1. A ORIGEM DA GEOMETRIA

Fazer qualquer tipo de afirmação referente à origem da matemática, seja da aritmética,

seja da geometria ou de qualquer outro ramo, seria fruto de pura ilusão, pois o início disso

tudo provavelmente é muito mais antigo que a própria arte da escrita (BOYER, 1996).

Segundo Heródoto (séc. V a.C.) e Aristóteles (384-322 a.C.), não existem raízes mais

antigas do que as encontradas na civilização Egípcia, porém acabavam entrando em

contradição, pois a geometria que tinham em mente estava ligada à raízes mais antigas

(BOYER, 1996).

Para Heródoto a necessidade prática de se medir a terra no Egito é que deu origem a

geometria enquanto para Aristóteles, o fato de existir no Egito uma classe sacerdotal é que

havia conduzido o estudo da geometria.

Podemos dizer então que seguindo as idéias de Heródoto e Aristóteles, definimos duas

teorias para a origem da geometria.

Necessidade Prática;

Classe sacerdotal e ritual.

Talvez se levarmos em consideração o fato de que os geômetras egípcios eram

chamados de “esticadores de corda” possa ter sido decisiva para a elaboração de qualquer

uma dessas teorias, pois cordas eram sem dúvida usadas tanto para traçar bases dos templos

religiosos quanto para realinhar demarcações das terras.

Acredita-se que a geometria está intimamente ligada às necessidades do dia-a-dia,

como as ligadas a agricultura e construção de casas.

Segundo (BOYER, 1996) o homem do Neolítico também revelou um agudo sentido

para os padrões geométricos, a pintura das cerâmicas, a fabricação de metais, a tecelagem

conduziram a noção de plano e a relações espaciais.

Além do povo egípcio, os babilônios, os gregos e os hindus também possuíam grande

conhecimento geométrico.

O povo Babilônico (aproximadamente 3500 a.C.), uma das civilizações mais antigas

do mundo, possuíam grandes conhecimentos geométricos como a área dos retângulos,

triângulo retângulo, volume do paralelepípedo reto retangular e o volume do prisma reto de

base trapezoidal. Segundo (EVES, 1995) os babilônios já conheciam o teorema de Pitágoras.

Atribui-se também aos babilônios a fato de se dividir uma circunferência em 360 partes

iguais. Isso pode ser corroborado pelo fato que nos remotos tempos dos Sumérios, existia uma

1

unidade, a milha babilônica. Esta era uma medida muito grande (correspondia a sete milhas

atuais1). Eles utilizavam esta medida em distâncias muito longas. Para que se pudesse calcular

o tempo necessário para se percorrer uma milha babilônica era necessária uma unidade de

tempo. Quando a astronomia chegou a um nível de se manter registros sistemáticos de

fenômenos celestes, a milha-tempo foi adotada para a medição de espaços de tempo.

Determinou-se que um dia fosse formado por 12 milhas-tempo, dividiu-se então o ciclo

completo em 12 partes iguais. Essa milha-tempo babilônica foi dividida em 30 partes iguais.

Desta forma: 12. 30 = 360 partes iguais em um ciclo completo.

No povo egípcio (aproximadamente 2600 a.C.) podemos encontrar sinais de seu

conhecimento geométrico nas pirâmides bem como na necessidade prática do cálculo da área

de terrenos e volumes de silos (locais onde armazenavam o excedente da colheita).

Segundo (EVES, 1995) eles eram muito precisos no cálculo de áreas de retângulos,

triângulos e trapézios isósceles, provavelmente pelo método de decomposição e recomposição

de figuras, conseguiram um valor aproximado para o número π (pi) além de métodos para

calcular o volume das pirâmides, cilindros e talvez a área do hemisfério. Alguns celeiros

possuíam a forma de um cilindro circular reto e é por isso que eles conheciam o método para

o cálculo do volume de um cilindro.

(EVES, 1995) afirma também que os gregos eram excelentes geômetras. A primeira

fonte a respeito dos primeiros passos gregos referentes à geometria é proveniente do chamado

Sumário Eudemiano, de Proclo (V d.C.), e é um breve resumo da geometria grega dos seus

primeiros passos até Euclides.

Muitos trabalhos se perderam, mas Proclo conseguiu preservar alguns. Dentre os que

se perderam está o resumo de uma história aparentemente completa sobre a geometria grega.

Um dos matemáticos ilustres citados no Sumário Eudemiano é Pitágoras. (EVES, 1995, p.97).

Atribui-se aos gregos, mais especificamente a Tales de Mileto (624-548 a.C.) o início

da geometria demonstrativa. Alguns historiadores da matemática antiga como Otto

Neugebauer (EVES, 1995, p.94) discordam disso, dizendo que a geometria demonstrativa

tenha começado com a descoberta da irracionalidade , descoberta essa atribuída aos

pitagóricos por volta de 600 a.C.

Algumas descobertas matemáticas, mais especificamente geométricas, são atribuídas a

Tales:

Qualquer diâmetro efetua a bissecção do círculo em que é traçado;

Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais;

1 Milha: antiga medida itinerária brasileira correspondente a 2200 metros.

2

Ângulos opostos pelo vértice são iguais;

Se dois triângulos têm dois ângulos e um lado em cada um deles respectivamente

iguais, então esses triângulos são iguais.

Um ângulo inscrito em um semicírculo é reto. Este resultado já era de conhecimento

dos babilônios cerca de 1400 anos antes.

Acredita-se, segundo (EVES, 1995) que a geometria, como a contagem, tivesse

origem em rituais primitivos. Talvez uma prova disso sejam os resultados geométricos

encontrados na Índia, que formam o que se chamou de Sulvasutras. São relações simples

aplicadas à construção de templos e altares e que serão mais explorados no decorrer deste

trabalho.

Todas essas informações nos trazem o valor e a importância dos diferentes povos com

relação ao desenvolvimento da matemática, mais especificamente da geometria. O

principal objetivo no desenvolvimento desse trabalho será o de mostrar a importância e a

influência que a religião e os rituais religiosos ao longo do tempo tiveram no

desenvolvimento da geometria.

2. A GEOMETRIA E OS RITUAIS NO EGITO

3

O Egito é um país que está situado a noroeste da África. Sua história nos mostra que se

manteve em isolamento, protegido das invasões e foi governado de forma pacífica e por uma

sucessão de dinastias. Desde os seus primórdios, se interessaram pela astronomia e

perceberam que a inundação do rio Nilo acontecia sempre que Siriús (como era conhecida a

estrela do cão) se levantava a leste, logo antes do sol. A partir dessa observação, eles

estabeleceram um calendário solar feito de doze meses com trinta dias cada um e mais cinco

dias de festa no final do ano, totalizando 365 dias, (BOYER, 1996).

Os egípcios ficaram conhecidos por suas pirâmides e também pelos papiros e os

problemas matemáticos que eles continham.

Eles acreditavam que a vida após a morte dependia da conservação do corpo. A partir

disso, embalsamavam os corpos e os objetos de valores eram colocados nos túmulos para uso

após a morte. E foi justamente para essa finalidade que eles construíram as Pirâmides, uma

profunda arte de engenharia e marca registrada desse povo.

