle. Nos três exemplos a serem estudados, considerou-se um

comportamento elastoplástico do material na análise.

4.2.1. Arco circular abatido

O arco circular abatido do exemplo 4.1.1 é analisado considerando uma

tensão de escoamento e modulo elastoplástico .

A geometria e propriedades do arco, empregadas na análise, são mostradas na

Figura 4.1. Utiliza-se uma malha composta por 80 elementos isoparamétricos

Q9, discretizada com 40 divisões na direção circunferencial e 2 divisões na

direção radial, com 9 pontos de integração. A malha empregada no arco é

mostrada na Figura 4.26. Neste problema será estimada a carga crítica

associada ao ponto limite da trajetória de equilíbrio.

Figura 4.26 Malha do arco abatido do exemplo 4.2.1.

Empregando a malha da figura anterior obtém-se um valor numérico de

78.6kN na estimativa da carga através da técnica da análise linearizada da carga

crítica. A configuração deformada relacionada ao primeiro modo de colapso,

obtida através desta técnica, é mostrada na Figura 4.27. A configuração obtida é

assimétrica. Os resultados obtidos são similares aos do exemplo 4.1.1.


DBD


73

Na análise incremental da carga crítica aplicou-se uma carga de 11.5kN

em 23 passos, sendo estimado o valor da carga crítica após cada passo. Os

resultados obtidos após os passos 10, 15, 18, 21 e 23; são resumidos na Tabela

4.13, Tabela 4.14 e Tabela 4.15, respectivamente. Na avaliação dos resultados

empregou-se um incremento de carga de 0.5kN.


[ ) ))]{ } { }

N° do passo

(kN)

(kN)

Carga crítica

(kN)

10 4.5 0.5 54.0 31.5

15 7 0.5 32.2 23.1

18 8.5 0.5 20.1 18.6

21 10 0.5 10.6 15.3

23 11 0.5 2.6 12.3


[ ) ))]{ } { }

N° do passo

(kN)

(kN)

Carga crítica

(kN)

10 4.5 0.5 50.4 29.7

15 7 0.5 28.1 21.1

18 8.5 0.5 16.3 16.7

21 10 0.5 7.5 13.8

23 11 0.5 1.2 11.6


[ ))]{ } { }

N° do passo

(kN)

(kN)

Carga crítica

(kN)

10 4.5 0.5 139.1 74.1

15 7 0.5 111.8 62.9

18 8.5 0.5 90.2 53.6

21 10 0.5 53.5 36.8

23 11 0.5 10.1 16.0


que nos métodos I e II todos os modos de colapso obtidos após os passos são

simétricos. Entretanto, no caso do método III os modos de colapso obtidos após

os passos 10, 15 e 18 são assimétricos como no caso prévio da análise

linearizada da carga crítica, enquanto os modos de colapso obtidos após os

passos 21 e 23 são simétricos como os modos obtidos nos métodos I e II. Os

DBD


74


foram de 12.3kN, 11.6kN e 16.0kN, respectivamente. Na Figura 4.28 e Figura

4.29 são mostradas as configurações deformadas do primeiro modo de colapso

obtidas após os passos 15 e 23, respectivamente, empregando o método III da

análise incremental da carga crítica.





11.5kN para a carga crítica e a trajetória de equilíbrio mostrada na Figura 4.31. A

configuração deformada do arco na carga crítica é mostrada na Figura 4.30.



DBD


75







incremental de carga crítica, convergem para um valor próximo do valor obtido


uma convergência melhor e mais rápida que a do método III, como no caso

elástico. Pode-se observar também que os valores obtidos na análise

incremental da carga crítica e análise não linear completa diferem

significativamente do valor obtido na análise linearizada da carga crítica. Esta

diferença entre os valores obtidos pode ser devido à mudança da geometria e

distribuição das tensões. As tensões equivalentes de Von Mises, para o caso

linear e não linear, são mostradas na Figura B.7 e Figura B.8 do Apêndice B,

respectivamente.

