Centro Estadual de Educação Supletiva de Votorantim

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APRESENTAÇÃO

Nesta apostila, elaborada pelos orientadores de Matemática, você encontrará o conteúdo da programação da 1ª série do Ensino Médio (2º Grau).

Não se aprende Matemática lendo, é preciso usar lápis e papel para resolver os exercícios.

As dúvidas que surgirem, deverão ser esclarecidas com o Orientador de Aprendizagem na Sala de Matemática.

Os exercícios que farão parte desta Apostila são de sua responsabilidade. Se necessário, tire suas dúvidas com o Professor.

Com certeza, as dificuldades surgirão e para tentar resolvê-las procuramos elaborar esta apostila de maneira mais simples e objetiva com uma metodologia auto-instrucional, atendendo as necessidades de que o aluno é levado a construir seu conhecimento gradativamente.

No final do curso você verá que adquiriu uma série de conhecimentos que lhe serão ferramentas para compreender melhor o mundo que o cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado.

Não escreva na apostila, use seu caderno!

META DOS ORIENTADORES DE APRENDIZAGEM “Formar indivíduos competitivos, com responsabilidade social,

adequando seus valores e conhecimentos, a fim de se tornarem agentes transformadores dentro de uma visão de mundo, acreditando no valor daquilo que vêem e pensam”.

OBJETIVOS (Módulo 1 e 2 )

Nesta U.E. você será capaz de; - Fazer uso das operações básicas da matemática (adição, subtração,

multiplicação, divisão, potenciação e radiciação no conjunto dos números racionais);

- Aplicar as técnicas de resoluções da equação do 1º grau em soluções de problemas;

- Reconhecer figuras geométricas e aplicar suas respectivas fórmulas no cálculo das áreas;

- Aplicar o conceito do Teorema de Tales na resolução de problemas que envolvam triângulos semelhantes;

- Aplicar o Teorema de Pitágoras para resolver situações –problemas que envolvam medidas dos lados do triângulo retângulo.

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MÓDULO 1

RECORDANDO AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS

Todos os dias, você usa dos recursos da Matemática para resolver pequenos e grandes problemas que aparecem na sua vida.

Nesse módulo você vai estudar alguns desses recursos, para que seus cálculos estejam sempre corretos.

Você iniciará esse Curso de Matemática do Ensino Médio recordando as quatro operações.

Lembre-se: muito mais importante que fazer contas com rapidez é descobrir quais as operações que devemos usar para resolver um problema. Portanto, em Matemática, o mais importante é o raciocínio.

Lendo os quatro problemas abaixo você vai usar as operações matemáticas que fazem parte do seu dia-a-dia.

Um motorista de táxi andou 120 Km num dia e 162 Km no dia seguinte. No total quanto ele andou nesses dois dias?

Um tênis que custa R$ 37,00 foi pago com uma nota de R$ 50,00. De quanto foi o troco?

Uma caixa de leite tipo “longa vida” possui 12 litros de leite. Quantos litros existem em 12 caixas?

Devo repartir 24 balas igualmente entre meus 3 filhos. Quantas balas deve receber cada um?

Quais são as operações que você usa para resolver estas questões? RESPOSTAS:

1- Soma 2- Subtração 3- Multiplicação 4 - Divisão Muitas vezes, na nossa vida, nos deparamos com operações em que

necessitamos de números que representam dívidas, valores menores que zero etc, (esses números são escritos acompanhados do sinal negativo). Eles estão no Conjunto Z = ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... que se chama Conjunto dos Números Inteiros.

As quatro operações fundamentais:

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1. ADIÇÃO: é usada para agrupar ou juntar quantidades de duas ou mais grandezas que identificam a mesma coisa.

Exemplo1: Em uma pequena escola, existem 3 turmas: uma com 10 alunos, outra

com 17 alunos e outra com 18. Quantos alunos existem ao todo nesta escola?

Para reunir os alunos das 3 turmas devemos somar

a quantidade de alunos de cada turma. Assim: 10 + 17 + 18 = 45

parcelas soma ou total

Existem, portanto, 45 alunos nesta escola.

Obs: Cada um dos números que está sendo adicionado chama-se parcela e o resultado é a soma ou total

Exemplo 2: Devo R$ 12,00 na padaria e devo R$ 17,00 no açougue. Qual é o total

da minha dívida?

