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CIRCUNFERÊNCIA AULAS 01 e 02
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos
Sumário Circunferência .............................................................. 1
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO ....................................... 1
CIRCUNFERÊNCIA ................................................................................................................................................ 1
CÍRCULO .............................................................................................................................................................. 1
CORDA DE UMA CIRCUNFERÊNCIA ..................................................................................................................... 1
DIÂMETRO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA ............................................................................................................... 1
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA ........................................................................................ 1
RETA EXTERIOR A UMA CIRCUNFERÊNCIA .......................................................................................................... 1
RETA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA ........................................................................................................ 2
RETA SECANTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA ........................................................................................................... 2
ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA ................................ 2
SEMICIRCUNFERÊNCIA ........................................................................................................................................ 2
ÂNGULOS EM UMA CIRCUNFERÊNCIA ......................... 3
ÂNGULO CENTRAL ............................................................................................................................................... 3
Relação entre a medida de um ângulo central e a medida de seu arco correspondente .................................. 3
ÂNGULO INSCRITO .............................................................................................................................................. 3
Relação entre a medida de um ângulo inscrito e a medida de seu arco correspondente ................................. 3
ÂNGULO DE SEGMENTO ..................................................................................................................................... 3
Relação entre a medida de um ângulo de segmento e a medida de seu arco correspondente ........................ 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERIOR ........................................................................................................................ 4
Relação entre a medida de um ângulo excêntrico interior e as medidas de seus arcos correspondentes ....... 4
ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERIOR ........................................................................................................................ 4
Relação entre a medida de um ângulo excêntrico exterior e as medidas de seus arcos correspondentes ....... 4
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1
Circunferência
AULA 01 CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
CIRCUNFERÊNCIA Considere um plano 𝛼, um ponto C e um número
positivo R.
Denomina-se circunferência de raio R e centro C o
lugar geométrico dos pontos de 𝛼 que distam R de C.
Sendo P um desses pontos, tem-se que PC = R.
CÍRCULO Círculo de centro C e raio R é a união de uma
circunferência de centro C e raio R com sua região
interna.
Obs. 1: Uma boa forma para se entender a diferença
entre circunferência e círculo é perceber que a
circunferência é apenas o traço feito por um compasso.
Enquanto um círculo é a união dessa circunferência e a
região interna definida por ela.
CORDA DE UMA CIRCUNFERÊNCIA Um segmento de reta que tem extremidades sobre
uma circunferência de centro C e raio R é denominado
corda dessa circunferência.
DIÂMETRO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA Um diâmetro de uma circunferência de centro C e raio
R é, por definição, uma corda que passa pelo seu
centro.
Obs. 2: Um diâmetro dessa circunferência tem medida
D igual a 2R.
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE
RETA E CIRCUNFERÊNCIA
RETA EXTERIOR A UMA CIRCUNFERÊNCIA
Uma reta será classificada como exterior a uma
circunferência se elas forem coplanares e não tiverem
ponto em comum.
Obs.3: Note que, neste caso, a distância do centro da
circunferência para a reta será maior que o raio da
circunferência.
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RETA TANGENTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA
Uma reta será classificada como tangente a uma
circunferência se elas forem coplanares e tiverem
apenas um ponto em comum.
Obs.4: Considere uma circunferência 𝛽, de centro C, e
uma reta r tangenge a 𝛽 em P. É possível mostrar que
a reta r e a reta 𝐶𝑃 ⃡ (que contém um diâmetro da
circunferência) são perpendiculares.
Obs.5: Note que, neste caso, a distância do centro da
circunferência para a reta será igual ao raio da
circunferência.
RETA SECANTE A UMA CIRCUNFERÊNCIA
Uma reta será classificada como secante a uma
circunferência se elas forem coplanares e tiverem dois
pontos em comum.
Obs.6: Note que, neste caso, a distância do centro da
circunferência para a reta será menor que o raio da
circunferência.
ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA Dois pontos distintos de uma circunferência a dividem
em dois conjuntos denominados arcos, aos quais os
dois pontos pertencem. Tais pontos são denominados
extremidades desses arcos.
