1

CE2 – ESTABILIDADE DAS CONSTRUÇÕES II

LISTA DE EXERCÍCIOS PREPARATÓRIA PARA O ENADE

1) Determine a energia de deformação (energia interna) da estrutura abaixo.

Rigidez flexional = 4200 kNm²

Formulário: equação geral da energia de deformação:

Solução:

A estrutura não possui cargas axiais nem torcionais, portanto as duas últimas parcelas da equação geral da energia de deformação são iguais a zero. O efeito de cisalhamento para vigas esbeltas pode ser desprezado, portanto a energia de deformação pode ser determinada por:

𝑈 = ∫𝑀2

2𝐸𝐼

𝐿

0

𝑑𝑥

As equações de momento fletor por trecho são: Trecho A-B (para nó A; x = 0)

𝑀(𝑥) = −45𝑥 Trecho B-A (para nó B; x = 0)

𝑀(𝑥) = 45(𝑥 − 3) Trecho B-C (para nó B; x = 0)

𝑀(𝑥) = 60(𝑥 − 1,5)² Trecho C-B (para nó C; x = 0)

𝑀(𝑥) = −60𝑥²

2

A energia de deformação é obtida pelo comprimento total da estrutura, para isso basta somar as integrais do trecho AB (ou BA) com o trecho BC (ou CB), pois a integral do trecho AB e BA são iguais já que representam a mesma área (o mesmo é válido para o trecho BC), portanto podemos calcular a energia de deformação da seguinte forma: Usando as equações do trechos AB e CB:

𝑈 = ∫𝑀2

2𝐸𝐼

𝐿

0

𝑑𝑥 = ∫(−45𝑥)2

2 ∗ 4200

3

0

𝑑𝑥 + ∫(−60𝑥²)2

2 ∗ 4200

1,5

0

𝑑𝑥 = 2,821 𝑘𝑁𝑚

Ou, usando as equações do trechos BA e BC:

𝑈 = ∫𝑀2

2𝐸𝐼

𝐿

0

𝑑𝑥 = ∫(45(𝑥 − 3))2

2 ∗ 4200

3

0

𝑑𝑥 + ∫(60(𝑥 − 1,5)²)2

2 ∗ 4200

1,5

0

𝑑𝑥 = 2,821 𝑘𝑁𝑚

2) Para o pórtico abaixo determine: a) Deflexão horizontal, a deflexão vertical e a rotação no ponto B. b) O valor percentual que P2 deve majorado para o ponto B não ter deslocamento. Dados: Perfis A-36 W460x60, ambos posicionados para trabalhar no eixo de maior inércia conforme figura abaixo. Ix = 25652 cm4

Formulário:

Deslocamento obtido com trabalho virtual:

3

Tabela Kurt Bayer

SOLUÇÃO:

A estrutura não possui cargas torcionais, portanto a parcela da equação do trabalho virtual devido à torção é nula. O efeito dos esforços de cisalhamento para vigas esbeltas podem ser desprezados, além disso o pilar possui altíssima rigidez axial (EA = 1524000 kN), o que gera um deslocamento desprezível devido aos esforços axiais (0,000046 m), portanto em geral, o deslocamento em pórticos (e semipórticos como é o caso) pode ser calculado apenas com o efeito flexional da estrutura:

Δ = ∫𝑚𝑀

𝐸𝐼

𝐿

0

𝑑𝑥

A rigidez flexional é igual a:

𝐸𝐼 = 200000000 𝑘𝑁/𝑚² ∗ 25652 ∗ 10−8 𝑚4 = 51304 𝑘𝑁𝑚² Para realizar a multiplicação do diagrama virtual interno e do diagrama interno da peça devemos calcular os diagramas de momento fletor:

M(x) p/ P1 e P2 m(x) p/ δvB m(x) p/ δhB m(x) p/ θB Deslocamento horizontal do nó B (com tabela Kurt-Bayer):