–12 – 17= –29

Observe que, se eu devo 12 reais e faço outra dívida de 17 reais, então é necessário que eu some essas dívidas para descobrir o quanto estou devendo.

2. SUBTRAÇÃO: É usada sempre que quisermos saber a “sobra” ou a diferença entre a quantidade de uma grandeza positiva e de outra negativa. E a sobra será representada pela quantidade maior.

Exemplo 1: Continuando com o exemplo anterior.

Se eu descobri que estou devendo 29 reais, e tenho uma nota de R$ 50,00 para pagar essa dívida, devo representar assim:

Devemos usar o sinal negativo ( -) quando queremos representar uma dívida e o sinal positivo ( + ) quando queremos representar o dinheiro para pagar essa dívida.

5

- 29 + 50 = + 21 Ou seja, se eu estou devendo 29 reais, uso o sinal negativo (-) para

representar a dívida e se tenho 50 reais para pagar essa dívida, uso o sinal positivo (+) para representar o dinheiro.

Assim, como o dinheiro que tenho é maior do que a quantidade que devo, pago a dívida e ainda me sobram 21 reais. Por isso que o resultado é + 21.

Exemplo 2: Uma secretária recebeu a tarefa de pagar uma dívida de R$60,00

levando consigo R$100,00. Como podemos representar essa situação?

– 60 +100 = +40, ou seja, ela deve 60 reais (-) e tem 100 reais (+) para pagar essa dívida. Então ela paga a dívida e ainda lhe restam 40 reais (+).

OBSERVAÇÃO: Todo número positivo pode ser escrito sem o sinal de +. Porém todo

número negativo deve sempre vir acompanhado do sinal de - . No exemplo anterior se quiséssemos escrever apenas 40 ao invés de +40

poderíamos.

CONCLUSÃO: Quando temos números com sinais iguais devemos: somar os

números e manter o mesmo sinal Quando temos números com sinais diferentes devemos: subtrair os

números e manter o sinal do número maior.

Observe agora outros exemplos:

Exemplo 3: João abriu uma conta bancária. Depois de algum tempo, essa conta

apresentou o seguinte movimento:

6

Descubra o saldo bancário de João. Se você encontrou saldo positivo de R$ 68, 00, parabéns! Veja abaixo como se faz:

60 –25 + 65 – 20 – 12 = 60 + 65 – 25 – 20 – 12 = 125 – 57 = 68

Exemplo 4: Se você tem R$1200,00 no banco, e compra uma geladeira de R$

1100,00 e um televisor de R$900,00 e paga com cheque como fica seu saldo bancário se você fez um deposito de R$300,00? +1200 – 1100 – 900 +300 = +1500 – 2000 = – 500

Exercícios: 1. Copie e resolva as seguintes operações no seu caderno:

a) 37 + 43 = d) – 8 + 4 –12 +7= b) 37 – 47 = e) – 30 + 45 = c) –9 – 6 = f) + 24 –72 + 11 =

3. MULTIPLICAÇÃO e DIVISÃO:

Dia

Saldo inicial

Depósito

Retirada

10 00,00 10 60,00 12 25,00 15 65,00 18 20,00 21 12,00

Nesse caso a melhor forma de fazer o cálculo é “juntar”, somando os números positivos (depósitos) e “juntar”, somando, os números negativos (retiradas). Depois efetuar a subtração entre os dois

e verificar se “sobrou” positivo ou negativo.

7

Lembrando que a multiplicação nada mais é do que a soma de números iguais e a divisão como a operação que nos ajuda a repartir certas quantidades em partes iguais, observe:

4 X 5 quer dizer quatro vezes o número cinco, ou seja, 5 + 5 + 5 +5 que é igual a vinte.

Exemplo 1: Se eu devo 3 reais para 2 pessoas posso representar assim: (- 3). 2 = -6, ou seja, (-2) + (-2) + (-2) = -6.

Exemplo 2: Desejo colocar 20 lápis em 4 caixas, de maneira que todas as caixas

tenham o mesmo nº de lápis. Quantos lápis devo colocar em cada caixa?

20 4 ou 20 : 4 = 5 ou 20 = 5 0 5 4

Devo colocar 5 lápis em cada caixa.

E se eu quisesse colocar 20 lápis em 3 caixas?