A palavra geometria tem como significado medição de terra e seu desenvolvimento no

Egito deveu-se precisamente a esse objetivo. A aproximadamente cinco ou seis mil anos, os

egípcios desenvolveram um esquema de agrimensura do solo baseado na experiência. Esse

esquema surgiu da necessidade de se evitar que o transbordamento anual do Rio Nilo

destruísse as fronteiras. Esse método não exigia mais do que dois homens e uma corda com

nós, além de se ter conhecimento do que chamamos hoje de “Terna Pitagórica”. O

procedimento pode ser descrito da seguinte maneira: primeiramente eles dividiam a corda em

13 partes iguais. Quatro unidades formavam o primeiro lado, três o outro lado e cinco

constituíam a hipotenusa oposta ao ângulo reto. Esse método persistiu até os dias atuais e foi

muito utilizado na construção de Templos e de túmulos.

Utilizando-se dessa técnica, era possível e relativamente simples a tarefa de se esboçar

triângulos e outras figuras geométricas mais complexas.

Com relação à vida religiosa e sagrada, (PENNICK, 1980), afirma que os egípcios

eram rigidamente organizados. O maior exemplo disso são os templos e as artes contidas nos

túmulos.

No planejamento dos Templos, a geometria aparecia em uma complexa cerimônia

simbólica conhecida como “Cordagem do Templo”. Nessa “Cordagem”, a corda tinha duas

funções: a primeira delas era a de fixar a orientação do Templo através da observação direta

4

de um objeto celestial, a segunda era a de esboçar por intermédio da geometria o padrão

sagrado do próprio Templo.

Por exemplo, depois de fixarem a orientação segundo uma constelação qualquer, os

cordoadores, como eram conhecidos, faziam uma linha em ângulo reto em relação à

constelação por meio da construção de um triângulo 3:4:5 e a partir desse triângulo faziam o

esboço de todo o Templo.

Ao longo de toda a história, a forma retangular que conhecemos serviu como

representação do corpo do homem e também dos céus. No Egito, ele passou a ser

representado admiravelmente pelas pirâmides.

Alguns autores como Heródoto (V a.C.) através de seus testemunhos, afirmam que a

primeira função das pirâmides era de realmente servir como sepulcro.

De acordo com (PENNICK, 1980) os reis egípcios, que também acabavam assumindo

o papel de sacerdotes e até mesmo de deuses, acreditavam que a sua sobrevivência no “pós-

vida”, estaria garantida se seus túmulos fossem feitos com objetos e detalhes do mais alto

valor. Acabavam dedicando grande parte da sua vida terrestre para que isso realmente

acontecesse. Um exemplo disso foi a construção da Grande Pirâmide, que serviria como a

Tumba do rei Quéops. Segundo relatos de Heródoto, ela foi construída de acordo com as

ordens e vontades do rei durante sua vida.

O imenso volume e toda a grandiosidade geométrica que podemos perceber nas

pirâmides, levantaram a curiosidade e o interesse de muitos historiadores e fez com que eles

escrevessem muitos detalhes sobre elas. O historiador e geógrafo Diodoro Sículo (séc. I a.C.)

fez o seguinte relato:

A maior delas é quadrangular, cada lado mede setecentos pés de extensão em sua base e mais de seiscentos de altura; contrai-se gradualmente no topo, onde cada lado tem seis côvados; está construída inteiramente em pedra sólida, de difícil artesania, mas duração externa” (PENNICK, 1980, p. 42).

A primeira pirâmide foi desenhada por Imhotep, considerado como um grandioso

homem que depois de morto foi elevado a condição de deus que fundamentou a medicina e a

arquitetura. Ficou conhecida como pirâmide Escada, tinha uma planta baixa quadrada e

acabava mais sendo uma montanha sagrada em forma de escada do que uma pirâmide

propriamente dita. Estava dentro de um vasto Santuário. Essa forma acabou servindo como

5

padrão para os lugares sagrados posteriores. Inclusive acabou sendo utilizado no Tabernáculo

e no Templo dos Judeus.

Fig. 1 Pirâmide Escada2.

No pátio da pirâmide Escada havia uma estátua com o nome de Imhotep com a

seguinte citação: “Chanceler do Rei do Baixo Egito, primeiro após o Rei do Alto Egito,

Administrador do Grande Palácio, Fidalgo Hereditário, Sumo Sacerdote de Heliópolis,

Construtor, Escultor e Fabricante-em-chefe de Vasos.” Todos esses títulos, demonstram para

os egípcios, a unidade essencial da magia, religião e tecnologia, além de tratar Imhotep como

o pioneiro na tradição ocidental da geometria sagrada.

Depois da pirâmide Escada, outras duas pirâmides começaram a ser construídas,

porém não foram terminadas cuja razão ou motivo são desconhecidos.

Depois da construção dessas pirâmides de degraus, começaram a ser erguidas

pirâmides verdadeiras com revestimento de lajotas polidas feitas de Calcário. A primeira

dessas pirâmides acabou desmoronando durante a sua construção. Acredita-se que o

acabamento imperfeito e a inovação no projeto possam ter sido as causas desse insucesso.

Essa pirâmide foi desenhada como uma pirâmide de degraus, porém era preenchida com

blocos de revestimento. Os poucos blocos que restaram e foram retirados após o desastre,

mostram que o ângulo de elevação era de 52º, sendo esse um ângulo de grande importância

para a chamada Geometria Sagrada, segundo (PENNICK, 1980).

Quando essa Pirâmide, conhecida como Pirâmide de Meidum, foi surpreendida pelo

desastre, havia uma outra pirâmide em construção. Nessa outra pirâmide, o ângulo de

elevação era de 54º, depois, aproximadamente a meio caminho do topo, este ângulo muda

para 43º 30’. Essa mudança brusca, digamos assim, do ângulo de elevação dessa pirâmide

surgiu da necessidade de se evitar que novamente uma pirâmide viesse a desmoronar. Eles

acreditavam que essa mudança pudesse evitar esse desastre.

2 Disponível em (GASPAR, 2003, p.106).

6

Essa nova Pirâmide ficou conhecida como Pirâmide Encurvada e a mesma acabou

representando uma aberração em relação à norma ideal, pois fugia totalmente aos padrões das

outras pirâmides.

Após todos esses insucessos, deu-se início a construção da maior estrutura erguida

pelo homem: A Grande Pirâmide. Como já mencionei no início deste capítulo, acredita-se que

a sua construção tenha sido feita com o intuito de alojar os restos mortais do Rei Khufur, mais

conhecido como Quéops. Foi edificada com uma planta baixa considerada quase que perfeita

de 775 pés e um ângulo de 51º 52’. Possuía um volume de 6,5 milhões de toneladas de

Calcário. Esse ângulo dá a pirâmide uma propriedade geométrica que representa a quadratura

do círculo, ou seja, sua altura está para a mesma razão da sua circunferência, assim como o

raio para a circunferência de um círculo. O que se chama de quadratura do círculo, nada mais

é do que se construir um quadrado com a mesma área de um círculo dado. Em

aproximadamente 1800 a.C., os egípcios já haviam resolvido este problema, tomando o lado

do quadrado igual a 8/9 do diâmetro do círculo dado, por exemplo, em uma circunferência

com um diâmetro de 18 cm. o lado do quadrado seria o equivalente a 8/9 dessa medida, o que

corresponde a 16 cm. É claro que este exemplo é apenas ilustrativo, levando em consideração

que essas unidades de medida (cm) não eram utilizadas nessa época.