DBD


76

4.2.2. Pórtico toggle

Um pórtico toggle com extremos fixos é carregado em sua parte central

com uma força concentrada, como é mostrado na Figura 4.33. A geometria e

propriedades do pórtico, empregadas na análise, são mostradas na mesma

figura. Utiliza-se uma malha composta por 80 elementos isoparamétricos Q9,

discretizada com 20 divisões no comprimento de cada elemento e 2 divisões na

altura, com 9 pontos de integração. A malha empregada no pórtico é mostrada

na Figura 4.34. A precisão da solução numérica, na obtenção da trajetória de

equilíbrio, pode ser verificada com o auxílio dos resultados obtidos por Battini

(2002). Neste problema será estimada a carga crítica associada ao ponto de

bifurcação da trajetória de equilíbrio associada à configuração deformada

assimétrica.

Figura 4.33 Pórtico toggle do exemplo 4.2.2.

Figura 4.34 Malha do pórtico toggle do exemplo 4.2.2.


43.3lbf (192.6N) na estimativa da carga através da técnica da análise linearizada

da carga crítica. A configuração deformada relacionada ao primeiro modo de

colapso, obtida através desta técnica, é mostrada Figura 4.35. A configuração

obtida é assimétrica.


DBD


77

Na análise incremental da carga crítica aplicou-se uma carga de 26.5lbf




resultados empregou-se um incremento de carga de 0.5lbf (2.2N).


[ ) ))]{ } { }

N° do passo

(lbf)

(lbf)

Carga crítica

(lbf)

20 9.5 0.5 44.4 31.7

30 14.5 0.5 34.0 31.5

40 19.5 0.5 23.6 31.3

50 24.5 0.5 10.0 29.5

53 26 0.5 4.2 28.1


[ ) ))]{ } { }

N° do passo

(lbf)

(lbf)

Carga crítica

(lbf)

20 9.5 0.5 38.2 28.6

30 14.5 0.5 26.2 27.6

40 19.5 0.5 15.7 27.3

50 24.5 0.5 4.9 26.9

53 26 0.5 1.5 26.7


[ ))]{ } { }

N° do passo

(lbf)

(lbf)

Carga crítica

(lbf)

20.0 9.5 0.5 59.3 39.1

30.0 14.5 0.5 45.1 37.1

40.0 19.5 0.5 31.0 35.0

50.0 24.5 0.5 12.3 30.6

53.0 26.0 0.5 5.1 28.6


que nos três métodos todos os modos de colapso obtidos após os passos são

assimétricos como no caso prévio da análise linearizada da carga crítica. Os


foram de 28.1lbf (125N), 26.7lbf (118.8N) e 28.6lbf (127.2N), respectivamente.

Os modos de colapso obtidos, após o passo 53, são muito parecidos nos três

DBD


78

métodos. Na Figura 4.36 é mostrada a configuração deformada do primeiro

modo de colapso obtida após este passo, empregando o método III da análise

incremental da carga crítica.





26.3lbf (117N) para a carga crítica e a trajetória de equilíbrio, associada à

configuração deformada assimétrica, mostrada na Figura 4.37. Nesta figura

também se mostra a trajetória de equilíbrio associada à configuração deformada

simétrica. A configuração deformada do pórtico toggle na carga crítica e pós-

crítica são mostradas na Figura 4.38 e Figura 4.39, respectivamente.



DBD


79









uma convergência mais rápida que a do método III, e o método II apresenta uma

convergência melhor que a dos métodos I e III. Pode-se observar também que

os valores obtidos na análise incremental da carga crítica e análise não linear

completa diferem significativamente do valor obtido na análise linearizada da

carga crítica. Esta diferença entre os valores obtidos pode ser devido à mudança

da geometria e distribuição das tensões. As tensões equivalentes de Von Mises,

para o caso linear e não linear, são mostradas na e Figura B.9 e Figura B.10 do

Apêndice B, respectivamente.