20 3 2 6

Recordando a multiplicação e divisão de nºs inteiros (positivos e negativos) (–5) • (– 4) = +20 (sinais iguais na multiplicação resultado positivo) (–8) • (+3) = – 24 (sinais diferentes na multiplicação resultado negativo) (+36): (+4) = +9 (sinais iguais na divisão resultado positivo) (+81): (– 3) = –27 (sinais diferentes na divisão resultado negativo)

(–5) • (– 4) • (–7) = –140

Conclusão:

Colocaria 6 lápis em cada caixa e sobrariam 2. O resto é sempre positivo e menor que o divisor.

divisor

dividendo

quociente

resto

+

(Como os dois primeiros sinais são iguais o resultado é

positivo, como o outro sinal é diferente,o resultado fica negativo)

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As regras dos sinais na multiplicação e divisão podem ser resumidas em:

Multiplicação ou Divisão de sinais iguais temos resultado positivo. Multiplicação ou Divisão de sinais diferentes o resultado é negativo.

Resolva os exercícios abaixo em seu caderno e confira as respostas no GABARITO

2) Efetue as operações indicadas: a) (-20): (+ 4) = e) (+ 40) • (-3)= b) (+10): (-5) = f) (- 100): (-20) = c) (–3) • (+ 2) = g) (+ 80) • (- 4) = d) (–4) • (–3) = h) (5 – 8) • (+ 2)=

Obs: lembre-se que no último exercício o parêntese deve ser resolvido em primeiro lugar.

4: POTENCIAÇÃO: Muitas vezes, você vai ter que multiplicar um mesmo número muitas

vezes. Para facilitar você deve usar a potenciação. POTENCIAÇÃO é uma multiplicação de fatores iguais, isto é, uma

multiplicação com o mesmo número. Veja como se pode abreviar uma multiplicação de fatores iguais:

5.5 = 52 (lê-se: cinco elevado a segunda potência ou cinco elevado ao quadrado) 5.5.5 = 53 (cinco elevado a terceira potência ou cinco elevado ao cubo)

53 = 5. 5. 5 = 125

Veja os nomes: expoente potência

base Assim, 42 (quatro elevado à segunda potência) é 16 pois, 4 • 4 = 16 Lembre-se: As potenciações de expoente 2 e 3 têm nomes especiais:

Mostra quantas vezes se repete à multiplicação do número que está na base.

53 = 125

5² = 5. 5 = 25

9

42 : quatro ao quadrado; 43 : quatro ao cubo ;

A potência também tem regras de sinais quando estamos operando (fazendo conta) com números positivos e negativos.

Casos especiais de potenciação: Expoente zero= resultado 1, veja: ( -3) 0 = 1 Expoente 1= resultado o próprio nº da base = (–9)1 = –9 Base 0 = resultado zero 05 = 0 pois, 0 • 0 • 0 • 0 • 0 = 0 Base 10 = resultado é o nº 1 seguido da quantidade de zeros que o

expoente indica. 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 104 = 10000

Potência de expoente negativo (quando o nº é decimal ou fracionário de 10 e vice-versa)

10-1 = 10

1 = 0,1 10-2 = 100

1 = 0,01 10-3 = 1000

1 = 0,001

Veja alguns exemplos: (– 2) 4 = (–2) • (–2) • (–2) • (–2) = +16 (+1)5 = +1 • +1 • +1 • +1 • +1 = 1 (– 3) 3 = (-3) • (-3) • (-3) = – 27 (+ 3) 3 = (+3) • (+3) •(+3) = 27

Casos especiais: (-5)1 = -5 (-8)0 = 1 (9)1= 9 (2)-1 = 1

2 3) Determine o resultado das potenciações observando a regra de sinais.

a) (+9)3 = c) (-8)2 = e) (+5)o = b) (- 25)2 = d) (-4)3 = f) (- 10)1 =

(1000)0 = 1 (- 25)0 = 1

Regras de sinais da potenciação Expoentes pares = a resposta é sempre + (positivo) Ex.: ( – 3) 2 = –3 • –3 = +9 (sinais iguais da multiplicação).