(GASPAR, 2003, p. 138) apresenta o seguinte método para se calcular a área do

círculo em problemas contidos no papiro Rhind:

Tomar o diâmetro do círculo;

Subtrair sua nona parte;

Quadrar o resultado para obter a área.

Pela fórmula:

As pirâmides são a manifestação mais aguda da religião na geometria no Egito.

Toda a complexidade geométrica contida na Grande Pirâmide tem sido revelada

através de inúmeros cálculos e teorias. Uma dessas teorias revelada por Heródoto é de que a

Grande Pirâmide foi construída de tal maneira que a área de cada face fosse igual ao quadrado

de sua altura, além de uma série de enigmáticas passagens cuja intenção ainda é

desconhecida.

Outro ponto importante a ser citado são os artesãos do Egito, que produziam seus

artefatos com muita precisão geométrica e acreditavam também que os atos de magia

7

deveriam ser realizados segundo um ritual preciso. As medidas canônicas e o sistema

proporcional dos produtos da arte egípcia são consideradas como expressões de um ponto de

vista mágico do mundo. A técnica geométrica egípcia era impecável. O sucesso posterior dos

gregos à geometria, estava solidamente baseado no conhecimento e na técnica egípcia.

(PENNICK, 1980) afirma que durante as escavações da Grande Pirâmide, o coronel

Howard Vyse descobriu em uma das câmaras que linhas vermelhas se cruzavam em ângulos

retos com triângulos eqüiláteros em preto, traçados ao lado da intersecção talvez com o

objetivo de se obter um ângulo reto. O uso dessas linhas de intersecção para marcar o plano

de fundo, dava origem a uma grade quadrada que servia para assegurar que as figuras

humanas fossem feitas segundo as proporções corretas descritas pelo cânone3.

Todos os amuletos e peitorais encontrados nas múmias foram analisados

geometricamente. Eles exibem uma geometria que reúne a seção dourada4, fato que demonstra

que a geometria sagrada egípcia abrange desde o maior até o menor objeto.

Todas essas pirâmides, amuletos e peitorais acabam nos deixando a sensação de que os

rituais e principalmente a exatidão na construção dos mesmos se torna fundamental para que

tudo na qual o povo egípcio acreditava pudesse se realizar. A partir disso, a geometria torna-

se fundamental, pois é a partir dela que essa exatidão é alcançada e essa total preocupação

com a exatidão e principalmente a perfeição, faz com que a matemática, mais especificamente

a geometria se desenvolva a partir de certas crenças e características de cada povo.

3 Segundo o dicionário Aurélio: Regra geral de onde se inferem regras especiais. Padrão, norma, modelo, regra.4 Esta seção dourada é baseada na divisão do espaço conseguida por retângulos de raiz e seus derivados. Os retângulos de raiz são produzidos diretamente do quadrado por simples desenho com um compasso, na chamada geometria clássica, sem medição.

8

3. GEOMETRIA, RITUAIS E CONSTRUÇÕES SAGRADAS.

De acordo com (PENNICK, 1980) desde os primeiros tempos a religião e a geometria

são inseparáveis.

Isso pode ser facilmente compreendido quando se observa os templos antigos

mesopotâmicos, babilônicos, entre esses a Torre de Babel, santuários, o próprio Tabernáculo.

Essa geometria recebe um nome especial, é a Geometria Sagrada (PENNICK, 1980).

O Tabernáculo hebraico e o Templo descrito na Bíblia são tidos como medições que

podem facilmente serem interpretados por essa Geometria Sagrada5.

Na verdade, para Nigel Pennick, toda forma geométrica está investida de significado

psicológico e simbólico. Seguindo essa linha de raciocínio, tudo o que é feito pelas mãos

humanas e que contêm esses símbolos, de uma maneira ou de outra se torna sagrado.

Algumas formas geométricas, em especial, acabam ganhando destaque não só pela sua

forma, mas pelo significado que tem para os povos antigos. Talvez o círculo tenha sido dessas

figuras a mais antiga desenhada pelo homem e sua utilidade vai muito além do seu aspecto

decorativo. O círculo acaba sendo uma forma encontrada na natureza, nos céus, nas estruturas

geológicas, mostra-se como roda, é também utilizado como símbolo do divino nas culturas

orientais.

As estruturas circulares acabavam representando o completamento e a totalidade, uma

vez que o círculo representava isso.

O círculo pode também servir de base para a construção de outras figuras geométricas,

entre essas figuras o quadrado.

Essa forma quadrilátera é encontrada com muita freqüência nos Templos antigos. Em

termos geométricos, o quadrado é uma figura única. Pode ser dividido por dois e por

múltiplos de dois.

Essas duas formas geométricas (o círculo e o quadrado) aparecem em várias

civilizações, entre elas a indiana, a chinesa, a babilônica e a egípcia. Segundo (GASPAR,

5 Para maiores detalhes ver (BONFIM, 2007).

9

2003) essas formas estão associadas às rituais religiosos, astronomia, tecelagem, arquitetura e

muito conhecimento geométrico pode ser identificado a partir dessas formas.

Outra figura que pode ser obtida a partir de uma circunferência e que possui um

significado especial é o hexágono. O hexágono é considerado uma figura natural e que pode

ser facilmente encontrada na natureza. O local mais conhecido onde se encontra o hexágono

natural é o favo das abelhas. Esses favos são formados por prismas hexagonais com uma

incrível precisão. Precisão essa que chamou a atenção de muitas pessoas, inclusive filósofos.

A partir do hexágono e do círculo é possível construir o hexagrama. O hexagrama é

composto por triângulos eqüiláteros que se interpenetram e simbolizam princípios opostos,

tais como, masculino e feminino, água e fogo, terra e ar, quente e frio, representando o poder

divino da criação. O hexagrama tornou-se o símbolo sagrado dos judeus.

Fig. 2 Hexagrama6.

Uma outra figura que ocupou um lugar importante na construção de edifícios sagrados

foi o Vesica Piscis.

O Vesica Piscis trata-se de uma figura que é obtida a partir da construção de dois

círculos de igual tamanho e que são desenhados um a partir do centro do outro. Representava

os órgãos genitais da Deusa Mãe.

6 Disponível em: http://www.gnosisonline.org/imagens/hexagrama, Acessado em: 29/09/2007.

10

Fig. 3 Vesica Piscis com o perfil da Grande Pirâmide7.

3.1. Construções Sagradas

Nas primeiras construções consideradas como “Sagradas” por seus respectivos povos,

é notória a presença da geometria. Fica muito claro que a precisão e a exatidão dessas

construções tornavam-se um fator primordial.

Na Babilônia, por exemplo, existia a tradição da edificação de montanhas sagradas

com templos.

Essas montanhas sagradas estavam orientadas para as quatro direções cardeais e

representavam uma miniatura do arranjo do universo. Essas construções receberam o nome de

Zigurates (Pico de Deus). Eram templos em forma de torre.

A estrutura dos Zigurates compreendia sete estágios onde cada estágio representava

um planeta.

7 Disponível em (PENNICK, 1908, p. 10).

11

Fig. 4. Zigurate8.

O pesquisador e professor Stecchini acredita que o Zigurate representava o hemisfério

e essa idéia era apoiada pelos tabletes cuneiformes babilônicos que afirmam que cada nível do

Zigurate tinha uma área específica que era determinada por unidades de medida padronizadas.