DBD


80

4.2.3. Pórtico T

O pórtico T do exemplo 4.1.3 é analisado considerando uma tensão de

escoamento ) e modulo elastoplástico

). A geometria e propriedades do pórtico, empregadas na

análise, são mostradas na Figura 4.19. Utiliza-se uma malha composta por 124

elementos isoparamétricos Q9 com 9 pontos de integração. A malha empregada

no pórtico é mostrada na Figura 4.41. Neste problema será estimada a carga

crítica associada ao ponto limite da trajetória de equilíbrio.

Figura 4.41 Malha do pórtico T do exemplo 4.2.3.


3012.6kip (13400.7kN) na estimativa da carga através da técnica da análise

linearizada da carga crítica. A configuração deformada relacionada ao primeiro

modo de colapso, obtida através desta técnica, é mostrada na Figura 4.42. Os

resultados obtidos na análise são similares aos do exemplo 4.1.3.


Na análise incremental da carga crítica aplicou-se uma carga de 798kip

(3549.7kN) em 266 passos, sendo estimado o valor da carga crítica após cada

passo. Os resultados obtidos após os passos 220, 235, 250, 260 e 266; são

resumidos na Tabela 4.19, Tabela 4.20 e Tabela 4.21, respectivamente. Na

avaliação dos resultados empregou-se um incremento de carga de 3kip

(13.3kN).

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81


[ ) ))]{ } { }

N° do passo

(kip)

(kip)

Carga crítica

(kip)

220 657 3 2.3 664.0

235 702 3 2.3 708.9

250 747 3 2.4 754.1

260 777 3 0.8 779.4

266 795 3 1.8 800.4


[ ) ))]{ } { }

N° do passo

(kip)

(kip)

Carga crítica

(kip)

220 657 3 2.0 663.0

235 702 3 1.9 707.8

250 747 3 1.7 752.1

260 777 3 0.4 778.2

266 795 3 0.1 795.3


[ ))]{ } { }

N° do passo

(kip)

(kip)

Carga crítica

(kip)

220 657 3 741.0 2880.0

235 702 3 617.0 2553.1

250 747 3 299.2 1644.7

260 777 3 207.5 1399.5

266 795 3 25.9 872.8


que os modos de colapso obtidos após dos incrementos 235, 250, 260 e 266

diferem do modo obtido no caso prévio da análise linearizada da carga crítica.

Os valores estimados das cargas críticas nos métodos I, II e III, após o passo 50,

foram de 800.4kip (3560.4kN), 795.3kip (3537.7kN) e 872.8kip (3882.4kN),

respectivamente. Na Figura 4.43 é mostrada a configuração deformada do

primeiro modo de colapso obtido após o passo 266, empregando o método III da

análise incremental da carga crítica.

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82




798.9kip (3553.7kN) para a carga crítica e a trajetória de equilíbrio mostrada na

Figura 4.45. A configuração deformada do pórtico T na carga crítica é mostrada

na Figura 4.44.



DBD


83









valores muito semelhantes, com uma convergência melhor e mais rápida que a

do método III. Pode-se observar também que os valores obtidos na análise

incremental da carga crítica e análise não linear completa diferem

significativamente do valor obtido na análise linearizada da carga crítica. Esta

diferença entre os valores obtidos pode ser devido à mudança da geometria e

distribuição das tensões. As tensões equivalentes de Von Mises, para o caso

linear e não linear, são mostradas na Figura B.11 e Figura B.12 do Apêndice B,

respectivamente.

DBD


5 Conclusões e Sugestões

5.1. Conclusões

Dos exemplos estudados no capítulo 4, observou-se que os valores

de carga crítica obtidas através dos métodos I e II parecem ser

sempre menores que os obtidos através do método III.

Os métodos I e II não garantem uma variação de cima para baixo

ou de baixo para cima dos valores de carga crítica, tornando os

métodos não muito confiáveis por não ter certeza no lado do erro

em relação ao valor obtido numa análise não linear completa.