Expoentes Ímpares = a resposta tem sempre o mesmo sinal da base Ex.: ( – 5)3 = –5 • –5• –5 = –125

10

3

2 =

6

4

FRAÇÕES E NÚMEROS DECIMAIS Fração quer dizer pedaços do mesmo tamanho. Você tem um chocolate dividido em 5 partes iguais. Dessas 5 partes

você comeu 2. A fração que representa essa situação é 2 onde o nº 5 5

(denominador) mostra em quantas partes foi dividido o inteiro (chocolate) e o nº 2 (numerador) quantas partes foi considerado (comido)

O chocolate inteiro é representado por 5 (nº do numerador igual ao nº do denominador) 5 Partes comidas (duas)

Total de partes divididas (cinco)

TODA FRAÇÃO É UMA DIVISÃO. O traço de fração indica que você pode fazer a divisão do

numerador pelo denominador.Veja o exemplo abaixo:

Imagine que você precisa dividir R$ 25,00 igualmente entre 4 pessoas. Quanto cada uma receberá?

Você pode representar essa situação em forma de fração como 4

25

25 4 10 6,25

20

Resposta: Cada pessoa receberá R$ 6,25 (seis reais e vinte e cinco centavos)

FRAÇÕES IGUAIS OU EQUIVALENTES São frações que têm números diferentes mas, representam o mesmo

tamanho de pedaços do inteiro.Veja o desenho abaixo 2 = 4 = 12

Utilizando uma fração para indicar a divisão, podemos representar: 25 = 6,25 4

Representação: 2 numerador 5 denominador

11

3 6 18

“Uma fração não se altera quando multiplicamos ou dividimos o numerador e o denominador pelo mesmo número”.

Ex: 20: 2= 10

ou 1. 3 = 3

6: 2 3 3 . 3 9

OPERAÇÕES COM FRAÇÕES:

1. SOMA E SUBTRAÇÃO: Quando vamos efetuar uma soma ou uma subtração de frações devemos

considerar dois casos: 1º caso – As frações têm o mesmo número em baixo, ou seja, mesmo

denominadores: Exemplo:

Uma pizza foi dividida em 3 pedaços iguais. João comeu dois pedaços. Quanto sobrou? 3

- 2 = 1

3 3 3

Logo, sobrou 1 da pizza. 3

Conclusão: Quando as frações têm o mesmo denominador devemos somar ou subtrair apenas os números de cima, ou seja, os numeradores e manter o mesmo denominador.

2º caso – As frações têm denominadores diferentes: Exemplo: Para fazer um trabalho escolar você usou dois terços de uma cartolina e

sua irmã usou três quartos. Que fração de cartolina vocês dois usaram juntos?

PIZZA INTEIRA = 3

3

simplificação

2 + 3 = 3 4

divide

multiplica

Você deve encontrar o m.m.c. dos denominadores 3 e 4 3,4 2 3,2 2 3,1 3 2 •2 •3 =• m.m.c. = 12

12

Resp: Usaram juntos 17 da cartolina ou 17 : 12 = 1,4 cartolinas. 12

Conclusão: Quando as frações têm denominadores diferentes, devemos primeiro reduzir as frações ao mesmo denominador para depois efetuar a soma ou subtração.

2. MULTIPLICAÇÃO: Para multiplicarmos duas ou mais frações devemos, multiplicar os

numeradores e os denominadores entre si.

Exemplos:

a) 3 • 1 = 3

b) – 2 • + 5 = –10

4 5 20 3 3 9

c) 1 • 9 = 9 d) - 6 • -3 • 1 = 18

5 5 7 5 35

OBSERVAÇÃO: Quando aparecem números que não apresentam denominadores, devemos considerar esse denominador valendo 1, veja:

5 = 5 10 = 10 3 = 3

1 1 1

3. DIVISÃO: Para dividirmos duas frações devemos, copiar a primeira fração e

multiplicá-la pelo inverso da segunda fração. Exemplos:

a) 4 : 3 = 4 • 2 = 8 b) 5 : 2 = 5 • 8 = 40

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7 2 7 3 21 3 8 3 2 6

4. Resolva as operações conforme as explicações acima:

a) 8 : 6 = b) 6 – 7 = 2 5 4 3

c) 4 + 3 = d) 3 • 5 = 9 4 2 6

5. Resolva os problemas de acordo com o exemplo: Exemplo: Você vai fazer uma viagem de 1000 km. No primeiro dia anda

3 dos 1000 km e no 2º dia, anda 1 dos 1000 km . Quantos km faltam? 5 5

OBSERVAÇÃO: Para calcular o valor ou a quantidade de uma fração em relação ao inteiro basta efetuar a multiplicação dos numeradores e em seguida efetuar a divisão.