Um desses tabletes, conhecido como tablete Smith, afirma que cada parte do Zigurate

possuía sua própria medida simbólica. O que acabava chamando muito a atenção é o ângulo

de elevação que em vários pontos produz razões geométricas importantes como - 1

considerado por (PENNICK, 1980, p. 53) como um ângulo fundamental da agrimensura da

terra, medida essa encontrada inclusive na Grande Pirâmide.

A Bíblia, um dos livros mais famosos do mundo, descreve com detalhes objetos e

edifícios sagrados com medidas precisas e que se diz como sendo modeladas por Deus.

A mais antiga dessas construções é a famosa Arca de Noé. Na arca observa-se duas

aberturas: a porta principal e uma janela.

A porta principal estava no andar mais baixo e acreditava-se que era por onde as vidas

animais passariam para o plano da existência física. A janela era pequena, com um côvado 9 e

era o lugar por onde eram soltos os espíritos. De acordo com a Bíblia temos que:

“Faze para ti uma arca de madeira alisada; farás nela uns pequenos repartimentos, e bestumá-la-ás por dentro e por fora. E eis aqui como a hás de fazer; ela terá trezentos côvados de comprimento, cinqüenta de largura e trinta de altura. Farás na arca uma janela, e o teto que a há de cobrir será de um côvado, porás também nela uma porta a um lado; e disporás um andar em baixo, um no meio e outro no terceiro andar.” Gênesis 6: 14-16.

Nesta citação bíblica, Deus anuncia o dilúvio a Noé. O que podemos perceber é que

nesta construção sagrada estava presente também uma incrível precisão e a forma exata na

qual deveria ser construída a arca.

Vários foram os comentários sobre esta construção, entre eles o de Heinrich Cornellius

Agrippa, que afirma que a “(...) Arca de Noé foi construída segundo o padrão do corpo

humano”. (PENNICK, 1980, p. 54)

8 Disponível em (GASPAR, 2003, p.107). 9 Segundo o dicionário Aurélio: Antiga unidade de medida de comprimento equivalente a 3 palmos ou 0,66 metros.

12

Uma outra importante construção a ser citada é o Tabernáculo. O Tabernáculo que é

encontrado junto à estrutura hebraica é outra construção onde a geometria e a religião

aparecem lado a lado.

Ele nada mais era que um Santuário móvel utilizado pelo povo Judeu em suas

peregrinações. Era um templo móvel cuja construção seguiu o modelo egípcio.

Era composto por um quadrado duplo de cem côvados de comprimento por cinqüenta

de largura e era colocado em um pátio. Eles demarcavam então esse pátio com uma cerca de

estacas de cinco côvados de altura plantadas no chão e separadas por cinco côvados. No

interior desse quadrado duplo estava um quadrado triplo (o próprio Tabernáculo) com trinta

côvados de comprimento e dez de largura. Suas paredes eram feitas com madeiras de 1 ½

côvado de largura e dez côvados de altura, fixadas com barras horizontais. Toda essa estrutura

era coberta por peles costuradas.

Fig. 5 Tabernáculo10.

O Tabernáculo era colocado em um pátio de tal forma que quando o sol se erguesse,

os primeiros raios estariam sobre ele.

O interior do Tabernáculo possuía dois compartimentos:

Compartimento externo: chamado de lugar santo e era um quadrado duplo de

vinte côvados por dez.

Compartimento interno: chamado de Santo dos Santos era composto por um

quadrado simples.

Dentro do Santo dos Santos estava a Arca da Aliança, o objeto mais sagrado dos

judeus. Essa arca media 2 ½ côvados de comprimento (metade do módulo usado no esboço do

Tabernáculo) e 1 ½ côvado de largura e de altura.

Ainda dentro do Tabernáculo estava um objeto geometricamente determinado e que

era chamado de Mesa do Pão da Proposição. Não se situava no Santo dos Santos porque

10 Disponível em (PENNICK, 1980, p. 56).

13

ficava do lado de fora do véu que dividia o Tabernáculo. Possuía uma razão de 5:3:2, onde

suas dimensões eram 2 ½ côvados por 1 ½ côvado e 1 côvado.

Havia ainda no Tabernáculo o Altar dos Sacrifícios. Sua base era de 5X5 côvados e

esse altar representava um dos dois pólos do centro dos dois quadrados, sendo que a

combinação dos dois no pátio do Tabernáculo era a unidade de opostos ligados ao Deus

supremo.

Podemos encontrar uma descrição do Tabernáculo no livro do Êxodo, cap. 25, 1-9; 26,

15-30. Segundo essa passagem bíblica, era ali onde se realizava o culto público desde quando

os Judeus andaram pelo deserto até o Reinado de Salomão onde se deu a edificação do

Templo de Jerusalém (BONFIM, 2007).

Segundo (PENNICK, 1980), em aproximadamente 1004 a.C. ergueu-se um Templo de

adoração a Jeová, como um ato de coroação do Reinado de Salomão. O Templo era um local

próprio para o culto ao Deus do povo Judeu. Esse templo era constituído por um quadrado

triplo do tamanho do Tabernáculo e suas paredes eram revestidas de madeira recoberta com

ouro. Por dentro havia um lugar sagrado retangular na forma de dois quadrados e um Santo

dos Santos na forma de um quadrado simples. No próprio centro do Santo dos Santos ficava a

Arca da Aliança onde em cada extremidade havia um querubim dourado de asas abertas com

dez côvados de altura. Esses dez côvados eram o dobro do tamanho do Tabernáculo portátil11.

Toda a tradição e religiosidades do Tabernáculo foram mantidas no Templo. O

Templo era chamado pelos Judeus de lugar sagrado.

O Templo, assim como o Tabernáculo possuía o Santo dos Santos e este era

considerado o local mais importante e sagrado do Templo, onde se situava também a Arca da

Aliança sendo permitida somente a entrada dos mais altos sacerdotes.

(BONFIM, 2007), fala que tanto para a construção do Templo quanto para a

construção do Tabernáculo, foram utilizados padrões egípcios.

O povo Judeu acreditava que todos os objetos descritos para ocupar o interior do

Templo, tinham que ser confeccionados seguindo o padrão e as características descritas por

Iahvew12, tudo isso como o propósito e o intuito de que o local não ficasse vulnerável a

desgraças. Dentre esses objetos, podemos destacar aquele que era considerado como o de

maior importância: A Arca da Aliança, cuja construção teve como objetivo abrigar a Tábua

dos Dez Mandamentos ditados por Deus a Moisés.

11 A descrição exata da construção do Templo aparece descrita na Bíblia em I Rs 6, 1-14. 12 Iahvew: o Deus do Judaísmo, Deus único e supremo do povo Judeu.

14

O Templo seguiu os modelos utilizados na construção do Tabernáculo e possuía a

orientação leste-oeste. Esta era uma orientação comum na Arquitetura Sagrada de todo o

mundo, uma vez que assegurava que a estrutura do Santuário estivesse diretamente integrada

com os fenômenos cósmicos, segundo (BONFIM, 2007).

O Templo é considerado como uma das construções e obras de arquitetura de maior

destaque do mundo antigo, no Templo podem ser encontradas formas geométricas como o

quadrado, o retângulo e a geometria é um elemento marcante em toda a sua descrição.