As cargas críticas e modos de colapso obtidos a partir de uma

análise incremental da carga crítica convergem para valores de

carga e configurações deformadas próximas das obtidas numa

análise não linear completa.

Nos exemplos da seção 4.2 foram empregados materiais com

comportamento elastoplástico. Nos resultados obtidos observou-se

uma redução do valor da carga crítica e uma perda de rigidez da

estrutura, pelo fato dos elementos deformáveis comprimidos terem

entrado em um regime plástico.

Os modos de colapso obtidos a partir de uma análise linearizada da

carga crítica podem resultar às vezes em configurações

deformadas diferentes das obtidas numa análise incremental da

carga crítica e uma análise não linear completa. O caso mais

representativo foi observado no exemplo do arco abatido, onde o

modo de colapso assimétrico obtido na análise linearizada da carga

crítica foi totalmente diferente das obtidas nas outras técnicas.

DBD


85

A avaliação de pontos de bifurcação na trajetória de equilíbrio

fundamental é necessária para poder traçar as trajetórias de

equilíbrio secundárias. Estas trajetórias podem apresentar pontos

limites menores que o obtido na trajetória de equilíbrio fundamental,

como o caso mostrado no exemplo do arco elevado.

As cargas críticas calculadas a partir da análise linear da carga

crítica apresentam valores maiores aos obtidos das outras técnicas,

devido às limitações da técnica em lidar com uma acentuada não

linearidade no estado pré-crítico. Quando este fenômeno acontece

não pode ser considerado que a distribuição das tensões

permanece inalterada e que os valores das tensões mudam

somente com o fator de carga. Isto pode ser constatado na

distribuição das tensões equivalentes de Von Mises obtidas nos

exemplos numéricos, as quais são mostradas no Apêndice B.

A formulação lagrangeana total empregada em elementos

bidimensionais permitiu lidar com grandes deslocamentos e

rotações nos elementos das estruturas sem causar deformações

errôneas quando ocorrem movimentos de corpo rígido. O uso

destes elementos nesta formulação permitiu também lidar com

grandes deformações nos elementos pelo fato de empregar um

tensor de deformação completo onde termos de alta ordem não

foram desprezados.

5.2. Sugestões para trabalhos futuros

Sugere-se implementar algoritmos que permitam considerar cargas

dependentes dos deslocamentos na análise, como o caso de

cargas seguidoras e cargas dirigidas para um ponto.

Seria importante estudar a não linearidade geométrica

considerando outras formulações, empregadas na descrição

cinemática da deformação, como a formulação lagrangeana

atualizada ou formulação co-rotacional.

DBD


86

Sugere-se também implementar uma formulação hierárquica nas

funções de interpolação dos elementos bidimensionais para poder

lidar com as altas não linearidades das curvaturas presentes nos

elementos, empregando um número menor de elementos

bidimensionais na análise.

Seria importante também incluir técnicas que permitissem avaliar

pontos de bifurcação sem a necessidade de empregar pequenas

imperfeições iniciais na geometria, devido à dificuldade na escolha

da forma e magnitude das imperfeições quando se analisa sistemas

estruturais mais complexos.

Sugere-se estudar problemas de instabilidade que incluíam cargas

distribuídas como o peso próprio da estrutura.

DBD


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DBD


Apêndice A

Neste apêndice serão mostradas as discretizações do continuo e outros

resultados da análise dos exemplos de validação do capítulo 3.

A.1 Malha e outros resultados do exemplo de validação 1

Neste exemplo empregou-se uma malha de 6x25 (150) elementos

isoparamétricos bidimensionais Q9. A discretização do continuo é mostrado na

Figura A.1.

Figura A.1 Malha da viga do exemplo de validação 1.

As tensões desenvolvidas na direção longitudinal da viga, devido a um

carregamento pontual de 8kip (35.6kN), são mostrada na Figura A.2. Também as

tensões de Von Mises foram obtidas na análise e são mostradas na Figura A.3.

Figura A.2 Tensões na direção longitudinal da viga do exemplo de validação 1.