3 • 1000 = 3000 = 600 Km 5 5

1 • 1000 = 1000 = 200 Km 5 5

Agora resolva estes: a) Seu irmão tem R$ 224,00. Você tem 5 do que ele tem. Quanto em dinheiro você tem?

7 b) Você foi às compras levando R$ 12,00. Gastou 1 na padaria e 1 no açougue. Quanto lhe restou?

5 4 Você encontra cálculos de porcentagem em toda parte, no seu dia-a-dia.

Mas o que significa e como calcular a porcentagem?

PORCENTAGEM

A porcentagem (%), compreende todos os problemas que se referem a tantos por cento,

como as comissões, a corretagem, o desconto, etc.

14

Observe que uma porcentagem é uma fração de denominador 100, ou seja, é “dividir por 100 e multiplicar pelo valor”.

Por exemplo: 32% = 32

100 Quando queremos calcular uma porcentagem de algum número transformamos a porcentagem em fração e multiplicamos a fração por esse número:

Exemplo 1: 12% de 50 = 12 • 50 = 600 = 6 100 100

Exemplo 2: 150 kg de semente de algodão dão 32% de seu peso de azeite. Quantos

quilos de azeite podemos obter? Resolução:

32% de 150 = 32 • 150 = 4800 = 48 100 100

Resposta: Podemos obter 48 Kg de azeite.

O que fazer para transformar uma fração em uma porcentagem?

O mais prático é usar a calculadora para dividir o numerador pelo denominador e depois multiplicar o resultado por 100.

1 = 0,5 = 50%

Exemplos: a) 8 = 8 :25 = 0,32 • 100 = 32 % 25

b) 4 = 4 : 7 = 0,5714 • 100 = 57,14% (com aproximação)

1 = 100% = um inteiro

1 = 0,25 = 25% 4 2

15

7

6. Resolva o problema: Você recebeu um aumento de 20% no seu salário que é de R$ 190,00. a) Qual o valor do aumento? b) Quanto ficará o novo salário?

7) Copie e complete a tabela (use a calculadora).

Porcentagem 50% 6% 25% 150% Forma fração 1/2 6/100 Forma Decimal 0,5 0,75

Você pode resolver porcentagens, regras de três e vários outros problemas através de proporções.

PROPORÇÕES

Exemplo: Vamos comparar o número de pára-choques, e o número de pneus de

carros de passeio:

um automóvel:

2 pára-choques = 2 = 1

4 pneus 4 2 dois automóveis:

4 pára-choques = 4 = 1

8 pneus 8 2 As razões: 1, 2, 4 , 6 são equivalentes, pois simplificando são iguais 2 4 8 12

1 = 2 1 = 6 2 = 6 4 = 6

2 4 2 12 4 12 8 12

Cada uma dessas igualdades chama-se proporção.

simplificando

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Proporção é a igualdade de duas razões.

Ex: 20 = 8 Extremos = 20 . 2 = 40 5 2 Meios = 5 . 8 = 40

Exemplo 1 : Um carro consumiu 50 litros de álcool para percorrer 600 km. Supondo

condições equivalentes, quanto consumirá esse mesmo carro para percorrer 840 Km?

Monte a proporção separando as grandezas em colunas.

Litros Km 50 = 600 600 x = 50 . 840 x 840 x = 42000

600 x =70 litros

Resposta :O carro consumirá 70 litros.

Exemplo 2: Para construir uma casa em 24 dias preciso de 10 pedreiros. Quantos

dias são necessários para construir a mesma casa com 15 pedreiros ?

Dias pedreiros 24 10 x = 10

x 15 24 15

NUMA PROPORÇÃO O PRODUTO DOS EXTREMOS É IGUAL AO PRODUTO DOS MEIOS.

Inversamente proporcional quando uma grandeza aumenta e outra diminui.

15x = 24 . 10 x = 240

15 x = 16 dias

Diretamente proporcional, quando as duas grandezas aumentam ou as duas diminuem .

aumenta

aumenta

diminui

aumenta

17

Neste caso devemos inverter a grandeza onde está a letra x. Resposta : São necessários 16 dias.