Nesses dois tipos de construções acima citados (o Tabernáculo e o Templo), fica ainda

mais evidente a presença da precisão geométrica bem como as formas e o que elas

representavam. Mais uma vez a precisão torna-se fundamental nessas construções.

Todas essas construções acabam incorporando as figuras e as formas geométricas que

possuem um grandioso significado simbólico.

Mais uma vez é importante ressaltar a importância dessas construções para o

desenvolvimento da geometria, uma vez que a total preocupação com a exatidão faz com que

o aperfeiçoamento da geometria aconteça naturalmente. O mais interessante é que até mesmo

na Bíblia, no antigo testamento, podemos encontrar a preocupação com a exatidão e a

presença da geometria.

15

Fig. 6

Templo de Jerusalém segundo modelo de André Parrot13.

4. A RELIGIÃO E A GEOMETRIA DO POVO INDIANO

A Índia teve seu desenvolvimento com poucas influências externas, levando em

consideração o período que vai desde o início da nossa era até o advento do Islamismo14.

Desenvolveu-se com fortes traços do Hinduísmo15 sendo que suas atividades religiosas

baseavam-se em uma forte sintonia com esses deuses.

Com o aparecimento do Budismo16, o principal objetivo era o de alcançar a plenitude

com a total ausência de sofrimento, renunciando o mundo e a individualidade.

13 Disponível em (BONFIM, 2007, p. 111). André Parrot (1901-1980), francês e estudante de arquitetura.14 Segundo o dicionário Aurélio: A religião Maometana (estruturada por Maomé). 15 Segundo o dicionário Aurélio: Religião atual da maioria dos povos indianos, resultante de uma evolução secular do Vedismo e do Bramanismo que se transformavam pela especulação filosófica e pela integração de cultos locais.16 Segundo o dicionário Aurélio: Sistema ético religioso e filosófico fundado por Siddharta Gautama, o Buda (Ásia Central, 563-483 a.C), difundido por todo leste asiático e que consiste fundamentalmente nos ensinamentos de como, pela conquista do mais alto conhecimento, se escapa da roda dos nascimentos e se chega ao Nirvana.

16

Muito pouco se sabe sobre a matemática na Índia, em razão de escassos registros

históricos.

Segundo (EVES, 1995), o grau de influência da matemática babilônica, grega e

chinesa sobre a matemática indiana ainda é uma questão que não está totalmente esclarecida,

mas há algumas evidências de que isto pode ser real.

Com relação à geometria, os indianos acreditavam que a exatidão matemática era de

extrema importância, visto que essa civilização, especialmente os povos indo-europeus que se

instalaram ao longo do Vale do Ganges faziam sacrifícios para seus deuses com o intuito de

receber bastante comida, fortuna, saúde, longa vida e outros benefícios materiais.

Acreditavam que para que seus deuses ficassem satisfeitos tudo tinha que ser feito com

precisão e extrema exatidão.

Essa geometria pode ser dividida, segundo (GASPAR, 2003, p.67-68.) em três

períodos, da seguinte maneira:

Período Pré-Ariano: O planejamento das cidades e as cerâmicas encontradas

com decorações que possuem uma série de círculos, quadrados, triângulos

unidos pelo vértice, retângulos com os quatro lados encurvados, são fatos que

comprovam o conhecimento geométrico desse povo.

Período Védico: Nesse período a geometria aparece na construção de diversos

altares de sacrifício. Não se sabe com exatidão se as investigações matemáticas

realizadas foram por sua própria causa ou para resolver problemas decorrentes

aos rituais. O mais importante altar de sacrifício Védico, o MAHAVEDI,

possui em suas formas retângulos com os quatro lados encurvados, assim como

as formas que apareciam no período Pré-Ariano, o que ao menos indica algum

tipo de ligação entre as civilizações desses períodos.

Sulbasutras: Tudo o que se sabe sobre a geometria Védica está registrada nos

Sulbasutras. Os Sulbasutras são manuais, livros que contém instruções de

caráter religioso para a construção de altares e eles são uma parte do que eles

chamavam de Vedas. Os Vedas eram textos sagrados com informações sobre

deuses da cultura indiana e eram usados em rituais de sacrifícios. Eles

continham citações e cânticos que eram executados durante os sacrifícios e

informações sobre a origem e importância desses deuses.

A palavra Sulbasutra, deriva das palavras “sulba” e “sutra”, que significam regras de

corda. Essas regras contidas nos Sulbasutras eram de caráter geométrico para a construção de

altares utilizando cordas e palitos de bambu. Essas construções eram para desenhar figuras de

17

uma certa área dada, bem como figuras com área igual a de outras. Por exemplo, construir um

círculo com a área igual à de um quadrado e vice-versa.

Estudiosos acreditam que os Sulbasutras foram escritos entre 800 e 500 a.C., porém

alguns assuntos neles tratados datam provavelmente do século XV a.C.

Na construção dos altares de sacrifícios, pode-se notar a presença de várias figuras

geométricas, como triângulos, quadrados, retângulos, trapézios, círculos, semicírculos,

retângulos com um semicírculo sobre um lado e outras figuras que deveriam se ajustar a

dimensões ou áreas específicas.

Os autores dos Sulbasutras ficaram conhecidos como Sulbakaras. Os Sulbakaras

ficavam responsáveis também pela manutenção do Agni (local onde ficava o fogo sagrado) e

também pela construção dos Vedi (eram os altares de sacrifício). Acredita-se que os

Sulbakaras além de poderosos escribas foram também sacerdotes-artesãos, devido a essas

várias tarefas na qual realizavam.

As construções que eram encontradas nos Sulbasutras eram para desenhar figuras de

uma área dada e também figuras com área igual à de outras figuras. Demonstrarei alguns

métodos que eles utilizavam no decorrer deste capítulo.

A geometria encontrada nos Sulbasutras é principalmente de caráter construtivista e as

orientações, formas e áreas dos altares tinham que ser rigorosamente exatas.

Os altares quadrados e circulares eram considerados como altares mais simples e neles

eram realizados o que eles denominaram de “cultos domésticos”. Já os altares que

combinavam triângulos, retângulos e trapézios em suas formas, eram os altares onde se

realizavam os chamados “cultos comunitários”.

Segundo (GASPAR, 2003, p. 69.), formas geométricas mais complexas também

apareciam na construção dos altares, como por exemplo, a de uma tartaruga, um pássaro

voando e um pássaro voando com a cauda inclinada. Como tudo tinha que ser construído com

muita exatidão se tornava necessário o cálculo preciso da área desses altares. Eles faziam isso

decompondo tudo em formas geométricas com áreas simples de se calcular.

Um dos mais famosos e complexos altares indianos da época Védica é um altar

constituído por sete quadrados e que ficou conhecido como Altar do Falcão. Vale citar

também altares circulares como o Sararathacakracit que tinha a forma de uma roda com raios.

18

Fig. 7 (Altar do Falcão)17.

Fig. 8 (Sararathacakracit)18.

Alguns Sulbasutras ganham destaque do ponto de vista matemático:

Baudhayana (800 a.C.)

Manava (750 a.C.)

Apastamba (600 a.C.)

Katyayana (200 a.C.)

O mais antigo deles, Baudhayana, têm três capítulos e possui uma formulação geral

para o teorema de Pitágoras. Possuía também aproximação correta até a quinta casa decimal

para .