Figura A.3 Tensões equivalentes de Von Mises do exemplo de validação 1.

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Neste exemplo, uma malha de 1x5 (5) elementos isoparamétricos

bidimensionais Q9 foi suficiente para descrever o comportamento não linear

geométrico da viga nos deslocamentos. A discretização do continuo é mostrado

na Figura A.4.


A configuração deformada da viga, devido a um carregamento pontual de

15kip (66.7kN), é mostrada na Figura A.5. Também são mostrados os

deslocamentos desenvolvidos na viga para este carregamento na Figura A.6 e

Figura A.7.

Figura A.5 Configuração deformada da viga do exemplo de validação 2.

Figura A.6 Deslocamentos na direção longitudinal da viga.

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Figura A.7 Deslocamentos na direção transversal da viga.


Neste exemplo empregou-se a mesma malha do exemplo anterior. A

malha de 1x5 (5) elementos isoparamétricos bidimensionais Q9 é mostrada na

Figura A.8.


A configuração deformada da viga, devido a um carregamento pontual de

1400lbf (6227.5N), é mostrada na Figura A. 9. Também são mostrados os

deslocamentos desenvolvidos na viga para este carregamento na Figura A.10 e

Figura A.11.

Figura A. 9 Configuração deformada da viga do exemplo de validação 3.

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Figura A.10 Deslocamentos na direção longitudinal da viga.

Figura A.11 Deslocamentos na direção transversal da viga.


Neste exemplo empregou-se uma malha de 21 elementos isoparamétricos

bidimensionais Q9, como é mostrada na Figura A.12. A configuração deformada

do primeiro modo de flambagem é mostrada na Figura A.13.

Figura A.12 Malha do pórtico de Roorda do exemplo de validação 4.

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Figura A.13 Primeiro modo de flambagem do pórtico de Roorda.


Neste exemplo uma malha composta por 40 elementos isoparamétricos

bidimensionais Q9, na direção circunferencial, foi necessária para descrever o

comportamento não linear geométrico do arco abatido. A discretização do

continuo é mostrado na Figura A.14.

Figura A.14 Malha do arco abatido do exemplo de validação 5.

A configuração deformada do arco para um deslocamento vertical de 20in

(50.8cm) no centro do arco foi obtida para o caso simétrico e assimétrico. Na

Figura A.15 e Figura A.16 são mostradas as configurações deformadas para o

caso simétrico e assimétrico, respectivamente. No caso assimétrico considerou-

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se uma imperfeição inicial na geometria proporcional ao primeiro modo de

flambagem.

Figura A.15 Configuração deformada simétrica do exemplo de validação 5.

Figura A.16 Configuração deformada assimétrica do exemplo de validação 5.


Neste exemplo empregou-se a malha da Figura A.17 e Figura A.18 para o

caso elástico e inelástico, respectivamente.

Figura A.17 Malha do pórtico de Lee no caso elástico.

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Figura A.18 Malha do pórtico de Lee no caso inelástico.

A configuração deformada do pórtico para um deslocamento vertical de

82cm, no ponto de aplicação da forca, é mostrada na Figura A.19 e Figura A.20

para o caso elástico e inelástico, respectivamente.

Figura A.19 Configuração deformada do pórtico no caso elástico.

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Figura A.20 Configuração deformada do pórtico no caso inelástico.

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Apêndice B

Neste apêndice serão mostradas as tensões equivalentes de Von Mises

dos exemplos numéricos do capítulo 4.

B.1 Tensões de Von Mises do exemplo numérico 1

As tensões equivalentes de Von Mises obtidas numa análise não linear

completa e uma análise linear são mostradas na Figura B.1 e Figura B.2,

respectivamente. O carregamento empregado nas duas análises foi o

carregamento crítico obtido na análise não linear completa do exemplo 1.

Figura B.1 Tensões equivalentes de Von Mises no caso linear do exemplo 1.

Figura B.2 Tensões equivalentes de Von Mises no caso não linear do exemplo 1.






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