8 - Resolva em seu caderno: a) No curso de Medicina, para cada 2 moças, estudam 5 rapazes.

Sabendo-se que há 100 moças, quantos rapazes estudam medicina?

b) Em uma fábrica de calçados, para cada 5 homens empregados são também admitidas 3 mulheres. Sabendo-se que há 600 mulheres empregadas, qual o nº total de empregados que a fábrica possui?

c) Numa velocidade média de 80 Km/h, fiz uma viagem em 14 horas. Se a velocidade fosse de 70 Km/h, em quanto tempo eu faria essa viagem?

Toda mercadoria que você compra a prazo, tem juros embutidos no preço total. Veja como calcular esses juros.

JUROS SIMPLES: Tente resolver: Que juros você paga em 5 meses por uma TV de R$ 600,00 à uma taxa

de 10% ao mês?

Juros Simples (J)=

Depositando-se dinheiro num banco, ou emprestando-se a uma pessoa, recebe-se um prêmio chamado juro.

Capital (C) = é o dinheiro, ou seja, a quantidade depositada ou emprestada.

Taxa (i) =

em geral é dada sob a forma de porcentagem durante um tempo determinado. Assim 10% (dez por cento), ao mês significa que R$ 100,00 rendem R$ 10,00 em um mês.

Resolvendo o problema acima: t = (tempo) = 5 meses

i = ( taxa ) = 10% 10

100

18

C = (Capital) = (preço da TV) = R$ 600,00

600. 10 = 6000 = 60 então: R$ 60,00 em 1 mês. 100 100

Como são 5 meses temos que: 60 • 5= 300

Resposta: Juros de R$ 300,00

Também você pode resolver este problema através de uma fórmula resolutiva, veja:

J = c • i • t onde: J = juros 100 c = capital i = taxa t = tempo J = 600 •10 • 5

100 J = 300,00

Agora é com você ! Resolva.

9- Qual o juro produzido por um capital de R$ 800,00 a uma taxa de 5% em 3 meses?

GABARITO MÓDULO 1

1 ) a ) 80 b ) -10 c ) - 15 d ) -9 e ) 15 f ) - 37

2 ) a ) -5 b ) –2 c ) -6 d ) 12 e ) –120 f ) 5 g ) -320 h ) - 6

3 ) a ) 729 b ) 625 c ) 64 d ) –64 e ) 1 f ) –10

19

4 ) a ) 40 b ) – 10 c ) 43 d) 15

12 12 36 12

5 ) a ) R$ 160,00 b ) Restaram R$ 6,60

6 ) a ) R$ 38,00 b ) R$ 228,00

7 )

Porcentagem 50% 6% 25% 150% 75% Forma fração 1/2 6/100 25/100 150/100 75/100 Forma Decimal 0,5 0,06 0,25 1,5 0,75

8 ) a ) 250 rapazes b ) 1600 funcionários c ) 16 horas

9 ) R$ 120,00

MÓDULO 2

E Q U A Ç Ã O É uma sentença matemática que tem sentido completo, portanto, é uma

igualdade (=) que envolve uma incógnita ou variável (letra) que está representando um número ou valor.

VEJA: O dobro de um número ............. 2.X ........ sentido incompleto O dobro de um número é vinte...........2.X = 20 sentido completo

As equações são classificadas de acordo com o maior expoente da incógnita ou letra em:

20

1º GRAU ( o expoente da letra é 1) ex.: 3X +4 = 10 2º GRAU ( o expoente da letra é 2) ex.: X² +4X – 3 = 0

3º GRAU ( o expoente da letra é 3) ex.: X³ -5X² +X = 0 e assim por diante

RESOLVER uma equação é achar o valor da letra que torna a equação verdadeira. Esse valor é denominado raiz da equação.

OBSERVE E TRADUZA PARA A LINGUAGEM DA MATEMÁTICA:

Em Português: O dobro de um número é igual a vinte.