O Apastamba Sulbasutra possui seis capítulos e traz com mais detalhes os temas

contidos no Baudhayana. Já o Katyayana amplia ainda mais os Sulbasutras antecessores.

Ao observar os Sulbasutras e toda a geometria contida neles, (GASPAR, 2003) dividiu

os conteúdos geométricos em resultados e teoremas geométricos formulados, passos para se

construir diferentes formas de altares e dispositivos algorítmicos.

4.1. A geometria na construção de altares.

17 Disponível em (GASPAR, 2003, p. 105).18 Disponível em (GASPAR, 2003, p. 105).

19

Como já foi citado anteriormente os altares de sacrifício do povo indiano estavam

repletos de geometria. Voltando a falar um pouco mais sobre o Altar do Falcão, este era um

altar público e cuja construção está descrita nos Sulbasutras. Possuía uma área de 7 ½

purushas19 quadradas.

O corpo ou o centro do altar era um quadrado 2x2 (constituindo assim 4 purushas

quadradas), as asas e a cauda tinham a forma de um quadrado cada um com medida de uma

purusha cada. Para que esse altar realmente tivesse a forma de um pássaro (falcão) foi

necessário que a cauda e as asas fossem alongadas. Esse alongamento correspondeu a 1/5 de

uma purusha para as asas e 1/10 para a cauda. Este altar era constituído por camadas e essas

medidas corresponderam a primeira camada. Na segunda camada era acrescentada uma

purusha quadrada e a cada camada seguinte era acrescentada uma purusha quadrada a camada

anterior, até que se alcançasse a área de 101 ½ purushas quadradas formando assim uma

escada. Cada degrau determinava o grau do sacrifício.

Aparece aí então o problema geométrico de se construir figuras semelhantes, uma vez

que cada camada tinha que ser proporcional a camada anterior e a precisão e a exatidão dessas

construções eram essenciais segundo a crença do povo indiano.

4.2. O retângulo e o quadrado

Segundo (GASPAR, 2003) e como já foi citado anteriormente, eles acrescentavam

uma unidade a área total dos sete quadrados para cada degrau do altar do falcão, porém sem o

alongamento necessário para que o altar ficasse ao máximo parecido com um pássaro, mais

especificamente um falcão. Esse alongamento era feito depois e de forma proporcional. Assim

era necessário que se construísse um quadrado com a área igual à de um retângulo dado.

Um dos métodos utilizados pelo povo indiano pode ser encontrado no Baudhayana

Sulbasutra e sua representação segue abaixo:

Considere o retângulo JKLM dado:

19 Purusha era uma medida utilizada pelo povo indiano e que corresponde à altura de um homem com os braços esticados para cima.

20

Fig. 9

Marcar o ponto X sobre JL de tal forma que JX=JK.

Traçar a reta XY paralela a MN e completar o quadrado JKXY.

Dividir XL em dois segmentos iguais com o ponto E e dividir o retângulo

LMXY em dois retângulos iguais com a reta EF.

Mover o retângulo EFLM para a posição YKTU.

Completar o quadrado JEZT.

Girar ZT sobre T até que ele toque KF no ponto G.

Traçar GH paralela a FZ e completar o quadrado THON.

O quadrado THON tem a mesma área do retângulo JHLM.

É importante ressaltar que o Baudhayana Sulbasutra não deixa claro a veracidade deste

resultado, porém podemos comprová-lo com métodos e conhecimentos de geometria plana.

Outros Sulbasutras apresentam diferentes métodos para se resolver este problema.

4.3. O quadrado e o círculo.

Como existiam sepulturas quadradas e circulares, também existia o problema de se

construir um quadrado com a área igual à de um círculo dado (quadratura do círculo).

Eis a solução apresentada pelos indianos nos Sulbasutras:

“Se você deseja transformar um círculo em um quadrado, divida o diâmetro em oito

partes e novamente uma dessas 8 partes em 29 partes; dessas 29 partes remova 28 e, além

disso, a sexta parte (da parte deixada) menos a oitava parte (da sexta parte)”.

Isto equivale a:

21

J K

L M

X Y

EF

T

U

Z

G HO

N

onde d é o diâmetro do círculo.

Isto é equivalente a aproximar para π o valor:

3,02802501491486656097238736953362

É importante dizer que diferentes valores para o π aparecem nos Sulbasutras, inclusive

em um mesmo texto. Em cada construção eles utilizavam um diferente valor.

4.4. O trapézio.

Segundo (GASPAR, 2003), o trapézio, em especial, o isósceles teve destaque e

importância para o povo indiano, em razão da ocorrência dessa figura geométrica em altares e

monumentos (principalmente no período Védico). E, pelo que se sabe, todas as esperanças

desse povo com relação à saúde e riqueza estavam associadas ao trapézio.

Nos Sulbasutras, é possível perceber que eles já reconheciam a área do trapézio como

sendo igual à metade da soma da base e do topo multiplicada pela altura (GASPAR, 2003, p.

167.).

São encontrados também nos Sulbasutras problemas decorrentes da construção de

trapézios. Um desses problemas consiste em transformar um retângulo ou um quadrado em

um trapézio com a mesma área e com a base menor dada.

A solução para esse problema aparece no Baudhayana Sulbasutra:

Fig. 1020

Cuja tradução é: “Se você deseja fazer um quadrado ou um retângulo menor em um

lado, deve cortar a porção do lado menor. O resto deve ser dividido pela diagonal, invertido e

atado ao outro lado”.

Geometricamente falando:

Considere o retângulo JKLM.

20 Disponível em (GASPAR, 2003, p. 172).

22

Fig. 11.

Vamos considerar MN como sendo o lado menor e NO uma perpendicular a JK

Traçar a diagonal NK.

Os dois triângulos obtidos (NOK e NLK) têm a mesma área.

Passar o triângulo NLK de tal forma que o lado LK coincida com o lado JM.

O trapézio PKNM tem a mesma área do retângulo JKLM.

Fig. 12.

Vários outros problemas envolvendo a construção e o cálculo da área de altares em

forma de trapézios21 podem ser encontrados nos Sulbasutras.

Em toda a bibliografia consultada, em nenhum momento aparece a razão ou o motivo

na qual os indianos tinham tanto interesse assim pelo trapézio, apenas foi possível encontrar o

quanto era comum a ocorrência dessa figura geométrica em altares e rituais deste povo e

também os métodos que por eles eram utilizados na construção e cálculo das áreas dos

mesmos.

21 Para maiores detalhes ver (GASPAR, 2003).

23

JP

L

O K

NM

J K

M LN

O

O que fica evidente é o fato de que a preocupação com os rituais e sacrifícios aliados à

precisão geométrica que, mais uma vez volto a citar, se tornaram fatores primordiais para esse

povo mostra o quanto a geometria teve destaque e importância.

Talvez esse e outros povos nem tivessem a noção do quanto isso é importante para o

desenvolvimento e o aprimoramento de técnicas matemáticas que ao longo dos tempos foram

se desenvolvendo. A importância e a total preocupação com a precisão e a exatidão são

argumentos mais do que suficientes para provar que esses rituais tiveram muita importância

para o desenvolvimento da matemática, mais especificamente da geometria.