Obs.7: Os pontos A e B são as extremidades desses
arcos, os quais são denotados por AB .
Obs.8: Para diferenciar um arco AB do outro arco AB
basta escolher um ponto pertencente ao arco que se
deseja destacar e distinto dos seus extremos. Note, nos
exemplos a seguir os arcos APB e AQB .
Obs.9: Os arcos APB e AQB são denominados arcos
replementares, pois juntos formam um arco de uma
volta.
SEMICIRCUNFERÊNCIA Se dois pontos distintos de uma circunferência são
extremidades de um diâmetro dessa circunferência,
então cada arco determinado por esses pontos é
denominado semicircunferência.
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ÂNGULOS EM UMA CIRCUNFERÊNCIA
ÂNGULO CENTRAL Considere uma circunferência de centro C. Um ângulo,
contido no mesmo plano da circunferência, que tem
vértice em C é denominado ângulo central relativo à
essa circunferência.
Obs.10: Arco correspondente ao ângulo central
Na figura acima, o arco APD é denominado arco
correspondente ao ângulo central AOD . Podemos
dizer que é o arco “enxergado” pelo ângulo central.
Relação entre a medida de um ângulo
central e a medida de seu arco
correspondente A medida de um ângulo central em uma circunferência
é igual à medida de seu arco correspondente.
( ) ( )med AÔD med APD
ÂNGULO INSCRITO Considere uma circunferência de centro C. Um ângulo,
cujo vértice pertence à circunferência e tem cada um
de seus lados secante a circunferência é denominado
ângulo inscrito relativo à essa circunferência.
Obs.11: Arco correspondente ao ângulo inscrito
Na figura acima, o arco APD é denominado arco
correspondente ao ângulo inscrito AOD . Podemos
dizer que é o arco “enxergado” pelo ângulo inscrito.
Relação entre a medida de um ângulo
inscrito e a medida de seu arco
correspondente A medida de um ângulo inscrito em uma circunferência
é igual à metade da medida de seu arco
correspondente.
( )( )
2
med APDmed AÔD
ÂNGULO DE SEGMENTO Considere uma circunferência de centro C. Um ângulo,
cujo vértice pertence à circunferência e tem um de
seus lados secante e o outro tangente a circunferência
é denominado ângulo de segmento relativo à essa
circunferência.
Obs.12: Arco correspondente ao ângulo de segmento
Na figura acima, o arco APD é denominado arco
correspondente ao ângulo de segmento ADE .
Podemos dizer que é o arco “enxergado” pelo ângulo
de segmento.
Relação entre a medida de um ângulo de
segmento e a medida de seu arco
correspondente A medida de um ângulo de segmento é igual à metade
da medida de seu arco correspondente.
( )( )
2
med APDmed ADE
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. PSA 1, 4b e 6
TAREFA 1 – Fazer os PSA 2, 3, 4(a,c), 5 e 7.
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AULA 02
ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERIOR Considere uma circunferência de centro C. Se duas
retas concorrem em um ponto interior a essa
circunferência, distinto do centro, os ângulos
determinados por elas são denominados ângulos
excêntricos interiores relativos à essa circunferência.
Relação entre a medida de um ângulo
excêntrico interior e as medidas de seus
arcos correspondentes A medida de um ângulo excêntrico interior é igual à
média aritmética entre a medida do arco
correspondente a ele e a medida do arco
correspondente ao seu ângulo oposto pelo vértice.
( ) ( )( )
2
med ATB med CQDmed APB
ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERIOR Considere uma circunferência de centro C. Um ângulo
cujo vértice é exterior a essa circunferência e seus
lados a intersectam é denominado ângulo excêntrico
exterior relativos à essa circunferência.
Relação entre a medida de um ângulo
excêntrico exterior e as medidas de seus
arcos correspondentes A medida de um ângulo excêntrico exterior é igual à
metade da diferença positiva entre as medidas de seus
arcos correspondentes.
( ) ( )( )
2
med ATB med CQDmed APB
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. PSA 8 e 10
TAREFA 2 – Fazer os PSA 9, 11 e 12.