4

EIδℎ𝐵 = (1

6∗ 3,5 ∗ (2 ∗ (−7,0 ∗ −32,5) + (−7,0 ∗ −50) + (−3,5 ∗ −32,5)

+ 2 ∗ (−3,5 ∗ −50))) + (1

2∗ 3,5 ∗ (−3,5) ∗ (−50))

EIδℎ𝐵 = 740,104 + 306,25

δℎ𝐵 =1046,354

51304= 0,020 𝑚

Deslocamento vertical do nó B (com tabela Kurt-Bayer): O diagrama virtual da carga vertical no nó B é nulo, portanto não há deslocamento (desprezível). Rotação no nó B (com tabela Kurt-Bayer):

EIθ𝐵 = (1

2∗ 3,5 ∗ (−1,0) ∗ (−32,5 − 50)) + (3,5 ∗ (−1,0) ∗ (−50))

EIθ𝐵 = 144,375 + 175

θ𝐵 =312,375

51304= 0,006 𝑟𝑎𝑑

Resposta a) δℎ𝐵 = 2 𝑐𝑚 𝑒 θ𝐵 = 0,006 𝑟𝑎𝑑 Para determinarmos o valor percentual que P2 deve majorado para o ponto B não ter deslocamento devemos calcular qual o valor da coordenada do momento fletor no ponto D quando a deflexão é nula. Já que o valor da carga P2 altera a coordenada no ponto D do diagrama de momento fletor, então:

0 = (1

6∗ 3,5 ∗ (2 ∗ (−7,0 ∗ 𝑦) + (−7,0 ∗ −50) + (−3,5 ∗ 𝑦) + 2

∗ (−3,5 ∗ −50))) + (1

2∗ 3,5 ∗ (−3,5) ∗ (−50))

𝑦 = + 70 Portanto, um diagrama de momento fletor que apresenta em D o valor de +70 kNm, não irá gerar deslocamento B:

5

Figura 1 – Diagrama com majoração da carga P2

A partir do ponto C até o ponto D houve um aumento de 120 kNm no diagrama de momento, então para determinar a carga P2 que gera esse esforço basta dividirmos pelo braço de alavanca:

𝑃2′ =

120 𝑘𝑁𝑚

3,50 𝑚= 34,286 𝑘𝑁

Assim, quando é aplicada uma carga P2 de 34,286 kN, não teremos deslocamento horizontal em B, portanto com um aumento de 29,286 kN em relação a carga de 5,0 kN atual.

𝐴𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 =𝑃2

′ − 𝑃2

𝑃2=

29,286

5,0= 586 %

Resposta b) A carga deve ser majorada em 586 % do valor atual.

3) Uma barra quadrada é feita de plástico PVC com módulo de elasticidade 𝐸 =9 𝐺𝑃𝑎 e deformação por escoamento 𝜖𝑒 = 0,001 𝑚𝑚/𝑚𝑚. Determine as dimensões 𝑎 de sua menor seção transversal, de modo que não falhe por flambagem elástica. As extremidades da barra estão presas por pinos e seu comprimento é de 1.250 mm.

FONTE: HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais. 7. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2010.

6

SOLUÇÃO: ÁREA

𝐴 = 𝑎² MOMENTO DE INÉRCIA

𝐼 =𝑎4

12

RAIO DE GIRAÇÃO

𝑟 = √𝐼

𝐴=

√𝑎4

12𝑎²

=𝑎

√12

TENSÃO DE ESCOAMENTO

𝜎𝑒 = 𝜖𝑒 ∗ 𝐸 = 0,001 ∗ 9000 𝑀𝑃𝑎 = 9 𝑀𝑃𝑎 Para determinar o menor valor de 𝑎 de modo que a barra não falhe por flambagem, a tensão crítica de flambagem deve ser igualada à tensão de escoamento, pois desta forma a estrutura irá falhar por resistência. TENSÃO CRÍTICA DE FLAMBAGEM

𝜎𝑐𝑟 =𝜋2 ∗ 𝐸

(𝐾𝐿𝑟

) ²

MENOR DIMENSÃO DE 𝑎

9000 =𝜋2 ∗ 9000000

(1,0 ∗ 1,25

𝑎

√12

) ²

𝑎 = ± 4,359 ∗ 10−2𝑚 A solução negativa da equação de segundo grau não tem significado físico. Portanto a menor seção da barra para que a estrutura não falhe por flambagem, e sim, por resistência é 43,59 x 43,59 mm².