5. PITÁGORAS E OS PITAGÓRICOS.

Considerado por muitos autores como um dos mais ilustres matemáticos gregos,

Pitágoras (572 a.C. aproximadamente) ficou conhecido também como profeta e místico. Este

século acabou sendo fundamental no desenvolvimento da religião bem como da matemática,

segundo (BOYER, 1996).

Nascido provavelmente da ilha egéia de Samos, Pitágoras de Samos como também é

conhecido foi um homem envolvido por lendas e glorificações.

Não se sabe ao certo se realmente Pitágoras compôs ou demonstrou algo devido à

escassez de registros sobre suas obras. (BOYER, 1996) afirma que não sobreviveu nenhuma

de suas obras e também não existe nenhum documento histórico que comprove a veracidade

dessas informações além de muitos documentos e biografias a seu respeito terem se perdido.

É possível que Pitágoras tenha sido discípulo de Tales pelo fato de ter nascido por

volta de 50 anos depois e por viver perto de Mileto, cidade onde Tales vivia.

24

(BOYER, 1996) diz que seu aprendizado no que se diz respeito à geometria foi

proveniente do Egito. O fato de Pitágoras ter condições de viajar pelos grandes centros

antigos de conhecimento como o próprio Egito, Babilônia e provavelmente até mesmo a Índia

ajudou-o muito durante toda a sua vida. Essas viagens acabaram sendo importantes não

somente pelo aspecto matemático e astronômico, mas também pelas idéias religiosas

absorvidas por ele durante essas viagens, principalmente porque Pitágoras viveu praticamente

na mesma época que figuras importantes no aspecto religioso, como por exemplo, Buda.

Após todo esse período na qual Pitágoras se dedicou a estar viajando e aprendendo

coisas novas, ele retornou até uma colônia grega situada ao sul da Itália, conhecido como

Crotona e foi o fundador de uma sociedade secreta conhecida como Escola Pitagórica.

Segundo (EVES, 1995) essa sociedade possuía bases matemáticas e filosóficas e também era

uma irmandade unida por rituais secretos, cerimônias e que possuía o pentagrama como seu

principal símbolo.

Com o tempo as forças democráticas do sul da Itália acabaram destruindo os prédios

onde estava situada a escola, fazendo com que a sociedade se espalhasse. Pitágoras fugiu e

talvez tenha sido assassinado entre 75 e 80 anos. O fato de a sociedade ter se espalhado não

fez com que ela desaparecesse. Ela continuou a existir por pelo menos mais dois séculos.

Essa ordem ou sociedade fundada por Pitágoras acabou se tornando um obstáculo para

que se pudesse caracterizar a sua figura, visto que essa sociedade além de secreta era também

comunitária. Esse fato acabava fazendo com que toda descoberta fosse atribuída a toda

sociedade e não unicamente a um membro específico, isso fazia com que todos os créditos

pelas descobertas fossem dados aos Pitagóricos, embora fosse normal dar todo crédito ao

mestre ou fundador, no caso Pitágoras.

A escola Pitagórica possuía uma conduta extremamente rígida e conservadora. Possuía

algumas características específicas, como por exemplo, o vegetarianismo e adotava a doutrina

da metempsicose que nada mais era que a transmigração das almas, onde eles acreditavam

que se podia matar um animal para ser a nova moradia da alma de um amigo morto.

Todos os mistérios e as harmonias da Filosofia passavam a ser, de acordo com a

crença pitagórica, partes essenciais nos rituais de purificação da alma que eles realizavam.

(BOYER, 1996, p. 34) diz que a matemática nunca teve um papel tão importante na vida e na

religião como entre os Pitagóricos.

Talvez a mais notável característica da escola Pitagórica era a de acreditar que a base

moral deveria ser formada com o estudo da matemática e da filosofia. Eles estudavam

intensamente os números, a aritmética, a geometria, a música e a astronomia.

25

Segundo (BOYER, 1996), diferente dos egípcios e dos babilônios que viam na

matemática uma ferramenta para se resolver problemas práticos, Pitágoras ou os Pitagóricos

acabavam relacionando a matemática com o amor e a sabedoria.

Seria praticamente impossível falar de Pitágoras e não falar do teorema que acabou

levando o seu nome, o Teorema de Pitágoras.

(GASPAR, 2003) diz que provavelmente a relação mais antiga deste teorema aparece

na Babilônia cerca de 1000 anos antes.

Na realidade o que muito aparece nas diferentes bibliografias consultadas é que apesar

deste teorema já ser de conhecimento de civilizações muito mais antigas que Pitágoras, foram

os pitagóricos quem primeiro demonstraram o mesmo, porém não há como comprovar isso.

Provavelmente essa demonstração teria sido feita pela decomposição de figuras.

Também foi atribuída aos Pitagóricos a construção de alguns sólidos regulares como o

cubo, o dodecaedro e o tetraedro.

Esses sólidos juntamente com o octaedro e o icosaedro ficaram conhecidos como

sólidos de Platão, uma vez que em seu Timeu, Platão apresentou uma descrição desses cinco

poliedros regulares e mostrou como construir esses sólidos. Timeu foi um pitagórico.

Timeu acaba associando misticamente quatro desses sólidos (o tetraedro, o octaedro, o

icosaedro e o cubo) com quatro elementos essenciais de todos os corpos materiais: o fogo, o

ar, a água e a terra. O dodecaedro era associado ao universo.

O cubo era associado a terra pelo fato de ser o sólido com maior estabilidade quando

assentado sobre uma de suas faces quadradas.

O icosaedro era relacionado com a água já que compreende o maior volume para sua

superfície.

O tetraedro era relacionado com o fogo, porque ao contrário do icosaedro, este

compreende o menor volume.

O octaedro era relacionado com o ar. Quando ele é segurado frouxamente por dois de

seus vértices opostos entre o indicador e o polegar, ele gira facilmente, tendo assim a

instabilidade do ar.

E por último o dodecaedro que era relacionado com o universo por possuir 12 faces e

o zodíaco possui 12 seções.

Todas essas relações, segundo (EVES, 1995), foram feitas de maneira intuitiva.

Os Pitagóricos relacionavam também misticamente os números ímpares com os

atributos masculinos e os números pares com os atributos femininos. Na realidade, a ligação

26

deles com os números era muito forte, ao ponto de dizerem que “Tudo é número”. O

interessante é que alguns desses números eram também relacionados com a geometria.

O número 10 era considerado pelos Pitagóricos como sendo o mais sagrado, pois

representava a soma de todas as possíveis dimensões geométricas:

Um ponto gera as dimensões, dois pontos determinam uma reta de dimensão comum,

três pontos não alinhados determinam um triângulo com área de dimensão dois e quatro

pontos não coplanares determinam um tetraedro com volume de dimensão três. A soma dos

números que representam essas dimensões é 10 (BOYER, 1996, pág. 36).

Também é atribuído aos Pitagóricos a descoberta nos números figurados. Esses

números fazem ligações com os números de pontos de certas figuras geométricas. Esses

números também são conhecidos como números triangulares, quadrados, pentagonais.

Apesar de todo esse comportamento místico e religioso, os Pitagóricos desenvolveram

estudos e pesquisas matemáticas do mais alto nível. Acreditavam até mesmo que Deus era o

grande geômetra do universo e que o mundo era feito de números.