Em Matemática: 2.X = 20

Qual é o valor de X que torna a igualdade verdadeira? X = 10 veja 2 . 10 = 20 20 = 20 verdadeiro

Para resolver equações mais complexas (difíceis) é necessário separar os termos que são semelhantes. Quem separa é o sinal de igual (=). Devemos seguir os seguintes passos:

- Isolar ou separar os termos que têm letras de um lado da igualdade e os números do outro lado,

- Ao passar os termos de um lado para outro deve-se aplicar a operação inversa (troca de conta ou sinal):

de + para - ou de - para + de • para : ou de : para •

Observe o esquema abaixo para entender melhor:

LETRA / LETRA = NÚMERO / NÚMERO INVERTE O SINAL

INVERTE O SINAL

21

Exemplo 1: Exemplo 2 :

Exemplo 3 : Resolva a equação 3 ( X – 2) = x – 8

3 . (x - 2) = x - 8

3x - 6 = x - 8

3x - x = - 8 + 6

2x = -2 x = - 2

2 Está resolvida, assim, a nossa equação. Se quiser conferir se a solução é

realmente a que encontramos, devemos substituir x por -1 na equação dada. Veja:

3 ( X – 2) = x – 8 3 . ( -1 –2 ) = -1 -8 3 • (– 3) = -1 –8

-9 = -9 Está certo. A raiz da equação dada é realmente x = -1 .

Exemplo 4 : Como resolver a equação fracionária abaixo?

X + 3x = 4x + 7

2 1 5 1

X = -1

Multiplica, aplicando a propriedade distributiva (multiplica o nº de fora do parênteses pelos 2 termos de dentro do parênteses

Aplica a operação inversa ( invertendo o sinal)

Passa dividindo

3x – 5 = x – 2

3x – x = - 2 + 5 2x = 3 x = 3

2

Coloque 1 onde não tem denominador

Encontre o m.m.c. dos denominadores

m.m.c 2, 5 2 1, 5 5 1, 1 10

Divide o m.m.c pelo

X + 3 = 8 X = 8 –3 X = 5

troca o sinal

22

5 • x + 10 . 3x = 2 . 4x + 10. 7

10

5x +30x = 8x + 70 5x + 30x - 8x = 70

27x = 70 x = 70 27

EXERCÍCIOS:

1) Resolva as equações abaixo: a) 3x + 4 = 25 e ) 5x + 2 = -x + 20

b) 5(x – 1) – 19 = 3(x – 2) f) x + 9 = 15

c ) 3 (x + 2) = 5x – 8 g) 5 ( x –5) = x + 3

d ) 7x – 1 = 13 h) 3x + 1 = x + 4

LEMBRE-SE: nº antes de parênteses está multiplicando os de dentro do parênteses.

EQUACIONANDO UM PROBLEMA

Rigorosamente falando, equacionar um problema envolve escrever a equação (ou as equações) de modo que ela expresse em linguagem matemática o que foi dado no problema em linguagem comum.

Veja, então, como fazer isso com problemas algébricos, ou melhor, com problemas que admitem solução por meio de uma equação.

EXEMPLO1:

Qual é o número cujo dobro, mais 5, é igual a 17?

Equacione o problema, chamando o número desconhecido de x. Saiba que não importa a letra que você usa para designar a incógnita, isto é, o número procurado, mas é universal o uso do x. O fato importante é que:

Dobro do nº

23

2 X + 5 = 17

Para determinar o valor de x, é só resolver a equação lembrando que você deve aplicar a operação inversa .

Verifique:

2 . x + 5 = 17 2 . x = 17 - 5

2 • X = 12 x = 12

2 x = 6

Vamos ver outro exemplo de equacionamento de problemas. É interessante que você experimente responder a estas duas perguntas antes de continuar a leitura:

a) O que é x, neste caso? (Qual é a incógnita?) b) O que sabemos sobre x? (Qual é a equação?)

EXEMPLO 2:

Qual o número cuja metade é a sexta parte de 42?

Equacionamos assim: X = número

O que sabemos: X = 42

2 6

Aplicando a regra da proporção fica:

6 . x = 42 . 2 6 . x = 84 x = 84

6 x = 14

Está resolvido e a resposta é 14.

Está multiplicando, passa do outro lado dividindo

multiplicando

24

EXERCÍCIOS:

2) Equacione e resolva os seguintes problemas algébricos: a) Qual é o número cujo triplo, mais 7, é igual a 23? b) Qual é número cujo dobro menos 10, é igual ao seu triplo mais 8? c) Qual é o número cuja metade é a sexta parte de 21?

Agora você vai resolver alguns problemas com o auxílio da álgebra. Em cada um deles tente, a partir do enunciado obter uma equação e, em seguida, resolvê-la

EXEMPLO 3:

Uma caixa com 30 lápis custa R$ 4,80. Quanto deverá custar uma outra com 40 lápis?

Este é um problema de regra de três (módulo 1 ). Problemas como esse são freqüentes em nossa vida.

Lápis R$ 30 4,80 40 x

30. x = 40 . 4,80 equação x = 192

30 x = 6,40

EXERCÍCIOS:

Resolva os problemas:

3) A soma de um número com seu consecutivo é 69. Qual é esse número? Atenção: consecutivo é x + 1

4) Em certo mercado, uma caixa com uma dúzia de ovos custa R$ 2,80 e uma outra com 18 ovos custa R$ 4,00. Qual das duas embalagens é mais econômica?

Diretamente proporcional

Logo, a caixa maior deverá custar R$ 6,40

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VALOR NUMÉRICO

Valor numérico é o valor que a expressão algébrica assume quando

você substitui a letra X por determinados números.

1º EXEMPLO:

Determine o valor numérico de : x² - 3 . x , para x = 4

1º passo: substituímos a letra x pelo número 4. x² - 3 . x =

4² - 3 . 4 =

2º: passo: efetuamos as operações indicadas. = 16 – 12 = = 4

Portanto o valor numérico de x² - 3 é 4. 2º EXEMPLO:

Calcule o valor numérico de : 3x + 4y , para x = 2 e y = -3 3 . 2 + 4 . (-3)

6 - 12 -6 , logo, o valor numérico é -6

O raciocínio algébrico é mesmo muito útil, poderoso e até mesmo muito atual em termos de pensamento matemático. Use-o nos próximos exercícios, não esquecendo de que o importante é a compreensão do que estamos estudando.

EXERCÍCIOS: 5) Determine o valor numérico das seguintes expressões: a) x³ + 2. x para x = 2 b) 18 + 5 para x = 3

x c ) x + 2. x – 9 para x = -1 d ) b² - 4 .a. c para a = 2, b = -6 e c = 1

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6) Você certamente reparou que os calçados são medidos por números: 35, 36, 37,... para as mulheres e 39, 40, 41,... para a maioria dos homens. Mas, existem, pés maiores. O número do sapato depende do comprimento do pé, e a fórmula para

calcular o número do calçado é a seguinte:

N é o número do sapato C é o comprimento do pé, em centímetros

a) Que número calça uma pessoa cujo pé mede 24 cm?

GABARITO MÒDULO 2

1 ) a ) 7 b) 9 c) 7 d ) 2 e ) 3 f ) 6 g ) 7 h) 3

2

2 ) a ) 3

16 b ) – 18 c ) 7

3 ) 34 e 35

4 ) a segunda embalagem é mais econômica

5 ) a ) 12 b ) 11 c ) –12 d ) 28

6 ) a ) 37

N = 5 . c + 28

4

Lembre-se do cálculo do valor numérico, é do mesmo jeito que se

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Bibliografia:

Desenhos ilustrativos tirados dos livros:

BONGIOVANNI, Vicenzo, Vissoto, Olímpio Rudinin Leite, Laureano, José Luiz Tavares. MATEMÁTICA VIDA. Quinta Série a Oitava Série São Paulo. Editora Ática. 7ª Edição. 1995.

IMENES, Luiz Marcio, Lellis Marcelo. MATEMÁTICA. Oitava Série São Paulo. Editora Scipione. 1999.

SCIPIONE, Di Pierrô Netto. MATEMÁTICA CONCEITOS E HISTÓRIAS. 6ª Edição. Oitava Série. São Paulo. Editora Scipione 1997.

ELABORADO PELA EQUIPE DE MATEMÁTICA 2007:

- Elisa Rocha Pinto de Castro - Francisco Carlos Vieira dos Santos - Josué Elias Latance - Rosy Ana Vectirans

COLABORAÇÃO:

- Adriana Moreira Molinar - Esmeralda Cristina T. Ramon - Rosimeire Maschetto Nieri - Sara M. Santos

DIREÇÃO: - Elisabete Marinoni Gomes - Maria Isabel Ramalho de Carvalho Kupper

COORDENAÇÃO: - Neiva Aparecida Ferraz Nunes

APOIO: Prefeitura Municipal de Votorantim

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