7

4) Pela Analogia de Mohr, determine o diagrama de momentos fletores da viga de

inércia constante abaixo. Unidades SI.

TABELA DE CONVERSÃO DAS CONDIÇÕES DE CONTORNO DA VIGA REAL PARA VIGA CONJUGADA

Tabela de conversão – Fonte: MARTHA, L. F. C. R. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. Rio de Janeiro: ELSEVIER, 2010. SOLUÇÃO Carregamento da viga conjugada:

Equilíbrio à rotação em B (∑M = 0):

−(𝑀𝐵

𝐸𝐼∗𝐿𝐵𝐶

2) ∗

𝐿𝐵𝐶

3+ (

𝑀𝐶

𝐸𝐼∗𝐿𝐵𝐶

2) ∗

2 ∗ 𝐿𝐵𝐶

3= 0

𝑀𝑐 =𝑀𝐵

2

8

Portanto o valor do momento em C é igual a metade do valor do momento em B.

Equilíbrio à rotação em A (∑M = 0):

+(64

𝐸𝐼∗2,0

2) ∗ (2,0 ∗

2

3) + (

64

𝐸𝐼∗8,0

2) ∗ (2,0 +

8,0

3) + (

𝑀𝐵

2 ∗ 𝐸𝐼∗7,0

2) ∗ (10 + 7,0 ∗

2

3)

−(𝑀𝐵

𝐸𝐼∗10,0

2) ∗ (10,0 ∗

2

3) − (

𝑀𝐵

𝐸𝐼∗7,0

2) ∗ (10,0 +

7,0

3) = 0

+85,33 + 1194,67 + 25,67 ∗ 𝑀𝐵 − 33,33 ∗ 𝑀𝐵 − 43,17 ∗ 𝑀𝐵 = 0

1280,00 − 50,83 ∗ 𝑀𝐵 = 0

𝑀𝐵 = 25,18 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑐 =𝑀𝐵

2=

25,18

2= 12,59 𝑘𝑁𝑚

Momento no ponto de aplicação da carga:

𝑀 = 64 −25,18

5= 58,96 𝑘𝑁𝑚

9

5) Desenhe a Linha de Influência de Momentos Fletores na Seção S da viga abaixo.

Divida cada vão em quatro partes para preencher a Tabela. Usar três casas decimais. Inércia constante.

Posição da Carga Móvel P = 1,0 kN

a b Lvão E D MA MB MC MS

[m] [m] [m] [m] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm]

VÃ

O A

B

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0 0 0 0

VÃ

O B

C

0 0 0 0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0 0 0 0 0 0

(Coluna a e b da Tabela se referem às distâncias entre a posição da Carga Móvel e os apoios do vão carregado, conforme fórmulas dos Termos de Carga).

FORMULÁRIO Coeficientes de Propagação:

𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =𝐿𝐴𝐵

2 ∗ (𝐿𝐴𝐵 + 𝐿𝐵𝐶) − 𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝐿𝐵𝐶

𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝐿𝐶𝐵

2 ∗ (𝐿𝐶𝐵 + 𝐿𝐵𝐴) − 𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ 𝐿𝐵𝐴

Momentos nos apoios do vão AB carregado: (Para obter os momentos do vão BC carregado, as fórmulas abaixo devem ser adaptadas conforme exposto em aula)

𝑀𝐴 =𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

1 − (𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ 𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)∗ (𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ − ) 𝑀𝐵 =

𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

1 − (𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ )∗ (𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ − )

Termos de Carga

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎)

10

SOLUÇÃO Inicialmente deve-se calcular os Coeficientes de Propagação da viga. O apoio C não possui engastamento, assim a propagação do momento 𝑀𝐵 para 𝑀𝐶, quando o vão AB está carregado, deve ser igual a zero, portanto:

𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 0 O apoio A não possui engastamento, assim a propagação do momento 𝑀𝐵 para 𝑀𝐴, quando o vão BC está carregado, deve ser igual a zero, portanto:

𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 0 Os coeficientes de propagação são:

𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ =𝐿𝐴𝐵

2 ∗ (𝐿𝐴𝐵 + 𝐿𝐵𝐶) − 𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝐿𝐵𝐶

=20

2 ∗ (20 + 32) − 0 ∗ 32= 0,192

𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ =𝐿𝐶𝐵

2 ∗ (𝐿𝐶𝐵 + 𝐿𝐵𝐴) − 𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ 𝐿𝐵𝐴

=32

2 ∗ (32 + 20) − 0 ∗ 20= 0,308

Portanto temos:

11

Foi imposto que cada vão fosse dividido em quatro partes para determinação dos valores da Linha de Influência na seção S (𝐿𝐼𝑀𝑠).

Para o vão AB teremos as seguintes posições da carga móvel a partir do apoio A a cada 5,0 m (𝐿𝐴𝐵

4= 5,0 𝑚)

𝑃𝑜𝑠𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑎 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑀ó𝑣𝑒𝑙 𝑛𝑜 𝑉ã𝑜 𝐴𝐵: 0, 5, 10, 15 𝑒 20.

Para o vão BC teremos as seguintes posições da carga móvel a partir do apoio A a cada 8,0 m (𝐿𝐵𝐶

4= 8,0 𝑚)

𝑃𝑜𝑠𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑎 𝐶𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑀ó𝑣𝑒𝑙 𝑛𝑜 𝑉ã𝑜 𝐵𝐶: 20, 28, 36, 44 𝑒 52.

Portanto, a primeira coluna pode ser preenchida:

Posição da Carga Móvel Q = 1,0 kN

[m]

VÃ

O 1

0

5

10

15

20

VÃ

O 2

20

28

36

44

52 Os valores a e b representam a distância entre a carga e os apoios do vão L carregado, conforme fórmula dos Termos de Carga. Assim os valores a, b e L podem ser preenchidos diretamente:

Posição da Carga Móvel Q = 1,0 kN

a b Lvão

[m] [m] [m] [m]

VÃ

O 1

0 0 20 20

5 5 15 20

10 10 10 20

15 15 5 20

20 20 0 20

VÃ

O 2

20 0 32 32

28 8 24 32

36 16 16 32

44 24 8 32

52 32 0 32

12

Termos de Carga e Momentos em B para vão AB carregado: Quando a carga está na posição 0 (sobre o apoio A) e na posição 20 (sobre o apoio B), ou o valor de a ou de b é igual a zero, desta forma os Termos de Cargas são nulos, e já estão preenchidos na Tabela. Posição 5:

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

1 ∗ 5 ∗ 15

202∗ (20 + 15) = 6,563 𝑘𝑁𝑚

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎) =

1 ∗ 5 ∗ 15

202∗ (20 + 5) = 4,688 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝐵 =𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

1 − (𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ )∗ (𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ − ) =

0,192

1 − (0,192 ∗ 0)∗ (0 ∗ 6,563 − 4,688) = −0,900 𝑘𝑁𝑚

Posição 10:

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

1 ∗ 10 ∗ 10

202∗ (20 + 10) = 7,500 𝑘𝑁𝑚

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎) =

1 ∗ 10 ∗ 10

202∗ (20 + 10) = 7,500 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝐵 =𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

1 − (𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ )∗ (𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ − ) =

0,192

1 − (0,192 ∗ 0)∗ (0 ∗ 7,500 − 7,500) = −1,440 𝑘𝑁𝑚

Posição 15:

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

1 ∗ 15 ∗ 5

202∗ (20 + 5) = 4,688 𝑘𝑁𝑚

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎) =

1 ∗ 15 ∗ 5

202∗ (20 + 15) = 6,563 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝐵 =𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

1 − (𝛼𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ )∗ (𝛼𝐵𝐴⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∗ − ) =

0,192

1 − (0,192 ∗ 0)∗ (0 ∗ 4,688 − 6,563) = −1,260 𝑘𝑁𝑚

Preenchendo a Tabela, temos os seguintes Termos de Carga e Momentos em B quando o vão AB está carregado:

Posição da Carga Móvel Q = 1,0 kN

a b Lvão E D MA MB MC

[m] [m] [m] [m] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm]

VÃ

O 1

0 0 20 20 0 0 0 0 0

5 5 15 20 6,563 4,688 0 -0,900 0

10 10 10 20 7,500 7,500 0 -1,440 0

15 15 5 20 4,688 6,563 0 -1,260 0

20 20 0 20 0 0 0 0 0

13

Termos de carga para vão BC carregado: Quando a carga está na posição 20 (sobre o apoio B) e na posição 52 (sobre o apoio C), ou o valor de a ou de b é igual a zero, desta forma os Termos de Cargas são nulos, e já estão preenchidos na Tabela. Posição 28:

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

1 ∗ 8 ∗ 24

322∗ (32 + 24) = 10,500 𝑘𝑁𝑚

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎) =

1 ∗ 8 ∗ 24

322∗ (32 + 8) = 7,500 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝐵 =𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

1 − (𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)∗ (𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ − ) =

0,308

1 − (0,308 ∗ 0)∗ (0 ∗ 7,500 − 10,500) = −3,234 𝑘𝑁𝑚

Posição 36:

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

1 ∗ 16 ∗ 16

322∗ (32 + 16) = 12,000 𝑘𝑁𝑚

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎) =

1 ∗ 16 ∗ 16

322∗ (32 + 16) = 12,000 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝐵 =𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

1 − (𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)∗ (𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ − ) =

0,308

1 − (0,308 ∗ 0)∗ (0 ∗ 12,000 − 12,000) = −3,696 𝑘𝑁𝑚

Posição 44:

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑏) =

1 ∗ 24 ∗ 8

322∗ (32 + 8) = 7,500 𝑘𝑁𝑚

=𝑃 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏

𝐿2∗ (𝐿 + 𝑎) =

1 ∗ 24 ∗ 8

322∗ (32 + 24) = 10,500 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝐵 =𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

1 − (𝛼𝐶𝐵⃖⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)∗ (𝛼𝐵𝐶⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ∗ − ) =

0,308

1 − (0,308 ∗ 0)∗ (0 ∗ 10,500 − 7,500) = −2,310 𝑘𝑁𝑚

Preenchendo a Tabela, temos os seguintes Termos de Carga e Momentos em B quando o vão BC está carregado:

Posição da Carga Móvel Q = 1,0 kN

a b Lvão E D MA MB MC

[m] [m] [m] [m] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm]

VÃ

O 1

0 0 20 20 0 0 0 0 0

5 5 15 20 6,563 4,688 0 -0,900 0

10 10 10 20 7,500 7,500 0 -1,440 0

15 15 5 20 4,688 6,563 0 -1,260 0

20 20 0 20 0 0 0 0 0

VÃ

O 2

20 0 32 32 0 0 0 0 0

28 8 24 32 10,500 7,500 0 -3,234 0

36 16 16 32 12,000 12,000 0 -3,696 0

44 24 8 32 7,500 10,500 0 -2,310 0

52 32 0 32 0 0 0 0 0

14

Para determinação dos Momentos na seção S, deve-se considerar dois casos: Caso 1: Quando Vão AB está carregado Nessa condição, o vão BC está descarregado, portanto o diagrama de Momentos no vão descarregado é uma reta.