Suas descobertas na aritmética tiveram o auxílio de figuras geométricas,

consequentemente a aritmética grega sofreu forte influência da geometria. Por exemplo, um

número multiplicado por ele mesmo era visto pelos Pitagóricos como sendo o lado de um

quadrado que possuísse aquela medida. A multiplicação de um mesmo número três vezes era

visto como sendo o volume de um cubo e é por isso que hoje utilizamos as expressões

Pitagóricas “quadrado” e “cubo”.

A realidade é que a matemática, a religião e o misticismo se mostraram muito fortes e

interligadas dentro da escola Pitagórica.

27

6. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Durante todo o desenvolvimento desse trabalho, diante de todas as leituras e pesquisas

realizadas, foi possível concluir que a matemática por si só se tornou ao longo dos anos algo

indispensável na vida de todos os seres humanos.

No caso mais específico do meu objeto de estudo, que foi a relação existente entre a

geometria e a religião ao longo dos tempos, pude perceber que a geometria e a religião

possuíram um incrível elo de ligação. Desde a origem da geometria onde alguns autores como

Aristóteles acreditam que tenha sido decorrente de uma classe sacerdotal (aí vemos talvez o

primeiro elo de ligação) é possível perceber a importância de ambas, geometria e religião.

Esse tipo de ligação pode ser percebido inclusive na Bíblia, um dos livros mais

vendidos em todo o mundo e que, segundo algumas religiões, trata-se da voz de Deus para

com o seu povo, no caso, todos nós seres humanos. No decorrer deste trabalho é possível

28

perceber e acompanhar passagens bíblicas que comprovam isso, desde a construção da Arca

de Noé, no Antigo Testamento, até a descrição da construção do famoso Templo Hebraico.

Até mesmo civilizações antigas como os babilônios, que inclusive alguns autores

consideram como sendo a mais antiga do mundo, já demonstravam alguns traços de ligação

entre a religião e a geometria. Na construção das montanhas sagradas em forma de torre

(Zigurates) já era possível também perceber essa ligação.

O povo egípcio também mostra alguns traços dessa ligação presente principalmente

nas pirâmides. Objetos e amuletos utilizados pelos reis e faraós também apresentam traços

geométricos.

A principal preocupação desses povos diz respeito à harmonia e a perfeição que,

segundo eles, são fatores primordiais para se alcançar o pleno sucesso em qualquer ritual

realizado. E é exatamente por isso que a geometria torna-se essencial, pois a sua precisão,

segundo a crença, é quem faz com que nesses rituais se alcance o objetivo e o sucesso

desejado.

O fato das Pirâmides terem sido construídas para alojar os restos mortais dos grandes

reis e faraós egípcios corroboram essa afirmação. Essas fantásticas e incríveis construções do

povo egípcio, a meu ver, demonstram o tamanho do cuidado e da preocupação existente

naquela época por parte daqueles que comandavam seus povos. Talvez uma das mais belas

obras arquitetônicas de todos os tempos, as pirâmides, também representam um elo de ligação

entre a religião ou a crença do povo egípcio com a geometria.

Todos esses povos acima citados e suas construções dão indícios dessas ligações (entre

religião e geometria), porém nenhuma delas é tão forte quanto à ligação encontrada na

civilização indiana.

Este povo que surgiu em aproximadamente 2500 a.C. (pouco depois dos egípcios)

revelam o elo mais forte dessa ligação que no decorrer de todo este trabalho procurei revelar.

O simples fato de existirem manuais ou livros de caráter religioso com instruções para

a construção dos altares, já revela o grau de preocupação existente nessa civilização com

relação à harmonia e a perfeição na qual eles acreditavam. Esses manuais, conhecidos como

Sulbasutras traziam essas instruções basicamente de caráter geométrico para a construção

desses altares de sacrifício. Todos os altares pesquisados possuíam um caráter geométrico

onde cada altar possuía a sua forma e cada forma representava uma espécie de culto.

Existia entre todos os altares uma grande incidência desses na forma de um trapézio.

Não se sabe ou não se possui qualquer tipo de informação ou documento histórico que

mostrem o porquê dessa preferência.

29

O que muito se vê nos Sulbasutras, são métodos e formas diferentes de se construir

altares com a mesma área de um altar já pronto com diferentes formas geométricas. Por

exemplo, altares construídos com a forma de um trapézio tendo a mesma área de um altar

retangular. Esses tipos de construções aparecem descritas nos Sulbasutras e mostram o grau

de conhecimento geométrico dessa civilização.

Todos esses indícios já mostram por si só tudo isto que venho mostrando no decorrer

deste trabalho.

É importante ressaltar que em nenhum momento afirmei que a geometria se

desenvolveu por causa da religião ou dos rituais realizados por esses povos, mas é indiscutível

a ligação existente entre eles, visto que podemos considerar a religião como sendo um

combustível que ajudou a impulsionar o desenvolvimento da geometria. A precisão e a

exatidão que a geometria proporciona fizeram com que não somente esta, mas várias outras

civilizações se interessassem por ela, com isso a matemática e toda a humanidade agradecem.

Outras civilizações como os gregos, por exemplo, também mostram ao longo de sua

história uma certa ligação existente entre a religião e a geometria. Neste trabalho os gregos

representados por Pitágoras e os Pitagóricos, nos mostram um pouco dessa ligação.

Não se sabe precisamente quais contribuições geométricas ou matemáticas realmente

foram realizadas pelos Pitagóricos, decorrente da grande escassez de documentos que

comprovem isto, porém muitos créditos são dados a eles. O fato é que a matemática, a religião

e o misticismo se fazem presentes dentro dessa irmandade. Sendo assim, mais uma vez fica

comprovada a ligação que tenho tentado apresentar no decorrer deste trabalho.

Espero ter conseguido ao longo desses capítulos ter contribuído com informações

valiosas e precisas sobre a importância da geometria e a ligação que no decorrer dos séculos

se mostrou existente entre a geometria e a religião.

30

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BONFIM, S. H.. Um estudo sobre os elementos matemáticos presentes na narrativa da

descrição do Templo de Jerusalém. Rio Claro. Universidade Estadual Paulista, 2007.

(Mestrado). Orientador: Prof. Dr. Ubiratan D’Ambrosio

BOYER, C. B. TRAD. GOMIDE, E. História da Matemática. 2ª. ed. São Paulo: Edgar

Blucher Ltda, 1996. 496 p.

CHASSOT, A. A ciência através dos tempos. 7ª ed. São Paulo: Editora Moderna: 1994.

EVES, H. TRAD. DOMINGUES, H. H. Introdução à História da Matemática. Campinas:

Unicamp, 1995. 842 p.

31

GASPAR, J. T. M. & MAURO, S. Explorando a Geometria através da História da

Matemática e da Etnomatemática. Rio Claro: Sociedade Brasileira de História da

Matemática, 2003. 90 p.

GASPAR, J. T. M. Aspectos do desenvolvimento do pensamento geométrico em algumas

civilizações e povos e a formação de professores. Rio Claro: Universidade Estadual

Paulista, 2003. (Doutorado). Orientador: Prof. Dr. Sérgio Nobre.

PENNICK, N TRAD. FELTRE A. Geometria Sagrada. Simbolismo e intenção nas

estruturas religiosas. 9a. ed. São Paulo: Pensamento, 1999. 146 p.

PRICE, S. D. A ciência desde a Babilônia. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo,

1976.

STRUIK, J. D. História Concisa das Matemáticas. 2ª ed. Lisboa: Gradiva, 1992.

32