Desta forma o valor do Momento no vão BC será sempre:

𝑀(𝑥) = 𝑀𝐵 + (𝑀𝐶 − 𝑀𝐵

𝐿𝐵𝐶

) ∗ 𝑥

Sendo x a seção de interesse, temos x = 8,0 m (um quarto do vão) para a Seção S. Ou pela relação entre os triângulos 𝑀𝐵𝐵𝐶 e 𝑀𝑠𝑆𝐶, temos:

𝑀𝑆 =3

4∗ 𝑀𝐵

Desta forma, podemos preencher os valores na do 𝑀𝑠 Tabela quando o vão AB está carregado. Caso 2: Quando Vão BC está carregado A partir da teoria de Estabilidade I, temos o equilíbrio da viga BC:

Para equilíbrio à rotação no Ponto C, temos:

+(𝑉𝐵,𝑑𝑖𝑟 ∗ 𝐿𝐵𝐶) − 𝑀𝐵 − 𝑃 ∗ 𝑏 = 0

Portanto:

𝑉𝐵,𝑑𝑖𝑟 =+𝑀𝐵 + 𝑃 ∗ 𝑏

𝐿𝐵𝐶

=𝑀𝐵 + 𝑏

32

Então o Momento em S é:

𝑀𝑆 = 𝑉𝐵,𝑑𝑖𝑟 ∗ 8,0 − 𝑀𝐵 = (𝑀𝐵 + 𝑏

32) ∗ 8,0 − 𝑀𝐵

15

Para posição 28 (b = 24 e 𝑀𝐵 = | − 3,234| )*

𝑀𝑆 = (𝑀𝐵 + 𝑏

32) ∗ 8,0 − 𝑀𝐵 = (

3,234 + 24

32) ∗ 8,0 − 3,234 = 3,575 𝑘𝑁𝑚

*Obs.: Os valores de 𝑀𝐵 e 𝑃 devem ser inseridos na fórmula em valores absolutos, pois os sinais já foram considerados no cálculo do equilíbrio à rotação no ponto C devido ao sentido apresentado no esquema estrutural da viga BC. (Equilíbrio em C: +(𝑉𝐵,𝑑𝑖𝑟 ∗ 𝐿𝐵𝐶) − 𝑀𝐵 − 𝑃 ∗ 𝑏 = 0)

Para posição 36 (b = 16 e 𝑀𝐵 = | − 3,696| )

𝑀𝑆 = (𝑀𝐵 + 𝑏

32) ∗ 8,0 − 𝑀𝐵 = (

3,696 + 16

32) ∗ 8,0 − 3,696 = 1,228 𝑘𝑁𝑚

Para posição 44 (b = 8 e 𝑀𝐵 = | − 2,310| )

𝑀𝑆 = (𝑀𝐵 + 𝑏

32) ∗ 8,0 − 𝑀𝐵 = (

2,310 + 8

32) ∗ 8,0 − 2,310 = 0,268 𝑘𝑁𝑚

Preenchendo a Tabela com os valores obtidos, temos:

Posição da Carga Móvel Q = 1,0 kN

a b Lvão E D MA MB MC MS

[m] [m] [m] [m] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm]

VÃ

O 1

0 0 20 20 0 0 0 0 0 0

5 5 15 20 6,563 4,688 0 -0,900 0 -0,675

10 10 10 20 7,500 7,500 0 -1,440 0 -1,080

15 15 5 20 4,688 6,563 0 -1,260 0 -0,945

20 20 0 20 0 0 0 0 0 0

VÃ

O 2

20 0 32 32 0 0 0 0 0 0

28 8 24 32 10,500 7,500 0 -3,234 0 3,575

36 16 16 32 12,000 12,000 0 -3,696 0 1,228

44 24 8 32 7,500 10,500 0 -2,310 0 0,268

52 32 0 32 0 0 0 0 0 0

Com os valores obtidos na Tabela, pode-se desenhar a Linha de Influência de Momentos em S: